2022届上海市杨浦区九年级数学一模Word版(附解析)
2022年上海15区中考数学一模考点分类汇编专题08 平面向量的线性运算 (解析版)
2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题08 平面向量的线性运算一．选择题（共12小题）1．（青浦区）如果（、均为非零向量），那么下列结论错误的是（）A．B．∥C．D．与方向相同【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵，∴||＝2||；；＝；与的方向相反，故A，B，C正确，D错误，故选：D．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．2．（金山区）点G是△ABC的重心，设＝，＝，那么关于和的分解式是（）A．+B．﹣C．+D．﹣【分析】根据向量加法的平行四边形法则得出＝（+），再根据重心的性质得出＝，即可求解．【解答】解：∵＝，＝，∴＝（+）＝（+），∵点G是△ABC的重心，∴＝＝×（+）＝（+）．故选：C．【点评】本题考查三角形的重心，平面向量，平行四边形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（崇明区）如果向量与向量方向相反，且3||＝||，那么向量用向量表示为（）A．B．C．D．【分析】由向量与向量方向相反，且3||＝||，可得，继而求得答案．【解答】解：∵向量与向量方向相反，且3||＝||，∴3＝﹣，∴．故选：D．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意根据题意得到3＝﹣是解此题的关键．4．（徐汇区）已知点C是线段AB的中点，下列结论中正确的是（）A．＝B．+＝0C．＝D．||＝||【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，∴；；；||＝||，∴A，B，C错误，D正确，故选：D．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．5．（黄浦区）已知，，是非零问量，下列条件中不能判定∥的是（）A．∥，∥B．＝3C．||＝||D．＝，＝﹣2【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵，，∴，故A能；∵，∴，故B能；∵||＝||，不能判断与方向是否相同，故C不能；∵，，∴＝﹣，∴，故D能，故选：C．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．6．（嘉定区）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据单位向量的性质逐一判断即可．【解答】解：∵是单位向量，∴||＝1，∴||＝，∴A正确；∵||与的大小相同，但方向不一定相同，∴B错误；∵与大小相同，但方向不一定相同，∴C错误；∵与方向不一定相同，∴不一定等于，∴D错误，故选：A．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量的性质是解题的关键．7．（宝山区）已知为非零向量，＝2，＝﹣3，那么下列结论中，不正确的是（）A．||＝||B．C．D．∥【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵＝2，＝﹣3，∴||＝||，＝﹣，故A正确，B错误；∵＝2，＝﹣3，∴3＝6﹣6＝，故C正确；∵＝2，＝﹣3，∴＝﹣，∴，故D正确，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．8．（杨浦区）已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（）A．＝B．﹣＝C．||+||＝2D．+＝2【分析】根据单位向量的定义逐一判断即可．【解答】解：根据单位向量的定义可知：和都是单位向量，但是这两个向量并没有明确方向，∴A，B，D错误，C正确，故选：C．【点评】本题考查了平面向量中的单位向量知识，熟练掌握单位向量的定义是解题的关键．9．（虹口区）已知＝7，下列说法中不正确的是（）A．﹣7＝0B．与方向相同C．∥D．||＝7||【分析】根据平面向量的定理逐一判断即可．【解答】解：∵＝7，∴＝；与方向相同；；||＝7||，故A不正确；B、C、D正确，故选：A．【点评】本题考查了平面向量的定理，熟练掌握平面向量的基本定理是解题的关键．10．（浦东新区）已知||＝3，||＝2，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（）A．3＝2B．2＝3C．3＝﹣2D．2＝﹣3【分析】根据平行向量的性质即可解决问题．【解答】解：∵||＝3，||＝2，且和的方向相反，∴＝﹣，∴2＝﹣3，故选：D．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．（普陀区）已知与是非零向量，且||＝|3|，那么下列说法中正确的是（）A．B．C．D．||＝3【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案【解答】解：A、由与是非零向量，且||＝|3|知，与3只是模相等，方向不一定相同，不一定成立，故不符合题意；B、由与是非零向量，且||＝|3|知，与3只是模相等，方向不一定相反，即不一定成立，故不符合题意；C、由与是非零向量，且||＝|3|知，与3只是模相等，不一定共线，故不符合题意；D、由与是非零向量，且||＝|3|知，||＝3，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．12．（松江区）已知＝2，那么下列判断错误的是（）A．﹣2＝0B．C．||＝2||D．∥【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案．【解答】解：A、由＝2知，﹣2＝，符合题意；B、由＝2知，，不符合题意；C、由＝2知，||＝2||，不符合题意；D、由＝2知，∥，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．二．填空题（共14小题）13．（崇明区）计算：2（3+2）﹣5＝．【分析】根据平面向量的加减运算法则即可求解．【解答】解：原式＝6＝，故答案为：，【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．14．（杨浦区）已知的长度为2，的长度为4，且和方向相反，用向量表示向量＝﹣2．【分析】根据与的长度与方向即可得出结果．【解答】解：∵的长度为2，的长度为4，且和方向相反，∴，故答案为：﹣2【点评】本题考查了平面向量的基本知识，熟练掌握平面向量的定义和性质是解题的关键．15．（虹口区）如果向量、、满足（+）＝﹣，那么＝（用向量、表示）．【分析】根据平面向量的加减运算法则计算即可．【解答】解：∵（+）＝﹣，∴，∴，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．16．（浦东新区）计算：3（2﹣）﹣2（2﹣3）＝2+3．【分析】根据平面向量的加减运算法则即可求解．【解答】解：3（2﹣）﹣2（2﹣3）＝6﹣3﹣4+6＝2+3，故答案为：2+3．【点评】本题考查了平面向量的基本知识，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．17．（浦东新区）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O．设＝，＝，那么向量关于向量、的分解式是﹣+．【分析】根据向量的加减计算法则即可得出结果．【解答】解：∵＝，＝，∴＝＝﹣+，故答案为：﹣+．【点评】本题考查了向量的加减计算法则，熟练掌握向量的加减计算法则是解题的关键．18．（普陀区）已知是单位向量，与方向相反，且长度为6，那么＝﹣6.（用向量表示）【分析】根据平面向量的性质解决问题即可．【解答】解：∵是单位向量，与方向相反，且长度为6，∴＝﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．（徐汇区）计算：2﹣（﹣4）＝+2．【分析】根据平面向量的加减运算法则求解即可．【解答】解：2＝2﹣+2＝+2，故答案为：+2，【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．20．（徐汇区）如图，已知点G是△ABC的重心，记向量＝，＝，则向量＝+．．（用向量x+y的形式表示，其中x，y为实数）【分析】如图，延长AE到H，使得EH＝AE，连接BH，CH．求出，证明AG＝AH即可解决问题．【解答】解：如图，延长AE到H，使得EH＝AE，连接BH，CH．∵AE＝EH，BE＝EC，∴四边形ABHC是平行四边形，∴AC＝BH，AC∥BH，∵＝+＝+，∵G是重心，∴AG＝AE，∵AE＝EH，∴AG＝AH，∴＝（+）＝+．故答案为：+．【点评】本题考查三角形的重心，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（嘉定区）已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么＝．【分析】根据平面向量的加减运算法则求解即可．【解答】解：∵，∴2﹣2＝3﹣3，∴＝3﹣2，故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．22．（静安区）如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点G，如果＝，＝，那么＝+．（用含向量、的式子表示）【分析】由重心的性质可得，，利用三角形法则，即可求得的长，又由中线的性质，即可求得答案．【解答】解：在△ABC中，中线AD、BE相交于点G，∴点G为△ABC的重心，∴＝＝，＝＝，∴＝+＝+，∴＝2＝+．故答案为：+．【点评】此题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．23．（崇明区）如图，在平行四边形ABCD中，点M是边CD中点，点N是边BC的中点，设＝，＝，那么可用、表示为．【分析】先根据中位线定理求出，再根据平面向量的加减运算法则求出即可求解．【解答】解：如图，连接BD，∵点M是边CD中点，点N是边BC的中点，∴MN是△BDC的中位线，∴MN∥BD，且MN＝，∴，∵＝，＝，∴，∴，∴，故答案为：【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．24．（奉贤区）计算：2（﹣2）+3（+）＝5﹣．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：2（﹣2）+3（+）＝2﹣4+3+3＝5﹣，故答案为5﹣．【点评】本题考查平面向量，平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25．（金山区）计算：（﹣2）+2＝+．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：（﹣2）+2＝﹣+2＝+．故答案为：+．【点评】本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是掌握平面向量的加法法则，属于中考常考题型．26．（青浦区）计算：3﹣2（﹣2）＝．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：3﹣2（﹣2）＝3﹣2+4＝+4，故答案为：+4．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量的加法法则，属于中考常考题型．三．解答题（共9小题）27．（浦东新区）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE＝BC．（1）如果AC＝6，求AE的长；（2）设＝，＝，求向量（用向量、表示）．【分析】（1）由平行线截线段成比例求得AE的长度；（2）利用平面向量的三角形法则解答．【解答】解：（1）如图，∵DE∥BC，且DE＝BC，∴＝＝．又AC＝6，∴AE＝4．（2）∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣．又DE∥BC，DE＝BC，∴＝＝（﹣）．【点评】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义．28．（杨浦区）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE＝BC．（1）如果AC＝6，求AE的长；（2）设＝，＝，试用、的线性组合表示向量．【分析】（1）根据相似三角形的性质得出等式求解即可；（2）根据平面向量的加减运算法则即可求解．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵DE＝，∴AE＝4；（2）由（1）知，，∴DE＝，∵，∴＝．【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的性质等知识，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．29．（宝山区）如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又＝．（1）设＝，＝，用向量、表示向量＝，＝．（2）如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长．【分析】（1）根据平面向量的加减运算法则即可求解；（2）先证明△ABF∽△BCA，得∠ABF＝∠BCA，从而得出△ABF∽△ECB，再根据相似三角形对应边成比例得出比例式求解即可．【解答】解：（1）∵AF＝2DF，∴AF＝，∵，∴，∴＝，∵＝，∴，∴＝，故答案为：，；（2）∵＝，∴AF∥BC，AF＝，∴∠BAF＝∠ABC＝90°，∠AFB＝∠CBE，∵AD＝3，AF＝2DF，∴AF＝2，∴BC＝8，在Rt△ABF中，BF＝＝2，又∵，∴△ABF∽△BCA，∴∠ABF＝∠BCA，∴△ABF∽△ECB，∴，∴，∴BE＝．【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，证明△ABF∽△ECB是解第（2）问的关键．30．（虹口区）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，使CE＝BC，联结AE交DC于点F，设＝，＝．（1）用向量、表示；（2）求作：向量分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论）【分析】（1）利用三角形法则解决问题即可；（2）利用平行四边形法则解决问题即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD时平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∴＝＝，＝＝，∵CE＝BC，∴＝，∴＝+＝+；（2）如图，过点F作FM∥AD交AB于点M，，即为向量分别在、方向上的分向量．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则解决问题．31．（奉贤区）如图，在△ABC中，AC＝5，cot A＝2，cot B＝3，D是AB边上的一点，∠BDC ＝45°．（1）求线段BD的长；（2）如果设＝，＝，那么＝，＝，＝（含、的式子表示）．【分析】（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，AE＝2x，在Rt△ACE中，由勾股定理得，x2+（2x）2＝52，解方程即可解决问题；（2）先求出AD的长，再求出AD与AB的数量关系，根据平面向量的加减运算法则即可求解．【解答】解：（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，∵cot A＝，∴AE＝2x，在Rt△ACE中，由勾股定理得，x2+（2x）2＝52，解得x＝±，∵x＞0，∴x＝，∴CE＝，∵∠CDE＝45°，∴CE＝DE＝，∵cot B＝3，∴BE＝3CE＝3，∴BD＝BE+DE＝3+＝4；（2）∵DE＝，AE＝2，∴AD＝，∵BD＝4，∴，即AD＝，∵＝，＝，∴＝，∴，∴＝＝，故答案为：；；．【点评】本题考查了平面向量，三角函数的定义勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的定义，平面向量的加减运算法则是解题的关键．32．（长宁区）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB：CD＝3：2，点E是边CD的中点，联结BE交对角线AC于点F，若＝，＝．（1）用、表示、；（2）求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）【分析】（1）利用三角形法则，平行线分线段成比例定理求解即可．（2）利用平行四边形法则作出图形即可．【解答】解：（1）∵AB：CD＝3：2，∴CD＝AB，∴＝，∴＝+＝+，∴DE＝EC，CE∥AB，∴＝＝，∴AF＝AC，∴＝（+）＝+．（2）如图，在、方向上的分向量分别为，．【点评】本题考查平面向量，梯形的性质等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．33．（金山区）如图，已知：四边形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，＝＝2，设＝，＝．求向量关于、的分解式．【分析】连接BD，先由得到MN∥BD、MN：BD＝2：3，然后得到3＝2，再结合平面向量的减法运算得到与和的关系，最后即可用含有和的式子表示．【解答】解：连接BD，∵，∴MN∥BD，，∴，∵，，∴，∴．【点评】本题考查了平行线的判定、平面向量的减法运算，熟练应用三角形法则是解题的关键．34．（普陀区）如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，AB：CD＝1：3．（1）求的值；（2）设＝，＝，那么＝，＝+（用向量，表示）【分析】（1）根据平行线的性质和相似三角形的判定证明△ABE∽△DCE和△BEF∽△BCD即可得出结论；（2）根据（1）中结论和平面向量的加、减运算即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠EDC，∠ABE＝∠DCE，∴△ABE∽△DCE，∴＝＝，∴CE＝3BE，∵EF∥CD，∴∠BEF＝∠BCD，∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BCD，∴＝，∵BC＝BE+CE＝BE+3BE＝4BE，∴＝；（2）由（1）知：EF＝CD，∴＝＝，∵+＝，∴＝﹣，∵＝，∴，∵AB：CD＝1：3，∴AB＝CD，∴＝，＝+﹣＝．故答案为：，．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质以及平面向量，熟练掌握平行线的性质和平面向量的加、减运算是解题的关键．35．（青浦区）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE、BD相交于点F，BF＝3DF．（1）求AE：ED的值；（2）如果，，试用、表示向量．【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，从而△BCF∽△DEF，利用相似三角形的性质得比例式，从而解得AE：ED的值；（2）先求出．再利用向量的加法可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△BCF∽△DEF，∴，∵BF＝3DF，∴．∴，∴．∴AE：ED＝2；（2）∵AE：ED＝2：1，∴．∵，∴，∵，∴，∵AD∥BC，∴，∵BF＝3DF，∴．∴．∴，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平面向量，解决本题的关键是理解平面向量．。
2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编09 几何证明(解答题23题)(讲解版)
2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题09 几何证明一．解答题（共15小题）1．（普陀区）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，BD＝DC，BD•BC＝BE•AC．（1）求证：∠ABE＝∠DEB；（2）延长BA、ED交于点F，求证：．【分析】（1）由BD•BC＝BE•AC得出＝，BD＝DC得出∠DBC＝∠C，从而得出结论；（2）根据（1）的结论和已知证明△FAD∽△FDB即可．【解答】证明：（1）∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠C，∵BD•BC＝BE•AC，∴＝，∴△ABC∽△DEB，∴∠ABC＝∠DEB，即∠ABE＝∠DEB；（2）如图所示：∵△ABC∽△DEB，∴∠CAB＝∠BDE，∴∠FAD＝∠FDB，∵∠F＝∠F，∴△FAD∽△FDB，∴＝，∵∠ABE＝∠DEB，∴FB＝FE，又∵BD＝DC，∴＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是找到相似的三角形．2．（崇明区）已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，E为边AC上一点，联结BE交CD于点F，并满足BC2＝CD•BE．求证：（1）△BCE∽△ACB；（2）过点C作CM⊥BE，交BE于点G，交AB于点M，求证：BE•CM＝AB•CF．【分析】（1）通过证明△BCD∽△EBC，可得∠CEB＝∠CBD，可得结论；（2）通过证明△BCE∽△ACB，△ACB∽△CDB，△CDM∽△BDF，可得，，，可得结论．【解答】证明：（1）∵BC2＝CD•BE，∴，设＝k，则BC＝k•CD，BE＝k•BC，∴CE＝＝×BC，BD＝＝×CD，∴＝，又∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴△BCD∽△EBC，∴∠CEB＝∠CBD，又∵∠ACB＝∠BCE＝90°，∴△BCE∽△ACB；（2）如图，∵△BCE∽△ACB，∴，∵∠CEB＝∠CBA，∴∠A＝∠CBE，∵∠A+∠ABC＝90°＝∠DCB+∠CBD，∴∠A＝∠DCB，∴∠DCB＝∠EBC，∴CF＝BF，∵∠A＝∠DCB，∠CDB＝∠ACB＝90°，∴△ACB∽△CDB，∴，∵CM⊥BE，∴∠ABE+∠CMD＝90°＝∠CMD+∠MCD，∴∠MCD＝∠ABE，又∵∠CDB＝∠CDM＝90°，∴△CDM∽△BDF，∴，∴，∴BE•CM＝AB•CF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键．3．（嘉定区）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点E在边BC上，点G在边AB的延长线上，联结AE，并延长AE交CG于点K．（1）求证：△ABE∽△CKE；（2）如果CG与EF交于点H，求证：BE2＝FH•AB．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBG，可得∠BAE＝∠ECK，可得结论；（2）通过证明△ABE∽△GFH，可得，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∵四边形BEFG是正方形，∴FG＝BG＝BE，∠CBG＝90°，∴∠ABE＝∠CBG＝90°，在△ABE和△CBG中，，∴△ABE≌△CBG（SAS），∴∠BAE＝∠ECK，又∵∠AEB＝∠CEK，∴△ABE∽△CKE；（2）由题意，得∠CEF＝∠F＝∠ABE＝90°，∴FG∥BC，∴∠ECK＝∠FGH，∵∠BAE＝∠ECK，∴∠BAE＝∠FGH，∴△ABE∽△GFH，∴，∵FG＝BE，∴，∴BE2＝FH•AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．4．（宝山区）如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、C、E在同一直线上，联结BD交AC边于点F．（1）如果∠ABD＝∠CAD，求证：BF2＝DF•DB；（2）如果AF＝2FC，S四边形ABCD＝18，求S△DCE的值．【分析】（1）证明△ABF≌△CAD（ASA），由全等三角形的性质可得出BF＝AD，证明△ADF∽△BDA，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；（2）证明△DCF∽△BAF，由相似三角形的性质得出＝，设S△DCF＝x，则S△ADF＝S△BCF＝2x，S△ABF＝4x，由四边形ABCD的面积可得出x+2x+2x+4x＝18，求出x＝2，求出三角形ABC的面积，证明△ABC∽△DCE，由相似三角形的性质得出＝，则可得出结论．【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，又∵∠ABD＝∠CAD，∴△ABF≌△CAD（ASA），∴BF＝AD，∵∠ADF＝∠BDA，∠ABD＝∠CAD，∴△ADF∽△BDA，∴，∴AD2＝DF•BD，∴BF2＝DF•BD；（2）解：∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAC，∴AB∥CD，∴△DCF∽△BAF，∴＝，∴，，，设S△DCF＝x，则S△ADF＝S△BCF＝2x，S△ABF＝4x，∵S四边形ABCD＝18，∴x+2x+2x+4x＝18，解得x＝2，∴S△ABF＝8，S△BCF＝4，∴S△ABC＝S△ABF+S△BCF＝8+4＝12，∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴△ABC∽△DCE，∴＝，∴S△DCE＝＝×12＝3．【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△DCF∽△BAF是解题的关键．5．（杨浦区）已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，AE∥CD，DE ∥AB，过点C作CF∥AD，交线段AE于点F，联结BF．（1）求证：△ABF≌△EAD；（2）如果射线BF经过点D，求证：BE2＝EC•BC．【分析】（1）先证AB＝AE，DE＝DC，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AF＝CD，进而得出AF＝DE，再由平行线性质得∠AED＝∠BAF，进而证得结论；（2）通过证明△BEF∽△BCD，△DEF∽△BAF，可得，即可得结论．【解答】证明：（1）∵AE∥CD，∴∠AEB＝∠BCD，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝∠AEB，∴AB＝AE，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠DEC＝∠BCD，∴DE＝DC，∵CF∥AD，AE∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF＝CD，∴AF＝DE，在△ABF和△EAD中，，∴△ABF≌△EAD（SAS）；（2）如图，连接FD，∵射线BF经过点D，∴点B，点F，点D三点共线，∵AE∥DC，∴△BEF∽△BCD，∴，，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴，∴，∵CD＝AF，∴，∴BE2＝EC•BC．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，利用相似三角形的性质得到线段的关系是解题的关键．6．（松江区）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AC＝AB，过点D作BC的平行线交AC于点E．（1）如果∠DEC＝∠BEC，求证：CE2＝ED•CB；（2）如果AD2＝AE•AC，求证：AD＝BC．【分析】（1）通过证明△DEC∽△CEB，可得，可得结论；（2）通过证明△BCE∽△ACB，可得，由相似三角形的性质可得，可得，通过证明△ADE∽△ACD，可得＝，可得结论．【解答】证明：（1）∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠ABC，∵DC∥AB，∴∠DCE＝∠CAB，∵DE∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵∠DEC＝∠BEC，∴∠DEC＝∠BCE＝∠BEC＝∠ABC，∴∠BAC＝∠CBE＝∠DCE，BE＝BC，∴△DEC∽△CEB，∴，∴CE2＝DE•BE＝DE•CB；（2）∵∠BAC＝∠CBE，∠ACB＝∠BCE，∴△BCE∽△ACB，∴，∵△DEC∽△CEB，∴，∠CDE＝∠BCE＝∠CED＝∠BEC，∴，CD＝CE，∵AD2＝AE•AC，∴，又∵∠DAE＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴＝，∴，∴AD＝BC．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定是解题的关键．7．（浦东新区）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE＝30°，AC 与DE相交于点F，联结CE，点D在边BC上．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）若＝，求的值．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△BAC∽△DAE，根据相似三角形的性质得到，求得∠BAD＝∠CAE，根据相似三角形的判定定理得到结论；（2）根据相似三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠DAE，∠B＝∠ADE，∴△BAC∽△DAE，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE；（2）解：∵△ABD∽△ACE，∴，∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，∴＝，∴＝•＝＝3，∵△ADF∽△ECF，∴＝＝3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．8．（徐汇区）如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，∠FEA＝∠B，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：AE2＝AF•AB；（2）求证：＝．【分析】（1）利用两个角相等证明△BAE∽△EAF，得，即可证明结论；（2）首先证明△DAE∽△CAB，得，∠D＝∠C，再证明△DAF∽△CAE，得，等量代换即可．【解答】证明：（1）∵∠FEA＝∠B，∠BAE＝∠EAF，∴△BAE∽△EAF，∴，∴AE2＝AF•AB，（2）∵∠DAF＝∠CAE，∠FAE＝∠FAE，∴∠DAE＝∠CAF，∵∠FEA＝∠B，∴△DAE∽△CAB，∴，∠D＝∠C，∵∠DAF＝∠EAC，∴△DAF∽△CAE，∴，∴，∴．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．9．（金山区）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝6，E是对角线BD上一点，DE＝4，∠BCE＝∠ABD．（1）求证：△ABD∽△ECB；（2）如果AD：BC＝3：5，求AD的长．【分析】（1）先由AD∥BC得到∠ADB＝∠EBC，然后由∠ABD＝∠ECB得证△ABD∽△ECB；（2）先由AB＝DC得到∠ABC＝∠BCD，再由∠∠ABD＝∠BCE得到∠DBC＝∠DCE，从而得到△DBC∽△DCE，然后利用相似三角形的性质求得BD的长，进而得到BE的长，再由△ABD∽△ECB得到AD的长．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC，又∵∠BCE＝∠ABD，∴△ABD∽△ECB．（2）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝6，∴∠ABC＝∠BCD，又∵∠BCE＝∠ABD，∴∠DBC＝∠DCE∵∠BDC＝∠CDE，∴△BDC∽△CDE，∴，∵DC＝6，DE＝4，∴BD＝9，∴BE＝5，∵△ABD∽△ECB，∴，由AD：BC＝3：5，设AD＝3x，BC＝5x，∴，解得：x＝或x＝﹣（舍），∴AD＝．【点评】本题考查了梯形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，解题的关键是熟练应用等量代换得证∠DBC＝∠DCE．10．（静安区）如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，QP⊥BP，QP交BD于点E．（1）求证：△APQ∽△DBR；（2）当∠QED等于60°时，求的值．【分析】（1）利用正方形的性质可得∠QAP＝∠BDR＝45°，AC⊥BD，根据已知QP⊥BP，利用同角的余角相等可得∠APQ＝∠DBR，即可解答；（2）由（1）可得△APQ∽△DBR，从而可得＝，根据已知可得∠BEP＝60°，设OE 为a，然后在Rt△OEP中，表示出OP＝a，EP＝2a，从而在Rt△BEP中求出BE＝4a，进而求出OB，然后进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∠QAP＝∠BDR＝45°，∴∠BOC＝∠DOC＝90°，OA＝OB，∴∠OBP+∠OPB＝90°，∵QP⊥BP，∴∠QPB＝90°，∴∠OPB+∠QPA＝90°，∴∠APQ＝∠DBR，∴△APQ∽△DBR；（2）解：由（1）可得△APQ∽△DBR，∴＝，∵∠QED＝60°，∴∠BEP＝∠QED＝60°，∴∠OPE＝90°﹣∠BEP＝30°，∴PE＝2OE，OP＝OE，设OE为a，则EP＝2a，OP＝a，在Rt△BEP中，BE＝＝＝4a，∴OB＝BE﹣OE＝4a﹣a＝3a，∴BD＝2OB＝6a，∵OA＝3a，OP＝a，∴AP＝OA+OP＝3a+a，∴＝＝，∴＝．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．11．（虹口区）如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且∠BDF＝∠BAC．（1）求证：EB2＝EF•EC；（2）如果BC＝6，sin∠BAC＝，求FC的长．【分析】（1）先由AD∥BC得到△EAD∽△ECB，从而得到，然后由∠BDF＝∠BAC、∠AEB＝∠DEF得证△EAB∽△EDF，进而得到，最后得到结果；（2）先利用条件得到AC、AB的长，然后利用BC＝2AD得到AD、BD的长，再结合相似三角形的性质得到EB、EC的长，进而得到EF的长和FC的长．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴△EAD∽△ECB，∴，即，∵∠BDF＝∠BAC，∠AEB＝∠DEF，∴△EAB∽△EDF，∴，∴，∴EB2＝EF•EC．（2）解：∵BC＝6，sin∠BAC＝＝，BC＝2AD∴AC＝9，AD＝3，∵∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠BAD＝90°，∴AB＝＝＝3，∴BD＝＝＝3，∵△EAD∽△ECB，∴，∴EC＝AC＝×9＝6，EB＝BD＝×3＝2，∵EB2＝EF•EC，即（2）2＝6EF，∴EF＝4，∴FC＝EC﹣EF＝6﹣4＝2．【点评】本题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟知“8”字模型相似三角形的判定与性质．12．（奉贤区）根据相似形的定义可以知道，如果一个四边形的四个角与另一个四边形的四个角对应相等，且它们各有的四边对应成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．对应相等的角的顶点叫做这两个相似四边形的对应顶点，以对应顶点为端点的边是这两个相似四边形的对应边，对应边的比叫做这两个相似多边形的相似比．（我们研究的四边形都是指凸四边形）（1）某学习小组在探究相似四边形的判定时，得到如下两个命题，请判断它们是真命题还是假命题（直接在横线上填写“真”或“假”）①梯形的中位线将原梯形分成的两个小的梯形相似；假命题；②有一个内角对应相等的两个菱形相似；真命题．（2）已知：如图1，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，以BC为直角边作等腰直角三角形BCD，再以BD为直角边作等腰直角三角形BDE求证：四边形ABDC与四边形CBED相似．（3）已知：如图2，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE、CD相交于点F，点G在AF的延长线上，联结BG、CG．如果四边形ADFE与四边形ABGC相似，且点A、D、F、E分别对应A、B、G、C．求证：AF•BF＝AG•EF．【分析】（1）根据相似多边形的定义，分别从对应边和对应角两个方面判断即可；（2）由等腰直角三角形的性质可知，两个四边形符合相似四边形的定义；（3）根据相似四边形对应角相等得，∠ADF＝∠ABG，∠AEF＝∠ACG，则CD∥BG，BE∥CG，从而证明四边形BGCF是平行四边形，有BF＝CG，再证明△EAF∽△CAG，则，等量代换即可证明结论．【解答】（1）解：①梯形的中位线将原梯形分成的两个小的梯形满足四个角对应线段，但边不是对应成比例，所以原命题是假命题；②有一个内角对应相等的两个菱形满足四个角线段，对应边成比例，所以是真命题，故答案为：假，真；（2）证明：由题意知，∠A＝∠CBE＝90°，∠ACD＝∠CDE＝135°，∠ABD＝∠BCD＝90°．∠CDB＝∠E＝45°，∴四边形ABDC与四边形CBED的四个角对应相等，设AB＝AC＝x，则CD＝x，BD＝DE＝2x，BE＝2x，∴，∴四边形ABDC与四边形CBED的四边对应成比例，∴四边形ABDC与四边形CBED相似；（3）证明：∵四边形ADFE与四边形ABGC相似，且点A、D、F、E分别对应A、B、G、C．∴∠ADF＝∠ABG，∠AEF＝∠ACG，∴CD∥BG，BE∥CG，∴四边形BGCF是平行四边形，∴BF＝CG，∵∠AEF＝∠ACG，∠EAF＝∠CAG，∴△EAF∽△CAG，∴，∴，∴AF•BF＝AG•EF．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似四边形的定义，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，读懂定义，紧扣定义中从边和角两个方面进行考虑是解题的关键．13．（青浦区）已知：如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点E，∠ABD＝∠CBD，DC2＝DE•DB．（1）求证：△AEB∽△DEC；（2）求证：BC•AD＝CE•BD．【分析】（1）根据已知条件先证明△DCE∽△DBC，可得∠DCE＝∠DBC，进而可以证明结论；（2）结合（1）的结论证明△AED∽△BEC，可得∠ADE＝∠BCE，再证明△BDA∽△BCE，进而可得结论．【解答】证明：（1）∵DC2＝DE⋅DB，∴，∵∠CDE＝∠BDC，∴△DCE∽△DBC，∴∠DCE＝∠DBC，∵∠ABD＝∠DBC，∴∠DCE＝∠ABD，∵∠AEB＝∠DEC，∴△AEB∽△DEC；（2）∵△AEB∽△DEC，∴，∵∠AED＝∠BEC，∴△AED∽△BEC，∴∠ADE＝∠BCE，∵∠ABD＝∠DBC，∴△BDA∽△BCE，∴，∴BC•AD＝CE•BD．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BDA∽△BCE．14．（徐汇区）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，射线CD交AB于点D，点E是CD上一点，且∠AEC＝∠ABC，联结BE．（1）求证：△ACD∽△EBD；（2）如果CD平分∠ACB，求证：AB2＝2ED•EC．【分析】（1）根据已知条件先证明△ADE∽△CDB，可得，因为∠ADC＝∠EDB，即可得证；（2）结合（1）证明△EAB是等腰直角三角形，进而可得结论．【解答】证明：（1）∵∠AEC＝∠ABC，∠ADE＝∠BDC，∴△ADE∽△CDB，∴，又∵∠ADC＝∠EDB，∴△ACD∽△EBD；（2）∵△ADE∽△CDB，∴∠DCB＝∠EAB，∵△ACD∽△EBD，∴∠ACD＝∠EBD，∵∠ACB＝90°，∴∠EAB+∠EBD＝∠DCB+∠ACD＝90°，∴∠AEB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠EBD＝∠EAB＝45°，∴EA＝EB，∴△EAB是等腰直角三角形，∴∠EAD＝∠ACE，∠AED＝∠CEA，∵△AED∽△CEA，∴＝，∴AE2＝ED•EC，∵AE2+EB2＝AB2，∴2AE2＝AB2，∴AE2＝AB2，∴AB2＝ED•EC，∴AB2＝2ED•EC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△EAB是等腰直角三角形．15．（黄浦区）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作DF∥CB，分别交AC、AB点E、F，且满足AB•AF＝DF•BC．（1）求证：∠AEF＝∠DAF；（2）求证：＝．【分析】（1）根据DF∥CB，可得∠B＝∠AFD，根据AB•AF＝DF•BC．证明△ABC∽△DAF，进而可以解决问题；（2）由△DCE∽△FAE，可得＝，所以＝，再由△AFE∽△DFA，可得AF2＝EF•DF，由△AEF∽△ACB，得＝，进而可得结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，DF∥CB，∴四边形FBCD是平行四边形，∴DC＝FB，DF＝CB，∵AB•AF＝DF•BC．∴＝，∵DF∥CB，∴∠B＝∠AFD，∴△ABC∽△DAF，∴∠ACB＝∠DAF，∵DF∥CB，∴∠AEF＝∠ACB，∴∠AEF＝∠DAF；（2）证明：∵AB∥CD，∴△DCE∽△FAE，∴＝，∴＝，∴＝，∵∠AEF＝∠DAF，∠AFE＝∠DFA，∴△AFE∽△DFA，∴＝，∴AF2＝EF•DF，∴＝＝＝＝，∵DF∥CB，∴△AEF∽△ACB，∴＝，∴＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质，得到△AEF∽△ACB．。
模拟真题2022年上海杨浦区中考数学真题模拟测评 (A)卷(含答案详解)
2022年上海杨浦区中考数学真题模拟测评 （A ）卷考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、下列计算正确的是（ ）A．1= B=C．3+=D．=2、一根铁丝的长度是7米，如果把它平均分成5段，那么每段的长度是（ ） A ．75米 B ．15C ．57米D ．573、如果::a b c d =，则下列等式：①ab d α=；②ac bd =；③ad bc =．其中成立的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34、如果（x-2）（x+3）=x 2+px+q ，那么p 、q 的值是( ) A ．p=5，q=6 B ．p=1，q=6 C ．p=5，q=-6D ．p=1，q=-65、把一个分数的分子扩大到原来的6倍，分母缩小为原来的12，那么（ ）A ．分数的值缩小为原来的112B ．分数的值扩大到原来的12倍·线○封○密○外C ．分数的值缩小为原来的13D ．分数的值扩大到原来的3倍6、10.2%+等于（ ） A ．1.2%B ．1.02%C ．1.002%D ．100.2%7、如果1a =，2b =，4c =，那么下列说法正确的是（ ） A ．a ，b ，c 的第四比例项是6 B ．2a ，2b ，2c 的第四比例项是18 C ．c 是a ，b 的比例中项D ．b 是a ，c 的比例中项8、20克盐完全溶解在180克水中，盐占盐水的百分比为（ ） A ．20%B ．10%C ．约为11.1%D ．18%9、你知道废电池是一种危害严重的污染源吗？一粒纽扣电池可以污染600000升水，用科学记数法表示为（ ） A ．60.610升B ．6610⨯升C ．5610⨯升D ．46.010⨯升10、如图，如果BAD CAE ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABCADE 的是（ ）A ．B D ∠=∠ B ．AB DEAD BC= C ．C AED ∠=∠ D ．AB ACAD AE= 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、默写：圆的周长公式C =_______（用直径d 表示）；扇形的面积公式S =扇______（用半径r 与圆心角n 表示）．2、如果一个圆的周长为10厘米，那么这个圆的半径等于___________厘米（精确到0.1厘米）．3、在所有能被7整除的正整数中，最小的一个正整数是_______________．4、123中有______个13． 5、如图，在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条宽度相等的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，则可列方程为____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知两个数的最小公倍数与最大公因数的差是21，求这两个数．2、已知n 是正整数，请观察按一定次序排列的数：n ，1n 2+，23n +，34n +，45n +，…探究其中的规律，回答下列问题：（1）第6个数、第7个数分别是什么？ （2）第2008个数是什么？（3）如果这列数无限写下去，越来越接近哪个数？3、计算：3223.75(21)85%3535⨯-+÷． 4、在抗震救灾的捐款活动中，六年级（2）班同学的捐款人数情况如图所示，其中捐款10元的人数为10人．请根据下图回答下列问题：·线○封○密·○外（1）六年级（2）班共有多少名学生？（2）捐款5元的人数是多少？（3）全班平均每人捐款多少元？5、解方程：23:2:125x=．-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据二次根式的性质和运算法则可以选出正确选项．【详解】解：∵=错误；B错误；∵3为有理数，错误；∵2===，∴D正确，故选D ． 【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简方法和合并方法是解题关键． 2、A 【分析】用总长度除以份数即可求解．【详解】 解：根据题意得， 7÷5=75（米）；答：每份的长度是75米． 故选A ． 【点睛】 本题根据除法平均分的意义，列出除法算式进行求解． 3、B 【分析】根据比例的基本性质即可得出结论． 【详解】解：由::a b c d =，可得ad bc =，故①②错误，③正确 故选B ． 【点睛】此题考查的是比例的变形，掌握比例的基本性质是解题关键．·线○封○密○外4、∴p=1，q=-故选：B．【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则及两个多项式相等的条件．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．两个多项式相等时，它们同类项的系数对应相等．6．D【分析】先根据多项式乘以多项式的法则，将（x-2）（x+3）展开，再根据两个多项式相等的条件即可确定p、q的值．【详解】解：∵（x-2）（x+3）=x2+x-6，又∵（x-2）（x+3）=x2+px+q，∴x2+px+q=x2+x-6，∴p=1，q=-6．故选：D．【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则及两个多项式相等的条件．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．两个多项式相等时，它们同类项的系数对应相等．5、B【分析】设这个分数为nm，分子扩大到原来的6倍为6n，分母缩小为原来的12为12m，则这个分数变为：6n÷1 2m=12nm，即分数的值扩大到原来的12倍．【详解】解：设这个分数为n m， 因为分子扩大到原来的6倍为6n ，分母缩小为原来的12为12m ，所以这个分数变为：6n÷12m=12nm， 即分数的值扩大到原来的12倍． 故选B ． 【点睛】 本题考查了分数的性质．在分数中，如果分子扩大n 倍，分母缩小m 倍，则分数的值扩大mn 倍． 6、D 【分析】 由题意把1可以看作100%，根据加法的意义，把两个数合并成一个数即可．【详解】 解：1+0.2%=100.2%． 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查有理数的加法中百分数加法的计算方法，注意掌握把1看作100%，直接进行计算即可． 7、D【分析】根据第四比例项和比例中项的性质作答即可． 【详解】·线○封○密○外解：∵1a =，2b =，4c =，设a ，b ，c 的第四比例项为x ，则有：a c b x=，解得：2481bcxa ，故A 选项错误；设2a ，2b ，2c 的第四比例项为y ，则有：222acb y，解得：2224161bc y a ，故B 选项错误；如果c 是a ，b 的比例中项，则有2c ab =，解得：122c ab，故C 选项错误；如果b 是a ，c 的比例中项，则有2b ac =，解得：142b ac，故D 选项正确； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了第四比例项和比例中项的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 8、B 【分析】根据题意可得盐占盐水的百分比为2010020180⨯%+，求解即可. 【详解】解：盐占盐水的百分比为201001020180⨯%=%+， 故选：B ． 【点睛】本题考查比例，根据题意列出算式是解题的关键． 9、C【分析】根据科学记数法的表示方法，将原数写成10n a ⨯（a 是大于等于1小于10的数）的形式． 【详解】解：5600000610=⨯． 故选：C ． 【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示方法． 10、B 【分析】 根据题意可得EAD CAB ∠=∠，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】 解：∵BAD CAE ∠=∠， ∴EAD CAB ∠=∠， A 、若添加B D ∠=∠，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△AAA ∼△AAA ，故本选项不符合题意；B 、若添加AB DEAD BC=，不能证明ABC ADE ，故本选项符合题意；C 、若添加C AED ∠=∠，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明ABC ADE ，故本选项不符合题意； D 、若添加AB ACAD AE=，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△AAA ∼△AAA ，故本选项不符合题意；故选：B 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． ·线○封○密·○外二、填空题 1、πd 2π360nr 【分析】根据圆的周长公式，扇形的面积公式即可填写本题． 【详解】圆的周长公式 C d π=（用直径d 表示）；扇形的面积公式2360nS r π=扇（用半径r 与圆心角n 表示）． 故答案为：d π；2360nr π． 【点睛】本题考查了圆的周长公式和扇形的面积公式的字母表示形式，熟记和掌握公式是解题的关键． 2、1.6 【分析】根据圆周长公式即可求解． 【详解】101.62r π=≈（厘米）， 故答案为：1.6． 【点睛】本题考查圆的周长，掌握圆的周长公式是解题的关键． 3、7 【分析】一个数能被7整除，这个数一定是7的倍数，即可求解．【详解】解：7的倍数是7，14，……，最小的正整数是7，故答案为：7．【点睛】本题考查数的整除，理解整除的意义是解题的关键．4、7 【分析】 首先，把带分数化成假分数， 17233=；其次，用分数的除法计算即可解得． 【详解】 17233= 71737333÷=⨯= 故答案为：7 【点睛】 本题主要考查了带分数与假分数的互化和分数的除法，解题的关键是掌握分数的除法．5、 (80+2x )(50+2x )=5400 【分析】 整个挂图的面积=挂图的长×挂图的宽=（原矩形风景画的长+2x ）×（原矩形风景画的宽+2x ），列出方程即可． 【详解】 解：∵挂图的长为80+2x ，宽为50+2x ， ∴可列方程为(80+2x )(50+2x )=5400． ·线○封○密·○外故答案为：(80+2x )(50+2x )=5400．【点睛】本题考查了用一元二次方程解决实际问题，用x 的代数式表示挂图的长和宽是解题的关键．三、解答题1、最小公倍数是3×3×3×5×11=14【点睛】本题考查解一元一次方程，求最小公倍数和最简整数比．解答本题要先列出方程求出三个数，然后求出它们的最简整数比和最小公倍数．85．11和2,24和3,28和7,42和21【分析】设a mx =，b my =，m 为最大公因数，(),1x y =，则2112137my m -==⨯=⨯；然后根据题意进行分类讨论求解即可．【详解】解：设a mx =，b my =，m 为最大公因数，(),1x y =，则2112137my m -==⨯=⨯；1m =时，22xy =，则11a =，2b =；21m =时，2xy =，则21a =，42b =；3m =时，8xy =，则3a =，24b =；7m =时，4xy =，则28a =，7b =．所以这两个数分别是11和2,24和3,28和7,42和21．【点睛】本题主要考查因数与倍数，熟练掌握最大公因数与最小公倍数是解题的关键．2、（1）56n +；67n +；（2）20072008n +；（3）1n + 【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）根据题目所给的规律直接进行解答即可；（3）根据规律无限写下去时，另一个加数越来越接近于1，进而问题得解．【详解】解：（1）由n ，1n 2+，23n +，34n +，45n +，可得： 第6个数为56n +，第7个数为67n +； （2）由（1）及题意可得： 第2008个数为20072008n +； （3）由题意所给规律可得当这列式无限写下去时，1m m -无限接近于1， 故这列数无限写下去时，越来越接近于1n +． 【点睛】 本题主要考查分数的性质及代数式，熟练掌握分数的性质及代数式是解题的关键． 3、154（或334） 【分析】 先将小数，带分数化成假分数，百分数化成分数，然后利用乘法分配律化简，再算乘除，最后算加减． 【详解】 解：3223.752185%3535⎛⎫⨯-+÷ ⎪⎝⎭ 1585453103515107⎛⎫=⨯-+÷ ⎪⎝⎭ 1515854541355173100=⨯-⨯+⨯ ·线○封○密·○外392 414 54=-+154=【点睛】本题考查了有理数的混合计算，熟悉相关计算法则是解题的关键．4、（1）40；（2）4；（3）30.5元【分析】（1）把六年级（2）班捐款的总人数看作单位“1”，（1）可计算出捐款10元所占的圆心角占整个圆心角的几分之几，然后用10除以所得到的分数就是六年级（2）班的捐款的总人数；（2）用单位“1”减去捐款10元的圆心角占整个圆心角的分数再减去捐款20元的圆心角占整个圆心角的分数减去15%再减去18就是捐款5元的占捐款总人数的分数，最后再用捐款的总人数乘捐款5元的占总人数的分数即可得到捐款5元的人数是多少，列式解答即可得到答案；（3）可用捐款总人数乘捐款20元占捐款总人数的分数就是捐款20元的人数，用捐款的总人数乘15%就是捐款50元的人数，用捐款的总人数乘18就可得到捐款100元的人数，然后再用得到的人数乘相应的钱数，相加后再除以捐款的人数就是全班平均每人捐款的钱数，列式解答即可得到答案．【详解】（1）9013604=，110404÷=答：六（2）班共有40名学生；（2）9013511115%360360810----=，140410⨯=答：捐款5元的人数是4人；（3）捐5元的人数为4人，捐10元的人数为10人，捐20元的人数为1354015360⨯=（人），捐50元的人数为15406100⨯=（人）， 捐100元的人数为14058⨯=（人） 捐款总额为：5×4＋10×10＋20×15＋50×6＋100×5＝1220（元）． 平均每人捐款为：1220÷40＝30.5（元） 答：全班平均每人捐款30.5元． 【点睛】 本题主要考查条形统计图和扇形统计图，解答此题的关键是找准单位“1”，根据捐款10元的人数有10人确定全班捐款的总人数，然后再列式解答即可． 5、15x = 【分析】 先根据比例基本性质：两内项之积等于两外项之积，化简方程，再依据等式的性质，方程两边同时除以125即可求解． 【详解】 由23:2:125x =得： 123125x =⨯， 121212312555x ÷=⨯÷， 15x =． 【点睛】 本题考查了依据等式的性质以及比例基本性质解方程，即等式两边同加上、同减去、同乘上或同除以一个不为0的数，等式仍相等． ·线○封○密○外。
上海市杨浦区2020-2021学年九年级(上)期末数学试卷(一模) 解析版
2020-2021学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．关于抛物线y＝x2﹣x，下列说法中，正确的是（）A．经过坐标原点B．顶点是坐标原点C．有最高点D．对称轴是直线x＝12．在△ABC中，如果sin A＝，cot B＝，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形3．如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）A．35°B．45°C．55°D．65°4．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．下列命题中，正确的是（）A．如果为单位向量，那么＝||B．如果、都是单位向量，那么＝C．如果＝﹣，那么∥D．如果||＝||，那么＝6．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，下列说法中，错误的是（）A．S△AOB＝S△DOC B．＝C．＝D．＝二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：3（+2）﹣2（﹣）＝．8．已知抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向上，那么a的取值范围是．9．如果小明沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了米．10．已知线段AB的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么线段AP的长是厘米．11．已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，那么△ABC的面积等于．12．已知抛物线y＝x2，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2，2），那么平移后的抛物线的表达式是．13．如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝﹣x2+x+，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为米．14．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，＝，联结DE交对角线AC 于点O，那么的值为．15．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，BC＝4，那么cos∠GCB＝．16．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cot B＝，正方形DEFG的顶点G、F 分别在AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长为．17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD 中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tan B＝，那么边AD的长为．18．如图，已知在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点B1、C1处，如果BB1∥AC，联结C1B1交边AB于点D，那么的值为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3）、C（2，3）．（1）求这个函数的解析式及对称轴；（2）如果点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在这个二次函数图象上，且x1＜x2＜0，那么y1 y2．（填“＜”或“＞”）21．（10分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点M为边BC上一点，BM＝BC，联结AM交DE于点N．（1）求的值；（2）设＝，＝，如果＝，请用向量、表示向量．22．（10分）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在△ABC中，测得∠B＝64°，∠C＝45°，BC＝50米，求河宽（即点A到边BC的距离）（结果精确到0.1米）．（参考数据：≈1.41，sin64°＝0.90，cos64°＝0.44，tan64°＝2.05）23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．（1）求证：＝；（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点P（1，n）在该抛物线上．（1）如果点P与点C重合，求线段AP的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，tan∠OPQ＝3，求点Q的坐标；（3）如果直线PB与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F．（1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值；（2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长．2020-2021学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．关于抛物线y＝x2﹣x，下列说法中，正确的是（）A．经过坐标原点B．顶点是坐标原点C．有最高点D．对称轴是直线x＝1【分析】先用配方法把二次函数化成顶点式，即可判断B、D，由a的正负判断有最大值和最小值即可判断C，看（0，0）是否满足y＝x2﹣x即可判断A．【解答】解：∵y＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣，∴顶点坐标是：（，﹣），对称轴是直线x＝，∵a＝1＞0，∴开口向上，有最小值，∵当x＝0时，y＝x2﹣x＝0，∴图象经过坐标原点，故选：A．2．在△ABC中，如果sin A＝，cot B＝，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形【分析】求出∠A，∠B的值即可判断．【解答】解：∵sin A＝，cot B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：D．3．如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】根据两点之间的仰角与俯角正好是两条水平线夹角的内错角，应相等即可得结论．【解答】解：因为从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等．所以小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，点B处小明看点A处小丽的仰角是35°．故选：A．4．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【解答】解：当，则DE∥BC，故选项A不符合题意；当＝，则DE∥BC，故选项B符合题意；当＝，则DE∥BC，故选项C不符合题意；由于＝，DE∥BC不一定成立，选项D不符合题意．故选：B．5．下列命题中，正确的是（）A．如果为单位向量，那么＝||B．如果、都是单位向量，那么＝C．如果＝﹣，那么∥D．如果||＝||，那么＝【分析】根据平面向量的定义、共线向量的定义以及平面向量的模的定义进行分析判断．【解答】解：A、如果为单位向量，且与方向相同时，那么＝||，故本选项不符合题意．B、如果、都是单位向量且方向相同，那么＝，故本选项不符合题意．C、如果＝﹣，则向量与﹣的大小相等、方向相反，那么∥，故本选项符合题意．D、若||＝||，那么与的模相等，但是方向不一定相等，即＝不一定成立，故本选项不符合题意．故选：C．6．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，下列说法中，错误的是（）A．S△AOB＝S△DOC B．＝C．＝D．＝【分析】如图，利用三角形面积公式得到S△ABC＝S△DCB，则S△AOB＝S△DOC，于是可对A 选项进行判断；根据平行线分线段成比例定理得到＝，再利用三角形面积公式得到＝，于是可对B选项进行判断；证明△AOD∽△COB，利用相似三角形的性质可对C选项进行判断；利用两平行线的距离的定义得到点B到AD的距离等于点A 到BC的距离，然后根据三角形面积公式可对D选项进行判断．【解答】解：如图，∵AD∥BC，∴S△ABC＝S△DCB，即S△AOB+S△OBC＝S△OBC+S△DOC，S△AOB＝S△DOC，所以A选项的结论正确；∵AD∥BC，∴＝，∵＝，∴＝；所以B选项的结论正确；∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴＝（）2，所以C选项的结论错误；∵AD∥BC，∴点B到AD的距离等于点A到BC的距离，∴＝，所以D选项的结论正确；故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：3（+2）﹣2（﹣）＝+8．【分析】乘法结合律也同样应用于平面向量的计算．【解答】解：原式＝3+6﹣2+2）＝+8．故答案是：+8．8．已知抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向上，那么a的取值范围是a＜1．【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数1﹣a＞0．【解答】解：因为抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向上，所以1﹣a＞0，即a＜1．故答案为：a＜1．9．如果小明沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了50米．【分析】设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可．【解答】解：设他沿着垂直方向升高了x米，∵坡比为1：2.4，∴他行走的水平宽度为2.4x米，由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302，解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米，故答案为：50．10．已知线段AB的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么线段AP 的长是（6﹣2）厘米．【分析】先根据黄金分割的定义求出BP的长，即可得出答案．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜BP，AB＝4厘米，∴BP＝AB＝（2﹣2）厘米，∴AP＝AB﹣BP＝4﹣（2﹣2）＝（6﹣2）厘米，故答案为：（6﹣2）．11．已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，那么△ABC的面积等于3．【分析】根据抛物线y＝x2﹣4x+3，可以求得该抛物线与x轴和y轴的交点，然后即可得到点A、B、C的坐标，从而可以求得△ABC的面积．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3），∴当y＝0时，x＝1或x＝3，当x＝0时，y＝3，∴点A、B、C的坐标为分别为（1，0），（3，0），（0，3），∴AB＝2，∴△ABC的面积是：＝3，故答案为：3．12．已知抛物线y＝x2，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2，2），那么平移后的抛物线的表达式是y＝x2﹣2．【分析】可设所求的函数解析式为y＝x2+k，把A坐标代入可得平移后的抛物线．【解答】解：设所求的函数解析式为y＝x2+k，∵点A（2，2）在抛物线上，∴2＝22+k解得：k＝﹣2，∴平移后的抛物线的表达式是y＝x2﹣2．故答案为：y＝x2﹣2．13．如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝﹣x2+x+，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为3米．【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可．【解答】解：由题意可得：y＝﹣x2+x+＝﹣（x2﹣8x）+＝﹣（x﹣4）2+3，故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．故答案为：3．14．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，＝，联结DE交对角线AC 于点O，那么的值为．【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则利用比例的性质和等量代换得到＝，接着证明△AOE∽△COD，然后利用相似比得到的值．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵＝，∴＝，∴＝，∵AE∥CD，∴△AOE∽△COD，∴＝＝．故答案为．15．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，BC＝4，那么cos∠GCB＝．【分析】延长CG交AB于D，如图，根据三角形重心的定义和性质得到DG＝CG＝1，AD＝BD，再利用直角三角形斜边上的中线性质得到CD＝BD＝AD＝3，所以∠DCB＝∠B，然后在Rt△ACB中利用余弦的定义求出cos B的值，从而得到cos∠GCB的值．【解答】解：延长CG交AB于D，如图，∵点G是△ABC的重心，∴DG＝CG＝1，AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD＝AD＝2+1＝3，∴AB＝6，∠DCB＝∠B，在Rt△ACB中，cos B＝＝＝，∴cos∠GCB＝．故答案为．16．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cot B＝，正方形DEFG的顶点G、F 分别在AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长为．【分析】先利用余切的定义得到cot B＝＝，则可设BC＝t，则AC＝2t，AB＝t，所以t＝10，求出得到BC＝2，AC＝4，过C点作CH⊥AB于H，交GF于M，如图，设正方形的边长为x，利用面积法得到CH＝4，则CM＝8﹣x，然后证明△CGF∽△CAB，则利用相似比得到＝，从而解方程求出x即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∴cot B＝＝，设BC＝t，则AC＝2t，∴AB＝＝t，∴t＝10，解得t＝2，∴BC＝2，AC＝4，过C点作CH⊥AB于H，交GF于M，如图，设正方形的边长为x，易得四边形DGMH为矩形，∴MH＝DG＝x，∵CH×AB＝×AC×BC，∴CH＝＝4，∴CM＝CH﹣MH＝8﹣x，∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴＝，即＝，解得x＝，即正方形DEFG的边长为．17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD 中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tan B＝，那么边AD的长为9．【分析】如图，过端午A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．解直角三角形求出AE，DE即可解决问题【解答】解：如图，过端午A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．在Rt△ABH中，tan B＝＝，∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k＝10，∴k＝2，∴AH＝6，BH＝8，∵BC＝12，∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠B，在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝，∵CD＝5，∴DE＝3，CE＝4，∴AE＝＝＝6，∴AD＝AE+DE＝9．故答案为：9．18．如图，已知在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点B1、C1处，如果BB1∥AC，联结C1B1交边AB于点D，那么的值为．【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质可求∠B1AB＝30°，由直角三角形的性质可求DB1＝DE，DB＝DE﹣DE，即可求解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB1于E，∵∠B＝45°，∠C＝60°，∴∠CAB＝75°，∵BB1∥AC，∴∠CAB＝∠ABB1＝75°，∵将△ABC绕点A旋转，∴AB＝AB1，∠AB1C1＝∠ABC＝45°，∴∠AB1B＝∠ABB1＝75°，∴∠B1AB＝30°，又∵DE⊥AB1，∠AB1C1＝45°，∴AD＝2DE，AE＝DE，DE＝B1E，∴AB1＝DE+DE＝AB，DB1＝DE，∴DB＝AB﹣AD＝DE﹣DE，∴＝＝，故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【分析】把特殊角的三角函数值代入，根据二次根式的混合运算法则计算，得到答案．【解答】解：原式＝＝＝＝4﹣2．20．（10分）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3）、C（2，3）．（1）求这个函数的解析式及对称轴；（2）如果点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在这个二次函数图象上，且x1＜x2＜0，那么y1＜y2．（填“＜”或“＞”）【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）可根据二次函数增减性进行解答．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．根据题意，得，解得．∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1；（2）由（1）可知，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∵点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在这个二次函数图象上，且x1＜x2＜0，∴y1＜y2，故答案为＜．21．（10分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点M为边BC上一点，BM＝BC，联结AM交DE于点N．（1）求的值；（2）设＝，＝，如果＝，请用向量、表示向量．【分析】（1）利用平行线截线段成比例解答；（2）根据已知条件和三角形法则求得，然后利用（1）的结论求向量．【解答】（1）解：∵BM＝BC，∴＝．∵DE∥BC，∴＝，∴＝＝．即：的值是；（2）解：∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣．∵DE∥BC，＝，∴＝＝．∴DN＝BM．由（1）知，＝，则NE＝2DN．∴＝2＝2×＝﹣．22．（10分）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在△ABC中，测得∠B＝64°，∠C＝45°，BC＝50米，求河宽（即点A到边BC的距离）（结果精确到0.1米）．（参考数据：≈1.41，sin64°＝0.90，cos64°＝0.44，tan64°＝2.05）【分析】作AD⊥BC与D，由三角函数得出CD＝AD，AD＝BD，由已知条件得出关于AD的方程，解方程即可．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D．如图所示：在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴tan C＝＝1，∴CD＝AD，在Rt△ABD中，∵∠B＝64°，∴tan∠B＝＝2.05，∴BD＝BD，∵BC＝BD+CD＝50米，∴AD+AD＝50米，解得：AD≈33.6（米）．答：河的宽度约为33.6米．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．（1）求证：＝；（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．【分析】（1）根据平行线的性质和等量代换证明∠DAF＝∠BCD，则可证明△DAF∽△BCD，利用相似比得到＝，再证明△ADE∽△CBE，则＝，然后利用等量代换得到结论；（2）证明△DCE∽△DBC，则根据相似比得DC2＝DE•DB，再利用（1）中的结论得到＝，利用等量代换得到DC2＝DF•BE，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADF，∠ADC+∠BCD＝180°，∵AF∥CD，∴∠ADC+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠BCD，∴△DAF∽△BCD，∴＝，∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∴＝，∴＝；（2）∵∠ADB＝∠ACD，∠ADB＝∠CBD，∴∠ECD＝∠CBD，而∠CDE＝∠BDC，∴△DCE∽△DBC，∴＝，∴DC2＝DE•DB，∵＝，∴DE•DB＝DF•BE，∴DC2＝DF•BE，即线段CD是线段DF、BE的比例中项．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点P（1，n）在该抛物线上．（1）如果点P与点C重合，求线段AP的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，tan∠OPQ＝3，求点Q的坐标；（3）如果直线PB与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．【分析】（1）由题意，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4经过点C（1，0），利用待定系数法求出m，再求出点P的坐标即可解决问题．（2）如图1中，延长PQ交X轴于F，设F（t，0）．证明OF＝PF，由此构建方程求出t，再求出直线PF的解析式，构建方程组确定交点坐标即可．（3）构建不等式组，解决问题即可．【解答】解：（1）由题意，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4经过点C（1，0），∴（1﹣m）2＝4，解得m＝3或﹣1（舍弃），∴A（3，4），P（1，0），∴P A＝＝2．（2）∵抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4经过点C（0，0），∴m2＝4，解得m＝2或﹣2（舍弃），∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，当x＝1时，n＝3，∴P（1，3），如图1中，延长PQ交X轴于F，设F（t，0）．∵P（1，3），∴tan∠POF＝3，∵tan∠OPQ＝3，∴tan∠POF＝tan∠OPQ，∴∠POF＝∠OPQ，∴OF＝PF，∴t2＝32+（t﹣1）2，∴t＝5，∴F（5，0），∴直线PF的解析式为y＝﹣x+，由，解得（即点P）或，∴Q（，）．（3）如图2中，由题意，，解得＜m＜2且m≠1．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F．（1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值；（2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长．【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H．解直角三角形求出DH，AH即可解决问题．（2）如图2中，过点A作AT⊥AC，延长FE交AT于T，直线DE交AT于K，交AC的延长线于R．想办法证明AR＝AT＝8，再证明△ACD∽△TAF，可得＝＝，推出AF＝2CD＝2x，可得结论．（3）利用△CFD与△ADH相似，可得＝或＝，由此构建方程求出CD，当点F在下方时，同法可求CD．【解答】解：（1）如图1中，过点D作DH⊥AB于H．∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝4，∵CD＝DB＝2，∠B＝45°，∠DHB＝90°，∴DH＝BH＝DB＝，∴AH＝AB﹣BH＝3，∴tan∠DAB＝＝．（2）如图2中，过点A作AT⊥AC，延长FE交AT于T，直线DE交AT于K，交AC的延长线于R．∵AT⊥AC，BC⊥AC，∴AT∥BC，∴∠ADC＝∠DAK，∠EDB＝∠AKD，∵∠ADC＝∠EDB，∴∠DAK＝∠DKA，∴DA＝DK，∵∠R+∠DKA＝90°，∠DAC+∠DAK＝90°，∴∠DAC＝∠R，∴DA＝DR，∵DC⊥AR，∴AC＝CR＝4，∵∠AFE+∠CAD＝90°，∠AKE+∠R＝90°，∴∠AFE＝∠AKE，∵∠EAF＝∠EAK＝45°，AE＝AE，∴△AEF≌△AEK（AAS），∴AF＝AK，∵∠RAK＝∠TAF＝90°，∠AKR＝∠AFT，∴△AKR≌△AFT（ASA），∴AR＝AT＝8，∠R＝∠T＝∠DAC，∵∠ACD＝∠TAF，∴△ACD∽△TAF，∴＝＝，∴AF＝2CD＝2x，∵CF+AF＝4，∴y+2x＝4，∴y＝4﹣2x（0＜x≤2）．（3）如图3中，连接DF，作DH⊥AB于H．∵∠GAE＝∠DAH，∠AGE＝∠AHD，∴△AGE∽△AHD，∵△CDF与△AGE相似，∴△CFD与△ADH相似，∴＝或＝，∴＝或＝，整理得，x2+8x﹣16＝0或x2﹣16x﹣16＝0，解得，x＝4﹣4或﹣4﹣4（舍弃）或8﹣4或8+4（舍弃），∴CD＝4﹣4或8﹣4，当点F在下方时，同法可得，CD＝，综上所述，满足条件的CD的值为4﹣4或8﹣4或．。
备考练习2022年上海杨浦区中考数学模拟真题练习 卷(Ⅱ)(含详解)
2022年上海杨浦区中考数学模拟真题练习 卷（Ⅱ） 考试时间：90分钟；命题人：教研组 考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如果(x －2)(x ＋3)=x 2＋px ＋q ，那么p 、q 的值是（ ）A ．p=5，q=6B ．p=1，q=－6C ．p=1，q=6D ．p=5，q=－6 2、下列说法中错误的是（ ） A ．如果整数a 是整数b 的倍数，那么b 是a 的因数 B ．一个合数至少有3个因数 C ．在正整数中，除2外所有的偶数都是合数 D ．在正整数中，除了素数都是合数 3、某商品的价格提高16后，再降低16，结果与原价相比（ ）A ．不变B ．降低56C ．降低136D ．无法比较 4、x 是正整数，x 〈〉表示不超过x 的素数的个数．如：74〈〉=，不超过7的素数有2、3、5、7共4个，那么2395134188〈〈〉+〈〉+〈〉⨯〈〉⨯〈〉〉的值是（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12·线○封○密○外5、已知三个数,,a b c 满足15ab a b =+，16bc b c =+，17ca c a =+，则abc ab bc ca ++的值是（ ） A ．19 B ．16 C ．215 D ．1206、与长方体中任意一条棱既不平行也不相交的棱有（ ）A ．2条B ．4条C ．6条D ．8条7、下列分数中，最简分数是（ ）A ．69 B ．24 C ．46 D ．298、下列分数中不能化成有限小数的是（ ）A ．916B ．38 C ．518 D ．7509、下列四组数不能组成比例的是（ ）A ．1、2、3、4B ．0.2、0.3、0.4、0.6C ．23、34、43、112D ．10、15、20、3010、在ABC 中，90ACB ︒∠=，1BC =，=3AC ，将ABC 以点C 为中心顺时针旋转90︒，得到DEC ，连接BE 、AD ．下列说法错误的是（ ）A ．6ABD S =B ．3ADE S ∆=C ．BE AD ⊥ D ．135AED ︒∠=第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、等边三角形是轴对称图形，它的对称轴共有 ___条．2、某零件实际长度为20mm，如果量出其在图纸上长度为40cm，则绘制这个零件的比例尺为________．3、某工厂三月份付水电费320元，四月份付水电费280元，四月份水电费比三月份水电线费节省了____________（填百分比）．4、扇形的弧长是31.4米，半径是10米，那么扇形的面积是____________平方米．5、一瓶饮料，连瓶重364千克，将饮料倒出14，此时连瓶重255千克．则瓶重________千克．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、某校对2400名在校学生进行每周上网的情况调查（如图），A为每天上网的学生，B为从不上网的学生，C为偶尔上网的学生．请根据图上信息，回答下列问题：（1）B类学生占全校学生的百分之几？（结果精确到1个百分点）（2）偶尔上网的学生有多少人？2、如果3121211444442+==+=+，241313113666632+===+=+．求58、35．利用上述规律将这两个分数拆成不同单位的分数之和．3、某商店以每件200元的价格购进一批服装，加价40%后作为定价出售．（1）求加价后每件服装的售价是多少元？（2）促销活动期间，商店对该服装打八折出售，这时每件服装还可盈利多少元？4、设a，b，c，d为自然数，且a b c d<<<，11111a b c d+++=，求a，b，c，d．·线○封○密·○外5、求x的值：12:1.51:23x ．-参考答案-一、单选题1、B【分析】先根据多项式乘以多项式的法则，将（x-2）（x+3）展开，再根据两个多项式相等的条件即可确定p、q的值．【详解】解：∵（x-2）（x+3）=x2+x-6，又∵（x-2）（x+3）=x2+px+q，∴x2+px+q=x2+x-6，2、D【分析】根据题意，逐项进行分析即可，进而得出结论．【详解】A．根据因数和倍数的意义可知：如果整数a是整数b的倍数，那么b是a的因数，故正确；B．根据合数的含义：除了1和它本身外，还能被其他整数整除，得出：一个合数至少有3个因数，故正确；C．因为正整数不包括0，所以除2外所有的偶数，都至少有1，2和本身3个约数，所以都是合数，说法正确；D．在正整数中，1既不是素数也不是合数，故在正整数中，除了素数就是合数，说法错误．故选：D．【点睛】本题主要考查了素数、合数、因数以及倍数，熟练掌握其概念是解题的关键．3、C【分析】设商品原价为单位“1”，然后根据题意可直接进行求解．【详解】 解：设商品原价为单位“1”，由题意得： 113511+16636⎛⎫⎛⎫⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则有比原价相比为11363536-=； 故选C ． 【点睛】 本题主要考查分数的实际应用，熟练掌握分数的实际应用是解题的关键． 4、C 【分析】 根据题意所给定义新运算及素数与合数的概念直接进行求解． 【详解】 解：23〈〉表示不超过23的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23共九个，则23=9〈〉； 95〈〉表示不超过95的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89共24个，则有95=24〈〉， 由1=0〈〉可得134188=0〈〉⨯〈〉⨯〈〉； 2395134188=33=11∴〈〈〉+〈〉+〈〉⨯〈〉⨯〈〉〉〈〉； 故选C ．·线○封○密·○外【点睛】本题主要考查素数与合数，熟练掌握素数与合数的概念是解题的关键．5、A【分析】先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】 解：∵15ab a b =+，16bc b c =+，17ca c a =+， ∴5a b ab +=，6b c bc +=，7c a ca+=， ∴115a b +=，116b c +=，117a c +=， ∴2（111a b c ++）＝18， ∴111a b c ++＝9， ∴19abc ab bc ca =++， 故选A ．【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是找出各式之间的关系，本题属于中等题型．6、B【分析】根据题意，画出图形即可得出结论．【详解】解：看图以AB 为例，与它既不平行也不相交的棱有HD 、GC 、HE 和GF ，共有4条，故选B．【点睛】此题考查的是长方体的特征，根据题意画出图形是解决此题的关键．7、D【分析】根据最简分数是分子，分母只有公因数1的分数即可得出答案．【详解】∵622142=== 934263，，，∴29是最简分数，故选：D．【点睛】本题主要考查最简分数，掌握最简分数的定义是解题的关键．8、C【分析】把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不能含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．【详解】解：916分母中只含有质因数2，所以能化成有限小数；3 8分母中只含有质因数2，所以能化成有限小数；·线○封○密○外518分母中含有质因数3．所以不能化成有限小数；750分母中只含有质因数2和5，所以能化成有限小数；故选：C．【点睛】本此题主要考查什么样的分数可以化成有限小数，根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不能含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．9、A【分析】根据比例的定义去判断下列选项能否组成比例．【详解】A选项不能；B选项可以，0.2:0.30.4:0.6=；C选项可以，2341 ::1 3432=；D选项可以，10:1520:30=．故选：A．【点睛】本题考查比例的定义，解题的关键是利用比例的定义去判断．10、D【分析】根据旋转的性质可得CD=AC，再根据三角形的面积公式即可对A项进行判断；先求出AE的长，进而可对B项进行判断；如图，由旋转的性质和等腰直角三角形的性质可分别得出∠1、∠2、∠3、∠4的度数，进而可对C项进行判断；由于∠CED≠45°，即可对D项进行判断.【详解】如图，延长BE 交AD 于点F ，∵ABC 以点C 为中心顺时针旋转90︒，得到DEC ，90ACB ︒∠=，1BC =，=3AC ，∴CD=AC =3，BC=EC =1，AE =2，∴BD =1+3=4，∠1=∠2=45°，∠4=∠ADC =45°， ∴14362ABD S =⨯⨯=，12332ADE S ∆=⨯⨯=，∠3=∠2=45°， ∴∠AFE =90°，即BE AD ⊥， ∴A、B 、C 三项都是正确的；而∠CED ≠45°，∴135AED ︒∠≠，∴D 选项是错误的.故选D.【点睛】 本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质和三角形的面积等知识，难度不大，属于常考题型，熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的性质是关键. 二、填空题 1、3 【分析】 根据轴对称图形和对称轴的概念可得答案． 【详解】 ·线○封○密○外解：等边三角形3条角平分线所在的直线是等边三角形的对称轴，∴有3条对称轴，故答案为：3．【点睛】此题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴．2、20:1【分析】求比例尺，根据比例尺的含义：图上距离和实际距离的比叫做比例尺，进行解答即可．【详解】解：40cm ：20mm =4000mm ：20mm=20：1；答：绘制这个零件的比例尺为20：1．故答案为：20：1【点睛】本题考查比例尺，解答此题关键在于掌握图上距离、比例尺和实际距离三者的关系并正确计算． 3、12.5%【分析】根据题意列出算式计算即可．【详解】320280100%12.5%320-⨯= 故答案为：12.5%．【点睛】本题主要考查了百分比的应用，熟练掌握百分比在实际问题中的应用是解题的关键．4、157【分析】根据扇形的面积公式即可求解．【详解】 解：扇形的面积为131.410=1572⨯⨯（平方米）， 故答案为：157． 【点睛】 本题考查扇形的面积公式，掌握扇形面积的求解方法是解题的关键． 5、7120 【分析】 根据题意可直接列式进行求解．【详解】 解：由题意得： 倒出的饮料重为3276514520-=（千克），则饮料重为71271=2045÷（千克）， ∴瓶重为3277614520-=（千克）； 故答案为7120． 【点睛】 本题主要考查分数运算的应用，熟练掌握分数的运算是解题的关键． 三、解答题 ·线○封○密·○外1、（1）33% ；（2）1000人【分析】（1）已知圆周角是360°，B类学生占圆周角的度数为120°，用120°除以360°乘以100%即可得B类学生占总人数的百分之几；（2）根据题意先求出偶尔上网的学生占圆周角的度数360°－90°－120°=150°，再除以360°，然后乘以总人数2400即可得解．【详解】解：（1）120°÷360°×100%≈33%答：B类学生占全校学生的33%．（2）（360°－90°－120°）÷360°×2400=150°÷360°×2400=512×2400=1000（人）答：偶尔上网的学生有1000人．【点睛】本题考查了扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，掌握各部分占总体的百分比．2、（1）511882=+；（2）3115102=+【分析】分子为1的分数叫做单位分数，将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和，要注意“不同的单位分数”，先将分子进行拆分，有的要进行化简，可得出答案．【详解】解：514118882+==+． 36151511510101010102+===+=+． 【点睛】 本题考查了分数的拆分．了解单位分数的概念是解题的关键． 3、（1）280元；（2）24元 【分析】 （1）根据进价×（1+40%）计算即可； （2）先求出商品打八折出售的价钱，然后再减去成本即可求出答案． 【详解】 （1）()200140%280⨯+=（元） 答：加价后每件服装的售价是280多少元； （2）28080%20022420024⨯-=-=（元） 答：这时每件服装还可盈利24元． 【点睛】 本题主要考查百分数的应用，掌握百分数的计算是解题的关键． 4、()(),,,2,4,6,12a b c d =；()2,4,5,20；()2,3,7,42；()2,3,8,24；()2,3,9,18；()2,3,10,15 【分析】 根据a b c d <<<得到1111a b c d >>>，由大小关系得到111141a b c d a =+++<，从而得到a ，依次类推得到b 、c ，最后计算判断即可． 【详解】 ∵a b c d <<<，·线○封○密·○外∴1111a b c d >>>， ∴1111111141a b c d a a a a a =+++<+++=， ∴4a <，∵a ，b ，c ，d 为自然数，∴a =2或3，当2a =时，111132b c d b=++<， ∴6b <，∴b =3或4或5，当3b =时，11126c d c=+<， ∴12c <，∴c =4或5或6或7或8或9或10或11， 由11111a b c d+++=，依次代入经过计算可得：()(),,,2,4,6,12a b c d =，()2,4,5,20，()2,3,7,42，()2,3,8,24，()2,3,9,18，()2,3,10,15．【点睛】本题考查了分数的比较大小及计算，熟练掌握分数的计算法则是解题的关键．5、12x = 【分析】（2）根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，化简方程，再依据等式的性质解方程即可【详解】 解：12:1.51:23x =4x=212x 【点睛】 题主要考查学生依据等式的性质以及比例的基本性质解方程的能力，解方程时注意对齐等号；知识点：比例基本的性质是：两内项之积等于两外项之积． ·线○封○密○外。
2022学年上海杨浦区毕业升学考试模拟卷数学卷(含答案解析)
2022学年上海杨浦区毕业升学考试模拟卷数学卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、测试卷卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过点A ，B ，C ．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x =－2时，y 取最大值；③当m <4时，关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c =m 必有两个不相等的实数根；④直线y=kx+c (k ≠0)经过点A ，C ，当kx+c> ax 2＋bx ＋c 时，x 的取值范围是－4<x <0；其中推断正确的是 （ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④2．人的头发直径约为0.00007m ，这个数据用科学记数法表示（ ）A ．0.7×10﹣4B ．7×10﹣5C ．0.7×104D ．7×1053．如图，Rt AOB 中，AB OB ⊥，且AB OB 3==，设直线x t =截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的( )A ．B ．C ．D ．4．若关于x 的一元二次方程x （x+2）=m 总有两个不相等的实数根，则（ ）A ．m ＜﹣1B ．m ＞1C ．m ＞﹣1D ．m ＜15．如图，小明从A 处出发沿北偏西30°方向行走至B 处，又沿南偏西50°方向行走至C 处，此时再沿与出发时一致的方向行走至D 处，则∠BCD 的度数为（ ）A ．100°B ．80°C ．50°D ．20° 6．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点E ，点G 是AC 上的任意一点，延长AG 交DC 的延长线于点F ，连接,,GC GD AD .若25BAD ∠=︒，则AGD ∠等于（ ）A ．55︒B ．65︒C ．75︒D ．85︒7．如图图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，∠BAC 的平分线交BD 于E ，交BC 于F ，BH ⊥AF 于H ，交AC 于G ，交CD 于P ，连接GE 、GF ，以下结论：①△OAE ≌△OBG ；②四边形BEGF 是菱形；③BE ＝CG ；④PG 2AE=﹣1；⑤S △PBC ：S △AFC ＝1：2，其中正确的有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．59．若点M （﹣3，y 1），N （﹣4，y 2）都在正比例函数y=﹣k 2x （k≠0）的图象上，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1=y 2D ．不能确定10．下列事件中，必然事件是（ ）A ．若ab=0，则a=0B ．若|a|=4，则a=±4C．一个多边形的内角和为1000°D．若两直线被第三条直线所截，则同位角相等二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图甲，对于平面上不大于90°的∠MON，我们给出如下定义：如果点P在∠MON的内部，作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足分别为点E、F，那么称PE+PF的值为点P相对于∠MON的“点角距离”，记为d（P，∠MON）．如图乙，在平面直角坐标系xOy中，点P在坐标平面内，且点P的横坐标比纵坐标大2，对于∠xOy，满足d（P，∠xOy）=10，点P的坐标是_____．12．如图，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别是正六边形ABCDEF六条边的中点，连接AB1，BC1，CD1，DE1，EF1，FA1后得到六边形GHIJKL，则S六边形GHIJKI：S六边形ABCDEF的值为____.13．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，延长连心线O1O2交⊙O2于点P，联结PA、PB，若∠APB=60°,AP=6，那么⊙O2的半径等于________．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在边AB上，AD=BE，AE=BC，由此可以知道△ADE旋转后能与△BEC重合，那么旋转中心是_____．15．如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是_____．16．不等式组13210xx-≤⎧⎨-<⎩的解集为_____．17．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=______m．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度＝1：3，AD＝9米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，10≈3.16）19．（5分）问题探究（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC=3，DE=CD=1,连接AD、BE,求ADBE的值；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4，过点A作AM⊥AB，点P是射线AM上一动点，连接CP，做CQ⊥CP交线段AB于点Q，连接PQ，求PQ的最小值；（3）李师傅准备加工一个四边形零件，如图3，这个零件的示意图为四边形ABCD ，要求BC=4cm ，∠BAD=135°，∠ADC=90°，AD=CD ，请你帮李师傅求出这个零件的对角线BD 的最大值．图320．（8分）一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx+b （k≠0）的图象与反比例函数y=m x （m≠0）的图象交于第二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于点C ，点A （﹣2，3），点B （6，n ）．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)求△AOB 的面积；(3)若M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）是反比例函数y=m x（m≠0）的图象上的两点，且x 1＜x 2，y 1＜y 2，指出点M 、N 各位于哪个象限．22．（10分）如图，已知AB 是O 的直径，点C 、D 在O 上，60D ∠=且6AB =，过O 点作OE AC ⊥，垂足为E．()1求OE的长；()2若OE的延长线交O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．23．（12分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交点G，求证：AG＝CG．24．（14分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水AB=，水面最深地方的高度为4cm，求平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水管道有水部分的水面宽16cm这个圆形截面的半径．2022学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、B【答案解析】结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案．【题目详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确；②若当x=-2时，y取最大值，则由于点A和点B到x=-2的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点B的纵坐标显然不相等，所以②错误，从而排除掉A和D；剩下的选项中都有③，所以③是正确的；易知直线y=kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜-4或x＞0，从而④错误．故选：B．【答案点睛】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系，属于较复杂的二次函数综合选择题．2、B【答案解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【题目详解】解：0.00007m，这个数据用科学记数法表示7×10﹣1．故选：B．【答案点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3、D【答案解析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．【题目详解】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD=∠A，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t ，∴S △OCD =12×OD×CD=12t 2（0≤t≤3），即S=12t 2（0≤t≤3）． 故S 与t 之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象；故选D ．【答案点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S 与t 之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．4、C【答案解析】将关于x 的一元二次方程化成标准形式，然后利用Δ>0，即得m 的取值范围.【题目详解】因为方程是关于x 的一元二次方程方程，所以可得220x x m －＝,Δ＝4+4m > 0，解得m>﹣1,故选D.【答案点睛】本题熟练掌握一元二次方程的基本概念是本题的解题关键.5、B【答案解析】解：如图所示：由题意可得：∠1=30°，∠3=50°，则∠2=30°，故由DC ∥AB ，则∠4=30°+50°=80°．故选B ．点睛：此题主要考查了方向角的定义，正确把握定义得出∠3的度数是解题关键．6、B【答案解析】连接BD ，利用直径得出∠ABD=65°，进而利用圆周角定理解答即可．【题目详解】连接BD ，∵AB 是直径，∠BAD=25°，∴∠ABD=90°-25°=65°，∴∠AGD=∠ABD=65°，故选B ．【答案点睛】此题考查圆周角定理，关键是利用直径得出∠ABD=65°．7、D【答案解析】根据中心对称图形的概念和识别．【题目详解】根据中心对称图形的概念和识别，可知D 是中心对称图形，A 、C 是轴对称图形，D 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．故选D ．【答案点睛】本题考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念，会判断一个图形是否是中心对称图形．8、C【答案解析】根据AF 是∠BAC 的平分线，BH ⊥AF ，可证AF 为BG 的垂直平分线，然后再根据正方形内角及角平分线进行角度转换证明EG ＝EB ，FG ＝FB ，即可判定②选项；设OA ＝OB ＝OC ＝a ，菱形BEGF 的边长为b ，由四边形BEGF 是菱形转换得到CF 2GF 2BF ，由四边形ABCD 是正方形和角度转换证明△OAE ≌△OBG ，即可判定①；则△GOE 是等腰直角三角形，得到GE 2OG ，整理得出a ，b 的关系式，再由△PGC ∽△BGA ，得到BG PG＝2，从而判断得出④；得出∠EAB ＝∠GBC 从而证明△EAB ≌△GBC ，即可判定③；证明△FAB ≌△PBC 得到BF ＝CP ，即可求出PBC AFC S S ，从而判断⑤.【题目详解】解：∵AF 是∠BAC 的平分线，∴∠GAH ＝∠BAH ，∵BH ⊥AF ，∴∠AHG ＝∠AHB ＝90°，在△AHG 和△AHB 中GAH BAH AH AHAHG AHB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AHG ≌△AHB （ASA ），∴GH ＝BH ，∴AF 是线段BG 的垂直平分线，∴EG ＝EB ，FG ＝FB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAF ＝∠CAF ＝12×45°＝22.5°，∠ABE ＝45°，∠ABF ＝90°， ∴∠BEF ＝∠BAF+∠ABE ＝67.5°，∠BFE ＝90°﹣∠BAF ＝67.5°， ∴∠BEF ＝∠BFE ，∴EB ＝FB ，∴EG ＝EB ＝FB ＝FG ，∴四边形BEGF 是菱形；②正确；设OA ＝OB ＝OC ＝a ，菱形BEGF 的边长为b ， ∵四边形BEGF 是菱形，∴GF ∥OB ，∴∠CGF ＝∠COB ＝90°，∴∠GFC ＝∠GCF ＝45°，∴CG ＝GF ＝b ，∠CGF ＝90°，∴CFGFBF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOG ＝90°，∵BH ⊥AF ，∴∠GAH+∠AGH ＝90°＝∠OBG+∠AGH ，∴∠OAE ＝∠OBG ，在△OAE 和△OBG 中OAE OBG OA OBAOE BOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAE ≌△OBG （ASA ），①正确；∴OG ＝OE ＝a ﹣b ，∴△GOE 是等腰直角三角形，∴GEOG ，∴b（a ﹣b ），整理得a＝22+， ∴AC ＝2a ＝（）b ，AG ＝AC ﹣CG ＝（）b ，∵四边形ABCD 是正方形，∴PC ∥AB ， ∴BG PG ＝AG C G＝， ∵△OAE ≌△OBG ，∴AE ＝BG ， ∴AE PG＝， ∴PG AE＝1，④正确； ∵∠OAE ＝∠OBG ，∠CAB ＝∠DBC ＝45°，∴∠EAB ＝∠GBC ，在△EAB 和△GBC 中EAB GBC AB BCABE BCG 45︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴△EAB ≌△GBC （ASA ），∴BE ＝CG ，③正确；在△FAB 和△PBC 中FAB PBC AB BCABF BCP 90︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴△FAB ≌△PBC （ASA ），∴BF ＝CP ， ∴PBC AFC S S ＝1212BC CP AB CF ⋅⋅＝CP CF＝2，⑤错误； 综上所述，正确的有4个，故选：C ．【答案点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形，菱形的判定与性质等四边形的综合题．该题难度较大，需要学生对有关于四边形的性质的知识有一系统的掌握．9、A【答案解析】根据正比例函数的增减性解答即可.【题目详解】∵正比例函数y =﹣k 2x （k ≠0），﹣k 2＜0，∴该函数的图象中y 随x 的增大而减小，∵点M （﹣3，y 1），N （﹣4，y 2）在正比例函数y =﹣k 2x （k ≠0）图象上，﹣4＜﹣3，∴y 2＞y 1，故选：A ．【答案点睛】本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于y =kx （k 为常数，k ≠0），当k ＞0时， y =kx 的图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时， y =kx 的图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小.10、B【答案解析】直接利用绝对值的性质以及多边形的性质和平行线的性质分别分析得出答案．【题目详解】解：A 、若ab=0，则a=0，是随机事件，故此选项错误；B、若|a|=4，则a=±4，是必然事件，故此选项正确；C、一个多边形的内角和为1000°，是不可能事件，故此选项错误；D、若两直线被第三条直线所截，则同位角相等，是随机事件，故此选项错误；故选：B．【答案点睛】此题主要考查了事件的判别，正确把握各命题的正确性是解题关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、（6，4）或（﹣4，﹣6）【答案解析】设点P的横坐标为x，表示出纵坐标，然后列方程求出x，再求解即可．【题目详解】解：设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为x-2，由题意得，当点P在第一象限时，x+x-2=10，解得x=6，∴x-2=4，∴P（6，4）；当点P在第三象限时，-x-x+2=10，解得x=-4，∴x-2=-6，∴P（-4，-6）．故答案为：（6，4）或（-4，-6）．【答案点睛】本题主要考查了点的坐标，读懂题目信息，理解“点角距离”的定义并列出方程是解题的关键．12、4 7 .【答案解析】设正六边形ABCDEF的边长为4a，则AA1＝AF1＝FF1＝2a．求出正六边形的边长，根据S六边形GHIJKI：S六边形ABCDEF＝(GLAF)2，计算即可；【题目详解】设正六边形ABCDEF的边长为4a，则AA1＝AF1＝FF1＝2a，作A 1M ⊥FA 交FA 的延长线于M ，在Rt △AMA 1中，∵∠MAA 1＝60°，∴∠MA 1A ＝30°，∴AM ＝12AA 1＝a ， ∴MA 1＝AA 1·cos30°3a ，FM ＝5a ，在Rt △A 1FM 中，FA 122127FM MA a +=，∵∠F 1FL ＝∠AFA 1，∠F 1LF ＝∠A 1AF ＝120°，∴△F 1FL ∽△A 1FA ， ∴1111F L FF FL FA AA A F==， ∴114227F L FL a a a==， ∴FL 47a ，F 1L 27a ， 根据对称性可知：GA 1＝F 1L ＝277a ， ∴GL ＝7a ﹣677a ＝877a ， ∴S 六边形GHIJKI ：S 六边形ABCDEF ＝(GL AF )2＝47， 故答案为：47． 【答案点睛】本题考查正六边形与圆，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数解决问题．13、3【答案解析】由题意得出△ABP 为等边三角形，在Rt △ACO 2中，AO 2=AC sin 60︒即可. 【题目详解】由题意易知：PO 1⊥AB ，∵∠APB=60°∴△ABP 为等边三角形，AC=BC=3∴圆心角∠AO 2O 1=60° ∴在Rt △ACO 2中，AO 2=AC sin 60︒故答案为【答案点睛】本题考查的知识点是圆的性质，解题的关键是熟练的掌握圆的性质.14、CD 的中点【答案解析】根据旋转的性质，其中对应点到旋转中心的距离相等，于是得到结论．【题目详解】∵△ADE 旋转后能与△BEC 重合，∴△ADE ≌△BEC ，∴∠AED=∠BCE ，∠B=∠A=90°，∠ADE=∠BEC ，DE=EC ，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠DEC=90°，∴△DEC 是等腰直角三角形，∴D 与E ，E 与C 是对应顶点，∵CD 的中点到D ，E ，C 三点的距离相等，∴旋转中心是CD 的中点，故答案为：CD 的中点．【答案点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，关键是明确旋转中心的概念．15、513【答案解析】如图，有5种不同取法；故概率为 5 13. 16、﹣2≤x ＜12【答案解析】根据解不等式的步骤从而得到答案.【题目详解】1-x 32x-10≤⎧⎨⎩①＜②， 解不等式①可得：x ≥－2，解不等式②可得：x ＜12， 故答案为－2≤x ＜12. 【答案点睛】本题主要考查了解不等式，解本题的要点在于分别求解①，②不等式，从而得到答案.17、1【答案解析】由两角对应相等可得△BAD ∽△CED ，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB 的长．【题目详解】解：∵∠ADB=∠EDC ，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD ∽△ECD ， ∴AB BD EC CD=， 即BD EC AB CD⨯= ， 解得：AB=1205060⨯ =1（米）． 故答案为1．【答案点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．三、解答题（共7小题，满分69分）18、2.1．【答案解析】据题意得出tanB =13, 即可得出tanA, 在Rt△ADE中, 根据勾股定理可求得DE, 即可得出∠FCE的正切值, 再在Rt△CEF中, 设EF=x,即可求出x, 从而得出CF=1x的长. 【题目详解】解：据题意得tanB=，∵MN∥AD，∴∠A=∠B，∴tanA=，∵DE⊥AD，∴在Rt△ADE中，tanA=，∵AD=9，∴DE=1，又∵DC=0.5，∴CE=2.5，∵CF⊥AB，∴∠FCE+∠CEF=90°，∵DE⊥AD，∴∠A+∠CEF=90°，∴∠A=∠FCE，∴tan∠FCE=在Rt△CEF中，CE2=EF2+CF2设EF=x，CF=1x（x＞0），CE=2.5，代入得（）2=x2+（1x）2解得x=（如果前面没有“设x＞0”，则此处应“x=±，舍负”），∴CF=1x=≈2.1，∴该停车库限高2.1米．【答案点睛】点评: 本题考查了解直角三角形的应用, 坡面坡角问题和勾股定理, 解题的关键是坡度等于坡角的正切值.19、（12;（243;（3102.【答案解析】（1）由等腰直角三角形的性质可得2，2，∠ACB=∠DCE=45°，可证△ACD∽△BCE，可得AD CD BE CE=2（2）由题意可证点A，点Q，点C，点P四点共圆，可得∠QAC=∠QPC，可证△ABC∽△PQC，可得PQ QC AB BC=，可得当QC⊥AB时，PQ的值最小，即可求PQ的最小值；（3）作∠DCE=∠ACB，交射线DA于点E，取CE中点F，连接AC，BE，DF，BF，由题意可证△ABC∽△DEC，可得BC CEAC CD=，且∠BCE=∠ACD，可证△BCE∽△ACD，可得∠BEC=∠ADC=90°，由勾股定理可求CE，DF，BF的长，由三角形三边关系可求BD的最大值．【题目详解】（1）∵∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC=3，DE=CD=1，∴2，2ACB=∠DCE=45°，∴∠BCE=∠ACD，∵BCAC322CECD2∴BC CEAC CD=2，∠BCE=∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴AD CDBE CE=＝22；（2）∵∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4，∴43，83，∵∠QAP=∠QCP=90°，∴点A，点Q，点C，点P四点共圆，∴∠QAC=∠QPC，且∠ACB=∠QCP=90°，∴△ABC∽△PQC，∴PQ QC AB BC=，∴PQ=ABBC×QC=233QC，∴当QC的长度最小时，PQ的长度最小，即当QC⊥AB时，PQ的值最小，此时QC=2，PQ的最小值为433；（3）如图，作∠DCE=∠ACB，交射线DA于点E，取CE中点F，连接AC，BE，DF，BF，，∵∠ADC=90°，AD=CD，∴∠CAD=45°，∠BAC=∠BAD-∠CAD=90°，∴△ABC∽△DEC，∴BC CE AC CD=，∵∠DCE=∠ACB，∴∠BCE=∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴∠BEC=∠ADC=90°，∴CE=222，∵点F是EC中点，∴DF=EF=122，∴22BE EF+10，∴102【答案点睛】本题是相似综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．20、(1)见解析;(2)1 3 .【答案解析】（1）画树状图列举出所有情况；（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．【题目详解】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为=．【答案点睛】本题要查列表法与树状图法求概率，列出树状图得出所有等可能结果是解题关键.21、(1)反比例函数的解析式为y=﹣6x；一次函数的解析式为y=﹣12x+2；(2)8；(3)点M、N在第二象限，或点M、N在第四象限．【答案解析】(1)把A（﹣2，3）代入y=mx，可得m=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣6x；把点B（6，n）代入，可得n=﹣1，∴B（6，﹣1）．把A（﹣2，3），B（6，﹣1）代入y=kx+b，可得23 61k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得122kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为y=﹣12x+2；(2)∵y=﹣12x+2，令y=0，则x=4，∴C（4，0），即OC=4，∴△AOB的面积=12×4×（3+1）=8；(3)∵反比例函数y=﹣6x的图象位于二、四象限，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，∵x1＜x2，y1＜y2，∴M，N在相同的象限，∴点M、N在第二象限，或点M、N在第四象限．【答案点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．22、（1）OE＝32；（2）阴影部分的面积为32【答案解析】（1）由题意不难证明OE为△ABC的中位线，要求OE的长度即要求BC的长度，根据特殊角的三角函数即可求得；（2）由题意不难证明△COE≌△AFE，进而将要求的阴影部分面积转化为扇形FOC的面积，利用扇形面积公式求解即可.【题目详解】解：(1) ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OE⊥AC，∴OE // BC，又∵点O是AB中点，∴OE是△ABC的中位线，∵∠D=60°，∴∠B=60°，又∵AB=6，∴BC=AB·cos60°=3，∴OE=12BC=32；(2)连接OC，∵∠D =60°，∴∠AOC =120°，∵OF ⊥AC ，∴AE =CE ，AF =CF ，∴∠AOF =∠COF =60°，∴△AOF 为等边三角形，∴AF =AO =CO ，∵在Rt △COE 与Rt △AFE 中，AF CO AE CE =⎧⎨=⎩， ∴△COE ≌△AFE ，∴阴影部分的面积=扇形FOC 的面积，∵S 扇形FOC =2603360π⨯=32π． ∴阴影部分的面积为32π．【答案点睛】本题主要考查圆的性质、全等三角形的判定与性质、中位线的证明以及扇形面积的计算，较为综合.23、详见解析．【答案解析】先证明△ADF ≌△CDE ，由此可得∠DAF ＝∠DCE ，∠AFD ＝∠CED ，再根据∠EAG ＝∠FCG ，AE ＝CF ，∠AEG ＝∠CFG 可得△AEG ≌△CFG ，所以AG ＝CG ．【题目详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，∵E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，∴AE ＝ED ＝CF ＝DF ．又∠D ＝∠D ，∴△ADF ≌△CDE （SAS ）．∴∠DAF ＝∠DCE ，∠AFD ＝∠CED ．∴∠AEG ＝∠CFG ．在△AEG 和△CFG 中EAG FCG AE CFAEG CFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEG ≌△CFG （ASA ）．∴AG ＝CG ．【答案点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，关键是要灵活运用全等三角形的判定方法．24、这个圆形截面的半径为10cm.【答案解析】分析：先作辅助线，利用垂径定理求出半径，再根据勾股定理计算．解答：解：如图，OE ⊥AB 交AB 于点D ，则DE=4，AB=16，AD=8，设半径为R ，∴OD=OE-DE=R-4，由勾股定理得，OA 2=AD 2+OD 2，即R 2=82+（R-4）2，解得，R=10cm ．。
2022届上海市黄浦区九年级数学一模Word版(附解析)
上海市黄浦区2022届初三一模数学试卷2022.01一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1. 4和9的比例中项是（ ）A. 6B. 6±C. 169D. 814 2. 如果两个相似三角形的周长比为1:4，那么它们的对应角平分线的比为（ ）A. 1:4B. 1:2C. 1:16D. 1:23. 已知a 、b 、c 是非零问量，下列条件中不能判定a ∥b （ ）A. a ∥c ，b ∥cB. 3a b =C. ||||a b =D. 12a c =，2bc =- 4. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =2，BC =3，那么下列各式中正确的是（ ）A. 2sin 3A =B. 2cos 3A =C. 2tan 3A =D. 2cot 3A = 5. 如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，下列各比例式不一定能推得DE ∥BC 的是（ ）A. AD AE BD CE =B. AD AE AB AC =C. AD DE AB BC =D. AB AC BD CE= 6. 二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么点(,)a P b c 在第（ ）象限A. 一B. 二C. 三D. 四二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7. 如果23x y =，那么x y y-= 8. 如图. 已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、D 、F 和点B 、C 、E . 如果 23AD DF =，2BE =，那么线段BC 的长是 9. 如图，D 、E 分别是△ABC 的边BA 、CA 延长线上的点，DE ∥BC ，EA : AC =1 : 2， 如果ED a =，那么向量BC = (用向最a 表示)10. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果32AC AB =，那么B ∠= 11. 已知一条抛物线经过点(0,1)，且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物线的表达式 可以是 (写出一个即可)12. 如果抛物线21y x bx =-+-的对称轴是y 轴，那么顶点坐标为13. 已知某小山坡的坡长为400米，山坡的高度为200米，那么该山坡的坡度i =14. 如图. △ABC 是边长为3的等边三角形，D 、E 分别是边BC 、 AC 上的点，∠ADE =60°， 如果BD =1，那么CE =15. 如图. 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的中线，若CD =5，BC =6， 则cos ∠ACD 的值是16. 如图，在△ABC 中，中线AD 、BE 相交于点O ，如果△AOE 的面积是4，那么四边形OECD 的面积是17. 如图，在△ABC 中，AB =4，AC =5，将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在AC 边上的点D 处，点C 落在点E 处，如果点E 恰好在线段BD 的延长线上，那么边BC 的长等于18. 若抛物线2111y ax b x c =++的顶点为A ，抛物线2222y ax b x c =-++的顶点为B ，且满 足顶点A 在抛物线2y 上，顶点B 在抛物线1y 上，则称抛物线1y 与抛物线2y 互为“关联抛物线”，已知顶点为M 的抛物线2(2)3y x =-+与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D . 如果3tan 4MDO ∠=，那么顶点为N 的抛物线的表达式为三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19. 计算：22tan30cot 45sin 452cos30︒︒︒︒+-.20. 已知二次函数2y x bx c =++的图像经过(2,3)A -、(5,0)B 两点.（1）求二次函数的解析式；（2）将该二次函数的解析式化为2()y a x m k =++的形式，并写出该二次函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴.21. 已知如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AF AD DF DB =. （1）求证：EF ∥CD ；（2）如果45EF CD =，15AD =，求DF 的长.22. 已知如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，过点D 作DF ∥CB ，分别交AC 、AB 于 点E 、F ，且满足AB ⋅AF =DF ⋅BC .↓（1）求证：∠AEF =∠DAF ；↓ （2）求证：22AF DE AB CD =23. 如图，在东西方向的海岸线l 上有一长为1千米的码头MN ，在距码头西端M 的正西方向58千米处有一观测站O ，现测得位于观测站O 的北偏西37°方向，且与观测站O 相距60千米的小岛A 处有一艘轮船开始航行驶向港口MN ，经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O 的正北方向，且与观测站O 相距30千米的B 处.（1）求AB 两地的距离；（结果保留根号）（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN 靠岸？请说明理由. （参考数据：sin37︒≈0.60，cos37︒≈0.80，tan37︒≈0.75）24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线234y ax ax a =--(0a <)与x 轴交于 (1,0)A -、 B 两点，与y 轴交于点C ，点M 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l 与BC 交于点D ，与x 轴交于点E（1）求抛物线的对称轴及B 点的坐标；（2）如果MD 158=，求抛物线234y ax ax a =--(0a <)的表达式； （3）在（2）的条件下，已知点F 是该抛物线对称轴上一点，且在线段BC 的下方， ∠CFB =∠BCO ，求点F 的坐标.25. 如图，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠ACB =∠DAB =90°，2AB BC BD =⋅，AB =3，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为点E ，延长AE 、CB 交于点F ，联结DF .（1）求证：AE =AC ；（2）设BC =x ，AE y EF=，求y 关于x 的函数关系式及其定义域； （3）当△ABC 与△DEF 相似时，求边BC 的长.参考答案一. 选择题1. B2. A3. C4. D5. C6. C二. 填空题 7. 13- 8. 459. 2a 10. 60°11. 21y x =-+ 12. (0,1)- 13. 14.2315.45 16. 8 17. 18. 2557()416y x =--+三. 解答题 19. 56. 20.（1）265y x x =-+；（2）2(3)4y x =--，开口向上，顶点坐标(3,4)-，对称轴3x =.21.（1）略；（2）322. 略.23.（1）（2）6059>，不能.24.（1）32x =，(4,0)B ；（2）213222y x x =-++；（3）35(,)22F -25.（1）略；（2）22922x y x -=(02x <<；（3）32。
模拟测评2022年上海杨浦区中考数学模拟专项测试 B卷(含答案解析)
2022年上海杨浦区中考数学模拟专项测试 B 卷 考试时间：90分钟；命题人：教研组 考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、一个长方体的棱长总和为84cm ，长：宽：高4:2:1 ，则长方体的体积为（ ）A ．321cmB ．3126cmC ．3216cmD ．3252cm 2、下列说法中错误的是（ ） A ．如果整数a 是整数b 的倍数，那么b 是a 的因数 B ．一个合数至少有3个因数 C ．在正整数中，除2外所有的偶数都是合数 D ．在正整数中，除了素数都是合数 3、下列哪个数不能和2，3，4组成比例（ ）A ．1B ．1.5C ．223D ．64、关于数字91，下列说法错误的是（ ） A ．存在最大的因数 B ．存在最大的倍数 C ．存在最小的倍数 D ．它是一个合数·线○封○密○外5、下面语句正确的有（ ）A ．6能被2整除B ．x 的倒数是1xC ．最小的自然数是1D ．最小的合数是2 6、已知:1:2a b =，:3:4b c =，那么::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．1:2:4C ．1:3:4D ．3:6:87、如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1、l 2、l 3分别相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若23=AB BC ，DE ＝4，则EF 的长是（ ）A ．83 B ．203 C ．6 D ．108、若0a b <<，则（ ）A ．33a b -<-B ．22a b <C ．33a b >D ．c a c b ->-9、下列分数中不能化成有限小数的是（ ）A ．916B ．38 C ．518 D ．75010、下列说法中：①比的前项相当于分数中的分母；②2:3与4:9的比值相等；③9是3与27的比例中项；④将3:4中前项乘以3，后项加上8，比值不变，错误的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、一瓶饮料，连瓶重364千克，将饮料倒出14，此时连瓶重255千克．则瓶重________千克． 2、既能被2整除，又能被5整除的两位数共有_____________个． 3、等边三角形是轴对称图形，它的对称轴共有 ___条． 4、213的倒数是______．5、8和12的最小公倍数是_______________． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、如图，大正方形的边长为8厘米，求阴影部分的周长和面积（结果保留π）2、解方程：已知15:31:54x =，求x 的值3、计算：112(31)0.823÷--． 4、某中学六年级共有5个班级，在这次为都红星小朋友捐图书的活动中，同学们都踊跃参加，活动后统计各班所捐图书的数量如下表：（单位：册）求：（1）该学校六年级中哪个班在这次活动中所捐的图书册数最多？ （2）上题中的这个班级所捐图书的册数占全年级所捐图书总册数的百分之几？（保留一位小数） 5、求下列阴影部分的面积（单位；厘米，π取3.14）． ·线○封○密○外-参考答案-一、单选题1、C【分析】由长方体的特点可知：长方体的棱长之和=（长+宽+高）×4，棱长总和已知，于是可以求出长、宽、高的和，进而利用按比例分配的方法即可求出长、宽、高的值，从而利用长方体的体积V=abh ，【详解】解：84421÷=（厘米），4217++=， 所以：长是()42112cm 7⨯=， 宽是()2216cm 7⨯=， 高是()1213cm 7⨯=，所以长方体的体积为()31263216cm ⨯⨯=， 故选C ．【点睛】本题主要考查长方体体积的计算方法以及按比例分配的解答方法，关键是依据长方体的特点先求出长方体的长、宽、高的值，进而逐步求解．2、D【分析】根据题意，逐项进行分析即可，进而得出结论．【详解】A ．根据因数和倍数的意义可知：如果整数a 是整数b 的倍数，那么b 是a 的因数，故正确；B ．根据合数的含义：除了1和它本身外，还能被其他整数整除，得出：一个合数至少有3个因数，故正确；C ．因为正整数不包括0，所以除2外所有的偶数，都至少有1，2和本身3个约数，所以都是合数，说法正确；D ．在正整数中，1既不是素数也不是合数，故在正整数中，除了素数就是合数，说法错误． 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查了素数、合数、因数以及倍数，熟练掌握其概念是解题的关键． 3、A 【分析】 根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积逐一分析即可． 【详解】 解：根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，则： A ．1423⨯≠⨯，不可以组成比例； B ．1.5423⨯=⨯，可以组成比例； C ．223243⨯=⨯，可以组成比例； D ．2634⨯=⨯，可以组成比例；故选：A ．·线○封○密○外【点睛】本题考查比例，掌握比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积是解题的关键．4、B【分析】由题意把91分解质因数，可以得到最小的因数是1，最大的因数是91；把91乘1、2、3……得到91的最小的倍数是91，倍数乘一个整数，有无穷无尽的倍数，所以存在最大的倍数的说法是错误的；据此得解．【详解】解：对于数字91，存在最大的因数91，存在最小的倍数91，存在最小的因数1；只有存在最大的倍数是错误的；故选：B．【点睛】本题考查因数和倍数的意义，熟练掌握分解质因数方法是解题的关键．5、A【分析】根据整除的定义、倒数的定义、自然数的定义和合数的定义逐一判断即可．【详解】解：由6÷2=3，可得6能被2整除，故A正确；0无倒数，故B错误；最小的自然数是0，故C错误；最小的合数是4，故D错误．故选A．【点睛】此题考查的是整除、倒数、自然数和合数的定义，掌握整除的定义、倒数的定义、自然数的定义和合数的定义是解题关键． 6、D 【分析】 将:1:2a b =变形为:3:6a b ，:3:4b c =变形为:6:8b c 即可求解．【详解】 解：由题意可知：:1:23:6a b ，:3:46:8b c ，故::3:6:8a b c ，故选：D ． 【点睛】 本题考查线段成比例，属于基础题，计算过程细心即可． 7、C 【分析】 根据平行线分线段成比例可得AB DE BC EF =，代入计算即可解答． 【详解】解：∵l 1∥l 2∥l 3， ∴AB DE BC EF =， 即243EF=， 解得：EF ＝6． 故选：C ． 【点睛】·线○封○密○外本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟悉定理是解题的关键．8、D【分析】直接根据一元一次不等式的基本性质直接排除选项即可．【详解】A 、因为0a b <<，所以33a b --＞，故错误；B 、因为0a b <<，所以22a b ＞，故错误；C 、因为0a b <<，所以33a b ＜，故错误；D 、因为0a b <<，所以,a b c a c b --∴->-＞，故正确．故选D ．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．9、C【分析】把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不能含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．【详解】 解：916分母中只含有质因数2，所以能化成有限小数； 38分母中只含有质因数2，所以能化成有限小数；518分母中含有质因数3．所以不能化成有限小数； 750分母中只含有质因数2和5，所以能化成有限小数；故选：C ．【点睛】本此题主要考查什么样的分数可以化成有限小数，根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不能含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数． 10、C 【分析】 根据比的意义、比例的基本性质及比例中项直接进行排除即可． 【详解】 由比的前项相当于分数中的分子，故①错误；由242:3=,4:939=可得②错误；由比例中项可得29=327⨯，故③正确；由将3:4中前项乘以3，前项为9，要使比值不变，故后项也要乘以3，即为12，相当于后项加上8，故④正确；所以错误的有2个； 故选C ．【点睛】 本题主要考查比的意义及比例的基本性质，熟练掌握比和比例是解题的关键． 二、填空题 1、7120 【分析】 根据题意可直接列式进行求解．【详解】解：由题意得： 倒出的饮料重为3276514520-=（千克），则饮料重为71271=2045÷（千克）， ·线○封○密○外∴瓶重为3277614520-=（千克）；故答案为7120．【点睛】本题主要考查分数运算的应用，熟练掌握分数的运算是解题的关键．2、9【分析】根据能被2、5整除的数的特征可以得出：该两位数的个位数不能是5，只能是0，十位可以是1~9，故可得出结论．【详解】能被2整除又能被5整除的数共有：10、20、30、40、50、60、70、80、90，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了能被2、5整除的数的特征，理解能被2、5整除的数的特征是解题的关键．3、3【分析】根据轴对称图形和对称轴的概念可得答案．【详解】解：等边三角形3条角平分线所在的直线是等边三角形的对称轴，∴有3条对称轴，故答案为：3．【点睛】此题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴．4、35 【分析】 根据倒数的定义进行求解即可． 【详解】 解：213的倒数是35， 故答案为：35． 【点睛】 此题主要考查了倒数的判断，熟练掌握倒数的定义是解答此题的关键．5、24 【分析】 先将两个合数分解成质数的成积，再确定最小公倍数即可． 【详解】 解：8=2×2×2，12=2×2×3， 所以8与12的最小公倍数2×2×2×3=24． 故答案为：24 【点睛】 本题考查求几个数的最小公倍数的方法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 三、解答题 1、(16)4π+厘米；(32)8π+平方厘米 【分析】 ·线○封○密○外由题意可知：阴影部分的周长=圆的周长的14×2+正方形的边长的12×4，据此代入数据即可求解；将左下角圆以外的阴影部分挪到左上角，则阴影部分的面积=正方形的面积的一半+圆的面积的一半，据此利用正方形和圆的面积公式即可求解．【详解】解：周长：π×8×14×2+8×12×4=8π×12+16=4π+16（厘米）；面积：8×8×12+π×282÷（）×12=32+8π（平方厘米）．答：阴影部分的周长是4π+16厘米，面积是32+8π平方厘米．【点睛】解答此题的关键是弄清楚：阴影部分的周长由哪些线段或曲线组成；阴影部分的面积可以由哪些图形的面积和或差求解，从而问题得解．2、320 x=【分析】先根据比例的性质改写成乘法，然后根据等式的性质解方程即可．【详解】15:31:54x=155314x⨯=⨯15254x=320x =【点睛】 本题主要考查了解比例式，熟练掌握比例式的性质是解题的关键． 3、0.7【分析】先计算括号内的，再把除法运算转化成乘法运算，最后计算加减即可．【详解】 112(31)0.823÷-- 50.8235=÷- 50.8253=⨯- 1.50.8=- 0.7=． 【点睛】 本题考查了分数的四则混合运算，熟练掌握分数的运算法则是解题的关键． 4、（1）该学校六年级中3班在这次活动中所捐的图书册数最多；（2）这个班级所捐图书的册数占全年级所捐图书总册数的26.7%． 【分析】 （1）通过比较各个班的所捐图书的数量即可得出答案； （2）利用班级所捐图书的册数除以全年级所捐图书的总册数即可得出答案． 【详解】 （1）8070605040>>>>， ·线○封○密○外∴该学校六年级中3班在这次活动中所捐的图书册数最多；（2）()480405080607026.7%15÷++++=≈，∴这个班级所捐图书的册数占全年级所捐图书总册数的26.7%．【点睛】本题主要考查百分数，掌握百分数的求法是解题的关键．5、阴影部分的面积为28.26平方厘米．【分析】由题意可知：阴影部分的面积=大扇形的面积-小扇形的面积．【详解】阴影部分的面积=()22120 3.1433360120 3.143360⨯⨯+÷-⨯⨯÷28.26=（平方厘米）．答：阴影部分的面积是28.26平方厘米．【点睛】本题考查了组合图形的面积，明确“阴影部分的面积=大扇形的面积-小扇形的面积”是解题的关键．。
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上海市杨浦区2022届初三一模数学试卷
2022.01
一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1. 将函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像向下平移 2 个单位，下列结论中正确的是（ ）
A. 开口方向不变
B. 顶点不变
C. 与x 轴的交点不变
D. 与y 轴的交点不变
2. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果A α∠=，1AC =，那么AB 等于（ ）
A. sin α
B. cos α
C. 1sin α
D. 1cos α 3. 已知1e 和2e 都是单位向量，下列结论中，正确的是（ ）
A. 12e e =
B. 120e e -=
C. 12||||2e e +=
D. 122e e +=
4. 已知点P 是线段AB 上的一点，线段AP 是PB 和AB 的比例中项，下列结论中正确的是 （ ） A. 512B AP P =+ B. 512PB AB =+ C. 512AP AB =- D. 512
AP PB =- 5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过对角线交点O 的直线与两底分别交于点E 、F ， 下列结论中，错误的是（ ）
A. AE OE FC OF =
B. AE BF DE FC =
C. AD OE BC OF =
D. AD BC DE BF
=
6. 如图，点F 是△ABC 的角平分线AG 的中点，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，线段DE 过点F ，且∠ADE =∠C ，下列结论中，错误的是（ ）
A.
12DF GC = B. 12DE BC = C. 12AE AB = D. 12AD BD =
二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7. 已知34
y x =，那么x y x -= 8. 2cos 45tan30sin60︒︒︒-⋅=
9. 已知抛物线23y x =+，它与y 轴的交点坐标为
10. 二次函数24y x x =-图像上的最低点的纵坐标为
11. 己知a 的长度为2，b 的长度为4，且b 和a 方向相反，用向量a 表示向量b = 12. 如果两个相似三角形对应边之比是4 : 9，那么它们的周长之比等于
13. 己知在△ABC 中，AB =10，BC =16，∠B =60°，那么AC =
14. 已知在△ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，点G 是△ABC 的重心，那么点G 到斜边AB 的距离是
15. 在某一时刻，直立地面的一根竹竿的影长为3米，一根旗杆的影长为25米，已知这根竹竿的长度为1.8米，那么这根旗杆的高度为 米
16. 如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在点B 处测得小岛A 在它的北偏 东60°方向上，航行12海里到达点C 处，测得小岛A 在它的北偏东30°方向上，那么小 岛A 到航线BC 的距离等于 海里
17. 新定义: 已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这 样的三条平行线上的三角形称为格线三角形. 如图，已知等腰Rt △ABC 为“格线三角形”， 且∠BAC =90°，那么直线BC 与直线c 的夹角α的余切值为
18. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，tan A 512
=，将△ABC 绕点A 逆时针旋转90° 后得△ADE ，点B 落在点D 处，点C 落在点E 处，联结BE 、CD ，作∠CAD 的平分线AN ， 交线段BE 于点M ，交线段CD 于点N ，那么
AM AN 的值为
三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）
19. 如图，已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，且23
DE BC =
. （1）如果6AC =，求AE 的长；
（2）设AB a =，AC b =，试用a 、b 的线性组合表示向量DE .
20. 己知二次函数2524y x x =-+.
（1）用配方法把二次函数2524y x x =-+化为2()y a x m k =++的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）如果将该函数图像沿y 轴向下平移5个单位，所得新抛物线与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，顶点为C ，求△ABC 的面积.
21. 如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为点D ，AD =2，BD =6，tan ∠B 23=， 点E 是边BC 的中点.
（1）求边AC 的长；
（2）求∠EAB 的正弦值.
22. 如图，为了测量建筑物AB 的高度，先从与建筑物AB 的底部B 点水平相距100米的点C 处出发沿斜坡CD 行走至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度1:3i =，坡顶D 到BC 的距离DE =20米，在点D 处测得建筑物顶端A 点的仰角为50°，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB 的高度 (结果精确到1米).
(参考数据: sin 50︒≈0.77，cos 50︒≈0.64，tan 50︒≈1.19)
23. 已知如图，四边形ABCD 中，∠ABC =∠BCD ，点E 在边BC 上，AE ∥CD ，DE ∥AB ，过点C 作CF ∥AD ，交线段AE 于点F ，联结BF .
（1）求证：△ABF ≌△EAD ；
（2）如果射线BF 经过点D ，求证：2BE EC BC =⋅.
24. 已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212
y x bx c =-++与x 轴交于点(1,0)A -和点B ， 与y 轴交于点(0,2)C ，点P 是该抛物线在第一象限内一点，联结AP 、BC ，AP 与线段BC 相交于点F .
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与线段BC 交于点E ，如果点F 与点E 重合，求点P 的坐标；
（3）过点P 作PG ⊥x 轴，垂足为点G ，PG 与线段BC 交于点H ，如果PF =PH ， 求线段PH 的长度.
25. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =5，点D 为射线AB 上一动点，且BD <AD ，点B 关于直线CD 的对称点为点E ，射线AE 与射线CD 交于点F .
（1）当点D 在边AB 上时，
① 求证：∠AFC =45°；
② 延长AF 与边CB 的延长线相交于点G ，如果△EBG 与△BDC 相似，求线段BD 的长；
（2）联结CE 、BE ，如果12ACE S =△，求ABE S △的值.
参考答案
一. 选择题
1. A
2. D
3. C
4. C
5. B
6. D
二. 填空题 7. 14
8. 0 9. (0,3) 10. 4- 11. 2a 12. 49 13. 14 14. 85
15. 15 16. 17. 3 18.
23
三. 解答题
19.（1）4；（2）2
233
a b -+ 20.（1）22(1)3y x =-+，开口向上，对称轴1x =，顶点(1,3)；（2）2
21.（1）；（2 22. 40tan502068︒+≈米
23.（1）略；（2）略
24.（1）21
3222
y x x =-++；（2）(3,2)P ；（3）158PH =
25.（1）① 略；② 5（2）3或4。