上海市静安区初三数学一模卷含答案
2019-2020学年上海市静安区初三数学一模
静安区2019学年第一学期期末教学质量调研九年级数学试卷（完成时间：100分钟 满分：150分 ） 考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3. 答题时可用函数型计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．已知y x a +=，y x b -=，那么ab 的值为（A ）x 2； （B ）y 2； （C ）y x -； （D ）y x +．2．已知点P 在线段AB 上，且AP ∶PB=2∶3，那么AB ∶PB 为 （A ）3∶2； （B ）3∶5；（C ）5∶2；（D ）5∶3．3．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：DB =4：5，下列结论中正确的是 （A ）54=BC DE ； （B ）49=DE BC ； （C ）54=AC AE ； （D ）45=AC EC ．4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，如果a =3b ，那么∠A 的余切值为 （A ）31； （B ）3； （C ）42； （D ）1010．5．如图1，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设=，b OB =，下列式子中正确的是（A ）b a DC +=； （B ）b a DC -=； （C ）b a DC +-=； （D ）b a DC --=．6．如果将抛物线22-=x y 平移，使平移后的抛物线与抛物线982+-=x x y 重合，那么它平移的过程可以是（A ）向右平移4个单位，向上平移11个单位；（B ）向左平移4个单位，向上平移11个单位； （C ）向左平移4个单位，向上平移5个单位； （D ）向右平移4个单位，向下平移5个单位． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．因式分解：=-x x 52 ▲ ．8．已知13)(+=x x f ，那么)3(f = ▲ ．9．方程2111=+-x x 的根为 ▲ ． 10．已知：43=y x ，且y ≠4，那么43--y x = ▲ ．11．在△ABC 中，边BC 、AC 上的中线AD 、BE 相交于点G ，AD =6，那么AG = ▲ ． 12．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是 ▲ ． 13．如图2，在大楼AB 的楼顶B 处测得另一栋楼CD底部C 的俯角为60度，已知A 、C 两点间的距离为15米，那么大楼AB 的高度为 ▲ 米．（结果 保留根号）14．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为)0(>x x ，六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解式是 ▲ ．15．矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为135，那么该矩形的面积为 ▲ ． CBAD 图2图116．已知二次函数a x a x ay ++=2228（a 是常数，a ≠0），当自变量x 分别取-6、-4时，对应的函数值分别为y 1、y 2，那么y 1、y 2的大小关系是：y 1 ▲ y 2（填“>”、“<”或“=”）．17．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中，ADFC DF如图3，有一菱形纸片ABCD ，∠A ＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos ∠EFB 的值为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）先化简，再求值：2222442y xy x y x y x y x ++-÷+-，其中x =sin45°，y =cos60°．20．（本题满分10分, 其中第（1）小题7分，第（2）小题3分） 如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC =20，53sin =A ， CD ⊥AB ，垂足为D ． （1）求BD 的长；（2）设=， =，用a 、表示．21．（本题满分10分，其中第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）小题4分）CABD 图4图3ABCD已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线12++=bx x y （b 为常数）的对称轴是直线x =1． （1）求该抛物线的表达式；（2）点A （8，m ）在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A'，求点A'的坐标； （3）选取适当的数据填入下表，并在如图5所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．22．（本题满分10分，其中第（1）小题7分，第（2）小题3分）如图6，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A 点正东方向距离100米的C 处测得轮船M 在北偏东22°方向上． （1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果精确到米） （2）如果轮船M 沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB 靠岸请说明理由． （参考数据：sin22°≈，cos22°≈，图6MABC l图5tan22°≈，3≈．）23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图7，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，OD 2 = OB ·OE ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC =BD ，AE ·AF =AD ·BF ，求证：△ABE ∽△ACD ．24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知二次函数c bx ax y ++=2（其中a 、b 、c 是常数，且 a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ． （1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果2:3:=∆∆BCD ABD S S ，求tan ∠DBC 的值；（3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．图8Oyx图7ABDCE F O25．（本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知：如图9，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在边BC 、DC 上，AB 2 =BE · DC ，DE :EC =3:1 ，F 是边AC 上的一点，DF 与AE 交于点G ．（1）找出图中与△ACD 相似的三角形，并说明理由； （2）当DF 平分∠ADC 时，求DG :DF 的值；（3）如图10，当∠BAC=90°，且DF ⊥AE 时，求DG :DF 的值．静安区2019学年第一学期期末学习质量调研九年级数学试卷参考答案及评分说明一、选择题1． C ； 2．D ； 3．B ； 4．A ； 5．C ； 6．D ． 二、填空题图9CAD EFG图10GFABDEC7．x （x -5）； 8．10； 9．x =3； 10．43； 11． 4； 12．16:25； 13．315 ； 14．21200）（x y +=或2004002002++=x x y ； 15．240； 16．>；17． 32； 18．71 ．三、解答题19．解：原式＝ ))(()2(22y x y x y x y x y x -++⋅+-…………………………………………………………………（4分）＝yx yx ++2．………………………………………………………………………………………（2分） 当x =sin45°=22，y =cos60°=21时…………………………………………………………………………（2分）原式＝2212221222=+⨯+． ……………………………………………………………………（2分）20．解：（1）∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =∠BDC =90°，在Rt △ACD 中，AC CD A =sin ，∴125320sin =⨯=⋅=A AC CD ．…………………………（2分）∴1612202222=-=-=CD AC AD …………………………………………………………（1分）∴43tan ==AD CD A ．………………………………………………………………………………（1分）∵∠ACB =90°，∴∠DCB+∠B =∠A+∠B =90°，∴∠DCB =∠A ．………………………（1分） ∴94312tan tan =⨯=⋅=∠⋅=A CD DCB CD BD ．…………………………………………（2分） （2） ∵25916=+=+=DB AD AB ，∴2516=AB AD ．…………………………………………………（1分）又∵-=+=， …………………………………………………………………（1分）∴b a AB AD 251625162516-==．…………………………………………………………………（1分）21．解：（1）∵对称轴为2b x -=∴12=-b．……………………………………………………（1分）∴b =-2．…………………………………………………………………………………………（1分）∴抛物线的表达式为122+-=x x y ．………………………………………………………（1分）（2） ∵点A （8，m ）在该抛物线的图像上，∴当x =8时，4918)1(12222=-=-=+-=）（x x x y ．∴点A （8，49）．………………………………………………………………………………………（1分）∴ 点A （8，49）关于对称轴对称的点A'的坐标为（-6，49）．…………………………………（2分）（3）表格正确，得2分；图正确得2分．22．解：（1）过点M 作MD ⊥AC 交AC 的延长线于D ，设DM =x ．…………………………………（1分）∵在Rt △CDM 中， CD = DM ·tan ∠CMD = x ·tan22°，………………………………………（1分）又∵在Rt △ADM 中，∠MAC =45°，∴AD =DM ，………………………………………………（1分） ∵AD =AC +CD =100+ x ·tan22°，…………………………………………………………………（1分） ∴100+ x ·tan22°=x ．………………………………………………………………………………（1分）∴79.167785.167404.0110022tan 1100≈≈-≈-=οx ．………………………………………………（2分）答：轮船M 到海岸线l 的距离约为米．（2）作∠DMF =30°，交l 于点F ．在Rt △DMF 中，DF = DM ·tan ∠FMD = DM ·tan30°=33DM ≈79.1673732.1⨯≈米．……………………………………………（1分） ∴AF =AC +CD +DF =DM +DF ≈+=<300．……………………………………（1分）所以该轮船能行至码头靠岸．………………………………………………………………………（1分）23．证明：（1）∵OD 2 =OE · OB ，∴OBODOD OE =． ……………………………………………………（1分）∵AD //BC ，∴OBODOC OA =．……………………………………………………………………（2分）∴ODOEOC OA =．……………………………………………………………………………………（1分）∴ AF//CD ．…………………………………………………………………………………………（1分）∴四边形AFCD 是平行四边形．…………………………………………………………………（1分）（2）∵AF//CD ，∴∠AED =∠BDC ，BCBFBD BE =．…………………………………………（1分） ∵BC =BD ，∴BE =BF ，∠BDC =∠BCD …………………………………………………………（1分） ∴∠AED =∠BCD ．∵∠AEB =180°-∠AED ，∠ADC =180°-∠BCD ，∴∠AEB =∠ADC ．…………………………（1分） ∵AE ·AF =AD ·BF ，∴AF ADBF AE =．…………………………………………………………（1分）∵四边形AFCD 是平行四边形，∴AF =CD ．…………………………………………………（1分） ∴DCADBE AE =．…………………………………………………………………………………（1分）∴△ABE ∽△ADC ．24．解：（1）将A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0）代入）（02≠++=a c bx ax y 得，⎪⎩⎪⎨⎧++=--+=-+=cb a b a 003,4390,30…………………………………………………………………………………（3分）解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.3,4,1c b a ∴此抛物线的表达式是342-+-=x x y ．…………………………………（1分）（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，则23:)21(:)21(：：==⋅⋅=∆∆DC AD h DC h AD S S BCD ABD （1分）又∵DH //y 轴，∴52===OA DH AC DC OC CH ．∴56352=⨯==DH CH ．………………………（1分）∴54562=-=-=CH BC BH ．…………………………………………………………………（1分）∴tan ∠DBC=23=BH DH ．……………………………………………………………………………（1分）（3）方法一：∵1)2(3422+--=-+-=x x x y ，所以对称轴为直线x =2，设直线x =2与x 轴交于点G ．（1分） 过点A 作AF 垂直于直线x =2，垂足为F ．∵OA =OC =3，∠AOC =90°，∴∠OAC=∠OCA=45°．∵AF //x 轴，∴∠FAC=∠OCA=45°． ∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC=∠EAC∵∠BAO=∠OAC-∠BAC ，∠EAF=∠FAC-∠EAC ，∴∠BAO=∠EAF ………………………（1分）∵∠AOB =∠AFE =90°，∴△OAB ∽△FEA ，∴31==AF EF OA OB ．∵AF =2，∴32=EF ．…………………………………………………………………………………（1分） ∴EG =GF -EF =AO -EF =3-32=37． ∴E （2，37-）．……………………………………………（1分） 方法二：延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，∵OA =OC =3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC -∠BAC=45°-∠BAC ，∠OFA=∠OCA -∠FAC=45°-∠FAC ，∵∠BAC =∠FAC ，∴∠OAB=∠OFA ．………………………………………………………………（1分）∴△OAB ∽△OFA ，∴31==OF OA OA OB ．∴OF =9，即F （9，0）…………………………………（1分）设直线AF 的解析式为y =kx +b （k ≠0），可得⎩⎨⎧=-+=,3,90b b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==,3,31b k ∴直线AF 的解析式为331-=x y ……………………………（1分）将x =2代入直线AF 的解析式得37-=y ，∴E （2，37-）……………………………………（1分） 25．（1）与△ACD 相似的三角形有：△ABE 、△ADC ，理由如下：……………………………………（2分）∵AB 2 =BE · DC ，∴DCAB AB BE =．……………………………………………………………………（1分） ∵AB =AC ，∴∠B =∠C ．………………………………………………………………………………（1分）DCAC AB BE =…………………………………………………………………………………………（1分）∴△ABE ∽△DCA ．∵△ABE ∽△DCA ，∴∠AED =∠DAC ．∵∠AED =∠C +∠EAC ，∠DAC =∠DAE +∠EAC ，∴∠DAE =∠C ．∴△ADE ∽△CDA ．……（1分）（2）∵△ADE ∽△CDA ，又∵DF 平分∠ADC ，∴CDAD AD DE DF DG ==…………………………………（1分） 设CE =a ，则DE=3CE =3a ，CD =4a ，∴aAD AD a 44= ，解得a AD 32=（负值已舍）………（2分） ∴23432===a a CD AD DG DF …………………………………………………………………………（1分） （3）∵∠BAC=90°，AB =AC ，∴∠B =∠C =45° ，∴∠DAE =∠C=45°∵DG ⊥AE ，∴∠DAG =∠ADF =45°，∴AG=DG=a a AD 6322222=⋅=…………………（1分） ∴a DG DE EG 322=-=………………………………………………………………………（1分）∵∠AED =∠DAC ∴△ADE ∽△DFA ∴AD AE DF AD =， ∴a AE AD DF ）（3642-==…………………………………………………（1分） ∴422+=DF DG ……………………………………………………………………………………（1分）。
上海市静安区2019-2020学年中考数学一模试卷含解析
上海市静安区2019-2020学年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，DE 是线段AB 的中垂线，AE //BC ，AEB 120o ∠=，AB 8=，则点A 到BC 的距离是( )A ．4B ．43C ．5D ．62．如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P ＝40°，则∠ACB 的大小是（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°3．一个由圆柱和圆锥组成的几何体如图水平放置，其主(正)视图为( )A ．B ．C ．D ．4．已知一次函数y=kx+b 的图象如图，那么正比例函数y=kx 和反比例函数y=b x在同一坐标系中的图象的形状大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如，，，若x 4510+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则x 的取值可以是（ ） A ．40 B ．45 C ．51 D ．566．下列计算正确的是（ ） A ．x 2+x 2=x 4B ．x 8÷x 2=x 4C ．x 2•x 3=x 6D ．（-x ）2-x 2=0 7．不等式组325521x x +>⎧⎨-≥⎩的解在数轴上表示为（ ） A ．B ．C ．D ．8．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．9．计算（﹣3）﹣（﹣6）的结果等于（ ）A ．3B ．﹣3C ．9D ．1810．在以下四个图案中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．－10－4的结果是（ ）A ．－7B ．7C ．－14D ．1312．如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是( )A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCAC．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E 在OB的延长线上，当扇形AOB的半径为22时，阴影部分的面积为__________．14．如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB=AC=5，cos∠C=45，那么GE=_______．15．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=______m．16．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC、BD，若S四边形ABCD＝18，则BD的最小值为_________．17．现有三张分别标有数字2、3、4的卡片，它们除了数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a（不放回）；从剩下的卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b，则点（a,b）在直线11+22y x图象上的概率为__．18．已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知，抛物线y＝14x2﹣x+34与x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点F．（1）A点坐标为；B点坐标为；F点坐标为；（2）如图1，C为第一象限抛物线上一点，连接AC，BF交于点M，若BM＝FM，在直线AC下方的抛物线上是否存在点P，使S△ACP＝4，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，D、E是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线AD、AE分别交y轴于M、N两点，若OM•ON＝14，求证：直线DE必经过一定点．20．（6分）已知：如图，抛物线y=34x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)、B两点（A在B左），y轴交于点C（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以B、C、E、P为顶点且以BC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．（6分）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）求证：DE=BF．22．（8分）（2016山东省烟台市）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）23．（8分）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分别直方图和扇形统计图：根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图（2）求扇形统计图中m的值和E组对应的圆心角度数（3）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数24．（10分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C 点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．25．（10分）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=与y=（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为1．（1）当m=1，n=20时．①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．26．（12分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∠ABC 的平分线交边AC于点D，延长BD 至点E，且BD=2DE，连接AE.（1）求线段 CD 的长;（2）求△ADE 的面积.27．（12分）在△ABC 中，已知AB=AC ，∠BAC=90°，E 为边AC 上一点，连接BE ．如图1，若∠ABE=15°，O 为BE 中点，连接AO ，且AO=1，求BC 的长；如图2，D 为AB 上一点，且满足AE=AD ，过点A 作AF ⊥BE 交BC 于点F ，过点F 作FG ⊥CD 交BE 的延长线于点G ，交AC 于点M ，求证：BG=AF+FG ．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】作AH BC ⊥于H.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．【详解】解：作AH BC ⊥于H ．DE Q 垂直平分线段AB ，EA EB ∴=，EAB EBA ∠∠∴=，AEB 120∠=o Q ，EAB ABE 30∠∠∴==o ，AE //BC Q ，EAB ABH 30o ∠∠∴==，AHB 90∠=o Q ，AB 8=， 1AH AB 42∴==， 故选A ．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．C【解析】试题分析：连接OB ，根据PA 、PB 为切线可得：∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形AOBP 的内角和定理可得∠AOB=140°，∵OC=OB ，则∠C=∠OBC ，根据∠AOB 为△OBC 的外角可得：∠ACB=140°÷2=70°. 考点：切线的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质.3．A【解析】【分析】根据主视图是从几何体正面看得到的图形，认真观察实物，可得这个几何体的主视图为长方形上面一个三角形，据此即可得.【详解】观察实物，可知这个几何体的主视图为长方体上面一个三角形，只有A 选项符合题意，故选A.【名师点睛】本题考查了几何体的主视图，明确几何体的主视图是从几何体的正面看得到的图形是解题的关键.4．C【解析】试题分析：如图所示，由一次函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限，可得k ＞1，b ＜1．因此可知正比例函数y=kx 的图象经过第一、三象限，反比例函数y=b x的图象经过第二、四象限．综上所述，符合条件的图象是C 选项．故选C ．考点：1、反比例函数的图象；2、一次函数的图象；3、一次函数图象与系数的关系5．C【解析】【分析】【详解】解：根据定义，得x45<5110+≤+∴50x4<60≤+解得：46x<56≤．故选C．6．D【解析】试题解析：A原式=2x2，故A不正确；B原式=x6，故B不正确；C原式=x5，故C不正确；D原式=x2-x2=0，故D正确；故选D考点：1.同底数幂的除法；2.合并同类项；3.同底数幂的乘法；4.幂的乘方与积的乘方．7．C【解析】【分析】先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法．【详解】解：由不等式①，得3x＞5-2，解得x＞1，由不等式②，得-2x≥1-5，解得x≤2，∴数轴表示的正确方法为C．故选C．【点睛】考核知识点：解不等式组.8．D【解析】分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，故选D．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．9．A【解析】原式=−3+6=3，故选A10．A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．11．C【解析】解：－10－4=－1．故选C．12．B【解析】【分析】由图形可知AC＝AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可.【详解】解：在△ABC和△ADC中∵AB＝AD，AC＝AC，∴当CB＝CD时，满足SSS，可证明△ABC≌△ACD，故A可以；当∠BCA＝∠DCA时，满足SSA，不能证明△ABC≌△ACD，故B不可以；当∠BAC＝∠DAC时，满足SAS，可证明△ABC≌△ACD，故C可以；当∠B＝∠D＝90°时，满足HL，可证明△ABC≌△ACD，故D可以；故选：B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握判定定理是解题关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．π﹣1【解析】【分析】根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．【详解】连接OC∵在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，∴∠COD＝45°，∴OC＝2CD＝12，∴CD＝OD＝1，∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积＝24522360gπ（）﹣12×11＝π﹣1．故答案为π﹣1．【点睛】本题考查正方形的性质和扇形面积的计算，解题关键是得到扇形半径的长度．14．17 2【解析】【分析】过点E作EF⊥BC交BC于点F，分别求得AD=3，BD=CD=4，EF=32，DF=2，BF=6，再结合△BGD∽△BEF即可. 【详解】过点E作EF⊥BC交BC于点F.∵AB=AC，AD为BC的中线∴AD⊥BC ∴EF为△ADC的中位线.又∵cos∠C=45，AB=AC=5，∴AD=3，BD=CD=4，EF=32，DF=2∴BF=6∴在Rt△BEF中22BF EF+317又∵△BGD∽△BEF∴BG BD=BE BF，即171717.【点睛】本题考查的知识点是三角形的相似，解题的关键是熟练的掌握三角形的相似.15．1【解析】【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．【详解】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴AB BD EC CD=，即BD EC ABCD⨯=，解得：AB=1205060⨯=1（米）．故答案为1．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．16．6【解析】【分析】过A作AM⊥CD于M，过A作AN⊥BC于N，先根据“AAS”证明△DAM≌△BAN,再证明四边形AMCN 为正方形,可求得AC=6,从而当BD⊥AC时BD最小，且最小值为6.【详解】如下图，过A作AM⊥CD于M，过A作AN⊥BC于N，则∠MAN＝90°,∠DAM＋∠BAM＝90°，∠BAM＋∠BAN＝90°,∴∠DAM＝∠BAN.∵∠DMA＝∠N＝90°，AB＝AD,∴△DAM≌△BAN,∴AM＝AN,∴四边形AMCN为正方形,∴S四边形ABCD＝S四边形AMCN＝12AC2,∴AC=6,∴BD⊥AC时BD最小，且最小值为6.故答案为：6.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.17．1 6【解析】【分析】根据题意列出图表，即可表示（a，b）所有可能出现的结果,根据一次函数的性质求出在11+22y x图象上的点，即可得出答案．【详解】画树状图得：∵共有6种等可能的结果(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3)，在直线11+22y x =图象上的只有(3,2)， ∴点（a ，b ）在11+22y x =图象上的概率为16． 【点睛】 本题考查了用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于不放回实验．18．15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l ，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.【详解】设圆锥母线长为l ，∵r=3，h=4，∴母线225r h +=，∴S 侧=12×2πr×5=12×2π×3×5=15π， 故答案为15π.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）（1，0），（3，0），（0，34）；（2）在直线AC 下方的抛物线上不存在点P ，使S △ACP ＝4，见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的特点建立方程求解，即可得出结论；（2）在直线AC 下方轴x 上一点，使S △ACH ＝4，求出点H 坐标，再求出直线AC 的解析式，进而得出点H 坐标，最后用过点H 平行于直线AC 的直线与抛物线解析式联立求解，即可得出结论； （3）联立直线DE 的解析式与抛物线解析式联立，得出213(1)044x k x m -++-=，进而得出44a b k ++＝，34ab m -＝，再由DAG MAO ∆∆∽得出DG AG MO AO =，进而求出1(3)4OM a -＝，同理可得1(3)4ON b -＝，再根据111(3)(3)444OM ON a b ⋅-⋅-=＝，即可得出结论． 【详解】（1）针对于抛物线21344y x x =-+， 令x ＝0，则34y ＝， ∴3(0)4F ，，令y ＝0，则213044x x -+=， 解得，x ＝1或x ＝3，∴(10)(30)A B ，，，， 综上所述：0(1)A ，,(30)B ，,3(0)4F ，； （2）由（1）知，(30)B ，，3(0)4F ，， ∵BM ＝FM ， ∴33(,)28M ， ∵0(1)A ，， ∴直线AC 的解析式为：33y x 44=-， 联立抛物线解析式得：233441344y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得：1110x y =⎧⎨=⎩或226154x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴15(6,)4C ， 如图1，设H 是直线AC 下方轴x 上一点，AH ＝a 且S △ACH ＝4， ∴115424a ⨯=， 解得：3215a ＝， ∴47(,0)15H ， 过H 作l ∥AC ，∴直线l 的解析式为347420y x =-， 联立抛物线解析式，解得2535620x x -+＝，∴4949.60.60∆--<＝＝，即：在直线AC 下方的抛物线上不存在点P ，使4ACP S V ＝；（3）如图2，过D ，E 分别作x 轴的垂线，垂足分别为G ，H ， 设213(,)44D a a a -+，213(,)44E b b b -+，直线DE 的解析式为y kx m +＝， 联立直线DE 的解析式与抛物线解析式联立，得213(1)044x k x m -++-=， ∴44a b k ++＝，34ab m -＝，∵DG ⊥x 轴，∴DG ∥OM ，∴DAG MAO ∆∆∽，∴DG AG MO AO=， 即1(1)(3)141a a a OM ---=， ∴1(3)4OM a -＝，同理可得1(3)4ON b -＝ ∴111(3)(3)444OM ON a b ⋅-⋅-=＝， ∴3()50ab a b -++＝，即343(44)50m k --++＝，∴31m k =--，∴直线DE 的解析式为31(3)1y kx k k x ----＝＝， ∴直线DE 必经过一定点(3,1)-．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数与一次函数的综合应用，交点的求法，待定系数法求函数解析式等方法式解决本题的关键.20．（1）239344y x x =--；（2）272；（3）P 1（3，-3），P 2（3412+，3），P 3（3412-，3）． 【解析】【分析】（1）将,A C 的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式；（2）根据,B C 的坐标，易求得直线BC 的解析式．由于AB OC 、都是定值，则ABC V 的面积不变，若四边形ABCD 面积最大，则BDC V 的面积最大；过点D 作DM y P 轴交BC 于M ，则3,34M x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 可得到当BDC V 面积有最大值时，四边形ABCD 的面积最大值；（3）本题应分情况讨论：①过C 作x 轴的平行线，与抛物线的交点符合P 点的要求，此时,P C 的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出P 点坐标；②将BC 平移，令C 点落在x 轴（即E 点）、B 点落在抛物线（即P 点）上；可根据平行四边形的性质，得出P 点纵坐标（,P C 纵坐标的绝对值相等），代入抛物线的解析式中即可求得P 点坐标．【详解】 解：（1）把()(10)03A C --，，，代入234y x bx c =++， 可以求得934b c =-=-，∴239 3.44y x x =--（2）过点D 作DM y P 轴分别交线段BC 和x 轴于点M N 、，在239 3.44y x x =--中，令0y =，得124 1.x x ，==- ()40.B ∴，设直线BC 的解析式为,y kx b =+可求得直线BC 的解析式为：3 3.4y x =- ∵S 四边形ABCD ()111553402.222ABC ADCS S DM DM =+=⨯⨯+⨯-⨯=+V V 设239,3,44D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 3,3.4M x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭223393333.4444DM x x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭当2x =时，DM 有最大值3.此时四边形ABCD 面积有最大值27.2（3）如图所示，如图：①过点C 作CP 1∥x 轴交抛物线于点P 1，过点P 1作P 1E 1∥BC 交x 轴于点E 1，此时四边形BP 1CE 1为平行四边形，∵C （0，-3）∴设P 1（x ，-3）∴34x 2-94x-3=-3，解得x 1=0，x 2=3， ∴P 1（3，-3）；②平移直线BC 交x 轴于点E ，交x 轴上方的抛物线于点P ，当BC=PE 时，四边形BCEP 为平行四边形， ∵C （0，-3）∴设P （x ，3），∴34x 2-94x-3=3， x 2-3x-8=0解得x=412或x=3412-，此时存在点P2（3+412，3）和P3（3412-，3），综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（3，-3），P2（3+412，3），P3（3412-，3）．【点睛】此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的判定和性质、二次函数的应用等知识，综合性强，难度较大．21．（1）作图见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）分别以B、D为圆心，以大于12BD的长为半径四弧交于两点，过两点作直线即可得到线段BD的垂直平分线；（2）利用垂直平分线证得△DEO≌△BFO即可证得结论．【详解】解：（1）如图：（2）∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵EF垂直平分线段BD，∴BO=DO，在△DEO和三角形BFO中，{ADB CBDBO DODOE BOF∠=∠=∠=∠，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴DE=BF．考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质．22．13.1．【解析】试题分析：如图，作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N，根据=，可求得CM的长，在RT△AMN 中利用三角函数求得AN的长，再由MN∥BC，AB∥CM，判定四边形MNBC是平行四边形，即可得BN的长，最后根据AB=AN+BN即可求得AB的长．试题解析：如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N．由题意=，即=，CM=，在RT△AMN中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4，∠AMN=72°，∴tan72°=，∴AN≈12.3，∵MN∥BC，AB∥CM，∴四边形MNBC是平行四边形，∴BN=CM=，∴AB=AN+BN=13.1米．考点：解直角三角形的应用.23．略；m=40，1．4°；870人．【解析】试题分析：根据A组的人数和比例得出总人数，然后得出D组的人数，补全条形统计图；根据C组的人数和总人数得出m的值，根据E组的人数求出E的百分比，然后计算圆心角的度数；根据D组合E组的百分数总和，估算出该校的每周的课外阅读时间不小于6小时的人数．试题解析：（1）补全频数分布直方图，如图所示．（2）∵10÷10%=100 ∴40÷100=40% ∴m=40∵4÷100=4% ∴“E”组对应的圆心角度数=4%×360°=1．4°（3）3000×（25%+4%）=870（人）．答：估计该校学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数是870人．考点：统计图．24．（1）y=﹣x2+2x+1．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（1）y=﹣x+1；P点到直线BC 92，此时点P的坐标为（32，154）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM 是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（1）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c，得10930b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+1；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（1，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+1，∴点C的坐标为（0，1），点P的坐标为（2，1），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（1）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（1，0）、C（0，1）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+1，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+1），∴点F的坐标为（t，﹣t+1），∴PF=﹣t2+2t+1﹣（﹣t+1）=﹣t2+1t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，1），∴线段=∴P点到直线BC2728⨯=，此时点P的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（1）①利用三角形的面积公式找出S关于t 的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．25．（1）①直线AB的解析式为y=﹣x+3；理由见解析；②四边形ABCD是菱形，（2）四边形ABCD能是正方形，理由见解析.【解析】分析：（1）①先确定出点A，B坐标，再利用待定系数法即可得出结论；②先确定出点D坐标，进而确定出点P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论；（2）先确定出B（1，），进而得出A（1-t，+t），即：（1-t）（+t）=m，即可得出点D（1，8-），即可得出结论．详解：（1）①如图1，∵m=1，∴反比例函数为y=，当x=1时，y=1，∴B（1，1），当y=2时，∴2=，∴x=2，∴A（2，2），设直线AB的解析式为y=kx+b，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=-x+3；②四边形ABCD是菱形，理由如下：如图2，由①知，B（1，1），∵BD∥y轴，∴D（1，5），∵点P是线段BD的中点，∴P（1，3），当y=3时，由y=得，x=，由y=得，x=，∴PA=1-=，PC=-1=，∴PA=PC，∵PB=PD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）四边形ABCD能是正方形，理由：当四边形ABCD是正方形，∴PA=PB=PC=PD，（设为t，t≠0），当x=1时，y==，∴B（1，），∴A（1-t，+t），∴（1-t）（+t）=m，∴t=1-，∴点D的纵坐标为+2t=+2（1-）=8-，∴D（1，8-），∴1（8-）=n，∴m+n=2．点睛：此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形ABCD是平行四边形是解本题的关键．26．(1);（2）.【解析】分析：（1）过点D作DH⊥AB，根据角平分线的性质得到DH=DC根据正弦的定义列出方程，解方程即可；（2）根据三角形的面积公式计算．详解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H．∵BD平分∠ABC，∠C=90°，∴DH=DC=x，则AD=3﹣x．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=1．∵，即CD=；（2）．∵BD=2DE，∴．点睛：本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．27．（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）如图1中，在AB上取一点M，使得BM=ME，连接ME．，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=x，根据AB2+AE2=BE2，可得方程（2x+x）2+x2=22，解方程即可解决问题．（2）如图2中，作CQ⊥AC，交AF的延长线于Q，首先证明EG=MG，再证明FM=FQ即可解决问题．【详解】解：如图 1 中，在AB 上取一点M，使得BM=ME，连接ME．在Rt△ABE 中，∵OB=OE，∴BE=2OA=2，∵MB=ME，∴∠MBE=∠MEB=15°，∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30°，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=x，∵AB2+AE2=BE2，∴，∴x=（负根已经舍弃），∴AB=AC=（2+ ）•，∴BC= AB= +1．作CQ⊥AC，交AF 的延长线于Q，∵ AD=AE ，AB=AC ，∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠ACD，∵∠BAC=90°，FG⊥CD，∴∠AEB=∠CMF，∴∠GEM=∠GME，∴EG=MG，∵∠ABE=∠CAQ，AB=AC，∠BAE=∠ACQ=90°，∴△ABE≌△CAQ（ASA），∴BE=AQ，∠AEB=∠Q，∴∠CMF=∠Q，∵∠MCF=∠QCF=45°，CF=CF，∴△CMF≌△CQF（AAS），∴FM=FQ，∴BE=AQ=AF+FQ=AF=FM，∵EG=MG，∴BG=BE+EG=AF+FM+MG=AF+FG．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。
【2022年上海市初中一模数学卷】2022年上海市静安区初中毕业生学业模拟考试试卷九年级数学及答案
静安区2021学年第一学期期末教学质量调研九年级数学试卷 2022.1（完成时间：100分钟 满分：150分 ）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤； 3. 答题时可用函数型计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列实数中，有理数是（A ）3； （B ）π； （C ）4； （D ）39． 2．计算22x x ÷的结果是 （A ）x 2； （B ）x21； （C ）2x ； （D ）x 2．3．已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线上，且ED ∥BC ，如果AD ：DB=1∶4，ED = 2，那么边BC 的长是（A ）8； （B ）10； （C ）6； （D ）4．4．将抛物线x x y 22−=向左平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标是（A ）)1,1(−； （B ）)1,1(−； （C ）)0,1(； （D ）)0,0(． 5．如果锐角A 的度数是°25，那么下列结论中正确的是 （A ）21sin 0<<A ； （B ）23cos 0<<A ； （C ）1tan 33<<A ； （D ）3cot 1<<A ． 6．下列说法错误的是（A ）任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形； （B ）任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形； （C ）任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形； （D ）任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．5−的绝对值是 ．8．如果x −3在实数范围内有意义，那么实数x 的取值范围是 ． 9．已知32b a =，那么ab ab +−的值是 ． 10．已知线段AB =2cm ，点P 是AB 的黄金分割点，且AP >PB ，那么AP 的长度 是 cm ．（结果保留根号） 11．如果某抛物线开口方向与抛物线221x y =的开口方向相同，那么该抛物线有最 点．（填“高”或“低”） 12．已知反比例函数xy 1=的图像上的三点),2(1y −、),1(2y −、),1(3y ，判断y 1，y 2，y 3的大小关系： ．（用“<”连接）13．如果抛物线42++=mx x y 的顶点在x 轴上，那么常数m 的值是 ． 14．如果在A 点处观察B 点的仰角为α，那么在B 点处观察A 点的俯角为 ． （用含α的式子表示）15．如图，在△ABC 中，AB =AC =6，BC =4，点D 在边AC 上，BD =BC ，那么AD 的长是 ． 16．在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 交边AB 、AC 分别于点D 、E ，如果△ADE 与四边形BCED的面积相等，那么AD ︰DB 的值为 ．17．如图，在△ABC 中，中线AD 、BE 相交于点G ，如果,AD a BE b ==，那么 BC = ．（用含向量a 、b的式子表示） 18．如图，正方形ABCD 中，将边BC 绕着点C 旋转，当点B 落在边AD 的垂直平分线上的点E 处时，∠AEC 的度数为 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：°+−°−°⋅°°45cos 2)130(sin 30cot 60sin 45tan 22．20．（本题满分10分）（第17题图）A B C D E G （第18题图）A BC D （第15题图） AB C D（第22题图）EＤOF GHI 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 、CH 分别是AB 边上的中线和高，14=BC ，43cos =∠ACD ，求AB 、CH 的长．21．（本题满分10分, 其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题2分） 我们将平面直角坐标系xOy 中的图形D 和点P 给出如下定义：如果将图形D 绕点P 顺时针旋转90°得到图形D ’，那么图形D ’称为图形D 关于点P 的“垂直图形” ． 已知点A 的坐标为(2−，1)，点B 的坐标为(0，1)， △ABO 关于原点O 的“垂直图形”记为△A ’B ’O ，点 A 、B 的对应点分别为点A ’ 、B ’， （1）请写出：点A ’的坐标为 ；点B ’的坐标为 ； （2）请求出经过点A 、B 、 B ’ 的二次函数解析式；（3）请直接写出经过点A 、B 、A ’ 的抛物线的表达式为 ． 22．（本题满分10分）据说，在距今2500多年前，古希腊数学家就已经较准确地测出了埃及金字塔的高度，操作过程大致如下：如图所示，设AB 是大金字塔的高．在某一时刻，阳光照射下的金字塔在地面上投下了一个清晰的阴影，塔顶A 的影子落在地面上的点C 处．金字塔底部可看作方正形FGHI ，测得正方形边长FG 长为160米，点B 在正方形的中心，BC 与金字塔底部一边垂直于点K ．与此同时，直立地面上的一根标杆DO 留下的影子是OE ．射向地面的太阳光线可看作平行线（AC ∥DE ）．此时测得标杆DO 长为1.2米，影子OE 长为2.7米，KC 长为250米．求金字塔的高度AB 及斜坡AK 的坡度（结果均保留四个有效数字）．ＣＤＢ（第20题图）H23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，边长为1的正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点Q 、R 分别在边AD 、DC 上，BR 交线段OC 于点P ，QP ⊥BP ，QP 交BD 于点E ． （1）求证：△APQ ∽△DBR ； （2）当∠QED 等于60°时，求DRAQ的值．24．（本题满分12分，其中每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线bx x y +=2经过点A （2, 0）和点B （－1，m ），顶点为点D ．（1）求直线AB 的表达式； （2）求ABD ∠tan 的值；（3）设线段BD 与 x 轴交于点P ，如果点C 在x与△ABP 相似，求点C 的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）如图1，四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线AE 交边BC 于点E ，已知AB =9，AE =6，AD AB AE ⋅=2，且DC //AE ．（1）求证：DC AE DE ⋅=2；（2）如果BE =9，求四边形ABCD 的面积；（3）如图2，延长AD 、BC 交于点F ，设x BE =，y EF =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．DE DCBAFECBA （第23题图）BCR （第24题图）参考答案一、选择题： 1．C ； 2．B ； 3．C ； 4．D ； 5．A ； 6．B ．二、填空题： 7．5；8．3≤x ； 9．51； 10．15−； 11．低； 12．312y y y <<； 13．4,4−； 14．α； 15．310； 16．12+； 17． a b 3234+； 18．45°或135°．三、解答题： 19．解：原式＝22)22(2)121(3231×+−−× ……………………………………（5分） ＝21221231×+− ……………………………………（3分）＝67． ……………………………………（2分） 20．解：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∵CD 是AB 边上的中线,∴DC=DA ，∴∠A=∠ACD .………………………………（2分） ∵43cos =∠ACD ，∴43cos ==BC AC A ， ……………………………………（1分）设AC =3k , AB =4k ,则BC=14722==−k AC AB ……………………………（1分）∴2=k ，∴244==k AB ．……………………………………（2分） 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CH 是AB 边上的高,即CH ⊥AB ∵△ABC 面积一定，∴CH AB BC AC ⋅=⋅2121……………………………………（2分）∵233==k AC ，∴CH ×=×241423，∴1443=CH …………………（2分）所以，AB 的长为24 ，CH 的长为1443．21．解：（1）A ’（1，2）、B ’（1，0）； ……………………………………（4分） （2）设抛物线解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，∵经过A （-2，1）、B （0，1）、B ’（1，0）；∴代入可得：=++=+−=0101241b a b a c ， 解得：=−=−=13231c b a ，…………………………（1+2分） ∴经过点A 、B 、 B ’ 的二次函数解析式为132312+−−=x x y ；…………（1分）（3）经过点A 、B 、A ’ 的抛物线的表达式为132312++=x x y ．…………（2分）22．解：∵AC//DE ，AB 、DO 均垂直于地面． ∴∠C=∠E ，∠ABC=∠O =90°．∴Rt △BAC ∽Rt △ODE ，∴OE BC DO AB =．……………………………………（4分）由题意可知：BC =BK +KC =80+250=330（米），DO =1.2米，OE =2.7米………（1分） 代入可得7.23302.1=AB , 解得AB ≈146.7（米）．……………………………………（2分）联结AK ，Rt △ABK 中，5453.0:1807.146≈==BK AB i AK ．……………………………（3分）答：金字塔的高度AB 约为146.7米，斜坡AK 的坡度约为5453.0:1．23．（1）证明：∵正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ， ∴∠DAB=∠ADC =90°，AC ⊥DB ， ∴°°=×=∠=∠459021BDC DAC ．…………………………（2分）又∵QP ⊥BP ，∴∠EPO+∠OPB =90°，∵Rt △BOP 中，∠OBP+∠OPB =90°，…………………………（2分） ∴∠OBP =∠EPO , 即∠APQ =∠DBR ，…………………………（1分） ∴△APQ ∽△DBR …………………………（1分）（2）解：∵正方形ABCD 的边长为1，∴222=+==AD AB BD AC ．…………（1分） ∵∠QED =60°，∴∠BEP =∠QED =60°，∵Rt △BPE 中，∠BPE =90°，∴∠EBP+∠BEP =90°，∴∠PBE = 30°．………………（1分） 又∵Rt △BOP 中，2221==BD BO ，33tan ==∠OB OP OBP ，∴66=OP ．…………………………（1分） 又∵2221==AC AO ，∴AP=6622+．…………………………（1分）∵△APQ ∽Rt △DBR ，∴63326622+=+==BD AP DR AQ .…………………………（2分）24．解：（1）抛物线bx x y +=2经过点A （2, 0）和点B （－1，m ），将点A （2, 0）代入bx x y +=2得：2−=b ．…………………………（1分）又∵x x y 22−=过点B （－1，m ），代入得：3=m ，∴B （－1，3），…………（1分） 设直线AB 的表达式为)0(≠+=k c kx y ；将A （2, 0）、B （－1，3）代入得．=+−=+302c k c k ，解得：=−=21c k ∴直线AB 的表达式为2+−=x y ；…………………………（2分）（2）∵x x y 22−=顶点为点D ，∴D （1，-1），…………………………（1分） ∴5220)13()11(22==++−−=BD ，2)10()12(22=++−=AD ，23183)21(22==+−−=BA ，∴222BA AD BD +=，…………………………（2分）∴△ABD 是直角三角形，即∠BAD =90°，∴31232tan ===∠AB AD ABD ；…………（1分）（3）设线段BD 的表达式为)0(,≠+=e f ex y ，过B （－1，3），D （1，-1），−=+=+−13f e f e ，解得： =−=12f e ，∴线段BD 的表达式为12+−=x y ； ∴线段BD 与 x 轴交点P 的坐标为)0,21(．…………（1分） 由题意可知△ABP 是钝角三角形，∠BP A 是钝角 ∵点C 在x 轴上，且△ABC 与△ABP 相似，①当点C 在点A 右侧时，∠BAC=∠BP A +∠PBA >∠BP A ,不合题意,舍去； ②当点C 在点A 左侧，且与点P 重合时，点C )0,21(；……………………（1分） ③当点C 在点A 左侧，且与点P 不重合时，由△ABC 与△ABP 相似，∠BAP=∠CAB可得∠APB = ∠ABC, ∠PBA=∠ACB, 过点B 作BH ⊥x 轴，垂足为H ， ∵31tan =∠ABD ，∴31tan ==∠CH BH ACB∵B （－1，3），∴BH =3，∴CH =9，∴CH =9，∴C （－10，0）．…………（2分） 综上所述，点C 的坐标为)0,21(1C 、)0,10(2−C ．25．（1）证明：∵四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠EAD,∵AD AB AE ⋅=2，∴AE AD AB AE =，∴△ABE ∽△AED , …………………………（2分）∴∠AED =∠B ,又∵∠AEC =∠B +∠BAE , 即∠AED +∠DEC=∠B +∠BAE ， ∴∠DEC=∠BAE ，∴∠DEC=∠EAD .…………………………（1分）∵DC //AE ，∴∠CDE=∠DEA ，∴△AED ∽△E DC …………………………（1分）∴DE AE DC DE =，∴DC AE DE ⋅=2； …………………………（1分） （2）解：∵AB =9，AE =6，AD AB AE ⋅=2，∴AD =4.∵BE =AB =9，∴∠BEA=∠BAE . ∵∠BAE =∠EAD , ∴∠BEA=∠EAD ,∴AD //BC ， ∵DC //AE ，∴四边形AECD 是平行四边形.…………………（2分） ∴EC =AD =4，BC =9+4=13.过点B 作BG ⊥AE ，过点A 作AH ⊥BE ，垂足分别为G 、H .∵Rt △BAG 中，321==AE AG ，∴26392222=−=−=AG AB BG .………………（1分）∵△BAE 面积一定，∴AH BE BG AE ⋅=⋅2121, ∴24=AH .…………………………（1分）∴梯形ABCD 的面积=23424)134(21=×+；…………………………（1分） （先算出三角形ABE 面积后，用面积比等于相似比的平方，得到另两个三角形的面积，从而求出四边形面积）（3）解：∵△ABE ∽△AED ∽△E DC ，x BE =，y EF = ，AB =9，AE =6，AD =4，∴3296===AB AE BE DE ，∴DE =x BE 3232=，∴AE DE AD EC =，∴32==AE AD DE EC ，x x EC 943232=×=…………………（1分）∵DC AE DE ⋅=2，∴2272x DC =.…………………………（1分）又∵DC //AE ，∴AE DC EF CF =，∴8162729422x xy x y ==−. 所以28136xxy −=，定义域: 93<<x ．…………………………（2分）。
上海市静安区2019-2020学年中考一诊数学试题含解析
上海市静安区2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（）A．B．C．D．2．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是( )A．B．C．D．3．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是（）A．6B．5C．4D．34．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC=10，BD=6，则四边形EFGH的面积为（）A．20 B．15 C．30 D．605．如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．下列计算正确的是（）A．2m+3n=5mn B．m2•m3=m6C．m8÷m6=m2D．（﹣m）3=m3 7．下列图形中，属于中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．8．对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a★b＝()()a b a baa bb+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，那么函数y＝2★x的图象大致是（）A．B．C．D．9．下列各数中是有理数的是（）A．πB．0 C2D3510．下列运算正确的是（）A．a4+a2=a4B．（x2y）3=x6y3C．（m﹣n）2=m2﹣n2D．b6÷b2=b311．从标号分别为1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，下列事件中不可能事件是（）A．标号是2 B．标号小于6 C．标号为6 D．标号为偶数12．太原市出租车的收费标准是：白天起步价8元（即行驶距离不超过3km都需付8元车费），超过3km 以后，每增加1km，加收1.6元（不足1km按1km计），某人从甲地到乙地经过的路程是xkm，出租车费为16元，那么x的最大值是（）A．11 B．8 C．7 D．5二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．14．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD 的面积为_____．15．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=8，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接DB ，若tan ∠CBD=34，则BD=_____．16．如图，点D 、E 、F 分别位于△ABC 的三边上，满足DE ∥BC ，EF ∥AB ，如果AD ：DB=3：2，那么BF ：FC=_____．17．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，这个几何体最多可以由___________个这样的正方体组成.18．点A （x 1，y 1）、B （x 1，y 1）在二次函数y=x 1﹣4x ﹣1的图象上，若当1＜x 1＜1，3＜x 1＜4时，则y 1与y 1的大小关系是y 1_____y 1．（用“＞”、“＜”、“=”填空）三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分） (y ﹣z)1+(x ﹣y)1+(z ﹣x)1＝(y+z ﹣1x)1+(z+x ﹣1y)1+(x+y ﹣1z)1．求222(1)(1)(1)(1)(1)(1)yz zx xy x y z ++++++的值． 20．（6分）在边长为1的5×5的方格中，有一个四边形OABC ，以O 点为位似中心，作一个四边形，使得所作四边形与四边形OABC 位似，且该四边形的各个顶点都在格点上；求出你所作的四边形的面积．21．（6分）有A，B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和1．B 布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣1和﹣2．小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点Q的一个坐标为（x，y）．（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；（1）求点Q落在直线y=﹣x﹣1上的概率．22．（8分）为了解今年初三学生的数学学习情况，某校对上学期的数学成绩作了统计分析，绘制得到如下图表．请结合图表所给出的信息解答下列问题：成绩频数频率优秀45 b良好 a 0.3合格105 0.35不合格60 c（1）该校初三学生共有多少人？求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．初三（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．23．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．24．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）连接OE，若∠ABC＝60°，且AD＝DE＝4，求OE的长．25．（10分）“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门抽样调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了如下统计图：（1）填空：样本中的总人数为；开私家车的人数m= ；扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角为度；（2）补全条形统计图；（3）该单位共有2000人，积极践行这种生活方式，越来越多的人上下班由开私家车改为骑自行车．若步行，坐公交车上下班的人数保持不变，问原来开私家车的人中至少有多少人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数？26．（12分）从化市某中学初三（1）班数学兴趣小组为了解全校800名初三学生的“初中毕业选择升学和就业”情况，特对本班50名同学们进行调查，根据全班同学提出的3个主要观点：A高中，B中技，C就业，进行了调查（要求每位同学只选自己最认可的一项观点）；并制成了扇形统计图（如图）．请回答以下问题：（1）该班学生选择观点的人数最多，共有人，在扇形统计图中，该观点所在扇形区域的圆心角是度．（2）利用样本估计该校初三学生选择“中技”观点的人数．（3）已知该班只有2位女同学选择“就业”观点，如果班主任从该观点中，随机选取2位同学进行调查，那么恰好选到这2位女同学的概率是多少？（用树形图或列表法分析解答）．27．（12分）如图，在一个平台远处有一座古塔，小明在平台底部的点C处测得古塔顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得古塔顶部的仰角为30°．已知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求古塔AB的高(结果保留根号)参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断．【详解】A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查了中心对称图形，轴对称图形的判断．关键是根据图形自身的对称性进行判断．2．C【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断．【详解】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；C、如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；D、如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，∴△BDE≌△CEF，所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键．3．B【解析】【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．【详解】综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有1个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5个．故选：B．【点睛】此题考查由三视图判断几何体，解题关键在于识别图形4．B【解析】【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形EFGH是矩形，根据矩形的面积公式解答即可．【详解】∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，∴EF∥BD，且EF=12BD=1．同理求得EH∥AC∥GF，且EH=GF=12AC=5，又∵AC⊥BD，∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG．四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积=EF•EH=1×5=2，即四边形EFGH的面积是2．故选B．【点睛】本题考查的是中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（1）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．5．D【解析】解：∵EC=EA．∠CAE=30°，∴∠C=30°，∴∠AED=30°+30°=60°．∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AED=60°．故选D．点睛：本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．6．C【解析】【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．【详解】解：A、2m与3n不是同类项，不能合并，故错误；B、m2•m3=m5，故错误；C、正确；D、（-m）3=-m3，故错误；故选：C．【点睛】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题.7．B【解析】【分析】A、将此图形绕任意点旋转180度都不能与原图重合，所以这个图形不是中心对称图形.【详解】A、将此图形绕任意点旋转180度都不能与原图重合，所以这个图形不是中心对称图形;B、将此图形绕中心点旋转180度与原图重合，所以这个图形是中心对称图形;C、将此图形绕任意点旋转180度都不能与原图重合，所以这个图形不是中心对称图形;D、将此图形绕任意点旋转180度都不能与原图重合，所以这个图形不是中心对称图形．故选B.【点睛】本题考查了轴对称与中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.8．C【解析】【分析】先根据规定得出函数y＝2★x的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解．【详解】由题意，可得当2＜x，即x＞2时，y＝2+x，y是x的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A、D错误；当2≥x，即x≤2时，y＝﹣2x，y是x的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0＜x≤2，故B错误．故选：C．【点睛】本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数y＝2★x的解析式是解题的关键．9．B【解析】【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，结合无理数的定义进行判断即可得答案．【详解】A、π是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误；B、0是有理数，故本选项正确；C是无理数，故本选项错误；D故选B．【点睛】本题考查了实数的分类，熟知有理数是有限小数或无限循环小数是解题的关键．10．B【解析】分析：根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，同底数幂相除的性质，逐一计算判断即可.详解：根据同类项的定义，可知a4与a2不是同类项，不能计算，故不正确；根据积的乘方，等于个个因式分别乘方，可得(x2y)3=x6y3，故正确；根据完全平方公式，可得(m-n)2=m2-2mn+n2，故不正确；根据同底数幂的除法，可知b6÷b2=b4，不正确.故选B.点睛：此题主要考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，同底数幂相除的性质，熟记并灵活运用是解题关键.11．C【解析】【分析】利用随机事件以及必然事件和不可能事件的定义依次分析即可解答．【详解】选项A、标号是2是随机事件；选项B、该卡标号小于6是必然事件；选项C、标号为6是不可能事件；选项D、该卡标号是偶数是随机事件；故选C．【点睛】本题考查了随机事件以及必然事件和不可能事件的定义，正确把握相关定义是解题关键． 12．B 【解析】 【分析】根据等量关系，即（经过的路程﹣3）×1.6+起步价2元≤1．列出不等式求解． 【详解】可设此人从甲地到乙地经过的路程为xkm ， 根据题意可知：（x ﹣3）×1.6+2≤1， 解得：x≤2．即此人从甲地到乙地经过的路程最多为2km ． 故选B ． 【点睛】考查了一元一次方程的应用．关键是掌握正确理解题意，找出题目中的数量关系． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．1800° 【解析】试题分析：这个正多边形的边数为=12，所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°． 故答案为1800°．考点：多边形内角与外角． 14．25 【解析】试题解析：由题意»10DBCD BC =+= »11·1052522ABD S BD AB =⨯=⨯⨯=扇形15．5 【解析】 【分析】 由tan ∠CBD=CD BC =34设CD=3a 、BC=4a ，据此得出BD=AD=5a 、AC=AD+CD=8a ，由勾股定理可得（8a ）2+（4a ）2=82，解之求得a 的值可得答案．【详解】解：在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=CDBC=34，∴设CD=3a、BC=4a，则BD=AD=5a，∴AC=AD+CD=5a+3a=8a，在Rt△ABC中，由勾股定理可得（8a）2+（4a）2=82，解得：或（舍），则故答案为【点睛】本题考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，解题关键是熟记性质与定理并准确识图．16．3:2【解析】因为DE∥BC,所以32AD AEDB EC==,因为EF∥AB,所以23CE CFEA BF==,所以32BFFC=,故答案为: 3:2.17．1【解析】【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．【详解】易得第一层最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，所以此几何体共有1个正方体．故答案为1．18．＜【解析】【分析】先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．【详解】由二次函数y=x1-4x-1=（x-1）1-5可知，其图象开口向上，且对称轴为x=1，∵1＜x1＜1，3＜x1＜4，∴A点横坐标离对称轴的距离小于B点横坐标离对称轴的距离，∴y1＜y1．故答案为＜．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．1【解析】【分析】通过已知等式化简得到未知量的关系，代入目标式子求值.【详解】∵（y﹣z）1+（x﹣y）1+（z﹣x）1=（y+z﹣1x）1+（z+x﹣1y）1+（x+y﹣1z）1．∴（y﹣z）1﹣（y+z﹣1x）1+（x﹣y）1﹣（x+y﹣1z）1+（z﹣x）1﹣（z+x﹣1y）1=2，∴（y﹣z+y+z﹣1x）（y﹣z﹣y﹣z+1x）+（x﹣y+x+y﹣1z）（x﹣y﹣x﹣y+1z）+（z﹣x+z+x﹣1y）（z﹣x﹣z ﹣x+1y）=2，∴1x1+1y1+1z1﹣1xy﹣1xz﹣1yz=2，∴（x﹣y）1+（x﹣z）1+（y﹣z）1=2．∵x，y，z均为实数，∴x=y=z．∴()() ()()() 2221)111.111yz zx xyx y z+++= +++（20．（1）如图所示，见解析；四边形OA′B′C′即为所求；（2）S四边形OA′B′C′＝1．【解析】【分析】（1）结合网格特点，分别作出点A、B、C关于点O成位似变换的对应点，再顺次连接即可得；（2）根据S四边形OA′B′C′=S△OA′B′+S△OB′C′计算可得．【详解】（1）如图所示，四边形OA′B′C′即为所求．（2）S四边形OA′B′C′＝S△OA′B′+S△OB′C′＝×4×4+×2×2＝8+2＝1．【点睛】本题考查了作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．21．(1)见解析;(1)1 3【解析】试题分析：先用列表法写出点Q的所有可能坐标，再根据概率公式求解即可. （1）由题意得1 1-1 （1，-1）（1，-1）-1 （1，-1）（1，-1）-2 （1，-2）（1，-2）（1）共有6种等可能情况，符合条件的有1种P（点Q在直线y=−x−1上）=1 3 .考点：概率公式点评：解题的关键是熟练掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数的比值.22．（1）300人（2）b=0.15，c=0.2；（3）1 6【解析】分析：(1)利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数;(2)利用(1)中所求,结合频数÷总数=频率,进而求出答案;(3)根据题意画出树状图,然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率. 详解：（1）由题意可得：该校初三学生共有：105÷0.35=300（人），答：该校初三学生共有300人；（2）由（1）得：a=300×0.3=90（人），b==0.15，c==0.2；如图所示：（3）画树形图得：∵一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）==．点睛：此题主要考查了树状图法求概率以及条形统计图的应用,根据题意利用树状图得出所有情况是解题关键.23．（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与1的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=1，解得m=1∴2--2=1．∴∴另一根是2；(2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根24．(1)见解析13【解析】【分析】(1)四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质，可得AB=DE，AB//DE ，则四边形ABDE是平行四边形；(2)因为AD=DE=1，则AD=AB=1，四边形ABCD是菱形，由菱形的性质及解直角三角形可得AO=AB ⋅sin ∠ABO=2，BO=AB ⋅cos ∠ABO=23， BD=13 ，则AE=BD ，利用勾股定理可得OE ． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ． ∵DE ＝CD ， ∴AB ＝DE ．∴四边形ABDE 是平行四边形； （2）∵AD ＝DE ＝1， ∴AD ＝AB ＝1． ∴▱ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，AC ⊥BD ，12BO BD =，12ABO ABC ∠=∠．又∵∠ABC ＝60°， ∴∠ABO ＝30°．在Rt △ABO 中，sin 2AO AB ABO =⋅∠=，cos 23BO AB ABO =⋅∠=． ∴43BD =．∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴AE ∥BD ，43AE BD ==． 又∵AC ⊥BD ， ∴AC ⊥AE ．在Rt △AOE 中，22213OE AE AO =+=．【点睛】此题考查平行四边形的性质及判断，考查菱形的判断及性质，及解直角三角形，解题关键在于掌握判定定理和利用三角函数进行计算.25．（1）80，20，72；（2）16，补图见解析；（3）原来开私家车的人中至少有50人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数． 【解析】试题分析：（1）用乘公交车的人数除以所占的百分比，计算即可求出总人数，再用总人数乘以开私家车的所占的百分比求出m ，用360°乘以骑自行车的所占的百分比计算即可得解： 样本中的总人数为：36÷45%=80人； 开私家车的人数m=80×25%=20； 扇形统计图中“骑自行车”的圆心角为.（2）求出骑自行车的人数，然后补全统计图即可.（3）设原来开私家车的人中有x人改为骑自行车，表示出改后骑自行车的人数和开私家车的人数，列式不等式，求解即可．试题解析：解：（1）80，20，72.（2）骑自行车的人数为：80×20%=16人，补全统计图如图所示；（3）设原来开私家车的人中有x人改为骑自行车，由题意得，，解得x≥50.答：原来开私家车的人中至少有50人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数．考点：1.条形统计图；2.扇形统计图；3.频数、频率和总量的关系；4.一元一次不等式的应用．26．（4）A高中观点．4．446；（4）456人；（4）．【解析】试题分析：（4）全班人数乘以选择“A高中”观点的百分比即可得到选择“A高中”观点的人数，用460°乘以选择“A高中”观点的百分比即可得到选择“A高中”的观点所在扇形区域的圆心角的度数；（4）用全校初三年级学生数乘以选择“B中技”观点的百分比即可估计该校初三学生选择“中技”观点的人数；（4）先计算出该班选择“就业”观点的人数为4人，则可判断有4位女同学和4位男生选择“就业”观点，再列表展示44种等可能的结果数，找出出现4女的结果数，然后根据概率公式求解．试题解析：（4）该班学生选择A高中观点的人数最多，共有60%×50=4（人），在扇形统计图中，该观点所在扇形区域的圆心角是60%×460°=446°；（4）∵800×44%=456（人），∴估计该校初三学生选择“中技”观点的人数约是456人；（4）该班选择“就业”观点的人数=50×（4-60%-44%）=50×8%=4（人），则该班有4位女同学和4位男生选择“就业”观点，列表如下：共有44种等可能的结果数，其中出现4女的情况共有4种．所以恰好选到4位女同学的概率=．考点：4．列表法与树状图法；4．用样本估计总体；4．扇形统计图．27．古塔AB的高为（103+2）米．【解析】试题分析：延长EF交AB于点G．利用AB表示出EG，AC．让EG-AC=1即可求得AB长．试题解析：如图，延长EF交AB于点G．设AB=x米，则BG=AB﹣2=（x﹣2）米．则EG=（AB﹣2）÷tan∠3x﹣2），CA=AB÷tan∠ACB=33x．则CD=EG﹣3x﹣23．解可得：3．答：古塔AB的高为（3+2）米．。
2019-2020学年上海市静安区初三数学一模(试卷+参考答案)
静安区2019学年第一学期期末教学质量调研九年级数学试卷 2020.1（完成时间：100分钟 满分：150分 ） 考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3. 答题时可用函数型计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．已知y x a +=，y x b -=，那么ab 的值为（A ）x 2； （B ）y 2； （C ）y x -； （D ）y x +．2．已知点P 在线段AB 上，且AP ∶PB=2∶3，那么AB ∶PB 为 （A ）3∶2； （B ）3∶5；（C ）5∶2；（D ）5∶3．3．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：DB =4：5，下列结论中正确的是 （A ）54=BC DE ； （B ）49=DE BC ； （C ）54=AC AE ； （D ）45=AC EC ．4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，如果a =3b ，那么∠A 的余切值为 （A ）31； （B ）3； （C ）42； （D ）1010．5．如图1，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设a OA =，=，下列式子中正确的是（A ）+=； （B ）-=； （C ）+-=； （D ）--=．6．如果将抛物线22-=x y 平移，使平移后的抛物线与抛物线982+-=x x y 重合，那么它平移的过程可以是（A ）向右平移4个单位，向上平移11个单位；（B ）向左平移4个单位，向上平移11个单位； （C ）向左平移4个单位，向上平移5个单位； （D ）向右平移4个单位，向下平移5个单位．图1二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．因式分解：=-x x 52 ▲ ．8．已知13)(+=x x f ，那么)3(f = ▲ ． 9．方程2111=+-x x 的根为 ▲ ． 10．已知：43=y x ，且y ≠4，那么43--y x = ▲ ． 11．在△ABC 中，边BC 、AC 上的中线AD 、BE 相交于点G ，AD =6，那么AG = ▲ ． 12．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是 ▲ ．13．如图2，在大楼AB 的楼顶B 处测得另一栋楼CD 底部C 的俯角为60度，已知A 、C 两点间的距离为15米，那么大楼AB 的高度为 ▲ 米．（结果保留根号）14．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为)0(>x x ，六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解式是 ▲ ． 15．矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为135，那么该矩形的面积为 ▲ ． 16．已知二次函数a x a x ay ++=2228（a 是常数，a ≠0），当自变量x 分别取-6、-4时，对应的函数值分别为y 1、y 2，那么y 1、y 2的大小关系是：y 1 ▲ y 2（填“>”、“<”或“=”）．17．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =4，BC =9，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，且EF 是梯形ABCD 的“比例中线”，那么FCDF= ▲ ． 18. 如图3，有一菱形纸片ABCD ，∠A ＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos ∠EFB 的值为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）先化简，再求值：2222442y xy x y x y x y x ++-÷+-，其中x =sin45°，y =cos60°．CBAD图2 图3ABCD如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC =20，53sin =A ， CD ⊥AB ，垂足为D ． （1）求BD 的长；（2）设a AC =， b BC =，用a 、表示．21．（本题满分10分，其中第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）小题4分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线12++=bx x y （b 为常数）的对称轴是直线x =1．（1）求该抛物线的表达式；（2）点A （8，m ）在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A'，求点A'的坐标； （3）选取适当的数据填入下表，并在如图5所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．22．（本题满分10分，其中第（1）小题7分，第（2）小题3分）如图6，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A 点正东方向距离100米的C 处测得轮船M 在北偏东22°方向上． （1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果精确到0.01米） （2）如果轮船M 沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB 靠岸？请说明理由． （参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404，3≈1.732．）CABD 图4图6MABCl图5如图7，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，OD 2 = OB ·OE ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形； （2）如果BC =BD ，AE ·AF =AD ·BF ，求证：△ABE ∽△ACD ．24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知二次函数c bx ax y ++=2（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ． （1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果2:3:=∆∆BCD ABD S S ，求tan ∠DBC 的值；（3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知：如图9，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在边BC 、DC 上，AB 2 =BE · DC ，DE :EC =3:1 ，F 是边AC 上的一点，DF 与AE 交于点G ．（1）找出图中与△ACD 相似的三角形，并说明理由； （2）当DF 平分∠ADC 时，求DG :DF 的值； （3）如图10，当∠BAC=90°，且DF ⊥AE 时，求DG :DF 的值．图8Oyx图7 A B D C E F O图9 C A B D E FG 图10 GFAB D E静安区2019学年第一学期期末学习质量调研九年级数学试卷参考答案及评分说明 2020.1一、选择题1． C ； 2．D ； 3．B ； 4．A ； 5．C ； 6．D ． 二、填空题7．x （x -5）； 8．10； 9．x =3； 10．43； 11． 4； 12．16:25； 13．315 ； 14．21200）（x y +=或2004002002++=x x y ； 15．240； 16．>；17． 32； 18．71 ．三、解答题19．解：原式＝ ))(()2(22y x y x y x y x y x -++⋅+-…………………………………………………………………（4分）＝yx yx ++2．………………………………………………………………………………………（2分） 当x =sin45°=22，y =cos60°=21时…………………………………………………………………………（2分）原式＝2212221222=+⨯+． ……………………………………………………………………（2分）20．解：（1）∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =∠BDC =90°，在Rt △ACD 中，AC CD A =sin ，∴125320sin =⨯=⋅=A AC CD ．…………………………（2分）∴1612202222=-=-=CD AC AD …………………………………………………………（1分）∴43tan ==AD CD A ．………………………………………………………………………………（1分）∵∠ACB =90°，∴∠DCB+∠B =∠A+∠B =90°，∴∠DCB =∠A ．………………………（1分）∴94312tan tan =⨯=⋅=∠⋅=A CD DCB CD BD ．…………………………………………（2分） （2） ∵25916=+=+=DB AD AB ，∴2516=AB AD ．…………………………………………………（1分）又∵-=+=， …………………………………………………………………（1分）∴251625162516-==．…………………………………………………………………（1分）21．解：（1）∵对称轴为2b x -=∴12=-b．……………………………………………………（1分）∴b =-2．…………………………………………………………………………………………（1分）∴抛物线的表达式为122+-=x x y ．………………………………………………………（1分）（2） ∵点A （8，m ）在该抛物线的图像上，∴当x =8时，4918)1(12222=-=-=+-=）（x x x y ．∴点A （8，49）．………………………………………………………………………………………（1分）∴ 点A （8，49）关于对称轴对称的点A'的坐标为（-6，49）．…………………………………（2分）（3）表格正确，得2分；图正确得2分．22．解：（1）过点M 作MD ⊥AC 交AC 的延长线于D ，设DM =x ．…………………………………（1分）∵在Rt △CDM 中， CD = DM ·tan ∠CMD = x ·tan22°，………………………………………（1分）又∵在Rt △ADM 中，∠MAC =45°，∴AD =DM ，………………………………………………（1分）∵AD =AC +CD =100+ x ·tan22°，…………………………………………………………………（1分）∴100+ x ·tan22°=x ．………………………………………………………………………………（1分）∴79.167785.167404.0110022tan 1100≈≈-≈-=οx ．………………………………………………（2分）答：轮船M 到海岸线l 的距离约为167.79米．（2）作∠DMF =30°，交l 于点F ．在Rt △DMF 中，DF = DM ·tan ∠FMD = DM ·tan30°=33DM ≈79.1673732.1⨯≈96.87米．……………………………………………（1分）∴AF =AC +CD +DF =DM +DF ≈167.79+96.87=264.66<300．……………………………………（1分） 所以该轮船能行至码头靠岸．………………………………………………………………………（1分）23．证明：（1）∵OD 2 =OE · OB ，∴OBODOD OE =． ……………………………………………………（1分）∵AD //BC ，∴OBODOC OA =．……………………………………………………………………（2分）∴ODOEOC OA =．……………………………………………………………………………………（1分）∴ AF//CD ．…………………………………………………………………………………………（1分）∴四边形AFCD 是平行四边形．…………………………………………………………………（1分）（2）∵AF//CD ，∴∠AED =∠BDC ，BCBFBD BE =．…………………………………………（1分）∵BC =BD ，∴BE =BF ，∠BDC =∠BCD …………………………………………………………（1分）∴∠AED =∠BCD ．∵∠AEB =180°-∠AED ，∠ADC =180°-∠BCD ，∴∠AEB =∠ADC ．…………………………（1分）∵AE ·AF =AD ·BF ，∴AFADBF AE =．…………………………………………………………（1分）∵四边形AFCD 是平行四边形，∴AF =CD ．…………………………………………………（1分）∴DCADBE AE =．…………………………………………………………………………………（1分）∴△ABE ∽△ADC ．24．解：（1）将A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0）代入）（02≠++=a c bx ax y 得，⎪⎩⎪⎨⎧++=--+=-+=cb a b a 003,4390,30…………………………………………………………………………………（3分）解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.3,4,1c b a ∴此抛物线的表达式是342-+-=x x y ．…………………………………（1分）（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，则23:)21(:)21(：：==⋅⋅=∆∆DC AD h DC h AD S S BCD ABD （1分）又∵DH //y 轴，∴52===OA DH AC DC OC CH ．∴56352=⨯==DH CH ．………………………（1分）∴54562=-=-=CH BC BH ．…………………………………………………………………（1分）∴tan ∠DBC=23=BH DH ．……………………………………………………………………………（1分）（3）方法一：∵1)2(3422+--=-+-=x x x y ，所以对称轴为直线x =2，设直线x =2与x 轴交于点G ．（1分）过点A 作AF 垂直于直线x =2，垂足为F ．∵OA =OC =3，∠AOC =90°，∴∠OAC=∠OCA=45°．∵AF //x 轴，∴∠F AC=∠OCA=45°． ∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC=∠EAC∵∠BAO=∠OAC -∠BAC ，∠EAF=∠F AC -∠EAC ，∴∠BAO=∠EAF ………………………（1分） ∵∠AOB =∠AFE =90°，∴△OAB ∽△FEA ，∴31==AF EF OA OB ． ∵AF =2，∴32=EF ．…………………………………………………………………………………（1分）∴EG =GF -EF =AO -EF =3-32=37． ∴E （2，37-）．……………………………………………（1分）方法二：延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，∵OA =OC =3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC -∠BAC=45°-∠BAC ，∠OF A=∠OCA -∠F AC=45°-∠F AC ，∵∠BAC =∠F AC ，∴∠OAB=∠OF A ．………………………………………………………………（1分）∴△OAB ∽△OF A ，∴31==OF OA OA OB ．∴OF =9，即F （9，0）…………………………………（1分）设直线AF 的解析式为y =kx +b （k ≠0），可得⎩⎨⎧=-+=,3,90b b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==,3,31b k ∴直线AF 的解析式为331-=x y ……………………………（1分）将x =2代入直线AF 的解析式得37-=y ，∴E （2，37-）……………………………………（1分） 25．（1）与△ACD 相似的三角形有：△ABE 、△ADC ，理由如下：……………………………………（2分）∵AB 2 =BE · DC ，∴DCABAB BE =．……………………………………………………………………（1分）∵AB =AC ，∴∠B =∠C ．………………………………………………………………………………（1分）DCACAB BE =…………………………………………………………………………………………（1分） ∴△ABE ∽△DCA ．∵△ABE ∽△DCA ，∴∠AED =∠DAC ．∵∠AED =∠C +∠EAC ，∠DAC =∠DAE +∠EAC ，∴∠DAE =∠C ．∴△ADE ∽△CDA ．……（1分）（2）∵△ADE ∽△CDA ，又∵DF 平分∠ADC ，∴CDADAD DE DF DG ==…………………………………（1分）设CE =a ，则DE=3CE =3a ，CD =4a ，∴aAD AD a 44= ，解得a AD 32=（负值已舍）………（2分）∴23432===a a CD AD DG DF …………………………………………………………………………（1分）（3）∵∠BAC=90°，AB =AC ，∴∠B =∠C =45° ，∴∠DAE =∠C=45°∵DG ⊥AE ，∴∠DAG =∠ADF =45°，∴AG=DG=a a AD 6322222=⋅=…………………（1分）∴a DG DE EG 322=-=………………………………………………………………………（1分）∵∠AED =∠DAC ∴△ADE ∽△DF A∴AD AEDF AD =，∴a AE AD DF ）（3642-==…………………………………………………（1分）∴422+=DF DG ……………………………………………………………………………………（1分）。
2020年上海市静安区初三中考一模数学试卷及答案 Word含解析
2020年上海市静安区初三一模数学试卷一、选择题1、已知a =b =ab 的值为（ ）A. B.C.x y -D.x y +2、已知点P 在线段AB 上，且:2:3AP PB =，那么:AB PB 为（ ）A.3:2B.3:5C.5:2D.5:33、在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，:4:5AD DB =，下列结论中正确的是（ ）A.45DE BC = B.94BC DE = C.45AE AC = D.54EC AC = 4、在Rt ABC 中90C ∠=，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别是,,a b c ，如果3a b =，那么A ∠的余切值为（ ）A.13B.3 5、如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，下列式子中正确的是（ ）A.DC a b =+B.DC a b =-C.DC a b =-+D.DC a b =--6、如果将抛物线22y x =-平移，使平移后的抛物线与抛物线289y x x =-+重合，那么它平移的过程可以是（ ） A.向右平移4个单位，向上平移11个单位 B.向左平移4个单位，向上平移11个单位C.向左平移4个单位，向上平移5个单位D.向右平移4个单位，向下平移5个单位二、填空题7、因式分解：25x x -= .8、已知()f x =()3f = .9、方程1112x x -=+的根是 . 10、已知：34x y =，且4y ≠，那么34x y -=- . 11、在ABC 中，边BC 、AC 上的中线AD 、BE 相交于点G ，6AD =，那么AG = . 12、如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么两个三角形的面积比是 .13、如图，在大楼AB 的楼顶B 处测得另一栋楼CD 底部C 的俯角为60，已知A 、C 两点间的距离为15米，那么大楼AB 的高度为 米。
（结果保留根号）14、某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为x （0x >），六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是 . 15、矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513，那么该矩形的面积为 .16、已知二次函数2228y a x a x a =++（a 是常数，0a ≠），当自变量x 分别取6-，4-时，对应的函数值分别为1y 、2y ，那么1y 、2y 的大小关系是：1y 2y （填“>”、“<”、“=”）.17、平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”.在梯形ABCD 中，//AD BC ，4AD =，9BC =，点E F 分别在边AB 、CD 上，且EF 是梯形ABCD 的“比例中线”，那么DFFC= . 18、如图，有一菱形纸片ABCD ，60A ∠=，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos EFB ∠的值为 .三、解答题19、先化简，再求值：2222244x y x y x y x xy y --÷+++，其中sin 45x =，cos 60y =.20、如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，20AC =，3sin 5A =，CD AB ⊥，垂足为D . （1）求BD 的长；（2）设AC a =，BC b =，用a 、b 表示AD21、已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y x bx =++（b 为常数）的对称轴是直线1x =. （1）求该抛物线的表达式；（2）点()8,A m 在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为'A ，求点'A 的坐标. （3）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线.22、如图，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45方向上；同一时刻，在A 点正东方向距离100米的C 处测得轮船M 在北偏东22方向上. （1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果精确到0.01米）（2）如果轮船M 沿着南偏东30的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB 靠岸？请说明理由.（sin 220.375≈，cos 220.927≈，tan 220.404≈ 1.732≈.）23、如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，2OD OB OE =⋅.（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC BD =，AE AF AD BF ⋅=⋅，求证：ABEACD .24、在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图像经过点()0,3A -、()1,0B 、()3,0C ，联结AB 、AC . （1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABDBCDSS=，求tan DBC ∠的值；（3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分BAE ∠时，求点E 的坐标.25、已知，如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 、DC 上，2AB BE DC =⋅，:3:1DE EC =，F 是边AC 上的一点，DF 与AE 交于点G .（1）找出图中与ACD 相似的三角形，并说明理由； （2）当DF 平分ADC ∠时，求:DG DF 的值；（3）如图，当90BAC ∠=，且DF AE ⊥时，求:DG DF 的值.参考答案1-6、CDBACD7、()5x x - 8 9、3x = 10、3411、412、16:25 13、 14、()22001y x =+ 15、240 16、> 17、23 18、1719、原式2x yx y+=+=20、（1）9；（2）16162525AD a b =-； 21、（1）221y x x =-+；（2）()'6,49A -；（3）略 22、（1）167.79m ；（2）能 23、略24、（1）243y x x =-+-；（2）32；（3）72,3⎛⎫- ⎪⎝⎭25、（1）ACD EBA EAD ；（2（3）24+。
2024静安区初三数学一模解析
2024静安区初三数学一模解析2024年静安区初三数学一模试卷的解析如下：一、选择题1. 题目考查了二次函数的性质。
根据二次函数的性质，我们知道对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。
对于函数$y = x^{2} - 2x$，其对称轴为$x = 1$。
由于函数图像开口向上，所以在对称轴左侧函数值随着$x$的增大而减小。
因此，当$x < 1$时，$y$随$x$的增大而减小。
故选：D。
2. 题目考查了相似三角形的判定与性质。
根据相似三角形的判定，我们知道如果两个三角形的两组对应边的比相等且夹角相等，则这两个三角形相似。
对于三角形ABC和三角形DEF，我们有$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = \frac{3}{4}$且$\angle A = \angle D$，所以三角形ABC 与三角形DEF相似。
相似三角形的对应角相等，所以$\angle BAC =\angle EDF$。
故选：C。
二、填空题1. 题目考查了二次函数的性质。
根据二次函数的性质，我们知道当函数图像开口向上时，顶点的纵坐标为最小值；当函数图像开口向下时，顶点的纵坐标为最大值。
对于函数$y = x^{2} - 2x$，其顶点为$(1, -1)$，所以函数的最小值为$-1$。
故答案为$-1$。
2. 题目考查了全等三角形的判定与性质。
根据全等三角形的判定，我们知道如果两个三角形的三组对应边分别相等，则这两个三角形全等。
对于三角形ABC和三角形DEF，我们有$AB = DE$、$BC = EF$和$CA = FD$，所以三角形ABC与三角形DEF全等。
全等三角形的对应角相等，所以$\angle ABC = \angle DEF$。
故答案为$\angle ABC = \angle DEF$。
三、解答题1. 题目考查了二次函数的图象与性质。
根据二次函数的性质，我们知道当函数图像开口向上时，函数值随着$x$的增大而增大；当函数图像开口向下时，函数值随着$x$的增大而减小。
上海静安区初三一模模拟卷(含答案)
一模模拟试卷1班级______姓名 学号______成绩________（满分150分，考试时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．将抛物线C 向右平移2个单位后所得抛物线C ’:22y x =, 抛物线C 的表达式是……………………………………………………………………………（ ▲ ） （A ）222+=x y ；（B ）2)2(2+=x y ； （C ）2)2(2-=x y ；（D ）222-=x y ． 2．以下图形中一定属于互相放缩关系的是………………………………………（ ▲ ） （A ）斜边长分别是10和5的两直角三角形； （B ）腰长分别是10和5的两等腰三角形； （C ）边长分别为10和5的两菱形； （D ）边长分别为10和5的两正方形．3．如图，已知在△ABC 中，D 是边BC 的中点，a BA =，b BC =，那么DA 等于…（ ▲ ）（A ）b a -21； （B ）b a 21-； （C ）a b -21； （D ）a b 21-． 4．下列各组条件中，一定能推得△ABC 与△DEF 相似的是…………………（ ▲ ）（A ）∠A =∠E 且∠D =∠F ； （B ）∠A =∠B 且∠D =∠F ； （C ）∠A =∠E 且AB EFAC ED =；（D ）∠A =∠E 且AB FDBC DE=． 5．下列方程有实数根的是（ ▲ ）（A ）4+2=0x ； （B ）22=1x --； （C ）2+21=0x x -；（D ）111x x x =-- 6. 我们定义：当m ，n 是正实数，且满足m ＋n ＝mn 时，就称P ⎝⎛⎭⎫m ，mn 为“完美点”，已知点A (0，5)与点B 都在直线y ＝－x ＋b 上，且B 是“完美点”，若C 也是“完美点”且BC ＝2，则点C 的坐标可以是( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(3，4)D ．(2，4)二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形上看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边长等于 cm 8．如图，已知点G 为△ABC 的重心，DE 过点G ，且DE //BC ， EF //AB ，那么:CF BF = ．9．不等式组1020.x x +≥⎧⎨-≥⎩，的正整数解是 ．AC （第3题图）ACD E F· G10．已知从地面进入地下车库的斜坡的坡度为1︰2.4，地下车库的地坪与地面的垂直距离等于5米，那么此斜坡的长度等于米11．如果抛物线2(2)y a x =-的开口方向向下，那么a 的取值范围是 ▲ ． 12. 如果AB //CD ，23AB CD =，AB 与CD 的方向相反，那么AB = CD ． 13．在△ABC 中，∠C =90°，如果1sin 3A =，AB =6，那么BC = ． 14．如果二次函数2y x bx c =++配方后为2(2)1y x =+-，那么c 的值是 .15．如图1，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是 .16．如果1(1,)A y -，2(2,)B y -是二次函数2(1)+y x m =+图像上的两个点，那么y 1 y 2（请填入“>”或“<”）．17. 如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°，将△ABC 沿射线BC 方向平移2个单位后，得到△A ′B ′C ′，联结A ′C ，则△A ′B ′C 的周长为_______．18.如图,在矩形ABCD 中,将∠ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后,BC 的对应边B'C'交CD 于点G ,连结BB'、 CC'.若AD=7, CG=4, AB'=B'G ,则= (结果保留根号).第15题 第17题 第18题 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求代数式(2a ＋1－2a －3a 2－1)÷1a ＋1的值，其中a ＝2sin 60°＋tan 45°20．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，已知在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、DC 的中点，设AB a =，AD b =． （1）求向量MD 、MN （用向量a 、b 表示）； （2）求作向量MN 在AB 、AD 方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）ABCD NM （第20题图）GCA E FB 第23题图 21．（本题满分10分，每小题满分各5分）某条道路上通行车辆限速为60千米/时，在离道路50米的点P 处建一个监测点，道路的AB 段为监测区（如图）．在△ABP 中，已知∠P AB = 32º，∠PBA = 45º，那么车辆通过AB 段的时间在多少秒以内时，可认定为超速（精确到0.1秒）？（参考数据：sin320.53︒≈，cos320.85︒≈，tan320.62︒≈，cot32 1.60︒≈）22．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时，直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x 的图象上，它的“带线”l 的表达式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的表达式；23．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图，在Rt △CAB 与Rt △CEF 中，∠ACB=∠FCE=90°，∠CAB=∠CFE ，AC 与EF 相交于点G ，BC =15，AC=20． （1）求证：∠CEF =∠CAF ； （2）若AE =7，求AF 的长．P A B（第21题图）24．（本题满分12分，每小题4分）如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的式子表示a；（2）求证：ADAE为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．图1 备用图九年级第一学期数学期末模拟试卷参考答案一 、选择题：（本大题共8题，满分24分） 1．B 2. D 3. C 4 . C 5.C 6.B 二、填空题：（本大题共12题，满分48分）7．10 8.12 9. 1，2 10. 13 11.a>2 12. 32- 13. 2 14.515 .5 16. < 17. 12． 18. 三．（本大题共7题，满分78分） 19． （本题满分10分）化简得11a -，1a =20.（本题满分10分）解：（1）∵ M 是边AD 的中点，∴ 1122MD AD b ==． ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ DC // AB ，DC = AB ．∴ DC AB a ==．又∵ N 是边DC 的中点，∴ 21=．∴ 1122MN MD DN b a =+=+．（2）作图正确．21．（本题满分10分）解：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C ．根据题意，可知 PC = 50米． 在Rt △PBC 中，∠PCB = 90º，∠PBA = 45º， ∴ cot 50cot 4550BC PC B =⋅=⋅︒=． 在Rt △P AC 中，∠PCA = 90º，∠P AB = 32º， ∴ cot 50cot3280AC PC PAB =⋅∠=⋅︒≈． ∴ AB = AC +BC ≈ 80 +50 = 130（米）．∵ 13036007.8601000⨯=⨯（秒）∴ 车辆通过AB 段的时间在7.8秒以内时，可认定为超速22．（本题满分10分，每小题满分各5分）22(1)令直线y ＝mx ＋1中x ＝0，则y ＝1，即直线与y 轴的交点为(0，1)，将(0，1)代入抛物线y ＝x 2－2x ＋n 中，得n ＝1.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，∴抛物线的顶点坐标为(1，0)．将点(1，0)代入到直线y ＝mx ＋1中，得0＝m ＋1，23. （1）证明：∵∠CAB=∠CFE 又∵∠FGC=∠AGE∴△FGC ∽△AGE ∴FG CG AG EG =∴ FG AGCG EG= 又∵∠AGF=∠EGC ∴△AGF ∽△EGC∴∠CEG =∠F AG 即∠CEF =∠CAF（2）解：∵∠ACB=∠FCE=90° ∴∠ACF =∠BCE∵∠CAB=∠CFE ∴∠B =∠CEF ∵∠CEF =∠CAF ∴∠CAF =∠B∴△ACF ∽△BCE ∴AC AFBC BE= 在Rt △CAB 中， BC =15，AC=20 ∴AB =25 又∵AE =7 ∴BE=18 ∴201518AF = ∴AF=2424．（1）将C (0,－3)代入y ＝a (x 2－2mx －3m 2)，得－3＝－3am 2．因此21a m =． （2）由y ＝a (x 2－2mx －3m 2)＝a (x ＋m )(x －3m )＝a (x －m )2－4axm 2＝a (x －m )2－4， 得A (－m , 0)，B (3m , 0)，F (m , －4)，对称轴为直线x ＝m ．所以点D 的坐标为(2m ,－3)．设点E 的坐标为(x , a (x ＋m )(x －3m ))．如图2，过点D 、E 分别作x 轴的垂线，垂足分别为D ′、E ′．由于∠EAE ′＝∠DAD ′，所以''''EE DD AE AD =．因此()(3)33a x m x m x m m+-=+． 所以am (x －3m )＝1．结合21a m=，于是得到x ＝4m ． 当x ＝4m 时，y ＝a (x ＋m )(x －3m )＝5am 2＝5．所以点E 的坐标为(4m , 5)． 所以'3'5AD DD AE EE ==．图2 图3（3）如图3，由E (4m , 5)、D (2m ,－3)、F (m ,－4)， 可知点E 、D 、F 到x 轴的距离分别为5、4、3．那么过点F 作AD 的平行线与x 轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G ．证明如下：作FF ′⊥x 轴于F ′，那么'4'3GF FF AD DD ==． 因此534AE AD GF==．所以线段GF 、AD 、AE 的长围成一个直角三角形． 此时GF ′＝4m ．所以GO ＝3m ，点G 的坐标为(－3m , 0)． 25.解(1) 在Rt △ABC 中， AC ＝3，BC ＝4，所以AB ＝5．在Rt △ACD 中，39cos 355AD AC A ==⨯=．(2) ①如图2，当F 在AC 上时，905x <<．在Rt △AEF 中，4tan 3EF AE A x ==．所以21223y AE EF x =⋅=． 如图3，当F 在BC 上时，955x <≤．在Rt △BEF 中，3tan (5)4EF BE B x ==-．所以21315288y AE EF x x =⋅=-+． ②当905x <<时，223y x =的最大值为5425；当955x <≤时，231588y x x =-+23575)8232x =--+(的最大值为7532． 因此，当52x =时，y 的最大值为7532．图2 图3 图4(3)△ABC 的周长等于12，面积等于6．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，AF ＝6－x ，x 的变化范围为3＜x ≤5．因此1142sin (6)(6)2255AEF S AE AF A x x x x ∆=⋅⋅=-⨯=--．解方程2(6)35x x --=，得1362x = 因为1362x =+3≤x ≤5范围内（如图4），因此存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．。
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静安区2０17学年第一学期期末学习质量调研
九年级数学
20１8.1
一、选择题（本大题共６题,每题4分，满分24分） 1. 化简2
5
()a a -⋅所得的结果是（ ）
A. 7a ﻩﻩﻩ B ． 7a -ﻩﻩ
C. 10a ﻩﻩ
D. 10a -
２． 下列方程中，有实数根的是( ）
ﻩA.
110x -+=ﻩﻩB. 11x x +
=ﻩ ﻩＣ. 4230x +=ﻩﻩＤ. 211
x =-- 3.ﻩ如图,比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC 和BD 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使3,3OA OC OB OD ==)，然后张开两脚,使,A B 两个尖端分别在线段
a 的两个端点上,当 1.8CD =ｃm 时,AB 的长是( )
A ． ７．2cmﻩ
B ． 5．４c ｍ C. 3.6cm D ． ０．6ｃm 4.ﻩ下列判断错误的是( )
A. 如果0k =或0a =，那么0ka =
B. 设m 为实数,则()m a b ma mb +=+
ﻩC. 如果//a e ，那么a a e =
ﻩD. 在平行四边形ABCD 中,AD AB BD -=
5．ﻩ在Rt ABC 中,90C ∠=,如果1
sin 3
A =
,那么sin B 的值是( ）
ﻩA.
3
ﻩﻩﻩB. ﻩﻩC.
4
ﻩﻩﻩD. 3
6.ﻩ将抛物线2
123y x x =--先向左平移1个单位,再向上平移4个单位后,与抛物线
22y ax bx c =++重合，现有一直线323y x =+与抛物线22y ax bx c =++相交，当23y y ≤时,利
用图像写出此时x 的取值范围是（ ） ﻩＡ． 1x ≤-
B. 3x ≥ﻩ ﻩﻩ
C. 13x -≤≤ﻩﻩＤ． 0x ≥
二、填空题(本大题共1２题，每题４分,满分４8分) 7. 已知
13a c b d ==,那么
a c
b d
++的值是____＿＿__＿___． 8．ﻩ已知线段AB 长是２厘米，P 是线段AB 上的一点，且满足2
AP AB BP =⋅，那么AP 长为__＿＿＿___＿＿＿_厘米.
９. 已知ABC 、2,DEF 的两边长分别是1，如果ABC 与
DEF 相似,那么DEF 的第三边长应该是___＿＿__＿____.
1０. 如果一个反比例函数图像与正比例函数2y x =图像有一个公共点(1,)A a ,那么这个反比例函数的解析式是____＿______＿．
11.ﻩ如果抛物线2
y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数,且0a ≠ )在对称轴左侧的部分是上升的，那么a _＿＿_____＿__＿0．(填“<”或“>”）
１2.ﻩ将抛物线2()y x m =+向右平移２个单位后,对称轴是y 轴，那么m 的值是____________. 13．
如图,斜坡AB 的坡度是1:4,如果从点B 测得离地面的铅垂高度BC 是6米，那么斜坡AB
的长度是____________米．
1４.ﻩ在等腰ABC 中,已知5,8AB AC BC === ,点G 是重心,联结BG ,那么CBG ∠的余切值是__＿＿_＿＿_＿__＿.
15．ﻩ如图，ABC 中，点D 在边AC 上，,9,7ABD C AD DC ∠=∠==,那么AB =______＿_＿___．
１６.
已知梯形ABCD ,//AD BC ，点E 和F 分别在两腰AB 和
DC 上，且EF 是梯形的中位线，3,4AD BC ==.设AD a =,那么向量
EF =＿_＿＿__＿_＿＿__．(用向量a 表示)
１７.ﻩ如图,ABC 中，,90,6AB AC A BC =∠==，直线//MN BC ,且分别交边AB 、AC 于点M 、N ，已知直线MN 将ABC 分为面积相等的两部分,如果将线段AM 绕着点A 旋转，使点M 落在边BC 上的点D 处,那么BD =_____＿___＿＿_.
1８. 如图，矩形纸片,4,3ABCD AD AB ==．如果点E 在边BC 上,将
纸片沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，联结FC ,当EFC 是直角三角形时，那么BE 的长为______＿__＿__.
三、解答题（本大题共7题,满分78分)
1９． (本题满分10分)
计算：
3cot 451
tan 60sin 60cos302cos 601
+-⨯+.
20.ﻩ(本题满分10分）解方程组：2
5
()2()30x y x y x y +=⎧⎨
----=⎩
①②．
21． (本题满分１0分,第1小题4分，第２小题６分)
已知：二次函数图像的顶点坐标是(3,5)，且抛物线经过点(1,3)A ．
(1）求此抛物线的表达式;
（2)如果点A 关于该抛物线对称轴的对称点是B 点，且抛物线与y 轴的交点是C 点,求ABC 的面积．
22. (本题满分10分，第1小题５分，第２小题５分)
如图,在一条河的北岸有两个目标M 、N ，现在位于它的对岸设定两个观测点A 、B ，已知
//AB MN ，在A 点测得60MAB ∠=,在B 点测得45MBA ∠=,600AB =米.
(1）求点M 到AB 的距离;(结果保留根号）
（2)在B 点又测得53NBA ∠=,求MN 的长．(结果精确到1米)
（参考数据 1.732,sin 530.8,cos530.6,tan 53 1.33,cot 530.75≈≈≈≈≈)
23. (本题满分1２分,其中第1小题6分,第2小题6分）
ﻩ已知:如图,梯形ABCD 中，//,,DC AB AD BD AD DB =⊥ ,点E 是腰AD 上一点,作
45EBC ∠=,联结CE ,交DB 于点F ．
(1）求证：ABE ∽DBC ；
(2）如果
56
BC BD =,求
BCE BDA
S S 的值.
24.ﻩ(本题满分1２分,第1小题4分，第2小题8分)
ﻩ在平面直角坐标系xOy 中(如图)，已知抛物线25
3
y ax bx =+-经过点(1,0)A -、(5,0)B ． (1)求此抛物线顶点C 的坐标；
(2）联结AC 交y 轴于点D ，联结BD 、BC ,过点C 作CH BD ⊥，垂足为点H ,抛物线对称轴交
x 轴于点G ,联结HG ,求HG 的长.
２5. (本题满分14分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题4分）
ﻩ已知：如图，四边形ABCD 中，090,,,BAD AD DC AB BC AC <∠≤==平分BAD ∠. (１）求证:四边形ABCD 是菱形;
(２）如果点E 在对角线AC 上，联结BE 并延长，交边DC 于点G ,交线段AD 的延长线于 点F （点F 可与点D 重合），AFB ACB ∠=∠，设AB 长度是a (a 实常数，且0a >）,
,AC x AF y ==,求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域;
（3)在第(2)小题的条件下,当CGE 是等腰三角形时,求AC 的长．(计算结果用含a 的代数式表
--示）
--
参考答案
一、选择题 1. Ｂﻩ
２. Dﻩ
3. B
4. C ﻩ
5. A ﻩ
6. Ｃ
二、填空题 7.
1
3
ﻩ８
. 1
９
.
10. 2y x
=
１1. < 12． ２
1３．
１4. ４15ﻩ. １2 １6. 76
a ﻩ17. 3ﻩ
18. 3或
32
三、解答题 1９． １
２0. 121242
,13x x y y ⎧==⎧⎪⎨
⎨
==⎪⎩⎩
２１. (1）21
(3)52
y x =-
-+; （２）５ ２2.
(1)(900-m; （2）95ｍ
２3. （1)证明略； （2)
2536 ２4. (１）(2,3)C -;
(2)
13
25. （１）证明略； (2
）22)x y a x a a
=
-≤<; （。