初三相似三角形的基本模型

D C

B A

解析：

例2：如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC ∆的面积是BDE ∆面积

的4倍，6AC =，求DE 的长.

解析：

题型2：相

似中的角平分线问题

例1：如图，AD 是ABC ∆的角平分线，求证：

AB BD

AC CD

=

解析：

例2：已知ABC ∆中，BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，求证：

AB BD

AC CD =

解析：

B A E

D

C

D

C

B

A

例3：已知：AD 、AE 分别为ABC ∆的内、外角平分线，M 为DE 的中点，求证：22AB BM

AC CM

=

M

E

D C

B

A

解析：

题型3：2

a bc =型结论的证明

例1：如图，直角ABC ∆中，AB AC ⊥，AD BC ⊥，证明：2AB BD BC =⋅，2AC CD BC =⋅，

2AD BD CD =⋅.

解析：

B

A

D C

例2：如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，

求证：2FD FB FC =⋅．

解析：

题型4、三角形内接矩形问题

例1、 已知，如图，ABC ∆中，3490AC BC C ==∠=︒，，

，四边形DEGF 为正方形，其中D E ，在边AC BC ，上，F G ，在AB 上，求正方形的边长．

G F E

D

C B

A

解析：

E

F

D C B A

三、课堂达标检测

检测题1：如图，在正方形ABCD 中，点E 在AB 边上，且AE ∶EB ＝2∶1，AF ⊥DE 于G 交BC

于F ，则△AEG 的面积与四边形BEGF 的面积之比为（ ）

A 、1∶2

B 、1∶4

C 、4∶9

D 、2∶3

第1题图

F

E G

D

C

B

A

第2题图

O

E

D

C

B

A

检测题2、如图，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于点O ，DOE S ∆∶COB S ∆＝4∶9，则AE ∶EC 为（ ）

A 、2∶1

B 、2∶3

C 、4∶9

D 、5∶4

检测题3、在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为（ ）

A 、1

B 、

23 C 、2 D 、2

5

答案：1、C

2、A

3、C

一、专题精讲

构造相似辅助线——双垂直模型

例1：在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．

答案：解：情形一：

情形二：

情形三：

例2：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线

MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．

答案：证明：方法一：

连接PC，过点P作PD⊥AC于D，则PD//BC

根据折叠可知MN⊥CP

∵∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90°

∴∠2=∠CNM

∵∠CDP=∠NCM=90°

∴△PDC∽MCN

∴MC：CN=PD：DC

∵PD=DA

∴MC：CN=DA：DC

∵PD//BC

∴DA：DC=P A：PB

∴MC：CN=P A：PB

方法二：如图，

过M作MD⊥AB于D，过N作NE⊥AB于E

由双垂直模型，可以推知△PMD∽NPE，则，

根据等比性质可知，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN，∴MC：CN=P A：PB

例3：已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。

求C、D两点的坐标。

构造相似辅助线——A、X字型

例4：如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。

求证：

答案：证明：（方法一）如图

延长AE到M使得EM=AE，连接CM

∵BE=CE，∠AEB=∠MEC

∴△BEA≌△CEM

∴CM=AB，∠1=∠B

∴AB∥CM

∴∠M=∠MAD，∠MCF=∠ADF

∴△MCF∽△ADF

∴

∵CM=AB，AD=AC

∴

（方法二）

过D作DG∥BC交AE于G

则△ABE∽△ADG，△CEF∽△DGF

∴，

∵AD=AC，BE=CE

∴

例5：四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。求证：

答案：证明：

过点D作DF∥AB交AC的延长线于点F，则∠2=∠3

∵AC平分∠DAB

∴∠1=∠2

∴∠1=∠3

∴AD=DF

∵∠DEF=∠BEA，∠2=∠3

∴△BEA∽△DEF

∴

∵AD=DF