匹配算法一

一、字符串匹配 字符串匹配指的是从文本中找出给定字符串（称为模式）的一个或所有出现的位置。本文的算法一律输出全部的匹配位置。模式串在代码中用x[m]来表示，文本用y[n]来，而所有字符串都构造自一个有限集的字母表Σ，其大小为σ。

根据先给出模式还是先给出文本，字符串匹配分为两类方法： · 第一类方法基于自动机或者字符串的组合特点，其实现上，通常是对模式进行预处理；

· 第二类方法对文本建立索引，这也是现在搜索引擎采用的方法。 本文仅讨论第一类方法。

文中的匹配算法都是基于这样一种方式来进行的：设想一个长度为m的窗口，首先窗口的左端和文本的左端对齐，把窗口中的字符与模式字符进行比较，这称为一趟比较，当这一趟比较完全匹配或者出现失配时，将窗口向右移动。重复这个过程，直到窗口的右端到达了文本的右端。这种方法我们通常叫sliding window。

对于穷举法来说，找到所有匹配位置需要的时间为O(mn)，基于对穷举法改进的结果，我们按照每一趟比较时的比较顺序，把这些算法分为以下四种： 1. 从左到右：最自然的方式，也是我们的阅读顺序

2. 从右到左：通常在实践中能产生最好的算法 3. 特殊顺序：可以达到理论上的极限 4. 任意顺序：这些算法跟比较顺序没关系（例如：穷举法） 一些主要算法的简单介绍如下：

从左到右 采用哈希，可以很容易在大部分情况下避免二次比较，通过合理的假设，这种算法是线性时间复杂度的。它最先由Harrison提出，而后由Karp和Rabin全面分析，称为KR算法。 在假设模式长度不大于机器字长时，Shift-Or算法是很高效的匹配算法，同时它可以很容易扩展到模糊匹配上。 MP是第一个线性时间算法，随后被改进为KMP，它的匹配方式很类似于自动机的识别过程，文本的每个字符与模式的每个字符比较不会超过logΦ(m+1)，这里Φ是黄金分隔比1.618，而随后发现的类似算法——Simon算法，使得文本的每个字符比较不超过1+log2m，这三种算法在最坏情况下都只要2n-1次比较。（抱歉限于我的水平这一段既没看懂也没能查证，大家就看个意思吧） 基于确定性有限自动机的算法对文本字符刚好只用n次访问，但是它需要额外的O(mσ)的空间。 一种叫Forward Dawg Matching的算法同样也只用n次访问，它使用了模式的后缀自动机。 Apostolico-Crochemore算法是一种简单算法，最坏情况下也只需要3n/2次比较。 还有一种不那么幼稚（Not So Naive）的算法，最坏情况下是n平方，但是预处理过程的时间和空间均为常数，而且平均情况下的性能非常接近线性。

从右到左 BM算法被认为是通常应用中最有效率的算法了，它或者它的简化版本常用于文本编辑器中的搜索和替换功能，对于非周期性的模式而言，3n是这种算法的比较次数上界了，不过对于周期性模式，它最坏情况下需要n的二次方。 BM算法的一些变种避免了原算法的二次方问题，比较高效的有：Apostolico and Giancarlo算法、Turbo BM算法和Reverse Colussi算法。 实验的结果表明，Quick Search算法（BM的一个变种）以及基于后缀自动机的Reverse Factor和Turbo Reverse Factor算法算是实践中最有效的算法了。 Zhu and Takaoka算法和BR算法也是BM的变种，它们则需要O(σ2)的额外空间。

特殊顺序 最先达到空间线性最优的是Galil-Seiferas和Two Way算法，它们把模式分为两部分，先从左到右搜索右边的部分，如果没有失配，再搜索左边的部分。 Colussi和Galil-Giancarlo算法将模式位置分为两个子集，先从左至右搜索第一个子集，如果没有失配，再搜索剩下的。Colussi算法作为KMP算法的改进，使得最坏情况下只需要3n/2次比较，而Galil-Giancarlo算法则通过改进Colussi算法的一个特殊情况，把最坏比较次数减少到了4n/3。 最佳失配和M最大位移算法分别根据模式的字符频率和首字位移，对模式位置进行排序。 Skip Search，KMP Skip Search和Alpha Skip Search算法运用“桶”的方法来决定模式的起始位置。

任意顺序 Horspool算法也是BM的一个变种，它使用一种移位函数，而与字符比较顺序不相干。还有其他的变种如：Quick Search算法，Tuned Boyer-Moore算法，Smith算法，Raita算法。

在接下来的章节中，我们会给出上面这些算法的实现。我们把字母表限定为ASCII码或者它的任意子集，编程语言用C，这就意味着数组索引是从0开始，而字符串以NULL结尾。

（第一章完。好像这些算法被挨个夸了个遍，反而不知道该选哪一种了，老外介绍别人的东西时就是这样，尽来虚的。）

二、穷举与自动机

穷举法又叫暴力法。大多数程序员眼里，它是幼稚的，但大师们不这么认为。

Rob Pike, 最伟大的C 语言大师之一, 在《Notes on C Programming》中阐述了一个原则：花哨的算法比简单算法更容易出bug、更难实现，尽量使用简单的算法配合简单的数据结构。而Ken Thompson——Unix 最初版本的设计者和实现者，禅宗偈语般地对Pike 的这一原则作了强调： 拿不准就穷举（When in doubt , use brute force）。 而对于装13爱好者来说，更是自豪的称其使用的是BF算法。

穷举法用在字符串匹配上，简单的描述就是，检查文本从0到n-m的每一个位置，看看从这个位置开始是否与模式匹配。这种方法还是有一些优点的，如：不需要预处理过程，需要的额外空间为常数，每一趟比较时可以以任意顺序进行。

尽管它的时间复杂度为O(mn)，例如在文本"aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa"中寻找"aaaaab"时，就完全体现出来了。但是算法的期望值却是2n，这表明该算法在实际应用中效率不低。

C代码如下： 1. void BF(char *x, int m, char *y, int n) {

2. int i, j; 3. 4. /* Searching */ 5. for (j = 0; j <= n - m; ++j) { 6. for (i = 0; i < m && x[i] == y[i + j]; ++i); 7. if (i >= m) 8. OUTPUT(j); 9. } 10. } 11. 如果我们注意到C库函数是汇编优化过的，并通常能提供比C代码更高的性能的话，我们可以用memcmp来完成每一趟比较过程，从而达到更好的性能： 1. #define EOS '\0'

2. 3. void BF(char *x, int m, char *y, int n) { 4. char *yb; 5. /* Searching */ 6. for (yb = y; *y != EOS; ++y) 7. if (memcmp(x, y, m) == 0) 8. OUTPUT(y - yb); 9. } 10. 11. 自动机的方法其实和穷举法有点相似，都是用最简单直白的方式来做事情。区别在于穷举法是在计算，而自动机则是查表。尽管自动机的构造过程有一点点难解，要涉及到DFA的理论，但是自动机的比较过程那绝对是简单到无语。

简单说来，根据模式串，画好了一张大的表格，表格m+1行σ列，这里σ表示字母表的大小。表格每一行表示一种状态，状态数比模式长度多1。一开始的状态是0，也就是处在表格的第0行，这一行的每个元素指示了当遇到某字符时就跳转到另一个状态。每当跳转到最终状态时，表示找到了一个匹配。

语言表述起来还是比较啰嗦，看代码就知道了： 1. #define ASIZE 256

2. 3. int preAut(const char *x, int m, int* aut) { 4. int i, state, target, old; 5. 6. for (state = 0, i = 0; i < m; ++i) { 7. target = i + 1; 8. old = aut[state * ASIZE + x[i]]; 9. aut[state * ASIZE + x[i]] = target; 10. memcpy(aut + target * ASIZE, aut + old * ASIZE, ASIZE*sizeof(int)); 11. state = target; 12. } 13. return state; 14. } 15. 16. 17. void AUT(const char *x, int m, const char *y, int n) { 18. int j, state; 19. 20. /* Preprocessing */ 21. int *aut = (int*)calloc((m+1)*ASIZE, sizeof(int)); 22. int Terminal = preAut(x, m, aut); 23. 24. /* Searching */ 25. for (state = 0, j = 0; j < n; ++j) { 26. state = aut[state*ASIZE+y[j]]; 27. if (state == Terminal) 28. OUTPUT(j - m + 1); 29. } 30. } （注：原文的代码使用一个有向图的数据结构，我遵循大师的指引，改用了更简单一点的数组）

从代码上我们很容易看出，自动机的构造需要时间是O(mσ)，空间也是O(mσ)（严格来说这份代码使用了O((m+1)σ)），但是一旦构造完毕，接下来匹配的时间则是O(n)。

匹配的过程前面已经说了，太简单了没什么好说的，这里就解释一下构造过程吧！