九年级圆的综合(教师版)

圆的综合

1．（2015-2016元调）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E

(1) 求证：AC平分∠DAB

(2) 连接CE，若CE＝6，AC＝8，直接写出⊙O直径的长

2．（2018元调）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD切⊙O于点C，AE⊥CD于点E

(1) 求证：AC平分∠DAE

(2) 若AB＝6，BD＝2，求CE的长

解：（1）连接OC．

∵CD与⊙O相切，

∴∠OCD＝90°．

∵∠AEC＝90°，

∴AE∥OC．

∴∠EAC＝∠ACO．

C E

解：延长CO 交⊙O 于D ，连DB 、CB ，过C 作CE ⊥AB 于E ，∵CB ＝CB ，∴∠D ＝∠A ＝60°，

∵CD 为直径，∴∠CBD ＝90°，∴BC ＝

32CD ＝32×6×2＝63，易得AE ＝2AC ，CE ＝3

2

AC ，∵CE ⊥

AB ，∴CE 2＋BE 2＝BC 2，即23(

)2

AC ＋21()2AB AC -＝2(63)，∴AB 2＋AC 2

－AB ⋅AC ＝108．

3．如图，⊙O 的半径R ＝6，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A ＝60°，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ．连DE ，求DE 的长．

解：连OC 、OB 、BC ，过O 作OF ⊥BC 于F ，∵∠A ＝60°．∴∠COB ＝2×60°＝120°， ∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝30°．∵R ＝6，∴OF ＝3，CF ＝33．∴BC ＝2CF ＝63． ∵OE ⊥AC ，OD ⊥A B ．∴D 、E 分别为AB 、AC 的中点．∴DE ＝1

2

BC ＝33．

O

C

B

A

A D

B

C

O E

C

E O

D

A

B

4．如图，⊙O 的半径R ＝6，点A 、B 、C 在⊙O 上运动，保持∠A ＝60°，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，连DE ，求四边形OEAD 面积的最大值．

解：连OA 、OC 、OB 、BC ，易知DE ＝12BC ＝1

2

×63＝33．AO 、DE 的长度不变，当AO ⊥DE 时面积最大，∴S 四

边形OEAD

＝12OA DE ＝1

2

×6×33＝93．

5．如图，⊙O 的半径R ＝6，点A 、B 、C 在⊙O 上运动，保持∠BAC ＝60°，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，连DE ，则下列结论中，错误的是（ ）

A ．弦BC 的长为定值

B ．四边形OEAD 的面积为定值

C ．线段DE 的长为定值

C

E O

D

A

B

C

E O

D

A

B

C

E O

D

A

B

C

E O

D

A

B

F

D ．四边形OEAD 的面积有最大值 解析：B

【课堂练习】

（武汉部分学校九上12月月考）如图,Rt △ABC 中,∠ABC=90°,点O 为∠ABC 、∠ACB 外角的平分线的交点，以OC 为半径的⊙O 交三边所在直线于D 、E 、F 、G. (1)求证：BF=BG ；

（2）若BF=2，AD=16，求⊙O 的半径.

C

E O

D

A

B

A C

F

G B

O

E

D

知识点二：切线中常见基本图形 【例题精讲】

如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ，连接A C ． （1）求证：AC 平分∠DAB ；

（2）若CE ＝6，AC ＝8，直接写出⊙O 直径的长．

（1）遇切线连接切点和圆心，故连CO ，则CO ⊥C D ．

∵CO ＝AO ，∴∠CAO ＝∠ACO ．∵CO ⊥CD ，AD ⊥CD ，∴AD ∥CO ，∴∠ACO ＝∠DAC ，∴∠DAC ＝∠CAO ，即AC 平分∠DA B ．

（2）用（1）的结论：∵AC 平分∠DAB ，∴CE ＝CB ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∴AB ＝

C A

E D

O

B

2222

+=+＝10．

AC CB

86

【课堂练习】

1、（2017武汉六中12月月考）如图，AB为⊙O的直径，直线l经过⊙O上一点C，过点A作AD⊥l于点D，交⊙O于点E，AC平分∠DAB

(1) 求证：直线l是⊙O的切线

(2) 若DC＝4，DE＝2，求线段AB的长

知识点三：图中几何变换

【例题精讲】

如图，△ABC是等边三角形，O为BC的中垂线AH上的动点，⊙O经过B，C两点，D为BC上一点，D，A 两点在BC边异侧，连接AD，BD，C D．

（1）如图1，若⊙O经过点A，求证：BD＋CD＝AD；

第一问：从条件BC 为直径，AD ⊥BC 可联想到垂径定理，故延长AD 交⊙O 于G ，则 ⌒BG ＝ ⌒BA ， ∵ ⌒BA ＝ ⌒AF ，∴ ⌒BG ＝ ⌒BA ＝ ⌒AF ．从结论看到要探究AE 与BE 的大小，几何直观看AE ＝BE ，故可连接A B ．证∠ABE ＝∠BAE ，显然，由 ⌒AB ＝ ⌒AF 可得到结论，请规范表述：

延长AD 交⊙O 于G ，连接AB ，直径BC ⊥AG ，∴ ⌒BA ＝ ⌒BG ， 又∵ ⌒BA ＝ ⌒AF ，∴ ⌒BG ＝ ⌒AF ．∴∠ABE ＝∠BAE ．

第二问：能否运用第一问的方法？故仍然延长AD 交⊙O 于G ，连接AB ，其实证法与上一问做法一模一样，请规范表述：同上．

【真题变式】

1．BC 为⊙O 内一弦，A 为优弧 ⌒ BAC 的中点，D 为劣弧 ⌒AB 上任意一点，过A 作AE ⊥BD 于E ，AF ⊥CD 于F ，则下列结论正确的有____________（填序号）． ①∠ABD ＝∠ACD ，②∠EAF ＝∠BAC ，③∠BAC ＝2∠DEF ，④

CD －BD

ED

＝2．

【提示】∵ ⌒AD ＝ ⌒AD

，∴∠ABD ＝∠ACD ，故①对； A B

C

D

O

E F F

O

C

B

A

F

O

C

B

A

图1

图2

图3

E A

B C

O D F