平面和椭球面相截所得的椭圆的参数方程及其应用
一般椭圆的参数方程
一般椭圆的参数方程
一般椭圆的参数方程指的是使用参数表示椭圆或椭圆圆弧的方程。
它也可以用来表示椭圆圆弧，它与椭圆不同，它不需要椭圆的长轴和短轴，而是用两个参数来确定。
通常情况下，这两个参数为椭圆的长轴2a和离心率e 。
一般椭圆的参数方程为：
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
由上式可以知道，椭圆的长轴为2a，而离心率被定义为：
e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}
这里离心率的取值范围通常为0 < e < 1，但可以高达e > 1，从而产生另一种叫做双曲线的几何形状。
也可以使用另一种椭球坐标系，其中x 和y 被定义为椭球中的两个方向上的坐标。
椭圆的参数方程在椭球坐标系中可以表示为：
\frac{x^2}{a^2\cos^2\phi} + \frac{y^2}{a^2\sin^2 \phi} = 1
其中a 是椭球的长轴，φ 是公转角。
椭圆的几何参数通常是它的长轴2a 和离心率e 来衡量，它们的取值范围与几何几何形状关联有关，它们不仅仅用于表达几何概念，也可以用于研究相关数学应用。
对于一般椭圆，还可以求出另一种参数方程：
\frac{x^2}{a^2-c^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1
其中a 是椭圆的外接圆半径，c 是椭圆的焦距（focal length）。
这是一种更实用的椭圆参数方程，常用于在多种工程或计算机应用中画出椭圆图形或椭圆圆弧。
椭球参数方程
椭球参数方程椭球参数方程是一种应用广泛的几何方程。
它可以表示一个椭球，借此可以描述椭球的各个特征，如长轴、短轴、扁率、位置参数等。
椭球参数方程的应用非常广泛，可以用来描述宇宙的形状，计算所有已知星体的距离，改变物体的相位等。
椭球参数方程可以使用以下公式表示，给出椭球的空间坐标（x，y，z）$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} + frac{z^2}{c^2} = 1$ 其中，a，b，c分别为椭球长轴、短轴和扁率，其中长轴a一般大于短轴b，而扁率c一般小于a。
由于椭球参数方程可以表示复杂的几何形状，可以用于许多不同的应用，如天文、地球物理学、航空航天、机械设计等。
在天文学中，椭球参数方程可以用来描述宇宙的形状，提供宇宙中的行星距离和其他物体的位置信息。
在地球物理学中，它可以用来直接测量地球的形状及表面的强度，从而确定磁力场的分布情况。
在航空航天技术中，它可以用来改变物体的相位，进行高精度的航迹计算，地球轨道解算，以及预测地球环境要素，如气温、湿度、大气压等。
在机械设计领域，它可以用来设计和制造椭球形的零件，即圆柱形的零件加上一个椭球形的轴承，可以增加零件的稳定性和耐久性。
此外，椭球参数方程还可以用于测量地球空间，如测量地球上某物体离地球中心的距离，计算某地空间围成实体的表面积，将坐标转换为空间坐标，以及测算行星等其他天体的位置等等。
椭球参数方程有多种变体，但主要变体是以上述方程为基础，在此基础上添加椭球的位置参数。
下面的公式是其最常用的变体：$(frac{x-x_0}{a})^2 + (frac{y-y_0}{b})^2 +(frac{z-z_0}{c})^2 = 1$其中，(x0,y0,z0)代表椭球的中心点，a，b，c分别为椭球的长轴、短轴和扁率，其中长轴a一般大于短轴b，而扁率c一般小于a。
总之，椭球参数方程是一个重要的几何方程，它可以描述椭球空间中任何一个点的位置。
椭球面的几何定义及参数方程的推导
椭球面的几何定义及参数方程的推导椭球面是一种特殊的曲面，其几何定义及参数方程的推导如下。
椭球面是一个三维空间中的曲面，它的形状类似于一个椭球。
在数学上，椭球面可以由一个固定点（焦点）F1、F2和到这两个焦点的长度之和为常数的点P构成。
这个常数称为椭球面的离心率，记为e。
当离心率e=0时，椭球变成一个球体；当0<e<1时，椭球的形状变得扁平；当e=1时，椭球变成一个圆柱面；当e>1时，椭球的形状变得尖锐。
为了推导椭球面的参数方程，我们可以先考虑一个二维平面上的椭圆。
椭圆可以由一个固定点（焦点）F和到焦点的长度之和为常数的点P构成。
设椭圆的焦点为F1(-c,0)和F2(c,0)，以及椭圆上的一点P(x,y)。
根据椭圆的定义，有PF1+PF2=2a，其中2a为椭圆的长轴长度。
根据点到点的距离公式，可以得到PF1的长度为√((x+c)^2+y^2)，PF2的长度为√((x-c)^2+y^2)。
将这两个长度相加，得到PF1+PF2=√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)。
根据椭圆的定义，有PF1+PF2=2a，所以我们可以得到以下方程：√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a。
将上述方程进行整理，得到：[(x+c)^2+y^2]+[(x-c)^2+y^2]+2√((x+c)^2+y^2)√((x-c)^2+y^2)=4a^2。
继续整理，得到：2x^2+2c^2+2y^2+2√((x+c)^2+y^2)√((x-c)^2+y^2)=4a^2。
化简方程，得到：x^2/a^2+y^2/(a^2-c^2)=1。
将上述方程与三维空间中的椭球面进行对比，可以发现它们的参数方程非常相似。
对于三维空间中的椭球面，我们可以将上述参数方程的x、y替换为三维坐标系中的x、y、z，得到最终的椭球面的参数方程：x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1。
其中，a、b、c分别为椭球面在x、y、z轴上的半轴长度。
高中数学平面解析几何的椭球与双曲面方程推导与应用
高中数学平面解析几何的椭球与双曲面方程推导与应用椭球与双曲面是平面解析几何中的重要内容，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍椭球与双曲面的方程推导与应用，帮助高中学生更好地理解和应用这些知识。
一、椭球的方程推导与应用1. 方程推导椭球是一个离心率小于1的二次曲面，其方程可以通过焦点和准线的位置关系来推导。
假设焦点为F，准线为L，椭球上一点P到焦点的距离为PF，到准线的距离为PL，根据定义，有PF+PL=常数。
设焦点F的坐标为(Fx, Fy, Fz)，准线L的方程为Ax+By+Cz+D=0，点P的坐标为(x, y, z)，则有：√[(x-Fx)²+(y-Fy)²+(z-Fz)²] + |Ax+By+Cz+D| = 常数化简上式，即可得到椭球的方程。
2. 应用举例椭球的方程推导虽然有一定的复杂性，但在实际应用中却非常广泛。
例如，在天文学中，椭球可以用来描述行星、卫星和彗星的轨道；在建筑学中，椭球可以用来设计拱顶和穹顶的形状；在工程学中，椭球可以用来描述电磁波的传播路径等等。
因此，掌握椭球的方程推导和应用对于高中学生来说是非常重要的。
二、双曲面的方程推导与应用1. 方程推导双曲面是一个离心率大于1的二次曲面，其方程可以通过焦点和准线的位置关系来推导。
与椭球类似，假设焦点为F，准线为L，双曲面上一点P到焦点的距离为PF，到准线的距离为PL，根据定义，有PF-PL=常数。
设焦点F的坐标为(Fx, Fy, Fz)，准线L的方程为Ax+By+Cz+D=0，点P的坐标为(x, y, z)，则有：√[(x-Fx)²+(y-Fy)²+(z-Fz)²] - |Ax+By+Cz+D| = 常数化简上式，即可得到双曲面的方程。
2. 应用举例双曲面的方程推导和应用同样具有广泛的应用价值。
例如，在物理学中，双曲面可以用来描述电场和磁场的分布；在天文学中，双曲面可以用来描述彗星的轨道；在工程学中，双曲面可以用来设计抛物面天线等等。
4.4椭球面
2 轨迹定义法 P162 5
一直线分别交坐标面 yOz, zOx, xOy 于A, B,C 三点，当直线变动时，直线上的
三定点 A, B,C 也分别在三个坐标面上变动，另外直线上有第四个点P ，它与
A, B,C 三点的距离分别为a,b, c ，当直线按照这样的规定（即保持 A, B,C 分别
在三坐标面上）变动时， P
c
o a
by
x
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面
可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生.
思考：旋转椭球面 与椭球面有区别吗？
椭圆 椭球面与平面 z h h c 的交线为 圆 旋转椭球面与平面 z h h c 的交线为
三、椭球面的参数方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
x2
xOy面
:
a
2
y2 b2
1
z 0
x2 z2
xOz面
:
a
2
c2
1
y 0
y2 z2
yOz面
:
b2
c2
1
x
x 0
椭球面的主截线（主椭圆）
截口是曲面与平面的交线
z 椭球面
o y
平行截割法：
z
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2
用z = h截曲面 用y = m截曲面 用x = n截曲面
点的轨迹为椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
二、椭球面的性质
1 对称性 2 范围 3 形状
椭球面的几种特殊情况：
球面
长形旋转椭球面
(1)
a
b
c,
x2 a2
旋转椭球面-DrHuang
1 : A1 x B1 y C1z D1 0,
2 : A2 x B2 y C2z D2 0,
cos
| A1 A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12 A22 B22 C22
两平面位置特征：
(1) 1 2 A1 A2 B1B2 C1C2 0;
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1绕
z 轴旋转而成．
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 ( | z1 | c)的交线为圆.
截面上圆的方程
x
2
y2
a2 c2
x2 y2 z（ p 与 q 同号） 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论：
设 p 0, q 0
z
图形如下：
o y
x
（三）双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
(c
2
z12
) .
z z1
(2) a b c,
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2.
（二）抛物面 椭圆抛物面
x2 2p
高中数学椭圆知识点总结
高中数学椭圆知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一个几何图形，它是平面上的一个点到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个定点称为焦点，连接焦点的直线称为长轴，长轴上的一半称为半长轴，长轴的中垂线称为短轴，短轴的一半称为半短轴。
椭圆的数学定义可以表示为：对于给定的两个不同点F1和F2，以及一个正数c，平面上的点P到F1和F2的距离之和等于常数c，即|PF1|+|PF2|=2a(a>0)。
二、椭圆的方程椭圆的标准方程为：x²/a²+y²/b²=1，其中a>b>0。
如果椭圆的中点在原点上，且长轴与x 轴重合，则椭圆的标准方程可以简化为x²/a²+y²/b²=1。
在此方程中，a称为长半轴，b称为短半轴，而长半轴和短半轴的关系可以表示为a²=b²+c²。
对于长轴与y轴重合的椭圆，其标准方程可以表示为：x²/b²+y²/a²=1。
三、椭圆的性质1. 椭圆的焦点性质：设椭圆的焦点为F1（c,0）和F2（-c,0），椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1，则a²=b²+c²；2. 椭圆的离心率：离心率e定义为焦点F到椭圆上任意一点P的距离的比值，即e=PF/PM，其中PF为点P到焦点F的距离，PM为点P到椭圆的直径的一半，通常表示为e²=1-b²/a²；3. 椭圆的对称性：椭圆以长轴和短轴为对称轴，对称于x轴和y轴；4. 椭圆的焦点与直径关系：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度；5. 椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中θ为参数，a和b分别为椭圆的长短半轴；6. 椭圆的面积：椭圆的面积可以表示为S=πab，其中a和b分别为椭圆的长短半轴。
椭圆方程知识点总结
椭圆方程知识点总结椭圆方程是高等数学中的一个重要内容，它涵盖了多个学科领域，包括微积分、复变、偏微分方程等。
本文将从椭圆方程的定义、性质、求解方法等多个方面进行详细讲解和总结，以期让读者对该内容有更加深入的了解。
一、椭圆方程的定义椭圆方程是指形如$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$这样的方程，其中$a$和$b$都是正实数，且$a>b$。
这个方程描述了一个平面上的椭圆，其中$a$和$b$称为椭圆的半轴长度，椭圆的中心位于坐标原点。
在三维空间中，类似的方程也可以描述一个椭球。
椭球的半轴长度分别对应方程中$x$、$y$、$z$三个变量的系数，即$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a>b>c$。
二、椭圆方程的性质1. 椭圆方程所描述的图形为平面上的椭圆。
2. 椭圆方程满足反对称性质，即交换$x$和$y$的值，方程的解不会发生变化。
3. 在坐标系中，椭圆具有x轴和y轴的对称性，即椭圆关于x 轴和y轴对称。
4. 直线$y=kx$与椭圆相交时，只有两个交点或没有交点。
若有两个交点，则交点的$x$坐标满足$a^2k^2+b^2=x^2$，解得$x=\pm\frac{ab}{\sqrt{a^2k^2+b^2}}$。
5. 椭圆方程在$(\pm a,0)$和$(0,\pm b)$四点处有拐点，即曲率半径为无穷大。
而在椭圆上任意一点的曲率半径为$\rho=\frac{ab}{\sqrt{(b^2x^2+a^2y^2)^3}}$。
6. 椭圆方程的面积为$S=\pi ab$，周长为$C=4aE(e)$，其中$E(e)$为第二类椭圆积分，$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$为椭圆的离心率。
三、椭圆方程的求解方法1. 标准形式化简法将椭圆方程化为标准形式：$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$。
4.4：椭球面1
2
2
2
x2 y2 2 2 1, b a z 0;
与已知椭圆
x2 y2 2 2 1, 9 16 z 0
比较知
a 9, b 16.
2 2
又因为椭球面通过点 M (1,2, 23 )，所以又有
1 4 23 2 1 9 16 c
容易知道两轴的端点分别在椭圆(2)与(3)上.
端点
h2 h2 a 1 ,0, h 与 0,b 1 2 , h , c2 c
2 2 2 x2 z2 1 y z 2 1 分别在主椭圆 (2) 上. , (3) 2 a c b c2 y0 x 0
它是一个长形旋转椭球面.
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
而三轴相等的椭球面就是球面. a b c
x2 y 2 z 2 a2
所以旋转椭球面与球面都是椭球面的特例.由此可以 想到椭球面的大致形状. 椭球面当三轴不等时，叫做三轴椭球面.
下面继续讨论一般椭球面的形状特点.
对称性和顶点已经讨论
3.有界性
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
（4.4-1）
因为椭球面(4.4-1)上任意一点的坐标 ( x, y, z )
总满足
x a, y b, z c,
z
因此椭球面完全 被封闭在一个 长方体的内部， 这个长方体由 六个平面：
x a, y b, z c
如果从(4.4-2)式中消去参数
, ,那么就得到标准方程.例 已ຫໍສະໝຸດ 椭球面的轴与坐标轴重合,且通过椭圆
x2 y2 1, z 0 与点 9 16
椭球面
y2 16
1与点M
1, 2
23
，
求这个椭圆面的方程
z 0
例2 P162 5
一直线分别交坐标面 yOz, zOx, xOy于 A, B,C三点，当直线变动时，直线上的
三定点 A, B,C也分别在三个坐标面上变动，另外直线上有第四个点 P，它与
A, B,C 三点的距离分别为 a,b, c，当直线按照这样的规定（即保持 A, B,C分别
三、椭球面的参数方程
数学科学学院
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x a cos cos
y
b
sin
sin
z c sin
2
,0
2thematical Science College
四、例题
数学科学学院
例1
x2 已知椭球面的轴与三坐标轴重合，且通过椭圆 9
§4.4 椭球面
椭球面的方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
椭球面
椭球面与 三个坐标面 的交线：
x2 a2
y2 b2
1,
z 0
x2 a2
z2 c2
1 ,
y
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
x
数学科学学院
z o
y
张 之 正 解析几何
Mathematical Science College
§4.4 椭球面
平行截割法： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用z = h截曲面 用y = m截曲面 用x = n截曲面
z
c
o a
数学科学学院
by
椭圆截面的大小随平面位置x的变化而变化，因此椭球面 可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生.
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平面和椭球面相截所得的椭圆的参数方程及其应用
作者：黄亦虹许庆祥
来源：《上海师范大学学报·自然科学版》2018年第01期
On the ellipsoid and plane intersection equation
Huang Yihong1， Xu Qingxiang2*
（1.College of Sciences，Shanghai Institute of Technology，Shanghai 201418，China;
2.Mathematics and Science College，Shanghai Normal University，Shanghai 200234，China）
Abstract：
Let E：x2a2+y2b2+z2c2=1 be an ellipsoid and P：p x+q y+r z=d be a plane.Based on the Householder transformation，it is shown that the intersection E∩P is nonempty if and only if λ≥d，where λ=（ap）2+（bq）2+（cr）2.When λ>d，this paper provides a new proof that the intersection curve of E and P is always an ellipse，and in this case a new parametric equation of is derived.Based on the obtained parametric equation of and Stokes formula，we derive a formula for the area of the region bounded by ，and compute its semi-major axis and semi-minor axis.As an application，we get necessary and sufficient conditions for to be a circle.
Key words：
ellipsoid; plane; parametric equation; Householder transformation; Stokes formula
CLC number： O 13; O 172Document code： AArticle ID： 1000-5137（2018）01-0024-07
摘要：
设E：x2a2+y2b2+z2c2=1为一个椭球面，P：px+qy+rz=d为一个平面.利用Householder变换，证明了E和P 相交当且仅当λ≥d，其中λ=（ap）2+（bq）2+（cr）2.当λ>d时用新的方法证明了椭球面E和平面P的交线一定是椭圆，并且给出了该椭圆的参数方程.利用交线的参数方程，给出了由所围成的内部区域的面积公式，进而给出了椭圆的长半轴和短半轴的计算公式.作为应用，又给出了交线成为一个圆的充要条件.
关键词：
椭球面; 平面; 参数方程; Householder变换; Stokes公式
Received date： 2017-01-11
Foundation item： The National Natural Science Foundation of China （11671261）
Biography： Huang Yihong（1965-），female，lecture，reseach area：Advanced mathematics.E-mail：hyh@
*Corresponding author： Xu Qingxiang（1967-），male，professor，research area：Functional Analysis.E-mail：qxxu@
引用格式：黄亦虹，许庆祥.平面和椭球面相截所得的椭圆的参数方程及其应用 [J].上海师范大学学报（自然科学版），2018，47（1）：24-30.
Citation format： Huang Y H，Xu Q X.On the ellipsoid and plane intersection equation [J].Journal of Shanghai Normal University（Natural Sciences），2018，47（1）：24-30.
1Introduction
Throughout this paper，R，R+ and Rm×n are the sets of the real numbers，the positive numbers and the m×n real matrices，respectively.The notation Rn×1 is simplified to Rn.For any
A∈Rm×n，its transpose is denoted by AT.Let In be the identity matrix of order n.
Much attention is paid to the very popular topic of the intersection curve of an ellipsoid and a plane[1-3].Yet，little has been done in the literatures on the application of the Householder transformation and the Stokes formula to this topic，which is the concern of this paper.。