椭圆参数方程的应用
椭圆的参数方程及其应用
椭圆的参数方程及其应用大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。
本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。
一般都是这样定义的：椭圆1b )y y (a )x x (220220=-+-的参数方程是⎩⎨⎧α+=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。
特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是⎩⎨⎧α+=α+=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。
一、求椭圆的内接多边形的周长及面积y x 22（20π<α<），22b a 4+，例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且21MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。
解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。
则，α=+⨯+α=++=cos 8211021cos 12211x 21x x B A 3sin 4211921sin 6211y 21y y B A +α=+⨯+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧+α=α=3sin 4y cos 8x （α是参数），消去参数得116)3y (64x 22=-+。
三、求函数的最值例3 设点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 22=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。
解：点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 22=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，），则5553arcsin sin 534|5sin 4cos 3|d 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛+α=+-α+α=。
当53arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当53arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。
椭圆参数方程
椭圆参数方程椭圆是数学中一个重要的曲线，它有着许多特殊的性质和应用。
在这篇文章中，我将向大家介绍椭圆的参数方程及其几何性质，以及它在日常生活中的一些应用。
首先，让我们来了解椭圆的参数方程。
椭圆的参数方程可以表示为：x = a cos(t)y = b sin(t)其中，x和y是椭圆上的一个点的坐标，t是参数，a和b是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
可以看出，参数t的取值范围是[0,2π]。
接下来，我们将探讨椭圆的一些几何性质。
首先是椭圆的离心率。
椭圆的离心率定义为e = √(1 - b²/a²)，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
离心率描述了椭圆的扁平程度，当离心率接近于0时，椭圆接近于圆形，当离心率接近于1时，椭圆则非常扁平。
椭圆还有一个重要的性质是其焦点和准线。
椭圆的焦点是与椭圆上的每个点的距离之和等于常数2a的两个点。
椭圆的准线是位于焦点之间，并与椭圆平行的一组线段。
焦点和准线是椭圆的重要几何特征，它们可以帮助我们更好地理解椭圆的形状和性质。
除了几何性质外，椭圆还有一些重要的应用。
在日常生活中，我们可以发现椭圆的影子是一个常见的现象。
当太阳光照射到一个圆形物体上时，由于光线的投射角度的改变，所形成的影子就是一个椭圆。
这是由于椭圆的离心率决定了不同位置处光线到达地面的角度，从而造成了椭圆形状的影子。
此外，在工程领域中，椭圆也有着广泛的应用。
例如，在天线设计中，椭圆天线可以实现不同方向的辐射和接收信号。
椭圆形状的天线可以实现更广泛的覆盖范围和更高的接收灵敏度。
椭圆还被广泛应用于轨道运动的研究中。
在天体运动中，如果一个天体的轨道为椭圆形状，我们可以利用椭圆参数方程来描述和计算天体在不同位置的位置和速度。
当然，这需要一些高级的数学和物理知识，但椭圆方程提供了一个非常有用的工具。
总结起来，椭圆的参数方程提供了一种描述椭圆曲线的简洁和灵活的方式。
椭圆具有许多特殊的几何性质，例如焦点和准线，这些性质帮助我们更好地理解椭圆的形状和特征。
例谈如何运用参数方程解决椭圆问题
例谈如何运用参数方程解决椭圆问题作者：顾海荣来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2010年第01期1.椭圆参数方程的构建引入问题:如图1,以坐标原点O为圆心,分别以a、b为半径作两个圆.点A是大圆上任意一点,点B是大圆半径与小圆的交点,过点A作AN⊥x轴,垂足为N,再过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时,点M的轨迹的参数方程.(因为点A是主动点,点M是从动点,所以选择∠xOA为参数.)解:如图1,设∠xOA=θ,点M的坐标为(x,y),则即为参数).这就是点M轨迹的参数方程.图1通过以上的分析我们可知,直接消去参数θ,化参数方程为普通方程那么点M的轨迹是椭圆;而且利用“几何画板”对点M进行“跟踪”,也同时可以发现点M的轨迹确实是椭圆,所以椭圆的参数方程就是为参数).2.椭圆参数方程的应用以下我们通过几道例题综合来看椭圆的参数方程的具体应用情况.例1 已知P(x,y)在椭圆上,求u=2x一y的最大值.解析:设其中显然φ-∈Z.时例2 设椭圆和x轴正半轴的交点为A,和y轴正半轴的交点为B,P为第一象限内椭圆上的点,求四边形OAPB面积最大值.解析:设椭圆在第一象限内任一点坐标为∈则四边形△△。
当且仅当时,四边形OAPB面积的最大值为22ab.3.综合分析例1、例2应用了椭圆参数方程的设法,以及化一个角的一个三角函数的方法求出最值.这样的方法在其他一些题目中也经常会涉及,我们在学习过程中应当注意总结类比,熟练掌握.特别在椭圆中求最值,椭圆的参数方程具有一定的优越性,这一点值得我们注意.通过以上几例,我们看到,在解决有关椭圆的题目时,椭圆的参数方程为我们的解题开辟了另外一种途径,所以在平时的学习中,我们不但要熟悉椭圆的标准方程、几何性质,在解决部分题目的时候也不要忘了我们还可以运用椭圆的参数方程.关于椭圆的一些题目,不仅考查学生的数学基础知识,也是对综合数学素质的检测.所以我们在学习和研究时,不单单只是掌握椭圆的参数方程,还要运用椭圆的参数方程灵活快速解决一些问题。
椭圆方程参数方程
椭圆方程参数方程1. 引言椭圆是数学中的一种曲线，具有特殊的几何性质和参数方程。
本文将介绍椭圆方程的参数方程以及相关的几何性质和应用。
2. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
称F1和F2为椭圆的焦点，a为椭圆的半长轴。
椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cosθy = b*sinθ其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
3. 椭圆的几何性质椭圆具有许多特殊的几何性质。
首先，椭圆的离心率e满足0 < e < 1，即椭圆是一个凸曲线。
其次，椭圆的焦距等于2a*e，其中e 为离心率。
此外，椭圆的面积可以表示为πab，其中π为圆周率。
椭圆还具有对称性，即关于x轴和y轴对称。
4. 椭圆的参数方程的应用椭圆的参数方程在实际应用中有广泛的应用。
例如，在天文学中，椭圆的参数方程可以用来描述行星绕太阳公转的轨道。
在物理学中，椭圆的参数方程可以用来描述电子在磁场中的运动轨迹。
在工程学中，椭圆的参数方程可以用来设计椭圆形的建筑物或物体。
5. 椭圆的相关公式除了参数方程之外，椭圆还有一些重要的公式。
椭圆的离心率e可以通过以下公式计算：e = √(1 - (b^2/a^2))其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
6. 椭圆的应用举例椭圆的参数方程在实际生活中有许多应用。
例如，在地理学中，椭圆的参数方程可以用来描述地球的形状。
在航天工程中，椭圆的参数方程可以用来计算卫星的轨道。
在电子工程中，椭圆的参数方程可以用来设计天线的形状。
7. 总结通过本文的介绍，我们了解了椭圆方程的参数方程及其几何性质和应用。
椭圆是一种具有特殊几何性质的曲线，可以通过参数方程来描述。
椭圆的参数方程在科学和工程领域中有广泛的应用，可以用来描述天体运动、轨道设计以及物体形状等。
掌握椭圆方程的参数方程，对于深入理解椭圆的性质和应用具有重要意义。
参数方程椭圆
参数方程椭圆一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。
定点F1和F2称为椭圆的焦点，线段F1F2的长度称为椭圆的长轴，长轴中点O称为椭圆的中心，线段AB垂直于长轴且过中心O，长度为2b，则b被称为短轴。
二、参数方程参数方程是用参数表示自变量和因变量之间关系的方程。
对于椭圆而言，其参数方程可以表示为：x=a*cos(t)y=b*sin(t)其中t是参数。
三、如何绘制椭圆可以使用计算机软件或者手工绘制来完成。
手工绘制需要画出长轴和短轴，并且确定焦点位置。
然后按照参数方程依次取不同t值时对应的x,y坐标进行描点，并将这些点依次连接起来即可得到整个椭圆形状。
四、参数方程与直角坐标系下方程之间的转换在直角坐标系下，椭圆可以表示为：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1通过代入cos(t)和sin(t)得到：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=cos^2(t)+sin^2(t)=1因此，参数方程和直角坐标系下的方程是等价的。
五、参数a和b的含义a和b分别代表椭圆长轴和短轴的长度。
在参数方程中，当t取0时，x=a；当t取π/2时，y=b。
因此，a和b可以用来确定椭圆的大小。
六、参数方程椭圆的性质1. 椭圆是对称图形，关于x轴、y轴以及原点对称。
2. 椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于常数2a。
3. 椭圆上任意一点到长轴中心O的距离与到短轴中心O'（O'为长轴与短轴交点）的距离之和等于常数2a，即PF1+PF2=2a=PQ+PQ'。
4. 椭圆面积为πab。
5. 椭圆周长无法用初等函数表示。
七、应用参数方程椭圆在数学以及物理学等领域有广泛应用。
例如，在天文学中，行星运动可以用椭圆来描述；在工程设计中，椭圆形状的物体可以减小空气阻力，提高速度；在艺术领域中，椭圆形状也常被用来表现某些特定的情感或者意境。
椭圆的参数方程及其应用课件
通过模拟结果的分析，可以深入理解椭圆参数方程的性质，为后续 的应用提供基础。
椭圆参数方程的数值模拟在物理问题中的应用
力学问题
椭圆参数方程可以用于描述力学 问题中的椭圆运动轨迹，如行星
的运动轨迹等。
电磁学问题
椭圆参数方程可以用于描述电磁 学中的椭圆波函数，如电子的波
函数等。
流体力学问题
椭圆曲线上的线积分等问题。
椭圆的参数方程的积分学分析还 可以用于求解一些物理问题，如 质点的运动轨迹、振动问题等。
05
椭圆的参数方程的数值模拟
用数值模拟方法研究椭圆参数方程的性质
椭圆参数方程的表示形式
椭圆参数方程是一种用参数表示的椭圆方程，通过参数的变化可 以研究椭圆的形状和大小。
数值模拟方法
采用数值计算的方法来模拟椭圆参数方程的性质，如参数的变化对 椭圆形状的影响、椭圆的旋转等。
星绕太阳的运动轨迹可以用椭圆的参数方程表示。
02
椭圆参数方程的极坐标形式
在极坐标系中，椭圆的参数方程通常表示为半径r关于角度θ的函数。这
种形式可以直观地描述椭圆的形状和大小。
03
运动轨迹的解析方法
使用椭圆的参数方程描述物体运动轨迹时，可以通过解析方法求解轨迹
的形状和位置。例如，通过已知的行星运动规律，可以推导出其运动轨
椭圆参数方程可以用于描述流体 力学中的椭圆流动，如涡旋的流
动等。
06
椭圆的参数方程在科技论文中的应用
在物理学领域的应用
粒子运动轨迹
01
椭圆的参数方程可以描述许多物理现象中的粒子运动轨迹，例
如行星绕太阳的运动轨迹、电子在电场中的运动轨迹等。
波动现象
02
椭圆的参数方程可以描述一些波动现象，例如声波、电磁波等
椭圆弦长计算公式
椭圆弦长计算公式椭圆是数学中一种重要的几何图形，它在许多领域中都有广泛的应用。
在椭圆的研究中，椭圆弦长是一个重要的参数。
本文将介绍椭圆弦长的计算公式及其应用。
一、椭圆的基本概念椭圆是平面上一点到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆有许多特殊的性质，例如，它是一个闭合曲线，具有对称性等。
二、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴，θ是参数，取值范围为0到2π。
三、椭圆弦长的定义椭圆弦长是椭圆上两点之间的弧长。
为了方便计算，我们可以将弦长表示为两个参数θ1和θ2对应的弧长之差。
四、椭圆弦长的计算公式根据椭圆的参数方程，我们可以得到两点在椭圆上的坐标为：(x1, y1) = (a*cosθ1, b*sinθ1)(x2, y2) = (a*cosθ2, b*sinθ2)椭圆弦长可以表示为：L = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)带入坐标的值，可以得到椭圆弦长的计算公式：L = √(a²*cos²θ1 - 2*a*cosθ1*a*cosθ2 + a²*cos²θ2 + b²*sin²θ1 - 2*b*sinθ1*b*sinθ2 + b²*sin²θ2)五、椭圆弦长的应用椭圆弦长在实际中有许多应用。
例如，在建筑设计中，椭圆形的建筑物常常需要计算弦长来确定材料的用量。
在航天工程中，椭圆轨道的计算也需要用到椭圆弦长。
此外，椭圆弦长还可以用于计算椭圆的周长和面积等参数。
椭圆弦长的计算公式可以通过数学推导得到，这里不再详述。
但需要注意的是，椭圆弦长的计算公式中包含了椭圆的长半轴和短半轴的平方，因此在使用时需要先求出椭圆的长半轴和短半轴的值。
七、椭圆弦长计算的注意事项在实际计算中，需要注意椭圆弦长的计算精度。
从一道高考题浅谈椭圆参数方程在数学最值中的巧妙应用
从一道高考题浅谈椭圆参数方程在数学最值中的巧妙应用
作者：邱尚程
来源：《新课程·中旬》2016年第05期
圆锥曲线是解析几何的核心内容，是中学数学的重点、难点，是高考命题的热点之一。
根据考纲的要求，理科对椭圆、抛物线的概念、标准方程、几何性质的要求是掌握的内容，对双曲线是了解的内容；文科只对椭圆是掌握的内容，对双曲线、抛物线是了解的内容。
纵观福建近几年来的高考也可以看出这一点，椭圆是高考必考的内容，其次是抛物线，考得最少的是双曲线。
而数学的核心问题又是最值问题，数学中的最值问题遍及中学数学各个内容的方方面面，它在高考中的地位十分突出。
最值问题可以通过各种知识作为背景进行考查，涉及高中数学的主干知识与方法，要求考生有扎实的数学基本功及良好的数学思维能力。
从而可以理解椭圆问题的最值问题在高考中的重要地位。
而椭圆的参数方程因为其特点，可以把圆锥曲线中最值问题的复杂的计算转变成三角函数最值计算，从而可以大大减少计算过程和强度，是解决椭圆最值问题一个很重要的而且是很巧妙的手段。
下面我从2009年福建高考数学（文史类）的22（压轴）题，浅谈椭圆参数方程在椭圆最值中的巧妙应用。
2009年福建高考数学（文史类）22.（本小题满分14分）
从第二步的最值问题用普通方程和用参数方程来比较，显然参数方程的计算量远远小于普通方程的计算量，从而提高答题的正确率。
由此可见，椭圆的参数方程在解决椭圆的最值问题中有很明显地减少计算的作用，因此在解决相关的椭圆的最值问题的时候可以优先考虑椭圆的参数方程。
编辑谢尾合。
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椭圆参数方程的应用
【例3】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线
C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π4＝2 2.
(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．
【解】 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x
＋y －4＝0.
(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2
＝2|sin(α＋π3)－2|.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12).
在极坐标中，曲线C 的方程为ρ2
＝31＋2sin 2θ，点R 坐标为
⎝
⎛⎭⎪⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，点R 的极坐标化为直角坐标；
(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时点P 的直角坐标．
解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.点R 的直角坐标为(2,2)．
(2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ，∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)．当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，12. 热点四 参数方程与极坐标方程的综合应用
【例4】 (2016·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线
C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .
【解】 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.
(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.
(2017·衡水模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋t cos α，y ＝t sin α， (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ.
(1)求曲线C 的参数方程；
(2)当α＝π4时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标．
解：(1)由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ，标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.
曲线C 的极坐标方程化为参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ，(φ为参数)． (2)当α＝π4时，直线l 的方程为⎩⎨⎧ x ＝－2＋22t ，y ＝22t ，
化成普通方程为y ＝x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2y －2x ，y ＝x ＋2
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝2或
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2，y ＝0.所以直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，(2，π)．
1．化参数方程为普通方程的方法
消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．
2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数) 当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．
3．圆与椭圆的参数方程的异同点
(1)圆与椭圆的参数方程实质都是三角代换，有关圆或椭圆上的动点的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用圆或椭圆的参数方程转化为三角函数解决．
(2)圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不同，圆的参数方程中的参数是圆心角，椭圆的参数方程中的参数是离心角，只有椭圆上的点在坐标轴上时，离心角才等于圆心角．。