椭圆的参数方程(2)
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x y 例4 求椭圆 1的参数方程。 9 4 (1)设x=3cos，为参数； (2)设y=2t，t为参数.
解：（1）把x=3cos代入椭圆方程，得到
9cos 2 y 2 1, 9 4
2
2
所以
y2 4(1 cos2 ) 4sin 2 ,
即
x2 y 2 由参数的任意性，可取 y 2sin 。所以，椭圆 1的参数方程是 9 4 x 3cos (为参数) y 2sin
的实质是三角代换.
cos sin 1 相比较而得到，所以椭圆的参数方程
探究：P29
椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的 金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B它们可以分 别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一 周就画出一个椭圆。 你能说明它的构造原理吗？ 提示：可以用直尺AB和横槽所成的角为参数，求出点M的轨迹的参数方程。
x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离。
Y
2
2
y
B2
A1
F1
O B1
F2
A2 X X
分别用两种方法做： 1、直接用普通方程求解； 2、用参数方程求解，体会参数方程的作用。
练习
x cos 2 , ( 为参数 ), 3. 线的参数方程 曲 2 y sin .
x a cos (为参数) y b sin
θ
（acos ,bsin）
说明：
⑴ 这里参数 叫做椭圆的离心角. b tan tan ; 椭圆上点M的离心角与直线OM的倾斜角θ 不同： a
x2 y2 ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 2 2 1 与三角恒等式 a b 2 2
则此曲线是(
)
A 椭圆 C 线段
B 椭圆的一部分 D 直线
的离心率、准线方程
x cos , 4、(1)求出曲线 1 ห้องสมุดไป่ตู้ 2 sin .
（2）若曲线上有一点P（x,y）则求出3x+4y的 取值范围. 注意焦点位置
5、已知点A（1，0），椭圆
x 2 y 1 4
2
y M B A
A，B，M三点固定，设 |AM|=a，|BM|=b， MBx 。
M 0
B A
x
设M(x,y)则x=acos ,y=bsin , 所以M点的轨迹为椭圆。
练习、1、把下列参数方程化为普通方程，普通方程 化为参数方程（口答）
x 3cos , （1） y 5sin .
x 8cos , （2） y 6sin .
2
x y （3） 1 4 9
2
2
（4） x
y
2
16
1
x 2 3 cos , 2.曲线 (为参数)的焦距是 y 3 2 sin .
。
x y 例1、在椭圆 1 上求一点M，使M到直线 9 4
cos sin 1 相比较而得到，所以椭圆的参数方程
的实质是三角代换.
x a cos (为参数) y b sin
（acos ,bsin）
θ
说明：
⑴ 这里参数 叫做椭圆的离心角. 椭圆上点M的离心角与直线OM的倾斜角θ 不同：
b tan tan ; a
x2 y2 ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 2 2 1 与三角恒等式 a b 2 2
类比圆的参数方程中参数的意义， 椭圆的参数方程中参数的意义是什么？ 与圆的参数方程的参数类似吗？
这是中心在原点O，焦点 圆： 为点M的旋转角； 在x轴上的椭圆的参数方程。 椭圆： 为点M的离心角。
x2 y 2 椭圆 2 2 （a>b>0） 的参数方程为： 1 a b
通常规定 [o, 2 )
y 2sin 。
椭圆参数方程
以原点为圆心，分 别以a，b为半径作圆。 过o的射线交大、小圆 于A、B，又过A、B 分别作y、x轴的平行线 相交于M(x，y) ，根据 三角函数的定义 a b
y A
B
o
•
M x
x a cos (为参数) y b sin
思考：P27，28
点P在椭圆上移动，求|PA|的最小值及此时
点P的坐标.
思考：P30
x2 y 2 1 与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数x，y满足 25 16 的前提下，求出z=x-2y的最大值和最小值吗？
由此可以提出哪些类似的问题？
小结
x2 y 2 椭圆 2 2 （a>b>0） 的参数方程为： 1 a b
解：（1）把x=3cos代入椭圆方程，得到
9cos 2 y 2 1, 9 4
2
2
所以
y2 4(1 cos2 ) 4sin 2 ,
即
x2 y 2 由参数的任意性，可取 y 2sin 。所以，椭圆 1的参数方程是 9 4 x 3cos (为参数) y 2sin
的实质是三角代换.
cos sin 1 相比较而得到，所以椭圆的参数方程
探究：P29
椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的 金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B它们可以分 别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一 周就画出一个椭圆。 你能说明它的构造原理吗？ 提示：可以用直尺AB和横槽所成的角为参数，求出点M的轨迹的参数方程。
x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离。
Y
2
2
y
B2
A1
F1
O B1
F2
A2 X X
分别用两种方法做： 1、直接用普通方程求解； 2、用参数方程求解，体会参数方程的作用。
练习
x cos 2 , ( 为参数 ), 3. 线的参数方程 曲 2 y sin .
x a cos (为参数) y b sin
θ
（acos ,bsin）
说明：
⑴ 这里参数 叫做椭圆的离心角. b tan tan ; 椭圆上点M的离心角与直线OM的倾斜角θ 不同： a
x2 y2 ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 2 2 1 与三角恒等式 a b 2 2
则此曲线是(
)
A 椭圆 C 线段
B 椭圆的一部分 D 直线
的离心率、准线方程
x cos , 4、(1)求出曲线 1 ห้องสมุดไป่ตู้ 2 sin .
（2）若曲线上有一点P（x,y）则求出3x+4y的 取值范围. 注意焦点位置
5、已知点A（1，0），椭圆
x 2 y 1 4
2
y M B A
A，B，M三点固定，设 |AM|=a，|BM|=b， MBx 。
M 0
B A
x
设M(x,y)则x=acos ,y=bsin , 所以M点的轨迹为椭圆。
练习、1、把下列参数方程化为普通方程，普通方程 化为参数方程（口答）
x 3cos , （1） y 5sin .
x 8cos , （2） y 6sin .
2
x y （3） 1 4 9
2
2
（4） x
y
2
16
1
x 2 3 cos , 2.曲线 (为参数)的焦距是 y 3 2 sin .
。
x y 例1、在椭圆 1 上求一点M，使M到直线 9 4
cos sin 1 相比较而得到，所以椭圆的参数方程
的实质是三角代换.
x a cos (为参数) y b sin
（acos ,bsin）
θ
说明：
⑴ 这里参数 叫做椭圆的离心角. 椭圆上点M的离心角与直线OM的倾斜角θ 不同：
b tan tan ; a
x2 y2 ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 2 2 1 与三角恒等式 a b 2 2
类比圆的参数方程中参数的意义， 椭圆的参数方程中参数的意义是什么？ 与圆的参数方程的参数类似吗？
这是中心在原点O，焦点 圆： 为点M的旋转角； 在x轴上的椭圆的参数方程。 椭圆： 为点M的离心角。
x2 y 2 椭圆 2 2 （a>b>0） 的参数方程为： 1 a b
通常规定 [o, 2 )
y 2sin 。
椭圆参数方程
以原点为圆心，分 别以a，b为半径作圆。 过o的射线交大、小圆 于A、B，又过A、B 分别作y、x轴的平行线 相交于M(x，y) ，根据 三角函数的定义 a b
y A
B
o
•
M x
x a cos (为参数) y b sin
思考：P27，28
点P在椭圆上移动，求|PA|的最小值及此时
点P的坐标.
思考：P30
x2 y 2 1 与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数x，y满足 25 16 的前提下，求出z=x-2y的最大值和最小值吗？
由此可以提出哪些类似的问题？
小结
x2 y 2 椭圆 2 2 （a>b>0） 的参数方程为： 1 a b