2.2.1椭圆的参数方程
2.2圆锥曲线的参数方程
x
y
3sec tan
(为参数)的渐近线方程
例2、如图，设M
为双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b 0)任意一点，O为原点，
过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。
探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
①
A
M
O B
x
a
所以MAOB的面积为
S YMAOB
=|OA|•|OB|sin2
=
xA
cos
•
xB
cos
sin2
=
a2(sec2 -tan2 4cos2
)
•
sin2
=
a2 2
•
tan
a2 2
•
b a
ab . 2
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。
(2 pt12 ,2 pt1),(2 pt22 ,2 pt2 )(t1 t2 ,且t1 t2 0)则
OM (x, y),OA (2 pt12 ,2 pt1),OB (2 pt22 ,2 pt2 )
AB (2 p(t22 t12 ),2 p(t2 t1))
已知圆的方程为x2 y2 4x cos 2 y sin 3cos2 0, (为参数)，那么圆心的轨迹的普通
方程为 ____________________
解：方程x2 y2 4x cos 2 y sin 3cos2 0 可以化为(x 2 cos )2 ( y sin )2 1 所以圆心的参数方程为{x 2 cos (为参数)
椭圆参数方程
椭圆参数方程椭圆是数学中一个重要的曲线，它有着许多特殊的性质和应用。
在这篇文章中，我将向大家介绍椭圆的参数方程及其几何性质，以及它在日常生活中的一些应用。
首先，让我们来了解椭圆的参数方程。
椭圆的参数方程可以表示为：x = a cos(t)y = b sin(t)其中，x和y是椭圆上的一个点的坐标，t是参数，a和b是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
可以看出，参数t的取值范围是[0,2π]。
接下来，我们将探讨椭圆的一些几何性质。
首先是椭圆的离心率。
椭圆的离心率定义为e = √(1 - b²/a²)，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
离心率描述了椭圆的扁平程度，当离心率接近于0时，椭圆接近于圆形，当离心率接近于1时，椭圆则非常扁平。
椭圆还有一个重要的性质是其焦点和准线。
椭圆的焦点是与椭圆上的每个点的距离之和等于常数2a的两个点。
椭圆的准线是位于焦点之间，并与椭圆平行的一组线段。
焦点和准线是椭圆的重要几何特征，它们可以帮助我们更好地理解椭圆的形状和性质。
除了几何性质外，椭圆还有一些重要的应用。
在日常生活中，我们可以发现椭圆的影子是一个常见的现象。
当太阳光照射到一个圆形物体上时，由于光线的投射角度的改变，所形成的影子就是一个椭圆。
这是由于椭圆的离心率决定了不同位置处光线到达地面的角度，从而造成了椭圆形状的影子。
此外，在工程领域中，椭圆也有着广泛的应用。
例如，在天线设计中，椭圆天线可以实现不同方向的辐射和接收信号。
椭圆形状的天线可以实现更广泛的覆盖范围和更高的接收灵敏度。
椭圆还被广泛应用于轨道运动的研究中。
在天体运动中，如果一个天体的轨道为椭圆形状，我们可以利用椭圆参数方程来描述和计算天体在不同位置的位置和速度。
当然，这需要一些高级的数学和物理知识，但椭圆方程提供了一个非常有用的工具。
总结起来，椭圆的参数方程提供了一种描述椭圆曲线的简洁和灵活的方式。
椭圆具有许多特殊的几何性质，例如焦点和准线，这些性质帮助我们更好地理解椭圆的形状和特征。
椭圆双曲线抛物线的参数方程
椭圆双曲线抛物线的参数方程简介椭圆、双曲线和抛物线是常见的平面曲线，它们具有广泛的应用于数学、物理、工程等领域中。
在本文中，我们将探讨椭圆、双曲线和抛物线的参数方程形式，以及它们的基本性质和应用。
一、椭圆的参数方程1. 椭圆的定义椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合。
椭圆的参数方程可以通过将直角坐标系中的x和y用参数形式表示得到。
2. 椭圆的参数方程形式椭圆的参数方程形式如下：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，t为参数，a为椭圆的长半轴长度，b为椭圆的短半轴长度。
3. 参数方程的优势使用参数方程形式表示椭圆可以简化计算和表达。
通过改变参数t的取值范围，我们可以绘制椭圆的各个部分，包括角点和曲线的弧段。
二、双曲线的参数方程1. 双曲线的定义双曲线可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点的集合。
双曲线的参数方程可以通过将直角坐标系中的x和y用参数形式表示得到。
2. 双曲线的参数方程形式双曲线的参数方程形式如下：x = a * sec(t)y = b * tan(t)其中，t为参数，a为双曲线的横轴长度，b为双曲线的纵轴长度。
3. 参数方程的应用双曲线的参数方程可以用于解决各种问题，如天体运动中的轨道计算、物体运动中的抛物线模型等。
双曲线也在工程领域中具有广泛的应用，如电磁场分析、无线通信、流体力学等。
三、抛物线的参数方程1. 抛物线的定义抛物线可以被定义为平面上到一个定点F的距离等于点到一条直线L的垂直距离的点的集合。
抛物线的参数方程可以通过将直角坐标系中的x和y用参数形式表示得到。
2. 抛物线的参数方程形式抛物线的参数方程形式如下：x = a * t^2y = 2a * t其中，t为参数，a为抛物线的参数，控制抛物线的曲率。
3. 参数方程的特点抛物线的参数方程形式非常简洁，能够准确地描述抛物线的形状和位置。
通过改变参数a的取值，可以获得不同形状和大小的抛物线。
2.2(2)椭圆的参数方程
2.2（2）椭圆的参数方程上海市民立中学方宇皓一、教学内容分析“椭圆的参数方程”为本章节的最后部分.主要让学生掌握椭圆的参数方程，进一步理解参数方程的概念，加深对曲线与方程的理解，在此基础上对参数方程进行简单应用，并懂得参数法的基本运用.二、教学目标设计经历体验建立椭圆的参数方程的过程，进一步理解参数方程的概念，经历用参数方程解决问题，在问题的解决过程中，形成数学抽象思维能力，体验参数的基本思想.三、教学重点及难点掌握椭圆的参数方程，形成参数思想并懂得参数法的基本运用.四、教学流程设计五、教学过程设计一、引入巩固与小结引入椭圆的参数方程的理解与认识曲线的参数方程的应用复习椭圆定义、标准方程，学生自己动手把椭圆标准方程22221x y a b+= ()0,0a b >>化成参数方程()cos ,02,0,0sin ,x a a b y b ϕϕπϕ=⎧≤<>>⎨=⎩[说明]通过学生自己动手，巩固参数方程的概念及参数方程与普通方程的互化.二、学习新课1．椭圆的参数方程的概念（1）椭圆的参数方程为()cos ,02,0,0sin ,x a a b y b ϕϕπϕ=⎧≤<>>⎨=⎩. （2）椭圆的参数方程的理解与认识.①试求椭圆2211612x y +=的一个参数方程. ②设椭圆2211612x y +=上一点P ，点P 在第一象限，且OP 与x 轴正方向所成角3POX π∠=，求点P 的坐标.解 椭圆参数方程为()4cos ,0223sin ,x y ααπα=⎧⎪≤<⎨=⎪⎩，设点()4cos ,23sin P αα，由23tan ,sin 0,cos 034παα=>>可得点P 坐标为45415,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. [说明]（1）当直接设点的坐标不易求解时，可尝试参数法；（2）本题容易出错：认为3πα=，直接代入椭圆参数方程得()2,3P .要注意参数α与POX ∠的关系. 2．曲线的参数方程的应用分析讲解课本例3、例4.3．例题分析（1）课本例3：通过椭圆的参数方程求得最值，使学生体验参数方程的作用与意义，逐步形成参数思想.（2）课本例4：通过椭圆的参数方程求解，解答简便，体现了运用参数方程解题的优越性.三、巩固练习课本练习2.2（2）中的第2、3题.四、课堂小结（1）椭圆的参数方程的定义，完善对椭圆的认识；（2）参数方程的基本运用；（3）增强利用参数思想解决问题的意识和能力.五、作业布置数学练习部分第9页，习题2.2，第4题.。
椭圆的性质及知识点总结
椭圆的性质及知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。
1.2 椭圆的基本性质（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。
长轴的端点是两个焦点F1和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。
（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0<e<1。
（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
1.3 椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆的中心点位于原点(0,0)。
二、椭圆的相关知识点2.1 椭圆的离心率椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴的一半。
离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。
2.2 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。
2.3 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。
2.4 椭圆的切线椭圆上的切线有一个特点：与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。
根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。
2.5 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。
焦点坐标为（±ae, 0），a为长轴的一半，e为椭圆的离心率。
2.6 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数法求解，面积为πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
椭圆的参数方程
知识总结
1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ圆的参数方程
x a cos (为 参 数) y b sin
2 .在椭圆的参数方程中，a>b>0常数a、 b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
作业：课时训练9《椭圆的参数方程》
2 2
b tan a
cos sin
a a2 b2 b a 2 b2
b tan a
a b
2
2
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为 M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系. 设∠XOA=θ
2
2
(2)
y x 1 16
2
2
x cos (2) ( 为参数) y 4sin
把下列参数方程化为普通方程
x 3cos x 8cos (3) (是参数) (4) (是参数) y 5sin y 10sin
(3)
2
y2 4
解：设点P(3cos , 2sin ) (0
2
)
SAOB面积一定, 需求SAPB最大即可
即求点P到线AB的距离最大值 O x y 线AB的方程为 1 2 x 3 y 6 0 3 2 | 6cos 6sin 6 | 6 d | 2 sin( ) 1|
椭圆方程的参数方程
椭圆方程的参数方程椭圆方程的参数方程是数学中一种重要的工具，可以帮助我们更深入地理解椭圆这一几何形状。
在本篇文章中，我们将介绍椭圆参数方程的基本概念、性质与应用，希望能够给读者带来实用的指导意义。
在了解椭圆参数方程之前，我们先来回顾一下什么是椭圆。
椭圆是一种长轴和短轴长度不同的封闭曲线，可以用以下标准方程来表示：$ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 $其中，$a$ 和 $b$ 分别是椭圆的长轴和短轴长度，$h$ 和$k$ 是椭圆的中心点坐标。
不过，这种方程形式往往比较复杂，不利于我们对椭圆的几何特征进行深入研究。
因此，我们可以将椭圆的参数方程表达出来，简化椭圆的形式。
椭圆的参数方程可以通过以下公式求出：$x=a\cos t+h$$y=b\sin t+k$其中，$t$ 是参数，用来表示椭圆上每一个点的位置。
以这种形式表示，我们就可以更加清晰地看到椭圆的几何特征。
例如，我们可以通过调整参数 $t$ 的值，来绘制出椭圆上不同位置的点并观察其特征。
椭圆参数方程还有一些重要的性质。
首先是椭圆的周长和面积可以用以下公式求出：周长：$L = 4aE(e)$面积：$S = \pi ab$其中，$E(e)$ 是椭圆第二类完整椭圆积分，$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ 是椭圆的离心率。
这些公式可以帮助我们计算椭圆的几何特征，对于椭圆相关问题的求解有很大帮助。
此外，椭圆参数方程还可以应用到一些实际问题中。
例如，在天文学中，椭圆轨道可以用参数方程描述行星、卫星等天体的运动；在机械制造中，椭圆也被广泛应用于曲轴连杆机构的设计等方面。
总而言之，椭圆参数方程是一种非常有用的工具，可以使我们更加深入地理解椭圆这一几何形状及其相关特征。
通过对椭圆的参数方程进行研究和应用，我们能够更好地解决各种实际问题，提高数学思维和解题能力。
椭圆知识点归纳总结
椭圆知识点归纳总结椭圆的定义可以用数学表达式表示为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]其中a和b分别表示椭圆的主轴长度和次轴长度，椭圆的标准方程为椭圆定点到F1、F2的距离之和等于常数2a的定点轨迹的数学描述。
椭圆是一种非常基本的几何图形，具有许多独特的性质和特点。
本文将对椭圆的性质、参数方程、焦点、直径、离心率、焦距、渐近线、面积等方面进行归纳总结。
第一部分：椭圆的基本性质1.1 椭圆的定义和参数1.2 椭圆的性质1.3 椭圆的对称性1.4 椭圆的离心率和焦点第二部分：椭圆的参数方程和一般方程2.1 参数方程和一般方程的含义2.2 椭圆的参数方程2.3 椭圆的一般方程第三部分：椭圆的焦点、直径和离心率3.1 椭圆的焦点特点3.2 椭圆的直径特点3.3 椭圆的离心率特点第四部分：椭圆的焦距和渐近线4.1 椭圆的焦距含义4.2 椭圆的渐近线含义4.3 椭圆的焦距和渐近线的性质第五部分：椭圆的面积和周长5.1 椭圆的面积公式5.2 椭圆的周长公式5.3 椭圆的面积和周长的计算方法第六部分：椭圆的相关定理和实例分析6.1 椭圆的凸性定理和实例分析6.2 椭圆的垂直切线定理和实例分析6.3 椭圆的切线与法线定理和实例分析结论部分：椭圆的应用和拓展7.1 椭圆在日常生活中的应用7.2 椭圆的拓展和推广第一部分：椭圆的基本性质1.1 椭圆的定义和参数椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的主轴长度。
椭圆的主轴长度决定了椭圆的大小和形状。
椭圆的参数包括主轴长度a、次轴长度b、焦距2c、离心率e等。
其中焦距2c和主轴长度a之间有关系：c^2 = a^2 - b^2。
离心率e的计算公式为：e = c/a。
主轴长度a和次轴长度b决定了椭圆的形状，焦距2c和离心率e描述了椭圆与焦点之间的距离关系。
1.2 椭圆的性质椭圆具有许多特殊的性质，如平行轴定理、离心角定理、矩形椭圆定理等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第04课时
2.2.1椭圆的参数方程
学习目标
1.通过学习椭圆的参数方程的建立，进一步熟悉建
立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解。
学习过程
一、学前准备
复习：1.直角坐标系下的椭圆的标准方程是什么？
2.点到直线的距离公式是怎样的？
3.你还记得下面一些三角公式的运算吗？试试看。
（1）2
2
sin cos θθ+=
（2）cos35cos55sin 35sin 55︒︒-︒︒= （3
1sin 12212ππ
-= （4）55sin
cos 1212
ππ
+= 。
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P 27～P 29，找出疑惑之处） 以原点O 为圆心，,(0)a b a b >>，为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上任一点，
连接OA ，与小圆交于B ，过点A 、B 分别作x 轴，y 轴的
垂线，两垂线交于点M ，那么M 点的轨迹是
什么？（用几何画板考察）
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(),x y 。
那么点A 的横坐标为，点B 的纵坐标
为y ，由于点,A B 均在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有
cos cos x OA a ϕϕ==，sin sin y OB b ϕϕ==
当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是
cos sin x a y b ϕ
ϕϕ=⎧⎨
=⎩
为参数（） 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆.，通常规定参数ϕ的范围是[),2o ϕπ∈，可以看出参数ϕ是
点M 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角（称
为点M 的离心角） ◆应用示例
例1．在椭圆22
194
x y +=上求一点M ，使点M 到直线2100x y +-=的距离最小，并求出最小距离。
（教材P 28例1）
解：
y
x
第二讲 参数方程 班级： 姓名： 时间： 年 月
◆反馈练习 1.椭圆2c o s ()5sin x y θ
θθ
=⎧⎨=⎩为参数的焦距等于
（ ）
A
B
、 C
D
、
2.已知椭圆⎩⎨⎧==θθ
sin 2cos 3y x (θ为参数)
求 （1）6
π
θ=
时对应的点P 的坐标 （2）直线OP 的倾斜角
三、总结提升 ◆本节小结
1．本节学习了哪些内容？
答：学习椭圆的参数方程的建立，进一步熟悉建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解。
学习评价
一、自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ） A ．很好 B ．较好 C ． 一般 D ．较差
课后作业
1.一颗人造地球卫星的运行轨道是一个椭圆，长轴长为15565 km ，短轴长为15443 km ，取椭圆中心为坐标原点，求卫星轨道的参数方程。
2.已知椭圆22
221x y a b
+=上任一点M （除短轴端点
外）与短轴两端点12,B B 的连线分别与x 轴交于P ,Q 两点，O 为椭圆的中心。
求证：OP OQ 为定值。