人教版初一数学上册平行线的性质 第一课
初中数学知识归纳平行线与垂直线的性质
初中数学知识归纳平行线与垂直线的性质初中数学知识归纳——平行线与垂直线的性质在初中数学中，平行线与垂直线是非常重要的概念。
本文将对平行线与垂直线的性质进行归纳和总结。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上永不相交的两条直线。
对于平行线，我们可以总结出以下的性质：1. 平行线上的任意一对对应角相等。
证明：设有两条平行线l1和l2，分别与横线m相交于A、B和C、D两个点。
即l1∥l2，我们需要证明∠ABC = ∠BAD。
由于l1∥l2，所以∠BAD与∠ABC是同位角，所以它们相等。
2. 平行线上的任意一对内错角互补。
证明：设有两条平行线l1和l2，分别与横线m相交于A、B和C、D两个点。
即l1∥l2，我们需要证明∠ABC + ∠BCD = 180°。
由于l1∥l2，所以∠ABC与∠BCD是内错角，根据内错角互补定理，它们的和等于180°。
二、垂直线的性质垂直线是指两条直线交于一点，且彼此互相垂直的线段。
对于垂直线，我们可以总结出以下的性质：1. 垂直线上的任意一对对应角相等。
证明：设有两条垂直线l1和l2，交于点O。
直线l1上的一条线段与直线l2连线，形成∠AOC和∠BOC两个角。
我们需要证明∠AOC = ∠BOC。
由于l1和l2是垂直线，所以∠AOC和∠BOC是对应角，它们相等。
2. 垂直线上的任意一对补角互补。
证明：设有两条垂直线l1和l2，交于点O。
直线l1上的一条线段与直线l2连线，形成∠AOC和∠BOD两个角。
我们需要证明∠AOC + ∠BOD = 180°。
由于l1和l2是垂直线，所以∠AOC和∠BOD是补角，根据补角定义，它们的和等于180°。
三、平行线和垂直线的性质平行线和垂直线之间也存在一些重要的性质：1. 平行线与横线的夹角等于其对应角。
证明：设有两条平行线l1和l2，与横线m相交于A、B和C、D两个点。
即l1∥l2，我们需要证明∠CAB = ∠CDA。
初一数学：平行线(含解析)
平行线知识互联网板块一 平行线的定义、性质及判定知识导航【例1】 ⑴ 如下左图，AB CD ∥，AD AC ⊥，32ADC ∠=°，则CAB ∠的度数是________． ⑵ 如下中图，直线l 与直线a ，b 相交．若a b ∥，170∠=°，则2∠的度数是________． ⑶ 如下右图，已知a b ∥，170∠=°，240∠=°，则3∠=________． 图DCBA21ba lb a321CBA 【解析】⑴ 122°；⑵ 110°；⑶ 70°【例2】 ⑴ 根据图在（）内填注理由：① ∵B CEF ∠ =∠（已知）∴AB CD ∥（ ）② ∵B BED ∠= ∠（已知）∴AB CD ∥（ ） ③ ∵180B CEB ∠+∠=°（已知） ∴AB CD ∥（ ）⑵ 下列说法中，不正确的是（ ）A ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行B ．过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线相交C ．同一平面内的两条不相交直线平行D ．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行【解析】⑴ ① 同位角相等，两直线平行；② 内错角相等，两直线平行；③ 同旁内角互补，两直线平行．⑵ 本题主要考察两直线平行的识别．根据平行公理及其推论可知A 、D 正确；同一平面内的两条直线的位置关系只有相交和平行两种，C 正确；过直线外一点，有且只有一条直经典例题FC EB D A线与这条直线平行，而有无数条直线与这条直线相交，B 不正确．【例3】 请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明．⑴ 如图⑴，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AME ∠，CNE ∠．求证：MG NH ∥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．⑵ 如图⑵，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分BMF ∠，CNE ∠．求证：MG NH ∥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．⑶ 如图⑶，已知：AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠，相交于点O ．求证：MG NH ⊥．从本题我能得到的结论是：____________________________________．(1)A B C DE FG H M N(2)NMFEDC B A GH (3)NM FEDC B A G H O 【解析】⑴ 两直线平行，同位角的角平分线平行．⑵ 证明：∵AB ∥CD ，∴BMFCNE ∠ 又∵MG ，NH 分别平分BMF从本题我能得到的结论是：两直线平行，内错角的角平分线平行．⑶ 证明：∵AB ∥CD ，∴180AMF CNE ∠+∠=又∵MG ，NH 分别平分AMF ∠，CNE ∠ ∴∴18090MON GMF HNE ∠= ，∴MG ⊥NH从本题我能得到的结论是：两直线平行，同旁内角的角平分线垂直．【例4】 证明：三角形三个内角的和等于180°．【解析】平角为180°，若能用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一个顶点，并得到一个平角，问题即可解决．证法1 : 如图所示，过ABC △的顶点A 作直线l BC ∥，则1BBAC所以180B BAC C ∠+∠+∠=°量代换）．即三角形三个内角的和等于180°． 证法2 : 如图所示，延长BC ，过C 作CE AB ∥，则1A ∠=∠ （两直线平行，内错角相等），2B ∠= ∠ （两直线平行，同位角12180BCA ∠+∠+∠=°， 所以180BCA A B ∠+∠+∠=°，即三角形三个内角的和等于180°．【教师备案】利用平行线证明三角形内角和为180°的方法有很l21C BA 21D C EB A多，老师可以带着学生多练几个【例5】 如图，ABC △中CD AB ⊥于D ，DE BC ∥，交AC 于点E ．过BC 上任意一点F ，作FG AB ⊥于G ，求证：12∠=∠．GFE 21D CBA【解析】∵FG AB CD AB ⊥⊥，， ∴GF CD ∥ ∴∠∵DE BC ∥， ∴2BCD ∠=∠， ∴12∠=∠【例6】 我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象．光线从水射入空气中，同样也会发生折射现象．如图，为光线从空气射入水中，再从水射入空气中的示意图．由于折射率相同，因此有14∠=∠，23∠=∠．请你用所学的知识来判断光线c 与d 是否平行？并说明理由．ba465dcba321【解析】c d ∥如图：∵25180∠+∠=°，36180∠+∠=°，23∠= ∠ ∴56∠= ∠（等角的补角相等）又∵14∠=∠∴1564∠+∠=∠+∠∴c d ∥（内错角相等，两直线平行）【例7】 （成都市初中数学竞赛）如图，已知AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥，垂足为E ，ED AC ∥，36BAE ∠ = ° 求BED ∠ 的度数．EDCBA【解析】126°【例8】 ⑴ 如图所示AB CD ∥．求证：360B E D ∠+∠+∠=°EDCBA⑵ 已知，如图，AEC A C ∠=∠+∠,证明AB CD ∥ED CBA【解析】⑴ 如图，过E 点作EF AB ∥，则180B BEF ∠+∠=°因为AB CD ∥，所以EF CD ∥，180FED D ∠+∠=°所以360B BEF FED D ∠+∠+∠+∠=°又BEF FED BED ∠+∠=∠，∴360B BED D ∠+∠+∠=°即360B E D ∠+∠+∠=°F EDCBA ⑵ 解法一：过点E 作AEF A ∠=∠,则AB EF ∥， 又AEC A C AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠，∴C CEF ∠=∠，∴EF CD ∥，∴AB CD ∥． F ED CBA解法二：作180AEF A ∠+∠=°, 则AB EF ∥,∵360AEC AEF CEF ∠+∠+∠=°， ∴360A C AEF CEF ∠+∠+∠+∠=°， 经典例题板块二 平行线的构造∴180C CEF ∠+∠=°， ∴CD EF ∥, ∴AB CD ∥FE DCB A 【教师备案】这两个模型非常重要，建议各位老师分别从已知角度关系证明平行和已知平行证明角度关系两个方面讲解这两个小题，重点强调书写过程 【例9】 ⑴ 如图⑴，已知14MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、3A ∠、4A ∠，1B ∠、2B ∠之间的关系．⑵ 如图⑵，已知1n MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、…、n A ∠之间的关系．⑶ 如图⑶，已知1n MA NA ∥，探索1A ∠、2A ∠、…、n A ∠，1B ∠、2B ∠、…、1n B −∠之间的关系．MNA 4B 2A 2A 3B 1A 1MNA nA 4A 3A 2A 1B n -1B 2B 1A nA n -1A 2A 1NM图⑴ 图⑵ 图⑶【解析】⑴ 123412180A A A A B B ∠+∠+∠+∠=∠+∠+°；⑵ 123(1)180n A A A A n ∠+∠+∠++∠=−×° ． ⑶ 12121n n A A A B B B −∠+∠++∠=∠+∠++∠ ；【例10】如图，已知，CD EF ∥，C F ABC +=∠∠∠，求证AB GF ∥G FDECBAQPABCEDFG【解析】如图，过点B 作PQ CD ∥交GF 的延长线于点Q 则PQ EF ∥，【拓1】 如图所示，已知CB OA ∥，100C OAB∠ =∠ ，E ，F 在CB 上，且满足FOB AOB ∠= ∠，OE 平分COF ∠．思维拓展⑴ 求EOB ∠的度数；⑵ 若平行移动AB ，那么OBC ∠：OFC ∠的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；⑶ 在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OECOBA ∠=∠？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．ABC E FO 【解析】⑴40°；⑵1:2；⑶存在，60OECOBA ∠=【拓2】 在同一平面内有1a ，2a ，3a ，…，97a 共97条直线，如果12a a ∥，23a a ⊥，34a a ∥，45a a ⊥，56a a ∥，67a a ⊥，…，那么1a 与97a 的位置关系是________．【解析】寻找规律，12a a ∥，13a a ⊥，14a a ⊥；15a a ∥，16a a ∥，17a a ⊥，18a a ⊥…，4个一循环，974241÷= ，所以971a a ∥【拓3】 在同一平面内有7条直线，证明：必有两条直线的夹角小于26°．【解析】由平行线的性质可知，平移某条直线不影响该直线与其它直线的夹角，故可将7条直线平移使其交于同一点（如下图），A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1O点O 把7条直线分成14条射线，记为1OA ，2OA ，…，14OA ，相邻两射线组成14个角，记为1α，2α，…，14α，其和为一个周角：1214360ααα+++=° ， 若结论不成立，则26i α°≥，()1214i = ，，，， 相加，得360这一矛盾说明，在1α，2α，…，14α中，必有一个角小于26°，即必有两条直线的夹角小于26°．【拓4】 如图，已知ABCDFED BC A FEDBC A【解析】如右图所示，分别过点E ，F 做AB 和CD 的平行线，易得：AEC EAB ECD∠=∠+∠x 90°50°30°30°ABCD E FG HMNPR Qx 90°50°30°30°AB CDE FG HMNOP【解析】过点G ，H 作AB ，CD 的平行线，那么AB OG HQ CD ∥∥∥∵AB OG ∥，HQ CD ∥∵OG HQ ∥，∴60GHQ OGH HGE EGO ∠=∠=∠−∠=° ∵在MHQ ∆中,180MHQ HMQ MQH ∠+∠+∠=°又∵180MQR MQH ∠+∠=°，∴MHQ HMQ MQR ∠+∠=∠ ，∴40GHM GHQ MHQ ∠=∠−∠=°习题1． 如图：已知12∠=∠，A C ∠= ∠，求证：①ABDC ∥证明：∵12∠=∠（ ）∴______∥______（ ）． ∴C CBE ∠= ∠（ ）又∵C A ∠=∠（ ）∴A ∠=________（ ） ∴______∥______（ ）．EDCBA21【解析】已知：AB ，CD ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；CBE ∠； 等量代换；AD ，BC ；同位角相等，两直线平行． 习题2． 如图所示，复习巩固⑴ 已知：AB CD ∥，12∠=∠，求证：BE CF ∥； ⑵ 已知：AB CD ∥，BE CF ∥，求证：12∠=∠．F 21E B DA C【解析】⑴ ∵AB CD ∥（已知），∴ABC BCD ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） ∵12∠=∠（已知），∴EBC BCF ∠= ∠（等量减等量差相等） ∴BE CF ∥（内错角相等，两直线平行）⑵ ∵AB CD ∥（已知），∴ABC BCD ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） 又BE CF ∥（已知），∴EBCBCF ∠= ∠（两直线平行，内错角相等） ∴12∠=∠（等量减等量差相等）习题3． 如图，A B C ，，和D E F ，，分别在同一直线上，AF 分别交CE ，BD 于点G ，H ．已知H BCG FE D A习题4． 如图，在折线ABCDEFG 中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB GF 、交于点M ．试探索AMG ∠与3∠的关系，并说明理由．M5G4321DCFEBA【解析】3AMG ∠= ∠．理由：∵12∠=∠，∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）． ∵34∠= ∠，∴CD EF ∥（内错角相等，两直线平行）． ∴AB EF又53习题5． （十二届希望杯）如图所示，AB ED ∥，A E α=∠+∠，B C D β=∠+∠+∠，证明：2βα=．DCEBA21D CFEBA21DCFEBA【解析】证法l ：因为AB ED ∥，所以180A E α=∠+∠=°．（两直线平行，同旁内角互补）过C 作CF AB ∥．由AB ED ∥，得CF ED ∥ （平行于同一条直线的两条直线平行） 因为CF AB ∥，有1B ∠= ∠ （两直线平行，内错角相等） 又CF ED ∥，有2D ∠= ∠，（两直线平行，内错角相等）所以12360B C D BCD β=∠+∠+∠=∠+∠+∠=° （周角定义）所以2βα=（等量代换）证法2：由AB ED ∥，得180A E α=∠+∠=°．（两直线平行，同旁内角互补）过C 作CF AB ∥（如图）． 由AB ED ∥，得CF ED ∥．（平行于同一条直线的两条直线平行）因为CF AB ∥，所以1180B ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）， 又CF ED ∥，所以2180D ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补） 所以(12)(1)(2)360BCD B D B D β=∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=°所以2βα=（等量代换）． 习题6． 如图，已知：AB CD ∥，ABFDCE ∠=∠，求证：BFE FEC ∠=∠ FEDCBA4321ABC DEF 习题7． 如图，AB DE ∥，70ABC ∠=，147CDE ∠= °，求C ∠的度数． 147°70°ED CB AF147°70°E DCBA∴CF DE∥∴18018014733DCF CDE ∴703337BCD BCF DCF ∠=∠−∠=°−°=°．练习1． （2012年第23届“希望杯”初一决赛试题）下面四个命题：① 若两个角是同旁内角，则这两个角互补② 若两个角互补，则这两个角是同旁内角③ 若两个角不是同旁内角，则这两个角不互补④ 若两个角不互补，则这两个角不是同旁内角其中错误的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】D练习2． 如图，已知AB CD ∥，CE 平分ACD ∠，且交AB 于E ，118A ∠=°，则AEC ∠=________． E BC DA 【解析】∵AB CD练习3． 如图，∵3E ∠=∠（已知），12∠=∠（已知） 又∵∠________=∠________（ ）∴∠________=∠________（ ）∴AB CE ∥（ ）【解析】2；3；对顶角相等；1；E ；等量代换；内错角相等，两直线平行． 练习4． 如图，AD 是ABC △的角平分线，2BAC B ∠=∠，DE BA ∥．试探究B ∠与ADE ∠有何关系？并对你的结论加以说明．补充练习12图F 3E D AAB C D E【解析】 B ADE ∠= ∠，证明略．练习5． 已知，如图所示，AB DE ∥,116D ∠=°，93DCB ∠，求B ∠的度数． E D C B A FED C BA 【解析】过点C 作直线CF AB ∥，因为AB DE ∥,所以AB DE CF ∥∥，练习6． 如图所示，两直线AB CD 、平行，则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=（）A ．630° B ．720° C ．800° D ．900°65HG4321DC FE BA 【解析】分别过E F G H ，，，点做AB 的平行线，再求各个角度的和．选D。
七年级数学平行线的知识点
七年级数学平行线的知识点数学是一门非常重要的学科，而数学中平行线也是十分重要的知识点之一。
在初中数学中，七年级的学生就需要学习关于平行线的知识，掌握平行线的性质和运用方法。
本文将介绍七年级数学平行线的知识点，方便同学们更好地学习和掌握平行线知识。
一、平行线的定义平行线是指在同一平面内，永远不会相交的直线，其间的距离保持不变。
平行线的符号是“||”。
二、平行线的性质1.在同一平面内，两条直线要么相交，要么平行，不能既相交又平行。
2.在同一平面内，如果一条直线与另外一条直线分别平行，则这两条直线也是平行的。
3.如果一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与同一平面内的所有其他直线也都平行。
4.两条平行线所对应的内角和相等，两条平行线所对应的外角互补。
三、平行线的运用方法1.利用平行线的性质解题。
在解题时，需要灵活掌握平行线的各项性质，如对应角、内角和、外角互补等，可以运用这些性质计算出所求的角度或线段。
2.利用平行线的交点特点解题。
当两条平行线被一条第三条直线所切割时，其所对应的内角相等，同旁内角互补等性质可以运用到解题中。
3.利用平行四边形的特点解题。
平行四边形的对边相等，且对边平行。
在平行四边形的计算中，可以运用平行四边形的特点进行计算。
四、平行线的经典应用1.三线共点定理：在平面直角坐标系中，三条不共线的直线如果它们的交点恰好是这个平面的一个点，则这三条直线互相平行。
2.相交线段定理：以一条直线为两边的两个三角形相似的充要条件是这条直线把它们的另一对对边分向比相等。
以上就是七年级数学平行线的知识点，同学们可以通过掌握这些知识点，更好地理解和学习平行线知识。
平行线是数学中的重要知识点，将贯穿整个数学学习过程，希望同学们能够认真学习并掌握。
初一数学平行线与相交线的性质与应用总结
初一数学平行线与相交线的性质与应用总结数学中的几何知识是学习数学的基础，而初一数学中的平行线与相交线是一个重要的几何知识点。
理解并掌握平行线与相交线的性质与应用，能够帮助我们解决与平行线与相交线相关的问题，提高数学解题能力。
本文将对初一数学中的平行线与相交线的性质与应用进行总结。
1. 平行线的性质与判定方法平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。
在初一数学中，我们需要了解以下平行线的性质与判定方法：1.1 具有相同斜率的直线是平行线。
当两条直线的斜率相等时，它们就是平行线。
1.2 若两条直线与第三条直线分别平行，则它们之间也是平行关系。
1.3 若两条直线分别与同一条直线平行，则它们之间也是平行关系。
1.4 平行线的判定方法：a. 若两条直线上的任意两个角相等，则这两条直线是平行线。
b. 若一条直线与另外两条平行线所夹的两个对应角相等，则这两条直线是平行线。
2. 平行线的应用平行线在生活中的应用非常广泛，其中包括以下几个方面。
2.1 平行线的应用于地理中的纬线。
地球表面上的纬线是平行线，纬线帮助我们确定地球表面上不同地区的位置，并在航海、航空等领域发挥重要的作用。
2.2 平行线的应用于城市规划。
在城市规划中，平行线常常用于确定道路的走向，使得道路之间保持一定的距离和方向一致，便于交通的流通和规划。
2.3 平行线的应用于建筑设计。
在建筑设计中，平行线可以用于确定建筑物的方向、结构和布局，提高建筑物的美观与实用性。
3. 相交线的性质与判定方法相交线是指在同一个平面内相交的两条直线。
在初一数学中，我们需要了解以下相交线的性质与判定方法：3.1 相交线的性质：a. 相交线的交点是两条直线上所有点的公共点。
b. 相交线的两条直线上的任意两个相对应的角互补，即角的和为180度。
3.2 相交线的判定方法：a. 若两条直线的斜率不相等，则它们相交于一点。
b. 若两条直线的斜率相等但截距不相等，则它们永远不相交。
七年级上册 数学讲义《第十四讲 平行线的判定与性质》人教版 初一数学
人教版·七年级上册数学讲义第十四讲平行线的判定与性质平行线的判定知识导航平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．如图1，过P点只能作一条直线与已知直线a平行：若已知a∥c且b∥c，则a∥b．根据平行线的定义，若平面内的两条直线不相交，则可以判断这两条直线平行．但由于直线可无限延伸，检验它们是否相交不太切合实际，故难以直接根据定义来判断两条直线是否平行．根据平行公理的推论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．此推论建立在已知平行的条件下，但实际上我们并未掌握直接证明两条直线平行的方法，这就需要更行之有效的判定方法来判断两直线是否平行．判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行．判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行．如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+∠4=180°，则AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）． 例题1如图，将直尺固定住，将一个三角板的一条直角边紧贴直尺，沿其斜边画一条射线AB ，再将三角板沿直尺向下平移，沿其余斜边再画一条射线CD ．（1）上面的画法属于怎样的几何变换？（2）将射线AB 、射线CD 看作被直尺所截，什么角始终不变？ （3）猜测射线AB 、射线CD 所在直线之间的位置关系． 练习1如图，点E 在AD 延长线上，下列条件能判断AB ∥CD 的是（ ）．A ．∠C +∠ADC =180°B ．∠1=∠2C ．∠C =∠3D ．∠A =∠3如图，根据下列条件中，不能．．判断直线12l l ∥的是（ ）．A ．∠2=∠3B ．∠1=∠3C ．∠4=∠5D ．∠2+∠4=180°例题2如图，已知∠1=∠2，∠3+∠4=180°，求证： AB ∥EF ．证明：∵∠1=∠2（__________）∴AB∥_____（_______________，_______________）∵∠3+∠4=180°（__________）∴CD∥_____（_______________，_______________）∵AB∥_____，CD∥_____（__________）∴AB_____EF（_______________，_______________）如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，∠CAE=∠DBF，求证：AE∥BF．证明：∵AC⊥AB，BD⊥AB（__________）∴∠CAB=90°，∠_____=90°（_______________）∴∠CAB=∠_____（_____）∵∠CAE=∠DBF（_____）∴∠BAE=∠_____（_____）∴_____∥_____（_______________，_______________）练习2如图，∠1=∠A，∠2与∠B互余，AC⊥BC，求证：AC∥DE，AB∥CD．如图，∠1=∠2，∠CNF=∠BME，证明：AB∥CD，MP∥NQ．例题3如图，下列能判定AB∥EF的条件有（）．①∠B+∠BFE=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5．A．1个B．2个C．3个D．4个如图，点E在AC的延长线上，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠A=∠DCE；④∠D=∠DCE；⑤∠A+∠ABD=180°；⑥∠A+∠ACD=180°；⑦AB=CD能说明AC/BD的条件有_____．练习3如图，下列说法正确的有_____．①由∠1=∠2，得AB∥CD；②由∠5=∠6，∠3=∠4，得AB∥CD；③由∠1+∠3=∠2+∠4，得AE∥CH；④由∠SAF=∠SCG，得AF∥CG．平行线的性质知识导航利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等．性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简称：两直线平行，内错角相等．性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补．例题4如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B=44°，∠C=57°，则∠BAC的度数（）．A．89°B．79°C．69°D．90°如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，FG平分∠EFD交AB于点G，若∠BEF=70°，则∠AGF的度数为（）．A．35°B．45°C．55°D．65°练习4如图，点C是∠AOB的平分线OP上一点，CE∥OB，若∠ECO=20°，则∠AOB的度数为_____．如图，已知AB∥CD，AD⊥AC，∠ADC=32°，求∠CAB的度数．例题5如图，将一个宽度相等的纸条沿AB折叠一下，如果∠1=130°，那么∠2=_____．练习5如图，把一个长方形纸片ABCD沿EF折叠，点A，点B分别对应点H，点G，若∠1=50°，则∠2=_____度．例题6如图，将一张纸片沿EF进行折叠，已知AB∥CD，若∠DFC′=50°，则∠AEF=_____．练习6将一个长方形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是（）．A．40°B．50°C．60°D．70°易错总结平行线的判定是由角度关系来判定平行，而平行线的性质是已知平行，进而得到角度关系，二者不要弄混淆．条件结论平行线的判定同位角相等内错角相等同旁内角互补两直线平行平行线的性质两直线平行同位角相等内错角相等同旁内角互补平行线的判定与性质综合知识导航一般，题目会综合考查平行线的判定和性质．例如，可以先由题目中某些角相等或互补的条件，得到两条线相互平行（判定）；再由此平行线推出其他的同位角、内错角相等或同旁内角互补（性质），从而得到新的角度关系．熟练掌握、灵活运用平行线的判定和性质，是解平行线导角以及证明类题型的关键．例题7如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F．∠1+∠FEA=180°．求证：∠CDG=∠B．练习7如图，在△ABC中，∠1=∠2，ED∥BC，CD⊥AB于D，求证：∠FGB=90°．例题82019~2020学年4月湖北武汉江岸区武汉市七一华源中学初一下学期月考第20题8分已知：如图，E在CA的延长线上，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠E=∠3．求证：AD平分∠BAC．练习8已知AD ⊥BC ，FG ⊥BC ，垂足分别为D 、G ，且∠1=∠2，猜想∠BDE 与∠C 有怎样的大小关系？试说明理由．例题9如图，AE ∥CF ，∠ACF 的平分线交AE 于点B ，G 是CF 上的一点，∠GBE 的平分线交CF 于点D ，且BD ⊥BC ，下列结论： ①BC 平分∠ABG ； ②AC ∥BG ；③与∠DBE 互余的角有2个， ④若∠A =α，则∠BDF =1802α︒-，其中正确的有_____．（把你认为正确结论的序号都填上）练习92019~2020学年3月湖北武汉江岸区武汉市第六中学上智中学初一下学期月考第11题3分 如图，下列命题：①若∠1=∠2，则∠D =∠4，②若∠C =∠D ，则∠4=∠C ，③若∠A =∠F ，则∠1=∠2，④若∠1=∠2，∠C =∠D ，则∠A =∠F ，⑤若∠C =∠D ，∠A =∠F ，则∠1=∠2．其中正确的个数有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4巩固加油站巩固1下列说法错误的有_____．①不相交的两条直线是平行线．②两条直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．③三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a∥c；同理，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．④已知∠α的两边与∠β的两边平行，若∠α=48°，则∠β=48°．⑤若AB∥CD，CD∥EF，则AB∥EF．理由是等量代换．⑥有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角．⑦同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．巩固2如右图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠B=60°，∠EDA=50°，则∠CDO=_____．巩固3如图，已知AB∥CD，CM平分∠BCD，∠B=74°，CM⊥CN，则∠NCE的度数是_____．巩固4如图，∠1=∠A，∠2与∠B互余，DE⊥BC于点F，求证：AB∥CD．巩固5如图，CD是∠ACB的角平分线，DE∥AC交BC于点E，EF∥CD交AB于点F．求证：EF平分∠BED．巩固6如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠GFH+∠BHC=180°，求证：∠1=∠2．。
初中数学 平行线有哪些性质
初中数学平行线有哪些性质平行线是初中数学中的一个重要概念，具有许多性质。
在本文中，我将为您详细介绍平行线的各种性质。
1. 平行线的定义性质：-平行线是在同一平面上永远不相交的两条直线。
这意味着它们没有共同的交点。
-平行线具有相同的斜率。
斜率是用来描述直线的倾斜程度的数值。
如果两条直线有相同的斜率，那么它们是平行线。
-平行线之间的距离是恒定的。
对于任意两条平行线，它们之间的距离在整个线段上是相等的。
2. 平行线的角度性质：-平行线之间的所有内角相等。
如果一条直线与两条平行线相交，那么所形成的内角是相等的。
-平行线之间的所有外角相等。
如果一条直线与两条平行线相交，那么所形成的外角是相等的。
-平行线之间的同位角相等。
如果两条平行线被一条直线割分，那么所形成的同位角是相等的。
3. 平行线的传递性：-平行线的传递性定理：如果直线L1与直线L2平行，直线L2与直线L3平行，那么直线L1与直线L3也平行。
-这个定理的意思是，如果有三条直线，其中任意两条平行，那么第三条直线也与这两条直线平行。
4. 平行线的副交角性质：-平行线的副交角定理：如果两条直线被一对平行线割分，那么所形成的副交角是相等的。
这意味着在两条平行线之间，对应的副交角是相等的。
5. 平行线的交角性质：-线与平行线的交角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么所形成的内角、外角和同位角之间的关系是具有特定的等式。
-内角和同位角之和等于180度：如果一条直线与两条平行线相交，那么所形成的内角和同位角之和等于180度。
-外角等于内角的补角：如果一条直线与两条平行线相交，那么所形成的外角等于内角的补角。
以上是平行线的一些重要性质。
这些性质可以帮助我们解决各种几何问题，如计算角度、线段长度等。
此外，平行线的概念在实际生活中也有广泛的应用，如城市规划中的道路设计、光线的传播路径等。
希望以上内容能够帮助您更好地理解平行线的性质。
5.3.1平行线的性质(第1课时)教学设计
5.3.1平行线的性质（第1课时）教学设计一、教材分析1、教材分析：平行线的性质是学生对图形性质的第一次系统研究，对今后学习其他图形性质有“示范”的作用。
平行线的性质是证明角相等、研究角关系的重要依据，是研究几何图形位置关系与数量关系的基础，是平面几何图形的一个重要内容个学习简单逻辑推理的素材，它不但为三角形的证明提供了转化的方法，而且也是今后学习三角形、四边形、平移等知识的基础。
教科书有平行线的判定引入对平行线性质的研究，既渗透了图形的判定和性质之间的互逆关系，又体现了知识的连贯性。
平行线的三条性质都是需要证明的，但是为了与学生思维发展水平相适应，性质1是通过操作确认的方式得出的，在性质1的基础上经过进一步的推理，得到性质2和性质3。
这一过程体现了由实验几何到论证几何的过渡，渗透了简单的推理，体现了数学在培养良好思维品质方面的价值。
2、教学目标：知识与技能：掌握平行线的三条性质，并能用它们进行简单的推理和计算；过程与方法：经历探究直线平行的性质的过程，领悟归纳和转化的数学思想方法。
情感、态度与价值观：经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力。
3、教学重、难点:教学重点：平行线的性质的研究与发现过程教学难点：平行线的性质定理的推导及平行线的性质定理的应用。
教学方法：引导观察、动手测量、猜想、合作交流探究。
二、教学准备：白纸、直尺、三角板、量角器、计算器、剪刀等。
三、教学过程板书设计：5.3.1 平行线的性质已知结论判定同位角相等两直线平行内错角相等同旁内角互补性质两直线平行同位角相等内错角相等。
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95.3.1平行线的性质
说课流程
1.说教材
2.说学情
3.说教法学法
4.说教学过程
5.说板书设计
一说教材内容
教材地位与作用
承上:三线八角，平行线的判定
平行线的性质:解决生活实际
启下: 综合深化运用几何学习
教学目标
知识目标：1、理解平行线的性质 2、能初步运用平行线的性质进行有关计算。
能力目标：经历平行线性质的探究过程，从中体会研究几何图形的一般方法。
情感目标：树立克服困难的信心，提高学习数学的兴趣。
教学重点：
1、得到平行线性质的过程。
2、平行线性质的应用。
教学难点：
性质2和性质3的推理过程的逻辑表述。
二说学情
根据班上学生实际情况，分层次教学。
虽然在此之前已经学习了有关平行线的一些知识，在研究方法上也做了一些铺垫，但毕竟是第一次研究几何图形性质，这对于学生来说困难还是不小的。
三教法学法
依据上述教学目标以及重难点定位分析，本着以学生为主体，教师为主导的原则我决定通过精心设计一个个问题，引导学生动手实验、自然探索、合作交流，最终获取本节课所承载的知识技能与思想方法。
四说教学过程
1 梳理旧知，引入新课
2 动手操作，归纳性质
3 应用转化，推出性质
4 巩固新知，归纳小结
5 课堂检测，布置作业
㈠梳理旧知，引入新课。
问题
（1）上节课，我们学习了三种平行线的判定方法，分别是什么？（几何语言）
（2）我们是如何得到三个判定方法的？
（3）它们都是由角得到线，还是由线得到角？
（4）在三种判定方法中的条件下，都可以得到两条直线平行的结论；反过来，在两条直线平行的条件下，同位角、内错角、同旁内角又各有什么关系呢？
设计意图：复习上节课所学的平行线的三种判定方法并引入探究课题，有意识地让学生回顾上节课内容，为后面类比研究平行线判定的过程来构建平行线性质的研究过程作好铺垫。
㈡动手操作，归纳性质1
（1）观察课前让学生准备好直尺、剪刀以及三张长方形纸卡，让他们按照要求拼好。
1、两条接缝是哪种位置关系（平行）？
把两条接缝看作直线a和直线b的话，那直线a、b就是两条平行线。
2、如果沿直线c剪开，在出现的这8个角中哪些是同位角？
3、观察四组同位角的大小。
（2）猜想两条平行线被第三条直线所截之后形成的同位角有怎样的数量关系？（相等）
你能想办法验证一下吗？
（3）操作画截线c，标注8个角，以小组为单位进行操作。
（4）交流展示验证方法和验证结果。
（5）变化再任意画一条截线d，你发现的结论还成立吗？
（6）归纳归纳你的结论（文字、几何）。
［设计意图］让学生经历观察、猜想、验证、归纳的探究过程，一是让学生经历知识发生发展的过程。
再是培养学生严谨的科学态度。
性质1比较抽象，但他的获得途径却与数学基本事实一样，不需
要严格论证只要直观简洁呈现给学生就行。
（三）应用转化，推出性质2、3
如图：已知a//b,∠3=40°，∠2=？
解∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2 ,（）
又∵∠1=∠3=40°( ),
∴∠2=∠3=40°(等量代换).
（1）特例不断变换∠3的度数，平行前提不变，计算∠2的度数。
直到学生能不假思索的告诉答案。
为什么这么快说出结果？
（2）一般当将这些具体度数换成任意度数后，你的发现还成立吗？请你尝试说明？模仿写说理过程。
（3）归纳让学生归纳性质2，并用几何语言表达。
（4）再探以小组为单位，画图并以说理方法完成性质3的推导。
［设计意图］我没有直接抛出你能由性质1推出性质2吗？我认为这个问题对于刚刚学习推理的学生来说太大太空。
因此我在性质2的设计中有特殊到一般，为学生提供思路和方法。
有了性质2的铺垫，将性质3完全抛给学生。
（四）巩固新知，归纳小结
如图，已知AB∥CD，∠1=150°
∠1与∠2是角，因此∠2 ∠1=
∠1与∠4是角，因此∠4 ∠1=
∠1与∠3是角，因此∠3= = 。
【设计意图】：通过习题解答，使学生认识到平行线的性质的用处，通过练习，使学生对此处知识点达到巩固的目的。
利用幻灯片，大大节省了授课时间，提高了课堂效率。
我精心选择了两个例子：
例1:贴近实际，学以致用，使学生体会到有关平行线的知识在我们日常生活中无处不在，也增加了他们学习数学的兴趣。
例2:是平行线性质与判定的综合应用也是为突破难点所安排的。
例1：如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A＝100°、∠B＝115°，梯形另外两个角是多少度？
先由教师引导提问：
1、由梯形定义能得出哪两条线段平行？（AB∥CD)
2、由平行线的性质能得出什么结论？(∠A＋∠D＝180°∠B＋∠C＝180°)
再由学生用几何语言进行表达，初次计算格式不一定很完整，要给学生一定的鼓励和肯定。
例2:已知∠3 =∠4，∠1=47°,求∠2的度数？
分析时我采用的是从问题入手：
求∠2 转化求∠1 转化a∥b 转化∠3＝∠4
(让学生初步体会几何题的推理方法，逐渐提高他们的推理能力，接下来引导学生写出推理过程。
)
回顾总结
小结：通过这节课的学习，你有什么收获？
（1）总结平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等.
性质2：两直线平行，内错角相等.
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
(2) 解题方法:
角的关系转化直线关系
直线关系转化角的关系
(3)数学思想:转化的数学思想
【设计意图】：采用先让学生归纳，然后教师再补充的方式进行：充分发挥学生的主体意识，培养学生的语言概括能力。
（五）课堂检测
1、如图直线a∥b,∠1＝54°，
那么∠2、∠3、∠4各是多少度？
2、如图AB∥CD，AD∥BC，
如果∠B＝50°,那么∠D多少度？
3、根据如图，请在括号中填写理由：
①∵∠B＝∠3 ∴AB∥CE （）
②∵AB∥CE ∴∠A＝∠2 （）
③∵AB∥CE ∴∠B＋∠BCE＝180°（）
④∵∠A＝∠2 ∴AB∥CE （）
4 练习：
趣味练习：寓教于乐，进一步让学生感受知识来源于实践。
一辆汽车在公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么这两次转变的角度可以是（）
A、先右转80°，再左转100°。
B、先左转80°，再右转80°。
C、先左转80°，再左转100°。
D、先右转80°，再右转80°。
5 开放题
培养学生思维发散能力，提高逻辑思维能力。
如图：AB∥CD，
要想得出∠1＝∠2，
还需添加什么条件？
五、板书设计
两直线平行同位角相等
内错角相等
同旁内角互补。