2020届全国高考三卷模拟试卷数学(理)试题(七)解析版

D.24
解析： i 1 时， S 0 2 1 11 2 1 ；
i 2 时， S 2 1 2 2 12 2 1 4 1 ；
i 3 时， S 2 1 4 1 2 3 13 2 1 4 1 6 1 ；
2
……
i 6 时， S 2 1 4 1 6 1 12 1 2 4 12 42 ，所以输出 42，选 B.
所以函数 y= ex 的图象与函数 y=a 图象有两个不同的交点，所以 a （e, e2 ），选 D.
x
2
二、填空题
13.已知随机变量 X 服从正态分布 N 4, 2 , P( X 6) 0.78 ，则 P( X 2) =________.
解析： P( X 2) 1 P( X 6) 0.22 .
9.已 知 F1, F2 是 双曲 线 x2 y2 m(m 0) 的 两个 焦点 ， 点 P 为 该双 曲线 上 一点 ， 若 PF1 PF2 ， 且 PF1 PF2 2 3 ，则 m （ ）
A.1
B. 2
C. 3
D.3
解析：因为 PF1 PF2 2 m ，所以 PF1 2 2 PF1 PF2 PF2 2 4m ，
2
2
2 33
18.（12 分）某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在 A, B 实验地分别用甲、乙方法培育该品
种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各 50 株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分
制成如图所示的频率分布直方图，记综合评分为 80 分及以上的花苗为优质花苗.
（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在 A, B 两块实验地随机
4
解：（1）在△ ABC 中，由 cos A 6 ，得 sin A 3
3
3
由 sin B 3 cos C 得 sin( A C) 3 cos C ， sin Acos C cos Asin C 3 cos C ，
3 cos C 6 sin C 3 cos C ， 6 sin C 2 3 cos C ， tan C 2 .
则 x （ ） y
A. 3
B. 2 3
C. 3 3
D. 4 3
解析：解析：以 O 为原点，以 OA ，OB 所在的直线为 x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，则 A（1,0），B（0,3）,
由题意可设 C (
3m, m) ,由 OC xOA yOB 可得， (
3m, m)=x(1,0) y(0,3) ，所以 x 3
2020 届全国高考模拟试卷七（Ⅲ卷）
数学（理）试题解析版
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案 A
D
C
B
B
D
C
B
A
C
C
D
1.若复数 z (1 i)3 ，则 z （ ）
A. 2 2i
B. 2 2i
解析：因为 z 1 i3 2 2i ，所以 z 2 2i 选 A.
C. 2 2i
组成，所以该几何体的体积为：V = 1 ( 1 12） 3 1 ( 1 2 1） 3 1 ，选 B.
32
32
2
5.已知非负整数 x, y 满足 3x 2 y 9 0 ，则 x y 的最大值是（ ）
1
9
A.3
B.4
C.
D.5
2
解析：画出可行域如下，可知当直线经过点 1，3 或者 0，4 时取得最大值 4 ，选 B.
f
(x)
a
ln
x
2 x
ex x2
在 (0, 2)
上有两个极值点，则实数 a
的取值范围是（
）
A. (1, e)
B.
e2 2
,
e2
C. e,e2
D.
e,
e2 2
3
解析：
f
(x)
a( 1 x
2 x2
)
ex
x2 2xex x4
a
x2 x2
e
x
(
x x
3
2)
=0
，因为 x （ 0, 2 ）， a= ex x
初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意是，有人要去某关口，路程为 378 里，第一
天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则
此人第四天走的路程（单位：里）为（ ）
A.192
B.48
C.24
D.6
解析： 记每天走的 里程数为 an
，易知 an
14.函数
f
(x)
1 2
sin
x
6
1 3
cos
x
3
的最大值为__________.
解析：因为 (x+ ) (x ) ，所以 cos( x ) cos( x ) sin( x ) ，
6
32
3
62
6
所以 f (x) 5 sin(x+ ) ，所以函数 f (x) 的最大值为 5 .
所以，有 99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系
19.（12 分）如图所示的几何体中，ABC A1B1C1 为直三棱柱，四边形 ABCD 为平行四边行，CD 2 AD ， ADC 60 .
（1）若 AA1 AC ，证明： A, D,C1, B1 四点共面，且 A1C DC1 ；
（2）若 AD 1,CC1 AC ，二面角 A1 C1D A 的余弦值为
3 .选 C .
y
11.在三棱锥 P ABC 中， PA PB PC 2 ，且底面 ABC 为正三角形， D 为侧棱 PA 的中点，若
PC BD ，三棱锥 P ABC 的四个顶点在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ）
A. 6
B. 8
C.12
D.16
解析：设 AB 的中点为 E ，连结 PE ， CE ，易知 AB 平面 PEC ，所以 AB PC ，
D. 2 2i
2.设集合 A {0,1} ，集合 B 满足 A B {0,1} ，则满足条件的集合 B 的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：因为集合 A 0,1 ， A B 0,1 ，则 B A ，所以集合 B 可能的情况有0，1 ，0,1 ， ，
共有 4 个.选 D.
3.《算法统宗》，明代数学家程大位所著，是中国古代数学名著.其中有这样一段记载：“三百七十八里关，
41
的最小值为 .
n4
n5
n
5
16.已知 P 是双曲线 x2 y2 1右支上的一点， M , N 分别是圆 ( x 4)2 y2 9 和 ( x 4)2 y2 1 上的 15
点，则 | PM | | PN | 的最大值是___________.
解析：双曲线的两个焦点分别为（ 4, 0 ），（ 4, 0 ），则这两点刚好是两圆的圆心，由几何性质知，
6
6
6
15.已知数列 an
满足
a1
21, an1
an
2n
，则
an n
的最小值为_______.
解析：因为 an1 an 2n ，所以 an1 an 2n ，
从而 a2 a1 2 1， a3 a2 2 2 ，…， an an1 2(n 1)(n 2) ，
累加可得 an
a1
PM PF1 3 , PN PF2 1,所以 PM PN PF1 3 PF2 1 6 ,所以最大值为 6 .
三、解答 题
17.（12 分）在 △ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c, cos A 6 ,sin B 3 cosC . 3
（1）求 tan C ；（2）若 △ABC 的面积为 2 ，求 b .
（2）频率分布直方图，优质花苗的频率为 (0.04 0.02) 10 0.6 ，则样本中优质花苗的株数为 60 株，列
联表如下表所示：
优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法 20
30
50
乙培育法 40
10
50
合计
60
40
100
可得 K 2 100(20 10 30 40) 2 16.667 6.635 . 60 40 50 50
2 4
，求直线 CC1 与平面
ADC1B1
所成角.
6
（1）证明：因为 ABC A1B1C1 为直三棱柱，
又因为 PF1 PF2 2 3 ，所以 PF1 2 2 PF1 PF2 PF2 2 12 ，
所以 PF1 2 PF2 2 2m 6 ，由 PF1 PF2 得： PF1 2 PF2 2 8m ，
所以 8m 2m 6 ，所以 m 1 ，选 A.
10.已知 OA 1,OB 3,OA OB 0 ，点 C 在 AOB 内，且 AOC 30 ，设 OC xOA yOB(x, y R ) ，
6.某地环保部门召集 5 家企业的负责人座谈，其中甲企业有 2 人到会，其余 4 家企业各有 1 人到会，会上随
机安排 3 位负责人发言，则发言的 3 人来自 3 家不同企业的概率为（ ）
1
2
3
4
A.
B.
C.
D.
5
5
5
5
解析：发言的 3
人来自
3
家不同企业的概率为 P
C63
C22C41 C63
16 20
，于是
5
P( X
0)
C30
2 5
3
8 ； P(X 125
1)
C
1 3
3 5
2 5
2
36 ； 125
P( X
2)
C32
3 5
2
2 5
54 ； P( X 125
3)
C
3 3
3 5
3
27 125
.
其分布列为：
X0
1
2
3
P 8 36 54 27 125 125 125 125
所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望 E( X ) 3 3 9 55
3
3
3
3
（2）因为 tan C 2 ，所以 sin C 6 ， cos C 3 ， sin B 3 cos C 1 ，
3
3
由 b c 得 c b sin C ，因为△ ABC 的面积为 2 ， sin B sin C
1 bc sin A 1 b b sin C sin A 1 b 2 6 3 2 ，得 b2 6 ， b 6 .
解析：对于
A：
f
x
x2
2 x2
2
x2
2
2 x2
2
2
2
2 2 中，
x2
2
2 x2
2
的等号不成立，A
错；当 m
0
时 mx2
mx
1
0
也成立，B
错；当
x
1 3
，y
2时
xy
1
也成立，又原命题与逆否命题真假性一致，所以 D 错；选 C.
8.执行如图所示的程序框图，输出的 S （ ）
A.55
B.42
C.33
又 PC BD ，所以 PC 平面 PAB ，所以 PC PA ， PC PB ，所以 PA PB ，
因此，以 PA ， PB ， PC 为同一顶点出发的正方体的八个顶点在 球 O 的表面上，
所以 4R2 PA2 PB2 PC 2 12 ，所以球 O 的表面积为12 ，选 C.
12.已知函数
2 [1
2
(n
1)]
2
(n
1)n 2
n
2n
，所以 an
n2
n
21 ，
an n2 n 21 n 21 1，因为 f (n) n 21 1 在 (0, 4] 递减，在 [5, ) 递增
n
n
n
n
当n
4 时， an
33
8.25 ，当 n
5 时， an
41 8.2 ，所以 an
抽取 3 株花苗，求所抽取的花苗中优质花苗数的分布列和数学期望；
（2）填写下面的列联表，并判断是否有 99%的把握认为优质花苗与
培育方法有关.
优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法 20
乙培育法
10
合计
附：下面的临界值表仅供参考.
P K 2 k0 0.050 0.010 0.001
k0
3.841 6.635 10.828
是以
1 2
为公比的等比数列，其前
6
项和
S6
378
，则
S6
a1
1
1 26
1 1
378 ，解得 a1
192
，所以
a4
192 ( 1)3 2
24
Байду номын сангаас
.选
C.
2
4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A.
3
2
C. 3 3 2
B.
1
2
D. 3 1 2
解析：该几何体是由一个底面半径为1 ，高为 3 的半圆锥，和一个底面为等腰直角 三角形，高为 3 的三棱锥
4 5
，选
D.
7.下列叙述中正确的是（ ）
A.函数
f
(x)
x2
2 x2
2
的最小值是 2
2 2
B.“ 0 m 4 ”是“ mx2 mx 1 00 ”的充要条件
C.若命题 p : x R, x 2 x 1 0 ，则 p : x0 R, x02 x0 1 0
D.“已知 x, y R ，若 xy 1 ，则 x, y 都不大于 1”的逆否命题是真命题
（参考公式： K 2
n(ad bc)2
，其中 n a b c d ）
(a b)(c d )(a c)(b d )
解：（1）由频率分布直方图，优质花苗的频率为 (0.04 0.02) 10 0.6 ，即概率为 0.6 .
设所抽取的花苗为优质花苗的株数为
X
，则
X
~
B
3,
3 5