241抛物线的标准方程苏教版.doc
2829数学苏教版选修11课件第2章241抛物线的标准方程[可修改版ppt]
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设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－12的距离为 d，由定义知 PA ＋PF＝PA＋d， 由图知，当 PA⊥l 时，PA＋d 最小，最小值为72，即 PA＋PF 的最小值为72， 此时 P 点纵坐标为 2，则横坐标为 2. ∴P(2,2)．
由于抛物线上的点到焦点的距离与其到准线的距离相等，所 以，在有关抛物线的问题中，常常会涉及两种距离的转换， 特别是把到焦点的距离转化为到准线的距离．在涉及到距离 之和最小或距离之差的绝对值最大的问题时，又常常结合三 角形中的边边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第 三边等性质．
解析：双曲线的渐近线方程为 y＝±bax，由于ac＝ a2＋a2b2＝
1＋ba2＝2，所以ba＝ 3，所以双曲线的渐近线方程为 y＝ p
± 3x.抛物线的焦点坐标为(0，p2)，所以22＝2，所以 p＝8，所 以抛物线方程为 x2＝16y.
由方程求抛物线的焦点与准线
根据抛物线的方程写出抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2＝8x； (2)2x2－3y＝0； (3)y＝－16x2. (链接教材 P44 例 1)
2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝ 4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是___2__.
3．焦点在y轴上，且过点A(1，－4)的抛物线的标准方程是 __x_2＝ __－__14_y___．
求抛பைடு நூலகம்线的标准方程
求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点坐标是F(－5,0)； (2)经过点A(2，－3)； (3)焦点到准线的距离为4. (链接教材P44例2) [解] (1)焦点在 x 轴负半轴上，设抛物线的标准方程为 y2＝ －2px，则p2＝5，即 p＝10，所以所求抛物线的标准方程是 y2 ＝－20x.
苏教版高中数学选修2-1：抛物线的标准方程_课件3(1)
注:求抛物线的焦点一定要先把抛物线化 为标准形式后定焦点、开口及准线
反思研究
已知抛物线的标准方 程 求其焦点坐标 和准线方程 先定位，后定量p(p>0)
例2
1)已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它 的标准方程
2)已知抛物线焦点在X轴上,焦准距 为2,求它的标准方程
ox
X
F
x2=2py Y
F
F ( 0，P ) 2
ox
X
L
y p 2
x2= -2py Y
L
ox
X
F
F ( 0，- P ) 2
yp 2
L
Y
y 2=2px
F
ox
X
x p 2
F ( P，0 ) 2
YL
y 2= -2px
F
F ( - P，0 ) 2
ox
X
xp 2
﹒图象 开口方向 标准方程 y o x 向右
抛物线及其标准 方程（一）
一 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直
线l的距离相等的点的轨迹叫做 L
抛物线。
N
注1 定点F叫做抛物线的焦点。
M· ·F
2 定直线L叫做抛物线的准线
3 点F在直线外(若点在直线上
呢?)
若︳︳MMNF
︳ ︳ 1,
则点M的轨迹是抛物线。
二 抛物线标准方程的推导
求曲线方 程的基本 步骤是怎 样的？
(1) 抛物线定义：
一般地，我们把顶点在原点、 焦点F 在坐标轴上的抛物线的方程 叫做抛物线的标准方程。
（2）抛物线的标准方程：
三 抛物线的标准方程
方程 y2 = 2px（p＞0）表示的抛物线，
2.4.1抛物线的标准方程 教案(苏教版选修2-1)
2．4 抛物线2．4.1抛物线的标准方程●三维目标1．知识与技能(1)理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导．(2)明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．2．过程与方法(1)通过对抛物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在的区别和联系．(2)熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力．3．情感、态度与价值观引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美．●重点难点重点：抛物线的定义及其标准方程的推导．通过学生自主建系和对方程的讨论突出重点．难点：抛物线概念的形成．通过条件e＝1的画法设计、标准方程与二次函数的比较突破难点．(教师用书独具)●教学建议从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要，抛物线是离心率e＝1的特例．另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化．本节对抛物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图像遥相呼应，体现了数学的和谐之美．教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则．为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，易采用“引导探究”式的教学模式，在课堂教学中，始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学的全过程．本节课在实验画法的基础上，以问题为核心，创设情景，通过教师的适时引导，学生间、师生间的交流互动，启迪学生的思维，使学生通过自己的分析、反思、对比并形成抛物线的概念，构建自己的知识体系，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦．●教学流程设置情景，导入新课．上课开始，用计算机出示太阳系九大行星运行图，以天文学热点事件“冥王星”的降级引入新课：同学们，最近在我们的太阳系发生了一件重大的事件，你们知道吗？⇒引导探究，获得新知(1)复习椭圆、双曲线的第二定义，椭圆和双曲线的离心率e的取值范围各是什么？(2)离心率e＝1是什么含义？你能据此设计一种方案，画出一个这样的点吗？(3)这条曲线是什么？⇒由学生自主建系，求出抛物线的标准方程．并根据焦点位置的不同，写出四种不同的标准方程．归纳标准方程、焦点坐标、准线方程的内在联系和对应关系．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握抛物线标准方程的求法，先定位，再定量，利用待定系数法求抛物线的标准方程．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握由标准方程求其焦点坐标和准线方程，达到数与形的准确转换．弄清一次项变量系数与焦点同名坐标的四倍关系，焦点坐标与准线方程的相反关系．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握抛物线定义和标准方程的综合应用，抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离，二者可以灵活转化，在此基础上数形结合，解证有关问题．⇒通过易错易误辨析，体会抛物线标准方程的不同形式，焦点位置有多个，就会有不同的标准方程．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能.力1．用《几何画板》画图，如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线．H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹．你能发现点M满足的几何条件吗？【提示】点M随着H运动的过程中，始终有|MF|＝|MH|，即点M与定点F和定直线l的距离相等．2．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，使所建立的抛物线的方程更简单？【提示】根据抛物线的几何特征，我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立直角坐标系xOy(如图所示)．已知抛物线的顶点在原点，试求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上； (3)焦点到准线的距离为52.【思路探究】 对于(1)，需要确定p 的值和开口方向两个条件，∵点(－3,2)在第二象限，∴抛物线的标准方程可设为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2py (p >0)；对于(2)，∵标准方程下抛物线的焦点在坐标轴上，∴求出直线x －2y －4＝0与坐标轴的两个交点(4,0)和(0，－2)，即为所求抛物线两种情况下的焦点；而对于(3)，由题意知，p ＝52，下一步需要讨论抛物线的开口方向．【自主解答】 (1)∵点(－3,2)在第二象限，∴抛物线的标准方程可设为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2py (p >0)．把点(－3,2)的坐标分别代入y 2＝－2px (p >0)和x 2＝2py (p >0)，得4＝－2p ·(－3)或9＝2p ·2， 即2p ＝43或2p ＝92.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝4. ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，p2＝4.∴2p ＝16，此时抛物线方程为y 2＝16x .当焦点为(0，－2)时，p2＝2.∴2p ＝8，此时抛物线方程为x 2＝－8y . 故抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .(3)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52，∴2p ＝5.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .1．只有顶点有原点，焦点在坐标轴上的抛物线才能将方程写成标准方程．2．求抛物线的标准方程，应当先定位，再定量，即先根据焦点位置设出方程形式，再利用题目条件求出待定字母的值．另外，若只知道焦点在x 轴上，可设抛物线标准方程为y 2＝mx 的形式，若只知道焦点在y 轴上，可设抛物线标准方程为x 2＝ny 的形式，避免分类讨论．一抛物线的焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．【解】 设所求抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则其准线方程为y ＝p2.由抛物线的定义知点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离， ∴p2－(－3)＝5，即p ＝4. ∴所求抛物线的方程为x 2＝－8y .和准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y 2＝20x ；(2)2y 2＋5x ＝0；(3)y ＝ax 2(a ≠0)． 【思路探究】抛物线方程化为标准形式→求p →求焦点坐标→求准线方程【自主解答】 (1)由方程可得抛物线开口向右，且2p ＝20，即p ＝10，所以抛物线的焦点坐标为(5,0)，准线方程为x ＝－5.(2)将方程2y 2＋5x ＝0变形为y 2＝－52x ，焦点在x 轴的负半轴上，又2p ＝52，所以p ＝54，所以焦点坐标为(－58，0)，准线方程为x ＝58.(3)将方程y ＝ax 2(a ≠0)化为x 2＝1ay ，焦点在y 轴上．当a >0时，抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，又2p ＝1a ，所以焦点坐标为(0，14a )，准线方程为y ＝－14a；当a <0时，抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，又2p ＝－1a ，所以焦点坐标为(0，14a )，准线方程为y 1＝－14a.1．本例中y ＝ax 2不是抛物线的标准方程，容易被误认为是标准形式，而将焦点写为F (a4，0)．2．求焦点坐标与准线方程的基本方法：(1)一般思路是先将已知方程整理为标准方程，再求解，不可与初中二次函数混淆． (2)此类问题中无论a 取正与负，拋物线y 2＝ax 的焦点坐标均为(a4，0)，准线均为x ＝－a 4.无论a 取正与负，拋物线x 2＝ay 的焦点坐标均为(0，a 4)，准线均为y ＝－a 4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y ＝－18x 2；(2)x 2＝ay (a ≠0)．【解】 (1)方程可化为：x 2＝－8y ，∴F (0，－2)，准线y ＝2. (2)F (0，a 4)，准线y ＝－a4.图2－4－1如图2－4－1，已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，直线l为其准线，点M 在抛物线上移动，问M 的坐标是什么时，MA ＋MF 取得最小值，最小值是多少？【思路探究】 如图，过M 向准线l 引垂线ME ，则MF ＝ME ，转化为求MA ＋ME 的最小值．【自主解答】 由题意知，抛物线y 2＝8x 的准线l 的方程为x ＝－2，过M 作ME ⊥l ，垂足为E ，由抛物线的定义知，ME ＝MF ，此时MA ＋MF ＝MA ＋ME ，当M 在抛物线上移动时，MA ＋ME 的值在变化，显然M 移动到与A ，E 共线时，MA ＋ME 取得最小值．此时，AM ∥x 轴，把y ＝－2代入y 2＝8x 得x ＝12，∴M 点的坐标为(12，－2)，距离最小值为6.1．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．2．数形结合思想是求解几何最值的常用方法之一．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么PF＝________.【解析】如图，由直线AF的斜率为－3，得∠AFH＝60°，∠F AH＝30°，∴∠P AF ＝60°.又由抛物线的定义知P A＝PF，∴△P AF为等边三角形，由HF＝4得AF＝8，∴PF＝8.【答案】8忽略对焦点位置的讨论而漏解顶点在原点，焦点在x轴上，过焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，AB的长为8，求抛物线的方程．【错解】由于抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，因此设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．因为AB＝2p＝8，所以所求抛物线的方程为y2＝8x.【错因分析】错解中只考虑焦点在x轴的正半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在x 轴的负半轴上的情况，故出现漏解．【防范措施】抛物线有四种标准方程，每一种所对应的焦点，准线都不相同．因此，在求抛物线方程的有关问题时，要充分考虑各种情况，以免漏解．【正解】由于抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，因此设所求抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)．因为AB＝|2a|＝8，所以2a＝±8.故所求抛物线的方程为y2＝±8x.。
2.4.1抛物线的标准方程教案(苏教版选修2(1))-_0
2.4.1抛物线的标准方程教案(苏教版选修2（1)）-2.4抛物线2.4.1抛物线标准方程低三维目标1。
知识和技能(1)理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其求导。
(2)阐明了p在抛物线标准方程中的几何意义。
它可以解决寻找抛物型标准方程的简单问题。
2.过程和方法(1)通过比较抛物线、椭圆和双曲线的偏心率，我们可以了解三条二次曲线之间的内在区别和联系。
(2)通过比较四种不同形式的标准方程，熟练掌握求曲线方程的基本方法，培养学生的分析和归纳能力。
3。
情感、态度和价值观引导学生发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识。
体验数学中的简单与和谐之美。
●重点和难点重点:抛物线的定义和标准方程的推导。
通过学生独立系统的建立和方程的讨论，突出重点。
难点:抛物线概念的形成。
通过条件E = 1的描述性设计，标准方程与二次函数的比较，突破难点。
(教师专用书籍)●教学建议本章中，此部分位于省略号和双曲线之后。
一方面，有必要统一定义三条二次曲线。
抛物线是偏心率e = 1的特例。
另一方面，它也是对“用方程研究曲线”的解析几何基本思想的重新强化。
本节对抛物线定义的研究呼应了初中阶段的二次函数形象，体现了数学的和谐之美。
教材的安排是为了分散难度，符合循序渐进的原则。
是充分调动学生的积极性。
要将学生的被动学习转变为主动学习，很容易采用“引导式探究”教学模式。
在课堂教学中，始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学理念。
通过引导学生进行实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分利用手、嘴和大脑参与整个教学过程。
本课基于实验绘图，以问题为核心，创建场景。
通过教师的及时指导和师生之间的交流与互动，启发学生的思维，让学生通过自己对抛物线概念的分析、反思、比较和形成，构建自己的知识体系，并尝试愉快地一起学习，体验成功的喜悦。
●教学过程设置场景并引入新的课程。
在课程开始时，计算机被用来显示太阳系九大行星的运行图，并且随着热天文事件“冥王星”的降级而引入了一个新的课程:学生们，我们的太阳系最近发生了一个重大事件，你们知道吗？？引导探究并获得新知识(1)复习椭圆和双曲线的第二定义，椭圆和双曲线的偏心距e的范围是什么？(2)偏心率e = 1的含义是什么？你能设计一个计划并画出这样一个点吗？(3)这条曲线是什么？？学生建立自己的系统，找到抛物线的标准方程，并根据不同的焦点位置写出四个不同的标准方程。
241抛物线的标准方程
y
H p
M(x,y)
o
Fx
l
(x ? p)2 ? y2 ? x
化简得：y2 ?
2 px ?
p
2
(
p
?
0)
二、标准方程的推导
方案二：以定点 F 为原点，过点 F 垂直于L的直线为 x 轴
建立直角坐标系，设定点 F到直线 l的距离为p，动点 M(x, y)
则定点 F(0,0) ，直线l的方程 x ?? p ，由抛物线的定义
把点A（3,2）代入方程
，解得p= ，
∴其标准方程为
当焦点在y轴时，设其标准方程为： x2 =2py（p＞0），
同理可得， p= ，其标准方程为
综上所述，过点（ -3，2）的抛物线的标准方程为：
或
例3 .（2）焦点在x轴上，且抛物线上一点A（3，m） 到焦点的距离为5．
解：设该抛物线的标准方程为 y2=2px（p＞0），
建系
设点
列式
化简
? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y
.M
O
.
F
x
y
M.
.
F(0)
x
y .M
.
OF
x
l
l
l
方案(1)
方案(2)
问题：哪种方案的方程更简单呢？
方案(3)
二、标准方程的推导
方案一：以 L为 y轴，过点 F 垂直于L的直线为 x轴建立
直角坐标系 ,设动点 M (x, y)，定点F到直线 l的距离为 P，
则点 F ( p ,0) ,直线 l : x ? ? p
2
2
由抛物线的定义得：
苏教版高中数学(选修2-1)2.4《抛物线》word教案
抛物线知识导学一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线()l F l ∉距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．注意：抛物线的定义中涉及到一个定点和一条定直线，要求这个定点不能在定直线上，否则轨迹就不再是一条抛物线，而是一条直线（过定点且与定直线垂直的直线）． 二、抛物线的标准方程1．抛物线的标准方程是指当抛物线在标准位置时的方程．所谓标准位置，就是指抛物线的顶点在坐标原点，抛物线的对称轴为坐标轴．抛物线的标准方程有四种形式（抛物线标准方程的具体推导过程见教材）： （1）焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，焦点坐标为02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程为2p x =-，其开口方向向右； （2）焦点在x 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->，焦点坐标为02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，准线方程为2p x =，其开口方向向左； （3）焦点在y 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>，焦点坐标为02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程为2p y =-，其开口方向向上； （4）焦点在y 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->，焦点坐标为02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，准线方程为2p y =，其开口方向向下． 其中抛物线的标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离． 注意：不要受二次函数的影响把抛物线方程记作类似212y x p=的形式，应按本部分要求记作：22x py =．如求抛物线22y px =的焦点坐标，应先将方程写成标准形式：212x y p =，然后得其焦点坐标为108p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 2．抛物线的标准方程的求法是“先定型，后计算”．所谓“定型”是指确定类型，也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，是正半轴还是负半轴，从而设出相应的标准方程的形式，“计算”就是指根据题目的条件求出方程中参数p 的值，从而得到抛物线的标准方程．三、抛物线的几何性质1轴其中抛物线的对称轴也叫做抛物线的轴．如右图，抛物线标准方程为22(0)y px p =>，焦点坐标为02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，过点F 作垂直于对称轴（x 轴）的直线交抛物线于12M M ，两点，计算得12M M ，两点坐标为22p p p p ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，可知线段12M M 的长为定值2p ，只与焦参数p 有关．线段12M M 叫做抛物线的通径．2．与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有下列特点：（1）抛物线可以无限延伸，但无渐近线．（2）抛物线只有一个顶点、一条对称轴，并且没有对称中心，它不是中心对称图形，离心率为1，是固定的．（3）抛物线的开口大小与离心率无关，与p 的大小有关，p 越大则开口越大，反之则越小．（4）抛物线的焦点与准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为2p ． 抛物线中的思维误区一、对抛物线的定义模糊导致错误例1 若动点P 与定点(11)F ，和直线:340l x y +-=的距离相等，则动点P 的轨迹是（ ）Ａ．椭圆 Ｂ．双曲线 Ｃ．抛物线 D ．直线 误：由抛物线的定义，可知选（C ）．析：抛物线的定义中，定点一定不在定直线上，而本题中的定点(11)F ，在定直线:340l x y +-=上．正：设动点P 的坐标为()x y ，，则=．整理，得320x y -+=．所以动点P 的轨迹为直线，选（D ）．二、忽视标准方程的种类导致错误 例2 求以原点为顶点，坐标为对称轴，并且经过点(24)P --，的抛物线的标准方程． 误：设抛物线22(0)y px p =->，将(24)P --，代入，得4p =． 故抛物线的标准方程为28y x =-．析：错解只考虑了抛物线方程的一种情况，应还有位于三、四象限时的抛物线方程.正：还有一种情形设22(0)x py p =->， 求得标准方程为2x y =-．所以满足条件的抛物线的标准方程为28y x =-或2x y =-． 三、对直线与抛物线一个交点认识不清例3 求过点(01)M ，且和抛物线2:4C y x =仅有一个公共点的直线方程．误：设所求直线方程是1y kx =+．由214y kx y x =+⎧⎨=⎩，，消去y ，得222(2)10k x k x +-+=，抛物线与所求的直线只有一个公共点，224(2)40k k ∴∆=--=，解得1k =．故所求的直线方程为1y x =+．析：由于过点(01)M ，的直线l 的斜率可能存在，也可能不存在，同时抛物线与其对称轴平行的直线与抛物线恒有一个交点的特性，从而漏了两个解．正：（1）当直线l 的斜率不存在时，其方程为0x =，显然与抛物线C 仅有一个公共点． （2）当直线l 的斜率为零，其方程为1y =，显然与抛物线C 仅有一个公共点．（3）当直线l 的斜率为(0)k k ≠，设所求直线方程是1y kx =+．由214y kx y x =+⎧⎨=⎩，，消去y ，得222(2)10k x k x +-+=， 抛物线与所求的直线只有一个公共点，224(2)40k k ∴∆=--=，解得1k =．故所求的直线方程为1y x =+．综上可知，所求的直线方程为011x y y x ===+，，． 四、对于多解认识不清例4 求顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为8的抛物线方程． 误：∵抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上， ∴设抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点坐标为02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ∵通径82p =∴所求的抛物线方程为28y x =．析：错因只考虑到焦点在x 轴正半轴的情形，而忽略了焦点也可能在x 轴负半轴的情形，故产生了漏解．正：∵抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，可设抛物线方程为22y ax =． 又通径为82a =， ∴28a =±．故所求的抛物线方程为28y x =±． 抛物线定义的应用定义揭示了事物的属性，不仅是我们理解事物的基础，也是解决问题的重要工具．本文将介绍如何利用抛物线的定义解题，望对同学们有所帮助 1、求最值例1 设P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 是焦点．（1）求点P 到点(11)A -，的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值； （2）若B 点的坐标为（3，2），求PB PF +的最小值．解析：（1）如图1，易知抛物线的焦点为(10)F ，，准线是1x =-．由抛物线的定义知：点P 到直线1x =-的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点(11)A -，的距离与点P 到(10)F ，的距离之和最小．显然，连结AF 交抛物线于P（2）如图2，自点B 作BQ 垂直于准线，交点为Q ，交抛物线于点1P ，此时，11PQ PF =，那么114PB PF PB PQ BQ ++==≥，即最小值为4．点评：此题利用抛物线的定义，使抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相互转化，再利用平面几何中的知识，使问题获解．2、求曲线的方程例 2 圆心在抛物线22y x =上且与x 轴及抛物线的准线都相切，求该圆的方程．解析：如图3，设圆心为P 且A F ，为切点，由PA PF =，结合抛物线的定义知F 为抛物线的焦点，即102F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，因此112P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或112P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且圆的半径1r =． 故所求方程为221(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭或221(1)12x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭．点评：本题利用抛物线的定义，可知切点与焦点重合，从而确定了点的坐标，使问题的求解变的很顺畅．3、确定方程的曲线例3 3x y =-+表示的曲线是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线=．它表示“点()M x y ，与点(31)F -，的距离等于它到直线30x y -+=的距离”，根据抛物线的定义知，M 的轨迹是抛物线．故选（D ）．点评：本题若直接化简方程，再判断其轨迹较繁杂，根据方程两边所表示的几何意义，利用抛物线的定义则简单易行． 4、求三角形面积例 4 设O 为抛物线的顶点，F 为抛物线的焦点且PQ 为过焦点的弦，若OF a =，PQ b =，求OPQ △的面积．解析：如图4，不妨设抛物线方程为24y ax =，1122()()P x y Q x y ，，，， 由抛物线定义知12122PQ PF QF x a x a b x x b a =+=+++=⇒+=-．由2114y ax =，2224y ax =，得2222121224(2)44y y b a y y a b a a a+=-⇒+=-． 又由于PQ 为过焦点的弦，因此212y y a =-．故21y y -===因此，2112OPQ S OF y y =-=△ 点评：将焦点弦分成两段，利用定义将过焦点的弦长用两端点横坐标表示，结合方程，利用根与系数的关系是解题的基本思路．本题中计算三角形面积的技巧，是抛物线中经常用到的，需掌握．抛物线的焦半径公式一、抛物线的焦半径公式如图，设抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线l 的方程为2p x =-．设00()P x y ，为抛物线上任意一点，PA l ⊥，A 为垂足． 由抛物线定义，得0022p p PF PA x x ⎛⎫==--=+ ⎪⎝⎭． 02p P F x=+即为抛物线22(0)y px p =>的焦半径公式． 抛物线中的许多问题用其求解，则简捷方便． 二、焦半径公式应用举例例１ 设抛物线24y x =的焦点弦的两个端点分别为11()A x y ，和22()B x y ，，若126x x +=，那么AB =______．解：设焦点为F ，由2p =，利用焦半径公式，得121262822p p AB AF BF x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 例2 抛物线22(0)y px p =>上有112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，三点，F 是它的焦点，若AF BF CF 、、成等差数列，则（ ） A ．123x x x ，，成等差数列 B ．132x x x ，，成等差数列 C ．123y y y ，，成等差数列 D ．132y y y ，，成等差数列解：由抛物线的焦半径公式，得 12p A F x=+，22p BF x =+，32pCF x =+， ∵AF BF CF 、、成等差数列，∴1322222p p p x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴1322x x x +=，即123x x x ，，成等差数列．故选（Ａ）．例3 过抛物线28y x =的焦点的直线交抛物线于A 、Ｂ两点，已知10AB =，O 为坐标原点，则OAB △的重心的横坐标是______．解：设1122()()A x y B x y ，，，，原点(00)O ，，4p =． ∵121241022p p AB x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴126x x +=．∴OAB △的重心的横坐标是1206233x x ++==． 例4 设抛物线24y x =的焦点弦被焦点分为长是m 和n 的两部分，求m 和n 的关系． 解：设抛物线24y x =的焦点弦的端点为1122()()A x y B x y ，，，，则11m x =+，21n x =+，焦点为(10)F ，，当直线AB 的斜率存在时，设AB 所在直线方程为(1)(0)y k x k =-≠，与抛物线方程联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，，消去y ，得2222(24)0k x k x k -++=． ∴121x x =．∴12121212(1)(1)111m n x x x x x x x x m n =++=+++=+++=+， 即m n m n +=．当k 不存在时，121x x ==，4m n m n ==+． 综上，有m n m n =+．。
苏教版2.4.1_抛物线及其标准方程
其次是注意平面几何知识的应用．在
定义中，抛物线上的点到焦点距离与
到准线距离相等，
互动探究 本例中若将点(0，2)改为点
A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最 小值．
思
考
思考
1.求抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标、准
1 解：抛物线 y＝ax 可化为 x ＝ y(a≠0)． a p 1 ①当 a>0 时， ＝ ，抛物线开口向上，焦点坐 2 4a 1 1 标为（0， ） ，准线方程为 y＝－ . 4a 4a
p F(- ,0) 2 p x= 2
p F ( 0, ) 2 p y =2
p F ( 0, - ) 2 p y= 2
抛物线的标准方程
怎样把抛物线的位置特
想 一 想 ？
征（标准位置）和方程特征 （标准方程）统一起来？
抛物线的标准方程
开口向右:
标准方程为 y2 =2px(x≥ 0) 开口向左: y2 = -2px(x≤ 0)
在平面内,与一个定点F
H
d F ·
· M
C
焦点
和一条定直线l(l不经过点F)
距离相等的点的轨迹叫做抛 l
物线.
准线 点F叫做抛物线的焦点, 直线l 叫做抛物线的准线.
一条经过点F且 垂直于l 的直线 l F
想一想：定义中当直线l 经过定 点F，则点M的轨迹是什么?
· · · · · · ·
探究点2 抛物线的标准方程
【解】
由抛物线的定义可知，抛物线上的点
到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知， 1 ， 0 P 点、(0，2)点和抛物线的焦点2 三点共 线时距离之和最小，所以最小距离 d＝
0－1 ＋（2－0）2＝ 17. 2 2
高中数学 第2章2.4.1抛物线的标准方程精品课件 苏教版选修2-1
【思路点拨】 本题主要考查抛物线知识的 实际应用．解答本题首先建系，转化成抛物 线的问题，再利用解抛物线的问题解决．
【规范解答】
以隧道顶点为原点，拱
高所在直线为 y 轴建立直角坐标系，则 a a 点 B 的坐标为( ，－ )，如图所示． 2 4 设隧道所在抛物线方程为 x2＝my， a2 a 则( ) ＝m· (－ )，∴m＝－a. 2 4 即抛物线方程为 x2＝－ay.8 分
m2＝6p， 故 p 2 2 － 3 ＋ ＋ m ＝ 5 ， 2
p＝4， p＝4， 解得 或 m＝2 6， m＝－2 6.
∴抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 2 6.
法二：设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)， p 则准线方程为 x＝ .∵M(－3， m)是抛物 2 线上的点，根据抛物线定义，M 点到焦 点的距离等于 M 点到准线的距离， ∴有 p |－3|＋ ＝5，∴p＝4，∴所求抛物线方 2 程为 y2＝－8x. 2 又点 M(－3， m)在抛物线上， 故 m ＝(－ 8)×(－3)， ∴m＝± 2 6.
∴以抛物线的焦点弦AB为直径的圆与抛物 线的准线l相切．
法二：如图，设 AB 的中点为 M，A、B、M 在 l 上的射影分别为 A1、B1、M1，则 M 是 AB 为直径的圆的圆心． 根据抛物线的定义，在直角梯形 ABB1A1 中， 1 1 1 MM1＝ (AA1＋BB1)＝ (AF＋BF)＝ AB. 2 2 2 故以抛物线的焦点弦 AB 为直径的圆与抛物 线的准线 l 相切．
将(0.8，y)代入抛物线方程，得 0.82＝－ ay， 2 0.8 即 y＝－ .10 分 a a 欲使卡车通过隧道，应有 y－(－ )>3， 4 a 0.82 即 － >3.12 分 a 4 ∵a>0，∴a>12.21.∴a 应取 13.14 分
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2.4.1抛物线的标准方程
人生有时就像一条抛物线，不如意又如何？人生的抛物线不会永远停留在低处而不往高处走；取得成绩又如何？人生的抛物线不会永远停留在高处而原地不动.生命的最高境界，就是在跌宕起伏中感受生命的激情，实现生命的价值，用坚强和乐观为自己的人生描绘一个最漂亮的弧度.如此看来，当我们品读生命时，不应该强调它的高度，更不应该奢求它的长度，而应该去细细欣赏它的弧度.准备好了吗？让我们一同用心去书写属于自己的那一条与众不同的抛物线吧！
教学目标：
知识目标：通过本节的学习，掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，能求出抛物线的方程, 能解决简单的实际问题.
能力目标：通过推导抛物线的标准方程，进一步理解求曲线方程的方法，培养观察、类比、分析、计算的能力.
情感目标：通过本节的学习，体验解析几何的基木思想，进一步感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中是作用和体会数形思想的思想.
教学重点：抛物线的标准方程.
教学难点：抛物线标准方程的推导.
授课类型：新授课.
课时安排：1课时.
教学过程：
一、复习引入
1. 如何根据已知条件求动点的轨迹方.程？
2. 填空：与一个定点的距离和一条定直线的距离之比等于常数《的轨迹，当Ovevl时是
;当。
>1时是;当e = 1时它又是什么曲线呢？
二、建构数学
1. 抛物线的定义：平面内到一个定点F和一条定直线/ （F不在1±）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线/叫做抛物线的准线.
2. 抛物线的标准方程
建立抛物线与其方程的对应关系是研究抛物线的总体思路，分两步走，第一，建立抛物线的标准方程；第二，利用方程探究抛物线的性质.这里先走第一步.
问题：如何建立适当的坐标系而使得所求的抛物线方程更简洁？（推导抛物线的标准方程）
方程y2=2px （p>0）叫做抛物线的标准方程.它表示的是焦点在X轴的正半轴上，焦点坐标是F 玲,0）的抛物线，它的准线方程是x = —其中P称为焦参数，它的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离，故p的值永远大于0.
一条抛物线，由于它在坐标系中的位置不同，因此方程也不同，有四种不同的情况（完成下表.表中的四种方程都叫做抛物线的标准方程）
3.四种标准方程的记忆要点
方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，），是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方
一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向.有如下口诀：
焦点轴一次项，符号确定开口向；若x是一次项，负时向左正向
右；若y是一次项，负时向下正向上.
\；_________________________________________________________________ y
三、数学应用
例1求抛物线）」=4x的焦点坐标和准线方程.
引导学生根据抛物线标准方程的形式求出P,再根据开口方|何写出焦点坐标和准线方程.
求抛物线的焦点坐标和准线方程，首先应将抛物线方•程化为标准形式，牢记抛物线标准方程的四种形式以及相对应的焦点坐标和准线方程，这是解决这类问题的关键.
练习：
1. 课本P44练习第1、2题.
2. 求抛物线x = ay* 1 2（a。
0）的焦点坐标和准线方程.
例2求经过点P（-2,-4）的抛物线的标准方程.
求抛物线的标准方程，首先应确定抛物线的开U'AlnJ或焦点位置，接着设出抛物线方程的标准形式，然后用待定系数法求出焦参数.应该注意的是：抛物线标准方程的类型很多，要注意区分.木题应注意两种情形.
练习：课木P44练习第3、4、5题.
四、本节小结：（略）
五、板书设计：（略）
六、布置作业：
七、教后反思：。