厦门市2020届高中毕业班第一次质量检查试卷(文科数学)
2020届福建省厦门市双十中学高三下学期第一次月考数学(文)试题(解析版)
2020届福建省厦门市双十中学高三下学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4U =，若{}1,3A =，{}3B =，则()()U U C A C B 等于( )A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,4【答案】D【解析】根据题意得到{} 2,4U C A =，U C B ={}1,2,4，故得到()()U U C A C B ⋂={} 2,4.故答案为D.2．“0a >”是“函数()3f x x ax =+在区间()0,∞+上是增函数”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】求出导数，由题意求出a 的范围，利用充要条件的判断方法，判断即可． 【详解】解：函数3()f x x ax =+在区间(0,)+∞上是增函数，所以2()30f x x a '=+在(0,)+∞上恒成立，所以0a ，显然，0a >则有函数3()f x x ax =+在区间(0,)+∞上是增函数，函数3()f x x ax =+在区间(0,)+∞上是增函数，a 可以为0，所以“0a >”是“函数3()f x x ax =+在区间(0,)+∞上是增函数”的充分而不必要条件．故选：B ． 【点睛】本题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，导数的应用，属于中档题． 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244,2a a ==，则5S ＝（ ） A ．0 B ．10C ．15D ．30【答案】C【解析】利用1524a a a a +=+，结合()15552a a S +=求得结果. 【详解】由等差数列性质可知：1524426a a a a +=+=+=()1555561522a a S +⨯∴=== 本题正确选项：C 【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题. 4．已知tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin2cos απα+-的值为( )A ．610B ．610 C ．510D ．510+ 【答案】A【解析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值. 【详解】tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得cos αα==而()sin2cos 2sin cos cos 2απαααα+-=-==. 故选A. 【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.5．已知函数()22xxa f x a -=+是奇函数，则()f a 的值等于（ ） A ．13- B ．3C ．13-或3D ．13或3 【答案】C【解析】函数为奇函数，则：()()f x f x -=-，即：2222x xx xa a a a ----=-++恒成立，整理可得：212212x xx xa a a a ⋅--+=⋅++，即21a =恒成立，1a ∴=±， 当1a =时，函数的解析式为：()1212x xf x -=+，()()111211123f a f -===-+， 当1a =-时，函数的解析式为：()1212x x f x --=-+，()()11121312f a f ----=-==-+，综上可得：()f a 的值等于13-或3. 本题选择C 选项.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．6．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A ．23B ．34C ．25D ．13【答案】C【解析】根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解． 【详解】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -，那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<， 所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=. 故选C 【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．7．在△ABC 中，14AN NC =，若P 是直线BN 上的一点，且满足25AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．4- B ．1-C ．1D ．4【解析】由条件14AN NC =得出5AC AN =，再将25AP mAB AC =+化为2AP mAB AN =+，利用平面向量共线定理的推论，即可求解.【详解】因为14AN NC =，所以5AC AN = 即()225255AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+=+因为点,,B P N 三点共线，所以21+=m ，解得1m =- 故选：B 【点睛】本题主要考查了平面向量共线定理的推论，属于中等题.8．秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，每次输入a 的值均为4,输出s 的值为484，则输入n 的值为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】由程序框图，得4,1;43416,2;163452,3s k s k s k ===⨯+===⨯+==；4524160,4;1603452,5s k s k =⨯+===⨯+==，结束循环，即输入n 的值为4.故选C.9．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为（ ）C ．45︒D ．30【答案】C【解析】当平面BAC ⊥平面DAC 时，三棱锥体积最大，由此能求出结果． 【详解】解：如图，当平面BAC ⊥平面DAC 时，三棱锥体积最大 取AC 的中点E ，则BE ⊥平面DAC ， 故直线BD 和平面ABC 所成的角为DBE ∠ 2cos BE DBE BD ∠==， 4DBE π∴∠=．故选：C ．【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，属于中档题． 10．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，tan sin 2A BC +=，若2c =，则ABC 的周长的取值范围是（ ）A ．(2,2B ．(22,4⎤⎦C ．(4,222+D ．(222,6⎤+⎦【答案】C【解析】依题意利用诱导公式及二倍角公式可得21sin22C =，即可得到2C π=，由勾股定理可得224a b =+，再根据基本不等式求出22a b +≤系可得2a b +>，从而得解； 【详解】解：由题意可得cos2tan tan 2sin cos 22222sin 2CA B C C C Cπ+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以21sin 22C =即1cos 122C -=，所以cos 0C =，即2C π=，由此可得ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，则()()222224222a b a b a b ab a b +⎛⎫=+=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，所以a b +≤所以ABC的周长2a b c ++≤+又三角形满足两边之和大于第三边，则2a b +>，所以4a b c ++>，综上可得，ABC的周长的取值范围是(4,2+故选：C 【点睛】本题考查二倍角公式及基本不等式的应用，属于中档题. 11．已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e - 【答案】C【解析】对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解. 【详解】 ∵()21a f x x x +'== 2x ax+，[]1,e x ∈. 当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意. 当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意.当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(],e x a ∈-时，()0f x '>，()f x 在(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需()10a f e a e =-+≥即可，解得11ea e≤<--.综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭. 故选C.本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．12．已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点为,F O 原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO +的最小值为（ ） A ．213 B ．42C ．313D ．46【答案】A【解析】易知抛物线方程为28x y =，利用抛物线定义确定出A 点坐标，求出A 关于准线的对称点B ，则PA PO PB PO +=+，利用三点共线即可求出最值. 【详解】由题意，椭圆2221,5145y x c +=∴=-=，即2c =，则椭圆的焦点为()0,2±，不妨取焦点()0,2,F 抛物线244a x ay y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴抛物线的焦点坐标为0,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q 椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，24a ∴=，即8a =，则抛物线方程为28x y =，准线方程为2y =-，4AF =，由抛物线的定义得：A ∴到准线的距离为4,24y +=，即A 点的纵坐标2y =，又点A 在抛物线上，4x ∴=±，不妨取点A 坐标()4,2A ，A 关于准线的对称点的坐标为()4,6B -，则PA PO PB PO OB +=+≥， 即,,O P B 三点共线时，有最小值，最小值为()2246163652213OB =+-=+==，故选A.本题主要考查了椭圆的标准方程，抛物线的标准方程，抛物线的定义及利用三点共线求两线段和的最小值，属于难题.二、填空题13．已知复数z 满足4312iiz i+=+，则复数z 在复平面内对应的点在第_________象限． 【答案】三【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z ，得到z 的坐标得答案. 【详解】 解：4312iiz i+=+， 4343(43)(2)51012(12)2(2)(2)5i i i i iz i i i i i i +++----∴=====--+-+-+--，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--，在第三象限．故答案为：三． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 14．若14x π=，234x π=是函数()()sin 0f x x ωω=>两个相邻的极值点，则ω等于______． 【答案】2【解析】由21x x -等于半个周期可得． 【详解】由题意2132()2()44T x x πππ=-=⨯-=，222T ππωπ===． 故答案为：2． 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查周期的概念，属于基础题．15．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 作其渐近线的垂线，垂足为M ，交双曲线C 右支于点P ，若22F P PM =，且【答案】2【解析】由2F M OM ⊥，OM 是渐近线，求出2F M ，从而可得2F P ，由双曲线定义得1F P ，然后用余弦定理得出,,a b c 的等式，从而求得离心率． 【详解】由题意2(,0)F c ，渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=，∴2F M b ==， ∵22F P PM =，∴222233PF MF b ==，由双曲线定义得122PF PF a -=，∴1223PF a b =+， 又122F F c =，12120F PF ∠=︒， 在12PF F △中由余弦定理得222422214(2)2(2)()93332c b b a b b a =++-⨯⨯+⨯-，又222c a b =+，化简得23b a =，即32b a =，∴2c e a a ====．故答案为：2． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等式，考查了学生的运算求解能力．16．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足()()3f x f x -=，()13f -=，数列{}n a 满足11a =且()()*1n n n a n a a n N +=-∈，则()()20192020f a f a +=______．【答案】3【解析】根据条件判断函数的周期是6，利用数列的递推关系求出数列的通项公式，结合数列的通项公式以及函数的周期性进行转化求解即可． 【详解】 解：函数()f x 是奇函数，且满足(3)()f x f x -=，(1)3f -=，()(3)(3)f x f x f x ∴=-=--，即(3)()f x f x +=-，则(6)(3)()f x f x f x +=-+=， 即函数()f x 是周期为6的周期函数，由数列{}n a 满足11a =且1()+=-n n n a n a a (*)n N ∈， 则1n n n a na na +=-， 即1(1)n n n a na ++=，则11n n a na n++=， 则2121a a =，3232a a =．11n n a na n -⋯=-， 等式两边同时相乘得3212123121n n a a a n a a a n -⋯=⨯⨯⋯⨯-， 即1na n a =，即1n a na n ==， 即数列{}n a 的通项公式为n a n =， 则()()()()()()20192020()()20192020633636336434f a f a f f f f f f +=+=⨯++⨯+=+，()f x 是奇函数，(0)0f ∴=，()13f -=，()()3f x f x -=，()()300f f ∴==，()()41f f =-所以()()34033f f +=+=则()()()()20192020()()20192020343f a f a f f f f +=+=+=， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查函数与数列的综合，求出函数的周期以及数列的通项公式，结合函数的周期性进行转化是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题17．某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完.根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x （同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为x 公斤(0500)x ≤≤，利润为y 元.求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率. 【答案】（1）265公斤 （2）0.7【解析】（1）用频率分布直方图的每一个矩形的面积乘以矩形的中点坐标求和即为平均值；（2）讨论日需求量与250公斤的关系，写出分段函数再利用频率分布直方图求概率即可. 【详解】 （1）500.00101001500.00201002500.00301003500.0025100x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 4500.0015100+⨯⨯ 265=故该种蔬果日需求量的平均数为265公斤.（2）当日需求量不低于250公斤时，利润()=2515250=2500y ⨯－元, 当日需求量低于250公斤时，利润()()=25152505=151250y x x x ---⨯-元 所以151250,0250,2500,250500.x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩由1750y ≥得，200500x ≤≤, 所以()1750P y ≥＝()200500P x ≤≤=0.0030100+0.0025100+0.0015100=0.7⨯⨯⨯故估计利润y 不小于1750元的概率为0.7 . 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，做此类题的关键是理解题意，属于中档题. 18．已知()2cos ,2sin ,sin ,cos 66a x x b x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数()cos<,>f x a b =. （Ⅰ）求函数()f x 零点；（Ⅱ）若锐角ABC 的三内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()1f A =,求b ca+的取值范围. 【答案】（1）212k x ππ=+；（22b ca +<≤. 【解析】（1）利用平面向量数量积公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式化简,ab ，利用平面向量夹角余弦公式可得()f x 的解析式，利用正弦函数的性质可得函数()f x 零点； （2）由正弦定理得bc a +sin sin sin B C A +=，先求出3A π=，上式化为2sin()6B π+，求出6B π+范围，根据正弦函数的单调性可得结果.【详解】（Ⅰ）由条件可知2cos sin 2sin cos 2sin(2)666a b x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-+⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2sin 26()cos ,sin 2,26||||x a b f x a b x a b ππ⎛⎫- ⎪⋅⎛⎫⎝⎭∴=<>===- ⎪⋅⎝⎭ 所以函数()f x 零点满足sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 由2()6x k k Z ππ-=∈，解得()212k x k Z ππ=+∈． （Ⅱ）由正弦定理得sin sin sin b c B Ca A++=， 由（Ⅰ）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 而()1f A =，得sin(2)1,22()662A A k k Zππππ-=∴-=+∈，又(0,)A π∈，得3A π=，23C B π∴=-代入上式化简得： 23sin sin sin 322sin sin B B B Bb c a A Aπ⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭==3sin 62sin ,sin 6B B A ππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭ 又在锐角ABC 中，有022032B C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩2,62363B B πππππ∴<<∴<+<， 则有32sin()16B π<+≤，即：32b c a +<≤. 【点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19．如图，在多面体ABCDEF 中，,,AD BE CF 均垂直于平面ABC ，AC BC =，2AD =，4BE =，3CF =.（1）过CF 的平面α与平面ABED 垂直，请在图中作出α截此多面体所得的截面，并说明理由；（2）若0120ACB ∠=，43AB =ABCDEF 的体积. 【答案】（1）详见解析；（2）123【解析】（1）取,AB DE 的中点,G H ，连接,,CG FH HG ，则平行四边形CFHG 即为所求的截面．然后根据空间中的线面关系可证得平面CFHG ⊥平面ABED 即可．（2）利用分割或补形的方法可求得多面体的体积． 【详解】（1）取,AB DE 的中点,G H ，连接,,CG FH HG ，则平行四边形CFHG 即为所求的截面.理由如下：因为,,AD BE CF 均垂直于平面ABC ， 所以////AD BE CF ， 因为2AD =，4BE =， 所以四边形ABED 为梯形． 又,G H 分别为,AB DE 中点， 所以//HG BE ，3HG =， 所以//HG CF ，HG CF =， 所以CFHG 为平行四边形， 因为AC BC =，G 为AB 中点， 所以CG AB ⊥．又AD ⊥平面ABC ，CG ⊂平面ABC ， 所以AD CG ⊥． 又AB AD A ⋂=， 所以CG ⊥平面ABED 又CG ⊂平面CFHG ，所以平面CFHG ⊥平面ABED ， 所以平行四边形CFHG 即为所作的截面. （2）法一：过点A 作AM BC ⊥于点M ．因为BE ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ， 所以BE AM ⊥，又BC BE B ⋂=，,BC BE ⊂平面BCFE ， 所以AM ⊥平面BCFE在ABC ∆中，AC BC =，0120ACB ∠=，43AB =， 得4AC BC ==， 所以0144sin120432ABC S ∆=⨯⨯⨯=， 因为03·sin604232AM AC ==⨯=， 所以()111283··344233323D BCFE BCFE V S AM -⎡⎤==⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦， 1183··43233D ABC ABC V S AD -∆==⨯⨯=， 所以83283123ABCDEF D ABC D BCFE V V V --=+=+=. 法二：将多面体ABCDEF 补成直三棱柱'''ABC A B C -， 其中'4A D =，'2B E =，'3C F =，'6AA =， 则'''12ABCDEF ABC A B C V V -=在ABC ∆中，AC BC =，0120ACB ∠=，43AB =， 得4AC BC ==， 所以0144sin120432ABC S ∆=⨯⨯⨯=， 所以'''·'436243ABC A B C ABC V S AA -∆==⨯=， 所以123ABCDEF V =.法三：在多面体ABCDEF 中作直三棱柱ABC DPQ -，则ABCDEF ABC DPQ D EFQP V V V --=+，在ABC ∆中，AC BC =，0120ACB ∠=，43AB = 得4AC BC ==， 所以0144sin120432ABC S ∆=⨯⨯⨯= 设BC 边上的高为AM ， 则03·sin60432AM AC ==⨯= 因为BE ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ， 所以BE AM ⊥，又BC BE B ⋂=，BE ⊂平面BCFE ， 所以AM ⊥平面BCFE ．所以·43283ABC DPQ ABC V S AD -∆=== ()111··1242343332D EFQP EFQP V S AM -⎡⎤==⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦所以8343123ABCDEF ABC DPQ D EFQP V V V --=+== 【点睛】对于空间中线面位置关系的判定，解题时要结合图形选择合适的定理进行证明即可，解题时有时要添加辅助线，因此要注意常见辅助线的作法．求几何体的体积时，对于不规则的几何体，可采取分割或补形的方法，转化为规则的几何体的体积求解，考查转化和计算能力．20．已知函数()()2xf x eaxx a =++．（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()221xf x eax x ≤++恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）单调性见解析；（2）(],1-∞.【解析】（1）对()f x 求导，得到导函数等于0时的两根，然后对两根的大小以及结合a 的正负进行分类讨论，得到导函数值的正负，然后得到原函数的单调区间（2）对恒成立问题进行参变分离，得到1x a x e≤+，即求不等号右边函数的最小值，从而得到a 的取值范围. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，()()()11xf x e ax a x ++'=+1）当0a =时，()()1xf x ex '=+，所以函数()f x 在(),1-∞-单调递减，在()1,-+∞单调递增； 2）当0a ≠时，()()11xa f x ae x x a '+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 且方程()0f x '=有两根-1，1a a+-； ①当0a >时，11a a+->-， 所以函数()f x 在1,1a a +⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，在1,a a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,-+∞单调递增；②当0a <时，11a a +-<，所以函数()f x 在(),1-∞-，1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减， 在11,a a +⎛⎫--⎪⎝⎭单调递增. 综上，当0a =时，函数()f x 在(),1-∞-单调递减、在()1,-+∞单调递增； 当0a >时，函数()f x 在1,1a a +⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减、在1,a a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,-+∞单调递增；当0a <时，函数()f x 在(),1-∞-，1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减、在11,a a +⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增.（2）函数()()221xf x eaxx ≤++恒成立， 即1x x ae e x ≤+，即1x a x e≤+， 设函数()1x g x x e =+，则()111x x xe g x e e --='=，令()0g x '=，解得0x =，所以函数()g x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增， 所以函数()g x 的最小值()min 1g x =所以min 11x a x e ⎛⎫≤+= ⎪⎝⎭ 所以a 的取值范围是(],1-∞. 【点睛】通过求导得到函数的单调区间，分类讨论的数学思想，恒成立问题利用参变分离求参数的范围.题目综合程度高，对计算的要求也比较高，属于难题.21．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22221(0)x y a b a b +=>>，C 2与C 1∶1，离心率相同． （1）求椭圆C 2的标准方程； （2）设点P 为椭圆C 2上一点．① 射线PO 与椭圆C 1依次交于点A B ，，求证：PAPB为定值； ② 过点P 作两条斜率分别为12k k ，的直线12l l ，，且直线12l l ，与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证：12k k ⋅为定值．【答案】（1）22182x y +=；（2）①见解析，②见解析. 【解析】（1）由题所求椭圆a=,离心率c a =，由222a b c =+得b 即可；（2）①当直线OP 斜率不存在时，得PA3PB=-当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =，与椭圆联立2A24x 4k 1=+，同理2P 28x 4k 1=+，推得P A x =从而P AP A P B P Ax x x x PA PB x x x x --==-+可求；②设()00P x y ，，直线1l 的方程为()010y y k x x -=- 即1010y k x y k x =+-，记010t y k x =-，则1l 的方程为1y k x t =+，代入椭圆C 1的方程得()222114k 1x 8k tx 4t 40+++-=，由0=，得2214k t 10-+=，再将010t y k x =-代入得()222010010x 4k 2x y k y 10--+-=，同理，得到关于12k k ，为根的方程()2220000x 4k 2x y k y 10--+-=，由韦达定理及点P 在椭圆上化简即可求得121k k 4⋅=-为定值 【详解】（1）设椭圆C 2的焦距为2c，由题意，a =，c a 2=，222a b c =+，解得b =C 2的标准方程为22x y 182+=．（2）①1°当直线OP 斜率不存在时，PA 1=，PB 1=，则PA 3PB ==- 2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =， 代入椭圆C 1的方程，消去y ，得()224k 1x 4+=， 所以2A 24x 4k 1=+，同理2P 28x 4k 1=+．所以22P A x 2x =，由题意，P A x x 与同号，所以P A x =，从而P A P A P B P A x x x x PA 3PB x x x x --====--+所以PA3PB=-为定值． ②设()00P x y ，，所以直线1l 的方程为()010y y k x x -=-，即1010y k x y k x =+-，记010t y k x =-，则1l 的方程为1y k x t =+，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得()222114k 1x 8k tx 4t 40+++-=， 因为直线1l 与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以()()()222118k t 44k 14t 40=-+-=，即2214k t 10-+=，将010t y k x =-代入上式，整理得，()222010010x 4k 2x y k y 10--+-=，同理可得，()222020020x 4k 2x y k y 10--+-=，所以12k k ，为关于k 的方程()2220000x 4k 2x y k y 10--+-=的两根， 从而201220y 1k k x 4-⋅=-．又点在()00P x y ，椭圆C 2：22x y 182+=上，所以22001y2x4=-，所以212212x114k kx44--⋅==--为定值．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，定值问题，熟练运用韦达定理，及构建二次方程思想是关键，要求较高的计算能力，是中档题22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为2cossinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的极坐标方程为2cos2sinρθθ=-.（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程，并求出曲线C上到直线l的距离最大的点的坐标，（2）求曲线C的极坐标方程，并设,A B为曲线C上的两个动点，且0OA OB→→⋅=，求2||AB→的取值范围.【答案】（1）曲线22:14xC y+=，直线:220l x y--=，2(2,2P（2）16[,55]【解析】分析：（1）先消参得到曲线C的直角坐标方程，利用极坐标公式得到直线l的直角坐标方程,再利用三角函数的图像和性质求出曲线C上到直线l的距离最大的点的坐标.(2)转化成求22212||ABρρ=+的值.详解：（1）曲线22:14xC y+=，直线:220l x y--=，则曲线C上点到直线l的距离2cos2sin22sin14555dθθπθ--⎡⎤⎛⎫===-+⎪⎢⎥⎝⎭⎦，当34πθ=时，d最大，此时，2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）曲线C 的极坐标方程为2222cos 4sin 4ρθρθ+=，即222244cos 4sin 3sin 1ρθθθ==++. 设()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则22212222442016||[,593sin 13cos 15sin 244AB ρρθθθ=+=+=∈+++ ]. 点睛：（1）本题主要考查参数方程极坐标和直角坐标的互化，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握能力. (2)对于第（2）问，可以利用直角坐标，也可以利用极坐标解答，直接利用极坐标解答简洁一些.23．已知函数()2f x x a =+．（1）当1a =时，解不等式()5f x x ≥+；（2）若0a >，0b >，()()2g x f x x b =+-的最小值为1，证明：33184a b +≥． 【答案】（1）(][),24,-∞-⋃+∞；（2）证明见解析；【解析】（1）当1a =时，原不等式即为215x x +≥+，分两种情况讨论，分别计算可得；（2）利用绝对值三角不等式可得()min 2g x a b =+，即21a b +=，再利用基本不等式计算可得；【详解】（1）当1a =时，()21f x x =+，所以()5f x x ≥+，即215x x +≥+，所以12215x x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥+⎩或()12215x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+≥+⎩，解得4x ≥或2x -≤，所以原不等式的解集为(][),24,-∞-⋃+∞（2）由题意得()()22222222g x f x x b x a x b x a x b a b =+-=++-≥+-+=+，当且仅当2a xb -≤≤时等号成立，所以21a b +=，所以()()333332186286a b a b ab a b a b ab+==+++=++233332383824a b a b a b +⎛⎫≤++⨯=++ ⎪⎝⎭，当且仅当11,24a b ==时等号成立， 所以33184a b +≥【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的应用，属于中档题.。
福建省七地市2024届高三上学期第一次质量检测数学含答案解析
厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024．1准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．2．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．4．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 1z z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =（） A.12B.22C.1D.2.设集合{}22M x x =-≤≤，{}21xN y y ==+，则M N ⋃=（）A.[2,)-+∞ B.(1,2]C.[1,2]D.(1,)+∞3.已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A.π6B.π4 C.3π4 D.5π64.已知a ，b 为单位向量，若||||a b a b +=- ，则a b + 与a b - 的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3D.3π45.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()21f x x x =-+，则(2)(0)f f +=（）A.2B.1C.8- D.9-6.已知1a x x=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c> B.[1,1]x ∃∈-，b c>C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）151222A.51B.70C.92D.1178.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀，y ∈R ，(1)(1)()()f x f y f x y f x y ++=+--，若(0)0f ≠，则(2024)f =（）A.2- B.4- C.2D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D.若()f x 的图象关于直线0x x =对称，则01sin 22x =10.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（）A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同11.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A.2a = B.C 的离心率为14C.||AB 可以为πD.2BAF ∠可以为直角12.如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且AB =(0)EF x x =>，则（）A.//EF 平面ABCDB.二面角A EF B --随着x 的减小而减小C.当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D.当32BC =时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π3sin 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．15.已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n = ，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为_________．16.设ABC 是面积为1的等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点，点P 在ABC 所在的平面内，记PCD与PAB 的面积分别为1S ，2S ，且121S S -=．当||PB =||||PA PB >时，||PA =_________；记PA PB a -=，则实数a 的取值范围为_________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=．（1）求a ；（2）若2π3A =，且ABC 的周长为2+，求ABC 的面积．18.如图，在四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，22AD BC ==，AB =，AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，过点B 作平面BD α⊥．（1）证明：平面//α平面EAC ；（2）已知点F 为棱EC 的中点，若2EA =，求直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2124a a ==，当*n ∈N ，且2n ≥时，1132n n n S S S +-=-．（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21172m m T -+>⨯，求正整数m 的最小值．20.已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．21.已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+有两个极值点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--．22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)P ，点A 为动点，以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，记A 的轨迹为Γ，直线AP 交Γ于另一点B ．（1）求Γ的方程；（2）OAB 的外接圆交Γ于点C （不与O ，A ，B 重合），依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，记其面积为S ．（i ）证明：ABC 的重心在定直线上；（ii ）求S 的取值范围．厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024．1准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．2．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．4．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 1z z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =（） A.12B.22C.1D.【答案】B 【解析】【分析】先求出复数z ，再求||z .【详解】由i 1z z ⋅=+，得()i 11z -=，即()()()i 1111i i 1i 1i 122z --===------，所以||2z ==，故选：B2.设集合{}22M x x =-≤≤，{}21xN y y ==+，则M N ⋃=（）A.[2,)-+∞B.(1,2]C.[1,2]D.(1,)+∞【答案】A 【解析】【分析】由指数函数值域求集合N ，应用集合并运算求结果.【详解】由题设{|1}N y y =>，故M N ⋃={}{}221{|2}x x y y x x -≤≤⋃=≥-.故选：A3.已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A.π6B.π4C.3π4 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.【详解】由231y x '=-，则0|1x y ='=-，即直线l 的斜率为1-，根据倾斜角与斜率关系及其范围知：l 的倾斜角为3π4.故选：C4.已知a ，b 为单位向量，若||||a b a b +=- ，则a b + 与a b - 的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3 D.3π4【答案】B 【解析】【分析】根据已知，应用向量数量积的运算律求()()a b a b +⋅-即可判断夹角大小.【详解】由题意22()()0a b a b a b +⋅-=-= ，则a b + 与a b - 的夹角为π2.故选：B5.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()21f x x x =-+，则(2)(0)f f +=（）A.2B.1C.8- D.9-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数的定义求解即可.【详解】当0x <时，2()21f x x x =-+，所以()()()2222219f -=--⨯-+=，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()229f f =--=-，且()00f =，所以(2)(0)9f f +=-故选：D6.已知1a xx=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c >B.[1,1]x ∃∈-，b c >C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<【答案】D 【解析】【分析】举例即可判断ABC ；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A ，当π6x =时，π63626π64a =+>+=，13222c =+=，此时a c >，所以[1,1]x ∃∈-，a c >，故A 正确；对于B ，当0x =时，2b =，c =b c >，所以[1,1]x ∃∈-，b c >，故B 正确；对于C ，当π6x =-时，π606πa =--<，13122c =-+=，此时a c <，所以[1,1]x ∃∈-，a c <，故C 正确；对于D ，当[]1,1x ∈-时，2e e x x b -=≥=+，当且仅当e e x x-=，即0x =时取等号，πsin 2sin 3c x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[]1,1x ∈-，得πππ1,1333x ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，而ππππ1π,012332<+<<-+<，所以当π3x +，即π6x =时，πsin 2sin 23c x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2≤c ，当且仅当π6x =时取等号，而π06≠，所以[1,1]x ∀∈-，b c >，故D 错误.故选：D.7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）151222A.51B.70C.92D.117【答案】C 【解析】【分析】根据题图及前4个五边形数找到规律，即可得第8个数.【详解】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为4,7,10,13,16,19,22, ，所以五边形数依次为1,5,12,22,35,51,70,92, ，即第8个数为92.故选：C8.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀，y ∈R ，(1)(1)()()f x f y f x y f x y ++=+--，若(0)0f ≠，则(2024)f =（）A.2-B.4- C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】利用赋值法对,x y 进行赋值结合函数的周期可得答案.【详解】令0x y ==，得()()()()11000f f f f ⋅=-=，即()10f =，令0x =，得()()()()110f f y f y f y ⋅+=--=，得()()-=f y f y ，所以函数()f x 为偶函数，令1x y ==，得()()()2220ff f =-，令1x y ==-，得()()()()()202020f f f f f =--=-，()()2220f f ∴=，()()20f f ∴=或()()20f f =-，若()()20f f =，解得()00f =与已知()00f ≠矛盾，()()20f f ∴=-，即()()2222f f =，解得()22f =，()02f =-，令1y =，得()()()()1211f x f f x f x +⋅=+--，()()()2111f x f x f x ∴+=+--，()()11f x f x ∴+=--，()()2f x f x ∴+=-，∴()()4f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4.()()202402f f ∴==-.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D.若()f x 的图象关于直线0x x =对称，则01sin 22x =【答案】BC 【解析】【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误.【详解】由π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==，A 错；由2π2ππ()2sin 20333f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，即2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心，B 对；由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2[,]333x -∈-，显然()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；由题意00ππ5π2π2π326x k x k -=+⇒=+，故01sin 22x =±，D 错.故选：BC10.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（）A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同【答案】BD 【解析】【分析】根据已知平均数的关系求得28a =，再由极差、中位数、方差求法判断各项正误即可.【详解】由题设，2021222324252324252627366a ++++++++++=-，所以28a =，甲组数据中670% 4.2⨯=，故第70百分位数为24，A 错；甲乙组数据的极差都为5，B 对；乙组数据从小到大为23,24,25,26,27,28，故其中位数为252625.52+=，C 错；由上易知：甲的平均数为22.5，乙的平均数为25.5，所以甲的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，乙的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，故两组数据的方差相同，D 对.故选：BD11.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A.2a = B.C 的离心率为14C.||AB 可以为πD.2BAF ∠可以为直角【答案】AC 【解析】【分析】根据已知可得1c =、2a =，进而有12e =，结合椭圆性质求相交弦长的范围及焦点三角形内角的范围判断各项的正误.【详解】由12221F F c c ==⇒=，如下图2ABF △周长为482a a =⇒=，故2223b a c =-=，所以，椭圆离心率为12e =，A 对，B 错；当AB x ⊥轴，即AB 为通径时2min 2||3b AB a==，且||24AB a <=，所以3||4AB ≤<，故||AB 可以为π，C 对；由椭圆性质知：当A 为椭圆上下顶点时2BAF ∠最大，此时222222c 41os 2a a F c a BA +∠-==，且2(0,π)BAF ∈∠，故2max π)3(BAF =∠，即2BAF ∠不可能为直角，D 错.故选：AC12.如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且23AB =(0)EF x x =>，则（）A.//EF 平面ABCDB.二面角A EF B --随着x 的减小而减小C.当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D.当32BC =时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 【答案】ACD 【解析】【分析】A 由线面平行的判定证明；B 设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，分析取最小值的对应情况即可判断；C 把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，取,AB GI 的中点,M H ，设π(0)2FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，结合()2FGI EKJ F ABIG V x V V --=-并应用导数研究最值；D 先分析特殊情况：ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，再借助左视图、正视图研究内切圆半径分析一般情况判断.【详解】A ：由题设//BC AD ，AD ⊂面ADEF ，BC ⊄面ADEF ，则//BC 面ADEF ，由面BCEF 面ADEF EF =，BC ⊂面BCEF ，则//BC EF ，BC ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD ，则//EF 平面ABCD ，对；B ：设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，点F 到面ABCD 的距离，仅在面FAB ⊥面ABCD 时取得最大值，当EF x BC ==时tan α取最小值，即α取最小值，即二面角A EF B --取最小值，所以EF x =∈(0,)+∞，二面角先变小后变大，错；C ：当2BC =，如图，把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，分别取,AB GI 的中点,M H ，易得FH ⊥面ABCD ，3FM =，设π(02FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，()2ABCDEFFGI EKJ F ABIG V x V V V --==-=113sin (26cos )23sin 3cos 23θθθθ⨯⨯+-⨯⨯⨯cos θθθ=+，令()cos f θθθθ=+，则()2f θθθ'=+，令2()02cos cos 10f θθθ'=⇒+-=，可得1cos 2θ=或cos 1θ=-（舍），即π3θ=，π03θ<<，()0f θ'>，()f θ递增，ππ32θ<≤，()0f θ'<，()f θ递减，显然π3θ=是()f θ的极大值点，故max 127()2222f θ=+=.所以五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272，C 对；D ：当32BC =时，ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，此时正三棱柱内最大的求半径342r =<，故半径为2的球不能内含于五面体ABCDEF ，对于一般情形，如下图示，左图为左视图，右图为正视图，由C 分析结果，当五面体ABCDEF 体积最大时，其可内含的球的半径较大，易知，当π3FMH ∠=时，3339,22FH IH IF ===，设FIG 的内切圆半径为1r ，则113313922222r ⨯⨯=⨯⨯，可得12r =>，另外，设等腰梯形EFMN 中圆的半径为2r ，则213π33tan434r r ==>=所以，存在x 使半径为2的球都能内含于五面体ABCDEF ，对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C 通过补全几何体为棱柱，设π(02FMH θθ∠=<≤得到五面体ABCDEF 的体积关于θ的函数；对于D 从特殊到一般，结合几何体视图研究内切圆判断最大半径是否大于2为关键.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π3sin 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．【答案】35-##0.6-【解析】【分析】应用诱导公式有ππππcos cos[()]sin()4424ααα⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，即可求值.【详解】ππππ3cos cos[()sin()44245ααα⎛⎫-=+-=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：35-14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．【答案】24【解析】【分析】先求出三人选书没有要求的选法，再排除三人选择的书完全相同的选法即可.【详解】若三人选书没有要求，则有3327=种，若三人选择的书完全相同，则有3种，所以三人选择的书不全相同，不同的选法有27324-=种.故答案为：24.15.已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n =，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为_________．【答案】【解析】【分析】由题设得(0,1,2)BA =，应用向量法求点面距离即可.【详解】由题设(0,1,2)BA = ，则点(1,1,1)B 到α的距离为||||BA n n ⋅==16.设ABC 是面积为1的等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点，点P 在ABC 所在的平面内，记PCD与PAB 的面积分别为1S ，2S ，且121S S -=．当||PB =||||PA PB >时，||PA =_________；记PA PB a -=，则实数a 的取值范围为_________．【答案】①.②.(2)5【解析】【分析】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，根据已知得001||||12y x =-、2200(1)10x y -+=，即可得04x =，0||1y =，应用两点距离公式求||PA ；根据PA PB a -=确定P 的轨迹曲线，并写出方程，利用曲线性质列不等式求参数范围.【详解】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，则101||2S x =，20||S y =，所以001||||12x y -=，则001||||12y x =-，当||PB =，||||PA PB >时，00x >，即22200||(1)10PB x y =-+=，所以22001(1)(1)102x x -+-=，即200512320x x --=，可得04x =（负值舍），则0||1y =，故||PA ==若0PA PB a -=>，结合双曲线定义知：P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，该双曲线为22221()1()22x y a a -=-，即22224414x y a a -=-，双曲线顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1，则双曲线与曲线1||||12x y -=有交点，即双曲线的渐近线和曲线1||||12x y -=有交点，则双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12，所以221115160424165a a <<⇒<<⇒<<，故4525a <<，所以实数a的取值范围为(,2)5.，(2)5【点睛】关键点点睛：第二空，注意P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，将问题化为双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12为关键.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=．（1）求a ；（2）若2π3A =，且ABC 的周长为2+，求ABC 的面积．【答案】（1）2a =；（2）4.【解析】【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式有sin()2sin a A B C +=，再由三角形内角性质即可求边长；（2）应用余弦定理及已知得224b c bc ++=且b c +=1bc =，最后应用面积公式求面积.【小问1详解】由题设(cos cos )2a a B b A c +=，由正弦定理有(sin cos sin cos )2sin a A B B A C +=，所以sin()2sin a A B C +=，而πA B C +=-，故sin 2sin a C C =，又sin 0C >，所以2a =.【小问2详解】由（1）及已知，有2222241cos 222b c a b c A bc bc +-+-===-，可得224b c bc ++=，又2a b c ++=+，即b c +=，所以2()541b c bc bc bc +-=-=⇒=，故13sin 24ABC S bc A ==△.18.如图，在四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，22AD BC ==，AB =，AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，过点B 作平面BD α⊥．（1）证明：平面//α平面EAC ；（2）已知点F 为棱EC 的中点，若2EA =，求直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）277【解析】【分析】（1）利用三角形相似及等量代换得AC BD ⊥，利用线面垂直得EA BD ⊥，进而得BD ⊥平面EAC ，结合已知条件得证；（2）利用空间向量法可求【小问1详解】设AC 与BD 的交点为O ，连接OF ，因为AD BC ∥，且AB AD ⊥，所以AB BC ⊥，因为22AD =，所以1AD =，AB =，AB AD ⊥，且AB =，2BC =，AB BC ⊥，所以ABD BCA ，所以ABD BCA ∠=∠，所以BAC ABD BAC BCA ∠+∠=∠+∠，因为AB BC ⊥，所以90BAC BCA ∠+∠=︒，所以90BAC ABD ∠+∠=︒，即90BAO ABO ∠+∠=︒，所以90AOB ∠=︒，所以AO OB ⊥，即AC BD ⊥，因为EA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以EA BD ⊥，因为EA AC A = ，,EA AC ⊂平面EAC ，所以BD ⊥平面EAC ，又因为平面BD α⊥，且B ∉平面EAC ，所以平面//α平面EAC 【小问2详解】因为AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，所以,,AB AD EA 两两垂直，如图，以A 为原点，,,AB AD EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,1,0D ，()()(),0,0,2,2,0B E C ，所以())())0,1,0,,0,2,0,2AD BD BC BE ====，因为点F 为棱EC 的中点，所以()1,1,122BF BC BE ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面FBD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00BD n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0202y x y z +=++=⎪⎩，取2x =，得y z =-=，所以平面FBD的一个法向量为(2,n =-，记直线AD 与平面FBD 所成角为θ，则27sin cos ,7AD n AD n AD n θ⋅===，所以直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值为277．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2124a a ==，当*n ∈N ，且2n ≥时，1132n n n S S S +-=-．（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21172m m T -+>⨯，求正整数m 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）由题设112()n n n n S S S S +--=-，结合已知得到12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，即可证结论；（2）由（1）得()()122121nn n n b +=--，裂项相消法求n T ，根据不等式关系得221m ->，即可确定正整数m 的最小值.【小问1详解】当2n ≥时，1111322()n n n n n n n S S S S S S S +-+-=-⇒-=-，即12n n a a +=，又2124a a ==，故12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，且12a =，所以{}n a 是首项、公比均为2的等比数列.【小问2详解】由（1）知：2n n a =，则()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以11111111212121211111133712n n n n n n T -++=-+-+--=----+-+- ，则21211117221712m m m m T -+-+=-+>⨯-⨯，即2121722182m m m -+-⨯-⨯<-=，所以221m ->，可得m>2，而*m ∈N ，故3m ≥，正整数m 的最小值为3.20.已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．【答案】（1）215；（2）3835.【解析】【分析】（1）由题意，,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，分别求出a 被分至甲队即a 摸出红球的概率、b 被分至甲队即b 摸出红球的概率、c 被分至甲队即c 摸出红球的概率，再应用条件概率公式及互斥事件加法求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）根据题意有X 可能取值为4,2,0，分析X 各对应值的实际含义，并求出对应概率，进而求期望即可.【小问1详解】,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，记事件A =“a 被分至甲队”，事件B =“b 被分至甲队”，事件C =“c 被分至甲队”，当a 即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则a 被分至甲队即a 摸出红球的概率为1()2P A =；当a 被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b 被分至甲队即b 摸出红球的概率为2(|)5P B A =；当,a b 均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则c 被分至甲队即c 摸出红球的概率为1(|)3P C AB =；所以121()()(|)255P AB P A P B A ==⨯=，则111()()(|)5315P ABC P AB P C AB ==⨯=，同理知：新增登山爱好者,,a b c 均被分至乙队的概率也为115，所以,,a b c 三人均被分至同一队的概率为215.【小问2详解】由题设，X 可能取值为4,2,0，4X =为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则22224(4)24567105P X ⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯，2X =为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第(1,2,3,4)k k =名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则123339(1)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，223339(2)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，322434(3)2456735P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，422252(4)2456721P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，所以12347(2)15P X P P P P ==+++=，X 0=为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则52(0)1(2)(4)105P X P X P X ==-=-==，所以475238()4201051510535E X =⨯+⨯+⨯=.21.已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+有两个极值点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--．【答案】（1）1(0,2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数，结合()f x 的极值点个数，得到0a >且1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同根，列不等式组求参数范围；（2）设1201x x <<<，应用分析法将问题化为证11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，再由12a =对应()f x 单调性即可证结论.【小问1详解】由题设22222(1)()(1)(1)a ax a x a f x x x x x +-+'=-=++且0x >，若0a ≤，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，即()f x 递增，不可能有两个极值点，不符；故0a >，又()f x 有两个极值点，则1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同正根，所以()()22Δ4144120100a a a a aa ⎧=--=->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，可得102a <<，即实数a 的取值范围是1(0,2.【小问2详解】由（1）102a <<且122(1)a x x a-+=，121=x x ，不妨设1201x x <<<，则()()1212f x f x x x -=-1212121211ln ln 11x x a x a x x x x x ----+++-112212122()ln (1)(1)x x x a x x x x x --++=-121212121212ln (ln ln )21x a x a x x a x x x x x x x x -=-=--+++-，要证()()2121221f x f x a a x x a -->--，需证1212ln ln 1211x x a x x a --->--，即1212ln ln 1x x a x x a ->--，只需证121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，由（1），12a =时2212(1)(1)02ax a x a x +-+=-≥，即()0f x '≥，所以11()ln 21x f x x x -=-+在(0,)+∞上递增，又01t <<，故()(1)0f t f <=，即11ln 21t t t -<+，综上，()()2121221f x f x a a x x a -->--.【点睛】关键点点睛：第二问，设1201x x <<<，应用分析法将问题转化为证11212211ln 21x x x x x x -<+为关键.22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)P ，点A 为动点，以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，记A 的轨迹为Γ，直线AP 交Γ于另一点B ．（1）求Γ的方程；（2）OAB 的外接圆交Γ于点C （不与O ，A ，B 重合），依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，记其面积为S ．（i ）证明：ABC 的重心在定直线上；（ii ）求S 的取值范围．【答案】（1）24y x=（2）证明见详解；32,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设(),A x y ，根据已知条件列出方程化简即得；（2）（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x ⎧+++=⎨=⎩，得()42416160y d y ey +++=，结合重心公式可得证；（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，用已知条件分别表示出12,S S ，进而表示出面积为S 的表达式，然后利用导数求最值即得.【小问1详解】设(),A x y ，则线段AP 的中点坐标为1,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，所以1122x AP +==，化简，得24y x =.【小问2详解】（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x⎧+++=⎨=⎩，消去x ，得()42416160y d y ey +++=，即()()3416160y y d y e +++=，所以123,,y y y 即为关于y 的方程()3416160y d y e +++=的3个根，则()()()()312341616y d y e y y y y y y +++=---，因为()()()()()32123123122313123y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ---=-+++++-，由2y 的系数对应相等得，1230y y y ++=，即()123103y y y ++=，因为ABC 的重心的纵坐标为()12313y y y ++，所以ABC 的重心在定直线0y =上.（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，由已知得直线AB 的斜率不为0设直线AB ：1x my =+，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x ，得2440y my --=，所以12124,4y y m y y +=⋅=-，所以1121122S OP y y =⋅⋅-==，由（i ）得，()3124y y y m =-+=-，所以()22233114444x y m m ==⨯-=，即()24,4C m m -，因为()212122444AB x x m y y m =++=++=+，点C 到直线AB的距离d =，所以()22211448122S AB d m m =⋅⋅=⋅+=-，所以)221281181S S S m m =+=-=+-不妨设0m >，且A 在第一象限，即120,0y y ><，340y m =-<，依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，所以()3122y y y y =-+<，即122y y -<，又因为124y y ⋅=-，2242y y <，即222y <，即20y <<，所以122244m y y y y =+=->+=，即24m >，即218m >，所以)218116S m m=+-=，设t =，则324t >，令()()2161f t t t =-，则()()()2221611614816f t t t t t '='=-+--，因为324t >，所以()248160f t t -'=>，所以()f t 在区间32,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()323242f t f ⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭，所以S 的取值范围为32,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】第二问：（i ）关键是把证明ABC 的重心在定直线上转化为方程根的问题，利用韦达定理以及重心公式可得.（ii ）关键是把四边形OACB 拆成两个三角形，然后用相同的变量分别表示两个三角形的面积以及变量的取值范围的确定，进而得到四边形OACB 面积的表达式，然后利用导数求最值即得.。
福建省厦门市2024届一模考试数学试题(教师版)
厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024．1准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．2．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．4．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 1z z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =（） A.12B.22C.1D.【答案】B 【解析】【分析】先求出复数z ，再求||z .【详解】由i 1z z ⋅=+，得()i 11z -=，即()()()i 1111i i 1i 1i 122z --===------，所以||2z ==，故选：B2.设集合{}22M x x =-≤≤，{}21xN y y ==+，则M N ⋃=（）A.[2,)-+∞B.(1,2]C.[1,2]D.(1,)+∞【答案】A 【解析】【分析】由指数函数值域求集合N ，应用集合并运算求结果.【详解】由题设{|1}N y y =>，故M N ⋃={}{}221{|2}x x y y x x -≤≤⋃=≥-.故选：A3.已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A.π6B.π4C.3π4 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.【详解】由231y x '=-，则0|1x y ='=-，即直线l 的斜率为1-，根据倾斜角与斜率关系及其范围知：l 的倾斜角为3π4.故选：C4.已知a ，b 为单位向量，若||||a b a b +=- ，则a b + 与a b - 的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3 D.3π4【答案】B 【解析】【分析】根据已知，应用向量数量积的运算律求()()a b a b +⋅-即可判断夹角大小.【详解】由题意22()()0a b a b a b +⋅-=-= ，则a b + 与a b - 的夹角为π2.故选：B5.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()21f x x x =-+，则(2)(0)f f +=（）A.2B.1C.8- D.9-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数的定义求解即可.【详解】当0x <时，2()21f x x x =-+，所以()()()2222219f -=--⨯-+=，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()229f f =--=-，且()00f =，所以(2)(0)9f f +=-故选：D6.已知1a xx=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c >B.[1,1]x ∃∈-，b c >C .[1,1]x ∃∈-，a c< D.[1,1]x ∃∈-，b c<【答案】D 【解析】【分析】举例即可判断ABC ；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A ，当π6x =时，π63626π64a =+>+=，13222c =+=，此时a c >，所以[1,1]x ∃∈-，a c >，故A 正确；对于B ，当0x =时，2b =，c =b c >，所以[1,1]x ∃∈-，b c >，故B 正确；对于C ，当π6x =-时，π606πa =--<，13122c =-+=，此时a c <，所以[1,1]x ∃∈-，a c <，故C 正确；对于D ，当[]1,1x ∈-时，2e e x x b -=≥=+，当且仅当e e x x-=，即0x =时取等号，πsin 2sin 3c x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[]1,1x ∈-，得πππ1,1333x ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，而ππππ1π,012332<+<<-+<，所以当π3x +，即π6x =时，πsin 2sin 23c x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2≤c ，当且仅当π6x =时取等号，而π06≠，所以[1,1]x ∀∈-，b c >，故D 错误.故选：D.7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）A.51B.70C.92D.117【答案】C 【解析】【分析】根据题图及前4个五边形数找到规律，即可得第8个数.【详解】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为4,7,10,13,16,19,22, ，所以五边形数依次为1,5,12,22,35,51,70,92, ，即第8个数为92.故选：C8.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀，y ∈R ，(1)(1)()()f x f y f x y f x y ++=+--，若(0)0f ≠，则(2024)f =（）A.2-B.4- C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】利用赋值法对,x y 进行赋值结合函数的周期可得答案.【详解】令0x y ==，得()()()()11000f f f f ⋅=-=，即()10f =，令0x =，得()()()()110f f y f y f y ⋅+=--=，得()()-=f y f y ，所以函数()f x 为偶函数，令1x y ==，得()()()2220ff f =-，令1x y ==-，得()()()()()202020f f f f f =--=-，()()2220f f ∴=，()()20f f ∴=或()()20f f =-，若()()20f f =，解得()00f =与已知()00f ≠矛盾，()()20f f ∴=-，即()()2222f f =，解得()22f =，()02f =-，令1y =，得()()()()1211f x f f x f x +⋅=+--，()()()2111f x f x f x ∴+=+--，()()11f x f x ∴+=--，()()2f x f x ∴+=-，∴()()4f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4.()()202402f f ∴==-.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D.若()f x 的图象关于直线0x x =对称，则01sin 22x =【答案】BC 【解析】【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误.【详解】由π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==，A 错；由2π2ππ()2sin 20333f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，即2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心，B 对；由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2[,]333x -∈-，显然()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；由题意00ππ5π2π2π326x k x k -=+⇒=+，故01sin 22x =±，D 错.故选：BC10.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（）A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同【答案】BD 【解析】【分析】根据已知平均数的关系求得28a =，再由极差、中位数、方差求法判断各项正误即可.【详解】由题设，2021222324252324252627366a ++++++++++=-，所以28a =，甲组数据中670% 4.2⨯=，故第70百分位数为24，A 错；甲乙组数据的极差都为5，B 对；乙组数据从小到大为23,24,25,26,27,28，故其中位数为252625.52+=，C 错；由上易知：甲的平均数为22.5，乙的平均数为25.5，所以甲的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，乙的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，故两组数据的方差相同，D 对.故选：BD11.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A.2a = B.C 的离心率为14C.||AB 可以为πD.2BAF ∠可以为直角【答案】AC 【解析】【分析】根据已知可得1c =、2a =，进而有12e =，结合椭圆性质求相交弦长的范围及焦点三角形内角的范围判断各项的正误.【详解】由12221F F c c ==⇒=，如下图2ABF △周长为482a a =⇒=，故2223b a c =-=，所以，椭圆离心率为12e =，A 对，B 错；当AB x ⊥轴，即AB 为通径时2min 2||3b AB a==，且||24AB a <=，所以3||4AB ≤<，故||AB 可以为π，C 对；由椭圆性质知：当A 为椭圆上下顶点时2BAF ∠最大，此时222222c 41os 2a a F c a BA +∠-==，且2(0,π)BAF ∈∠，故2max π)3(BAF =∠，即2BAF ∠不可能为直角，D 错.故选：AC12.如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且23AB =(0)EF x x =>，则（）A.//EF 平面ABCDB.二面角A EF B --随着x 的减小而减小C.当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D.当32BC =时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 【答案】ACD 【解析】【分析】A 由线面平行的判定证明；B 设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，分析取最小值的对应情况即可判断；C 把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，取,AB GI 的中点,M H ，设π(0)2FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，结合()2FGI EKJ F ABIG V x V V --=-并应用导数研究最值；D 先分析特殊情况：ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，再借助左视图、正视图研究内切圆半径分析一般情况判断.【详解】A ：由题设//BC AD ，AD ⊂面ADEF ，BC ⊄面ADEF ，则//BC 面ADEF ，由面BCEF 面ADEF EF =，BC ⊂面BCEF ，则//BC EF ，BC ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD ，则//EF 平面ABCD ，对；B ：设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，点F 到面ABCD 的距离，仅在面FAB ⊥面ABCD 时取得最大值，当EF x BC ==时tan α取最小值，即α取最小值，即二面角A EF B --取最小值，所以EF x =∈(0,)+∞，二面角先变小后变大，错；C ：当2BC =，如图，把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，分别取,AB GI 的中点,M H ，易得FH ⊥面ABCD ，3FM =，设π(02FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，()2ABCDEFFGI EKJ F ABIG V x V V V --==-=113sin (26cos )23sin 3cos 23θθθθ⨯⨯+-⨯⨯⨯cos θθθ=+，令()cos f θθθθ=+，则()2f θθθ'=+，令2()02cos cos 10f θθθ'=⇒+-=，可得1cos 2θ=或cos 1θ=-（舍），即π3θ=，π03θ<<，()0f θ'>，()f θ递增，ππ32θ<≤，()0f θ'<，()f θ递减，显然π3θ=是()f θ的极大值点，故max 33127()2222f θ=+=.所以五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272，C 对；D ：当32BC =时，ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，此时正三棱柱内最大的求半径342r =<，故半径为2的球不能内含于五面体ABCDEF ，对于一般情形，如下图示，左图为左视图，右图为正视图，由C 分析结果，当五面体ABCDEF 体积最大时，其可内含的球的半径较大，易知，当π3FMH ∠=时，3339,22FH IH IF ===，设FIG 的内切圆半径为1r ，则113313922222r ⨯⨯=⨯⨯，可得12r =>，另外，设等腰梯形EFMN 中圆的半径为2r ，则213π33tan434r r ==>=所以，存在x 使半径为2的球都能内含于五面体ABCDEF ，对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C 通过补全几何体为棱柱，设π(02FMH θθ∠=<≤得到五面体ABCDEF 的体积关于θ的函数；对于D 从特殊到一般，结合几何体视图研究内切圆判断最大半径是否大于2为关键.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π3sin 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．【答案】35-##0.6-【解析】【分析】应用诱导公式有ππππcos cos[()]sin()4424ααα⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，即可求值.【详解】ππππ3cos cos[(]sin(44245ααα⎛⎫-=+-=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：35-14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．【答案】24【解析】【分析】先求出三人选书没有要求的选法，再排除三人选择的书完全相同的选法即可.【详解】若三人选书没有要求，则有3327=种，若三人选择的书完全相同，则有3种，所以三人选择的书不全相同，不同的选法有27324-=种.故答案为：24.15.已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n =，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为_________．【答案】【解析】【分析】由题设得(0,1,2)BA =，应用向量法求点面距离即可.【详解】由题设(0,1,2)BA = ，则点(1,1,1)B 到α的距离为||||BA n n ⋅==16.设ABC 是面积为1的等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点，点P 在ABC 所在的平面内，记PCD与PAB 的面积分别为1S ，2S ，且121S S -=．当||PB =||||PA PB >时，||PA =_________；记PA PB a -=，则实数a 的取值范围为_________．【答案】①.②.(2)5【解析】【分析】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，根据已知得001||||12y x =-、2200(1)10x y -+=，即可得04x =，0||1y =，应用两点距离公式求||PA ；根据PA PB a -=确定P 的轨迹曲线，并写出方程，利用曲线性质列不等式求参数范围.【详解】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，则101||2S x =，20||S y =，所以001||||12x y -=，则001||||12y x =-，当||PB =，||||PA PB >时，00x >，即22200||(1)10PB x y =-+=，所以22001(1)(1)102x x -+-=，即200512320x x --=，可得04x =（负值舍），则0||1y =，故||PA ==若0PA PB a -=>，结合双曲线定义知：P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，该双曲线为22221()1()22x y a a -=-，即22224414x y a a -=-，双曲线顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1，则双曲线与曲线1||||12x y -=有交点，即双曲线的渐近线和曲线1||||12x y -=有交点，则双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12，所以221115160424165a a <<⇒<<⇒<<，故4525a <<，所以实数a 的取值范围为45(,2)5.，45(2)5【点睛】关键点点睛：第二空，注意P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，将问题化为双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12为关键.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=．（1）求a ；（2）若2π3A =，且ABC的周长为2+，求ABC 的面积．【答案】（1）2a =；（2）4.【解析】【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式有sin()2sin a A B C +=，再由三角形内角性质即可求边长；（2）应用余弦定理及已知得224b c bc ++=且b c +=1bc =，最后应用面积公式求面积.【小问1详解】由题设(cos cos )2a a B b A c +=，由正弦定理有(sin cos sin cos )2sin a A B B A C +=，所以sin()2sin a A B C +=，而πA B C +=-，故sin 2sin a C C =，又sin 0C >，所以2a =.【小问2详解】由（1）及已知，有2222241cos 222b c a b c A bc bc +-+-===-，可得224b c bc ++=，又2a b c ++=+，即b c +=，所以2()541b c bc bc bc +-=-=⇒=，故1sin 24ABC S bc A ==△.18.如图，在四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，22AD BC ==，AB =，AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，过点B 作平面BD α⊥．（1）证明：平面//α平面EAC ；（2）已知点F 为棱EC 的中点，若2EA =，求直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）277【解析】【分析】（1）利用三角形相似及等量代换得AC BD ⊥，利用线面垂直得EA BD ⊥，进而得BD ⊥平面EAC ，结合已知条件得证；（2）利用空间向量法可求【小问1详解】设AC 与BD 的交点为O ，连接OF ，因为AD BC ∥，且AB AD ⊥，所以AB BC ⊥，因为22AD =，所以1AD =，AB =，AB AD ⊥，且AB =，2BC =，AB BC ⊥，所以ABD BCA ，所以ABD BCA ∠=∠，所以BAC ABD BAC BCA ∠+∠=∠+∠，因为AB BC ⊥，所以90BAC BCA ∠+∠=︒，所以90BAC ABD ∠+∠=︒，即90BAO ABO ∠+∠=︒，所以90AOB ∠=︒，所以AO OB ⊥，即AC BD ⊥，因为EA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以EA BD ⊥，因为EA AC A = ，,EA AC ⊂平面EAC ，所以BD ⊥平面EAC ，又因为平面BD α⊥，且B ∉平面EAC ，所以平面//α平面EAC 【小问2详解】因为AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，所以,,AB AD EA 两两垂直，如图，以A 为原点，,,AB AD EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,1,0D ，()()()2,0,0,0,0,2,2,2,0B E C ，所以())())0,1,0,2,1,0,0,2,0,2,0,2AD BD BC BE ====，因为点F 为棱EC 的中点，所以()12,1,122BF BC BE ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面FBD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00BD n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以20202x y x y z ⎧+=⎪++=⎪⎩，取2x =，得22,2y z =-=，所以平面FBD 的一个法向量为(2,2,2n =-，记直线AD 与平面FBD 所成角为θ，则2227sin cos ,71482AD n AD n AD n θ-⋅===⨯++，所以直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值为277．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2124a a ==，当*n ∈N ，且2n ≥时，1132n n n S S S +-=-．（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21172m m T -+>⨯，求正整数m 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）由题设112()n n n n S S S S +--=-，结合已知得到12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，即可证结论；（2）由（1）得()()122121nn n n b +=--，裂项相消法求n T ，根据不等式关系得221m ->，即可确定正整数m 的最小值.【小问1详解】当2n ≥时，1111322()n n n n n n n S S S S S S S +-+-=-⇒-=-，即12n n a a +=，又2124a a ==，故12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，且12a =，所以{}n a 是首项、公比均为2的等比数列.【小问2详解】由（1）知：2nn a =，则()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以11111111212121211111133712n n n n n n T -++=-+-+--=----+-+- ，则21211117221712m m m m T -+-+=-+>⨯-⨯，即2121722182m m m -+-⨯-⨯<-=，所以221m ->，可得m>2，而*m ∈N ，故3m ≥，正整数m 的最小值为3.20.已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．【答案】（1）215；（2）3835.【解析】【分析】（1）由题意，,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，分别求出a 被分至甲队即a 摸出红球的概率、b 被分至甲队即b 摸出红球的概率、c 被分至甲队即c 摸出红球的概率，再应用条件概率公式及互斥事件加法求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）根据题意有X 可能取值为4,2,0，分析X 各对应值的实际含义，并求出对应概率，进而求期望即可.【小问1详解】,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，记事件A =“a 被分至甲队”，事件B =“b 被分至甲队”，事件C =“c 被分至甲队”，当a 即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则a 被分至甲队即a 摸出红球的概率为1()2P A =；当a 被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b 被分至甲队即b 摸出红球的概率为2(|)5P B A =；当,a b 均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则c 被分至甲队即c 摸出红球的概率为1(|)3P C AB =；所以121()()(|)255P AB P A P B A ==⨯=，则111()()(|)5315P ABC P AB P C AB ==⨯=，同理知：新增登山爱好者,,a b c 均被分至乙队的概率也为115，所以,,a b c 三人均被分至同一队的概率为215.【小问2详解】由题设，X 可能取值为4,2,0，4X =为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则22224(4)24567105P X ⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯，2X =为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第(1,2,3,4)k k =名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则123339(1)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，223339(2)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，322434(3)2456735P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，422252(4)2456721P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，所以12347(2)15P X P P P P ==+++=，X 0=为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则52(0)1(2)(4)105P X P X P X ==-=-==，所以475238()4201051510535E X =⨯+⨯+⨯=.21.已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+有两个极值点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--．【答案】（1）1(0,2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数，结合()f x 的极值点个数，得到0a >且1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同根，列不等式组求参数范围；（2）设1201x x <<<，应用分析法将问题化为证11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，再由12a =对应()f x 单调性即可证结论.【小问1详解】由题设22222(1)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +-+'=-=++且0x >，若0a ≤，则()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，即()f x 递增，不可能有两个极值点，不符；故0a >，又()f x 有两个极值点，则1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同正根，所以()()22Δ4144120100a a a a aa ⎧=--=->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，可得102a <<，即实数a 的取值范围是1(0,2.【小问2详解】由（1）102a <<且122(1)a x x a -+=，121=x x ，不妨设1201x x <<<，则()()1212f x f x x x -=-1212121211ln ln 11x x a x a x x x x x ----+++-112212122()ln (1)(1)x x x a x x x x x --++=-121212121212ln(ln ln )21x a x a x x a x x x x x x x x -=-=--+++-，要证()()2121221f x f x a a x x a -->--，需证1212ln ln 1211x x a x x a --->--，即1212ln ln 1x x a x x a ->--，只需证121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，由（1），12a =时2212(1)(1)02ax a x a x +-+=-≥，即()0f x '≥，所以11()ln 21x f x x x -=-+在(0,)+∞上递增，又01t <<，故()(1)0f t f <=，即11ln 21t t t -<+，综上，()()2121221f x f x a a x x a -->--.【点睛】关键点点睛：第二问，设1201x x <<<，应用分析法将问题转化为证11212211ln 21x xx x x x -<+为关键.22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)P ，点A 为动点，以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，记A 的轨迹为Γ，直线AP 交Γ于另一点B ．（1）求Γ的方程；（2）OAB 的外接圆交Γ于点C （不与O ，A ，B 重合），依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，记其面积为S ．（i ）证明：ABC 的重心在定直线上；（ii ）求S 的取值范围．【答案】（1）24y x=（2）证明见详解；,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设(),A x y ，根据已知条件列出方程化简即得；（2）（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x⎧+++=⎨=⎩，得()42416160y d y ey +++=，结合重心公式可得证；（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，用已知条件分别表示出12,S S ，进而表示出面积为S 的表达式，然后利用导数求最值即得.【小问1详解】设(),A x y ，则线段AP 的中点坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，因为以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，所以1122x AP +==，化简，得24y x =.【小问2详解】（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x⎧+++=⎨=⎩，消去x ，得()42416160y d y ey +++=，即()()3416160y y d y e +++=，所以123,,y y y 即为关于y 的方程()3416160y d y e +++=的3个根，则()()()()312341616y d y e y y y y y y +++=---，因为()()()()()32123123122313123y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ---=-+++++-，由2y 的系数对应相等得，1230y y y ++=，即()123103y y y ++=，因为ABC 的重心的纵坐标为()12313y y y ++，所以ABC 的重心在定直线0y =上.（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，由已知得直线AB 的斜率不为0设直线AB ：1x my =+，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x ，得2440y my --=，所以12124,4y y m y y +=⋅=-，所以1121122S OP y y =⋅⋅-==，由（i ）得，()3124y y y m =-+=-，所以()22233114444x y m m ==⨯-=，即()24,4C m m -，因为()212122444AB x x m y y m =++=++=+，点C 到直线AB的距离d =，所以()22211448122S AB d m m =⋅⋅=⋅+=-，所以)221281181S S S m m =+=-=+-不妨设0m >，且A 在第一象限，即120,0y y ><，340y m =-<，依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，所以()3122y y y y =-+<，即122y y -<，又因为124y y ⋅=-，2242y y <，即222y <，即20y <<，所以122244m y y y y =+=->+=，即24m >，即218m >，所以)218116S m m =+-=，设t =，则4t >，令()()2161f t t t =-，则()()()2221611614816f t t t t t '='=-+--，因为4t >，所以()248160f t t -'=>，所以()f t在区间,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()323242f t f ⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭，所以S 的取值范围为32,2∞⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭【点睛】第二问：（i ）关键是把证明ABC 的重心在定直线上转化为方程根的问题，利用韦达定理以及重心公式可得.（ii ）关键是把四边形OACB 拆成两个三角形，然后用相同的变量分别表示两个三角形的面积以及变量的取值范围的确定，进而得到四边形OACB 面积的表达式，然后利用导数求最值即得.2122。
厦门市2020届高中毕业班线上质量检查(一)数学(文科)答题卡 (1)
结果为准。 4．居家测试，请自觉遵守考试纪律，严禁将试卷外传。
二、填空题 13._______________
在此 14._______________ 15._____________， ____________
16._______________
17.
区域答
题
数学(文科)答题卡第1页 ， 共6页
厦门市 2020 届高中毕业班线上质量检查（一）
数学（文科）答题卡
学校_______________ 班级____ 座号_____
请不要 注意事项：
1．答卷前，考生务必提前登入在线测试系统，核对个人信息。 2．回答选择题时，采用在线选择作答的方式，考生直接在相应题号中选择对应的选项，无需在答题卡上填涂答案。 3．回答非选择题时，采用在线拍照上传的方式，考生可自行打印答题卡进行作答；若无法打印的，可在 A4 白纸上按试题指定格式作答，作答区域 大小尽可能与答题卡样式保持一致。答题完毕，请按操作手册拍照上传，注意拍摄画质清晰，不要多拍、漏拍。重复上传的以最后一次上传的图片
18.
G
E
F
D
C
A
（第
18
B
题图）
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19.
数学(文科)答题卡第3页 ， 共6页
20.
数学(文科)答题卡第4页 ， 共6页
21.
数学(文科)答题卡第5页 ， 共6页
22、23题为选做题，考生只．能．选．做．一．题．，．并．在．相．应．的．题．序．后．面．涂．上．标．记．．22 [ ] 23 [ ]
福建省厦门双十中学2020届高三暑假第一次返校考试数学试卷(文科)(一)(7月份)(解析版)
2019-2020学年福建省厦门市双十中学高三（上）返校数学试卷（文科）（一）（7月份）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共69分）1. 函数f(x)=12x2−ln x的单调减区间（）A.(−1, 1]B.(0, 1]C.(1, +∞)D.(0, +∞)2. 下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A.y＝2xB.y＝2|x|C.y＝2x−2−xD.y＝2x+2−x3. 函数y=2xln x的图象大致为（）A. B. C. D.4. 函数f(x)＝ln(x+1)−1x的零点所在的大致区间是（）A.(0, 1)B.(1, 2)C.(2, e)D.(3, 4)5. 已知函数f(x)={2x,x≤0|log2x|,x>0，则使f(x)＝2的x的集合是（）A.{14,4} B.{1, 4} C.{1,14} D.{1,14,4}6. 已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)=x3−1；当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)；当x>12时，f(x+12)=f(x−12)．则f(6)=（）A.−2B.−1C.0D.27. 设函数f(x)满足f(1−x1+x )＝1+x，则f(x)的表达式为（）A.21+xB.21+x2C.1−x21+x2D.1−x1+x8. 已知函数f(x)＝log a(2x+b−1)(a>0, a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A.0<a−1<b<1B.0<b<a−1<1C.0<b−1<a<1D.0<a−1<b−1<19. 已知函数y＝kx+a的图象如图所示，则函数y＝a x+k的图象可能是（）A. B. C. D.10. 已知定义在(−1, 1)上的奇函数f (x)，其导函数为f′(x)＝l+cos x，如果f(1−a)+f(l−a2)<0，则实数a的取值范围为（）A.(0, 1)B.(1, √2)C.(−2, −√2)D.(1, √2)∪(−√2, −1)11. 如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90∘）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）A. B.C. D.12. 若函数f(x)＝(x 2−cx +5)e x 在区间[12, 4]上单调递增，则实数c 的取值范围是（ ） A.(−∞, 2] B.(−∞, 4] C.(−∞, 8] D.[−2, 4]二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13 已知函数f(x)＝x 2+f′(2)(ln x −x)，则f′(1)＝________．14 已知f(x)=x 2−1,g(x)={x −1,x >02−x,x <0 ，则f （g(x)）＝________．15 已知函数y ＝f(x 2−1)的定义域为[−√3, √3]，则函数y ＝f(x)的定义域是________．16 已知函数f(x)=ln (x +√x 2+1),g(x)=f(x)+2017，下列命题： ①f(x)的定义域为(−∞, +∞)； ②f(x)是奇函数；③f(x)在(−∞, +∞)上单调递增；④若实数a ，b 满足f(a)+f(b)＝0，则a +b ＝1；⑤设函数g(x)在[−2017, 2017]上的最大值为M ，最小值为N ，则M +N ＝2017． 其中真命题的序号是________．三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分）17 计算下列各式：（只写出结果） （1）(21027)−23=________（2）log 23⋅log 34⋅log 45⋅log 52＝________（3）lg 5(lg 8+lg 1000)+(lg 2√3)2+lg 16+lg 600=________（4）√7+√40+√7−√40=________（5）已知：lg x +lg y ＝2lg (2x −3y)，则log 32xy =________18 已知函数f(x)＝x 2+ax +3−a ，若x ∈[−2, 2]时，f(x)≥0恒成立，求a 的取值范围．19 已知函数f(x)＝x −2x +1−a ln x ，a >0，讨论f(x)的单调性．20 已知定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x ∈(0, 1)时，f(x)=2x4x +1． （1）求f(x)在[−1, 1]上的解析式；（2）证明：f(x)在(0, 1)上是减函数．21 定义在R 上的函数f(x)满足①对任意x ，y ∈R 有f(x +y)＝f(x)+f(y) ②当x >0时，f(x)<0，f(1)＝−2 （1）求f(0)值；（2）判断函数f(x)奇偶性；（3）判断函数f(x)的单调性；（4）解不等式f(x 2−2x)−f(x)≥−8．22已知函数f(x)=xln x +ax ，x >1．(Ⅰ)若f(x)在(1, +∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(Ⅰ)若a＝2，求函数f(x)的极小值；(Ⅰ)若方程(2x−m)ln x+x＝0在(1, e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年福建省厦门市双十中学高三（上）返校数学试卷（文科）（一）（7月份）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共69分） 1.【答案】 B【考点】复合函数的单调性 【解析】求出原函数的定义域，并求导函数，由导函数小于0求得x 的范围得答案． 【解答】函数f(x)=12x 2−ln x 的定义域为(0, +∞)，f′(x)＝x −1x =x 2−1x=(x+1)(x−1)x，由f′(x)<0，得x <−1或0<x <1， 又函数定义域为(0, +∞)，Ⅰ 函数f(x)=12x 2−ln x 的单调减区间为(0, 1]． 2.【答案】 C【考点】函数单调性的性质与判断 函数奇偶性的性质与判断【解析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断． 【解答】A 虽增却非奇非偶，B 、D 是偶函数，C 由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或y ′＝2x ln 2+2−x ln 2>0）， 3. 【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】利用特殊点的函数排除选项，利用变化趋势判断即可． 【解答】 函数y =2xln x ，当x ∈(0, 1)时，y <0，排除B 、C ；由指数函数的性质以及对数函数的性质，可知x →+∞时，函数y →+∞， 排除A ． 4.【答案】 B【考点】函数零点的判定定理 【解析】分别计算f(0)，f(1)，f(2)，f(e)，f(3)，f(4)，结合零点存在定理，即可得到所求区间． 【解答】函数f(x)＝ln (x +1)−1x 在(0, +∞)递增， 且f(0)不存在，f(1)＝ln 2−1<0，f(2)＝ln 3−12>0，f(e)＝ln (e +1)−1e >0， f(3)＝ln 4−13>0，f(4)＝ln 5−15>0， 由零点存在定理可得，函数f(x)＝ln (x +1)−1x 的零点所在的大致区间是(1, 2)．故选：B ． 5.【答案】 A【考点】分段函数的应用 【解析】利用分段函数通过f(x)＝2求出x 的值即可． 【解答】函数f(x)={2x ,x ≤0|log 2x|,x >0 ，当x ≤0时，2x ＝2，可得x ＝1（舍去）． 当x >0时，|log 2x|＝2，即log 2x ＝±2，解得x ＝4，或x =14．使f(x)＝2的x 的集合是{14,4}． 6.【答案】 D【考点】 函数的求值 【解析】 此题暂无解析【解答】解：Ⅰ 当x >12时，f(x +12)=f(x −12)， Ⅰ f(x)=f(x +1)．Ⅰ 当x >12，函数f(x)以T =1为周期，故f(6)=f(1). Ⅰ 当−1≤x ≤1时，f(−x)=−f(x)， Ⅰ f(1)=−f(−1).又Ⅰ 当x <0时，f(x)=x 3−1， Ⅰ f(−1)=−2，Ⅰ f(6)=f(1)=−f(−1)=2． 故选D ． 7.【答案】 A【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】令t =1−x1+x ，则x =1−t1+t 且t ≠−1，代入即可求解． 【解答】令t =1−x1+x ，则x =1−t1+t 且t ≠−1， Ⅰ f(1−x 1+x )＝1+x ， 则f(t)＝1+1−t1+t =21+t ， Ⅰ f(x)=21+x．8. 【答案】A【考点】对数函数的图象与性质 【解析】利用对数函数和函数图象平移的方法列出关于a ，b 的不等关系是解决本题的关键．利用好图形中的标注的(0, −1)点．利用复合函数思想进行单调性的判断，进而判断出底数与1的大小关系． 【解答】Ⅰ 函数f(x)＝log a (2x +b −1)是增函数， 令t ＝2x +b −1，必有t ＝2x +b −1>0， t ＝2x +b −1为增函数． Ⅰ a >1，Ⅰ 0<1a<1，Ⅰ 当x ＝0时，f(0)＝log a b <0，Ⅰ 0<b <1．又Ⅰ f(0)＝log a b >−1＝log a 1a ，Ⅰ b >1a ，Ⅰ 0<a −1<b <1． 9. 【答案】 B【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】利用函数的图象判断k ，a 的范围，然后判断函数的图象即可． 【解答】由题意可知−1<k <0，a ∈(0, 1)， 所以函数y ＝a x+k 是减函数，排除A 、C ； x ＝0时，y ＝a k >1， 10.【答案】 B【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】由导数判断f(x)在(−1, 1)递增，再由f(−x)＝−f(x)，不等式f(1−a)+f(l −a 2)<0化为{−1<1−a <1−1<a 2−1<11−a <a 2−1，求解不等式组得答案． 【解答】f(x)的导函数为f′(x)＝l +cos x ，则f′(x)>0在(−1, 1)恒成立，即有f(x)在(−1, 1)递增， 又f(x)为奇函数，即有f(−x)＝−f(x)，则f(1−a)+f(l −a 2)<0即为f(1−a)<−f(l −a 2)＝f(a 2−1)， 即{−1<1−a <1−1<a 2−1<11−a <a 2−1 ，即有{0<a <2−√2<a <√2a ≠0a >1a <−2 ，解得，1<a <√2． 11.【答案】 D【考点】函数的图象变换 【解析】由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项【解答】解：观察可知阴影部分的面积S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”， 对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知只有选项D 符合要求. 故选D ． 12.【答案】 B【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】若函数f(x)＝(x 2−cx +5)e x 在区间[12, 4]上单调递增，则f′(x)＝[x 2+(2−c)x +(5−c)]e x ≥0在区间[12, 4]上恒成立，即c ≤x 2+2x+5x+1在区间[12, 4]上恒成立，令g(x)=x 2+2x+5x+1，利用导数法求出函数的最小值，可得答案． 【解答】若函数f(x)＝(x 2−cx +5)e x 在区间[12, 4]上单调递增，则f′(x)＝[x 2+(2−c)x +(5−c)]e x ≥0在区间[12, 4]上恒成立， 即x 2+(2−c)x +(5−c)≥0在区间[12, 4]上恒成立， 即c ≤x 2+2x+5x+1在区间[12, 4]上恒成立，令g(x)=x 2+2x+5x+1，则g′(x)=x 2+2x−3(x+1)2，令g′(x)＝0，则x ＝1，或−3，当x ∈[12, 1)时，g′(x)<0，g(x)为减函数；当x ∈(1, 4]时，g′(x)>0，g(x)为增函数； 故当x ＝1时，g(x)取最小值4， 故c ∈(−∞, 4]，二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13【答案】 2【考点】 导数的运算 【解析】求函数的导数即可得到结论． 【解答】函数的导数为f′(x)＝2x +f′(2)(1x −1)， 令x ＝2，则f′(2)＝4+f′(2)(12−1)， 解得f′(2)=83，则f′(x)＝2x +83(1x−1)，则f′(1)＝2， 故答案为：2 14【答案】 {x 2−2x,x >0x 2−4x +3,x <0【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】x >0时，f(g(x)＝f(x −1)，当x <0时，f(g(x)＝f(2−x)＝(2−x)2−1，代入即可求解． 【解答】Ⅰ f(x)=x 2−1,g(x)={x −1,x >02−x,x <0，当x >0时，f(g(x)＝f(x −1)＝(x −1)2+1＝x 2−2x ， 当x <0时，f(g(x)＝f(2−x)＝(2−x)2−1＝x 2−4x +3 15【答案】 [−1, 2] 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可． 【解答】Ⅰ 函数y ＝f(x 2−1)的定义域为[−√3, √3]， Ⅰ −√3≤x ≤√3， 即0≤x 2≤3， −1≤x 2−1≤2，即函数y ＝f(x)的定义域为[−1, 2]， 16【答案】 ①②③ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由对数的真数大于0，解不等式可判断①；由奇偶性的定义可判断②；考虑x ≥0时的单调性可判断③；由f(x)的奇偶性和单调性，可判断④；由奇函数的性质计算可判断⑤． 【解答】f(x)＝ln (x +√1+x 2)，由x +√1+x 2>0，当x ≥0，不等式显然成立；当x <0时，√1+x 2>−x ，两边平方可得1+x 2>x 2成立， 则f(x)的定义域为(−∞, +∞)，故①正确；由f(−x)+f(x)＝ln (−x +√1+x 2)+ln (x +√1+x 2)＝ln (1+x 2−x 2)＝ln 1＝0， 可得f(−x)＝−f(x)，即f(x)为奇函数，故②正确；当x ≥0时，由y ＝x +√1+x 2递增，可得f(x)在[0, +∞)递增， 即有f(x)在(−∞, +∞)递增，故③正确；若实数a ，b 满足f(a)+f(b)＝0，即有f(a)＝−f(b)＝f(−b)， 由f(x)在(−∞, +∞)递增，可得a ＝−b ，即a +b ＝0，故④错误；g(x)＝f(x)+2017，可得f(x)＝g(x)−2017，可得f(−x)+f(x)＝g(−x)+g(x)−4034＝0，可得g(−x)+g(x)＝4034，则M+N＝4034，故⑤错误．三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分）17【答案】916152√52【考点】对数的运算性质【解析】（1）化带分数为假分数，化负指数为正指数，再由有理指数幂的运算性质求值；（2）利用对数的换底公式求解；（3）直接利用对数的运算性质化简求值；（4）把根式开方化简求值；（5）根据对数的运算法则和其定义域即可求xy ，进而求得log32xy．【解答】(21027)−23=[(43)3]−23=(34)2=916；log23⋅log34⋅log45⋅log52=lg3lg2⋅21g2lg3⋅lg521g2⋅lg2lg5=1；lg5(lg8+lg1000)+(lg2√3)2+lg 16+lg600＝lg5(3lg2+3)+3lg22−lg6+lg6+2＝3lg2⋅lg5+3lg5+3lg22+2＝3lg2(lg5+lg2)+3lg5+2＝3(lg2+lg5)+2＝5；√7+√40+√7−√40=√7+2√10+√7−2√10 =√5+√2+√5−√2=2√5；Ⅰ lg x+lg y＝2lg(2x−3y)，Ⅰ {x>0y>02x−3y>0xy=(2x−3y)2，解得xy=94或xy=1（舍去）．Ⅰ log32xy=log3294=2．故答案为：916，1，5，2√5，2．18【答案】要使f(x)≥0恒成立，则函数在区间[−2, 2]上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a)．①当−a2<−2，即a>4时，g(a)＝f(−2)＝7−3a≥0，得a≤73，故此时a不存在；②当−a2∈[−2, 2]，即−4≤a≤4时，g(a)＝f(−a2)＝3−a−a24≥0，得−6≤a≤2，又−4≤a≤4，故−4≤a≤2；③当−a2>2，即a<−4时，g(a)＝f(2)＝7+a≥0，得a≥−7，又a<−4，故−7≤a<−4，综上得−7≤a≤2．【考点】二次函数的性质二次函数的图象函数恒成立问题【解析】利用二次函数的在闭区间上的最值，通过对称轴是否在区间内，函数的最小值非负，求解即可．【解答】要使f(x)≥0恒成立，则函数在区间[−2, 2]上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a)．①当−a2<−2，即a>4时，g(a)＝f(−2)＝7−3a≥0，得a≤73，故此时a不存在；②当−a2∈[−2, 2]，即−4≤a≤4时，g(a)＝f(−a2)＝3−a−a24≥0，得−6≤a≤2，又−4≤a≤4，故−4≤a≤2；③当−a2>2，即a<−4时，g(a)＝f(2)＝7+a≥0，得a≥−7，又a<−4，故−7≤a<−4，综上得−7≤a≤2．19【答案】Ⅰ 函数f(x)＝x−2x+1−a ln x，a>0，Ⅰ f′(x)＝1+2x2−ax，x>0，令t=1x>0y＝2t2−at+1(t≠0)①△＝a2−8≤0，即：0<a≤2√2，y≥0恒成立，此时函数f(x)在(0, +∞)上是增函数②△＝a2−8>0，即：a>2√2，y＝0有两个不等根由2t2−at+1>0，得t<a−√a2−84或t>a+√a2−84，又x>0Ⅰ 0<x<a−√a2−82或x>a+√a2−82由2t2−at+1<0，得a−√a2−84<t<a+√a2−84，Ⅰ a−√a2−82<x<a+√a2−82综上：①0<a≤2√2，函数f(x)在(0, +∞)上是增函数②a >2√2函数f(x)(0, a−√a 2−82)，(a+√a 2−82, +∞)上是增函数，在(a−√a 2−82, a+√a 2−82)上是减函数．【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】求出函数的导数，对参数的取值范围进行讨论，即可确定函数的单调性． 【解答】Ⅰ 函数f(x)＝x −2x +1−a ln x ，a >0， Ⅰ f′(x)＝1+2x 2−a x ，x >0， 令t =1x >0y ＝2t 2−at +1(t ≠0)①△＝a 2−8≤0，即：0<a ≤2√2，y ≥0恒成立，此时函数f(x)在(0, +∞)上是增函数 ②△＝a 2−8>0，即：a >2√2，y ＝0有两个不等根 由2t 2−at +1>0，得t <a−√a 2−84或t >a+√a 2−84，又x >0Ⅰ 0<x <a−√a 2−82或x >a+√a 2−82由2t 2−at +1<0，得 a−√a 2−84<t <a+√a 2−84，Ⅰa−√a 2−82<x <a+√a 2−82综上：①0<a ≤2√2，函数f(x)在(0, +∞)上是增函数②a >2√2函数f(x)(0, a−√a 2−82)，(a+√a 2−82, +∞)上是增函数，在(a−√a 2−82, a+√a 2−82)上是减函数．20【答案】解当x ∈(−1, 0)时，−x ∈(0, 1)．Ⅰ f(x)是奇函数，Ⅰ f(x)＝−f(−x)=−2−x4−x +1=−2x4x +1 由f(0)＝f(−0)＝−f(0)，且f(1)＝−f(−1)＝−f(−1+2)＝−f(1)，得f(0)＝f(1)＝f(−1)＝0．Ⅰ 在区间[−1, 1]上，有f(x)={2x 4x +1x ∈(0,1)−2x4x +1x ∈(−1,0)0x ∈{−1,0,1}证明当x ∈(0, 1)时，f(x)=2x4+1，设0<x 1<x 2<1， 则f(x 1)−f(x 2)=2x 14x 1+1−2x 24x 2+1=(2x 2−2x 1)(2x 1+x 2−1)(4x 1+1)(4x 2+1)Ⅰ 0<x 1<x 2<1，Ⅰ 2x 2−2x 10，2x 2+x 1−1>0，Ⅰ f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)， 故f(x)在(0, 1)上单调递减． 【考点】函数单调性的性质与判断 函数奇偶性的性质与判断 函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）定义在R 上的奇函数f(x)，可得f(0)＝0，及x ∈(−1, 0)时f(x)的解析式，x ＝−1和1时，同时结合奇偶性和单调性求解．（2）证明单调性可用定义或导数解决． 【解答】解当x ∈(−1, 0)时，−x ∈(0, 1)． Ⅰ f(x)是奇函数，Ⅰ f(x)＝−f(−x)=−2−x 4−x +1=−2x4x +1由f(0)＝f(−0)＝−f(0)，且f(1)＝−f(−1)＝−f(−1+2)＝−f(1)，得f(0)＝f(1)＝f(−1)＝0．Ⅰ 在区间[−1, 1]上，有f(x)={2x 4x +1x ∈(0,1)−2x4x +1x ∈(−1,0)0x ∈{−1,0,1}证明当x ∈(0, 1)时，f(x)=2x4x +1，设0<x 1<x 2<1， 则f(x 1)−f(x 2)=2x 14x 1+1−2x 24x 2+1=(2x 2−2x 1)(2x 1+x 2−1)(4x 1+1)(4x 2+1)Ⅰ 0<x 1<x 2<1，Ⅰ 2x 2−2x 10，2x 2+x 1−1>0，Ⅰ f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)， 故f(x)在(0, 1)上单调递减．21【答案】取x ＝y ＝0，可得f(0)＝0，取y ＝−x ，可得f(x)+f(−x)＝f(0)＝0， 所以f(−x)＝−f(x)，f(x)是奇函数任取x 1<x 2， 则 x 2−x 1>0Ⅰ f(x 2)−f(x 1)＝f(x 2)+f(−x 1)＝f(x 2−x 1) 又Ⅰ 当x >0时，f(x)<0， f(x 2)−f(x 1)<0， 可得 f(x 1)>f(x 2)， 所以f(x) 在R 上是减函数Ⅰ f(1)＝−2Ⅰ f(2)＝f(1)+f(1)＝−4， f(4)＝f(2)+f(2)＝−8Ⅰ 不等式f(x 2−2x)−f(x)≥−8 可化为f(x 2−2x)−f(x)≥f(4) 即f(x 2−2x)≥f(x)+f(4) 即x 2−2x ≤x +4 即x 2−3x −4≤0 解得−1≤x ≤4故不等式f(x 2−2x)−f(x)≥−8的解集为[−1, 4] 【考点】奇偶性与单调性的综合 抽象函数及其应用【解析】（1）根据已知等式，采用赋值法，取x＝y＝0，可得f(0)的值（2）结合（1）中结论，继续采用赋值法，取y＝−x，结合函数奇偶性的定义，可得f(x)是奇函数；（3）根据函数单调性的定义，任取x1<x2，将f(x2)与f(x1)作差得到负数，从而f(x1)>f(x2)，得到f(x)在R上是减函数；（4）根据函数在R上是奇函数且为减函数，将原不等式转化为x2−3x−4≤0，再根据二次不等式的解法，得到答案．【解答】取x＝y＝0，可得f(0)＝0，取y＝−x，可得f(x)+f(−x)＝f(0)＝0，所以f(−x)＝−f(x)，f(x)是奇函数任取x1<x2，则x2−x1>0Ⅰ f(x2)−f(x1)＝f(x2)+f(−x1)＝f(x2−x1)又Ⅰ 当x>0时，f(x)<0，f(x2)−f(x1)<0，可得f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上是减函数Ⅰ f(1)＝−2Ⅰ f(2)＝f(1)+f(1)＝−4，f(4)＝f(2)+f(2)＝−8Ⅰ 不等式f(x2−2x)−f(x)≥−8可化为f(x2−2x)−f(x)≥f(4)即f(x2−2x)≥f(x)+f(4)即x2−2x≤x+4即x2−3x−4≤0解得−1≤x≤4故不等式f(x2−2x)−f(x)≥−8的解集为[−1, 4]22【答案】（本小题满分1（1）函数f(x)=xln x+ax，x>1．f′(x)=ln x−1ln2x+a，由题意可得f′(x)≤0在x∈(1, +∞)上恒成立；---Ⅰ a≤1ln2x −1ln x=(1ln x−12)2−14，----------------------Ⅰ x∈(1, +∞)，Ⅰ ln x∈(0, +∞)，----------------------Ⅰ 1ln x −12=0时函数t=(1ln x−12)2−14的最小值为−14，Ⅰ a≤−14−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（2）当a＝2时，f(x)=xln x +2xf′(x)=ln x−1+2ln2xln2x−−−−−−−−−−−−−−−−−−令f′(x)＝0得2ln2x+ln x−1＝0，解得ln x=12或ln x＝−1（舍），即x=e12−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−当1<x<e12时，f′(x)<0，当x>e12时，f′(x)>0Ⅰ f(x)的极小值为f(e12)=e1212+2e12=4e12−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(Ⅰ)将方程(2x−m)ln x+x＝0两边同除ln x得(2x−m)+xln x=0整理得xln x+2x=m−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−即函数f(x)与函数y＝m在(1, e]上有两个不同的交点；----------------------由(Ⅰ)可知，f(x)在(1,e12)上单调递减，在(e12,e]上单调递增f(e12)=4e12,f(e)=3e，当x→1时，xln x→+∞，Ⅰ 4e12<m≤3e，实数m的取值范围为(4e12,3e]−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过f′(x)≤0在x∈(1, +∞)上恒成立，得到a的不等式，利用二次函数的求出最小值，得到a的范围．(Ⅰ)利用a＝2，化简函数的解析式，求出函数的导数，然后求解函数的极值．(Ⅰ)化简方程(2x−m)ln x+x＝0，得xln x+2x=m，利用函数f(x)与函数y＝m在(1, e]上有两个不同的交点，结合由(Ⅰ)可知，f(x)的单调性，推出实数m的取值范围．【解答】（本小题满分1（1）函数f(x)=xln x+ax，x>1．f′(x)=ln x−1ln2x+a，由题意可得f′(x)≤0在x∈(1, +∞)上恒成立；---Ⅰ a≤1ln2x−1ln x=(1ln x−12)2−14，----------------------Ⅰ x∈(1, +∞)，Ⅰ ln x∈(0, +∞)，----------------------Ⅰ 1ln x−12=0时函数t=(1ln x−12)2−14的最小值为−14，Ⅰ a≤−14−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（2）当a＝2时，f(x)=xln x+2xf′(x)=ln x−1+2ln2xln2x−−−−−−−−−−−−−−−−−−令f′(x)＝0得2ln2x+ln x−1＝0，解得ln x=12或ln x＝−1（舍），即x=e12−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−当1<x<e 12时，f′(x)<0，当x>e12时，f′(x)>0Ⅰ f(x)的极小值为f(e 12)=e1212+2e12=4e12−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(Ⅰ)将方程(2x−m)ln x+x＝0两边同除ln x得(2x−m)+xln x=0整理得xln x+2x=m−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−即函数f(x)与函数y＝m在(1, e]上有两个不同的交点；----------------------由(Ⅰ)可知，f(x)在(1,e 12)上单调递减，在(e12,e]上单调递增f(e12)=4e12,f(e)=3e，当x→1时，xln x→+∞，Ⅰ 4e 12<m≤3e，实数m的取值范围为(4e 12,3e]−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−。
2020高三(下)厦门6月质检数学试卷(文科)
（1）证明： CF∥平面PAE ；
（2）已知∠PBC = 90 ，AB = PB = 2, AP = 2 ，求三棱锥 F − PAE 的体积．
D EC
A
B
F
P
第18 题图
第4页,共8页
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19．（本小题满分 12 分）2020 年是打赢蓝天保卫战三年行动计划的决胜之年．近年来，在各地各部门共同努力下， 蓝天保卫战各项任务措施稳步推进，取得了积极成效，某学生随机收集了甲城市近两年上半年中各 50 天的空气质量 指数 ( AQI ) ，得到频数分布表如下：
博物院内的太和殿上方即有藻井（图1），全称为龙凤角蝉云龙随瓣枋套方八角浑金蟠龙藻井．它展示出精美的装饰
空间和造型艺术，是我国古代丰富文化的体现．从分层构造上来看，太和殿藻井由三层组成：最下层为方井，中为
八角井，上为圆井．图 2 是由图1抽象出的平面图形．若在图 2 中随机取一点，则此点取自圆内的概率为（ ）
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厦门市 2020 届高中毕业班 6 月质量检查 数 学（文）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知集合 A = 1, 2,3 ， B = x x 2 ，则 A RB =（ ）
A．1
B．1, 2
）
A． 3
B． 2
C． 5
D． 6
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边过点 (−1,2) ，则 cos 2 =
.
14．某地区中小微企业中，员工人数 50 人以下的企业占总数的 65 %，员工人数 50 ~ 100 人的企业占总数的15 %，
2020届高三数学第一次质量检测(一模)试题文
2020届高三数学第一次质量检测（一模）试题文本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4．参考公式：，其中.第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请在答题卷的相应区域答题.）1. 已知复数满足,则A.5B.3C.D.2. 设U ＝R ，A ＝，B＝，则＝A．B．C．D．3.三个数，，的大小关系是A. ＜＜B. ＜＜C. ＜＜D. ＜＜4. 斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13…作为正方形的边长拼成长方形后画出来的螺旋曲线(由圆弧拼接而成)。
斐波那契螺旋线在自然界中很常见，比如海螺的外壳、花瓣、向日葵、台风、水中的漩涡、星系等所呈现的都是斐波那契螺旋。
右图所示“黄金螺旋”的长度为A.B.C.D.5. 函数在区间的图象大致是A. B.C. D.6. 下图为2014-2018年国内生产总值及其增长速度柱形图（柱形图中间数据为年增长率），则以下结论不正确的是A. 2014年以来，我国国内生产总值逐步在增长。
B. 2014年以来，我国国内生产总值年增长率总体平稳。
福建省厦门市2020届高中数学毕业班3月质量检查考试试题
福建省厦门市2020届高中数学毕业班3月质量检查考试试题一、选择题（50分）1．设复数z 满足（1＋i ）＝2（i 为虚数单位），则z ＝A.1一iB.1＋i C ．一1一i D.一1＋i2.某程序框图如图所示，则输出的S 的值为A.11B. 19C. 26D. 573．设集合A ＝｛x ｜x ＜a ｝，B ＝｛x ｜x ＜3｝，则“a ＜3”是“A ⊆C B ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，函数f(x)＝()sin(2)(0,||)2f x A x A πϕϕ=+><的图象过点(0，3），则 f(x)的图象的一个对称中心是A 、（－3π，0）B 、（－6π，0）C 、（6π，0）D 、（4π，0） 5．高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：［70，90），［90，110），［110，130），［130，150］．估计该班级数学成绩的平均分等于A. 112 B ．114 C ．116 D.1206.长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2AD ，G 为CC 1中点，则直线A 1C 1与BG 所成角的大小是A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°7、数列{n a ｝满足11111,1(*)211n n a n N a a +==-∈--学科网，则10a ＝ A.910 B. 109 C, 1011 D. 1110 8.如图，正六边形ABCDEF 中，AB ＝2，则()()BC BA AF BC -+u u u r u u u r u u u r u u u r g ＝A. -6B. －3 3 D. 69.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f （x －2）＝f （x ＋2），当0＜x ＜2时,f(x)＝1一log 2(x ＋1），则当0 <x <4时，不等式（x 一2）f （x ）＞0的解集是A. (0，1）U (2,3）B. (0，1）U （3,4）C.（1,2）U （3,4） D （1,2）U （2，3）10.已知函数f (x)＝321(23)()3x mx m x m R +++∈存在两个极值点12,x x ，直线l 经过 点211(,)A x x ，222(,)B x x ，记圆221(1)5x y ++=上的点到直线l 的最短距离为g （m ）， g （m ）的取值范围是A. [0,2]B. [0,3]C. [0，55 D 、[0，355）第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11、62()x x -的展开式中的常数项是 （用数字作答）． 12.设变量,x y 满足约束条件260240x y y x +-≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩学科网，则y x的最小值为＿＿＿ 13.等比数列{n a ｝的前n 项和为Sn ，已知S 3二a 1十3a 2，则公比q ＝＿＿＿．14.利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a 和b ，在a ＋b 为偶数的条件下｜a －b ｜＞2发生的概率是＿．15.如图，在平面直角坐标系xoy 中，将直线2x y =与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋 转一周得到一个圆锥，圆锥的体积据此类比：将曲线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V ＝＿＿＿三、解答题：本大题共6小题：共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）在2020赛季CB A 常规赛中，某篮球运动员在最近5场比赛中的投篮次数及投中次 数如下表所示：（I)分别求该运动员在这5场比赛中2分球的平均命中率和3分球的平均命中率； （II ）视这5场比赛中2分球和3分球的平均命中率为相应的概率，假设该运动员在 第6场比赛终场前一分钟分别获得1次2分球和1次3分球的投篮机会，求该运动 员在最后一分钟内得分ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xoy 中，点P （x ，y ）满足a ·b =3，其中向量a ＝（2x +3，y ），b ＝（2x －3，y ）．（I ）求点P 的轨迹方程；（II ）过点F （0,1）的直线l 交点P 的轨迹于A ，B 两点，若｜AB ｜＝165，求直线l 的方程．18．（本小题满分13分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝2π，AC=3，BC ＝2，P 是△ABC 内的一点． （I)若P 是等腰直角三角形PBC 的直角顶点，求PA 的长；（II ）若∠BPC ＝23π，设∠PCB ＝θ，求△PB C 的面积S （θ）的解析式，并求S(θ)的最大值·19．（本小题满分13分）已知等边三角形PAB 的边长为2，四边形ABCD 为矩形，AD =4,平面PAB ⊥平面ABCD, E ，F ，G 分别是线段AB ，CD ，OD 上的点·（I ）如图（（1），若G 为线段PD 的中点，BE ＝DF ＝23，证明：PB ∥平面EFG; （II ）如图(2），若E, F 分别为线段AB ，CD 的中点，DG = 2 GP ，试问：矩形ABCD 内（包括边界）能否找到点H ，使之同时满足下列两个条件，并说明理由．（i ）点H 到点F 的距离与点H 到直线AB 的距离之差大于4；（ii ）GH ⊥PD ．20．（本小题满分14分）已知函数2411()(,())222x f x f x m =+在处的切线方程为8x －9y ＋t ＝0.（,m N t R ∈∈) （I ）求m 和t 的值； （II ）若关于x 的不等式f(x) 89ax ≤+在［1,2+∞）恒成立，求实数a 的取值范围，21．本题有（1）、（2）、（3)三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂 黑，并将所选题号填人括号中．(1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M ＝11a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 的一个属于特征值3的特征向量11α⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，正方形区域OABC 在矩阵N 对应的变换作用下得到矩形区域OA'B'C’，如图所示．（I ）求矩阵M;（II ）求矩阵N 及矩阵（MN ）－1．(2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xoy 中，圆C 1的参数方程为22cos (y=2sin ϕϕϕ⎧⎨⎩x=＋为参数），以坐标原点为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4sin9.（I ）写出圆C 1的普通方程及圆C 2的直角坐标方程；（II)圆C 1与圆C 2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．(3）（本小题满分7分）选修4一5：不等式选讲已知函数f(x)＝｜x 一m ｜，关于x 的不等式f(x) ≤3的解集为［一1,5］． （I ）求实数m 的值；（B ）已知a ，b ，c ∈R ，且a －2b ＋2c ＝m ，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．。
福建省厦门市双十中学2020届高三(下)文科数学第一次月考试卷
福建省厦门市双十中学2020届高三（下）文科数学第一次月考试卷数学试题考试时间：2020年3月7日 用时：120分钟 分值：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}1,2,3,4U =，若{}1,3A =，{}3B =，则()()U U C A C B 等于（ ） A. {}1,2B. {}1,4C. {}2,3D. {}2,42. “0a >”是“函数()3f x x ax =+在区间()0,+∞上是增函数”的（ ） A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24a =，42a =，则5S 等于（ ） A. 0B. 10C. 15D. 304. 已知tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin 2cos απα+-的值为（ ）A. 610B. 610+C.510-D.510+ 5. 已知函数()22xxa f x a -=+是奇函数，则()f a 的值等于（ ） A. 13- B. 3 C. 13-或3D.13或3 6. 在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A.23B.34C.25D.137. 如图，在ABC △中，14AN NC =，P 是直线BN 上的一点，若25AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ）A. -4B. -1C. 1D. 48. 秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，每次输入a 的值均为4，输出s 的值为484，则输入正整数n 的值为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 39. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起到'ACD △的位置，当以A ，B ，C ，'D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线'BD 和平面ABC 所成角的大小为（ ） A. 90︒ B. 60︒ C. 45︒D. 30︒10. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，tan sin 2A BC +=，若2c =，则ABC △的周长的取值范围是（ ）A. (2, B. (4⎤⎦ C. (4,2+D. (2⎤+⎦11. 已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,x e ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A. ,11e e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦ B. ,11e e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C. ,11e e⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D. [)1,e -12. 已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO +的最小值为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知复数z 满足4312iiz i+=+，则复数z 在复平面内对应的点在第_________象限. 14. 若14x π=，234x π=是函数()()sin 0f x x ωω=>两个相邻的极值点，则ω等于______.15. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 作其渐近线的垂线，垂足为M ，交双曲线C 右支于点P ，若22F P PM =，且12120F PF ∠=︒，则双曲线C 的离心率为______.16. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足()()3f x f x -=，()13f -=，数列{}n a 满足11a =且()()*1n n n a n a a n N +=-∈，则()()20192020f a f a +=______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克25元，成本为每千克15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每千克10元处理完.根据以往的销售情况，按[)0,100，[)100,200，[)200,300，[)300,400，[]400,500进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x （同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了250千克该种蔬果，假设当天的需求量为x 千克（0500x ≤≤），利润为y 元.求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率.18. 已知()2cos ,2sin a x x =，sin ,cos 66b x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数()cos ,f x a b =. （1）求函数()f x 的零点；（2）若锐角ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()1f A =，求b ca+的取值范围. 19. 如图，在多面体ABCDEF 中，AD ，BE ，CF 均垂直于平面ABC ，AC BC =，2AD =，4BE =，3CF =.（1）过CF 的平面α与平面ABED 垂直，请在图中作出α截此多面体所得的截面，并说明理由；（2）若120ACB ∠=︒，AB =ABCDEF 的体积. 20. 已知函数()()2x f x e ax x a =++. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()221x f x e ax x ≤++恒成立，求实数a 的取值范围.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：2214x y +=，椭圆2C ：()222210x y a b a b +=>>，2C 与1C ，离心率相同.（1）求椭圆2C 的标准方程； （2）设点P 为椭圆2C 上一点.①射线PO 与椭圆1C 依次交于点A ，B ，求证：PA PB为定值；②过点P 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，且直线1l ，2l 与椭圆1C 均有且只有一个公共点，求证：12k k ⋅为定值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=-.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程，并求出曲线C 上到直线l 的距离最大的点P 的坐标；（2）求曲线C 的极坐标方程，并设A ，B 为曲线C 上的两个动点，且0OA OB ⋅=，求2AB 的取值范围.23. [选修4—5：不等式选讲] 已知函数()2f x x a =+.（1）当1a =时，解不等式()5f x x ≥+；（2）若0a >，0b >，()()2g x f x x b =+-的最小值为1，证明：33184a b +≥.。
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A． 2B． 2 3 3C．1D． 6 3
11．若关于 x 的不等式 eax x3 在区间 e, e2 内有解，则实数 a 的取值范围是
A．
2
3 e
,+
B．
1 e
,
+
C．
6 e2
，+
D
D．
3 e
，+
12．已知△ABC 是边长为 2 3 的正三角形， EF 为该三角形内切圆的一条弦，且 EF = 3 .若点 P 在△ABC 的
y
1，
则 z = x − y 的最大值为
x + y − 2 0，
A． − 2
B． 0
C．1
6．已知 为第三象限角， cos − sin = − 10 ，则 cos 2 = 5
A． − 4 5
B． − 3 5
C． 3 5
7．我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称
为刍童．现有一个长、宽、高分别为 5、3、3 的长方体，将上
15．已知倾斜角为
4
的直线 l
经过椭圆
E
的左焦点，以
E
的长轴为直径的圆与
l
交于
A
，
B
两点，若弦长
AB
等
于 E 的焦距，椭圆 E 的离心率为
．
16．如图，某景区有景点 A，B，C，D．经测量得，BC=6km， ABC = 120 ，
sin BAC = 21 ， ACD = 60 ， CD AC ，则 AD = 14
三边上运动，则 PE PF 的最大值为
A． 5 2
B． 11 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
C． 13 2
D． 17 2
13．已知向量 a =（2，1）， b =（x,4），若 a ⊥ b ，则 x 的值为______．
14．若曲线 y = ax2 + 3 在点 (1, a + 3) 处的切线与直线 x + y + 3 = 0 平行，则 a 的值为_______． x
男
喜欢
40
不喜欢 10
总计
50
女
总计
30
70
20
30
50
100
D． {0,1,2,3} D．1− i
D． y = 3x
已知 K 2 =
n(ad − bc)2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
附表：
P(K 2 k0 ) 0．050 0．010 0．001
k0
3．841 6．635 10．828
A． π 12
B． π 6
C． π 4
D． π 3
9．函数 f (x) = ex − ln | x | 的部分图象大致为 x
A
B
C
10．如图，边长为 2 的正方形 ABCD中， E , F 分别是 AB , BC
的中点，将△AED,△DCF 分别沿 DE , DF 折起，使 A , C
两点重合于点 A1 ,则线段 A1B 的长为
20.（12 分）
某批库存零件在外包装上标有从1到 N 的连续自然数序号，总数 N 未知，工作人员随机抽取了 n 个零件，它们 的序号从小到大依次为： x1 ， x2 ，... ， xn ．现有两种方法对零件总数 N 进行估计.
方法一：用样本的数字特征估计总体的数字特征，可以认为样本零件序号的中位数与总体序号的中位数近似
B． {−1,2}
C． {−1,2,3}
2．设 z = 2 ，则 z 的共轭复数为 i −1
A． −1+ i
B． −1− i
C．1+ i
3．已知双曲线 E ： x2 − y2 = 1 的一个焦点是 (2,0) ，则 E 的渐近线方程为
k
A． y = 3 x 3
B． y = x
C． y = 2x
4．通过随机询问 100 名中学生是否喜欢某电视节目，得到如下列联表：
则以下结论正确的是
A．有 95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关” B．有 95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别无关” C．在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别有关” D．在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别无关”
x 2，
5．设
x
，
y
满足约束条件
厦门市 2020 届高中毕业班第一次质量检查 数学（文科）试题
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A = {−1，0，1,2,3}， B = {x | x(2x − 3) 0} ，则 A B =
A． {1}
底面绕着上、下底面中心连线（对称轴）旋转 90 度，得到一
个刍童（如图），则该刍童的外接球的表面积为
A． 43π 4
C． 43π
B． 25π 2
D． 50π
D． 2
D． 4 5
8．将函数 f (x) = sin 2x + 3 cos 2x 的图象向左平移( 0) 个单位，得到一个偶函数的图象，则 的最小值为
在数列 an 中， a2 =5 ，且1， an ， an+1 成等差数列． （1）求证：数列an −1是等比数列； （2）设an 前 n 项和为 S n .求使得 log 2 Sn 10 成立的 n 的最大值．
18.（12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知动圆 E 过点 F (0,1) ，且与直线 m ： y = −1相切．动圆圆心 E 的轨迹记为 C . （1）求轨迹 C 的方程； （2）过点 F 作斜率为 k(k 0) 的直线 l 交 C 于 A ， B 两点，使得 AB = 8 ，点 Q 在 m 上，且满足 QAQB = 1 , 求 △QAB 的面积.
19.（12 分）
如图，在四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，△PAD 为等边三角形，点 E ， F 分别为 PA ， CD 的中点． （1）求证： EF / / 平面 PBC ； （2）已知平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，过 E ， F ， C 三点的平面将 四棱锥 P − ABCD 分成两部分，求这两部分体积的比．
km .现计划从
景点 B 处起始建造一条栈道 BM，并在 M 处修建观景台.为获得最佳观景效果，要
求观景台对景点 A、D 的视角 AMD = 120 .为了节约修建成本，栈道 BM 长度
的最小值为
km ．（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必 须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．(12 分）