案例推理与证明

案例、推理与证明
一、案例：
1、把二进制数110011(2)化为八进制数.
2、已知一个五次多项式f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8，问
（1）当x=5，求多项式的值需用几次乘法，几次加法？
（2）用秦九韶算法求x=5时多项式的值需用几次乘法，几次加法？
（3）用秦九韶算法求x=5时多项式的值。
3、用直接插入法、冒泡法对数据7，5，3，9，1从小到大进行排序第二趟后结果分别是
。
4、分别用更相减损术辗转相除法求72，168的最大公约数。

5、用二分法设计一个求方程022x的近似根的算法中。
（1）需用上的算法结构有哪些？（2）写出[a,b],使两根分别落在[a,b]内。
二、合情推理
合情推理：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想、再进行归纳、类比，然后提出
猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。“合乎情理”的推理，它包括归纳推理与类比推
理。它的结论不一定正确。
归纳推理：这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些
特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称推理）。

部分→整体，个别→一般。
类比推理：这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类
对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。

特殊→特殊。
三、演绎推理
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法

则得到新结论的推理过程。一般→特殊。
演绎推理的一般模式是三段论。
三段论包括：大前提——已知的一般原理（M是P）
小前提——所研究的特殊情况（S是M）
结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。
四、直接证明与间接证明
用演绎推理对命题的证明可分为直接证明与间接证明。
直接证明有1、分析法；2、综合法；3、分析综合法
分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归
结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等）的一种方法。
综合法是利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推出
所要证明的结论成立的一种方法。
分析综合法：在解决问题时，常常将分析法和综合法结合使用：根据条件的结构特点去转化

结论，得到中间结论nQ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论nP；若由nP可
以推出nQ，就可以证明结论成立。
间接证明是指反证法：是假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，从而说明假
设错误，证明原命题成立的一种方法。
反证法证题的一般步骤：
（1）反设；（2）归谬；（3）结论。
反证法的理论依据是原命题与逆否命题同真假。
（一）选择题：

1．下列说法正确的是 （ ）
A．由合情推理得出的结论一定是正确的.B．合情推理必须有前提有结论.
C．合情推理不能猜想. D．合情推理得出的结论无法判定正误
2．下面说法正确的有 （ ）
（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；
（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；
（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；
（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)、B(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”：

‖AB‖=︱x1－x2︱+︱y1－y2︱。给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖2+‖CB‖2=‖AB‖2；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命题的个数为 （ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知全集U＝R，A、BU，如果命题p：3∈A∪B，则命题“非p”是 （ ）
A．非p：3A B．非p：3∈CUB
C．非p：3A∩B D．非p：3∈（CUA）∩（CUB）
5．yx＞1的一个充分不必要条件是 （ ）
A．x＞y B．x＞y＞0 C．x＜y D．y＜x＜0
6．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则
180AB
.

B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质.
C．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都
3 / 4

C3H
8
C2H

6
CH

4

H
HHHHHHHHHH
H
H

H
CC
CC
C

H

H
HHC

超过50人.
D．在数列na中，111111,22nnnaaana，由此归纳出na的通项公式.

7．下面几种推理是合情推理的是 （ ）
（1）由圆的性质类比出球的有关性质；
（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180，归纳出所有三角形的内
角和都是180；

（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
（4）三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得凸
多边形内角和是2180n
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4）
8．命题p：若a、b∈R，则|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分条件，命题q：函数y＝|x－1|－2
的定义域是(－∞，－1)∪[3，＋∞]，则 （ ）
A．p或q为假 B．p且q为真 C．p真q假 D．p假q真
9．已知命题p：|x－1|≥2，q：x∈z．若“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的
x为 （ ）
A．{x|x≥3或x≤－1，xz} B．{x|－1≤x≤3，xz}
C．{－1，0，1，2，3} D．{0，1，2}
10．已知条件p：a、b是方程x2＋cx＋d＝0的两不等实根，条件q：a＋b＋c＝0，则p是q
的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必条件
11．下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式．．．是（ ）

A．C4H9 B．C4H10 C．C4H11 D．C6H12

（二）、填空题：请把答案填在题中横线上。
12．由图（1）有面积关系：PABPABSPAPBSPAPB，则由图（2）有体积关系：PABCPABCVV＝ .

B
A P
B’

A’
图1

B
A P B’ A’
C
C’

图2
13．半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则
(r2)`＝2r ○1，
①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，
若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○1的式子： 。
②式可以用语言叙述为： 。
14．用半径相同的小球，堆在一起，成一个 “正三棱锥” 型，第一层 1 个 ，第二层 3 个，
则第三层有______个，第 n 层有_______个。（设 n > 1 ，小球不滚动）
15．下列命题中_________为真命题．
① “A∩B＝A”成立的必要条件是“AB”，②“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题，
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题，④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题。
16．观察下列算式：
1 + 3 = 4 = 2
2

1 + 3 + 5 = 9 = 3
2

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4
2

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5
2
能归纳出一般性结论是 。
（三）、解答题：
17．归纳猜想n边形内角和计算公式
18．

19、

20．当时，求证：ab0log()log()log()12122122121121abab。
21．已知p：|1－x－13|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且┐p是┐q的必要而不充分条件，
求实数m的取值范围．



的通项公式。）猜想项。的前写出数列令满足条件已知数列nnnnnnnbbNnnabaanana23)1

).(,6),1)(1()1(21


的值。）归纳出的值。及计算已知)(1211)1cos213322Nnxxxxxxxxnn


的取值范围。数为假，求实且为真，而命题或有两正实根，若命题：方程；命题的两实根都小于方程、设命题k
qpqpkxxqkxkxp""""0)13(220)21()12(:2222
