北京市七年级数学下学期期末20-2022)试题知识点分类汇编-06平行线的判定与性质(解答题基础题)

北京市七年级数学下学期期末三年（2020-2022）试题知识点分类汇编-06平行线的判定与性质（解答题基础题）1.（2022春•怀柔区校级期末）完成下面的证明：已知：如图，BE∥FG，∠1＝∠2，求证：DE∥BC．证明：∵BE∥FG，∴∠2＝①（②）．∵∠1＝∠2，∴③（④）．∴⑤（⑥）．2.（2022春•门头沟区期末）补全横线上的内容并在括号中填入适当的理由：如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4；求证：AD∥BC．证明：∵AB∥CD（已知），∴∠4＝∠BAE（）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（）．即∠BAE＝∠．∵∠3＝∠4（已知），∴∠3＝∠（）．∴AD∥BC（）．3.（2022春•西城区校级期末）推理填空：如图，直线AB，CD被直线EF所截，AD是∠CAB的角平分线，若∠3＝∠1，∠2＝50°，求∠4的度数．解：∵直线AB与直线EF相交，∴∠2＝∠CAB＝50°．（）∵AD是∠CAB的角平分线，∴∠1＝∠5＝∠CAB＝25°，（）∵∠3＝∠1，（已知）∴∠3＝25°，（等量代换）∴∠3＝∠5，（等量代换）∴CD∥AB，（）∴∠4＝，（两直线平行，同位角相等）4.（2022春•平谷区期末）完成下面的证明：已知，如图，∠C＝∠D，∠1＝∠4．求证：AC∥DF．证明：∵∠1＝∠4（已知），∠3＝∠4 （），∴∠1＝∠3 （）．∴DB∥CE（）．∴∠C＝∠DBA（）．又∵∠D＝∠C（已知），∴∠D＝∠DBA．∴AC∥DF（）．5.（2022春•东城区期末）完成证明并写出推理根据：已知：如图，∠1＝130°，∠ACB＝50°，∠2＝∠3．求证：HF∥DC．证明：∵∠1＝130°，∠ACB＝50°（已知），∴∠1+∠ACB＝180°．∴DE∥（）．∴∠2＝∠DCB（）．又∵∠2＝∠3，∴∠＝∠DCB．∴HF∥DC（）．6.（2022春•北京期末）已知：如图，BD⊥AC于点D，点E是线段BC上的任意一点（不与点B，C重合），过点E作EF⊥AC于点F，过点D作DG∥BC交AB于点G．（1）①请补全图形；②求证：BD∥EF；（2）用等式表示∠GDB与∠C的数量关系，并证明你的结论．7.（2022春•石景山区期末）如图，直线CE，BF被直线l1，l2所截，CE∥BF且∠1＝∠2．（1）求证：l1∥l2．（2）过点C作CA⊥l1于点A，以点B为顶点作∠ABD＝130°，BD交l2于点D，连接AD．①补全图形．②若DA平分∠BDC，求∠CAD的度数．8.（2022春•海淀区期末）如图，已知∠BAC＝90°，DE⊥AC于点H，∠ABD+∠CED＝180°．（1）求证：BD∥EC；（2）连接BE，若∠BDE＝30°，且∠DBE＝∠ABE+50°，求∠CEB的度数．9.（2022春•顺义区期末）完成下面的证明：已知：如图，∠1＝∠2．求证：∠3+∠4＝180°．证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠AEF（），∴∠2＝∠AEF（）．∴AB∥CD（）．∴∠3＝∠GHC（）．又∵∠GHC+∠4＝°（邻补角定义），∴∠3+∠4＝180°（等量代换）．10.（2022春•西城区期末）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠BCD＝∠A．点E，F分别在BC，AC边上，∠A+∠ADF＝90°，∠BCD+∠CDE＝90°，DF的延长线上一点G满足∠G＝∠CDE．（1）求证：CG∥AB；请将下面的证明过程补充完整：证明：∵∠A+∠ADF＝90°，∠BCD+∠CDE＝90°，∠BCD＝∠A，∴∠ADF＝∠．（理由：）∵∠G＝∠CDE，∴∠＝∠．（理由：）∴CG∥AB．（理由：）（2）图中与∠DCG相等的角是．11.（2022春•通州区期末）请在下列空格内填写结论或理由，完成推理过程．已知：如图，∠B＝∠BGD，∠BGC＝∠F．求证：∠B+∠F＝180°．证明：∠B＝∠BGD（已知），∴∥（）．∵∠BGC＝∠F（已知），∴CD∥EF（）．∴AB∥（）．∴∠B+∠F＝180°（）．12.（2022春•东城区校级期末）如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，求证：MD∥GF．下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据．证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（①）．∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴∠2＝∠CBD（②）．∵∠1＝∠2（已知）．∴∠1＝∠CBD（等量代换）．∴③（内错角相等，两直线平行）．∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），∴MD∥BC（④）．∴MD∥GF（⑤）．13.（2022春•丰台区期末）阅读下列材料：如图1．AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF，用等式表示∠AEP，∠EPF与∠CFP的数量关系．小刚透过观察，实验，提出猜想：∠EPF＝∠AEP+∠CFP．换着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是：过点P作PM∥AB，由AB∥CD可得PM∥CD，根据平行线的性质，可得∠1＝∠AEP，∠2＝∠CFP，从而证得∠EPF＝∠AEP+∠CFP．请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题．已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF．（1）如图2，若∠AEP＝45°，∠EPF＝80°，则∠PFD的度数为；（2）如图3，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，用等式表示∠EPF与∠EQF的数量关系，并证明；（3）如图4，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，直接用等式表示∠EPF与∠EQF的数量关系．14.（2022春•西城区校级期末）完成下面的证明．已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．求证：AB∥EF．证明：∵∠1+∠2＝180°，∴AB∥（）．∵∠3+∠4＝180°，∴∥．∴AB∥EF（）．15.（2022春•朝阳区校级期末）完成下面的证明．已知：如图，AC⊥BD，EF⊥BD，∠A＝∠1．求证：EF平分∠BED．证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，∴∠ACB＝90°，∠EFB＝90°．（）∴∠ACB＝∠EFB．∴．（）∴∠A＝∠2．（两直线平行，同位角相等）∠3＝∠1．（）又∵∠A＝∠1，∴∠2＝∠3．∴EF平分∠BED．16.（2022春•西城区校级期末）学着说点理：补全证明过程：如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠B＝40°，求∠BCD的度数．解：过点C作CG∥AB．∵AB∥EF，∴CG∥EF．（）∴∠GCD＝∠．（两直线平行，内错角相等）∵CD⊥EF，∴∠CDE＝90°．（）∴∠GCD＝．（等量代换）∵CG∥AB，∴∠B＝∠BCG．（）∵∠B＝40°，∴∠BCG＝40°．则∠BCD＝∠BCG+∠GCD＝．17.（2021春•海淀区校级期末）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD．（1）若BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠ABC的度数．（2）若∠1＝∠2，求证：AE∥FG．18.（2021春•石景山区期末）如图，∠1＝∠EAB，∠E+∠2＝180°．（1）判断EF与AC的位置关系，并证明；（2）若AC平分∠EAB，BF⊥EF于点F，∠EAB＝60°，求∠BCD的度数．19.（2021春•东城区校级期末）如图，直线AB，CD被直线BD，DF所截，AB∥CD，BF⊥BD，垂足为B，EG平分∠BED，∠CDE＝50°，∠F＝25°．（1）求证：EG∥BF；（2）求∠BDC的度数．20.（2021春•丰台区校级期末）如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．请将解题过程填写完整．解：∵EF∥AD（已知），∴∠2＝（），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠3（），∴AB∥（），∴∠BAC+＝180°（），∵∠BAC＝70°（已知），∴∠AGD＝．21.（2021春•丰台区校级期末）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠1+∠2＝180°，求证：∠BEC+∠B＝180°．22.（2021春•海淀区校级期末）已知：如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3，那么AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由．请完成下列证明并在下面的括号内填注依据．解：是，理由如下：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），∴∠4＝∠5＝90°（），∴AD∥EG（），∴∠1＝∠E（两直线平行，同位角相等）；∠2＝（）．∵∠E＝∠3（已知），∴∠1＝∠2（等量代换），∴AD平分∠BAC（）．23.（2021春•顺义区期末）已知：如图，AB∥CD，∠B+∠D＝180°．求证：BF∥ED．24.（2021春•西城区期末）如图，点C，D在直线AB上，∠ACE+∠BDF＝180°，EF∥AB．（1）求证：CE∥DF；（2）∠DFE的角平分线FG交AB于点G，过点F作FM⊥FG交CE的延长线于点M．若∠CMF＝55°，先补全图形，再求∠CDF的度数．25.（2021春•朝阳区期末）完成下面的证明已知：如图，AD⊥BC，DE∥AC，∠1＝∠2．求证：EF⊥BC．证明：∵DE∥AC，∴∠BED＝∠BAC（）．∵∠1＝∠2∴∠BED﹣∠1＝∠BAC﹣∠2．即∠3＝∠4．∴∥（）．∴∠EFD＝∠ADC．∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°（）．∴∠EFD＝90°∴EF⊥BC．26.（2021春•丰台区期末）课上教师呈现一个问题：如图，AB∥CD，点E是线段AB，CD所在直线外的一点，连接BE，DE，探究∠BED，∠ABE，∠CDE之间的数量关系．小凯画出了图1，图2，分析思路及结论如下：分析思路：要寻求三个角之间的数量关系，根据图中角的位置特征，可以借助平行线进行角的位置的转换．如图1，过点E作MN∥AB．（1）由MN∥AB可知∠BEN＝∠ABE；（2）由MN∥AB，AB∥CD得到MN∥CD，可知∠NED＝∠CDE；（3）由∠BED＝∠BEN+∠NED，得到结论：∠BED＝∠ABE+∠CDE如图2，类似图1的分析…得到结论：∠BED+∠ABE+∠CDE＝360°．小明认为小凯只考虑了点E在直线AB，CD之间的情况，点E的位置应该还有其他情况．根据以上材料，解答问题：画出一种点E不在直线AB，CD之间的图形，写出探究∠BED，∠ABE，∠CDE之间的数量关系的分析思路及结论．27.（2021春•西城区校级期末）根据题意结合图形填空：已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC与G，∠E＝∠3，试问：AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由．答：是，理由如下：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），∴∠4＝∠5＝90°（），∴AD∥EG（），∴∠1＝∠E（），∠2＝∠3（）．∵∠E＝∠3（已知），∴（等量代换）．∴AD是∠BAC的平分线（）．28.（2021春•西城区校级期末）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一个探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是3°/s，灯B转动的速度是1°/s，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）若灯B射线先转动20s，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒时，两灯的光束互相平行？（2）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若A射出的光束与B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．29.（2021春•海淀区校级期末）完成下面的证明．如图，三角形ABC，D是边BC延长线上一点，过点C作射线CE，∠1＝∠A．求证：∠A+∠B+∠ACB＝180°．证明：∵∠1＝∠A，∴∥（），∴∠2＝（）．∵∠ACB++＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．30.（2021春•昌平区校级期末）已知：如图，在三角形ABC中，点E、G分别在AB和AC上，EF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，连接DG．如果∠1＝∠2，请猜想AB与DG 的位置关系，并证明你的猜想．31.（2021春•昌平区校级期末）如图，在下列解答中，填写适当的理由或数学式：（1）∵∠ABD＝∠CDB，（已知）∴∥（）（2）∵∠ADC+∠DCB＝180°，（已知）∴∥（）（3）∵AD∥BE，（已知）∴∠DCE＝∠（）（4）∵∥，（已知）∴∠BAE＝∠CFE．（）32.（2021春•丰台区校级期末）完成下面的证明．已知：如图，D是BC上任意一点，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AD，垂足为F．求证：∠1＝∠2．证明：∵BE⊥AD，∴∠BED＝°（）．∵CF⊥AD，∴∠CFD＝°．∴∠BED＝∠CFD．∴BE∥CF（）．∴∠1＝∠2（）．33.（2020春•大兴区期末）已知：如图，C，D是直线AB上两点，FE∥DC，连接CE，DE，DF，DE平分∠CDF，且∠1+∠2＝180°．（1）请你猜想CE与DF的位置关系，并证明；（2）若∠DCE＝α，求∠DEF的大小（用含α的式子表示）．34.（2020春•大兴区期末）已知：如图，四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上两点，连接EF，AC，若∠D＝110°，∠EFD＝70°，∠1＝∠2．求证：∠AEF＝∠B．将证明过程补充完整．证明：∵∠D＝110°，∠EFD＝70°（已知）∴∠D+∠EFD＝180°∴∥（）又∵∠1＝∠2（已知）∴∥（）∴∥（）∴∠AEF＝∠B（）35.（2020春•东城区期末）完成下面推理填空：如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G．求证：AB∥CD．证明：∵AF⊥CE∴∠CGF＝90°（）∵∠1＝∠D（已知）∴∥（）∴∠4＝∠CGF＝90°（）∵∠2+∠3+∠4＝180°（平角的定义）∴∠2+∠3＝90°．∵∠2与∠C互余（已知），∴∠2+∠C＝90°（互余的定义）∴∠C＝∠3（同角的余角相等）∴AB∥CD（）36.（2020春•海淀区校级期末）如图，已知AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，若∠E＝∠3．求证：AD平分∠BAC．请完成下面的证明，并填上对应的推理根据．证明：∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝90°，（）同理∠EFB＝，∴∠ADB＝∠EFB，∴AD∥，（）∴∠1＝∠E，（）∠2＝∠3，（）∵∠E＝∠3，（已知）∴∠1＝∠2，（）∴AD平分∠BAC．（）37.（2020春•昌平区期末）补全解答过程：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠A．求证：∠B＝∠C．证明：∵∠1+∠2＝180°，∴（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠3＝∠D（）．又∵∠3＝∠A，∴．∴AB∥CD（）．∴∠B＝∠C（）．38.（2020春•顺义区期末）根据题目条件填空，并注明根据．如图，四边形ABCD，点E是AB的延长线上的一点．（1）如果∠CBE＝∠A，那么可以判定直线∥，根据是；（2）如果直线DC∥AB，那么可以判定∠＝∠，根据是．39.（2020春•顺义区期末）已知：如图，DE∥BC，∠1＝∠2．求证：BE∥FG．40.（2020春•房山区期末）完成下面的证明．已知：如图，AB∥CD，BE交CD于点M，∠B＝∠D．求证：BE∥DF．证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BMD（），∵∠B＝∠D，∴＝∠D，∴∥（）．41.（2020春•海淀区校级期末）按要求完成下列证明：已知：如图，AB∥CD，直线AE交CD于点C，∠BAC+∠CDF＝180°．求证：AE∥DF．证明：∵AB∥CD（），∴∠BAC＝∠DCE（）．∵∠BAC+∠CDF＝180°（已知），∴+∠CDF＝180°（）．∴AE∥DF（）．参考答案与试题解析1.【解析】证明：∵BE∥FG，∴∠2＝∠CBE（两直线平行，同位角相等）．∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠CBE（等量代换）．∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．【答案】：∠CBE；两直线平行，同位角相等；∠1＝∠CBE；等量代换；DE∥BC；内错角相等，两直线平行．2.【解析】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠4＝∠BAE（两直线平行，同位角相等）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质）．即∠BAE＝∠DAC．∵∠3＝∠4（已知），∴∠3＝∠DAC（等量代换）．∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．【答案】：两直线平行，同位角相等；等式的性质；DAC；DAC；等量代换；内错角相等，两直线平行．3.【解析】解：∵直线AB与直线EF相交，∴∠2＝∠CAB＝50°（对顶角相等），∵AD是∠CAB的角平分线，∴∠1＝∠5＝∠CAB＝25°（角平分线的定义），∵∠3＝∠1（已知），∴∠3＝25°（等量代换），∴∠3＝∠5（等量代换），∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行），∴∠4＝∠2＝50°（两直线平行，同位角相等）．【答案】：对顶角相等；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行；∠2＝50°．4.【解析】证明：∵∠1＝∠4（已知），∠3＝∠4（对顶角相等），∴∠1＝∠3（等量代换），∴DB∥CE（同位角相等，两直线平行），∴∠C＝∠DBA（两直线平行，同位角相等），又∵∠D＝∠C（已知），∴∠D＝∠DBA，∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）．【答案】：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．5.【解析】证明：∵∠1＝130°，∠ACB＝50°（已知），∴∠1+∠ACB＝180°，∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行），∴∠2＝∠DCB（两直线平行，内错角相等），又∵∠2＝∠3，∴∠3＝∠DCB，∴HF∥DC（同位角相等，两直线平行），【答案】：BC；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；3；同位角相等，两直线平行．6.【解析】解：（1）①如图所示：②证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF（垂直于同一条直线的两条直线平行）；（2）∠GDB+∠C＝90°，证明：∵GD∥BC，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°．∴∠ADG+∠GDB＝90°．∴∠GDB+∠C＝90°．7.【解析】（1）证明：∵CE∥BF（已知），∴∠1＝∠EBF（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠EBF（等量代换），∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行）；（2）解：①补全图形如下图．②∵l1∥l2（已证），∴∠BAD＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），∠ABD+∠BDC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠ABD＝130°（已知），∴∠BDC＝50°（等量代换）．∵DA平分∠BDC（已知），∴（角平分线定义）．∴∠ADC＝25°（等量代换）．∵∠BAD＝∠ADC（已证），∴∠BAD＝25°（等量代换）．∵CA⊥l1（已知），∴∠BAC＝90°（垂直定义）．∴∠CAD＝65°（等量减等量差相等）．8.【解析】（1）证明：∵DE⊥AC，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠AHE＝90°，∴BA∥DE，∴∠ABD+∠BDE＝180°，∵∠ABD+∠CED＝180°，∴∠BDE＝∠CED，∴BD∥EC；（2）解：如图，由（1）可得，∠ABD+∠BDE＝180°，∵∠BDE＝30°，∴∠ABD＝180°﹣∠BDE＝180°﹣30°＝150°，∵∠DBE＝∠ABE+50°，∴∠ABD＝∠ABE+∠DBE＝∠ABE+∠ABE+50°＝2∠ABE+50°＝150°，∴∠ABE＝50°，∴∠DBE＝∠ABE+50°＝50°+50°＝100°，∵BD∥EC，∴∠DBE+∠CEB＝180°，∴∠CEB＝180°﹣∠DBE＝180°﹣100°＝80°．9.【解析】证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠AEF（对顶角相等），∴∠2＝∠AEF（等量代换），∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），∴∠3＝∠GHC（两直线平行，内错角相等），又∵∠GHC+∠4＝180°（邻补角定义），∴∠3+∠4＝180°（等量代换）．【答案】：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；180．10.【解析】（1）证明：∵∠A+∠ADF＝90°，∠BCD+∠CDE＝90°，∠BCD＝∠A，∴∠ADF＝∠CDE（理由：等角的余角相等），∵∠G＝∠CDE，∴∠ADF＝∠G（理由：等量代换），∴CG∥AB（理由：内错角相等，两直线平行），【答案】：CDE；等角的余角相等；ADF；G；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）解：∵CG∥AB，∴∠ACG＝∠A，∠BDC＝∠DCG，∵∠BCD＝∠A，∴∠ACG＝∠BCD，∴∠ACG+∠ACD＝∠BCD+∠ACD，即∠DCG＝∠BCA，∴图中与∠DCG相等的角是∠BDC和∠BCA，【答案】：∠BDC和∠BCA．11.【解析】证明：∠B＝∠BGD（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∵∠BGC＝∠F（已知），∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行），∴AB∥EF（平行于同一直线的两直线互相平行），∴∠B+∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补），【答案】：AB；CD；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；EF；平行于同一直线的两直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补．12.【解析】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（①垂直的定义）．∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴∠2＝∠CBD（②两直线平行，同位角相等）．∵∠1＝∠2（已知）．∴∠1＝∠CBD（等量代换）．∴③GF∥BC（内错角相等，两直线平行）．∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），∴MD∥BC（④同旁内角互补，两直线平行）．∴MD∥GF（⑤平行于同一直线的两直线平行）．【答案】：垂直的定义；两直线平行，同位角相等；GF∥BC；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．13.【解析】解：（1）∵∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∴∠CFP＝80°﹣45°＝35°，∴∠PFD＝145°．【答案】：145°．（2）由已知结论得∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∠EQF＝∠AEQ+∠CFQ，∵EQ，FQ分别平分∠AEP，∠CFP，∴∠AEP＝2∠AEQ，∠CFP＝2∠CFQ，∴∠EPF＝2∠EQF．（3）∵EQ，FQ分别平分∠AEP，∠CFP，∴∠AEQ＝∠PEQ，∠CFQ＝∠PFQ，∵∠EQF＝∠AEQ+∠CFQ，∴∠EQF＝∠PEQ+∠PFQ，∵∠EQF+∠PEQ+∠PFQ+∠EPF＝360°，∴2∠EQF+∠EPF＝360°．14.【解析】证明：如图所示：∵∠1+∠2＝180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∵∠3+∠4＝180°（已知），∴EF∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴AB∥EF（若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行），【答案】：CD；同旁内角互补，两直线平行；ED；CD；若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行．15.【解析】证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，∴∠ACB＝90°，∠EFB＝90°．（垂直定义）∴∠ACB＝∠EFB．∴AC∥EF．（同位角相等，两直线平行）∴∠A＝∠2．（两直线平行，同位角相等）∠3＝∠1．（两直线平行，内错角相等）又∵∠A＝∠1，∴∠2＝∠3．∴EF平分∠BED．【答案】：垂直定义；AC∥EF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．16.【解析】解：如图，过点C作CG∥AB．∵AB∥EF，∴CG∥EF．（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠GCD＝∠EDC．（两直线平行，内错角相等）∵CD⊥FF，∴∠CDE＝90°．（垂直的定义）∴∠GCD＝90°．（等量代换）∵CG∥AB，∴∠B＝∠BCG．（两直线平行．内错角相等）∵∠B＝40°．∴∠BCG＝40°，则∠BCD＝∠BCG+∠GCD＝130°．【答案】：平行于同一条直线的两条直线平行，EDC，垂直的定义，90°，两直线平行，内错角相等，130°．17.【解析】（1）解：∵AB∥CD，∴∠ABD+∠D＝180°，∵∠D＝100°，∴∠ABD＝180°﹣100°＝80°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABC＝ABD＝40°；（2）证明：∵FG∥AE，∴∠FGC＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠FGC，∴AB∥CD；18.【解析】解：（1）EF∥AC，证明：∵∠1＝∠EAB，∴AE∥DC，∴∠2＝∠EAC，∵∠E+∠2＝180°，∴∠E+∠EAC＝180°，∴EF∥AC；（2）由（1）得EF∥AC，∵BF⊥EF，∴BC⊥AC，∴∠ACB＝90°，∵AC平分∠EAB，∠EAB＝60°，∴∠EAC＝30°，∵由（1）可知AE∥DC，∴∠2＝∠EAC＝30°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠2＝90°﹣30°＝60°．19.【解析】（1）证明：∵AB∥CD，∠CDE＝50°，∴∠BED＝∠CDE＝50°，∵EG平分∠BED，∴∠BEG＝∠DEG＝25°，∵∠F＝25°，∴∠DEG＝∠F，∴EG∥BF；（2）解：由（1）得EG∥BF，∴∠FBE＝∠BEG＝25°，∵BF⊥BD，∴∠FBD＝90°，∴∠EBD＝90°﹣∠FBE＝65°，∵AB∥CD，∴∠BDC+∠EBD＝180°，∴∠BDC＝180°﹣65°＝115°．20.【解析】解：∵EF∥AD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠3（等量代换），∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠BAC＝70°（已知），∴∠AGD＝110°．【答案】：∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG，内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110°．21.【解析】证明：（1）∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，∴∠A＝∠D，∴AB∥CD；（2）∵∠1＝∠BHG，∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠BHG＝180°，∴BF∥CE，∴∠BEC+∠B＝180°．22.【解析】解：是，理由如下：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），∴∠4＝∠5＝90°（垂直定义），∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行），∴∠1＝∠E（两直线平行，同位角相等），∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠E＝∠3（已知），∴∠1＝∠2（等量代换），∴AD平分∠BAC（角平分线定义）．【答案】：同位角相等，两直线平行；∠3，两直线平行，内错角相等；角平分线定义．23.【解析】证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BGD，∵∠B+∠D＝180°，∴∠BGD+∠D＝180°，∴BF∥ED．24.【解析】（1）证明：∵∠ACE+∠BDF＝180°，∠ADF+∠BDF＝180°，∴∠ACE＝∠ADF，∴CE∥DF；（2）解：补全图形，如图所示，∵CE∥DF，即CM∥DF，∴∠CMF+∠DFM＝180°，∵∠CMF＝55°，∴∠DFM＝125°，∵FM⊥FG，∴∠GFM＝90°，∴∠DFG＝∠DFM﹣∠GFM＝35°，∵FG是∠DFE的角平分线，∴∠DFE＝2∠DFG＝70°，∵EF∥AB，∴∠CDF+∠DFE＝180°，∴∠CDF＝110°．25.【解析】证明：∵DE∥AC，∴∠BED＝∠BAC（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠2，∴∠BED﹣∠1＝∠BAC﹣∠2，即∠3＝∠4，∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行），∴∠EFD＝∠ADC，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°（垂直的定义），∴∠EFD＝90°，∴EF⊥BC．【答案】：两直线平行，同位角相等；EF；AD；同位角相等，两直线平行；垂直的定义．26.【解析】解：如图3，AB∥CD，点E是线段AB，CD所在直线外的一点，连接BE，DE，探究∠BED，∠ABE，∠CDE之间的数量关系．分析思路：要寻求三个角之间的数量关系，根据图中角的位置特征，可以借助平行线进行角的位置的转换．如图3，过点E作EF∥AB．（1）由EF∥AB可知∠B＝∠BEF；（2）由EF∥AB，AB∥CD得到EF∥CD，可知∠D＝∠DEF；（3）由∠BED＝∠DEF﹣∠BEF，得到结论：∠BED＝∠CDE﹣∠ABE．如图4，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D＝∠DEF，∠B＝∠BEF，又∵∠BED＝∠BEF﹣∠DEF，∴∠BED＝∠ABE﹣∠CDE．27.【解析】答：是，理由如下：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），∴∠4＝∠5＝90°（垂直定义），∴AD∥EG（同位角相等，两条直线平行），∴∠1＝∠E（两条直线平行，同位角相等），∠2＝∠3（两条直线平行，内错角相等）；∵∠E＝∠3（已知），∴∠1＝∠2（等量代换），∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的定义）．【答案】：垂直定义；同位角相等，两条直线平行；两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；∠1＝∠2；角平分线的定义．28.【解析】解：（1）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜60时，3t＝（20+t）×1，解得t＝10；②当60＜t＜120时，3t﹣3×60+（20+t）×1＝180°，解得t＝85；③当120＜t＜160时，3t﹣360＝t+20，解得t＝190＞160（不合题意），综上所述，当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；（2）设A灯转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣3t，∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，又∵PQ∥MN，∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，而∠ACD＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，∴∠BAC：∠BCD＝3：2，即2∠BAC＝3∠BCD．29.【解析】证明：∵∠1＝∠A，∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行），∴∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等）．∵∠ACB+∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°，【答案】：AB，CE，内错角相等，两直线平行，∠B，两直线平行，同位角相等，∠1，∠2．30.【解析】解：AB∥DG，理由：∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴∠1＝∠BAD，∵∠1＝∠2，∴∠BAD＝∠2，∴AB∥DG．31.【解析】解：（1）∵∠ABD＝∠CDB，（已知）∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）（2）∵∠ADC+∠DCB＝180°，（已知）∴AD∥BC（同旁内角互补两直线平行）（3）∵AD∥BE，（已知）∴∠DCE＝∠ADC（两直线平行内错角相等）（4）∵AB∥CD，（已知）∴∠BAE＝∠CFE．（两直线平行同位角相等）【答案】：AB，CD，内错角相等两直线平行；AD，BC，同旁内角互补两直线平行；∠ADC，两直线平行内错角相等；AB，CD，两直线平行同位角相等；32.【解析】证明：∵BE⊥AD，∴∠BED＝90°（垂直定义），∵CF⊥AD，∴∠CFD＝90°，∴∠BED＝∠CFD，∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．【答案】：90；垂直的定义；90；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等33.【解析】解：（1）CE∥DF，理由如下：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠ECD＝180°，∴∠2＝∠ECD，∴EC∥DF；（2）∵∠2＝∠ECD＝α，∠2+∠FDC＝180°，∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝∠FDE＝，∵EF∥DC，∴∠DEF＝∠EDC＝．34.【解析】证明：∵∠D＝110°，∠EFD＝70°（已知）∴∠D+∠EFD＝180°，∴AD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），又∵∠1＝∠2（已知），∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），∴EF∥BC（平行公理的推论），∴∠AEF＝∠B（两直线平行，同位角相等）【答案】：AD，EF，同旁内角互补，两直线平行，AD，BC，内错角相等，两直线平行，EF，BC，平行公理的推论，两直线平行，同位角相等．35.【解析】证明：∵AF⊥CE，∴∠CGF＝90°（垂直定义），∵∠1＝∠D（已知），∴AF∥DE（同位角相等，两直线平行），∴∠4＝∠CGF＝90°（两直线平行，同位角相等），∵∠2+∠3+∠4＝180°（平角的定义），∴∠2+∠3＝90°．∵∠2与∠C互余（已知），∴∠2+∠C＝90°（互余的定义），∴∠C＝∠3（同角的余角相等），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．【答案】：垂直定义；AF，DE，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．36.【解析】证明：∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝90°，（垂直的定义）∴∠ADB＝∠EFB，∴AD∥EF，（同位角相等，两直线平行）∴∠l＝∠E，（两直线平行，同位角相等）∠2＝∠3，（两直线平行，内错角相等）∵∠E＝∠3，（已知）∴∠1＝∠2，（等量代换）∴AD平分∠BAC．（角平分线的定义）【答案】：垂直的定义；90°；EF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换；角平分线的定义．37.【解析】证明：∵∠1+∠2＝180°，∴AD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠3＝∠D（两直线平行，同位角相等）．又∵∠3＝∠A，∴∠A＝∠D．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）．【答案】：AD∥EF；两直线平行，同位角相等；∠A＝∠D；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．38.【解析】解：（1）如果∠CBE＝∠A，那么可以判定直线AD∥BC，根据是同位角相等，两直线平行；（2）如果直线DC∥AB，那么可以判定∠C＝∠CBE，根据是两直线平行，内错角相等．【答案】：AD；BC；同位角相等，两直线平行；C；CBE；两直线平行，内错角相等．39.【解析】证明：∵DE∥BC，∴∠1＝∠CBE．∵∠1＝∠2，∴∠CBE＝∠2，∴BE∥FG．40.【解析】证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BMD（两直线平行，内错角相等），∵∠B＝∠D，∴∠BMD＝∠D，∴BE∥DF（内错角相等，两直线平行）．【答案】：两直线平行，内错角相等，∠BMD，BE，DF，内错角相等，两直线平行．41.【解析】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠BAC＝∠DCE（两直线平行，同位角相等）．∵∠BAC+∠CDF＝180°（已知），∴∠DCE+∠CDF＝180°（等量代换）．∴AE∥DF（同旁内角互补，两直线平行）．【答案】：已知；两直线平行，同位角相等；∠DCE；同旁内角互补，两直线平行．。