高考向量练习题
向量的分解与向量的坐标运算
1.若向量),3(),5,2(),1,1(x c b a ===满足条件==?-x c b a 则,30)8( A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
2.设向量(1,0)a =r
11(,)22b =r 则下列结论中正确的是
A.||||a b =r r
B.22
a b ?=
r r C.a b -r r 与b r 垂直 D.//a b r
r
3.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行则实数x 的值是（ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2
4.已知向量(1,2)=a (2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ()⊥+c a b 则c = （ ）
A ．77(,)93
B ．77(,)39--
C ．77(,)39
D ．77(,)93
--
5.已知向量()2,1,10,||52a a b a b =?=+=r r
r r r 则||b =r
A. 5
B. 10
C.5
D. 25
6.设a r 、b r 、c r 是单位向量且a r
·b r ＝0则()()
a c
b
c -?-r r r r 的最小值为 ( )
（A ）2- （B ）22- （C ）1- (D)12- 7.已知平面向量(,1)a x =2(,)b x x =- 则向量+a b A ．平行于x 轴
B ．平行于第一、三象限的角平分线
C ．平行于y 轴
D ．平行于第二、四象限的角平分线 8.已知向量
(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-r r
r r r r r r 如果//c d 那么
A ．1k =且c r 与d r 同向
B ．1k =且c r
与d r 反向 C ．1k =-且c r 与d r 同向 D ．1k =-且c r
与d r 反向
9.已知向量a b r r 、不共线c (R),ka b k =+∈r r r d a b =-r r r 如果//d c r
r 那么 （） A ．1k =且d c r r 与同向 B ．1k =且d c r
r 与反向 C ．1k =-且d c r r 与同向 D ．1k =-且d c r
r 与反向
10.已知平面向量(11)(11)==-，，，a b 则向量1322
-=a b （ ） Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-，
11.已知向量(5,6)a =-r (6,5)b =r
则a r 与b r
（A ）垂直 （B ）不垂直也不平行 （C ）平行且同向 （D ）平行且反向
12.若向量a r 、b r 满足|a r |=|b r |=1a r 与b r 的夹角为60?则a a r r g +a b =r r
g
A ．12
B ．32 C. 3
12
+
D ．2 13.已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b 若2-a b 与b 垂直则=a （ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4
14.对于向量，，a b c 和实数λ下列命题中真命题是（ ）
A ．若=0g a b 则0a =或0b =
B ．若λ0a =则0λ=或=0a
C ．若22=a b 则=a b 或-a =b
D ．若g g a b =a c 则b =c
15.对于向量a b c r r r
、、和实数λ下列命题中真命题是
A.若·
000a b a b ==r r r r r r ＝，则或 B.若则λ＝0或0a =r r C.若22,a b a b a b ===-r r r r r r 则或 D.若·
a b a c b c -==r r r r
r ，则 16.已知向量(5,6)a =-r (6,5)b =r
则a r 与b r
A ．垂直
B ．不垂直也不平行
C ．平行且同向
D ．平行且反向
17.设ABC ?的三个内角,,A B C 向量(3sin ,sin )A B =m (cos ,3cos )B A =n 若1cos()A B =++g m n 则C =（ ）
A ．
6π B ．3
π
C ．23π
D ．56π
18.已知O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点且20
OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
那么（ ）
Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r
19.设，a b 是非零向量若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线则 必有（ ）
A ．⊥a b
B ．∥a b
C ．||||=a b
D ．||||≠a b
20.设向量(1,0)a =r
,11(,)22b =r ,则下列结论中正确的是
A.||||a b =r r
B.22
a b ?=
r r C.//a b r r D.a b -r
r 与b r 垂直
二、填空题
21.已知向量a r b r 满足1a =r 2b =r a r 与b r 的夹角为60°则a b -=r r
22.若平面向量a b 满足1=+b a b a +平行于x 轴)1,2(-=b 则=a . 23.在平面直角坐标系中正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为O(00)B(11)则
AB ·AC
＝ ．
24.若向量,a b r r
满足||||1
a b ==r r
,a b r r
的夹角为
60°则a a a b ?+?r r r r
=______；
25.若等边ABC ?的边长为23平面内一点M 满足1263
CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r
则
MA MB ?=u u u r u u u r
_________
26.ABC ?的外接圆的圆心为O 两条边上的高的交点为H )(OC OB OA m OH ++=则实 数m = 三、解答题
32．已知向量)3,2(=OA ，)3,6(-=OB ，点P 是线段AB 的三等分点，求点P 的坐标。 33．已知A （2，3），B （4，-3），点P 在线段AB 的延长线上，且||2
3
||=，求点P 的坐标。
34．已知A （7，8），B （3，5），C （4，3），M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于F ，求DF 。
35．在平行四边形ABCD 中，(11)(71)(46)A B D ，，，，，，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ，求点P 的坐标．
36．已知点(23)(54)(108)A B C ，，，，，，
若()AP AB AC λλ=+∈R u u u r u u u r u u u r ，求当点P 在第二象限时，λ的取值范围．
平面向量的分解与向量的坐标运算答案解析
一、选择题
27.解)3,6()5,2()8,8()8(=-=-b a
430336)8(=?=+?=?-x x c b a 选C
28.答案C
解析用排除法易排除ABD ；只能选C.
或通过计算11(,)22
a b --r
r =()0a b b -?=r r r 所以a b -r r 与b r 垂直选C.
29.D
解法1因为(1,1),(2,)a b x ==所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=-由于a b +与
42b a -平行得6(1)3(42)0x x +--=解得2x =
解法2因为a b +与42b a -平行则存在常数λ使(42)a b b a λ+=-即
(21)(41)a b λλ+=-根据向量共线的条件知向量a 与b 共线故2x =
30.D 【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算通过平面向量的平行和垂
直关系的考查很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．
【解析】不妨设(,)C m n =u r
则()1,2,(3,1)a c m n a b +=+++=-r r r r 对于()
//c a b +r r r 则有
3(1)2(2)m n -+=+；又()
c a b ⊥+r r r 则有30m n -=则有77
,93
m n =-=-
31.222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++r r r r r r r Q g ||5b ∴=r
故选C
32.,,a b c r r r
Q 是单位向量()()
2()a c b c a b a b c c ∴-?-=-++r r r r r r u u r r r r g
g |||12cos ,121|a b c a b c +=-<=-+>≥-r r r r r r g 故选D.
33.+a b 2(0,1)x =+,由210x +≠及向量的性质可知, C 正确. 34.D 【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、 向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考 查.
∵a ()1,0=b ()0,1=若1k =则c =a +b ()1,1=d =a -b ()1,1=-
显然a 与b 不平行排除A 、B.
若1k =-则c =-a +b ()1,1=-d =-a +b ()1,1=--
即c //d 且c 与d 反向排除C 故选D. 35.D
【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.
取a ()1,0=b ()0,1=若1k =则c =a +b ()1,1=d =a -b ()1,1=- 显然a 与b 不平行排除A 、B.
若1k =-则c =-a +b ()1,1=-d =-a +b ()1,1=-- 即c //d 且c 与d 反向排除C 故选D. 答案D 36.A
37.a ﹒a+ a ﹒b=12+1×1×21=2
3,故选B
答案B
38.C 【试题解析】(1)(1)a n b n ==-r r
，，
， 2(3,)a b n ?-r r
=2a b -r r 与b r 垂直
【高考考点】:向量的坐标运算向量垂直的条件向量的模
【易错提醒】: 由(1)(1)a n b n ==-r r ，，
，2(1,)a b n ?-r r
=从而错选B 【备考提示】: 向量问题在新课程高考中所占分量比重在加大,向量的概念,运算及几何意义以及作为工具来处理其他数学问题是考查的方向. 39.B
40.解析 a ⊥b 时也有a ·b ＝0故A 不正确；同理C 不正确；由a ·b=a ·c 得不到b =c
如a 为零向量或a 与b 、c 垂直时选B
41.A 【解析】已知向量(5,6)a =-r (6,5)b =r
30300a b ?=-+=r r 则a r 与b r 垂直选A
42.A 43.C
【解析】3sin cos cos sin m n A B A B ?=?+?3sin()1cos()A B A B =+=++
44.因为0)(2
2
=??-=?→
→→→→→→
→b a b
a a
a c a 所以向量
a 与c 垂直选D
45.【标准答案】A
【试题分析】O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点∴ 2OB OC OD
+=u u u r u u u r u u u r
且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
∴ 220OA OD +=u u u r u u u r r
即AO OD =u u u r u u u r
选A
【高考考点】向量加法的平行四边形法则相反向量的概念
【易错提醒】不能得出2OB OC OD
+=u u u r u u u r u u u r
而将条件20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
转化为
()()0
OA OB OA OC +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r 使问题复杂化若D 为ABC △边BC 的中点
【备考提示】 根据向量加法的平行四边形法则可得若D 为ABC △的边BC 的中点则
有1()2
AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r
注意这一结论在解题中的应用
46.A. 解析: 本题考查平面向量的数量积, 向 量共线, 垂直的充要条件及一次函数的图象等
知识. 由f(x)=(x a r +b r )·(a r －x b r
)=－ a r ·b r x 2+(a r 2－b r 2)x+a r ·b r
, 它的图象是一条 直线, ∴－a r ·b r =0 , 即 a r ⊥b r . a r
与非零 向量b r
共线的充要条件是: 存在非零常数λ, 使a r =λb r 成立, 两个非零向量a r 与b r
垂直的充 要条件是: a r ·b r
=0.
47.B
【解析】若a r 与b r 共线则有a b=mq-np=0r r e 故A 正确；因为b a pn-qm =r r
e 而
a b=mq-np r r
e 所以有a b b a ≠r r r r e e 故选项B 错误故选B
【命题意图】本题在平面向量的基础上加以创新属创新题型考查平面向量的
基础知识以及分析问题、解决问题的能力 48.答案C
解析用排除法易排除ABD ；只能选C.
或通过计算11(,)22
a b --r
r =()0a b b -?=r r r 所以a b -r r 与b r 垂直选C.
二、填空题 49.【答案】 3
【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式以及向量三角形法则、余弦定理等
知识如图,,a OA b OB a b OA OB BA ==-=-=r u u u r r u u u r r r u u u r u u u r u u u r 由余弦定理得3a b -=r r
50.)0,1(=+b a 或)0,1(-则)1,1()1,2()0,1(-=--=a 或)1,3()1,2()0,1(-=---=a . 51.a ﹒a+ a ﹒b=12
+1×1×(-21
)=
2
1 答案2
1 52.2
【解析】合理建立直角坐标系因为三角形是正三角形故设
)3,3(),0,32(),0,0(B A C
这样利用向量关系式求得M )21,233(然后求得
)
25
,23(),21,23(--=-=→→MB MA 运用数量积公式解得为-2.
【考点定位】本试题考察了向量在解三角形中的几何运用也体现了向量的代数化手段的重要性考查了基本知识的综合运用能力 53.1
54.设BC b =u u u r r 、BA a =u u u r r 则
12AF b a =-u u u r r r ,12
AE b a =-u u u r r r
,AC b a =-u u u r r r 代
入条件得24
33
u u λλ==∴+=
【答案】4/3 三、解答题
32．)1,310(
或)4,3
8
(- 33．)6,5(- 34．)2,4
7
(
35．解：∵在平行四边形ABCD 中，点M 是线段AB 的中点，
MPB CPD :∴△△，1
2MB PB DC DP ==∴
． 2
3DP DB =∴，23
DP DB =u u u r u u u r ∴．
设()P x y ，，∴DP u u u r
(46)x y =--，，而(35)DB =-u u u r ，
． 2(46)(35)3x y --=-，，∴．解得8
63x y ==，．
∴点P 的坐标为863??
???
，．
36．解：设点P 的坐标为()x y ，，则(23)AP x y =--u u u r
，， (5243)(10283)AB AC λλ+=--+--u u u r u u u r
，，(31)(85)(3815)λλλ=+=++，，，．
AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r
∵，(23)(3815)x y λλ--=++，，∴．
即238315x y λλ-=+??
-=+?，．解得580450λλ+?，
．
即当455
8
λ-<<-时，点P 在第二象限内．
37证明（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v
Q
即22a b
a b R R
?
=?
其中R 是三角形ABC 外接圆半径a b = ABC ∴?为等腰三角形
解（2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v
即
由余弦定理可知 2224()3a b ab a b ab =+-=+- 38 (1) (3,4)AB =--u u u r
, (3,4)AC c =--u u u r
当c=5时
(2,4)AC =-u u u r
进而225
sin 1cos A A ∠=-∠= (2)若A 为钝角则
AB ﹒AC= -3(c-3)+( -4)2
<0 解得c>
3
25 显然此时有AB 和AC 不共线故当A 为钝角时c 的取值范围为[
3
25
+ ）
平面向量高考经典试题
平面向量测试题 一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（ ） （A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （ ） （A ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （B ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （C ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 （D ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（ ） （A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ）→a ＝→b （D ）→a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ）1±（D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→ ?AB ＝?→ ?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形
平面向量历年高考题汇编难度高
数 学 平面向量 平面向量的概念及其线性运算 1．★★(2014·辽宁卷L) 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b∥c ，则a∥c ，则下列命题中真命题是 ( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．)()(q p ?∧? D ．)(q p ?∨ 2．★★(·新课标全国卷ⅠL) 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与AC → 的夹角为________． 3．★★(2014·四川卷) 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则=+FC EB （ ） A ． B. 21 C. D. 2 1 5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OD OC OB OA +++等于 （ ） A ．OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★（2011浙江L ）若平面向量,αβ满足1,1a β=≤，且以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 ，则α与β的夹角θ的取值范围是 。 7. ★★（2014浙江 L ）记,max{,},x x y x y y x y ≥?=?
平面向量测试题_高考经典试题_附详细答案
平面向量高考经典试题 海口一中高中部黄兴吉同学辅导内部资料 一、选择题 1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，则a r 与b r A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 解．已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，30300a b ?=-+=r r ，则a r 与b r 垂直，选A 。 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4 【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得： 2(3,)(1,)303n n n n ?-=-+=?=±， 2=a 。 3、（广东文4理10）若向量,a b r r 满足||||1a b ==r r ，,a b r r 的夹角为60°，则a a a b ?+?r r r r =______； 答案：3 2 ； 解析：1311122 a a a b ?+?=+??=r r r r ， 4、（天津理10） 设两个向量22 (2,cos )a λλα=+-r 和(,sin ),2 m b m α=+r 其中,,m λα为 实数.若2,a b =r r 则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 【答案】A 【分析】由22 (2,cos )a λλα=+-r ,(,sin ),2 m b m α=+r 2,a b =r r 可得 2222cos 2sin m m λλαα+=??-=+?，设k m λ =代入方程组可得222 22cos 2sin km m k m m αα+=??-=+?消去m 化简得2 2 22cos 2sin 22k k k αα??-=+ ? --?? ，再化简得
向量有关高考题(整理)
向量有关高考题(整理)
向量有关高考题 一．选择题（共30小题） 1．（2011?重庆）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么?的值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2011?辽宁）若为单位向量，且=0，，则的最大值为（） A．﹣1 B．1 C．D．2 3．（2011?湖北）若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与 的夹角等于（） A．﹣B．C．D． 4．（2011?湖北）已知向量∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，3] C．[﹣3，2] D．[﹣3，3] 5．（2011?广东）已知向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4）．若λ为实数，（（a+λb）∥c），则λ=（） A．B．C．1 D．2 6．（2011?番禺区）如图，已知=，=，=3，用，表示，则等于（） A．+B．+C．+D．+ 7．（2011?番禺区）已知A（3，﹣6）、B（﹣5，2）、C（6，﹣9），则A分的比λ等于（）
A．B．C．与垂直D．15．（2009?浙江）已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量满足（+）∥，⊥（+），则=（） A．（，）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（﹣，﹣） 16．（2009?四川）已知双曲线的左、右焦点分别是 F 1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则 ?=（） A．﹣12 B．﹣2 C．0 D．4 17．（2009?陕西）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学，则等于（）A．B．C．D． 18．（2009?山东）设p是△ABC所在平面内的一点，，则（） A．B．C．D． 19．（2008?山东）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m=（，﹣1），n=（cosA，sinA）．若m⊥n，且αcosB+bcosA=csinC，则角A，B的大小分别为（）A．，B．，C．，D．，20．（2008?辽宁）已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2），B（﹣1，﹣2），C（3，1），且，则顶点D的坐标为（）A．B．C．（3，2）D．（1，3）21．（2008?湖南）在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=，则=（）
历年平面向量高考试题汇集学习资料
历年平面向量高考试 题汇集
高考数学选择题分类汇编 1．【2011课标文数广东卷】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实 数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( ) A.14 B .1 2 C ．1 D ．2 2．【2011·课标理数广东卷】若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b)＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 3．【2011大纲理数四川卷】如图1－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝ ( ) A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 4．【2011大纲文数全国卷】设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－1 2，则|a ＋2b|＝( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5．【2011课标文数湖北卷】若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6．【2011课标理数辽宁卷】若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c)·(b －c)≤0，则|a ＋b －c|的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 【解析】 |a ＋b －c|＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ，由于a·b ＝0，所以上式＝3－2c·(a ＋b )，又由于(a －c)·(b －c)≤0，得(a ＋b)·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c|＝3－2c·(a ＋b )≤1，故选B. 7．【2011课标文数辽宁卷】已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a·(2a －b)＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12
高考数学压轴专题新备战高考《平面向量》基础测试题及答案
新数学《平面向量》期末复习知识要点 一、选择题 1．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r 方向上的投影为( ) A ．165 - B ． 165 C ．1613 - D ． 1613 【答案】C 【解析】 【分析】 先计算出16a b r r ?=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b ?r r r 可得 【详解】 ()4,3a =r Q ，()5,12b =-r ， 4531216a b ?=?-?=-r r ， 则向量a r 在b r 方向上的投影为1613a b b ?-=r r r ， 故选：C. 【点睛】 本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r 的夹角为θ，向量a r 在b r 方向上的投影为 cos a θ?r 或a b b ?r r r 2．如图，在ABC ?中，12 AN NC =u u u r u u u r ，P 是线段BN 上的一点，若15AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ， 则实数m 的值为（ ） A ． 35 B ． 25 C ． 1415 D ． 910 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，以AB u u u r ，AC u u u r 为基底表示出AP u u u r 即可得到结论.
【详解】 由题意，设() NP NB AB AN λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，() ()113 AP AN NP AN AB AN AB AN AB AC λλλλλ-=+=+-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又15 AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ， 所以， 1135λ-=，且m λ=，解得2 5 m λ==. 故选：B. 【点睛】 本题考查了平面向量的线性运算的应用以及平面向量基本定理的应用，属于基础题． 3．在ABC ?中，已知8AB =，4BC =，6CA =，则AB BC ?u u u v u u u v 的值为（ ） A ．22 B ．19 C ．-19 D ．-22 【答案】D 【解析】 由余弦定理可得22211 cos 216 AB BC AC B AB BC +-==?，又 ()11cos 482216AB BC AB BC B π?? ?=??-=??-=- ??? u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D. 【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2） 222 cos 2b c a A bc +-= ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 4．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．1 2 - B ． 12 C D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案.
2020-2021年高考数学试题汇编平面向量(精华总结)
2021年高考数学试题汇编平面向量 （北京4） 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ， 那么（ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ．π 6 C ．π3 D ．π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量1322 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4）
对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22=a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2） 将π2cos 3 6x y ??=+ ??? 的图象按向量π24 ?? =-- ??? ， a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ??=+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ，a 在b 上的投影为52 2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227??- ?? ? ， C ．227? ?- ?? ? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r
(完整word)平面向量高考题集锦.docx
平面向量高考题集锦一，选择题 1．如图，正六边形 uuur uuur uuur ）中， BA CD EF （ ABCDEF （ A）0 uuur （ B） BE uuur uuur （ C） AD（ D） CF 2．在集合 {1,2,3,4,5}中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点 的向量( a, b) ，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四 边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积等于 2 的平行四边形的个数为m，则 m n （ A）2 （ B） 1 （ C） 4 （ D） 1 155153 3. 已知向量a=（ 1,2 ）， b=（1,0 ）， c=（ 3,4 ）。若为实数，（(a b)∥ c ），则= A．1 B． 1 C． 1D． 2 42 0 x2 4．已知平面直角坐标系xOy 上的区域 D 由不等式x 2给定，若M（x， y）为 D x 2 y 上的动点，点 A 的坐标为(2,1) ，则z=OM·OA的最大值为 A． 3B． 4C． 3 2D． 4 2 uuur r uuur r r r r r uuur 5．ABC中，AB边的高为CD，若CB a ，CA b ，a b0 ，| a |1，| b | 2 ，则 AD （A）1 r 1 r （ B） 2 r 2 r （ C） 3 r 3 r （ D） 4 r 4 r a b 3 a b a b a b 3335555 6．若向量a1,2 , b1,1 a b 与 a b 的夹角等于 ，则 2 + A． 4B． 6 C．D． 3 44 7．已知向量a( 2,1) ， b(1, k )， a (2a b)0 ，则 k A．12B．6C． 6D． 12 8．向量 a,b 满足| a | | b |1,a b 1 2b , 则a 2 A．2B．3C．5D．7
平面向量及其应用高考真题复习doc
一、多选题 1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +> B ．若a b >，则cos2cos2A B < C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径 D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 2．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=， 2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ） A ．//P B CQ B ．2133 BP BA BC = + C ．0PA PC ?< D ．2S = 3．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 4．已知点()4,6A ，33,2B ??- ??? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 5．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ） A ．1122AE A B A C → →→ =+ B ．2AB EF →→ = C ．1133 CP CA CB → →→ =+ D ．2233 CP CA CB → →→ =+ 6．在ABC 中，AB =1AC =，6 B π =，则角A 的可能取值为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 2 π 7．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立 D ．在ABC 中， sin sin sin +=+a b c A B C 8．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
(完整版)平面向量高考真题精选(一)
平面向量高考真题精选（一） 一．选择题（共20小题） 1．（2017?新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（） A．⊥B．||=||C．∥D．||＞|| 2．（2017?新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则?（+）的最小值是（） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 3．（2017?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=?，I2=?，I3=?，则（） A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3 4．（2017?新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（） A．3 B．2 C．D．2 5．（2016?四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（） A．B．C． D． 6．（2016?新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（） A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8 7．（2016?天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、
BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则?的值为（）A．﹣ B．C．D． 8．（2016?山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（） A．4 B．﹣4 C．D．﹣ 9．（2016?四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，?=?=?=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（） A．B．C． D． 10．（2016?新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120° 11．（2015?新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B． C．D． 12．（2015?新课标Ⅰ）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（） A．（﹣7，﹣4）B．（7，4） C．（﹣1，4）D．（1，4） 13．（2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2 B．3 C．4 D．6 14．（2015?山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2 15．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N
平面向量高考试题精选(含详细标准答案)
平面向量高考试卷精选(一) 一．选择题（共14小题） 1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A．B． C．D． 2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（） A．13 B．15 C．19 D．21 3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足， ，则=（） A．20 B．15 C．9 D．6 4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1 D．（4+）⊥ 5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A．||≤|||| B．||≤|||﹣||| C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2 6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（） A．B．C．D．π
7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（） A．B．C．D． 8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（） A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1] 9．（2014?桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜ ＞=60°，则||的最大值等于（） A．2 B．C．D．1 10．（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（） A．B．C．D． 11．（2014?安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，， ，，均由2个和2个排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（） A．B．C．D．0 12．（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等 于与的夹角，则m=（） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 13．（2014?新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（） A．B． C．D．
历年高考试题《向量》专题处理
题型特征及分值： 近几年高考对向量的直接考查一般为一个选择题或填空题,主要题型有:(1)向量加减运算的几何意义应用;(2)向量数量积运用：求向量模长、夹角；证向量平行、垂直等(如:07四川卷7题);(3)向量作为工具性知识（如20XX年四川卷21题）,命题者常以向量为载体综合考察学生的转化与化归能力.间接或直接涉及的分值一般在5至10分左右.填空、选择题多为容易题，作为工具性知识考察时关键是将以向量形式出现的条件转化为坐标、数量积等的运算. §1.平面向量 知识网络： 图像平移 12 PP P P λ =且P 1λ +①a b b a ?=?②()()() a b a b a b λλλ ?=?=? () a b c a c b c +?=?+? 注意：①a b b c a c ?=?≠>= ②0,00 a a b b ≠?=≠>=③()() a b c a b c ??≠?? ,设 ,'(, PP h =
§2. 典型题型真题突破 【1】 (07全国卷2)在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB =， CD = 13CA CB λ+，则λ=( )A ．23 B ．13 C ．13- D ．23 - 解题思路：由1222()33AD DB CD CA CB CD CD CA CB =∴-=-?= +，，λ=23 ，选A. 【例2】 (06陕西)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 解题思路：．已知非零向量AB →与AC →满足(|||| AB AC AB AC +)·BC →=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB=AC ，又cos A = ||||AB AC AB AC ?=12 ，∠A=3π，所以△ABC 为等边三角形，选D ． 设,a b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量是a 与e 的 交角:则①cos e a a e a θ?=?=②0a b a b ⊥??= ,a b 同向 a b a b ?=；,a b 反向a b a b ?=- 特别22()a a =④a b a b ? ①设(,),(,)1122a x y b x y ==,则12a b x x ?=22221122x y x y =++ ②设(,)a x y =2()a a ==2x y +或2a x =+③若 (,),(,1122A x y B x y ==则(1AB x x =-(,),(,)1122a x y b x y ==则12(a b x x y y ⊥?+,a b 非零a //b 112y x x ?=
(完整)平面向量高考题集锦
平面向量高考题集锦 一，选择题 1．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=u u u r u u u r u u u r （ ） （A ）0 （B ）BE u u u r （C ）AD u u u r （D ）CF u u u r 2．在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点 的向量(,)a b =α，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数为m ，则 m n = （A ） 215 （B ）15 （C ） 415 （D ）13 3. 已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。若λ为实数，（()a b λ+∥c ），则λ= A ． 1 4 B ． 1 2 C ．1 D ．2 4．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式? ?? ??≤≤≤≤y x x x 2220 给定，若M （x ，y ）为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z=OM ·OA 的最大值为 A ．3 B ．4 C ．32 D ．42 5．ABC ?中，AB 边的高为CD ，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，0a b ?=r r ，||1a =r ，||2b =r ，则AD =u u u r （A ）1133a b -r r （B ）2233a b -r r （C ）3355a b -r r （D ）4455 a b -r r 6．若向量()() 1,2,1,1a b ==-，则2a +b 与a b -的夹角等于 A ．4 π - B ． 6 π C ． 4 π D ． 34 π 7．已知向量)1,2(=a ，),1(k -=b ，0)2(=-?b a a ，则=k A ．12- B ．6- C ．6 D ．12 8．向量a,b 满足1 ||||1,2 a b a b ==?=-,则2a b += A ．2 B ．3 C ．5 D ．7
高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选(含答案)()
向 量 1. 向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ； 坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ） . (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜ . (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O . 单位向量a O 为单位向量?｜a O ｜＝ 1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）?? ?==?2 12 1y y x x (6) 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量 . 2.. 向量的运算 运算类 型 几何方法 坐标方法 运算性质 向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 向量的 减法 三角形法则 AB BA =-,AB OA OB =- 数 乘 向 量 1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ= 2.λ>0时, a a λ与同向; λ<0时, a a λ与异向; λ=0时, 0a λ=.
向 量 的 数 量 积 a b ?是一个数 1.00a b ==或时， 0a b ?=. 2. 00||||cos(,) a b a b a b a b ≠≠=且时， 3.向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 4.向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1 212 ,x x y y A B= --． 5.向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ① a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 6.向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线． 7.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且
历年高考数学真题精选18 平面向量的线性运算
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十八 平面向量的线性运算（学生版） 一．选择题（共13小题） 1．（2015?新课标Ⅰ）设D 为ABC ?所在平面内一点，3BC CD =u u u r u u u r ，则( ) A ．1433 AD AB AC =-+u u u r u u u r u u u r B ．1433AD AB A C =-u u u r u u u r u u u r C ．4133A D AB AC =+u u u r u u u r u u u r D ．4133 AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r 2．（2008?湖南）设D 、E 、F 分别是ABC ?的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2DC BD =u u u r u u u r ， 2CE EA =u u u r u u u r ，2AF FB =u u u r u u u r ，则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与(BC u u u r ) A ．反向平行 B ．同向平行 C ．互相垂直 D ．既不平行也不垂直 3．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0)A -，B ，(3,0)C ，动点D 满足||1CD =u u u r ，则||OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的取值范围是( ) A ．[4，6] B ．11]+ C ．， D ．11] 4．（2011?上海）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r 成立的点M 的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 5．（2010?湖北）已知ABC ?和点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r ．若存在实数m 使得 AB AC mAM +=u u u r u u u r u u u u r 成立，则(m = ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．（2009?湖南）如图，D ，E ，F 分别是ABC ?的边AB ，BC ，CA 的中点，则( ) A ．0AD DF CF ++=u u u r u u u r u u u r r B ．0 BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r r
平面向量知识梳理及高考真题汇总
《平面向量》 1.向量 2.表示方法 3.向量模（长度） 4.零向量 5.单位向量 6.相等向量 7.相反向量 8.共线（平行）向量 例：下列命题中，正确的是（ ） A 、|a |＝|b |?a ＝b B 、|a |＞|b |?a ＞b C 、a ＝b ?a ∥b D 、｜a ｜＝0?a ＝0 一、 不用坐标研究向量 A （1）加法运算 （2）减法运算 （3）数乘运算 （4）数量积运算cos a b a b θ→ → → → ??= 2 2 a a →→= cos θ= a → = a b → → ⊥? a b → → ?∥ 例1：等边三角形ABC 的边长为2，则=?？ 例2: 12,e e →→ 是两个单位向量，它们的夹角是 60，则=+-?-)23()2(2121e e e e 例3：(1) |a → |=1，|b → |=2，向量a → 与b → 的夹角为60°，则|a → -b → |= (2)已知a b a b →→→→+=-，则a b →→ ?=？ 例4：已知单位向量12,e e →→ 的夹角为3 π ，122a e e →→→=-，则a →在1e →上的投影是？
【2017全国理13】已知向量a →，b →的夹角为60°，|a →|=2，|b →|=1，则|a →+2b → |= 例4：21,e e 是平面内不共线两向量，已知2121213,2,e e e e e k e -=+=-=， 若D B A ,,三点共线，则k 的值是（ ） B. 平面向量基本定理：平面内任何一个向量都能由另外两个不共线的向量表示出来。 例：平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点。 若AB =a ，=b ，试以a ,b 为基底表示DE 、BF 【2018全国文7】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144A B A C - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344 AB AC + 【2015全国理7】设D 为ABC ?所在平面内一点3BC CD = ，则 （A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433 AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)41 33 AD AB AC =-
全国卷历年高考平面向量真题归类分析
全国卷历年高考平面向量真题归类分析 （2015年-2019年共14套） 一、代数运算（3题） 1.(2015全国2卷13)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 解：因为向量λa+b 与a+2b 平行,所以λa+b=k(a+2b),则所以．答案: 2.（2017全国1卷13）已知向量，的夹角为，， ，则 . 解： ，所以 3.（2018全国2卷4）已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 解：因为所以选B. 4.（2019全国1卷7）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A. π6 B. π 3 C. 2π3 D. 5π6 解：因为()a b b -⊥，所以2 ()a b b a b b -?=?-=0，所以2a b b ?=，所以cos θ=2 2||1 2||2 a b b a b b ?==?，所以a 与b 的夹角为 3 π ，故选B ． 【归类分析】这类题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．解决问题的关键是熟悉公式及运算法则，求夹角公式为：1212 22 22 11 22 cos x x y y a b a b x y x y θ+?= =++，注意向量夹角范围为[0,]π．求模长则利用公式2 2a a a a ?==转化为向量数量积运算，注意运算结果开平方才是模长．这类题基本解题思路如下： 12, k k λ=??=?， 12λ=12a b 602=a 1=b 2+=a b ()22222(2)22cos602+=+=+???+a b a b a a b b 22 1222222 =+???+=444++=122+=a b 所有相关向量统一用同一个基底表示2 2 a =
历年平面向量高考试题汇集
高考数学选择题分类汇编 1．【2011课标文数广东卷】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数， (a ＋λb)∥c ，则λ＝( ) A.14 B .1 2 C ．1 D ．2 2．【2011·课标理数广东卷】若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b)＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 3．【2011大纲理数四川卷】如图1－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( ) A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 4．【2011大纲文数全国卷】设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－1 2，则|a ＋2b|＝( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5．【2011课标文数湖北卷】若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6．【2011课标理数辽宁卷】若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c)·(b －c)≤0，则|a ＋b －c|的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 【解析】 |a ＋b －c|＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ，由于a·b ＝0，所以上式＝3－2c·(a ＋b )，又由于(a －c)·(b －c)≤0，得(a ＋b)·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c|＝3－2c·(a ＋b )≤1，故选B. 7．【2011课标文数辽宁卷】已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a·(2a －b)＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 8．【2011大纲理数1全国卷】设向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－1 2，〈a －c ，b －c 〉＝60°， 则|c|的最大值等于( ) A ．2 B.3 C. 2 D ．1 9．【2011课标理数北京卷】已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 10．【2011·课标文数湖南卷】设向量a ，b 满足|a|＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方 向相反，则a 的坐标为________． 【解析】 因为a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又因为(a ＋λb)∥c ，(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝1 2 .