因式分解掌握方法与技巧

因式分解

一、因式分解的技巧：

1. 首选提取公因式法：即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提

取公因式，再考虑其他方法。

2. 当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。

（1）当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式［a2－b2＝（a ＋b）（a－b）］。

（2）当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、配方法。

（3）当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。

a. 当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。

b. 当项数为四项以上时，可按次数分组，即可将次数相同的项各分为一组。

3. 以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆（添）项后再分解。

二. 因式分解的方法：

（一）提公因式法

方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1.

分析：此多项式各项都有公因式x，因此可提取公因式x。

（二）应用公式法

方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。

例2.

分析：此多项式看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。

解：

例3.

分析：此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公式分解。

解：

（三）分组分解法

方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因式的目的。下面介绍八种常见的思路：

1. 按公因式分组：

例4.

分析：此题有四项，考虑将它们分组，其中第1、2项有公因式m，第3、4项有公因式p，可将它们分别分为一组。

解：

2. 按系数特点分组：

例5.

分析：观察系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为1：2，所以可考虑将第一、二项和第三、四项分为一组，或第一、三项和第二、四项分为一组。

解：

3. 按字母次数特点分组：

例6.

分析：此题有一次项，也有二次项，可将一次项分为一组，二次项分为一组。

解：

4. 按公式特点分组：

例7.

分析：此题可将第2、3、4项分为一组，运用完全平方公式，再从整体上运用平方差公式。

解：

5. 拆项分组：

例8.

分析：为了便于运用乘法公式，可将-3拆成-4＋1，再适当分组，达到因式分解的目的。

解：

7. 换元分组：

例9.

分析：观察代数式中的x＋y，xy可考虑用换元法，使之结构简化，再分组。

解：，则

（四）待定系数法

方法介绍：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例10.

分析：观察这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

解：

利用恒等式的性质可得：

（五）十字相乘法：

方法介绍：对于mx2＋px＋q形式的多项式，如果ab＝m，cd＝q且ac ＋bd＝p，则多项式可因式分解为：（ax＋d）（bx＋c）。

例11.

分析：这是一个三项式，它不符合完全平方公式，因此可考虑用十字相乘法分

解因式： 解：

（六）巧用换元法：

方法介绍：对于较复杂的一些多项式，通过适当的换元，可达到减元降次，

化繁为简的目的。

1. 取相同部分换元

例12.

分析：若将上式展开，得到一个四次多项式，更加难分解了，如将m 2－

5m 看作一个整体，这样乘积得到的式子就简化了。

解：

三、分解因式：

1 、234352x x x --

2 、 2

633x x -

3 、 22)2(4)2(25x y y x ---4、22414y xy x +-- 5、x x -5 6、13-x 7、2ax a b ax bx bx -++--2 8、811824+-x x

9 、24369y x - 10、24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x

(1)(x ＋p)2－(x ＋q)2； ( 2)16(a －b)2－9(a ＋b)2；

1. =--211122x x

2. =--6752x x

3. =-+2152x x

4. =+-42562

x x

5. ()()=---4254x x

6. ()()=----42552x x

7. =--3072x x

8. =+-253092x x

9. =--61972x x 10. =++-209202x x 11. =++939362

x x

12. =--435924x x 13. =+-437924x x 14. ()()()()=+-+-+-2222021417y y x x 15. =-----12322

2y y x xy xy 16. =--c ab c b a bc a 322320920

17. ()()()()=-----121233x x x x 18. =---b a ab a 242

3 19. =+--22221b a b a 20 ()()=-+-y z y z y x

22 21. ()()()=+---234b a y x y x 22. =+--123a ab b a

23. ()()()()=+-++-x x x x 212133

24. =+--36492222y x y x 25. =+--22822b a b a 26. =-+-2222z yz y x

27. =+-42242b b a a 28. ()()=---2

21y x xy 29. =+--++ac bc ab c b a 222222 30. ()=+--+14442

b a b a 31. =---2222z yz y x 32. =++--122

b a ab a

33. =---+222c b ac bc ab 34. ()=++-b a a x b 222 35. =+--+12222y x xy x 36. =-++--12222y x y xy xy

37. =++--+ab xy b a y x 2442222 38. =++49142x x

39. =++1692x x 40. =+-1216692x x

41. =---x x 121362 42. =+-2

216249b ab a 43. =++2941542251

y xy x 44. =+-42216249y xy x 45.=++42242b b a a 46. ()()=++++2521022

b a b a 47. ()()=+---2294249x x b a b a 48. =-+-a a a 51052

3 49. =-812x 50. =-49162x

51. =-22254b a 52. =-2241y x

53. =-2182x 54. =-x x 4163

55. =-2224b a a 56. ()=--23216y x 57. ()()=+--223412x x 58. ()=-+25242

y x