2014级硕士研究生应用数理统计答案(B卷)

2014－2015学年 第一学期期末试卷答案

学号姓名成绩

考试日期： 2015年1月13日

考试科目：《应用数理统计》（B 层）

一、填空题（本题共16分，每小题4分）

1．设122,,n x x x ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本，则c =

n m

m

-时，统计量2

22112

2211

()()m

k

k k n k

k k m x

x c

x

x η-=-=+-=-∑∑服从F -分布。

2.设12,,n x x x ，是来自正态总体2

(0,)N σ的简单样本，

用2

2

21

1ˆ()n

i i nx x n σ===∑估计2σ，则均方误差2222ˆ()E σσσ-42σ（42σ/n ）。

3．设总体X 的密度函数为22

,[0,]

(;)0,

[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是

来自总体X 简单样本，则2

()q θθ=的矩估计ˆq

=294x 或2

1

2n i i x n =∑。 4．在双因素方差分析中，总离差平方和T S 的分解式为

T A B A B e S S S S S ⨯=+++

其中2

111

()p q

r

e ijk ij i j k S x x ⋅====-∑∑∑，11r

ij ijk k x x r ⋅==∑，则e S 的自由度是(1)pq r -或n pq -，

其中n pqr =。

二、（本题12分）设总体X 的密度函数为1

11,(0,1)(;)0,(0,1)x x f x x θθθ-⎧∈⎪

=⎨⎪∉⎩

，其中0θ>，

12,,,n x x x 是来自总体X 的简单样本。

（1）求θ的极大似然估计ˆθ；（2）求θ的一致最小方差无偏估计；（3）问θ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证

明你的结论。

解（1）似然函数为

(1)()1

1

{01}121

1

()()(,,,)n n

i

x x n n i L x I x x x θθθ

-<≤<==

∏ 对数似然函数为

(1)(){01}121

1

ln ()ln (1)ln ln (,,,)n n

i x x n i L n x I x x x θθθ

<≤<==-+-+∑

求导，有

21

ln ()1ln n

i i L n x θθθθ=∂=--∂∑ 令

ln ()0L θθ∂=∂，可得θ的极大似然估计为1

1ˆln n

i i x n θ==-∑。 （2）因为

(1)()1

1

12{01}121

1

(,,,;)()(,,,)n n

n i

x x n n i f x x x x I x x x θθθ

-<≤<==

∏ (1)(){01}121

1

1

(,,,)exp{(1)ln }n n

x x n i n

i I x x x x θθ

<≤<==

-∑

令1

()n

c θθ=

，(1)(){01}12()(,,,)n x x n h x I x x x <≤<= ，1

()1w θθ

=

-，1

ln n

i i T x ==∑，由于()

w θ的值域(0,)+∞有内点，由定理2.2.4知1

ln n

i i T x ==∑是完全充分统计量。而

1

1

1

1

(ln )(ln )i E x x x

dx θ

θθ

-=

=-⎰

所以

1

1

(ln )(ln )n n

i i i i E x E x n θ====-∑∑

因而11ˆln n i i x n θ==-∑既是完全充分统计量1

ln n

i

i T x ==∑的函数，又是θ的无偏估计，由

定理2.2.5知1

1ˆln n i i x n θ==-∑是θ一致最小方差无偏估计。 （3）由于1

1ˆ()(ln )Var Var x n

θ=，而 2

2

111(ln )(ln )((ln ))Var x E x E x =-11

1

2

220

1

(ln )x x

dx θ

θθθ-=

-=⎰

所以21ˆ()Var n

θ

θ=。 又因为当(0,1)x ∈时，2223

ln (;)12

ln f x x θθθθ

∂=+∂，所以 222

ln (;)1()()f x I E θθθθ∂=-=∂

从而2

2()ˆ()()

Var n nI θθθθ'==

，即信息不等式等号成立，故11ˆln n

i i x n θ==-∑是θ的有效估计。

三、（本题12分）设n x x x ,,,21 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本，

其中2

0σ是已知常数，μ是未知参数。考虑假设检验问题

0010::H H μμμμ=<

（1）求显著性水平α(01)α<<下的似然比检验；（2）求犯第二类错误的概率。

解：（1）当0μμ≤时，μ的极大似然估计为0ˆmin{,}x μ

μ=似然比统计量为 0

1212120sup{(,,,;)}

(,,,)(,,,;)

n n n p x x x x x x p x x x μμμλμ≤=

0201,1exp{},2x x x μμ>⎧

⎪⎪

≤=⎨⎪

⎪⎩

令x U =

，则