中学考试数学综合专题训练【几何综合题】几何精品解析汇报

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2020年中考数学专题分类试题：几何综合5精品版

河北周建杰分类（泰州市）27．在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3．（1）在边CD 上找．一点E ，使EB 平分∠AEC ，并加以说明；（3分）（2）若P 为BC 边上一点，且BP =2CP ，连接EP 并延长交AB 的延长线于F ．①求证：点B 平分线段AF ；（3分）②△PAE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．（4分）（南京市）21．（6分）如图，在ABCD 中，E F ，为BC 上两点，且BECF ，AFDE ．求证：（1）ABF DCE △≌△；（2）四边形ABCD 是矩形．以下是河南省高建国分类：（巴中市）已知：如图9，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．（1）求证：BCE △和FDE △全等（2）连结BD CF ，，判断四边形BCFD 的形状，并证明你的结论．17．（每小题7分，满分14分）（1）（2008福建福州）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，M 是AD 的中点，求证：MB MC ．以下是河北省柳超的分类（遵义市）4．如图，OA OB ，OCOD ，50O，35D ，则AEC 等于（）A ．60B ．50C ．45D ．30第27题图（第21题）ABCDEF（遵义市）22．（10分）在矩形ABCD 中，2AD AB ，E 是AD 的中点，一块三角板的直角顶点与点E 重合，将三角板绕点E 按顺时针方向旋转．当三角板的两直角边与AB BC ，分别交于点M N ，时，观察或测量BM 与CN 的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论．以下是江西康海芯的分类:1. （郴州市）如图8，ΔABC 为等腰三角形，把它沿底边BC 翻折后，得到ΔDBC ．请你判断四边形ABDC 的形状，并说出你的理由．辽宁省岳伟分类（桂林市）已知：△ＡＢＣ为等边三角形，Ｄ为ＡＣ上任意一点，连结ＢＤ（１）在ＢＤ左下方，以ＢＤ为一边作等边三角形ＢＤＥ（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（２）连结ＡＥ，求证：ＣＤ＝ＡＥ解：（１）如图：OEABDC（4题图）CABD图8BAOD CE图8 郴州市2．如图5，D 是AB 边上的中点，将ABC 沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若50B ，则BDF__________度．以下是安徽省马鞍山市成功中学的汪宗兴老师的分类1.(·东莞市)（本题满分9分）（1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.答案：图7O654321EDCBA2．（?南宁市）以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有：（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个，3．（?南宁市）如图8，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BE=CF 。

专题精品课件4--解析几何解答题的解法

（4）交轨法：动点是两条动曲线的交点构成的，由x,y满足的两个动曲线方程中消去参数，可得所求方程.故交轨法也属参数法.
解析几何解答题的解法
应试策略
2.熟练掌握直线、圆及圆锥曲线的基本知识
(1)直线和圆 ①直线的倾斜角及其斜率确定了直线的方向.需要注意的是：(ⅰ)倾斜角α的范围是： 0≤α<π；(ⅱ)所有的直线必有倾斜角，但未必有斜率. ②直线方程的四种特殊形式，每一种形式都有各自成立的条件，应在不同的题设条件下灵活使用.如截距式不能表示平行于x轴,y轴以及过原点的直线，在求直线方程时尤其是要注意斜率不存在的情况. ③讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(点或直线到圆心的距离与两圆的圆心距与半径的关系)去考虑，其中几何特征较为简捷、实用.
解析几何解答题的解法
试题特点
2007年高考各地的19套试卷中，每套都有1道解答题，椭圆的有10道，双曲线的有
2道，抛物线的5道，直线与圆的有2道,涉及到圆锥曲线中的最值问题、轨迹问题、中
点弦问题、存在性问题的探讨，以及定点定值问题的探讨等.
在2008年高考的解析几何试题中，像有关面积的问题是高考的热点问题，但在2007年及以前主要是讨论三角形的面积，而近两年有多处出现了讨论四边形面积的问题，如2007年全国卷一理科第21题；2008年北京卷理科第19题等等．以后还会讨论多边形的问题.
解析几何解答题的解法
应试策略
②椭圆的标准方程有两种形式，决定于焦点所在的坐标轴.焦点
是F（±c,0）时，标准方程为 x2
y
2
=1(a＞b＞0)；焦点是F（0，±c）
时，标准方程为y 2
x2
a2 b2

2021北京中考数学一模分类汇编《几何综合》含答案解析

2021北京市中考数学一模分类汇编——几何综合1．（2021•海淀区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM ＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）判断AB与DF的数量关系并证明；（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．2．（2021•西城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，D是△ABC内一点，∠ADC＝∠BAC．过点B作BE∥CD交AD的延长线于点E．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD＝∠ABE；（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD相等的线段并加以证明．3．（2021•东城区一模）已知∠MAN＝30°，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接AQ，BQ，点A 关于直线BQ的对称点为点C，连接PQ，CP．（1）如图1，若点P为线段AB的中点；①直接写出∠AQB的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；（2）如图2，若线段CP与BQ交于点D．①设∠BQP＝α，求∠CPQ的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段DC，DQ，DP之间的数量关系，并证明．4．（2021•朝阳区一模）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＜60°，AB＝AC，D为BC 边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接BE交AD于点F．（1）依题意补全图形（2）求∠AFE的度数；（3）用等式表示线段AF，BF，EF之间的数量关系，并证明．5．（2021•丰台区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点P在线段AB上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°），将射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．6．（2021•石景山区一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°）．点E是△ABC内动点，连接AE，CE，将△AEC绕点A顺时针旋转α，使AC边与AB重合，得到△ADB，延长CE与射线BD交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1；（2）探究∠ADM与∠AEM的数量关系为；（3）如图2，若DE平分∠ADB，用等式表示线段MC，AE，BD之间的数量关系，并证明．7．（2021•通州区一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD 中点M，连接BM，CM．（1）如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM∥BD；（2）如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．8．（2021•房山区一模）已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝α，以BC为斜边作等腰Rt△BDC，使得A，D两点在直线BC的同侧，过点D作DE⊥AB于点E．（1）如图1，当α＝20°时，①求∠CDE的度数；②判断线段AE与BE的数量关系；（2）若45°＜α＜90°，线段AE与BE的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明．9．（2021•平谷区一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D 不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．10．（2021•顺义区一模）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，∠A＝α．（1）求出∠DCB的大小（用含α的式子表示）；（2）延长CD至点E，使CE＝AC，连接AE并延长交CB的延长线于点F．①依题意补全图形；②用等式表示线段EF与BC之间的数量关系，并证明．11．（2021•延庆区一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．（1）如图1，点E在BC边上．①依题意补全图1；②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．12．（2021•大兴区一模）如图1，等边△ABC中，点P是BC边上一点，作点C关于直线AP的对称点D，连接CD，BD，作AE⊥BD于点E；（1）若∠P AC＝10°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD的度数；（2）如图2，若∠P AC＝α（0°＜α＜30°），①求证：∠BCD＝∠BAE；②用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系并加以证明．13．（2021•门头沟区一模）在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作BG∥AF交CF于点G，连接BE．（1）如图1，求证：∠BGC＝2∠AEB；（2）当（45°＜α＜90°）时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明．2021北京市中考数学一模分类汇编——几何综合1．（2021•海淀区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM ＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）判断AB与DF的数量关系并证明；（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．【分析】（1）由题意画出图形，如图所示；（2）由“SAS”可证△AEC≌△DEF，可得AC＝DF＝AB；（3）由题意可得点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，点G在以点F为圆心，FB 为半径的圆上，则两圆的交点为G，由“SSS”可证△ABF≌△DFG，可得∠BAF＝∠FDG ＝140°，即可求解．【解答】解：（1）如图所示：（2）AB＝DF，理由如下：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵C关于点E的对称点为F，∴CE＝EF，又∵∠AEC＝∠FED，∴△AEC≌△DEF（SAS），∴AC＝DF，∵AB＝AC，∴AB＝DF；（3）如图2，连接AF，∵AE＝DE，CE＝EF，∴四边形ACDF是平行四边形，∴∠ACM+∠CAF＝180°，AF＝CD，DF＝AC＝AB，∴∠CAF＝100°＝∠CDF，∴∠BAF＝140°，∵DG＝DC，∴点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，∵FG＝FB，∴点G在以点F为圆心，FB为半径的圆上，∴两圆的交点为G，∵AB＝DF，AF＝DG，FB＝FG，∴△ABF≌△DFG（SSS），∴∠BAF＝∠FDG＝140°，∴∠CDG＝40°，同理可证△ABF≌△DFG'，∴∠BAF＝∠G'DF＝140°，∴∠CDG'＝360°﹣100°﹣140°＝120°，综上所述：∠CDG＝40°或120°．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，确定点G的位置是本题的关键．2．（2021•西城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，D是△ABC内一点，∠ADC＝∠BAC．过点B作BE∥CD交AD的延长线于点E．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD＝∠ABE；（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD相等的线段并加以证明．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用三角形内角和定理以及平行线的性质证明即可．（3）结论：CD＝AE，证明△ABE≌△CAT（AAS），即可解决问题．【解答】（1）解：图形如图所示．（2）证明：∵CD∥BE，∴∠CDE＝∠AEB，∵∠ADC＝∠BAC，∴∠ABC+∠ACB＝∠DAC+∠ACD＝∠CDE＝∠AEB，∵∠BAE+∠ABE+∠AEB＝180°，∠BAE+∠DAC+2∠ABC＝180°，∴∠BAE+∠ABE+2∠ABC＝180°，∴∠CAD＝∠ABE．（3）解：结论：CD＝AE．理由：在AE的延长线上取一点T，使得CD＝CT，∵CD＝CT，∴∠T＝∠CDT，∵CD∥BE，∴∠AEB＝∠T，∵AB＝AC，∠ABE＝∠CAT，∴△ABE≌△CAT（AAS），∴AE＝CT，∴CD＝AE．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．（2021•东城区一模）已知∠MAN＝30°，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接AQ，BQ，点A 关于直线BQ的对称点为点C，连接PQ，CP．（1）如图1，若点P为线段AB的中点；①直接写出∠AQB的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；（2）如图2，若线段CP与BQ交于点D．①设∠BQP＝α，求∠CPQ的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段DC，DQ，DP之间的数量关系，并证明．【分析】（1）①证明PQ＝P A＝PB，可得结论．②图形如图所示：结论：PC＝P A．证明∠APC＝90°，可得结论．（2）①如图2中，连接BC，CQ．证明B，P，Q，C四点共圆，推出∠CPB＝∠CQB＝∠AQB，由∠APC+∠CPB＝180°，推出∠P AQ+∠PDQ＝180°，推出∠PDQ＝120°，推出∠DQP+∠DPQ＝60°，可得结论．②如图2﹣1中，结论：CD＝DP+DQ．连接AD，在AD上取一点T，使得DT＝DP．利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：（1）①∵P，Q关于AN对称，∴AP＝AQ，∠P AN＝∠QAN＝30°，∴△APQ是等边三角形，∴PQ＝P A，∵点P为线段AB的中点，∴PB＝P A，∴PQ＝P A＝PB，∴∠AQB＝90°．②图形如图所示：结论：PC＝P A．理由：∵∠AQB＝90°，A，C关于BQ对称，∴AQ＝QC，∴PQ＝QC＝AQ，∴∠CP A＝60°，∴＝tan60°，∴PC＝P A．（2）①如图2中，连接BC，CQ．∵A，C关于BQ对称，∴BC＝BA，CQ＝AQ，∵BQ＝BQ，∴△BQC≌BQA（SSS），∴∠BCQ＝∠BAQ＝60°，∠BQC＝∠BQA，∵∠APQ＝60°，∴∠BPQ＝120°，∴∠BPQ+∠BCQ＝180°，∴B，P，Q，C四点共圆，∴∠CPB＝∠CQB＝∠AQB，∵∠APC+∠CPB＝180°，∴∠P AQ+∠PDQ＝180°，∴∠PDQ＝120°，∴∠DQP+∠DPQ＝60°，∴∠CPQ＝60°﹣α．②如图2﹣1中，结论：CD＝DP+DQ．理由：连接AD，在AD上取一点T，使得DT＝DP．∵∠P AQ+∠PDQ＝180°，∴A，P，D，Q四点共圆，∴∠PDT＝∠PQA＝60°，∵DT＝DP，∴△PDT是等边三角形，∴PD＝PT，∠DPT＝∠QP A＝60°，∴∠DPQ＝∠TP A，∵PD＝PT，PQ＝P A，∴△DPQ≌△TP A（SAS），∴DQ＝TA，∴AD＝DT+AT＝PD+DQ，∵A，C关于BQ对称，∴DC＝AD，∴CD＝DP+DQ．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．4．（2021•朝阳区一模）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＜60°，AB＝AC，D为BC 边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接BE交AD于点F．（1）依题意补全图形（2）求∠AFE的度数；（3）用等式表示线段AF，BF，EF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用圆周角定理解决问题即可．（3）结论：EF＝AF+BF．如图，连接CF，EC，在EF上取一点T，使得FT＝FC，连接CT．证明△FCA≌△TCE（SAS），推出AF＝ET，可得结论．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）∵AB＝AC＝AE，∴点A是△BCE的外心，∵∠CAE＝60°，∠CBE＝∠CAE，∴∠CBE＝30°，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDF＝90°，∴∠AFE＝∠BFD＝90°﹣30°＝60°．（3）结论：EF＝AF+BF．理由：如图，连接CF，EC，在EF上取一点T，使得FT＝FC，连接CT．∵AD垂直平分线段BC，∴FB＝FC，∴∠BFD＝∠CFD＝∠AFE＝60°，∴∠CFE＝60°，∵FT＝FC，∴△CFT是等边三角形，∴CF＝CT，∠FCT＝60°，∵AC＝AE，∠CAE＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴CA＝CE，∠ACE＝∠FCT＝60°，∴∠FCA＝∠TCE，∴△FCA≌△TCE（SAS），∴AF＝ET，∴EF＝FT+ET＝BF+AF．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．5．（2021•丰台区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点P在线段AB上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°），将射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）结论：AD+BE＝DE．延长DA至F，使DF＝DE，连接CF．利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）结论：AD+BE＝DE．理由：延长DA至F，使DF＝DE，连接CF．∵AD⊥CP，DF＝DE，∴CE＝CF，∴∠DCF＝∠DCE＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝45°，∵∠DCA+∠ACF＝∠DCF＝45°，∴∠FCA＝∠ECB，在△ACF和△BCE中，，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF＝BE，∴AD+BE＝DE．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（2021•石景山区一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°）．点E是△ABC内动点，连接AE，CE，将△AEC绕点A顺时针旋转α，使AC边与AB重合，得到△ADB，延长CE与射线BD交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1；（2）探究∠ADM与∠AEM的数量关系为∠ADM＝∠AEM或∠ADM+∠AEM＝180°；（3）如图2，若DE平分∠ADB，用等式表示线段MC，AE，BD之间的数量关系，并证明．【分析】（1）按要求作图即可；（2）△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB可得∠AEC＝∠ADB，即可得到答案；（3）由∠ADM＝∠AEM可得A、M、D、E共圆，证明△AMD≌△EDM得AD＝ME，从而可得MC＝AE+BD．【解答】解：（1）补全图1如下：（2）当M在线段BD延长线上时，如上图1，∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB，∴∠AEC＝∠ADB，∴∠ADM＝∠AEM，当M在线段BD上时，如上图2，∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB，∴∠AEC＝∠ADB，∵∠AEC+∠AEM＝180°，∴∠ADM+∠AEM＝180°，故答案为：∠ADM＝∠AEM或∠ADM+∠AEM＝180°；（3）MC＝AE+BD，理由如下：连接AM，△AMD和△AME公共边为AM，且∠ADM＝∠AEM，∴A、M、D、E共圆，如图：∵A、M、D、E共圆，∴∠MAD＝∠MED，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠EDB，∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB，∴AD＝AE，BD＝EC，∴∠ADE＝∠AED，∴∠EDB＝∠AED，∴BM∥AE，∴∠DME＝∠AEM，∵∠ADM＝∠AEM，∴∠DME＝∠ADM，在△AMD和△EDM中，，∴△AMD≌△EDM（AAS），∴AD＝ME，∴AE＝ME，∵MC＝ME+EC，∴MC＝AE+BD．【点评】本题考查三角形的旋转变换，解题的关键是利用A、M、D、E共圆，证明△AMD ≌△EDM．7．（2021•通州区一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．（1）如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM∥BD；（2）如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．【分析】（1）由旋转可得，△APC是等边三角形，∠PBD＝120°，则∠BPM+∠PBD＝180°，所以PM∥BD．（2）延长BM至点G，使得MG＝MB，连接AG，BC，GC，PC，可证△CBG是等边三角形且点M是BG的中点，则有CM⊥BM，CM＝MB．【解答】解：（1）有题意可得，∠CAP＝60°，且AP＝AC，∴△APC是等边三角形，∴∠APC＝60°，∴∠BPM＝60°，又∵∠PBD＝120°，∴∠BPM+∠PBD＝180°，∴PM∥BD．（2）猜想，CM⊥MB，CM＝MB，理由如下：如图2，延长BM至点G，使得MG＝MB，连接AG，BC，GC，PC，GD，∵AM＝MD，GM＝BM，∴四边形AGDB是平行四边形，∴AG＝BD，AG∥BD，∴∠BAG＝180°﹣∠ABD＝60°，∴∠CAG＝120°，∵△APC是等边三角形，∴AC＝CP，∠CPB＝120°，∵PB＝DB＝AG，∴△CAG≌△CPB（SAS），∴CG＝CB，∠ACG＝∠PCB，∴∠GCB＝60°，∴△CBG是等边三角形，∵GM＝BM，∴CM⊥BM，CM＝MB．【点评】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质与判定等；构造合适辅助线是解题关键．8．（2021•房山区一模）已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝α，以BC为斜边作等腰Rt△BDC，使得A，D两点在直线BC的同侧，过点D作DE⊥AB于点E．（1）如图1，当α＝20°时，①求∠CDE的度数；②判断线段AE与BE的数量关系；（2）若45°＜α＜90°，线段AE与BE的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明．【分析】（1）①由余角的性质可求∠CDE＝∠DBE＝25°；②通过证明点A，点C，点B，点H四点共圆，由垂径定理可得AE＝BE；（2）通过证明点A，点B，点C，点H四点共圆，由垂径定理可得AE＝BE．【解答】解：（1）①∵∠CDB＝90°，CD＝DB，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∴∠DBE＝∠DBC﹣∠ABC＝25°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠CDB，∴∠CDE+∠EDB＝∠EDB+∠ABD＝90°，∴∠CDE＝∠DBE＝25°；②AE＝BE，理由如下：如图1，延长BD至H，使BD＝DH，连接CH，∵BD＝DH，CD⊥BD，∴CH＝BC，∴∠CHB＝∠CBH＝45°，∴∠A＝∠CHB＝45°，∠HCB＝90°，∴点A，点C，点B，点H四点共圆，∵∠HCB＝90°，∴BH是直径，D是圆心，∵DE⊥AB，∴AE＝BE；（2）不变，理由如下：如图2，延长BD至H，使BD＝DH，连接CH，∵BD＝DH，CD⊥BD，∴CH＝BC，∴∠CHB＝∠CBH＝45°，∴∠A＝∠CHB＝45°，∠HCB＝90°，∴点A，点B，点C，点H四点共圆，∵∠HCB＝90°，∴BH是直径，D是圆心，∵DE⊥AB，∴AE＝BE．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，四点共圆，垂径定理等知识，证明点A，点B，点C，点H四点共圆是本题的关键．9．（2021•平谷区一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D 不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论；（2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．【解答】解：（1）结论：AC＝EF+FC，理由如下：过D作DH⊥CB于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，，∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，∴DH＝HB＝EF，∴AC＝BC＝CH+BH＝FC+EF；（2）依题意补全图形，结论：EF＝FC+AC，理由如下：过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，，∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，∴DH＝HB＝EF，∴EF＝CH+BC＝FC+AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．10．（2021•顺义区一模）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，∠A＝α．（1）求出∠DCB的大小（用含α的式子表示）；（2）延长CD至点E，使CE＝AC，连接AE并延长交CB的延长线于点F．①依题意补全图形；②用等式表示线段EF与BC之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得出结论；（2）①根据题意即可补全的图形；②过点E作EH⊥FC于点H，过点A作AG⊥FC于点G，结合（1）证明△AGC≌△CHE 可得CG＝EH，设EH＝FH＝x，则EF＝x，进而可得结论．【解答】解：（1）∵等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝α，∴∠ACB＝∠B＝＝90°﹣，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝90°﹣α，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣﹣90°+α＝；（2）①如图即为补全的图形；②＝，证明：∵∠ACE＝∠ACB﹣∠DCB＝90°﹣﹣＝90°﹣α，∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠CEA＝＝45°+，∵∠AEC＝∠F+∠ECF，∴45°+＝∠F+，∴∠F＝45°，过点E作EH⊥FC于点H，过点A作AG⊥FC于点G，∴∠BAG＝∠CAG＝，在△AGC和△CHE中，，∴△AGC≌△CHE（AAS），∴CG＝EH，∵∠F＝45°，∴FH＝EH，设EH＝FH＝x，则EF＝x，∴BC＝2CG＝2x，∴＝＝．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．11．（2021•延庆区一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．（1）如图1，点E在BC边上．①依题意补全图1；②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H．证明△DCE≌△EHF（AAS），推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用勾股定理解决问题即可；（2）由②可得△DCE≌△EHF，推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用等腰直角三角形的性质解决问题即可【解答】解（1）图形如图所示．过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，∵∠DEF＝∠C＝90°，∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠FEH＝∠EDC，在△DEC和△EFH中，，∴△DEC≌△EFH（AAS），∴EC＝FH＝2，CD＝BC＝EH＝6，∴HB＝EC＝2，∴Rt△FHB中，BF＝＝＝2．（2）结论：BF+BD＝BE．理由：过点F作FH⊥CB，交CB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，∵∠DEF＝∠DCE＝90°，∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠FEH＝∠EDC，在△DEC和△EFH中，，∴△DEC≌△EFH（AAS），∴EC＝FH，CD＝BC＝EH，∴HB＝EC＝HF，∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，∴BD＝BC＝HE，BF＝BH，∵HE+BH＝BE，∴BF+BD＝BE．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．（2021•大兴区一模）如图1，等边△ABC中，点P是BC边上一点，作点C关于直线AP的对称点D，连接CD，BD，作AE⊥BD于点E；（1）若∠P AC＝10°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD的度数；（2）如图2，若∠P AC＝α（0°＜α＜30°），①求证：∠BCD＝∠BAE；②用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系并加以证明．【分析】（1）由题意画出图形；根据三角形内角和定理求出∠ABD，由∠BCD＝∠ACD ﹣∠ACB即可得到结论；（2）①由轴对称的性质可得AP垂直平分BD，可得AB＝AD＝AC，∠BAP＝∠P AD＝α，由等腰三角形的性质可求解；②在AE上截取AF＝CD，根据全等三角形判定的SAS定理证得△BAF≌△BCD，由全等三角形的性质得到∠ABF＝∠CBD，BF＝BD，可得∠FBE＝∠ABC＝60°，由三角函数的定义求得EF＝BD，进而得到AE＝CD+BD．【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵C关于直线AP的对称是D，∴AP⊥CD，AC＝AD，∴∠ACD＝90﹣∠P AC＝90°﹣10°＝80°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝20°；（2）①证明：如图，连接AD，根据题意得，AO⊥CD∵∠P AC＝α，∴∠ACD＝90°﹣α，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，∵C关于直线AP的对称是D，∴AP⊥CD，AC＝AD，∴∠P AD＝∠P AC＝α，∵AB＝AC＝AD，AE⊥BD，∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝（∠BAC﹣∠CAD）＝（60°﹣2α）＝30°﹣α，∴∠BCD＝∠BAE；②解：用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系是AE＝CD+BD．证明：在AE上截取AF＝CD，连接BF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵∠BCD＝∠BAE，∴△BAF≌△BCD（SAS），∴∠ABF＝∠CBD，BF＝BD，∴∠FBE＝∠ABC＝60°，∴EF＝BF•sin60°＝BF＝BD，∴AE＝AF+EF＝CD+BD．【点评】本题考查了几何变换综合题，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．（2021•门头沟区一模）在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作BG∥AF交CF于点G，连接BE．（1）如图1，求证：∠BGC＝2∠AEB；（2）当（45°＜α＜90°）时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据BG∥AF，得到∠GBE＝∠AEB，由AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，得到AE＝AB，∠ABE＝∠AEB＝∠GBE，由正方形性质得到CD∥AB，得到∠BGC ＝2∠AEB；（2）按照题意补全图形即可，在DC上取DN＝AH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，利用△ADN≌△BAH、△ABP≌△MBP、△ABH≌△MBH证明A、H、M、B共圆，从而可得∠DNA＝∠GMN，GN＝GM，再证明EF＝GM，即可得到EF＝AH+DG．【解答】解：（1）证明：∵边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，∴AD＝AE，∵正方形ABCD，∴AB＝AD＝AE，∴∠AEB＝∠ABE，∵BG∥AF，∴∠AEB＝∠GBE，∴∠ABE＝∠AEB＝∠GBE，∴∠ABG＝2∠AEB，∵正方形ABCD，∴AB∥CD，∴∠BGC＝∠ABG，∴∠BGC＝2∠AEB；（2）补全图2如下：线段AH，EF，DG之间的数量关系为：EF＝AH+DG，理由如下：在DC上取DN＝AH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，如图：∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ADN＝∠BAH＝90°，又DN＝AH，∴△ADN≌△BAH（SAS），∴∠DNA＝∠AHB，∠DAN＝∠ABH，∵∠DNA+∠DAN＝90°，∴∠DAN+∠AHB＝90°，∴∠APH＝90°，∴∠BPM＝∠BP A＝90°，由（1）知∠ABE＝∠GBE，且BP＝BP，∴△ABP≌△MBP（ASA），∴AB＝MB，而BH＝BH，∠ABE＝∠GBE，∴△ABH≌△MBH（SAS），∴∠HAB＝∠HMB＝90°，∴A、H、M、B共圆，∴∠AHB＝∠AMB＝∠GMN，∴∠DNA＝∠GMN，∴GN＝GM，∵CF∥AB，BG∥AF，∴四边形ABGF是平行四边形，∴BG＝AF，∵AE＝AD＝AB＝MB，∴EF＝GM，∴EF＝GN，∵GN＝DG+DN，∴EF＝DG+AH．【点评】本题考查正方形性质应用及全等三角形的性质和判定，难度较大，解题的关键是构造辅助线，将AH+DG转化为GN．。

中考冲刺几何综合问题—知识讲解及典型例题解析

；；中考冲刺：几何综合问题—知识讲解及典型例题解析【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题 ,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 、F 分别是边 BC 、AB 上的点，且 CE=BF ，连接 DE ，过点 E 作 EG ⊥DE，使 EG=DE ，连接 FG ，FC ．（1）请判断：FG 与 CE 的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）如图 2，若点 E 、F 分别是 CB 、BA 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断予以证明；（3）如图 3，若点 E 、F 分别是 BC 、AB 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【思路点拨】（1）结论：FG=CE，FG∥CE．如图1中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（2）结论仍然成立．如图2中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（3）结论仍然成立．如图3中，设DE与FC的延长线交于点M，证明方法类似．【答案与解析】解：（1）结论：FG=CE，FG∥CE．理由：如图1中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．（2）结论仍然成立．理由：如图2中，设DE与CF交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．（3）结论仍然成立．理由：如图3中，设DE与FC的延长线交于点M．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，∴∠CBF=∠DCE=90°在△CBF和△DCE中，，∴△CBF≌△DCE，∴∠BCF=∠CDE，CF=DE∵∠BCF+∠DCM=90°，∴∠CDE+∠DCM=90°，∴∠CMD=90°，∴CF⊥DE，∵GE⊥DE，∴EG∥CF，∵EG=DE，CF=DE，∴EG=CF，∴四边形EGFC是平行四边形．∴GF=EC，∴GF=EC，GF∥EC．【总结升华】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，注意这类题目的解题规律，图形变了，条件不变，证明的方法思路完全一样，属于中考常考题型．举一反三：【变式】已知：如图（1），射线AM//射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点E与A、B不重合），在运动过程中始终保持DE⊥EC，且AD+DE=AB=a．（1）求证：∆ADE∽∆BEC；（2）如图（2），当点E为AB边的中点时，求证：AD+BC=CD；（3）设AE=m，请探究：∆BEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示∴1∆BEC的周长；若无关，请说明理由．【答案】（1）证明：∵DE⊥EC，∴∠DEC=90︒．∴∠AED+∠BEC=90︒．又∵∠A=∠B=90︒，∴∠AED+∠EDA=90︒．∴∠BEC=∠EDA．∴∆ADE∽∆BEC．（2）证明：如图，过点E作EF//BC，交CD于点F，∵E是AB的中点，容易证明EF=1(AD+BC)．2在Rt∆DEC中，∵DF=CF，∴EF=12 CD．1(A D+BC)=CD．22∴AD+BC=CD．（3）解：∆AED的周长=AE+AD+DE=a+m，BE=a-m．设AD=x，则DE=a-x．∵∠A=90︒，∴DE2=AE2+AD2．即a2-2ax+x2=m2+x2．a2-m2∴x=．2a由（1）知∆ADE∽∆BEC，∆ADE的周长AD a+m2a=∴a2-m2==∆BEC的周长BE a-m2a．∴∆BEC的周长=2a⋅∆ADE的周长=2a．a+m∴∆BEC的周长与m值无关．2．在△ABC中，∠ACB=45º．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝42，BC=3，CD=x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）【思路点拨】(1)由题干可以发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解.(2)是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解.(3)D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X.分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.【答案与解析】（1）结论：CF⊥BD；证明如下：ΘAB=AC，∠ACB=45º，∴∠ABC=45º．由正方形ADEF得AD=AF，∵∠DAF=∠BAC=90º，∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC，∴∠ACF=∠ABD．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º．即CF⊥BD．（2）CF⊥BD．(1)中结论仍成立．理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG可证：GAD≌CAF∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º．即CF⊥BD（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，易证△AQD∽△DCP，∴ CP = CD ，∴ = ， ∴CP = - + x ． ∴ CP = CD , ∴ = , ∴CP = + x ． ①点 D 在线段 BC 上运动时，∵∠BCA=45º，可求出 AQ= CQ=4．∴DQ=4-x ，CP x DQ AQ4 - x 4 x 2 4②点 D 在线段 BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45°，∴AQ=CQ=4，∴DQ=4+x．过 A 作 AQ⊥BC，∴∠Q=∠FQC=90°，∠ADQ=∠AFC，则△AQD∽△ACF．∴CF⊥BD，∴△AQD∽△DCP，CP x DQ AQ4+x 4x 2 4【总结升华】此题综合性强，需要综合运用全等、相似、正方形等知识点，属能力拔高性的题目．3．如图，正方形ABCD 的边长为 6，点 E 是射线 BC 上的一个动点，连接 AE 并延长，交射线 DC 于点 F △，将 ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 坐在点 B ′处．自主探究：（1）当=1 时，如图 1，延长 AB ′，交 CD 于点 M ．①CF 的长为； ②判断 AM 与 FM 的数量关系，并证明你的结论．（2）当点 B ′恰好落在对角线 AC 上时，如图 2，此时 CF 的长为，拓展运用：（3）当=2 时，求 sin ∠DAB ′的值．= ．（【思路点拨】1）①利用相似三角形的判定与性质得出FC=AB即可得出答案；②利用翻折变换的性质得出∠BAF=∠MAF，进而得出AM=FM；（2）根据翻折变换的性质得出∠BAE=∠MAF，进而得出AM=MF，利用△ABE∽FCE得出答案即可；（3）根据①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，②如图3，当点E在线段BC 的延长线上时，延长AD交B′E于点N，分别利用勾股定理求出即可．【答案与解析】解：（1）①当=1时，∵AB∥FC，∴△ABE∽FCE，∴==1，∴FC=AB=6，②AM=FM，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∴∠BAF=∠AFC，∵△ABE沿直线AE翻折得到△AB′E，∴∠BAF=∠MAF，∴∠MAF=∠AFC，∴AM=FM；（2）如图2，∵当点B′恰好落在对角线AC上时，∴∠1=∠2，∵AB∥FC，∴∠1=∠F，∴∠2=∠F，∴AC=FC，∵AB=BC=6，∴AC=FC=6，∵AB∥FC，∴△ABE∽FCE，∴===，（3）①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴==2，∵AB=6，∴CF=3，∴DF=CD+CF=9，由（1）知：AM=FM，∴AM=FM=9﹣DM，在△Rt ADM中，由勾股定理得：DM′2=（9﹣DM）2﹣62，解得：DM=，则MA=，∴sin∠DAB′==，②如图3，当点E在线段BC的延长线上时，延长AD交B′E于点N，由（1）知：AN=EN，又BE=B′E=12，点∴NA=NE=12﹣B′N，在△Rt AB′N中，由勾股定理得：B′N2=（12﹣B′N）2﹣62，解得：B′N=，AN=，∴sin∠DAB′=故答案为：6；6=．，．【总结升华】此题主要考查了翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用相关性质和进行分类讨论得出是解题关键．类型二、几何计算型问题4．已知如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，M是AD的中点，△MBC是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60︒保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；（3）在（2）中，当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）属于纯静态问题，只要证两边的三角形全等就可以了.(2)是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的.题目给定∠MPQ=60°，其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以很自然想到要通过相似三角形找比例关系.(3)条件又回归了当动点静止时的问题，由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当x取对称轴的值时y有最小值，接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了，由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解.【答案与解析】（1）证明：∵△MBC是等边三角形∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60︒∵M是AD中点∴AM=MD∵AD∥BC∴∠AMB=∠MBC=60︒，∠DMC=∠MCB=60︒∴△AMB≌△DMC∴AB=DC∴梯形ABCD是等腰梯形．∴ PC ∴ x 而（2）解：在等边 △MBC 中， MB = MC = BC = 4，∠MBC = ∠MCB = 60︒，∠MPQ = 60︒∴∠BMP + ∠BPM = ∠BPM + ∠QPC = 120︒∴∠BMP = ∠QPC∴ △BMP ∽△CQPCQ = BM BP∵ PC = x ，MQ = y ∴ BP = 4 - x ，QC = 4 - y4 - y 1 = ∴ y = x 2 - x + 4 4 4 - x4（3）解： △PQC 为直角三角形，∵ y = 1(x - 2)2 + 34 ∴当 y 取最小值时， x = PC = 2∴ P 是 BC 的中点， MP ⊥ BC ， ∠MPQ = 60︒，∴∠CPQ = 30︒，∴∠PQC = 90︒∴ △PQC 为直角三角形.【总结升华】以上题目是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解 .如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的.举一反三：【变式】已知：如图，N 、M 是以 O 为圆心，1 为半径的圆上的两点，B 是 MN 上一动点（B 不与点 M 、N 重合），∠MON=90°，BA⊥OM 于点 A ，BC⊥ON 于点 C ，点 D 、E 、F 、G 分别是线段 OA 、AB 、BC 、CO的中点，GF 与 CE 相交于点 P ，DE 与 AG 相交于点 Q ．（1）四边形 EPGQ（填“是”或者“不是”）平行四边形；（2）若四边形 EPGQ 是矩形，求 OA 的值.【答案】（1）是．证明：连接OB，如图①，∵BA⊥OM，BC⊥ON，∴∠BAO=∠BCO=90°，∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．∴AB∥OC，AB=OC，∵E、G分别是AB、CO的中点，∴AE∥GC，AE=GC，∴四边形AECG为平行四边形．∴CE∥AG，∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，∴四边形EPGQ是平行四边形；（2）解：如图②，∴ AD ,AE=1,在①的条件下，设 CP 1= x ，S VP FC = y ，求 y 与 x 之间的函数关系式， 3 ∵口 EPGQ 是矩形．∴∠AED+∠CEB=90°．又∵∠DAE=∠EBC=90°，∴∠AED=∠BCE．∴△AED∽△BCE，AE= ， BEBC x y y : = : x 设 OA=x ，AB=y ，则 2 2 2得 y 2=2x 2，又∵OA 2+AB 2=OB 2，即 x 2+y 2=12．∴x 2+2x 2=1，解得：x=3 ． 3即当四边形 EPGQ 是矩形时，OA 的长度为3 3 ．5．在 Y ABCD 中，过点 C 作 CE⊥CD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转 90o 得到线段 EF(如图 1)（1）在图 1 中画图探究：①当 P 为射线 CD 上任意一点（P 1 不与 C 重合）时，连结EP 1 绕点 E 逆时针旋转 90o 得到线段 EC 1.判断直线 FC 1 与直线 CD 的位置关系，并加以证明； ②当 P 2 为线段 DC 的延长线上任意一点时，连结 EP 2,将线段 EP 2 绕点 E 逆时针旋转 90o 得到线段 EC 2.判断直线 C 1C 2 与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.4 （2）若 AD=6,tanB=1 1 并写出自变量 x 的取值范围.图1 备用图【思路点拨】(1)本题在于如何把握这个旋转 90°的条件.旋转 90°自然就是垂直关系，于是出现了一系列直角三角形，于是证角、证线就手到擒来了.(2)是利用平行关系建立函数式，但是不要忘记分类讨论.【答案与解析】（1）①直线 FG 与直线 CD 的位置关系为互相垂直． 112，- - ．，，证明：如图 1，设直线 FG 与直线 CD 的交点为 H ．1 G 1AE F G 2 P H 1 DBCP 2图 1∵线段 EC 、EP 分别绕点 E 逆时针旋转 90°依次得到线段 EF 、EG ， 1 1∴ ∠PEG = ∠CEF = 90° EG = EP ，EF = EC ． 1 1 1 1∵ ∠G EF = 90° ∠PEF ， ∠PEC = 90° ∠PEF ，1 1 1 1∴ ∠G EF = ∠PEC ．1 1∴ △G EF ≌△PEC ．1 1∴ ∠G FE = ∠PCE ．1 1∵ EC ⊥ C D ，∴ ∠PCE = 90°， 1∴ ∠G FE = 90° 1∴ ∠EFH = 90°．∴ ∠FHC = 90°．∴ FG ⊥ CD ． 1②按题目要求所画图形见图 1，直线 G G 与直线 CD 的位置关系为互相垂直．1 2（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ ∠B = ∠ADC ．∵ AD = 6，AE = 1 tan B = 4 3 ， ∴ DE = 5 tan ∠EBC = tan B = 4 3．可得 CE = 4 ．由（1）可得四边形 EFCH 为正方形．∴ CH = CE = 4 ．P 1 2 2 2 2 1 ①如图 2，当 P 点在线段 CH 的延长线上时，1 G 1A EFD H BC 图 2∵ FG = CP = x ，PH = x - 4 ，1 1 1 ∴ S△P FG 1 1 1 x( x - 4) = ⨯ FG ⨯ PH = 1 1 ． ∴ y = 1 2x 2 - 2 x ( x > 4) ． ②如图 3，当 P 点在线段 CH 上（不与 C 、H 两点重合）时， 1G 1 FB A ECD P 1 H图 3∵ FG = CP = x ，PH = x - 4 ，1 1 1 ∴ S △P FG 1 = 1 x(4 - x) FG ⨯ PH = 1 1 ． 1 ∴ y = - x2 + 2 x (0 < x < 4) ． 2③当 P 点与 H 点重合时，即 x = 4 时， △PFG 不存在． 1 1 1综上所述， y 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围是 y =1 2 x 2 - 2 x ( x > 4) 或 1 y = - x 2 + 2 x (0 < x < 4) ． 2【总结升华】本题着重考查了二次函数的解析式、图形的旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．举一反三：【变式】已知，点 P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线 PA 交射线 OM 于点 A ，将射线 PA 绕点 P 逆时针旋转交射线 ON 于点 B ，且使∠APB+∠MON=180°．（1）利用图 1，求证：PA=PB ；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当△SPOB=3S△PCB时，求PB与PC的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD=∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．【答案】（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F∵四边形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°，∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，∴∠EPF=∠APB，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB，∴∠EPA=∠FPB，由角平分线的性质，得PE=PF，∴△EPA≌△FPB，即PA=PB；（2）∵S△POB=3S△PCB，∴PO=3PC，由（1）可知△PAB为等腰三角形，则∠PBC=又∵∠BPC=∠OPB（公共角），∴△PBC∽△POB，11（180°-∠APB）=∠MON=∠BOP，22∴PB PC=PO PB，即PB2=PO•PC=3PC2，∴PB=3PC（3）作BH⊥OT，垂足为H，当∠MON=60°时，∠APB=120°，由PA=PB，得∠PBA=∠PAB=12（180°-∠APB）=30°，又∵∠PBD=∠ABO，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，∴∠ABO=12（180°-30°）=75°，则∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°，在△OBP中，∵∠BOP=30°，∴∠BPO=45°，在Rt△OBH中，BH=1OB=1，OH=3，2在Rt△PBH中，PH=BH=1，∴OP=OH+PH=3+1．。

【新课标】高三数学二轮精品专题卷解析几何(直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线)

高三数学二轮精品专题卷：解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线）考试范围：解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线）一、选择题（本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线07ta n=+y x π的倾斜角是（）A ．7π-B ．7π C ．75π D ．76π2．直线01:1=+-y x l 关于直线2:=x l 对称的直线2l 方程为（） A ．012=--y xB ．072=-+y xC ．042=--y xD ．05=-+y x3．“2-=a ”是直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．直线=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为（） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切5．已知点P 在圆074422=+--+y x y x 上，点Q 在直线上kx y =上，若PQ 的最小值为122-，则k = （） A ．1B ．1-C ．0D ．26．若椭圆122=+my x 的离心率⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,33e ，则m 的取值范围是（） A ．⎪⎭⎫⎝⎛32,21B ．()2,1C ．()2,132,21 ⎪⎭⎫⎝⎛ D ．⎪⎭⎫⎝⎛2,21 7．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，则该双曲线的离心率为（） A ．332 B ．3 C ．2或332 D ．332或3 8．M 是抛物线x y 42=上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM 为终边构成的最小的角为60°，则=FM（） A ．2B ．3C ．4D ．69．设抛物线x y 82=的准线经过中心在原点，焦点在坐标轴上且离心率为21的椭圆的一个顶点，则此椭圆的方程为（）A ．1161222=+y x 或1121622=+y xB ．1644822=+y x 或1486422=+y xC ．1121622=+y x 或1431622=+x y D ．13422=+y x 或1431622=+x y10．已知定点()0,21-F 、()0,22F ，动点N 1（O 为坐标原点），F 21=，()R MF ∈=λλ2，1=⋅PN M F ，则点P 的轨迹是（） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆二、填空题（本大题共5小题；每小题5分，共25分.将答案填在题中的横线上） 11．以点()2,1-为圆心且与直线1-=x y 相切的圆的标准方程是． 12．圆064422=++-+y x y x 上到直线05=--y x 的距离等于22的点有个． 13．若点P 在直线03:1=++my x l 上，过点P 的直线2l 与曲线()165:22=+-y x C 只有一个公共点M ，且PM 的最小值为4，则=m ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞0)的离心率为22，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，再过⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2c a P 作圆M 的两条切线P A 、PB ，则APB ∠= ． 15．已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角的范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ则双曲线的离心率的范围是．三、解答题（本大题共6小题；共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）已知圆O 的方程为1622=+y x ．（1）求过点()8,4-M 的圆O 的切线方程；（2）过点()0,3N 作直线与圆O 交于A 、B 两点，求OAB △的最大面积以及此时直线AB 的斜率．17．（本题满分12分）将抛物线y x 222-=向上平移2个单位长度后，抛物线过椭圆12222=+by ax (a＞b ＞0)的上顶点和左右焦点．（1）求椭圆方程；[来源:金太阳新课标资源网 ]（2）若点()0,m P 满足如下条件：过点P 且倾斜角为π65的直线l 与椭圆相交于C 、D 两点，使右焦点F 在以CD 线段为直径的圆外，试求m 的取值范围．18．（本题满分12分）已知双曲线,12222=-b y a x (a ＞0，b ＞0)左右两焦点为1F 、2F ，P 是右支上一点，212F F PF ⊥，1PF OH ⊥于H ，1OF OH λ=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,91λ．（1）当31=λ时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率e 的取值范围；（3）当e 取最大值时，过1F ，2F ，P 的y 轴的线段长为8，求该圆的方程．[来源: ]19．（本题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点()0,p C 作直线m 与抛物线px y 22=(p ＞0)相交于A 、B 两点．（1）设()0,p N -，求⋅的最小值；（2）是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．20．（本题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于21,它的一个顶点恰好是抛物线y x 382=的焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）()3,2P 、()3,2-Q 是椭圆上两点，A 、B 是椭圆位于直线PQ 两侧的两动点，①若直线AB 的斜率为21，求四边形APBQ 面积的最大值；②当A 、B 运动时，满足BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．21．（本题满分13分）在平面直角坐标系中，已知向量()2,-=y x a ，()()R k y kx b ∈+=2,，若=．（1）求动点()y x M ,的轨迹T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；（2）当34=k 时，已知()1,01-F 、()1,02F ，点P 是轨迹T 在第一象限的一点，1=，若点Q 是轨迹T 上不同于点P 的另一点，问是否存在以PQ 为直径的圆G 过点2F ，若存在，求出圆G的方程，若不存在，请说明理由．[来源:金太阳新课标资源网]2012届专题卷数学专题十答案与解析1．【命题立意】本题考查直线的一般方程形式、斜率和倾斜角的关系以及正切函数的诱导公式．[来源: ] 【思路点拨】抓住直线方程y=kx+b 中斜率为k ，α为倾斜角，其中[)πα,0∈，当2πα≠时αtan =k ．【答案】D 【解析】7tanπx y -=，斜率76tan7tan 7tanππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=k ． 2．【命题立意】本题考查直线的对称和直线方程的求解以及直线上点的确定．【思路点拨】求出直线1l 与x 轴、与l 的交点坐标，再确定对称点的坐标，最后由两点式得到2l 的直线方程．【答案】D 【解析】画出图形，容易求得直线1l 与x 轴的交点()0,1-A ，它关于直线l 的对称点为()0,5B ，又1l 与l 的交点()3,2P ，从而对称直线2l 经过B 、P 两点，于是由两点式求得2l 的方程为05=-+y x ． 3．【命题立意】本题考查两条直线的位置关系和充要条件：0212121=+⇔⊥B B A A l l .【思路点拨】判断直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的位置关系时，抓住两点，一是1l ∥2l 时，212121C C B B A A ≠=，为了避免讨论系数为零的情况，转化为积式1221B A B A =且1221C A C A ≠；二是21l l ⊥，即斜率的乘积为1-，如果一条直线的斜率为零，则另一条直线的斜率不存在，也就是02121=+B B A A ．充分必要条件的判定，关键是看哪个推出哪个．【答案】A 【解析】1023221-=⇔=++⇔⊥a a a l l 或2-=a ，故选答案A ． 4．【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式以及基本不等式．【思路点拨】直线与圆的位置关系有三种，由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系决定，当d ＞r 时，相离；当d =r 时相切；当d ＜r 时相交．【答案】D 【解析】圆心()0,0到直线0=+++b a by ax 的距离22b a b a d ++=，半径2=r ．由于()221222222≤++=++=b a ab ba b a d ，所以r d ≤，从而直线与圆相交或相切． 5．【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系和点到直线的距离．【思路点拨】圆上的点到直线上的点，这两个动点之间的距离的最小值，可以转化为直线上的点到圆心的距离的最小值来解决，圆上的点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径，最小值等于圆心到直线的距离减去半径；当直线与圆相交时，圆上的点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径，最小值等于0．【答案】B 【解析】由题意可知，直线与圆相离，074422=+--+y x y x 即()()12222=-+-y x ，圆心()2,2到直线kx y =的距离1222+-=k k d ，∴12211222-=-+-=-k k r d ，解得1-=k ．6．【命题立意】考查椭圆的标准方程和椭圆中的基本量及其关系以及分类讨论的思想．【思路点拨】可建立m 关于e 的函数，从而可根据e 的范围求得m 的范围．【答案】C 【解析】化椭圆的方程为标准方程1122=+my x ，当m 1＜1，即m ＞1时，椭圆焦点在x 轴上，此时12=a ，m b 12=，m c 112-=，m e 112-=∴，211em -=∴，又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈22,33e ，∴23＜m ＜2，又m ＞1，∴1＜m ＜2．当m 1＞1，即m ＜1时，椭圆焦点在y 轴上，此时m a 12=，12=b ，112-=m c ，∴m ac e -==1222，即21e m -=，又⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,33e ，∴21＜m ＜32．综上，m 的范围范围是()2,132,21 ⎪⎭⎫⎝⎛．选择C ． 7．【命题立意】考查双曲线的标准方程，离心率的概念．【思路点拨】根据渐近线方程可以得到双曲线系方程，再分两种情况讨论焦点位置，从而求得离心率．【答案】C 【解析】由于一条渐近线方程为03=-y x ，所以可设双曲线方程为λ=-223y x ．当焦点在x 轴上时，方程为1322=-λλy x （λ＞0），此时32λ=a ，λ=2b ，于是34222λ=+=b a c ，所以离心率2==a c e ；当焦点在y 轴上时，方程为1322=---λx y （λ＜0），此时λ-=2a ，32λ-=b ，于是34222λ-=+=b a c ，所以离心率332==a c e ．故选择C ． 8．【命题立意】考查抛物线的定义和标准方程以及直角三角形的性质．【思路点拨】画出图形，利用抛物线的定义找出点M 的横坐标与|FM |的关系即可求得．【答案】C 【解析】画出图形，知()0,1F ，设FM =a 2，由点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则FN =a ，于是点M 的横坐标a x +=10．利用抛物线的定义，则M 向准线作垂线，有FM =10+x ，即112++=a a ，所以2=a ，从而FM =4． 9．【命题立意】考查椭圆与抛物线的标准方程，基本量的关系以及分类讨论问题．【思路点拨】由抛物线的标准方程求得准线方程，从而求得椭圆一个顶点的坐标，这个值是a 还是b ，就必须分两种情况讨论．【答案】D 【解析】由抛物线x y 82=，得到准线方程为2-=x ，又21=a c，即c a 2=．当椭圆的焦点在x 轴上时，2=a ，1=c ，3222=-=c a b ，此时椭圆的标准方程为13422=+y x ；当椭圆的焦点在y 轴上时，2=b ，332=c ，334=a ，此时椭圆的标准方程为1431622=+x y ．故选择D ． 10．【命题立意】考查对向量含义的理解，线段垂直平分线的性质、三角形中位线性质和双曲线定义．【思路点拨】画出图形，将向量问题转化为实数中线段关系问题，利用线段垂直平分线的性质和三角形中位线的性质，得到线段的差是常数，符合双曲线的定义．【答案】B1=说明点N 在圆122=+y x 上，NM M F 21=说明N 是线段M F 1的中点，2MF MP λ=（x ∈R ）说明P 在2MF 上，01=⋅PN M F 说明PN 是线段M F 1的垂直平分线，于是有PM PF =1，221MF ON =，从而有ON MF PF PM PF PF 22221==-=-=2＜21F F =4，所以点P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的双曲线的右支．从而选择B ． 11．【命题立意】考查圆的方程，直线与圆相切问题．【思路点拨】圆心已知，故只需求得其半径即可，而半径为圆心（-1,2）到直线的距离，根据点到直线的距离可求其半径，从而可求得圆的标准方程．【答案】()()82122=-++y x 【解析】圆的半径()221112122=-+---=r ，所以圆的方程为()()()2222221=-++y x ，即()()82122=-++y x ．12．【命题立意】考查圆的标准方程，点到直线的距离．【思路点拨】先化圆的方程为标准方程，求出圆心到直线的距离，再来与半径比较．【答案】3【解析】圆的方程为()()22222=++-y x ，圆心()2,2-到直线05=--y x 的距离222522=-+=d ，圆的半径2=r ，所以圆上到直线的距离等于22的点有3个． 13．【命题立意】考查圆心到直线的距离、圆的切线长定理和直线与圆相切问题．【思路点拨】画出图形，PM 是切线，切线长最小，即|PC |最小，也就是C 到1l 的距离．【答案】1±【解析】画出图形，由题意l 2与圆C 只一个交点，说明l 2是圆C 的切线，由于162222-=-=PC CM PC PM ，所以要|PM|最小，只需|PC |最小，即点C 到l 1的距离22181305mm+=+++，所以|PM|的最小值为4161822=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+m ，解得1±=m ．14．【命题立意】考查椭圆的标准方程，椭圆离心率的概念和圆的切线问题．【思路点拨】画出图形，由椭圆的离心率为22得到a c =22，再利用圆的切线的性质得到直角三角形，在直角三角形中求解角度．【答案】2π【解析】如图，连结OA ，则OA ⊥P A ，22sin 2===∠a cca a APO ，所以4π=∠APO ，从而2π=∠APB ． 15．【命题立意】考查双曲线中由a 、b 、c 构成的直角三角形的几何意义及离心率与a 、b 、c 的关系．[来源: ]【思路点拨】可根据四边形的特征，以“有一个内角小于60°”为桥梁确定离心率的范围．【答案】⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,26【解析】设双曲线的方程为12222=-b y a x =1（a ＞0，b ＞0）,如图所示，由于在双曲线c ＞b ，所以只能是211B F B ∠＜90°,故由题意可知60°＜211B F B ∠＜90°， ∴在11B OF Rt ∆中，30°＜11B OF ∠＜45°，∴33＜c b ＜22，∴31＜22c a c -＜21，即31＜1－21e＜21，∴23＜e 2＜2，∴26＜e ＜2． 16．【命题立意】考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，以及弦长问题．【思路点拨】（1）过圆外一点的圆的切线方程，一般设斜率，利用圆心到直线的距离等于半径来求出斜率，但一定要注意斜率存在与否；（2）将弦长AB 看成底边，则三角形的高就是圆心到直线的距离．【解析】（1）圆心为()0,0O ，半径4=r ，当切线的斜率存在时，设过点()8,4-M 的切线方程为()48+=-x k y ，即084=++-k y kx （1分）．则41|84|2=++k k ，解得43-=k ，（3分），于是切线方程为02043=-+y x （5分）．当斜率不存在时，4-=x 也符合题意．故过点()11,5-M 的圆O 的切线方程为02043=-+y x 或4-=x ．（6分）（2）当直线AB 的斜率不存在时，73=∆ABC S ，（7分），当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()3-=x k y ，即03=--k y kx ，圆心()0,0O 到直线AB 的距离132+=k k d ，（9分）线段AB 的长度2162d AB -=，所以()()821616162122222=-+≤-=-==∆d d d d d d d AB S ABC ，（11分）当且仅当82=d 时取等号，此时81922=+k k ，解得22±=k ，所以OAB △的最大面积为8，此时直线AB 的斜率为22±．（12分）17．【命题立意】本题考查椭圆方程的求法，直线和圆锥曲线的位置关系以及存在性问题．【思路点拨】（1）可根据抛物线平移后与坐标轴的交点求得b 、c 的值，从而可得a 的值，故可求椭圆方程；（2）可利用向量法解决．【解析】（1）抛物线y x 222-=的图象向上平移2个单位长度后其解析式为()2222--=y x ，其与x 、y 轴的交点坐标分别为()0,2±、()2,0，∴2=b ，2=c ，（2分）∴62=a ，故椭圆的方程为12622=+y x ．（4分）（2）由题意可得直线l 的方程为()m x y --=33，代入椭圆方程消去y 得，062222=-+-m mx x ，（6分）又()68422--=m m △＞0，∴32-＜m ＜32．（7分）设C 、D 分别为()11,y x ，()22,y x ，则m x x =+21，26221-=m x x ，∴()()()33313333221212121m x x m x x m x m x y y ++-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=，∵()11,2y x FC -=，()22,2y x FD -=，∴()()()()33243363422221212121-=++++-=+--=⋅m m m x x m x x y y x x FD FC ，（10分）∵点F 在圆的外部，∴FD FC ⋅＞0，即()332-m m ＞0，解得m ＜0或m ＞3，又∵32-＜m ＜32，∴32-＜m ＜0或3＜m＜32．（12分）18．【命题立意】考查双曲线的定义和标准方程，渐近线和离心率计算公式．【思路点拨】（1）求渐近线方程的目标就是求ab ，可根据条件建立a 、b 的数量关系来求得；（2）可建立e关于λ的函数，从而可根据λ的范围求得e 的范围；（3）可根据离心率确定a 、b 的数量关系，再结合图形确定圆的圆心与半径．【解析】由于()0,2c F ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±a b c P 2,，于是a b PF 22=，a ab a PF PF 22221+=+=，（1分）由相似三角形知，112PF OF PF OH =，即121PF PF OF OH =，即ab a a b 222+=λ，（2分）∴2222b b a =+λλ，()λλ-=1222b a ，λλ-=1222a b ．（1）当31=λ时，122=ab ，∴b a =．（3分）所以双曲线的渐近线方程为x y ±=．（4分）（2）()[]121112111211211222---=--=---+=-+=+==λλλλλλab ac e ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,91上为单调递增函数．（5分） ∴当21=λ时，2e 取得最大值3（6分）；当91=λ时，2e 取得最小值45．（7分）∴3452≤≤e ，∴325≤≤e ．（8分）（3）当3=e 时，3=ac，∴a c 3=，∴222a b =．（9分）∵212F F PF ⊥，∴1PF 是圆的直径，圆心是1PF 的中点，∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴81=PF ．（10分）又a aa a ab a PF 4222221=+=+=，∴84=a ，2=a ，32=c ，22=b ．（11分）∴4222===a ab PF ，圆心()2,0C ，半径为4，故圆的方程为()16222=-+y x ．（12分）19．【命题立意】考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系．【思路点拨】设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理来解决；存在性问题一般是假设存在，利用垂径定理推导求解来解决．【解析】（1）依题意，可设()11,y x A 、()22,y x B ，直线AB 的方程为p my x +=，由0222222=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=p pmy y px y pmy x ，（2分）得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+2212122p y y pm y y ，（3分）∴NB NA ⋅=()()2211,,y p x y p x ++()()2121y y p x p x +++=()()212122y y p my p my +++=()()221212421p y y pm y y m ++++=22222p m p +=（6分）当0=m 时，NB NA ⋅取得最小值22p .（7分）（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为a x =，AC 的中点为O '，l 与以AC 为直径的圆相交于P 、Q ，PQ 的中点为H ，则PQ H O ⊥'，O '的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+2,211y p x ．()2212121212121p x y p x AC P O +=+-==' （9分），()()()a p a x p a p x a p x H O P O PH-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---+='-'=∴1212212222124141，2PQ =()22PH =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a p a x p a 1214（11分），令021=-p a 得p a 21=．此时p PQ =为定值．故满足条件的直线l 存在，其方程为p x 21=．（13分）20．【命题立意】考查椭圆与抛物线的标准方程，直线与椭圆的位置关系．【思路点拨】（1）利用抛物线的标准方程，求出焦点坐标，从而得到椭圆中的b ，再由离心率建立方程，可求得椭圆的标准方程；（2）抓住直线PQ ⊥x 轴，BPQ APQ ∠=∠即直线P A 、PB 的斜率互为相反数，联系方程利用韦达定理来解决．【解析】（1）设C 方程为12222=+by ax （a ＞b ＞0），则32=b ．由21=a c ，222b c a +=，得a =4∴椭圆C 的方程为1121622=+y x ．（4分）（2）①设()11,y x A ，()22,y x B ，直线AB 的方程为t x y +=21，代入1121622=+y x ，得01222=-++t tx x ，由∆＞0，解得4-＜t ＜4．（6分）由韦达定理得t x x -=+21，12221-=t x x ．四边形APBQ 的面积2213483621t x x S -=-⨯⨯=，∴当0=t 时312max=S ．（8分）②当BP Q AP Q ∠=∠，则P A 、PB 的斜率之和为0，设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为k -，P A 的直线方程为()23-=-x k y ，由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-)2(11216)1(2322y x x k y ．将（1）代入（2）整理得()()()04823423843222=--+-++k kx k x k ，有()21433282kk k x +-=+．（10分）同理PB 的直线方程为)2(3--=-x k y ，可得()()22243328433282k k k kk k x ++=+---=+，∴2221431216kk x x +-=+，2214348kk x x +-=-．（12分）从而AB k =2121x x y y --=()()21213232x x x k x k ---++-=()21214x x k x x k --+=21，所以AB 的斜率为定值21．（13分） 21．【命题立意】考查圆锥曲线的标准方程，椭圆与双曲线的定义，向量垂直问题．【思路点拨】（1）利用向量的数量积的坐标运算来求出轨迹方程，但一定要注意对参数的讨论；（2）利用椭圆或双曲线的定义确定点P 的位置，以PQ 为直径的圆G 过点2F ，即022=⋅QF PF ，利用向量垂直的坐标运算来解决．【解析】（1）∵b a ⊥，∴()()02,2,=+⋅-=⋅y kx y x b a ，得0422=-+y kx ，即422=+y kx ．（1分）当0=k 时，方程表示两条与x 轴平行的直线；（2分）当1=k 时，方程表示以原点为圆心，以2为半径的圆；（3分）当0＜k ＜1时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；（4分）当k ＞1时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；（5分）当k ＜0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线．（6分）（2）由（1）知，轨迹T 是椭圆13422=+x y ，则1F 、2F 为椭圆的两焦点．解法一：由椭圆定义得421=+PF PF ,联立121=-PF PF 解得251=PF ，232=PF ，又221=F F ，有2212221F F PF PF +=,∴212F F PF ⊥，∴P 的纵坐标为1，把1=y 代入13422=+x y 得23=x 或23-=x （舍去），∴⎪⎭⎫ ⎝⎛1,23P ．（9分）设存在满足条件的圆，则22QF PF ⊥，设()t s Q ,，则⎪⎭⎫⎝⎛-=0,232PF ，()t s QF --=1,2,∴022=⋅QF PF ，即()01023=-⨯+t s ,∴0=s ．又13422=+s t ，∴2±=t ,∴()2,0Q 或()2,0-Q ．（12分）所以圆G 的方程：1613234322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 或1645214322=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ．（13分）。

中考数学专题几何型综合问题题型专讲专练课件(12、13真题为例)

几何计算型综合问题，其中以线段的计算最为常见，线段的计算通常是通过勾股定理、相交弦定理、切割线定理及推论、相似三角形对应边成比例所提供的等式进行的，这些等式可以根据不同的已知条件转化为方程或方程组．
一个方法
几何图形可以直观的表示出来，在人们认识图形的初级阶段主要依靠形象思维．人们对几何图形的认识始于观察、测量、比较等直观实验手段，人们可以通过直观实验了解几何图形，发现其中的规律．
一个方法
几何图形可以直观的表示出来，在人们认识图形的初级阶段主要依靠形象思维．人们对几何图形的认识始于观察、测量、比较等直观实验手段，人们可以通过直观实验了解几何图形，发现其中的规律．
一个策略
几何证明常用的方法是综合法，它是以题设作为出发点，根据已确定的公理和定理，逐步推理，直接推得结论成立(或问题解决)．在综合法的思路过程中，我们应当研究由题设的条件(或部分的条件)能得出哪些中间结果，进而再研究由这些中间结果(或它们的组合)又能得到哪些结果，如此继续研究思考，直到推出题中的结论成立．
(((111)))几几几何何何型型型综综综合合合题题题，，，常常常用用用相相相似似似与与与圆圆圆的的的有有有关关关知知知识识识作作作为为为考考考查查查重重重点点点，，，并并并贯贯贯穿穿穿几几几何何何、、、代代代数数数、、、三三三角角角函函函数数数等等等知知知识识识，，，以以以证证证明明明、、、计计计算算算等等等题题题型型型出出出现现现．．．
一个策略
几何证明常用的方法是综合法，它是以题设作为出发点，根据已确定的公理和定理，逐步推理，直接推得结论成立(或问题解决)．在综合法的思路过程中，我们应当研究由题设的条件(或部分的条件)能得出哪些中间结果，进而再研究由这些中间结果(或它们的组合)又能得到哪些结果，如此继续研究思考，直到推出题中的结论成立．

立体几何的探索性问题-高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品

高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题04立体几何的探索性问题类型对应典例探索位置问题典例1“线定，面动”探索线面平行问题典例2“线动，面定”探索线面平行问题典例3探索线线垂直问题典例4探索线面垂直问题典例5探索面面垂直问题典例6探索二面角问题典例7【典例1】如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为45，求λ的值．【典例2】如图，在平行四边形ABCD 中，2,4,60AB AD BAD ︒==∠=，平面EBD ⊥平面ABD ，且,EB CB ED CD ==.（1）在线段EA 上是否存在一点F ，使//EC 平面FBD ，证明你的结论；（2）求二面角A EC D --的余弦值.【典例3】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，12BC CD AD ==.（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAB ；（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面PAB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由.【典例4】在三棱锥P—ABC 中，PB ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB=PB =2，BC =2E 、G 分别为PC 、PA 的中点.（1）求证：平面BCG ⊥平面PAC ；（2）假设在线段AC 上存在一点N ，使PN ⊥BE ，求ANNC的值；（3）在（2）的条件下，求直线BE 与平面PBN 所成角的正弦值【典例5】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，2PA AD ==．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）在棱PC 上是否存在点H ，使得AH ⊥平面PCD ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由．【典例6】直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证：（1）//EF 平面11AA C C ；（2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AA C C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由.【典例7】如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，AD ⊥DE ，AF ＝，DE ＝.（1）求直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值；（2）在线段AF 上是否存在点M ，使得二面角M BE D 的大小为60°？若存在，求出AMAF的值；若不存在，说明理由.1.如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2，∠ABC ＝3π，E ，F 分别是BC ，A 1C的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段A 1D 上，11A MA Dλ=．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．2．如图，在四棱锥PABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD ．E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(II)若二面角PCDA 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.3．已知四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为155，点F 在PC 上移动.（Ⅰ）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C AF E --的余弦值.4．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA PD =，PA AB ⊥，N 是棱AD 的中点.(1)求证：PN ^平面ABCD ；(2)在棱BC 上是否存在点E ，使得//BN 平面DEP ？并说明理由.5．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，AD BC ∕∕，AD CD ⊥，且2PC BC AD ==2CD ==2PA =．(1)PA ⊥平面ABCD ；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PMPD的值；如果不存在，请说明理由．6．如图，在四棱锥S ABCD -中，已知四边形ABCD的正方形，点S 在底面ABCD 上的射影为底面ABCD 的中心点O ，点P 在棱SD 上，且SAC 的面积为1．（1）若点P 是SD 的中点，求证：平面SCD ⊥平面PAC ；（2）在棱SD 上是否存在一点P 使得二面角P AC D --？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．7．如图，在三棱锥A BCD -中，顶点A 在底面BCD 上的投影O 在棱BD 上，AB AD ==，2BC BD ==，90CBD ∠=︒，E 为CD 的中点．（1）求证：AD ⊥平面ABC ；（2）求二面角B AE C --的余弦值；（3）已知点Q 为AE 的中点，在棱BD 上是否存在点P ，使得PQ ⊥平面ABE ，若存在，求BPBD的值；若不存在，说明理由．8．如图，AC 是O 的直径，点B 是O 上与A ，C 不重合的动点，PO ⊥平面ABC .（1）当点B 在什么位置时，平面OBP ⊥平面PAC ，并证明之；（2）请判断，当点B 在O 上运动时，会不会使得BC AP ⊥，若存在这样的点B ，请确定点B 的位置，若不存在，请说明理由.参考答案【典例1】【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD .又因为∠BAD ＝90°，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则由AD ＝2AB ＝2BC ＝4，PA ＝4可得A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，4，0)，P (0，0，4)．又因为M 为PC 的中点，所以M (1，1，2)．所以BM＝(－1，1，2)，AP ＝(0，0，4)，所以cos 〈AP ，BM 〉＝||||⋅AP BMAP BM63，所以异面直线AP ，BM所成角的余弦值为3.（2）因为AN ＝λ，所以N (0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN ＝(－1，λ－1，－2)，BC ＝(0，2，0)，PB＝(2，0，－4)．设平面PBC 的法向量为m＝(x,y,z )，则00m BC m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20240y x z =⎧⎨-=⎩令x ＝2，解得y ＝0，z ＝1，所以m＝(2，0，1)是平面PBC 的一个法向量．因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以|cos 〈MN ，m 〉|＝||||||⋅MN MN m m ＝2|22|5(1)5λ--+-⋅＝45，解得λ＝1∈[0，4]，所以λ的值为1.【典例2】【详解】（1）存在点F ，点F 为EA 的中点证明：当点F 为EA 的中点时，连结AC 交BD 于O ，∵平行四边形ABCD ，∴O 为AC 的中点，连结OF ，则//OF EC ，∵FO ⊂平面BDF ，EC ⊂/平面BDF ，∴//EC 平面FBD .（2）∵4,2EB CB AD ED CD AB ======，60BAD ∠=︒∴23BD =，∴222BE BD ED =+，222BC BD DC =+，∴BD ED ⊥，BD DC ⊥又∵平面EBD ⊥平面ABD ，∴ED ⊥平面ABCD ，BD ⊥平面ECD ，以DB 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，如图建系：D xyz-则(0,0,0)D ，(23,2,0)A -，(0,2,0)C ，(0,0,2)E ，(23,0,0)B ∴(23,4,0)AC =- ，(23,2,2)AE =-∴(23,0,0)DB =为平面ECD 的一个法向量，令平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，∴40220n AC y n AE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ 取2x =，y =，z =∴平面ACD的一个法向量为(n =，令二面角A EC D --为θ，由题意可知θ为锐角，则||10cos |cos ,|5||||n DB n DB n DB θ⋅=<>===⋅.【典例3】【详解】（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥PA .因为CD ⊥AD ，PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD .因为PD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PD .(II )因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA .在直角梯形ABCD 中，12BC CD AD ==，由题意可得AB BD ==，所以222AD AB BD =+，所以BD AB ⊥.因为PA AB A = ，所以BD ⊥平面PAB .（Ⅲ）解：在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面PAB ，且M 是PD 的中点.证明：取PA 的中点N ，连接MN ，BN ，因为M 是PD 的中点，所以12MN AD .因为12BC AD，所以MN BC .所以MNBC 是平行四边形，所以CM ∥BN .因为CM ⊄平面PAB ,BN ⊂平面PAB .所以//CM 平面PAB .【典例4】【详解】（1）因为PB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PB BC ⊥，又AB BC ⊥，AB BP B = ，所以BC ⊥平面PAB ，则BC PA ⊥①，又2AB PB ==，PAB ∆为等腰直角三角形，G 为斜边PA 的中点，所以BG PA ⊥②，又BG BC B ⋂=，所以PA ⊥平面BCG ，因PA ⊂平面PAC ，则有平面BCG ⊥平面PAC ；（2）分别以,,BA BC BP为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，那么(2,0,0),(0,(0,0,2),A C P BE =，因此(2,AC =- ，(2,0,2)PA =-，设(2,,0)AN AC λλ==-，那么(22,,2)PN λ=--，由PN BE ⊥，得0PN BE ⋅=，解得13λ=.因此13AN AC = ，因此12AN NC =；（3）由（2）知423(,,2)33PN =-，设平面PBN 的法向量为(,,)n x y z = ，则0,0n PN n BP ⋅=⋅=，即2042033z x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令x =2y =-，0,z =因此2,0)n =-，设直线BE 与平面PBN 所成角为θ，那么sin 7BE n BE n θ⋅===⋅ .【典例5】解（1）由题意，可得DC AC ==，∴222A C D C A D +=，即AC DC ⊥，又PA ⊥底面ABCD ，∴PA CD ⊥，且PA AC A = ，∴DC ⊥平面PAC ；（2）过点A 作AH PC ⊥，垂足为H ，由（1）可得CD AH ⊥，又PC CD C = ，∴AH ⊥平面PCD .在Rt PAC △中，∵2PA =，AC =PH PAPA PC=∴23PH PC =.即在棱PC 上存在点H ，且23PH PC =，使得AH ⊥平面PCD.【典例6】【详解】（1）如图所示：以1A 为原点，11A D ，11A B ，1A A 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则1(0,0,0)A ，1(0,2,0)B ，1(2,2,0)C ，设(0,0,)A a ，则4(0,,)3E a ，2(,2,0)3F ，所以22(,,)33EF a =- ，1(0,0,)A A a = ，11(2,2,0)AC = ，因为11113EF A A A C =-+ ，所以EF ，1A A ，11AC共面，又EF 不在平面11AA C C 内，所以//EF 平面11AA C C（2）线段AC 上存在一点G ，使面EFG ⊥面11AA C C ，且3AG =，证明如下：在三角形AGE 中，由余弦定理得EG ==3==，所以222AG EG AE +=，即EG AG ⊥，又1A A ⊥平面ABCD ，EG ⊂平面ABCD ，、所以1A A EG ⊥，而1AG A A A ⋂=，所以EG ⊥平面11AA C C ，因为EG ⊂平面EFG ，所以EFG ⊥面11AA C C ，【典例7】【详解】（1）因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz ，如图所示.则A （3，0，0），F （3，0，，E （0，0，），B （3，3，0），C （0，3，0），CA =（3，－3，0），BE＝（－3，－3，），EF＝（3，0，.设平面BEF 的法向量为n＝（x 1，y 1，z 1），1111133030n BE x y n EF x ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 取x 1，得n，，3）.所以||13|cos ,|13||||CA n CA n CA n ⋅<>===所以直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值为1313.（2）假设存在点M 在线段AF 上满足条件，设M （3，0，t ），0≤t≤则BM＝（0，－3，t ），BE ＝（－3，－3，）.设平面MBE 的法向量为m＝（x 2，y 2，z 2），2222230330m BM y tz m BE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩令y 2＝t ，得m＝（t ，t ，3）.易知CA＝（3，－3，0）是平面BED 的一个法向量，所以|cos ,|m CA <>|12=，整理得2t 2－t ＋15＝0，解得t＝2或t ＝562（舍去），故在线段AF 上存在点M ，使得二面角M BE D 的大小为60°，此时14AM AF =.1.【思路引导】（1）由四棱柱1111ABCD A B C D -，证得11,A A AE A A AD ⊥⊥，进而得到AE AD ⊥，以{}1,,AE AD A A为正交基底建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算，即可求解,EF AD 所成角的余弦值；（2）设(,,)M x y z ，由点M 在线段1A D 上，得到11A M A Dλ=，得出向量CM则坐标表示，再求得平面AEF 的一个法向量，利用向量的数量积的运算，即可得到λ的值。

中考数学专题几何型综合问题专讲专练12、13真题为例试题

几何型综合问题一、选择题〔每一小题6分，一共30分〕 1.〔2021·〕连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图〔扇形、菱形、直角梯形、红十字图标〕中“直径〞最小的是〔〕2.〔2021·〕如图，Rt △ABC 的顶点B 在反比例函数y=x 12的图象上，AC 边在x 轴上，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，那么图中阴影局部的面积是〔〕A.12B.43C.12－33D.12－2333.〔2021·〕如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，连接AF ，CE ，假设DE=BF ，那么以下结论：①CF=AE ；②OE=OF ；③四边形ABCD 是平行四边形；④图中一共有四对全等三角形.其中正确结论的个数是〔〕A.4B.34.〔2021·〕直线1l ∥2l ∥3l ，且1l 与2l 的间隔为1，2l 与3l 的间隔为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A ，B ，C 恰好分别落在三条直线上，AC 与直线2l 交于点D ，那么线段BD 的长度为〔〕A. 425B. 325C. 320D. 4155.〔2021·〕如图，ABCD 是平行四边形，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，AD=OA=1，那么图中阴影局部的面积为〔〕A. 43B. 43+6π C.23-6π D. 3二、填空题〔每一小题6分，一共30分〕6.〔2021·〕如图，矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，矩形ABCD 的周长是20cm ，AE=5cm ，那么AB 的长为 cm.7.〔2021·〕如下图，在边长为3的正方形ABCD 中，⊙1O 与⊙2O 外切，且⊙O 2分别与DA ，DC 边外切，⊙1O 分别与BA ，BC 边外切，那么圆心距1O 2O 为 .8.〔2021·〕矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，P ，Q 是对角线BD 上不重合的两点，点P 关于直线AD ，AB 的对称点分别是点E ，F ，点Q 关于直线BC ，CD 的对称点分别是点G ，H.假设由点E ，F ，G ，H 构成的四边形恰好为菱形，那么PQ 的长为 .9.〔2021·〕如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△1A 1C 1D ，连接1AD ，1BC .假设∠ACB=30°，AB=1，1CC =x ，△ACD 与△1A 1C 1D 重叠局部的面积为S ，那么以下结论：①△1A 1AD ≌△B CC 1；②当x=1时，四边形1ABC 1D 是菱形；③当x=2时，△1BDD 为等边三角形；④S=83()22-x 0＜x ＜2〕. 其中正确的选项是 .〔填序号〕10.〔2021·〕如图，AE 是半圆O 的直径，弦AB=BC=42，弦CD=DE=4，连接OB ，OD ，那么图中两个阴影局部的面积和为 .三、解答题〔一共40分〕 11.〔12分〕〔2021·〕如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，正方形DEFG 的顶点D 在边AC 上，点E ，F 在边AB 上，点G 在边BC 上.〔1〕求证：△ADE ≌△BGF ；〔2〕假设正方形DEFG 的面积为162cm ，求AC 的长.12.〔14分〕〔2021·〕某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形ABCD 中，AB＝6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合.三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q.〔1〕求证：DP＝DQ；〔2〕如图，小明在图①的根底上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜想他的结论并予以证明；〔3〕如图，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，假设AB∶AP＝3∶4，请帮小明算出△DEP的面积.13.〔14分〕〔2021·〕AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O 上运动〔不与点B重合〕，连接CD，且CD=OA.〔1〕当OC=22时〔如图〕，求证：CD是⊙O的切线；〔2〕当OC＞22时，CD所在直线与⊙O相交，设另一交点为E，连接AE.①当D为CE中点时，求△ACE的周长;②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？假设存在，请说明梯形个数并求此时AE·ED的值；假设不存在，请说明理由.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

【精品】2021年八年级数学上几何新定义题型专题训练含答案与试题解析

2021年八年级数学上几何新定义题型专题训练一．填空题（共1小题）1．（2019•金昌）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．二．解答题（共17小题）2．（2020秋•丹阳市期末）[定义]如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“二分等腰线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“三分等腰线”．[理解]（1）如图（1），在△ABC中，∠A＝33°，∠C＝81°，请你在这个三角形中画出它的“二分等腰线”，不限作法，请在图中标出等腰三角形顶角的度数．（2）如图（2），已知△ABC是一个顶角为36°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“三分等腰线”，不限作法，请在图中标出所分得的等腰三角形底角的度数．[应用]（3）小明在学习了上面的材料后得到一个结论：直角三角形一定存在“二分等腰线”；而小丽则认为直角三角形也一定存在“三分等腰线”．①你认为直角三角形的就是它的“二分等腰线”；②如图（3），在△ABC中，∠C＝90°，请你在图（3）中帮助小丽画出△ABC的“三分等腰线”（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（4）在△ABC中，∠C＝33°，AD和DE分别是△ABC的“三分等腰线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请根据题意写出∠B度数的所有可能的值．3．（2018秋•滨湖区期中）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C ＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．【应用】（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值；（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB 边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．4．（2016•顺义区一模）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．例如：Rt△ABC，取边AB的中点D，线段CD就是△ABC的等腰线段．（1）请分别画出下列三角形的等腰线段；（2）如图，在△EFG中，若∠G＝2∠F，且△EFG有等腰线段，请直接写出∠F的度数的取值范围．5．（2020秋•亭湖区校级期中）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”．（1）如图1，在△ABC中，D是边BC上一点，若∠B＝30°，∠BAD＝∠C＝40°，求证：AD为△ABC 的“等角分割线”；（2）如图2，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°；①利用直尺和圆规，作出△ABC的“等角分割线”；②若BC＝6，求出①中画出的“等角分割线”的长度．（3）在△ABC中，∠A＝42°，若△ABC存在“等角分割线”CD，求出所有符合要求的∠ACB的度数．6．（2019秋•高安市期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用（2）如图2，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A ＝40°，∠B ＝60°．求证：CD 为△ABC 的等角分割线．（3）在△ABC 中，∠A ＝42°，CD 是△ABC 的等角分割线，直接写出∠ACB 的度数．7．（2019秋•西城区校级期中）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似的，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等边四边形．（1）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，设CD ，BE 相交于点O ，若∠A ＝60°，∠DCB＝∠EBC =12∠A ．请你写出图中一个与∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？（2）在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且∠DCB ＝∠EBC ═12∠A ．探究：满足上述条件的图形是否存在等对边四边形，并证明你的结论．8．（2019秋•临沭县期中）若等腰三角形的顶角为36°，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC 中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．（1）如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明；（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB，AC于点N，E，如图2，试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．9．（2018秋•海安市期末）定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心．（1）如图①，小海同学在作△ABC的外心时，只作出两边BC，AC的垂直平分线得到交点O，就认定点O是△ABC的外心，你觉得有道理吗？为什么？（2）如图②，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF，连接DE，EF，DF，得到△DEF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心．10．（2020•汇川区模拟）我们定义：如图1、图2、图3，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β＝180°时，我们称△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B'C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．图1、图2、图3中的△AB′C′均是△ABC的“旋补三角形”．（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，“旋补中线”AD与BC的数量关系为：AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则“旋补中线”AD长为．（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD与BC的数量关系，并给予证明．11．（2020•天心区开学）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P为AC上一点，当AP＝时，△ABP与△CBP为偏等积三角形．（2）如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝6，且线段AD的长度为正整数，过点C 作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AE的长度（3）如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为边问外作正方形ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．12．（2018秋•海淀区期末）如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC所在直线上一点，且D与C不重合，若EC＝ED．则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心．在平面直角坐标系xOy中，（1）已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为（2，0），点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称点D在直线OC上．①如图2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐标：；②若AE＝2，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；（2）若等边三角形ABC的顶点为B（n，0），C（n+1，0），反称中心E在直线AB上，反称点D在直线BC上，且2≤AE＜3．请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围：（用含n的代数式表示）．13．（2019秋•东城区期末）对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，……，M n都在△ABC的边上，且PM1＝PM2＝PM3＝……＝PM n，那么称点M1，M2，M3，……，M n为△ABC 关于点P的等距点，线段PM1，PM2，PM3，……，PM n为△ABC关于点P的等距线段．（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，点P是BC的中点．①点B，C△ABC关于点P的等距点，线段P A，PB△ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）②△ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；（2）△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC ＝1，求线段DC的长；（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BC＝a，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示）2021年八年级数学上新定义题型参考答案与试题解析一．填空题（共1小题）1．（2019•金昌）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A ＝80°，则它的特征值k ＝85或14 ．【解答】解：①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：180°−80°2=50°∴特征值k =80°50°=85 ②当∠A 为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k =20°80°=14综上所述，特征值k 为85或14故答案为85或14 二．解答题（共17小题）2．（2020秋•丹阳市期末）[定义]如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“二分等腰线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“三分等腰线”．[理解]（1）如图（1），在△ABC 中，∠A ＝33°，∠C ＝81°，请你在这个三角形中画出它的“二分等腰线”，不限作法，请在图中标出等腰三角形顶角的度数．（2）如图（2），已知△ABC 是一个顶角为36°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“三分等腰线”，不限作法，请在图中标出所分得的等腰三角形底角的度数．[应用]（3）小明在学习了上面的材料后得到一个结论：直角三角形一定存在“二分等腰线”；而小丽则认为直角三角形也一定存在“三分等腰线”．①你认为直角三角形的斜边上的中线就是它的“二分等腰线”；②如图（3），在△ABC 中，∠C ＝90°，请你在图（3）中帮助小丽画出△ABC 的“三分等腰线”（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（4）在△ABC 中，∠C ＝33°，AD 和DE 分别是△ABC 的“三分等腰线”，点D 在BC 边上，点E 在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请根据题意写出∠B度数的所有可能的值38°或22°．【解答】解：（1）如图（1）中，线段CD即为所求；（2）如图（2）中，线段AE，BF即为所求；（3）①你认为直角三角形的斜边上的中线就是它的“二分等腰线”；故答案为：斜边上的中线．②如图（3），线段BE，CT即为所求；（4）设∠B＝x，①当AD＝DE时，如图1（a），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝33°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x，∴∠AED＝∠DAE＝2x，∴33°×2+2x+x＝180°，∴x＝38°，∴∠B＝38°；②当AD＝AE时，如图1（b），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝33°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x，∴∠AED＝∠ADE＝2x，∴2x+x＝33°+33°，∴x＝22°，∴∠B＝22°．③当EA＝DE时，∵90°﹣x+33°+33°+x＝180°，∴x不存在，应舍去．综合上述：∠B的度数的所有可能值为38°或22°，故答案为：38°或22°．3．（2018秋•滨湖区期中）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C ＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．【应用】（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值103.5°或126°；（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB 边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．【解答】解：【定义】如图①，如图②所示，【应用】（1）①如图④当∠B＝42°，AD为“好线”，则BA＝BD，AD＝CD，这个三角形最大内角是∠BAC＝103.5°；②如图⑦当∠B＝42°时，CD为“好线”，则AD＝AC，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ACB＝126°，综上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是103.5°或126°，故答案为：103.5°或126°；（2）设∠B＝x°，①当AD＝DE时，如图1（a），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠DAE＝2x°，∴27×2+2x+x＝180，∴x＝42，∴∠B＝42°；②当AD＝AE时，如图1（b），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠ADE＝2x°，∴2x+x＝27+27，∴x＝18，∴∠B＝18°．③当EA＝DE时，∵90﹣x+27+27+x＝180，∴x不存在，应舍去．综合上述：满足条件的x＝42°或18°．4．（2016•顺义区一模）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．例如：Rt△ABC，取边AB的中点D，线段CD就是△ABC的等腰线段．（1）请分别画出下列三角形的等腰线段；（2）如图，在△EFG中，若∠G＝2∠F，且△EFG有等腰线段，请直接写出∠F的度数的取值范围．【解答】解：（1）三角形的等腰线段如图所示，（2）设∠F＝x，则∠G＝2x，如图2，线段EM是等腰线段，∵△EMG是等腰三角形，∴EM＝EG，ME＝MF，∴∠F＝∠MEF＝x，∠EMG＝∠G＝2x，∴2x＜90°，∴x＜45°；如图3，GN为等腰线段，若NF＝NG，GN＝GE，∴∠F＝∠NGF＝x，∠E＝∠ENG，∴∠EGN＝x，∠ENG＝2x，∴∠E＝2x，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，若NF＝NG，NE＝NG，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠F＝45°，∴∠F的度数的取值范围为0°＜x≤45°．5．（2020秋•亭湖区校级期中）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”．（1）如图1，在△ABC中，D是边BC上一点，若∠B＝30°，∠BAD＝∠C＝40°，求证：AD为△ABC 的“等角分割线”；（2）如图2，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°；①利用直尺和圆规，作出△ABC的“等角分割线”；②若BC＝6，求出①中画出的“等角分割线”的长度．（3）在△ABC中，∠A＝42°，若△ABC存在“等角分割线”CD，求出所有符合要求的∠ACB的度数．【解答】（1）证明：∵∠B＝30°，∠BAD＝∠C＝40°，∴∠ADB＝∠BAC＝180°﹣40°﹣30°＝110°，又∵∠B＝∠B，∴△ABD的三个内角与△ABC的三个内角的度数分别相等，∵∠B＝30°，∠BAD＝40°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°，又∵∠C＝40°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝70°＝∠ADC，∴AC＝DC，∴△ACD是等腰三角形，∴AD为△ABC的“等角分割线”；（2）解：①画∠BAC的角平分线，交BC于点D，线段AD即为所求；如图2所示：理由如下：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°＝∠B，∴∠ADC＝60°＝∠BAC，又∵∠C＝∠C，∴△ADC的三个内角与△ABC的三个内角分别相等，∵∠BAD＝∠B，∴AD＝BD，∴△ABD是等腰三角形，∴AD为△ABC的“等角分割线”；②设CD＝x，∵△ADC中，∠C＝90°，∠DAC＝30°，∴AD＝2CD＝2x，∴BD＝AD＝2x，∵BC＝6，∴x+2x＝6，∴x＝2，∴AD＝2x＝4；（3）当△ACD是等腰三角形，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝42°，∴∠ACB＝∠BDC＝42°+42°＝84°，当△ACD是等腰三角形，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝69°，∠BCD＝∠A＝42°，∴∠ACB＝69°+42°＝111°，当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，当△BCD是等腰三角形，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝46°，∴∠ACB＝92°，当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，设∠BDC＝∠BCD＝x，则∠B＝180°﹣2x，则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，由题意得，180°﹣2x+42°＝x，解得，x＝74°，∴∠ACD＝180°﹣2x＝32°，∴∠ACB＝106°，当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在，∴∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°．6．（2019秋•高安市期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的等角分割线．（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．【解答】解：（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；（2）∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°∵CD为角平分线，∴∠ACD＝∠DCB=12∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，∴CD＝DA，∵在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，∴∠BDC＝∠ACB，∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，∴CD为△ABC的等角分割线；（3）当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝42°，∴∠ACB＝∠BDC＝42°+42°＝84°，当△ACD是等腰三角形，如图，3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝69°，∠BCD＝∠A＝42°，∴∠ACB＝69°+42°＝111°，当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝46°，∴∠ACB＝92°，当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，设∠BDC＝∠BCD＝x，则∠B＝180°﹣2x，则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，由题意得，180°﹣2x +42°＝x ，解得，x ＝74°，∴∠ACD ＝180°﹣2x ＝32°，∴∠ACB ＝106°，当△BCD 是等腰三角形，CD ＝CB 的情况不存在，∴∠ACB 的度数为111°或84°或106°或92°．7．（2019秋•西城区校级期中）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似的，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等边四边形．（1）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，设CD ，BE 相交于点O ，若∠A ＝60°，∠DCB ＝∠EBC =12∠A ．请你写出图中一个与∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？（2）在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且∠DCB ＝∠EBC ═12∠A ．探究：满足上述条件的图形是否存在等对边四边形，并证明你的结论．【解答】解：（1）∵∠A ＝60°，∠DCB ＝∠EBC =12∠A ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°，∴∠BOD ＝∠EOC ＝∠OBC +∠OCB ＝60°，∴与∠A 相等的角是∠BOD ，∠EOC ．如图1，过点B 作BG ⊥CD 于G ，过点C 作CF ⊥BE 于F ．∵∠DCB ＝∠EBC =12∠A ，∴OB ＝OC ，在△BGO 和△CFO 中，{∠BGO =∠CFO ∠BOG =∠COF OB =OC，∴△BGO ≌△CFO （AAS ），∴BG ＝CF ，∵∠BOD ＝∠A ，∴∠BDG ＝∠BOD +∠ABE ＝∠A +∠ABE ＝∠CEF ，∵∠BDG ＝∠CEF ，∠BGD ＝∠CEF ＝90°，BG ＝CE ，∴△BGD ≌△CFE （AAS ）∴BD ＝CE ，∴四边形BCED 是等对边四边形；（3）结论：四边形BCED 是等对边四边形．理由如下：如图2中，作BG ⊥CD 于G ，CF ⊥BE 于F ．∵∠DCB ＝∠EBC =12∠A ，∴OB ＝OC ，在△BGO 和△CFO 中，{∠BGO =∠CFO ∠BOG =∠COF OB =OC，∴△BGO ≌△CFO （AAS ），∴BG ＝CF ，∵∠BOD ＝∠A ，∴∠A +∠DOE ＝180°，∠ADO +∠AEO ＝180°，∵∠AEO +∠CEF ＝180°，∠ADO ＝∠BDG ，∴∠BDG ＝∠CEF ，∵∠BDG ＝∠CEF ，∠BGD ＝∠CEF ＝90°，BG ＝CE ，∴△BGD ≌△CFE （AAS ）∴BD ＝CE ，∴四边形BCED 是等对边四边形．8．（2019秋•临沭县期中）若等腰三角形的顶角为36°，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，BA ＝BC ，D 在边CB 上，且DB ＝DA ＝AC ．（1）如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明；（2）若M 为线段BC 上的点，过M 作直线MH ⊥AD 于H ，分别交直线AB ，AC 于点N ，E ，如图2，试写出线段BN 、CE 、CD 之间的数量关系，并加以证明．【解答】解：（1）△ABC和△ADC都是黄金三角形，理由如下：∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵DB＝DA，∴∠BAD＝∠B，∵DA═AC，∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，又∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴∠B+2∠B+2∠B＝180°，∴∠B＝∠DAC＝36°，∴△ABC和△ADC都是黄金三角形；（2）CD＝BN+CE，理由如下；由（1）知，∠BAD＝∠B＝36°，∠CAD＝36°＝∠BAD，∴AD是∠BAC的平分线，在△ANH和△AEH中{∠BAD=∠CAD ∠AHN=∠AHE AH=AH∴△ANH≌△AEH（ASA），∴AN＝AE，即AB﹣BN＝AC+CE，又∵BA＝BC＝BD+DC，AC＝AD＝BD，∴BC﹣BN＝AD+CE∴BD+CD﹣BN＝AD+CE，又∵AD＝BD，∴CD﹣BN＝CE，即CD＝BN+CE．9．（2018秋•海安市期末）定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心．（1）如图①，小海同学在作△ABC的外心时，只作出两边BC，AC的垂直平分线得到交点O，就认定点O是△ABC的外心，你觉得有道理吗？为什么？（2）如图②，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF，连接DE，EF，DF，得到△DEF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心．【解答】（1）解：定点O 是△ABC 的外心有道理．理由如下：连接OA 、OB 、OC ，如图①，∵BC ，AC 的垂直平分线得到交点O ，∴OB ＝OC ，OC ＝OA ，∴OA ＝OB ＝OC ，∴点O 是△ABC 的外心；（2）证明：连接OA 、OD 、OC 、OF ，如图②，∵点O 为等边△ABC 的外心，∴OA ＝OC ，点O 也是△ABC 的角平分线的交点，∴∠OAC ＝∠OCA ＝30°，∴∠AOC ＝120°，在△AOD 和△COF 中{OA =OC ∠OAD =∠OCF AD =CF，∴△AOD ≌△COF （SAS ），∴OD ＝OF ，同理可得OD ＝OE ，∴OD ＝OE ＝OF ，∴点O 是△DEF 的外心．10．（2020•汇川区模拟）我们定义：如图1、图2、图3，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB ′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B ′C ′，当α+β＝180°时，我们称△AB 'C ′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB ′C ′边B 'C ′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．图1、图2、图3中的△AB ′C ′均是△ABC 的“旋补三角形”．（1）①如图2，当△ABC 为等边三角形时，“旋补中线”AD 与BC 的数量关系为：AD ＝12 BC ；②如图3，当∠BAC ＝90°，BC ＝8时，则“旋补中线”AD 长为 4 ．（2）在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD 与BC 的数量关系，并给予证明．【解答】解：（1）①如图2中，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝AB ′＝AC ′，∵DB ′＝DC ′，∴AD ⊥B ′C ′，∵∠BAC ＝60°，∠BAC +∠B ′AC ′＝180°，∴∠B ′AC ′＝120°，∴∠B ′＝∠C ′＝30°，∴AD =12AB ′=12BC ，故答案为12． ②如图3中，∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC＝B′C′，∵B′D＝DC′，∴AD=12B′C′=12BC＝4，故答案为4．（2）结论：AD=12BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M∵B′D＝DC′，AD＝DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′＝B′M＝AC，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC＝AM，∴AD=12BC．11．（2020•天心区开学）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P为AC上一点，当AP＝2时，△ABP与△CBP为偏等积三角形．（2）如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝6，且线段AD的长度为正整数，过点C 作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AE的长度（3）如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为边问外作正方形ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．【解答】解：（1）如图1中，当AP＝PC＝2时，S△P AB＝S△PBC，∵△ABP与△PBC不全等，∴△ABP与△CBP为偏等积三角形，故答案为2．（2）如图2中，∵△ABD与△ACD为偏等积三角形，∴BD＝CD，∵AB ∥EC ，∴∠BAD ＝∠E ，∵∠ADB ＝∠EDC ，∴△ADB ≌△EDC （AAS ），∴AD ＝DE ，AB ＝EC ＝2，∵AC ＝6，∴6﹣2＜AE ＜6+2，∴4＜2AD ＜8，∴2＜AD ＜4，∵AD 为正整数，∴AD ＝3，∴AE ＝2AD ＝6．（3）如图3中，过点B 作BH ⊥AE ，垂足为H ．∵四边形ABFC 和四边形ADGE 均为正方形，∴∠HAC +DAC ＝90°，∠BAH +∠HAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ．∴∠BAH ＝∠DAC ．在△ABH 和△ACD 中，{∠BAH =∠DAC ∠H =∠ADC =90°AB =AC，∴△ABH ≌△ACD （AAS ）．∴CD ＝HB ．∵S △ABE =12AE •BH ，S △CDA =12AD •DC ，AE ＝AD ，CD ＝BH ，∴S △ABE ＝S △CDA ．∴△ACD 与△ABE 为偏等积三角形．12．（2018秋•海淀区期末）如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC所在直线上一点，且D与C不重合，若EC＝ED．则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心．在平面直角坐标系xOy中，（1）已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为（2，0），点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称点D在直线OC上．①如图2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐标：（﹣1，0）；②若AE＝2，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；（2）若等边三角形ABC的顶点为B（n，0），C（n+1，0），反称中心E在直线AB上，反称点D在直线BC上，且2≤AE＜3．请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围：n ﹣3＜t≤n﹣2或n+2≤t＜n+3（用含n的代数式表示）．【解答】解：（1）①如图，过点E作EF⊥OC，垂足为F，∵EC＝ED，EF⊥OC∴DF＝FC，∵点C的坐标为（2，0），∴AO＝CO＝2，∵点E是AO的中点，∴OE＝1，∵∠AOC＝60°，EF⊥OC，∴∠OEF＝30°，∴OE＝2OF＝1∴OF=1 2，∵OC＝2，∴CF=32=DF，∴DO＝1∴点D坐标（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）②∵等边三角形AOC的两个顶点为O（0，0），C（2，0），∴OC＝2．∴AO＝OC＝2．∵E是等边三角形AOC的边AO所在直线上一点，且AE＝2，∴点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上，如图，若点E与坐标原点O重合，∵EC＝ED，EC＝2，∴ED＝2．∵D是边OC所在直线上一点，且D与C不重合，∴D点坐标为（﹣2，0）如图，若点E在边OA的延长线上，且AE＝2，∵AC＝AE＝2，∴∠E＝∠ACE．∵△AOC为等边三角形，∴∠OAC＝∠ACO＝60°．∴∠E＝∠ACE＝30°．∴∠OCE ＝90°．∵EC ＝ED ，∴点D 与点C 重合．这与题目条件中的D 与C 不重合矛盾，故这种情况不合题意，舍去，综上所述：D （﹣2，0）（2）∵B （n ，0），C （n +1，0），∴BC ＝1，∴AB ＝AC ＝1∵2≤AE ＜3，∴点E 在AB 的延长线上或在BA 的延长线上，如图点E 在AB 的延长线上，过点A 作AH ⊥BC ，过点E 作EF ⊥BD∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝CH =12，∵AH ⊥BC ，EF ⊥BD∴AH ∥EF∴AB BE =BH BF若AE ＝2，AB ＝1∴BE ＝1，∴AB BE =BH BF =1∴BH ＝BF =12∴CF =32=DF∴D 的横坐标为：n −12−32=n ﹣2，若AE ＝3，AB ＝1∴BE ＝2，∴AB BE =BH BF =12 ∴BF ＝2BH ＝1∴CF ＝DF ＝2∴D 的横坐标为：n ﹣1﹣2＝n ﹣3，∴点D 的横坐标t 的取值范围：n ﹣3＜t ≤n ﹣2，如图点E 在BA 的延长线上，过点A 作AH ⊥BC ，过点E 作EF ⊥BD ，同理可求：点D 的横坐标t 的取值范围：n +2≤t ＜n +3，综上所述：点D 的横坐标t 的取值范围：n ﹣3＜t ≤n ﹣2或n +2≤t ＜n +3．故答案为：n ﹣3＜t ≤n ﹣2或n +2≤t ＜n +3．13．（2019秋•东城区期末）对于△ABC 及其边上的点P ，给出如下定义：如果点M 1，M 2，M 3，……，M n 都在△ABC 的边上，且PM 1＝PM 2＝PM 3＝……＝PM n ，那么称点M 1，M 2，M 3，……，M n 为△ABC 关于点P 的等距点，线段PM 1，PM 2，PM 3，……，PM n 为△ABC 关于点P 的等距线段．（1）如图1，△ABC 中，∠A ＜90°，AB ＝AC ，点P 是BC 的中点．①点B ，C 是 △ABC 关于点P 的等距点，线段P A ，PB 不是 △ABC 关于点P 的等距线段；（填“是”或“不是”）②△ABC 关于点P 的两个等距点M 1，M 2分别在边AB ，AC 上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM 1，PM 2；（2）△ABC 是边长为4的等边三角形，点P 在BC 上，点C ，D 是△ABC 关于点P 的等距点，且PC＝1，求线段DC的长；（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BC＝a，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示）【解答】解：（1）①∵点P是BC的中点，∴PB＝PC，∴点B，C是△ABC关于点P的等距点；∵AB＝AC，∴P A⊥BC，P A≠PB，∴线段P A，PB不是△ABC关于点P的等距线段；故答案为：是，不是；②作PM1⊥AB于M1，PM2⊥AC于M2，连接P A，如图1﹣1所示：∵AB＝AC，点P是BC的中点，∴P A平分∠BAC，∴PM1＝PM2；由垂线段最短可知：PM1，PM2是△ABC关于点P等距线段最短的线段；（2）如图1﹣2，以P为圆心，PC长为半径作圆P，交AC于D，交BC于D'，连接PD，则PD'＝PC＝PD＝1，∴CD'＝PC+PD'＝2；∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝4，∠C＝60°，∴△PCD是等边三角形，∴CD＝PC＝1；即线段DC的长为2或1；（3）当PC=12BC=12a时，当P为BC的中点，则PB＝PC，∴B、C是，△ABC关于点P的等距点，作PE⊥AB于E，截取EF＝EB，连接PF，如图2所示：则PF＝PB=12a，∵∠B＝30°，∴PE =12BP =14a ，∴AB 边上存在2个△ABC 关于点P 的等距点，∵△ABC 关于点P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点C ． ∴PC ＜12BC ，即PC ＜a 2；当PC =13BC =13a 时，PB =23a ，PE =12BP =13a ，则△ABC 关于点P 的等距点有2个在BC 上，有1个在AB 上， ∵△ABC 关于点P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点C ． ∴PC ＞13BC ，∴PC 长的取值范围是a 3＜PC ＜a 2．。

中考数学真题专题汇编几何综合题试题

2021年中考数学真题专题汇编—几何综合题单位：乙州丁厂七市润芝学校时间：2022年4月12日创编者：阳芡明25.〔2021〕,在△ABC 中,90LA =, AB AC =,点D 为BC 的中点.(1)如图①,假设点E F 、分别为AB 、AC 上的点，且 DE DF ⊥,求证:BE AF =;(2)假设点E F 、分别为AB 、CA 延长线上的点，且 DE DF ⊥,那么BE AF =吗?请利用图②说明理由23、(2021)如图，在Rt △ABM 和Rt △ADN 的斜边分别为正方形的边AB 和AD ，其中AM=AN 。

(1)求证：Rt △ABM ≌Rt △AND(2)线段MN 与线段AD 相交于T ，假设AT=14AD ,求tan ABM ∠的值N A21.〔2021〕：如图，ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点E ，点G 为AD 的中点，连接CG ，CG 的延长线交BA 的延长线于点F ，连接FD .〔1〕求证：AB AF =；〔2〕假设,120AG AB BCD =∠=︒，判断四边形ACDF 的形状，并证明你的结论.23.〔2021〕如图，在正方形ABCD 中，点G 在边BC 上〔不与点B ，C 重合〕，连结AG ，作DE AG ⊥于点E ，BF AG ⊥于点F ，设BG k BC=.〔1〕求证：AE BF =.〔2〕连结BE ，DF ，设EDF α∠=，EBF β∠=.求证：tan tan k αβ=.〔3〕设线段AG 与对角线BD 交于点H ，AHD ∆和四边形CDHG 的面积分别为1S 和2S .求21S S 的最大值.26.〔2021〕矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一个动点，点F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点.〔1〕求证：BGF FHC ∆≅∆；〔2〕设AD a =，当四边形EGFH 是正方形时，求矩形ABCD 的面积.24.〔2021〕如图，在平行四边形ABCD 中，DB DA =，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE .〔1〕求证：四边形AEBD 是菱形；〔2〕假设DC =tan 3DCB ∠=，求菱形AEBD 的面积.24．〔2021〕在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G．〔1〕如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．①假设点G为DE中点，求FG的长．②假设DG=GF，求BC的长．〔2〕BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？假设存在，求该三角形的腰长；假设不存在，试说明理由．24.〔2021〕如图，ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F.〔1〕求证：CF AB；〔2〕连接BD BF 、，当90BCD ∠=︒时，求证：BD BF =.26.〔2021〕如图，ABC ∆中，6,,AB cm AC BC ===，点P 以1/cm s 的速度从点B 出发沿边BA AC →运动到点C 停顿，运动时间是为ts ，点Q 是线段BP 的中点.〔1〕假设CP AB ⊥时，求t 的值；〔2〕假设BCQ ∆是直角三角形时，求t 的值；〔3〕设CPQ ∆的面积为S ，求S 与t 的关系式，并写出t 的取值范围.14.〔2021〕如图，在ABC ∆中，8AB =，4BC =，6CA =，//CD AB ，BD 是ABC ∠的平分线，BD 交AC 于点E .求AE 的长.=，连接AE、AF、CE、21.〔2021〕在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE DFCF，如下图.∆≅∆；〔1〕求证：ABE ADF〔2〕试判断四边形AECF的形状，并说明理由.26.〔2021〕如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，4AC BC cm ==，动点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CA 匀速运动，同时动点Q 从点A /s 的速度沿AB 匀速运动，当点P 到达点A 时，点P 、Q ()t s .〔1〕当t 为何值时，点B 在线段PQ 的垂直平分线上？〔2〕是否存在某一时刻t ，使APQ ∆是以PQ 为腰的等腰三角形？假设存在，求出t 的值；假设不存在，请说明理由；〔3〕以PC 为边，往CB 方向作正方形CPMN ，设四边形QNCP 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式.24.〔2021B 卷〕如图,在ABCD 中, 45ACB ∠=,点E 在对角线AC 上,BE BA =,BF AC ⊥于点F ,BF 的延长线交AD 于点G .点H 在BC 的延长线上,且CH AG =,连接EH .(1)假设BC =13AB =,求AF 的长;(2)求证:EB EH =.18.〔2021〕如图，AB AD =，AC AE =，BAE DAC ∠=∠.求证：C E ∠=∠.24.〔2021〕如图，矩形ABCD 中，2AC AB =，将矩形ABCD 绕点A 旋转得到矩形'''AB C D ，使点B 的对应点'B 落在AC 上，''B C 交AD 于点E ，在''B C 上取点F ，使'B F AB =.〔1〕求证：'AE C E =.〔2〕求'FBB ∠的度数.〔3〕2AB =，求BF 的长.24．〔2021〕如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边上的点E 处，过点E 作CD EG //交AF 于点G ，连接DG .〔1〕求证：四边形EFDG 是菱形；〔2〕探究线段AF GF EG ,,之间的数量关系，并说明理由；〔3〕假设52,6==BG AG ，求BE 的长.25．(2021〕如图①，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD 于点E ，AB=AC=BD ，点M 为BC 中点，N 为线段AM 上的点，且MB=MN .〔1〕求证：BN 平分∠ABE ；〔2〕假设BD =1，连结DN ，当四边形DNBC 为平行四边形时，求线段BC 的长；〔3〕如图②，假设点F 为AB 的中点，连结FN 、FM ，求证：△MFN ∽△BDC .23.〔2021〕如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.〔1〕求证:CM=EM；〔2〕假设∠BAC=50°,求∠EMF的大小；〔3〕如图2,假设△DAE≌△CEM,点N为CM的中点,求证:AN∥EM.24.〔2021A卷〕如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是上一点，且，连接并延长交于点，过点作的垂线，垂足为，交于点.〔1〕假设，，求的面积；〔2〕假设，求证：.22.〔2021〕如图，在⊿ABC 中，3BC 12,tan A ,B 304==∠=；求AC 和AB 的长.24.(2021)在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，ACD 在直线CB 上，以CA,CD 为边作矩形ACDE ,直线AB 与直线CE ,DE 的交点分别为F,G .〔1〕如图，点D 在线段CB 上，四边形ACDE 是正方形.①假设点G 为DE 中点，求FG 的长. ②假设DG=GF ，求BC 的长.A〔2〕BC =9，是否存在点D ,使得△DFG 是等腰三角形？假设存在，求该三角形的腰长；假设不存在，试说明理由.22.〔2021〕如图，在Rt ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=，点D ，E 分别在AC ，BC 上，且CD CE =.〔1〕如图1，求证：CAE CBD ∠=∠；〔2〕如图2，F 是BD 的中点.求证：AE CF ⊥；〔3〕如图3，F ，G 分别是BD ，AE AC =，1CE =，求CGF ∆的面积.ABDCFGE 第24题图24.〔2021〕在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F .〔Ⅰ〕如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；〔Ⅱ〕如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H . ① 求证ADB AOB △△≌； ② 求点H 的坐标.〔Ⅲ〕记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE △的面积，求S 的取值范围〔直接写出结果即可〕.26.〔2021〕正方形ABCD 中AC 与BD 交于O 点，点M 在线段BD 上，作直线AM 交直线DC 于E ,过D 作DH AE 于H ,设直线DH 交AC 于N .〔1〕如图14，当M 在线段BO 上时，求证：MO NO =；〔2〕如图15，当M 在线段OD 上，连接NE ,当//EN BD 时，求证：BM AB =；〔3〕在图16，当M 在线段OD 上，连接NE ,当NE EC ⊥时，求证：2AN NC AC =⋅.23.〔2021〕如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，D 是AB 边上一点〔点D 与A ，B 不重合〕，连结CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90得到线段CE ，连结DE 交BC 于点F ，连BE .〔1〕求证：ACD BCE ∆≅∆；〔2〕当AD BF =时，求BEF ∠的度数.26.〔2021〕矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点.∆≅∆；〔1〕求证：BGF FHC=，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积.〔2〕设AD a24〔2021〕如图，在ABC中，AD是边BC上的中线，△BA D≌△CA D，CE//AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3。

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标准文档实用文案中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析

在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。

一.考试说明要求图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。

二.基本图形及辅助线解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。举例： 1、与相似及圆有关的基本图形

C'A

BCB'C'

AB'C'

BCC'B'B'

BCOB'C'

BOD

CBEOFEC

FDC

BAE

G标准文档实用文案 2、正方形中的基本图形

3、基本辅助线（1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；（2）与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；（3）共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆；垂直平分线，角平分线——翻折；转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；（4）特殊图形的辅助线及其迁移．．．．——梯形的辅助线（什么时候需要这样添加？）等作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数平移腰——上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形——三角形平移对角线——上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。

注：在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。

三.题目举例 (一)基本图形与辅助线的添加例1、已知： AC平分MAN （1）在图1中，若120MAN，90ADCABC，ACADAB___。（填写“”或“”或“”）（2）在图2中，若120MAN，180ADCABC，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中： ①若60MAN，180ADCABC，判断ADAB与AC的数量关系，并说明理由； ②若)1800(MAN，180ADCABC，则ACADAB_____（用含的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）

FEABD

C标准文档

实用文案解：(1) AB＋AD = AC．--------------------------------------------------------------------------1分 (2) 仍然成立．证明：如图2过C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，则∠CEA=∠CFA=90°． ∵ AC平分∠MAN，∠MAN=120°， ∴ ∠MAC=∠NAC=60°．又∵ AC=AC， ∴ △AEC≌△AFC， ∴ AE=AF，CE=CF． ∵ 在Rt△CEA中，∠EAC=60°， ∴ ∠ECA=30°， ∴ AC=2AE． ∴ AE+AF=2AE=AC． ∴ ED+DA+AF=AC． ∵ ∠ABC＋∠ADC＝180°，∠CDE+∠ADC=180°， ∴ ∠CDE=∠CBF．又∵ CE=CF，∠CED=∠CFB， ∴ △CED≌△CFB． ∴ ED=FB， ∴ FB+DA+AF=AC． ∴ AB+AD=AC．----------------------------------------- 4分 (3)①AB+AD=3AC．证明：如图3，方法同(2)可证△AGC≌△AHC． ∴AG=AH． ∵∠MAN=60°， ∴∠GAC=∠HAC=30°．

∴AG=AH=23AC．∴AG+AH=3AC． ∴GD+DA+AH=3AC．方法同(2)可证△GDC≌△HBC． ∴GD=HB， ∴ HB+DA+AH=3AC． ∴AD+AB=3AC．-------------------------------------------------------------------------------------6分

②AB＋AD＝2cos2·AC．-------------------------------------------------------------------7分

例2、已知：AOB△中，2ABOB，COD△中，3CDOC, ABODCO∠∠. 连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.

PNM

OPN

ABO

NMAC

BDFE

MNADCBH

G标准文档

实用文案图1 图2 (1) 如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且60ABO∠，则PMN△的形状是________________，此时ADBC________；

(2) 如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且2ABO∠，证明PMNBAO△∽△，并计算ADBC的值（用含的式子表示）；

(3) 在图2中，固定AOB△，将COD△绕点O旋转，直接写出PM的最大值.

例3、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=12. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点. （1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设CFkEF，则k = ；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．

解：（1）k=1； ………….……………………………2分（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q.

由题意，tan∠BAC=12，∴ 12BCDEACAE. ∵ D、E、B三点共线，∴ AE⊥DB. ∵ ∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°, ∴ ∠QBC=∠EAQ. ∵ ∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°， ∴ ∠ECA=∠BCG. ∴ BCGACE△∽△. ∴ 12BCGBACAE. ∴ GB=DE.

BCADEFBDEAFCB

AC1图2图备图

2图BDE

FCG

Q标准文档实用文案 ∵ F是BD中点， ∴ F是EG中点. 在RtECG△中，12CFEG, ∴ 2BEDEEGCF. ……………………5分（3）情况1：如图，当AD=13AC时，取AB的中点M，连结MF和CM， ∵∠ACB=90°， tan∠BAC=12，且BC= 6, ∴AC=12，AB=65. ∵M为AB中点，∴CM=35,

∵AD=13AC， ∴AD=4. ∵M为AB中点，F为BD中点，

∴FM=12AD= 2. ∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=235.6分情况2：如图，当AD=23AC时，取AB的中点M，连结MF和CM，类似于情况1，可知CF的最大值为435. …7分综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的三等分点时，线段CF的长度取得最大值为435.………8分（二）直角三角形斜边中线+四点共圆例4、已知：在△ABC中，∠ABC=90, 点E在直线AB上, ED与直线AC垂直, 垂足为D，且点M为EC中点, 连接BM, DM. （1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系, 并直接写出你得到的结论；（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明; （3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM 与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系.

图1 图2 （三）倍长过中点的线段例5、请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点ABE，，在同一条直线上，P是线段DF

BEDAMC

EDAMC

ACD

CBAD