最新高三教案-2018年高考第一轮复习数学：14.2导数的应用 精品

14.2 导数的应用 ●知识梳理 1.函数的单调性 （1）设函数y=f（x）在某个区间内可导,若f′（x）＞0,则f（x）为增函数;若f′（x）＜0,则f（x）为减 函数. （2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法. ①确定函数f（x）的定义区间. ②求f′（x）,令f′（x）=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根. ③把函数f（x）的间断点〔即包括f（x）的无定义点〕的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间. ④确定f′（x）在各小开区间内的符号,根据f′（x）的符号判定函数f（x）在每个相应小开区间内的增减性. 2.可导函数的极值 （1）极值的概念 设函数f（x）在点x 0附近有定义,且若对x0附近所有的点都有f（x）＜f（x0）（或f（x）＞f（x0））,则称f（x0）为函数的一个极大（小）值,称x0为极大（小）值点. （2）求可导函数f（x）极值的步骤. ①求导数f′（x）. ②求方程f′（x）=0的根. ③检验f′（x）在方程f′（x）=0的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正,那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值. 3.函数的最大值与最小值 （1）设y=f（x）是定义在区间［a,b］上的函数,y=f（x）在（a,b）内有导数,求函数y=f（x）在［a,b］上的最大值与最小值,可分两步进行. ①求y=f（x）在（a,b）内的极值. ②将y=f（x）在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. （2）若函数f（x）在［a,b］上单调增加,则f（a）为函数的最小值,f（b）为函数的最大值;若函数f（a）在［a,b］上单调递减,则f（a）为函数的最大值,f（b）为函数的最小值. 特别提示 我们把使导函数f′（x）取值为0的点称为函数f（x）的驻点,那么 （1）可导函数的极值点一定是它的驻点,注意这句话中的“可导”两字是必不可少的.例如函数y=|x|在点x=0处有极小值f（0）=0,可是我们在前面已说明过,f′（0）根本不存在,所以点x=0不是f（x）的驻点. （2）可导函数的驻点可能是极值点,也可能不是极值点.例如函数f（x）=x3的导数是 f′（x）=3x2,在点x=0处有f′（0）=0,即点x=0是f（x）=x3的驻点,但从f（x）在（－∞, +∞）上为增函数可知,点x=0不是f（x）的极值点.

●点击双基 1.（2005年海淀区高三第一学期期末模拟）函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数

A.（2π,2π3） B.（π,2π）

C.（2π3, 2π5） D.（2π,3π） 解析：y′=（xsinx+cosx）′=sinx+xcosx－sinx=xcosx, 当x∈（2π3,2π5）时,恒有xcosx＞0. 答案：C 2.函数y=1+3x－x3有 A.极小值－2,极大值2 B.极小值－2,极大值3 C.极小值－1,极大值1 D.极小值－1,极大值3 解析：y′=3－3x2=3（1+x）（1－x）. 令y′=0得x1=－1,x2=1.当x＜－1时,y′＜0,函数y=1+3x－x3是减函数;当－1＜x＜1时, y′＞0,函数y=1+3x－x3是增函数;当x＞1时,y′＜0,函数y=1+3x－x3是减函数. ∴当x=－1时,函数y=1+3x－x3有极小值－1;当x=1时,函数y=1+3x－x3有极大值3. 答案：D 3.设f（x）在（a,b）内有定义，x0∈（a,b），当x＜x0时，f′（x）＞0;当x＞x0时，f′（x）＜0.则x0是 A.间断点 B.极小值点 C.极大值点 D.不一定是极值点 解析:f（x）在x0处不一定连续. 答案:D 4.函数f（x）=ｅx＋ｅ－x在（０，＋∞）上的单调性是__________. 解析:∵f′（x）=ex－e－x=e－x（e2x－1）,∴当x∈（0,+∞）时，f′（x）＞0. ∴f（x）在（0，+∞）上是增函数. 答案:增函数 5.若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是______________ _____________________. 解析:f′（x）=3x2+2x+m.∵f（x）在R上是单调递增函数, ∴f′（x）＞0在R上恒成立， 即3x2+2x+m＞0.

由Δ=4－4×3m＜0,得m＞31.

答案:m＞31 ●典例剖析 【例1】 求函数y=342xx的值域. 剖析:求函数值域是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求

解，也可以利用函数的单调性求出值域.本题形式结构复杂，可采用求导的方法求解. 解:函数的定义域由03042xx求得x≥－2.

求导得y′=421x－321x =34224232xxxx. 由y′＞0得23x＞42x, 即,42)3(403042xxxx解得x＞－2,即函数y=42x－3x在（－2,+∞）上是增函数. 又此函数在x=－2处连续,∴在［－2,+∞）上是增函数，而f（－2）=－1.

∴函数y=42x－3x的值域是［－1,+∞）. 评述:函数y=f（x）在（a,b）上为单调函数，当在［a,b］上连续时，y=f（x）在［a,b］上也是单调函数. 【例2】 已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=±1时取得极值，且f（1）=－1, （1）试求常数a、b、c的值； （2）试判断x=±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由. 剖析:考查函数f（x）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f′（x）=0的根建立起由极值点x=±1所确定的相关等式，运用待定系数法确定a、b、c的值. （1）解法一:f′（x）=3ax2+2bx+c,∵x=±1是函数的极值点, ∴x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根. 由根与系数的关系知







②①13,032a

c

ab

又f（1）=－1,∴a+b+c=－1. ③

由①②③解得a=21,b=0,c=－23. 解法二:由f′（1）=f′（－1）=0, 得3a+2b+c=0, ① 3a－2b+c=0. ②

又f（1）=－1,∴a+b+c=－1. ③ 由①②③解得a=21,b=0,c=－23.

（2）解:f（x）=21x3－23x,∴f′（x）=23 x2－23=23 （x－1）（x+1）. 当x＜－1或x＞1时,f′（x）＞0;当－1＜x＜1时，f′（x）＜0. ∴x=－1时，f（x）有极大值；x=1时,f（x）有极小值.

【例3】 已知函数f（x）=2ax－21x,x∈（0,1］. （1）若f（x）在x∈（0,1］上是增函数，求a的取值范围； （2）求f（x）在区间（0,1］上的最大值. 剖析:（1）要使f（x）在（0,1］上为增函数，需f′（x）＞0,x∈（0,1）. （2）利用函数的单调性求最大值.

解:（1）由已知可得f′（x）=2a+32x,∵f（x）在（0,1）上是增函数，∴f′（x）＞0,

即a＞－31x, x∈（0,1］.∴a＞－1. 当a=－1时，f′（x）=－2+32x对x∈（0,1）也有f′（x）＞0，满足f（x）在（0,1］上为增函数， ∴a≥－1. （2）由（1）知,当a≥－1时,f（x）在（0,1］上为增函数, ∴［f（x）］max=f（1）=2a－1.

当a＜－1时，令f′（x）=0得x=31a,

∵0＜31a＜1,∴0＜x＜31a时,f′（x）＞0; 31a＜x≤1时，f′（x）＜0.∴f（x）在（0, 31a）上是增函数，在（31a,1]减函数. ∴［f（x）］max=f （31a）=－332a. 评述:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单. 深化拓展 （1）也可用函数单调性的定义求解. 思考讨论 函数f（x）在区间D上的极值与最值有什么联系？ ●闯关训练 夯实基础 1.下列各式正确的是

A.x－63x＞sinx （x＞0） B.sinx＜x （x＞0） C.π2x＞sinx （0＜x＜2π） D.以上各式都不对 解析：令F（x）=x－sinx,则F′（x）=1－cosx＞0（当x＞0,x≠2nπ,n=1,2,…）. 故F（x）在x＞0时单调递增.因此当x＞0时,有F（x）＞F（0）=0. 答案：B

2.函数f（x）=sin（3x－6π）在点（6π,23）处的切线方程是

A.3x+2y+3－2π=0 B.3x－2y+3－2π=0 C.3x－2y－3－2π=0 D.3x+2y－3－2π=0 解析:因为f′（x）=3cos（3x－6π）,所以所求切线的斜率为f′（6π）=23,切线方程为y－23=23 （x－6π）,即3x－2y+3－2π=0. 答案:B 3.函数y=x－2x（x≥0）的最大值为_____________.

解析:y′=x21－2, 当0＜x＜161时，y′＞0,∴y=x－2x在（0,161）上为增函数. 当x＞161时，y′＜0,∴y=x－2x在（161,+∞）上是减函数.∴y=x－2x在（0,+∞）

上的最大值为161－162=81. 答案:81 4.（2005年北京东城区模拟题）如果函数y=f（x）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断: