2018年高考数学二轮复习第一部分专题一第五讲导数的应用第五讲导数的应用(一)习题

2018年高考数学二轮复习第一部分专题一第五讲导数的应用第五讲导数的应用(一)习题
2018年高考数学二轮复习第一部分专题一第五讲导数的应用第五讲导数的应用(一)习题

第五讲 导数的应用(一)

限时规范训练 A 组——高考热点强化练

一、选择题

1.曲线y =e x

在点A 处的切线与直线x +y +3=0垂直,则点A 的坐标为( ) A .(-1,e -1

) B .(0,1) C .(1,e)

D .(0,2)

解析:与直线x +y +3=0垂直的直线的斜率为1,所以切线的斜率为1,因为y ′=e x

,所以由y ′=e x =1,解得x =0,此时y =e 0

=1,即点A 的坐标为(0,1),选B. 答案:B

2.已知函数f (x )=x 2

+2cos x ,若f ′(x )是f (x )的导函数,则函数f ′(x )在原点附近的图象大致是( )

解析:因为f ′(x )=2x -2sin x ,[f ′(x )]′=2-2cos x ≥0,所以函数f ′(x )在R 上单调递增,故选A. 答案:A

3.曲线f (x )=x ln x 在点(1,f (1))处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3

D.π2

解析:因为f (x )=x ln x ,所以f ′(x )=ln x +1,所以f ′(1)=1,所以曲线f (x )=x ln x 在点(1,f (1))处的切线的倾斜角为π

4

.

答案:B

4.若函数f (x )=2x 3

-3mx 2

+6x 在(2,+∞)上为增函数,则实数m 的取值范围是( ) A .(-∞,2) B .(-∞,2] C.?

????-∞,52 D.?

????-∞,52

解析:因为f ′(x )=6x 2-6mx +6,当x ∈(2,+∞)时,令f ′(x )≥0,即6x 2

-6mx +6≥0,则m ≤x +1x ,又因为y =x +1x 在(2,+∞)上为增函数,故当x ∈(2,+∞)时,x +1x >52,故m ≤5

2,故选D. 答案:D

5.函数f (x )=12x 2

-ln x 的最小值为( )

A.12 B .1 C .0

D .不存在

解析:f ′(x )=x -1x =x 2

-1

x

,且x >0.令f ′(x )>0,得x >1;令f ′(x )<0,得0

∴f (x )在x =1处取得最小值,且f (1)=12-ln 1=12.

答案:A

6.已知常数a ,b ,c 都是实数,f (x )=ax 3

+bx 2

+cx -34的导函数为f ′(x ),f ′(x )≤0的解集为{x |-2≤x ≤3},若f (x )的极小值等于-115,则a 的值是( ) A .-81

22

B.13 C .2

D .5

解析:由题意知,f ′(x )=3ax 2

+2bx +c ≤0的解集为[-2,3],且在x =3处取得极小值-115,

故有?????

3a >0,

-2+3=-2b 3a ,-2×3=c

3a ,

f 3=27a +9b +3c -34=-115,

解得a =2.

答案:C

7.(2017·沈阳模拟)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x ),且满足f (1)=0,当x >0时,

xf ′(x )<2f (x ),则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )

A .(-∞,-1)∪(0,1)

B .(-∞,-1)∪(1,+∞)

C .(-1,0)∪(1,+∞)

D .(-1,0)∪(0,1)

解析:根据题意,设函数g (x )=f x x 2

(x ≠0),当x >0时,g ′(x )=f ′x ·x -2·f x

x 3

<0,说明函数g (x )在

(0,+∞)上单调递减,又f (x )为偶函数,所以g (x )为偶函数,又f (1)=0,所以g (1)=0, 故g (x )在(-1,0)∪(0,1)上的函数值大于零,即f (x )在(-1,0)∪(0,1)上的函数值大于零. 答案:D

8.已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),若x 2

f ′(x )+xf (x )=sin x (x ∈(0,6)),f (π)=2,则下列结论正确的是( ) A .xf (x )在(0,6)上单调递减 B .xf (x )在(0,6)上单调递增 C .xf (x )在(0,6)上有极小值2π

D .xf (x )在(0,6)上有极大值2π

解析:因为x 2

f ′(x )+xf (x )=sin x ,x ∈(0,6),所以xf ′(x )+f (x )=sin x x

,设g (x )=xf (x ),

x ∈(0,6),

则g ′(x )=f (x )+xf ′(x )=sin x x

,由g ′(x )>0得0

时,

函数g (x )=xf (x )取得极大值g (π)=πf (π)=2π. 答案:D 二、填空题

9.曲线y =x 2

+1x

在点(1,2)处的切线方程为________.

解析:∵y ′=2x -1

x

2,∴y ′|x =1=1,即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k =1,∴切线方程为y

-2=x -1, 即x -y +1=0. 答案:x -y +1=0

10.设函数f (x )=x (e x

-1)-12

x 2,则函数f (x )的单调增区间为________.

解析:因为f (x )=x (e x -1)-12x 2,所以f ′(x )=e x -1+x e x -x =(e x

-1)(x +1).令f ′(x )>0,

即(e x

-1)·(x +1)>0,解得x ∈(-∞,-1)或x ∈(0,+∞).所以函数f (x )的单调增区间为(-∞,-1)和(0,+∞). 答案:(-∞,-1)和(0,+∞)

11.函数f (x )=x 3

-3x 2

+6在x =________时取得极小值.

解析:依题意得f ′(x )=3x (x -2).当x <0或x >2时,f ′(x )>0;当0

函数f (x )在x =2时取得极小值. 答案:2

12.(2017·高考全国卷Ⅰ)如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5 cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ,E ,F 为圆O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA, △FAB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3

)的最大值为________.

解析:如图,连接OD ,交BC 于点G ,

由题意,知OD ⊥BC ,OG =

3

6

BC . 设OG =x ,则BC =23x ,DG =5-x ,

三棱锥的高h =DG 2

-OG 2

=25-10x +x 2

-x 2

=25-10x ,

S △ABC =12×23x ×3x =33x 2,则三棱锥的体积V =13

S △ABC ·h =3x 2·25-10x =

3·25x 4

-10x 5

.

令f (x )=25x 4-10x 5,x ∈? ??

??0,52,则f ′(x )=100x 3-50x 4

.

令f ′(x )=0得x =2.当x ∈(0,2)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈? ??

??2,52时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,故当x =2时,f (x )取得最大值80,则V ≤3×80=415.

∴三棱锥体积的最大值为415 cm 3

. 答案:415 cm 3

三、解答题

13.已知函数f (x )=x 4+a x -ln x -3

2

,其中a ∈R ,且曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于

直线y =1

2x .

(1)求a 的值;

(2)求函数f (x )的单调区间与极值.

解析:(1)对f (x )求导得f ′(x )=14-a x 2-1x ,由f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y =1

2x

知f ′(1)=-34-a =-2,解得a =5

4

.

(2)由(1)知f (x )=x

4+54x -ln x -32,则f ′(x )=x 2

-4x -5

4x 2

, 令f ′(x )=0,解得x =-1或x =5.

因x =-1不在f (x )的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当x ∈(0,5)时,f ′(x )<0,故f (x )在(0,5)内为减函数; 当x ∈(5,+∞)时,f ′(x )>0,故f (x )在(5,+∞)内为增函数. 由此知函数f (x )在x =5时取得极小值f (5)=-ln 5. 14.设函数f (x )=3x 2

+ax

e

x

(a ∈R). (1)若f (x )在x =0处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;

(2)若f (x )在[3,+∞)上为减函数,求a 的取值范围.

解析:(1)对f (x )求导得f ′(x )=6x +a e x -3x 2+ax e x e x 2=-3x 2

+6-a x +a

e x

, 因为f (x )在x =0处取得极值,所以f ′(0)=0,即a =0. 当a =0时,f (x )=3x 2

e x ,

f ′(x )=-3x 2

+6x

e x

, 故f (1)=3e ,f ′(1)=3

e

从而f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y -3e =3

e (x -1),化简得3x -e y =0.

(2)由(1)知f ′(x )=

-3x 2

6-a x +a

e

x

令g (x )=-3x 2

+(6-a )x +a ,

由g (x )=0解得x 1=6-a -a 2

+366,x 2=6-a +a 2

+36

6.

当x 0,即f ′(x )>0,故f (x )为增函数; 当x >x 2时,g (x )<0,即f ′(x )<0,故f (x )为减函数.

由f (x )在[3,+∞)上为减函数,知x 2=6-a +a 2

+366≤3,解得a ≥-9

2

,故a 的取值范围为

????

??-92,+∞.

15.(2017·高考北京卷)已知函数f (x )=e x

cos x -x . (1)求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;

(2)求函数f (x )在区间?

?????0,π2上的最大值和最小值.

解析:(1)因为f (x )=e x

cos x -x ,所以f ′(x )=e x

(cos x -sin x )-1,f ′(0)=0. 又因为f (0)=1,所以曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =1.

(2)设h (x )=e x

(cos x -sin x )-1,则h ′(x )=e x

(cos x -sin x -sin x -cos x )=-2e x

sin x .

当x ∈? ????0,π2时,h ′(x )<0,所以h (x )在区间?

?????0,π2上单调递减.

所以对任意x ∈? ????0,π2有h (x )<h (0)=0,即f ′(x )<0.所以函数f (x )在区间?

?????0,π2上单调递

减.

因此f (x )在区间??????0,π2上的最大值为f (0)=1,最小值为f ? ??

??π2=-π2. B 组——高考能力提速练

一、选择题

1.函数f (x )=ax 3

+bx 2

+cx +d 的图象如图所示,则下列结论成立的是( )

A .a >0,b <0,c >0,d >0

B .a >0,b <0,c <0,d >0

C .a <0,b <0,c >0,d >0

D .a >0,b >0,c >0,d <0

解析:∵函数f (x )的图象在y 轴上的截距为正值,∴d >0.∵f ′(x )=3ax 2

+2bx +c ,且函数

f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 在(-∞,x 1)上单调递增,(x 1,x 2)上单调递减,(x 2,+∞)上单调递增, ∴f ′(x )<0的解集为(x 1,x 2),∴a >0,又x 1,x 2均为正数,∴c 3a >0,-2b

6a

>0,可得c >0,b <0.

答案:A

2.设函数f (x )=x -2sin x 是区间??????t ,t +π2上的减函数,则实数t 的取值范围是( )

A.?

?????2k π-π3,2k π-π6(k ∈Z)

B.??????2k π+π3,2k π+11π6(k ∈Z)

C.?

?????2k π-π6,2k π+π3(k ∈Z) D.?

?????2k π+π3,2k π+7π6(k ∈Z) 解析:由题意得f ′(x )=1-2cos x ≤0,即cos x ≥12,解得2k π-π3≤x ≤2k π+π

3

(k ∈Z),∵

f (x )=x -2sin x 是区间?

??

?

??

t ,t +π2上的减函数,∴?

?????t ,t +π2??

??

?

??

2k π-π

3,2k π+π3

,∴2k π

-π3≤t ≤2k π-π

6(k ∈Z),故选A. 答案:A

3.(2017·重庆模拟)若直线y =ax 是曲线y =2ln x +1的一条切线,则实数a =( ) A .e -12

B .2e -1

2

C .e 12

D .2e 12

解析:依题意,设直线y =ax 与曲线y =2ln x +1的切点的横坐标为x 0,则有y ′|x =x 0=2

x 0

,于

是有?????

a =2x 0

,ax 0=2ln x 0+1,解得x 0=e ,a =2x 0=2e -1

2

,选B.

答案:B

4.已知函数f (x )=x 3

+3x 2

-9x +1,若f (x )在区间[k,2]上的最大值为28,则实数k 的取值范围为( ) A .[-3,+∞) B .(-3,+∞) C .(-∞,-3)

D .(-∞,-3]

解析:由题意知f ′(x )=3x 2

+6x -9,令f ′(x )=0,解得x =1或x =-3,所以f ′(x ),f (x )随x 的变化情况如下表:

x (-∞,-3)

-3 (-3,1) 1 (1,+∞)

f ′(x ) + 0 - 0 + f (x )

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

又f (-3)=28,f (1)=-4,f (2)=3,f (x )在区间[k,2]上的最大值为28,所以k ≤-3. 答案:D

5.对?x ∈R ,函数f (x )的导数存在,若f ′(x )>f (x ),且a >0,则以下说法正确的是( ) A .f (a )>e a

·f (0) B .f (a )

·f (0) C .f (a )>f (0) D .f (a )

解析:设g (x )=

f x

e

x

,则g ′(x )=

f ′x -f x

e

x

>0,故g (x )=

f x

e

x

为R 上的单调递增

函数,因此g (a )>g (0), 即

f a

e

a

>

f 0

e

=f (0),所以f (a )>e a

·f (0),选A.

答案:A

6.若函数f (x )=x e x

-a 有两个零点,则实数a 的取值范围为( ) A .-1

e

B .a >-1

e

C .-e

D .0

解析:构造函数g (x )=x e x

,则g ′(x )=e x

(x +1),因为e x

>0,所以由g ′(x )=0,解得x =-1, 当x >-1时,g ′(x )>0,函数g (x )为增函数;当x <-1时,g ′(x )<0,函数g (x )为减函数, 所以当x =-1时函数g (x )有最小值:g (-1)=-e -1=-1e

.画出函数y =x e x

的图象,如图所示,

显然当-1e

-a 有两个零点,故选A.

答案:A

7.设函数f (x )=?

????

2x 3

+3x 2

+1

x ≤0

e ax

x >0在[-2,2]上的最大值为2,则实数a 的取值范围是

( )

A.????

??12ln 2,+∞

B.????

??0,12ln 2

C .(-∞,0)

D.? ??

??-∞,12ln 2

解析:设y =2x 3

+3x 2

+1(-2≤x ≤0),则y ′=6x (x +1)(-2≤x ≤0),所以-2≤x <-1时y ′>0,-1

+3x 2

+1在[-2,0]上的最大值为2,所以函数y =e ax

在(0,2]上的最大值不超过2,当a >0时,y =e ax 在(0,2]上的最大值e 2a

≤2,所以0

=1≤2,当a <0时,y =e ax

在(0,2]上的最大值小于1,所以实数a 的取值范围是? ????-∞,12ln 2.

答案:D

8.定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x ),已知f (x +1)是偶函数,且(x -1)f ′(x )<0.若

x 12,则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )

A .f (x 1)

B .f (x 1)=f (x 2)

C .f (x 1)>f (x 2)

D .不确定

解析:由(x -1)f ′(x )<0可知,当x >1时,f ′(x )<0,函数单调递减.当x <1时,f ′(x )>0,函数单调递增.

因为函数f (x +1)是偶函数,所以f (x +1)=f (1-x ),f (x )=f (2-x ),即函数f (x )图象的对称轴为x =1.所以,若1≤x 1f (x 2);若x 1<1,则x 2>2-x 1>1,此时有f (x 2)

又f (2-x 1)=f (x 1),所以f (x 1)>f (x 2). 综上,必有f (x 1)>f (x 2),选C. 答案:C 二、填空题

9.曲线y =x (3ln x +1)在点(1,1)处的切线方程为______.

解析:y ′=3ln x +1+x ·3

x

=3ln x +4,k =y ′|x =1=4,切线方程为y -1=4(x -1),即y =4x

-3.

答案:y =4x -3

10.已知函数f (x )=12x 2+2ax -ln x ,若f (x )在区间??????13,2上是增函数,则实数a 的取值范围为________.

解析:由题意知f ′(x )=x +2a -1x ≥0在??????13,2上恒成立,即2a ≥-x +1x 在??????13,2上恒成立.

又∵y =-x +1x 在??????13,2上单调递减,∴?

????-x +1x max =83,∴2a ≥83,即a ≥43.

答案:????

??43,+∞

11.已知函数f (x )=ln x ,则函数g (x )=f (x )-f ′(x )在区间[2,e]上的最大值为________. 解析:因为f (x )=ln x ,所以f ′(x )=1x ,则g (x )=f (x )-f ′(x )=ln x -1

x

,函数g (x )的定义

域为(0,+∞),

g ′(x )=1x +1

x

2>0在x ∈(0,+∞)上恒成立,所以函数g (x )在(0,+∞)上是增函数,所以g (x )

在区间[2,e]上的最大值g (x )max =g (e)=ln e -1e =1-1

e .

答案:1-1

e

12.已知y =f (x )为R 上的连续可导函数,且xf ′(x )+f (x )>0,则函数g (x )=xf (x )+1(x >0)的零点个数为________.

解析:本题考查导数在函数中的应用,考查考生的构造思想.设F (x )=xf (x ),则F ′(x )=f (x )+xf ′(x )>0在R 上恒成立,且F (0)=0,所以F (x )=xf (x )>0在(0,+∞)上恒成立,所以在(0,+∞)上g (x )=xf (x )+1>1恒成立,则函数g (x )=xf (x )+1的零点个数为0. 答案:0 三、解答题

13.已知函数f (x )=ln x -a x

.

(1)若a >0,试判断f (x )在定义域内的单调性; (2)若f (x )在[1,e]上的最小值为3

2,求a 的值.

解析:(1)x ∈(0,+∞),f ′(x )=1x +a x 2=x +a

x

2(a >0),

显然f ′(x )>0,故f (x )在(0,+∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知,f ′(x )=

x +a

x 2

. ①若a ≥-1,则当x ∈(1,e)时,x +a >0,即f ′(x )>0,故f (x )在[1,e]上为增函数, ∴f (x )min =f (1)=-a =32,∴a =-3

2

(舍去).

②若a ≤-e ,则当x ∈(1,e)时,x +a <0,即f ′(x )<0,故f (x )在[1,e]上为减函数,

∴f (x )min =f (e)=1-a e =32,∴a =-e

2

(舍去).

③若-e

当10,f (x )在(-a ,e)上为增函数. ∴f (x )min =f (-a )=ln(-a )+1=3

2,∴a =- e.

综上所述,a =- e.

14.(2017·潍坊模拟)已知函数f (x )=a x

+b ln x ,曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y =x .

(1)求函数f (x )的单调区间及极值;

(2)若?x ≥1,f (x )≤kx 恒成立,求k 的取值范围. 解析:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=bx -a

x 2

,故f ′(1)=b -a =1, 又f (1)=a ,点(1,a )在直线y =x 上, ∴a =1,则b =2.

∴f (x )=1x +2ln x 且f ′(x )=2x -1x

2,

当01

2

时,f ′(x )>0.

故函数f (x )的单调增区间为? ????12,+∞,单调减区间为? ??

??0,12,

f (x )极小值=f ? ??

??

12=2-2ln 2,无极大值.

(2)由题意知,k ≥

f x x =2ln x x +1

x

2(x ≥1)恒成立, 令g (x )=2ln x x +1

x

2(x ≥1),

则g ′(x )=2-2ln x x 2

-2x

3=2x -x ln x -1

x 3

(x ≥1),

令h (x )=x -x ln x -1(x ≥1),则h ′(x )=-ln x (x ≥1),

当x ≥1时,h ′(x )≤0,h (x )在[1,+∞)上为减函数,故h (x )≤h (1)=0,故g ′(x )≤0, ∴g (x )在[1,+∞)上为减函数, 故g (x )的最大值为g (1)=1,∴k ≥1. 15.已知函数f (x )=13x 3-32

x 2

+2x +5.

(1)求函数f (x )的图象在点(3,f (3))处的切线方程;

(2)若曲线y =f (x )与y =2x +m 有三个不同的交点,求实数m 的取值范围. 解析:(1)∵f (x )=13x 3-32x 2+2x +5,∴f ′(x )=x 2

-3x +2.

易求得f ′(3)=2,f (3)=13

2

.

∴f (x )的图象在(3,f (3))处的切线方程是y -13

2=2(x -3),即4x -2y +1=0.

(2)令f (x )=2x +m ,即13x 3-32x 2+2x +5=2x +m ,得13x 3-32x 2

+5=m ,

设g (x )=13x 3-32

x 2

+5,

∵曲线y =f (x )与直线y =2x +m 有三个不同的交点, ∴曲线y =g (x )与直线y =m 有三个不同的交点,

易得g ′(x )=x 2

-3x ,令g ′(x )=0,解得x =0或x =3, 当x <0或x >3时,g ′(x )>0, 当0

∴g (x )在(-∞,0),(3,+∞)上单调递增,在(0,3)上单调递减, 又g (0)=5,g (3)=12,即g (x )极大值=5,g (x )极小值=1

2,

∴可画出如图所示的函数g (x )的大致图象.

1 2

∴实数m的取值范围为

三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总:概率

概率 1.(2019全国II文4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只 兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为 A.2 3 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 2.(2019全国III文3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是 A.1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 3.(2018全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为 A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3 4.(2018全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为 A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7 5.(2017新课标Ⅰ)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A.1 4 B. 8 π C. 1 2 D. 4 π 6.(2017新课标Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A. 1 10 B. 1 5 C. 3 10 D. 2 5 7.(2017天津)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为

A .45 B .35 C .25 D .15 8.(2018江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰 好选中2名女生的概率为 . 9.(2017浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4 人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 10.(2017江苏)记函数()f x =的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个 数x ,则x D ∈ 的概率是 . 11.(2018北京)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率; (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论) 12.(2018天津)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现 采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2)设抽出的7名同学分别用A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作. (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; (ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M 发生的概率. 13.(2017新课标Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元, 售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求

2018年高考数学二轮复习第一部分专题一第五讲导数的应用第五讲导数的应用(一)习题

第五讲 导数的应用(一) 限时规范训练 A 组——高考热点强化练 一、选择题 1.曲线y =e x 在点A 处的切线与直线x +y +3=0垂直,则点A 的坐标为( ) A .(-1,e -1 ) B .(0,1) C .(1,e) D .(0,2) 解析:与直线x +y +3=0垂直的直线的斜率为1,所以切线的斜率为1,因为y ′=e x ,所以由y ′=e x =1,解得x =0,此时y =e 0 =1,即点A 的坐标为(0,1),选B. 答案:B 2.已知函数f (x )=x 2 +2cos x ,若f ′(x )是f (x )的导函数,则函数f ′(x )在原点附近的图象大致是( ) 解析:因为f ′(x )=2x -2sin x ,[f ′(x )]′=2-2cos x ≥0,所以函数f ′(x )在R 上单调递增,故选A. 答案:A 3.曲线f (x )=x ln x 在点(1,f (1))处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 解析:因为f (x )=x ln x ,所以f ′(x )=ln x +1,所以f ′(1)=1,所以曲线f (x )=x ln x 在点(1,f (1))处的切线的倾斜角为π 4 .

答案:B 4.若函数f (x )=2x 3 -3mx 2 +6x 在(2,+∞)上为增函数,则实数m 的取值范围是( ) A .(-∞,2) B .(-∞,2] C.? ????-∞,52 D.? ????-∞,52 解析:因为f ′(x )=6x 2-6mx +6,当x ∈(2,+∞)时,令f ′(x )≥0,即6x 2 -6mx +6≥0,则m ≤x +1x ,又因为y =x +1x 在(2,+∞)上为增函数,故当x ∈(2,+∞)时,x +1x >52,故m ≤5 2,故选D. 答案:D 5.函数f (x )=12x 2 -ln x 的最小值为( ) A.12 B .1 C .0 D .不存在 解析:f ′(x )=x -1x =x 2 -1 x ,且x >0.令f ′(x )>0,得x >1;令f ′(x )<0,得00, -2+3=-2b 3a ,-2×3=c 3a , f 3=27a +9b +3c -34=-115, 解得a =2. 答案:C 7.(2017·沈阳模拟)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x ),且满足f (1)=0,当x >0时, xf ′(x )<2f (x ),则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A .(-∞,-1)∪(0,1) B .(-∞,-1)∪(1,+∞)

高考文科数学导数全国卷

导数高考题专练 1、(2012课标全国Ⅰ,文21)(本小题满分12分) 设函数f (x )= e x -ax -2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间 (Ⅱ)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f ′(x )+x +1>0,求k 的最大值 2、(2013课标全国Ⅰ,文20)(本小题满分12分) 已知函数f (x )=e x (ax +b )-x 2-4x ,曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =4x +4. (1)求a ,b 的值; (2)讨论f (x )的单调性,并求f (x )的极大值. 3、(2015课标全国Ⅰ,文21).(本小题满分12分) 设函数2()ln x f x e a x =-. (Ⅰ)讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数; (Ⅱ)证明:当0a >时,2 ()2ln f x a a a ≥+。 4、(2016课标全国Ⅰ,文21)(本小题满分12分) 已知函数.2)1(2)(-+-= x a e x x f x )( (I)讨论)(x f 的单调性; (II)若)(x f 有两个零点,求的取值范围. 5、((2016全国新课标二,20)(本小题满分12分) 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. (I )当4a =时,求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程;

(II)若当()1,x ∈+∞时,()0f x >,求a 的取值范围. 6(2016山东文科。20)(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ,a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x ),求g (x )的单调区间; (Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 2017.(12分) 已知函数)f x =(a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . (1)讨论()f x 的单调性; (2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 2018全国卷)(12分) 已知函数()1 ln f x x a x x = -+. ⑴讨论()f x 的单调性; ⑵若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,证明: ()()1212 2f x f x a x x -<--. 导数高考题专练(答案) 1 2解:(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4. 由已知得f (0)=4,f ′(0)=4. 故b =4,a +b =8. 从而a =4,b =4. (2)由(1)知,f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x ,

2018年高考真题-单选题-分类汇总 (1)

2016年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷) 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)已知集合A= ,B= , , , , ,则 (A ) (B ) , , (C ) , , (D ) , , , (2)若x,y 满足 2030x y x y x -≤??+≤??≥? ,则2x+y 的最大值为 (A )0 (B )3 (C )4 (D )5 (3)执行如图所示的程序框图,若输入的a 值为1,则输出的k 值为 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 (4)设a ,b 是向量,则“=a b ”是“+=-a b a b ”的 (A ) 充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C ) 充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 (5)已知x,y R,且x y o ,则 (A ) - (B )

(C ) (- 0 (D )lnx+lny (6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 (A ) (B ) (C ) (D )1 (7)将函数 ( ﹣π )图像上的点P (π ,t )向左平移s (s ﹥0) 个单位长度得到点P ′.若 P ′位于函数 ( )的图像上,则 (A )t= ,s 的最小值为π (B )t= ,s 的最小值为π (C )t= ,s 的最小值为π (D )t= ,s 的最小值为π (8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则 (A )乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 (B )乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 (C )乙盒中红球不多于丙盒中红球 (D )乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分) (1)C (2)C (3)B (4)D (5)C (6)A (7)A (8)B 2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷(理工农医类) 二、选择题(5×4=20) 15.设R a ∈,则“1>a ”是“12>a ”的( ) (A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是( ) (A )θρcos 56+= (B )θρin s 56+= (C )θρcos 56-= (D )θρin s 56-= 17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列条件中,使得

2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 复数部分 理数(附参考答案)

2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 复数部分 (附参考答案) 一、选择题。 1.(2019全国II 理2)设z =-3+2i ,则在复平面内z 对应的点位于A .第一象限B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 【答案】C . 2.(2019北京理1)已知复数i z 21+=,则z z ?= (A (B (C )3 (D )5 【答案】(D ). 3.(2019全国III 理2)若(1i)2i z +=,则z =A .1i --B .1+i -C .1i -D .1+i 【答案】D . 4.(2019全国I 理2)设复数z 满足 =1i z -,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则 A .22 + 11()x y +=B .221(1)x y +=-C .22(1)1y x +-=D .2 2 (+1)1 y x +=【答案】C . 5.(2019全国II 理2)设z =-3+2i ,则在复平面内z 对应的点位于A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 【答案】C . 6.(2018北京)在复平面内,复数 1 1i -的共轭复数对应的点位于A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 【答案】D . 7.(2018全国卷Ⅰ))设1i 2i 1i z -=++,则||z = A .0 B . 12 C .1 D 【答案】C .8.(2018全国卷Ⅱ) 12i 12i +=-A .43i 55 - -B .43i 55 - +C .34i 55 - -D .34i 55 - +【答案】D .

9.(2018全国卷Ⅲ)(1i)(2i)+-= A .3i -- B .3i -+C .3i -D .3i +【答案】D .10.(2018浙江)复数 2 1i -(i 为虚数单位)的共轭复数是A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --【答案】B . 11.(2017新课标Ⅰ)设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ;3p :若复数1z ,2z 满足12z z ∈R ,则12z z =;4p :若复数z ∈R ,则z ∈R . 其中的真命题为A .1p ,3p B .1p ,4 p C .2p ,3 p D .2p ,4 p 【答案】B .12.(2017新课标Ⅱ) 3i 1i ++A .B . C . D . 【答案】D . 13.(2017新课标Ⅲ)设复数z 满足(1i)2z i +=,则||z = A . 12 B . 2 C D .2 【答案】C . 14.(2017山东)已知a R ∈,i 是虚数单位,若z a =+,4z z ?=,则a = A .1或-1 B 或 C .- D .【答案】A . 15.(2017北京)若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限,则实数a 的取值范围 是A .(,1) -∞B .(,1) -∞-C .(1,) +∞D .(1,) -+∞

高考数学真题汇编——函数与导数

高考数学真题汇编——函数与导数 1.【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复. 2.【2018年理天津卷】已知,,,则a,b,c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D

【解析】分析:由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解:由题意结合对数函数的性质可知:,, , 据此可得:.本题选择D选项. 点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确. 3.【2018年理新课标I卷】已知函数.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞) 【答案】C 详解:画出函数的图像,在y轴右侧的去掉,再画出直线,之后上下移动,可以发现当直线过点A时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程有两个解,也就是函数有两个零点,此时满足,即,故选C.

点睛:该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题,在求解的过程中,解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题,将式子移项变形,转化为两条曲线交点的问题,画出函数的图像以及相应的直线,在直线移动的过程中,利用数形结合思想,求得相应的结果. 4.【2018年理新课标I卷】设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题,在求解的过程中,首先需要确定函数解析式,此时利用到结论多项式函数中,奇函数不存在偶次项,偶函数不存在奇次项,从而求得相应的参数值,之后利用求导公式求得,借助于导数的几何意义,结合直线方程的点斜式求得结果. 5.【2018年全国卷Ⅲ理】设,,则

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. (1) 若1a =,证明:当0x ≥时,()1f x ≥. (2) 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点,求a . 题目分析: 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用,综合考察学生化归与分类讨论的数学思想,题目设置相对较易,利于选拔不同能力层次的学生。第1小问,通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式,这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数,指数函数的系数为代数函数,非常容易求解零点,并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意,对以后导数命题有着很大的指引作用。但是,这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此,以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论,始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点,力求完整的解答该类题目。 题目解答: (1)若1a =,2()x f x e x =-,()2x f x e x '=-,()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增; 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->,从而()f x 在[0,)+∞单调递增;所以()(0)1f x f ≥=,得证. (2)当0a ≤时,()0f x >恒成立,无零点,不合题意. 当0a >时,()2x f x e ax '=-,()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x a ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增;所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时,()0f x '≥,从而()f x 在[0,)+∞单调递增,()(0)1f x f ≥=,在(0,)+∞无零点,不合题意.

2018年高考数学—导数专题

导数 (选修2-2P18A7改编)曲线y=sin x x在x= π 2处的切线方程为() A.y=0 B.y=2π C.y=- 4 π2 x+ 4 π D.y= 4 π2 x 解析∵y′=x cos x-sin x x2,∴y′|x= π 2=- 4 π2 , 当x=π 2时,y= 2 π , ∴切线方程为y-2 π =- 4 π2? ? ? ? ? x- π 2 ,即y=- 4 π2 x+ 4 π . (2016·天津卷)已知函数f(x)=(2x+1)e x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为________. 解析因为f(x)=(2x+1)e x, 所以f′(x)=2e x+(2x+1)e x=(2x+3)e x, 所以f′(0)=3e0=3. (2017·西安月考)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=________. 解析y′=a- 1 x+1 ,由题意得y′|x=0=2,即a-1=2, 所以a=3. (2017·威海质检)已知函数f(x)=x ln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为() A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 C.x+y+1=0 D.x-y+1=0

解析 ∵点(0,-1)不在曲线f (x )=x ln x 上, ∴设切点为(x 0,y 0). 又∵f ′(x )=1+ln x ,∴?????y 0=x 0ln x 0, y 0+1=(1+ln x 0)x 0, 解得x 0=1,y 0=0. ∴切点为(1,0),∴f ′(1)=1+ln 1=1. ∴直线l 的方程为y =x -1,即x -y -1=0. (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切,则a =________. 解析 法一 ∵y =x +ln x ,∴y ′=1+1 x ,y ′|x =1=2. ∴曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线方程为y -1=2(x -1),即y =2x -1. ∵y =2x -1与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切, ∴a ≠0(当a =0时曲线变为y =2x +1与已知直线平行). 由?????y =2x -1,y =ax 2 +(a +2)x +1消去y ,得ax 2+ax +2=0. 由Δ=a 2-8a =0,解得a =8. 法二 同法一得切线方程为y =2x -1. 设y =2x -1与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切于点(x 0,ax 20+(a +2)x 0+1). ∵y ′=2ax +(a +2),∴y ′|x =x 0=2ax 0+(a +2). 由?????2ax 0+(a +2)=2,ax 20+(a +2)x 0+1=2x 0-1,解得???x 0=-12,a =8. 答案 8 (2017·西安质测)曲线f (x )=x 3-x +3在点P 处的切线平行于直线y =2x -1,则P

三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总:集合

集合 2019年 1.(2019全国Ⅰ理)已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N I = A .}{43x x -<< B .}42{x x -<<- C .}{22x x -<< D .}{23x x << 解析:依题意可得,2426023{|}{|}{} |M x x N x x x x x =-=--=-<<,<<<, 所以2|}2{M N x x =-I <<. 故选C . 2.(2019全国Ⅱ理)设集合A ={x |x 2-5x +6>0},B ={ x |x -1<0},则A ∩B = A .(-∞,1) B .(-2,1) C .(-3,-1) D .(3,+∞) 解析:由{}2560(,2)(3,)A x x x =-+>=-∞+∞U ,{}10(,1)A x x =-<=-∞,则(,1)A B =-∞I .故选A. 3.(2019全国Ⅲ理)已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤,,则A B =I A .{}1,0,1- B .{}0,1 C .{}1,1- D .{}0,1,2 3.解析 因为{}1,0,1,2A =-,2{|1}{|1 1}B x x x x ==-剟?, 所以{}1,0,1A B =-I .故选A . 4.(2019江苏)已知集合{1,0,1,6}A =-,{|0,}B x x x =>∈R ,则A B =I . 解析 因为{}1,0,1,6A =-,{}|0,B x x x =>∈R , 所以{}{}{}1,0,1,6|0,1,6A B x x x =->∈=R I I . 5.(2019浙江)已知全集{}1,0,1,2,3U =-,集合{}0,1,2A =,{}1,0,1B =-,则U A B I e= A .{}1- B .{}0,1? C .{}1,2,3- D .{}1,0,1,3- 解析 {1,3}U A =-e,{1}U A B =-I e .故选A . 6.(2019天津理1)设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈

2018年全国卷理科数学十年真题分类汇编 导数

导数 一.基础题组 1. 【2010新课标,理3】曲线y = 在点(-1,-1)处的切线方程为( ) A .y =2x +1 B .y =2x -1 C .y =-2x -3 D .y =-2x -2 【答案】A 2. 【2008全国1,理6】若函数的图像与函数的图像关于直线 对称,则( ) A . B . C . D . 【答案】B. 【解析】由. 3. 【2012全国,理21】已知函数f (x )满足f (x )=f ′(1)e x -1 -f (0)x + x 2 . (1)求f (x )的解析式及单调区间; (2)若f (x )≥ x 2 +ax +b ,求(a +1)b 的最大值. 【解析】(1)由已知得f ′(x )=f ′(1)e x -1 -f (0)+x . 所以f ′(1)=f ′(1)-f (0)+1,即f (0)=1. 又f (0)=f ′(1)e -1 ,所以f ′(1)=e. 从而f (x )=e x -x + x 2 . 2 x + x (1)y f x = -1y =y x =()f x =21 x e -2x e 21 x e +22 x e +() ()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=?=-==12 12 12

由于f ′(x )=e x -1+x , 故当x ∈(-∞,0)时,f ′(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0. 从而,f (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)由已知条件得e x -(a +1)x ≥b .① (ⅰ)若a +1<0,则对任意常数b ,当x <0,且时,可得e x -(a +1)x <b ,因此①式不成立. (ⅱ)若a +1=0,则(a +1)b =0. 所以f (x )≥ x 2 +ax +b 等价于 b ≤a +1-(a +1)ln(a +1).② 因此(a +1)b ≤(a +1)2 -(a +1)2 ln(a +1). 设h (a )=(a +1)2 -(a +1)2 ln(a +1), 则h ′(a )=(a +1)(1-2ln(a +1)). 所以h (a )在(-1,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减, 故h (a )在处取得最大值. 从而,即(a +1)b ≤. 当,时,②式成立, 11 b x a -< +12 12 e 1-12 e 1-12 =e 1a -e ()2h a ≤ e 2 1 2 =e 1a -12 e 2 b =

近5年高考数学全国卷23试卷分析报告

2013----2017年高考全国卷2、3试卷分析从2012年云南进入新课标高考至今,已有六年时间,数学因为容易拉分,加上难度变幻不定,可以说是我省考生最为害怕的一个学科,第一天下午开考的数学考得如何直接决定着考生第二天的考试情绪。近5年全国卷数学试题从试卷的结构和试卷的难度上逐渐趋于平稳,稳中有新,难度都属于较为稳定的状态。选择、填空题会以基础题呈现,属于中等难度。选择题在前六题的位置,填空题在前二题的位置;解答题属于中等难度,且基本定位在前三题和最后一题的位置。 一、近五年高考数学考点分布统计表:

从近五年数学试题知识点分布及分值分布统计表不难看出,试题坚持对基础知识、数学思想方法进行考查,重点考查了高中数学的主体内容,兼顾考查新课标的新增内容,在此基础上,突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查,体现了新课程改革的理念。具体

来说几个方面: 1.整体稳定,覆盖面广 高考数学全国卷2、3全面考查了新课标考试说明中各部分的内容,可以说教材中各章的内容都有所涉及,如复数、旋转体、简易逻辑、概率等教学课时较少的内容,在试卷中也都有所考查。有些内容这几年轮换考查,如统计图、线性回归、直线与圆、线性规划,理科的计数原理、二项式定理、正态分布、条件概率等。 2.重视基础,难度适中 试题以考查高中基础知识为主线,在基础中考查能力。理科前8道选择题都是考查基本概念和公式的题型,相当于课本习题的变式题型。填空题前三题的难度相对较低,均属常规题型。解答题的前三道题分别考查解三角形,分布列、数学期望,空间线面位置关系等基础知识,利用空间直角坐标系求二面角,属中低档难度题。 4.全面考查新增内容,体现新课改理念 如定积分、函数的零点、三视图、算法框图、直方图与茎叶图、条件概率、几何概型、全称命题与特称命题等。 5.突出通性通法、理性思维和思想方法的考查 数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼,是适用于中学数学全部内容的通法,是高考考查的核心。数形结合的思想、方程的思想、分类讨论的思想等在高考中每年都会考查。尤其数形结合,每年还专门有一道“新函数”的大致图象问题 6.注重数学的应用和创新

三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总:导数的计算与导数的几何意义

导数的计算与导数的几何意义 1.(2019全国Ⅰ文13)曲线2)3(e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________. 2.(2019全国Ⅱ文10)曲线y =2sin x +cos x 在点(π,–1)处的切线方程为 A .10x y --π-= B .2210x y --π-= C .2210x y +-π+= D .10x y +-π+= 3.(2019全国三文7)已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a (,)处的切线方程为y =2x +b ,则 A .a=e ,b =-1 B .a=e ,b =1 C .a=e -1,b =1 D .a=e -1,1b =- 4.(2019天津文11)曲线在点处的切线方程为__________. 5.(2019江苏11)在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处的 切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是 . 6.(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)=+-+f x x a x ax .若()f x 为奇函数,则曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为 A .2=-y x B .y x =- C .2=y x D .=y x 7.(2017山东)若函数e ()x f x (e=2.71828L ,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单 调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是 A .()2 x f x -= B .2 ()f x x = C .()3 x f x -= D .()cos f x x = 8.(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln =y x 在点(1,0)处的切线方程为__________. 9.(2018天津)已知函数()ln x f x e x =,()f x '为()f x 的导函数,则(1)f '的值为__. 10.(2017新课标Ⅰ)曲线21 y x x =+ 在点(1,2)处的切线方程为____________. 11.(2017天津)已知a ∈R ,设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为 . 12.(2017山东)已知函数()32 11,32 f x x ax a = -∈R . (Ⅰ)当2a =时,求曲线()y f x =在点()() 3,3f 处的切线方程; cos 2 x y x =- ()0,1

全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案) (2015年-2018年共11套) 函数与导数小题(共23小题) 一、函数奇偶性与周期性 1.(2015年1卷13)若函数f (x ) =ln(x x 为偶函数,则a= 【解析】由题知ln(y x = 是奇函数,所以ln(ln(x x +- =2 2 ln()ln 0a x x a +-==,解得a =1.考点:函数的奇偶性 2.(2018年2卷11)已知是定义域为的奇函数,满足 .若 , 则 A. B. 0 C. 2 D. 50 解:因为是定义域为 的奇函数,且 , 所以, 因此, 因为 ,所以, ,从而 ,选C. 3.(2016年2卷12)已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-,若函数1 x y x += 与()y f x =图像的交点为()11x y ,,()22x y ,,?,()m m x y ,,则()1 m i i i x y =+=∑( ) (A )0 (B )m (C )2m (D )4m 【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01, 对称,而11 1x y x x +==+也关于()01,对称, ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +,∴()1 1 1 022 m m m i i i i i i i m x y x y m ===+=+=+? =∑∑∑,故选B . 二、函数、方程与不等式 4.(2015年2卷5)设函数21 1log (2),1,()2,1, x x x f x x -+-

全国卷历年高考数列真题归类分析2019

全国卷历年高考数列真题归类分析(2019.7含答案) (2015年-2019年共14套) 一、等差、等比数列的基本运算(13小3大) 1.(2016年1卷3)已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = ( ) (A )100 (B )99 (C )98 (D )97 【解析】由已知,11 93627 ,98a d a d +=?? +=?所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=选C. 2.(2017年1卷4)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为( ) A .1 B .2 C .4 D .8 【解析】:() 1661664816 2 a a S a a += =?+=, 451824a a a a +=+=, 作差86824 a a d d -==?=, 故而选C. 3.(2018年1卷4) 设为等差数列 的前项和,若,,则( ) A. B. C. D. 【解析】设该等差数列的公差为,根据题中的条件可得 , 整理解得 ,所以 ,故选B. 4.(2019年3卷14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,12103a a a =≠,,则 10 5 S S =___________. 【解析】因213a a =,所以113a d a +=,即12a d =, 所以 105S S =111 1109 1010024542552 a d a a a d ?+ ==?+. 5.(2017年3卷9)等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0.若2a ,3a ,6a 成等比数列,则 {}n a 前6项的和为( ) A .24- B .3- C .3 D .8 【解析】∵{}n a 为等差数列,且236,,a a a 成等比数列,设公差为d .则2 3 26a a a =?,即() ()()2 11125a d a d a d +=++,又∵11a =,代入上式可得220d d +=,又∵0d ≠,则2d =-

高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- (1) 若0a =,证明:当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >; (2) 若0x =是()f x 的极大值点,求a . 考点分析 综合历年试题来看,全国卷理科数学题目中,全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中,很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问,主要通过函数的单调性证明不等式,第2小问以函数极值点的判断为切入点,综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题,对思维能力(化归思想与分类讨论)的要求较高。 具体而言,第1问,给定参数a 的值,证明函数值与0这一特殊值的大小关系,结合函数以及其导函数的单调性,比较容易证明,这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式,比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点,把ln(1)x +前面的系数化为1,判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系,仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数,解法更加容易,思维比较巧妙。总体来讲,题目设置比较灵活,不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系:对于任意函数,在极值点,导函数一定等于0么(存在不存在)?导函数等于0的点一定是函数的极值点么?因此,任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中,0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增),对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减),因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围,所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上,可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求,难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况,非常巧妙,但是思维跨度比较大,在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是,官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视,这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现,这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势,对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高,符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。

2021年高考数学专题03 导数及其应用 (原卷版)

专题03 导数及其应用 易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系 A , B 两机关单位开展节能活动,活动开始后两机关的用电量()()12W t W t ,与时间t (天)的关系如图 所示,则一定有 A .两机关单位节能效果一样好 B .A 机关单位比B 机关单位节能效果好 C .A 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率比B 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率大 D .A 机关单位与B 机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选C. 因为在(0,t 0)上,()1W t 的图象比()2W t 的图象陡峭,所以在(0,t 0)上用电量的平均变化率,A 机关单位比B 机关单位大. 【错因分析】识图时,一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系,特别是单调性,增长(减少)的快慢等要弄清. 【试题解析】由题可知,A 机关单位所对应的图象比较陡峭,B 机关单位所对应的图象比较平缓,且用电量在0[0]t ,上的平均变化率都小于0,故一定有A 机关单位比B 机关单位节能效果好.故选B. 【参考答案】B 1.平均变化率

函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为 2121 ()() f x f x x x --,若21x x x ?=-,2()y f x ?=-1()f x ,则平 均变化率可表示为y x ??. 2.瞬时速度 一般地,如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述,那么,物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在 t 到t t +?这段时间内,当t ?无限趋近于0时, s t ??无限趋近的常数. 1.巍巍泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”之美誉,登泰山在当地有“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受,下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从A 处到B 处会感觉比较轻松,而从B 处到C 处会感觉比较吃力.想想看,为什么?你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗? 【答案】见解析. 【解析】山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB =1001 5005 -=-, 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC =15101 70504 -=-, ∴h BC >h AB , ∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多. 易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点” 若经过点P (2,8)作曲线3 y x =的切线,则切线方程为 A .12160x y --= B .320x y -+=

三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总:抛物线

抛物线 1.(2019全国II 文9)若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆 2213x y p p +=的一个焦点,则p = A .2 B .3 C .4 D .8 2.(2019浙江21)如图,已知点(10)F ,为抛物线2 2(0)y px p =>的焦点,过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线上,使得ABC △的重心G 在x 轴上,直线AC 交x 轴于点Q ,且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S . (1)求p 的值及抛物线的准线方程; (2)求 1 2 S S 的最小值及此时点G 的坐标. 3.(2019全国III 文21)已知曲线C :y =2 2 x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作C 的两条切 线,切点分别为A ,B . (1)证明:直线AB 过定点: (2)若以E (0, 5 2 )为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求该圆的方程. 4.(2017新课标Ⅱ)过抛物线C :2 4y x =的焦点F , C 于点M (M 在x 轴上方),l 为C 的准线,点N 在l 上且MN ⊥l ,则M 到直线NF 的距离为 A B . C . D .5.(2018北京)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴,若l 被抛物线2 4y ax =截得的线段长为 4,则抛物线的焦点坐标为_________.

6.(2018全国卷Ⅱ)设抛物线2 4=:C y x 的焦点为F ,过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与 C 交于A ,B 两点,||8=AB . (1)求l 的方程; (2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程. 7.(2018浙江)如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C :2 4y x =上存在 不同的两点A ,B 满足PA ,PB 的中点均在C 上. (1)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴; (2)若P 是半椭圆2 2 14 y x +=(0x <)上的动点,求PAB ?面积的取值范围. 8.(2017新课标Ⅰ)设A ,B 为曲线C :2 4 x y =上两点,A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率; (2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM BM ⊥,求直线 AB 的方程. 9.(2017浙江)如图,已知抛物线2 x y =.点11 (,)24A -,39(,)24 B ,抛物线上的点(,) P x y 13 ()22 x -<<,过点B 作直线AP 的垂线,垂足为Q . (Ⅰ)求直线AP 斜率的取值范围;

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