高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.3 函数的单调性课件 新人教B版必修1
人教B版高中数学必修一第二章第二单元 一次函数和二次函数
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第二章第二单元一次函数和二次函数1．一次函数（1）一次函数的概念函数叫做一次函数，它的定义域是R，值域为R.一次函数的图象是，其中k叫做该直线的，b叫做该直线在y轴上的．一次函数又叫．（2）一次函数的性质①函数的改变量Δy＝与自变量改变量Δx＝的比值等于，k的大小表示直线与x轴的．②当k>0时，一次函数是；当k<0时，一次函数是．③当b＝0时，一次函数为，是；当b≠0时，它．④直线y＝kx＋b与x轴的交点为，与y轴的交点为。
2．二次函数（1）函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做，它的定义域为R.（2）二次函数的性质与图象图象函数性质a＞0 a＜0 定义域x∈R值域a>0 a<024[,)4ac bya-∈+∞24(,]4ac bya-∈-∞奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性a>0 a<0(,],2bxa∈-∞-时递增[,)2bxa∈-+∞时递减(,],2bxa∈-∞-时递减[,)2bxa∈-+∞时递增图象特点()()241:;2:(,)224b b ac b x a a a-=--对称轴顶点 最值抛物线有最低点， 当2bx a=-时，y 有最小值2min44ac b y a-=抛物线有最高点， 当2bx a=-时，y 有最大值2max44ac b y a-=(3) 配方法将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 配成顶点式y ＝x (a(－)h)2＋k 来求抛物线的顶点和函数y 的最值问题．配方法是研究二次函数的主要方法，熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键，对一个具体的二次函数，通过配方就能知道这个二次函数的主要性质．（4）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f （x ）= ax 2+bx+c(a ≠0) .②顶点式：f(x)= f(x)=a(x-h)2+k (a ≠0) ，(k ，h)为顶点坐标． ③两根式：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) ， x 1、x 2为两实根． 3．待定系数法一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。
人教版高中数学选择性必修第二册5.3.1函数的单调性【课件】
′ = − <
所以，函数 = − 在 ∈ (, ) 上单调递减，如图（2）所示.
合作探究
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（3） =
解：
−
（3）因为
= − ， ∈ (−∞, ) ∪ +∞
所以
′
= >
新知讲解
观察图象可以发现：
（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时
间t的增加而增加，即h(t) 单调递增. 相应地， = ′ >
（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时
间t的增加而减少，即h(t) 单调递减. 相应地， = ′ < .
3
所以， f(x)在（−∞，-1）和（2，+∞）上都单调
递增，在（-1，2）上单调递减，如图5.3-6所示.
合作探究
规律方法：一般情况下，通过如下步骤判断函数 y=f(x)的单调性：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数 ′ 的零点；
第3步，用 ′ 的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 ′
1
所以，函数 = 1 − 在区间 −∞, 0 和(0, +∞)上单调递增，如图（3）所示.
合作探究
例2 已知导函数′ 的下列信息：
当1<x<4时，′ > ；
当x<1, 或x>4时，′ <
当x=1,或 x=4时，′ = .
试画出函数f(x)图象的大致形状.
′ = + = + >
人教版高中数学必修1(A版) 函数的单调性 PPT课件
思考：用单调性的定义证明函数单调性的步骤是什 么？需注意哪些问题？
第一步：设区间上任意两点
x1 , x2 ，且 x1 < x2 。
自变量的值x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ),
你能类比地给出减函数的定义吗?
一般地, 设函数的定义域为I : 如果对于定义域内的某个区间D上的任意两个 自变量的值x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么就说函数f ( x)在区间D上是
其中y f ( x)在区间[5, 2),[1,3)上是减函数, 在区间[2,1),[3,5]上是增函数. 函数y f ( x)的增区间是[2,1),[3,5]; 减区间是[5, 2),[1,3).
思考：
函数y f ( x)的增区间能写成"[2,1) [3,5]"吗? 增区间能写成"[2,1)或[3,5]"吗?
第二步：作差 f ( x1 ) f ( x2 ) 整理化简。 第三步：判断 f ( x1 ) f ( x2 ) 的符号。 第四步：根据 f ( x1 )与 f ( x2 )的大小关系下结论。Βιβλιοθήκη 判断并证明函数 f ( x)
x 在定义域内的单调性。
小 结
2.利用定义证明函数单调性的步骤.
1.函数的单调性. (局部概念、应首先确定函数的定义域）
第一章 集合与函数概念
1.3.1函数的单调性
问题：下图是某地一天内的气温变化图,观察图形,你能指出该 天的气温是如何变化的吗?
人教B版高中数学必修一《第二章 函数 2.2 一次函数和二次函数 2.2.1 一次函数的性质与图象》_1
《2.2.1一次函数的性质与图象》教学设计教材版本：人民教育出版社数学B版必修1第二章函数2.2.1一次函数的性质与图象.一.教材的地位与作用函数语言是数学中的通用语言，是描述变量之间依赖关系和集合之间关系的一个基本的数学模型，是研究客观世界变化规律和集合之间关系的一个最基本的数学工具,大到宇宙起源、天体运动，小到原子、分子运动，都需要使用函数语言来描述。
而一次函数是函数中最基本的函数模型，几乎所有的科学研究领域都能使用一次函数。
高中阶段通过对一次函数有关知识的复习与提高，沟通了初中和高中数学内容的内在联系，实现由初中数学向高中数学的平稳过度。
因此学好一次函数对于提高学生的基本素质，培养学生的辩证唯物主义科学观有着十分重要的作用。
二.学情分析学生在初中初步探讨了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等，并具体地讨论了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数。
通过函数值的计算、列对应值表以及描绘函数的图象，学生在获得了关于函数的感性认知的同时也积累了一定的数学活动经验,具有一定的自主探究能力。
三.教学目标（一）知识与技能:掌握一次函数的定义，理解直线y=kx+b中斜率k和截距b对直线的影响，掌握一次函数的性质，理解一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系。
（二）过程与方法:经历观察一次函数的图象探究得到一次函数的主要性质的过程，加强对数形结合、分类讨论等思想方法的理解和运用，并获得研究函数性质的一般方法；（三）情感、态度与价值观:通过对一次函数性质的探究，不仅能强化新旧知识的联系，而且能从特殊到一般发现研究函数性质的一般方法，树立学生求真的自信心；同时让学生意识到数学来源于生活又服务于生活，以科学的态度评价身边的一些现象，激发学习兴趣。
四.教学重点与难点重点: 斜率公式的推导。
难点:理解一次函数的性质。
五.教学方法结合教学内容与教学实际，本节课采用教师引导与学生自主学习相结合的教学方法.从梳理前一大节知识框架出发，总结学习函数的一般过程，为本节课研究一次函数的性质与图象打下铺垫，使新旧知识得以更好地衔接。
新教材高中数学第三章函数的单调性课件新人教B版必修第一册ppt
【解析】选 C.对于 A，y＝－2x 在定义域上无单调性，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上 是增函数，所以 A 错误； 对于 B，y＝x2＋1 1 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，所以 B 错误； 对于 C，y＝－3x2－6x 图像是抛物线，对称轴是 x＝－1，所以函数在[－1，＋∞)上是 减函数，所以 C 正确； 对于 D，a>0 时，y＝ax＋3 在(－∞，＋∞)上为增函数，a<0 时，y＝ax＋3 在(－∞， ＋∞)上是减函数，所以 D 错误．
A．[1，2]
B．12，2
C．(1，2]
D．21，2
【思路导引】分别考虑 x>0，x<0，分界点三个方面的因素求范围．
【解析】选 A.因为函数 f(x)＝（ －2x2b＋－（1）2－x＋b）b－x，1，x≤x0>，0， 2b－1>0，
在 R 上为增函数，所以 2－2 b≥0， 解得 1≤b≤2. b－1≥0，
3．函数 y＝|x－1|的单调增区间是____________． 【解析】作出函数的图像，如图所示，所以函数的单调递增区间为[1，＋∞).
答案：[1，＋∞)
图像法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图像； (2)结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间．
【补偿训练】 画出函数 y＝|x|(x－2)的图像，并指出函数的单调区间． 【解析】y＝|x|(x－2)＝x－2－x22＋x＝2x（ ＝x－－（1）x－2－1）1，2＋x≥1，0，x<0， 函数的图像如图所示． 由函数的图像知：函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)， 单调递减区间为(0，1).
类型三 函数单调性的应用(数学运算、逻辑推理) 利用单调性解函数不等式 【典例】已知函数 f(x)的定义域为[－2，2]，且 f(x)在区间[－2，2]上是增函数， f(1－m)＜f(m)，则实数 m 的取值范围为________． 【思路导引】从定义域，单调性两个方面列不等式求范围．
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)2.2函数的单调性与最值课件 理 新人教B版
(3)由y=ax在(0，+≦)上是减函数，知a＜0； 由 y b 在(0，+≦)上是减函数，知b＜0．
x
≨y=ax2+bx的对称轴 x b ＜0，
2a
又≧y=ax2+bx的开口向下, ≨ y=ax2+bx在(0，+≦)上是减函数． 答案：(1)①真 ②真 ③假 ④真
(2)>
{x|x>1或x<-1}
x 1
【解题指南】(1)转化为基本初等函数的单调性去判断； (2)可用定义法或导数法.
【规范解答】(1)函数f(x)的定义域为( 1 ，+≦)，令
2
t=2x+1(t>0),
因为y=log5t在t∈(0,+≦)上为增函数，t=2x+1在(
1 ，+≦) 2
上为增函数，
所以函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间为( 1 ,+≦).
f(1-x2)＞f(2x)的条件，得出1-x2与2x之间的大小关系， 进而求得x的取值范围.也可分1-x2≥0，1-x2<0讨论求解.
【规范解答】方法一：画出
x 2 1，x 0 的图象， f x 1，x＜0
由图象可知， 若f(1-x2)＞f(2x)，
1＜x＜1 1 x 2＞0 ， 则 ，即 2 1 x ＞2x 1 2＜x＜ 1 2
由图象知f(2)>f(-1)>f(0).
【反思·感悟】1.当已知函数的单调性，解含有“f”号的不等 式时，首先要根据函数的性质，转化为如“f(g(x))>f(h(x))” 的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函 数的定义域. 2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内， 要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于
函数的单调性【新教材】人教A版高中数学必修第一册精品ppt课件
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第三章 3.2.1 第1课时函数的单调性-【新教材】 人教A 版（201 9）高 中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT) 第三章 3.2.1 第1课时函数的单调性-【新教材】 人教A 版（201 9）高 中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT)
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【数学】1.3.1《利用导数判断函数的单调性》课件(新人教B版选修2-2)
2
− 2x − 3y ;
f (x ) = x 3 + 3 x
x
所示.
图1.3 − 5(1)
(2)因为f (x ) = x 2 − 2x − 3, 所以f ' (x ) = 2x − 2 = 2(x − 1). ' (x ) > 0,即x > 1时,函数f (x ) = x 2 − 2x − 3单调递增; 当f 当f ' (x ) < 0, 即x < 1时,函数f (x ) = x 2 − 2x − 3单调递减 . 函数f (x ) = x 2 − 2x − 3 的图象如图1.3 − 5(2)所示.
1.3.1 利 导 判 函 的 调 用 数 断 数 单 性
h
() 1 观察 图 .3 −11表示高 h 台跳水运动员的高度 随 h 时间变化的函数 (t) =
− 4.9t + 6.5t +10 , 的图象 ( 1 图 .3 −12)表示高台跳水 v t 运动员的速度 随时间变
2
O
a
b
t
图 . −
y
y=x
O
y=x
x
()
y
( )
y=x
O
x X
y y=
x
x
O
x
O
( )
图. −
( )
y
y = f(x)
(x , f (x ))
O
(x , f (x )) , 导数f (x )表示函数f (x )在点(x , f (x )) ' 处的切线的斜率.在 x = x 处, f (x ) > , 切线是" 左 下右上" 式的, 这时,函数f (x )在 x 附近单调递增; 在 x = x 处, f ' (x ) < , 切线是" 左上右下" 式的, 这时,函 数f (x )在x 附近单调递减.
高中数学必修1(人教B版)第二章函数2.1知识点总结含同步练习题及答案
描述：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 函数 2.1 函数一、学习任务1. 通过同一过程中的变量关系理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；初步掌握换元法的简单应用．2. 了解映射的概念，能判断一些简单的对应是不是映射．3. 理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象．4. 理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．二、知识清单函数的相关概念函数的表示方法 映射函数的定义域的概念与求法函数的值域的概念与求法 函数的解析式的概念与求法分段函数复合函数 函数的单调性函数的最大（小）值 函数的奇偶性三、知识讲解1.函数的相关概念函数的概念设 ， 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数(function)．记作：其中， 叫做自变量，自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域． 叫做因变量，与 的值相对应的 值叫做函数在 处的函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域．相同函数的概念A B f Ax B f (x )f :A →B A By =f (x ),x ∈A .x A y x y x {y | y =f (x ),x ∈A }N集合 的函数关系的有（ ）012．数轴表示为（2）{x | 2⩽x⩽8 且8]（3）函数 的图象是由 t 的映射的是（ ）N（2）函数图象如图所示：y的距离 与点y=f(x)如图为函数 的图象，试写出函数解： [1,2]2（5）（图象法）画出。
数学人教A版必修一3.2.1函数的单调性课件(共23张ppt)
(× )
(× )
② 函数 = ()在区间上是增函数，如果(1 ) < (2 )，则1 < 2 .
1
③ () = 在定义域内为减函数.
（× ）
④ 若函数 = ()的定义域内区间D上的任意两个变量1 , 2 ，
1
在区间
1, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 3-2
根据定义证明函数 = −
1
在区间
0, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 4
已知函数 =
1
.
2 −1
（1）求 的定义域；
（2）判断函数 在 1, +∞ 上的单调性，并用定义加以证明.
例题演练
变 4
求证：函数 =
1
2
2
−∞, −
=−
2
概念剖析
（3）反比例函数 =
和 (0， + ∞)上都是减函数；
①k __
> 0 时，在(−∞，0) ____
和 (0， + ∞)上都是增函数．
< 0 时，在(−∞，0) ____
②k __
概念剖析
观察函数图象：
(1 )
= 2
(2 )
你觉得它们反映了函数的哪些方面的性质？
概念剖析
反比例函数 =
1. 列表：
1
=
1
−
3
1
的表示：
1
−
2
2. 函数解析式： =