有关角问题的错解分析

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解三角形中常见错误浅析

解三角形中常见错误浅析作者：霍福策来源：《新高考·高一数学》2012年第03期以三角形为载体,考查学生分析问题、判断能力是高考命题的一个重要方向,而同学们在解这部分问题时,常因考虑不周、审题不细、公式运用不当等原因而导致错解.下面就解三角形中的常见易错点举例剖析，以引起同学们的关注.例1 在△ABC中，已知 B= π 6， c= 23， b=2，求△ABC的面积.错解由正弦定理得 sinC=cb sinB=32，所以C= π 3， A= π 2. 从而△ABC的面积为：剖析在△ABC中， sinC=32，因为c>b，所以C>B.故当C=2 π 3时，A= π 6时也符合要求，此时△ABC的面积为：S △=12b c sinA=12×23×2×12=3. 错误的原因在于求C时漏了一解.因此，我们要谨防走入：误区一利用正弦定理求三角形的内角时易丢解已知两边及其一边的对角，求解三角形用正弦定理，此时求得某个角的正弦值后，要注意正弦函数y= sinx在区间（0， π ）上不是单调函数，因此所求角有可能有两个，防止由正弦定理得 sinC=cb sinB=32.因为c>b，所以C>B，此时角C= π 3或2 π 3.当C= π 3， A= π 2时，S △=12b c sinA= 12× 23×2×1=23；当 C=2 π 3时，A= π 6时，S △=12b c• sinA= 12×23×2×12=3.故所求三角形的面积为23或3.例2 在△ABC中，已知 c=56， b=10， C=60 ° ，不解三角形，判断三角形解的个数.错解由正弦定理 b sinB=c sinC得： sinB= bc sinC=1056•32=22， B= π 4或3 π 4，所以此三角形有两组解.剖析由正弦定理知 sinB=bc sinC=1056•32=22，由已知b误区二机械套用定理、公式和已有结论，导致错解已知两边及其一边的对角，求解三角形用正弦定理，此时求得某个角的正弦值后，要注意根据三角形中的边角关系进行检验，防止出现增根，如：大边对大角，即： a>b A>B 等来进行要考虑角的范围.正解由正弦定理 b sinB=c sinC得 sinB =bc sinC=1056•32=22， B= π 4或3 π 4.由已知b例3 在△ABC中，已知 cosA=513， sinB=35，求 cosC的值.错解因为 cosA=513,所以 sinA=1213.又 sinB=35，所以 cosB=±45.①当 cosB=45时， cosC=－ cos （A+B）=－ cosA cosB+ sinA sinB=1665；②当 cosB=－45时， cosC= － cos （A+ B） =－cosA cosB+ sinA sinB=5665.所以 cosC的值为1665或5665.剖析在△ABC中，因为 cosA=513>0,所以A为锐角， sinA=1213.又 sinB=35，所以sinA> sinB.由正弦定理知a>b，由三角形的性质有A>B, 所以B角不可能为钝角.因此cosB≠－45，产生了增根.因此，我们要谨防走入：误区三不能挖掘隐含条件，进一步缩小角的范围而致错在解三角形时，有些条件在题目中能够显现，有些条件则隐含在解题过程中，这时候不能盲目求解，有根据过程适时作出相应的判断，缩小角的范围，从而得到正确的结果.正解在△ABC中，因为 cosA=513>0,所以A为锐角， sinA=1213.又 sinB=35，所以sinA> sinB.由正弦定理知a>b，由三角形的性质有A>B,所以B为锐角， cosB= 45.从而cosC=－ cos （A+B）= － cosA cosB+ sinA sinB=1665.－1 在△ABC中，三内角A， B， C满足： sin 2A+ sin 2B= sin 2CsinA sinB，求 sinC的值.。

5.1.3 同位角、内错角、同旁内角100题(含解析)

绝密★启用前一、单选题1．[单选题]下列图形中1∠与2∠是内错角的是A ．B ．C ．D ．答案：A 解析：A. <2与<1是内错角，故此选项正确；B. <2与<1的对顶角是内错角，故此选项错误；C. <2与<1 是同旁内角，故此选项错误；D. <2与<1的邻补角是内错角，故此选项错误；线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.掌握内错角的定义是解答本题的关键.2．[单选题]已知如图AB 、BE 被AC 所截，下列说法不正确的是（）A ．1∠与2∠是同旁内角B ．1∠与ACE ∠是内错角C ．B 与ACB ∠是同位角D ．1∠与3∠不是同位角答案：C 解析：解析：根据同位角、内错角、同旁内角的定义可以直接得到答案. 【详解】解：A. 1∠与2∠是同旁内角，正确但不符合题意；B. 1∠与ACE ∠是内错角，正确但不符合题意；C. B ∠与ACB ∠是同位角，错误符合题意；D.1∠与3∠不是同位角，正确但不符合题意.故选：C. 【点睛】本题主要考查了三线八角.3．[单选题]如图，∠1与∠2不能构成同位角的图形的是（）A ．B．C．D．答案：D解析：解析：根据同位角的定义来分析判断即可，两条直线被第三条直线所截,在截线的同旁,被截两直线的同一方,把这种位置关系的角称为同位角.【详解】由同位角的定义可知图A、B、C中的∠1和∠2可以构成同位角，D中的∠1和∠2构不成同位角.故本题答案为：D.【点睛】同位角的定义是本题的考点，根据同位角的定义正确识别同位角是解题的关键. 4．[单选题]如图，下列说法错误的是（）A．∠1与∠3是对顶角B．∠3与∠4是内错角C．∠2与∠6是同位角D．∠3与∠5是同旁内角答案：C解析：根据对顶角定义、内错角定义、同位角定义、同旁内角定义进行分析即可．【详解】A、∠1与∠3是对顶角，故A说法正确；B、∠3与∠4是内错角，故B说法正确；C、∠2与∠6不是同位角，故C说法错误；D、∠3与∠5是同旁内角，故D说法正确；故选：C．【点睛】本题考查对顶角、内错角、同位角和同旁内角的定义，掌握其定义是选择本题答案的关键．5．[单选题]下列选项中，∠ 5和∠6不是同旁内角的是（）A．B．C．D．答案：B解析：根据同旁内角的定义:两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角.进行解答【详解】A. ∠5和∠6是同旁内角,不合题意,故此选项错误.B.∠5和∠6不是同旁内角,符合题意,故此选项正确C.∠5和∠6是同旁内角,不合题意,故此选项错误D.∠5和∠6是同旁内角,不合题意,故此选项错误【点睛】本题考查同旁内角的定义,理解掌握同旁内角定义是解题关键6．[单选题]如图，直线1l和2l被直线3l所截，则（）A ．1∠和2∠是同位角B ．1∠和2∠是内错角C ．1∠和3∠是同位角D ．1∠和3∠是内错角答案：C 解析：根据同位角和内错角的定义进行分析即可．【详解】同位角是位于两直线及截线的同侧，内错角是位于两直线内侧及截线两侧，故1∠和3∠是同位角；故选：C ．【点睛】本题考查了同位角和内错角的判断，熟练掌握基本概念是解决这类问题的关键． 8．[单选题]如图，点D 、E 分别为三角形ABC 边BC 、AC 上一点，作射线DE ，则下列说法错误的是（）A ．∠1与∠3是对顶角B ．∠2与∠A 是同位角C ．∠2与∠C 是同旁内角D ．∠1与∠4是内错角解析：根据同位角、内错角以及同旁内角的概念进行判断．【详解】解：A、∠1与∠3是对顶角，说法正确；B、∠2与∠A是同位角，说法正确；C、∠2与∠C是同旁内角，说法正确；D、∠2与∠4是内错角，说法错误．故选：D．【点睛】考查了同位角、内错角以及同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．9．[单选题]如图，下列结论正确的是（）.A．∠5与∠2是对顶角；B．∠1与∠3是同位角；C．∠2与∠3是同旁内角；D．∠1与∠2是同旁内角.根据对顶角即三线八角的特征可得∠1与∠2是同旁内角，故选D。

数学三角形试题答案及解析

数学三角形试题答案及解析1.如图，从5根小棒中任意取出3根，你能摆出几种不同的三角形呢？【答案】3种【解析】三角形三条边的特性：任意两边的长度和大于第三边，任意两边的长度差小于第三边．根据此特性，进行组合．解：可能的组合是：①2厘米、2厘米、3厘米；②3厘米、3厘米、4厘米；③2厘米、3厘米、4厘米；可以摆3种不同的三角形．答：可以摆3种不同三角形．点评：此题考查三角形三条边的特性：任意两边的长度和大于第三边，任意两边的长度差小于第三边．2.分别在点子图中画出锐角三角形、等腰直角三角形和钝角三角形．【答案】【解析】根据它们的定义：三个角都是锐角的三角形，叫做锐角三角形；有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形；有一个角是钝角的三角形，是钝角三角形；进而画出即可．点评：此题考查了三角形按角分类的方法，应灵活理解并掌握角的概念．3.一个三角形的周长是40厘米，三条边长度的比是3：3：2．这个三角形三条边的长各是多少厘米？这个三角形是什么三角形？【答案】是15厘米，15厘米，10厘米，这个三角形是等腰三角形．【解析】根据比与分数的关系知三条边各占周长的，，，三角形的周长是40厘米，求出三条边的长，再根据三角形的分类确定是什么三角形．解：40×=15（厘米），40×=15（厘米），40×=10（厘米），因有两条边相等，所以这个三角形是等腰三角形．答：三条边的长度分别是15厘米，15厘米，10厘米，这个三角形是等腰三角形．点评：本题的关键是根据比与分数的关系求出各条边占周长的几分之几，再根据分数乘法的意义出各条边的长，然后再确定是什么三角形．4.【答案】【解析】（1）根据锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的含义：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；据此判断；（2）从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高，据此画图．解：（1）观察图形可知，第一个三角形是直角三角形；第二个三角形是锐角三角形，第三个三角形是钝角三角形；（2）第一个三角形下面的直角边就是图中标出的底上的高；另外两个三角形的高，用三角板的一条直角边与底边重合，沿重合的底边平移三角板，使三角板的另一条直角边和底边对着的顶点重合，过顶点沿直角边向底画垂线段即可；点评：此题考查了学生根据三角形高的定义画高的能力．5.算一算．【答案】74°、53°、61°，61°．【解析】利用三角形的内角和是180度即可作答．解：∠A=180°﹣31°﹣75°=74°；∠C=180°﹣90°﹣37°=53°；∠B=∠C=（180°﹣58°）÷2=61°．如图所示：点评：此题主要考查三角形的内角和等于180°的性质．6.一个直角三角形的锐角是48°，另一个锐角是多少度？【答案】42度．【解析】根据三角形的内角和公式，用“180°﹣90°=90°”求出直角三角形的另外两个内角的度数和，然后根据给出的一个锐角的度数，求出另外一个内角的度数．解：180°﹣90°﹣48°，=90°﹣48°，=42°；答：另一个锐角是42度．点评：此题考查了三角形的内角和，应注意知识的灵活运用．7.一个钝角三角形，它的两个锐角分别是32°和63°．．【答案】错误．【解析】根据三角形按角分类的方法，可知钝角三角形中有一个角是钝角，由此利用三角形的内角和计算出这个三角形的第三个角的度数，即可进行判断．解：两个锐角分别是32°和63°，则：第三个角的度数是：180°﹣32°﹣63°=85°，经过计算可知，这个三角形的三个角都是锐角，它是一个锐角三角形．点评：此题考查钝角三角形的性质以及三角形内角和定理的灵活应用．8.三角形ABC中，∠A=70°，∠B=30°，∠C=？它是什么三角形？【答案】锐角三角形．【解析】根据三角形的内角和等于180°，已知两个角的度数，求出第三个角的度数，即可判断出此三角形的类型．解：因为△ABC中，∠A=70°，∠B=30°，所以∠C=180°﹣30°﹣70°=80°＜90°，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，故此三角形是锐角三角形．点评：题考查了三角形内角和定理及判断三角形类型的方法，较简单．9.求下面每个三角形中未知角的度数．∠2=；∠C=；∠B=．【答案】40°，50°，37°．【解析】在直角三角形中，两个锐角的和是90度，已知其中一个锐角，求另一个锐角用减法计算；在图2中，已知其中两个锐角，求另一个锐角用180度分别减去这两个锐角；据此解答．解：∠2=90°﹣50°=40°，∠C=180°﹣85°﹣45°=50°，∠B=90°﹣53°=37°；点评：本题关键是明确三角形的内角和是180°．10.一个三角形，三个内角的度数比是1：2：3，这是一个什么三角形？【答案】直角三角形．【解析】三角形的内角和为180°，进一步直接利用按比例分配求得份数最大的角，进而按照三角形的分类解答即可．解：180×=90（度），根据直角三角形的含义可知：该三角形是直角三角形；答：这个三角形是直角三角形．点评：此题主要利用三角形的内角和与按比例分配来解答问题；用到的知识点：直角三角形的含义．11.一个三角形三个内角的度数比是2：3：4，这个三角形三个内角分别是多少度？【答案】40°、60°、80°．【解析】三角形的内角和为180°，进一步利用按比例分配直接计算得出结论即可．解：180°×=40°；180°×=60°；180°×=80°．答：这三个内角分别是40°、60°、80°．点评：此题主要利用三角形的内角和与按比例分配解决问题．12.围篱笆．甲乙哪种方法更牢固，为什么？原因是：．【答案】乙，三角形具有稳定性．【解析】根据三角形具有稳定性的性质，即可选择正确答案．解：由三角尺的特性可知：乙种方法最牢固；因为三角形具有稳定性；点评：此题考查了三角形的稳定性，要注意三角形的稳定性在实际生活中的应用．13.一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的度数和的2倍，这个三角形是三角形．【答案】钝角．【解析】如果三角形一个内角的度数等于另外两个内角的度数和的2倍，，那么第三个内角就是最大角，设另外两个角的度数之和是x度，则第三个角的度数就是2x，根据三角形内角和是180度可得：x+2x=180，由此求出x的度数，再根据三角形的分类进行解答．解：设另外两个角的度数之和是x度，则第三个角的度数就是2x，根据三角形内角和是180度可得：x+2x=180，3x=180，x=60，60×2=120（度），最大的角是120度，是钝角，所以这个三角形是钝角三角形．点评：本题的关键是求出三角形的最大角，然后根据三角形的分类确定其形状．14.量一量，这个三角形中最大的角是度，这是一个三角形，请你画出底边上的高．【答案】115，钝角．【解析】先用量角器量出三角形中钝角的度数，即为这个三角形中最大的角的度数，再根据钝角三角形的定义作出判断；从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高，据此画出底边上的高．解：用量角器测量可知：这个三角形中最大的角是115度，这是一个钝角三角形，点评：本题考查了角的度量，三角形的分类和学生根据三角形高的定义画高的作图能力．15.取4根同样长的火柴，可以摆成一个三角形．．【答案】错误．【解析】根据三角形的含义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，可知：4根同样长的火柴，不可以摆成一个三角形，因为在三角形中，任意两边之和大于第三边；据此判断即可．解：如图：取4根同样长的火柴，如果摆出一个三角形，只能重合；点评：此题应根据三角形的含义，并结合三角形的特性进行解答．16.求下面各角的度数．∠A=∠B=∠B=∠C=∠C=．【答案】56°；48°；66°；29°．【解析】（1）因为是直角三角形，所以∠A和34°角的和是90°，则∠A=90°﹣34°；（2）∠C和18°角、90°角组成一个平角，可以求出∠C的度数，再根据三角形的内角和是180°，即可求出∠B的度数=180°﹣60°﹣∠C；（3）因为是等腰三角形，所以两个底角相等，所以∠B=∠C=（180°﹣48°）÷2；（4）∠A和119°角组成一个平角，即可求出∠A的度数，因为在直角三角形里，所以求出∠C=90°﹣∠A；据此解答即可．解：（1）∠A=90°﹣34°=56°；（2）∠C=180°﹣90°﹣18°=72°，∠B=180°﹣60°﹣72°=48°；（3）∠B=∠C=（180°﹣48°）÷2=66°；（4）∠A=180°﹣119°=61°，∠C=90°﹣61°=29°．点评：此题主要考查三角形内角和的灵活运用．17.学校要举行一次风筝比赛，小红准备亲自设计一个风筝．设计要求这个风筝的造型是等腰三角形，它的一个底角是顶角的2倍．计算一下这个风筝三个内角各是多少度？【答案】顶角是36度，两个底角分别是72度．【解析】依据三角形的内角和是180度，及等腰三角形的两个底角相等，再据顶角和底角的关系即可作答．解：设顶角是x度，则底角就是2x度，x+2x+2x=180，5x=180，x=36，36°×2=72°，答：这个风筝的顶角是36度，两个底角分别是72度．点评：此题主要考查三角形的内角和及等腰三角形的角的度数特点．18.先量一量三角形的三条边，写出它是什么三角形，再画出它的对称轴．【解析】通过测量可知：该三角形的三条边都相等，所以该三角形是等边三角形，等边三角形有3条对称轴；据此画出即可．解：通过测量可知：该三角形的三条边都相等，所以该三角形是等边三角形；如图：点评：明确等边三角形的含义及轴对称图形的意义，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．19.下面每组三条线段，不能围成三角形的有．①7厘米、5厘米、8分米②12厘米、30厘米、15厘米③3厘米、8厘米、5厘米④5米、7米、9米．【答案】①、②、③．【解析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．解：①、因为7+5＜8分米，不能围成三角形；②、15+12＜30，不能围成三角形；③、3+5=8，不能围成三角形；④、因为5+7＞9，所以能围成三角形；点评：解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．20.长5cm、6cm、11cm的三条线段首尾相接正好能围成一个三角形．．【答案】×．【解析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．解：因为5+6=11，所以长5cm、6cm、11cm的三条线段首尾相接不能围成一个三角形；点评：本题主要考查了三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．21.有一个等腰三角形，它的两个角的度数比是1：2，这个三角形按角分类可能是什么三角形？【答案】角三角形；【解析】因为该等腰三角形的两个角的度数比是1：2，则这个三角形三个角度数的比为1：2：2或1：1：2，进而根据按比例分配知识，分别求出三角形的最大角的度数，进而根据三角形的分类进行判断即可．解：1+1+2=4，180×=90（度），该三角形是直角三角形；或：1+2+2=5，180×=72（度），最大角为72度，是锐角，所以该三角形的三个角都是锐角，即该三角形是锐角三角形；答：该三角形是直角三角形或锐角三角形．点评：解答此题用到的在知识点：（1）三角形的内角和180度；（2）按比例分配知识；（3）三角形的分类；22.用长度是7cm，7cm，14cm的3根小棒可以拼成三角形．【答案】错误．【解析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．解：因为7+7=14，所以用长度是7cm，7cm，14cm的3根小棒不能拼成三角形；点评：解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答．23.如图，三角形ABC中，AB=AC，AE=AD，∠BAD=30°．∠ACD=40°，那么，∠EDC=度．【答案】15．【解析】要求∠EDC，在△EDC中，只要求出∠DEC即可；要求出∠DEC，只要求出∠AED即可，在△ADE中，AD=AE，只要求出∠DAE即可解决；在△ABC中可以求出∠BAC的度数，由此可以解决问题．解：在△ABC中，AB=AC，∠C=40°，所以∠BAC=180°﹣40°×2=100°；∠DAE=100°﹣30°=70°，在△ADE中，AD=AE，所以∠AED（=180°﹣70°）÷2=55°，所以∠DEC=180°﹣55°=125°（平角的定义），所以在△EDC中，∠EDC=180°﹣40°﹣125°=15°，点评：运用逆向思维对要求的问题进行分析，此题步步紧扣等腰三角形的性质和三角形的内角和进行推理解答．24.最大角是锐角的三角形一定是锐角三角形．．（判断对错）【答案】√．【解析】如果最大角是锐角，那么另外的两个角也一定是锐角，所以这个三角形一定是锐角三角形，由此判断即可．解：如果最大角是锐角，那么另外的两个角也一定是锐角，所以这个三角形一定是锐角三角形，所以上面的说法是正确的．点评：此题主要考查三角形的分类．25.表中∠1、∠2、∠3是三角形的三个内角【答案】40；48；45；60；80．【解析】根据三角形的内角和是180度，已知三角形的两个角，即可计算出第三个角的度数．解：（1）∠3=180°﹣75°﹣65°=40°；（2）∠2=180°﹣90°﹣42°=48°；（3）∠1=180°﹣120°﹣15°=45°；（4）∠3=180°﹣60°﹣60°=60°；（5）∠2=180°﹣50°﹣50°=80°；故填表如下：26.在等腰三角形中，一个底角是顶角的4倍，顶角是度，底角是度．【答案】20，80．【解析】依据三角形的内角和是180度，及等腰三角形的两个底角相等，再据顶角和底角的关系即可作答．解：设顶角为x，则底角为4x，则x+4x+4x=180°，9x=180°，x=20°；20°×4=80°．答：这个等腰三角形度顶角是20°，底角是80°．点评：此题主要考查三角形的内角和及等腰三角形的角的度数特点．27.每个三角形中至少有个锐角；最多有个直角或钝角．【答案】2；1．【解析】紧扣三角形的内角和是180°即可解决问题．解：假设三角形中锐角的个数少于2个，那么三角形中就会出现两个或两个以上的角是钝角或直角，两个钝角或两个直角的和加上第三个角的度数一定大于180°，这就违背了三角形内角和是180°的性质，所以一个三角形至少有2个锐角，最多有1个直角或钝角．答：任何一个三角形至少有2个锐角，最多有1个直角或钝角．点评：此题考查了三角形内角和在三角形分类中的应用．28.把一个三角形中一个20°的锐角截去，剩下图形的内角和是160°．．【答案】×．【解析】三角形截取一个角后，得到的是四边形，根据内角和定理即可求解．解：因为四边形的内角和是360°，所以剩下部分的内角和是360度．点评：本题解题的关键是能理解一个三角形截取一个角后得到的图形的形状．29. 80°，75°，60°是一个三角形的三个内角．．【答案】×．【解析】把三角形的三个内角的度数加起来是否是180°，即可进行判断．解：80°+75°+60°=215°，点评：根据三角形的内角和等于180°进行解答即可．30.把等腰三角形对折后，每个三角形的内角和是90°．．【答案】×．【解析】把等腰三角形对折后，这个等腰三角形被平均分成了两个直角三角形，根据三角形内角和定理：三角形内角和是180°，所以被分的每个三角形的内角和仍是180°．解：把等腰三角形对折后，这个等腰三角形被平均分成了两个直角三角形，所以每个三角形的内角和是90°是错误的，应是180°．点评：此题考查了三角形的内角和定理：三角形内角和是180°．31.根据角的特点，右边是一个三角形；根据边的特点，它也是一个三角形．图中标出的三角形的高是厘米，与它对应的底是厘米．【答案】锐角，等腰，2.7，2．【解析】根据“三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边称为这个三角形的腰”，进行解答，然后经过测量可以测量出高和对应底的长度．解：根据角的特点，右边是一个锐角三角形根据边的特点，它也是一个等腰三角形．图中标出的三角形的高是 2.7厘米，与它对应的底 2是厘米．点评：解答此题根据锐角三角形和等腰三角形的性质进行解答．32.等腰三角形一定不能是直角三角形．．【答案】错误．【解析】根据等腰三角形的特征可知：等腰三角形两个底角相等；等腰三角形的顶角可以是钝角，也可以是直角，还可以是钝角，据此判断即可．解：等腰三角形的顶角可以是钝角，也可以是直角，还可以是钝角；所以等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是直角三角形，还可以是钝角三角形；点评：解答此题用到的知识点：（1）等腰三角形的特征；（2）三角形的分类．33.等边三角形又叫做三角形，每个内角都等于°．【答案】正，60．【解析】三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形又叫做正三角形，其三个内角都相等，根据三角形的内角和是180度，即可进行判断．解：等边三角形又叫做正三角形，因为等边三角形的三个内角都相等，所以每个内角的度数是：180°÷3=60°；点评：解答此题的主要依据是：等边三角形的三个内角都相等以及三角形的内角和定理．34.如果一个三角形的三个内角度数的比是2：3：4，那么最大的角比最小的角多度．【答案】40．【解析】因三角形的三个内角度数的比是2：3：4，最大角就是三角形内角和的，最小角就是三角形内角和的，根据乘法的意义可列式解答．解：180°×﹣180°×，=180°×，=80°﹣40°，=40°．点评：本题考查了学生对三角形内角和以及按比例分配解题的能力．35.一个三角形的两条边的长分别为6cm和5cm，第三边的长度一定小于11cm．．【答案】正确．【解析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．解：根据三角形的特性可得：6﹣5＜第三边＜6+5，所以：1＜第三边＜11，即第三边的长度在1厘米～11厘米之间（不包括1厘米和11厘米）；点评：解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．36.红领巾有一个角，两个角．【答案】钝、锐．【解析】依据钝角和锐角的意义，即大于90°而小于180°的角叫做钝角，小于90°的角叫做锐角，即可进行解答．解：一条红领巾有3个角，其中有一个钝角，有两个锐角，点评：解答此题的主要依据是：角的意义及分类，需要有一定的生活经验．37.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=130度，那么∠A=度．【答案】80．【解析】要求∠A是多少度，应明确三角形的内角和是180度；根据∠2+∠4+∠5=180°，可得出∠2+∠4=50°；然后根据在△ABC中，∠A=180°﹣50°×2，进行解答即可．解：由题意可得：∠2+∠4+∠5=180°，∠2+∠4=180°﹣130°=50°；在△ABC中，∠A=180°﹣50°×2=80°；答：∠A=80度；点评：解答此题应根据三角形的内角和是180度，进而根据题意，进行分析得出结论．38.小明用同样规格的铁丝做了下面5个框架，在此几个框架中，最不容易变形的是左数第个．【答案】三．【解析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性（易变性），进行解答即可．解：根据三角形的特性可知：小明用同样规格的铁丝做了下面5个框架，在此几个框架中，最不容易变形的是三角形，即是左数第三个；点评：此题考查了三角形的稳定性在实际生活中是应用．39.由于三角形具有，所以在生产生活中应用十分广泛．【答案】稳定性．【解析】在生产生活中三角形应用非常广泛，可以做成房梁，自行车架等等，主要是应用三角形的稳定性，由此填空即可．解：由于三角形具有稳定性，所以在生产生活中应用十分广泛．点评：此题考查了三角形的特性．40.任何三角形最多有一个内角是直角．．【答案】√．【解析】根据三角形内角和定理可知，一个三角形中直角的个数最多有1个．解：由三角形内角和是180度可知，一个三角形中直角的个数最多有1个．点评：主要考查了三角形的内角和定理，三角形的内角和是180度．41.无论什么三角形，其内角和都是度．【答案】180．【解析】根据三角和定理：三角形的内角和是180度，即可作出判断．解：由三角和定理可得：无论什么三角形，其内角和就是180度；点评：本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度．42.把一个等边三角形剪成三个相同的小三角形，其中一个小三角形的内角和是．【答案】180°．【解析】依据三角形的内角和是180度，即可进行解答．解：把一个等边三角形剪成三个相同的小三角形，其中一个小三角形的内角和是180°．点评：此题主要考查三角形的内角和定理．43.一个等腰三角形，它的顶角是一个底角的3倍，顶角是度．【答案】108．【解析】因为等腰三角形的两个底角的度数相等，设底角的度数为x，则顶角的度数为3x，再依据三角形的内角和是180°，即可求出顶角的度数．解：设底角的度数为x，则顶角的度数为3x，2x+3x=180°，5x=180°，x=36°；36°×3=108°；答：这个等腰三角形的顶角的度数是108°．点评：此题主要考查等腰三角形角的特点以及三角形的内角和定理．44.锐角三角形的内角和是180°．钝角三角形的内角和大于180°．．【答案】错误．【解析】根据三角形内角和定理：任何三角形内角和都是180°即可解决．解：因为任何三角形内角和都是180°，所以原题说法是错误的．点评：此题考查了三角形的内角和是180°．45.通过如图的操作过程，能得出什么结论？．【答案】三角形的内角和为180°．【解析】利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题．解：三角形的三个内角和等于180°．点评：此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．46.一个等腰直角三角形，按角分它是三角形，按边分是它是三角形．【答案】直角，等腰．【解析】依据三角形的内角和是180度以及等腰直角三角形的特点，即等腰直角三角形的两个底角相等，且两个底角的和为90度；根据等腰三角形的特征：等角对等边，得出该三角形是等腰三角形；从而问题得解．解：一个等腰直角三角形，按角分它是直角三角形，按边分是它是等腰三角形；点评：解答此题的主要依据是：三角形的内角和是180度以及等腰直角三角形的特点．47.甲、乙、丙、丁四个三角形都分别知道其中两个角的度数：甲：50°、80°乙：60°、60°丙：40°、20°丁：70°、20°根据上面的信息可以知道：是锐角三角形，是直角三角形，是钝角三角形；是等腰三角形，是等边三角形．【答案】甲、乙，丁，丙，甲，乙．【解析】三角形的两个内角的度数已知，依据三角形的内角和是180°，即可求出第三个内角的度数，从而可以判定这个三角形的类别．解：甲中第三个角：180﹣50﹣80=50°，甲是锐角三角形，也是等腰三角形；乙中第三个角：180﹣60﹣60=60°，乙是锐角三角形，也是等边三角形；丙中第三个角：180﹣40﹣20=120°，丙是钝角三角形；丁中第三个角：180﹣70﹣20=90°，丁是直角三角形；由此可知：甲、乙是锐角三角形，丁是直角三角形，丙是钝角三角形；甲是等腰三角形，乙是等边三角形；点评：解答此题的主要依据是：三角形的内角和定理以及三角形的分类方法．48.填一填．【答案】【解析】由图可知，既是直角三角形又是等腰三角形的三角形为等腰直角三角形．解：根据分析可知：既是直角三角形又是等腰三角形的三角形为等腰直角三角形．点评：此题考查了等腰直角三角形的特征．49.把“①等腰三角形、②等边三角形、③三角形”填入图中．（填序号）【答案】【解析】三角形按边分为：不等边三角形；等腰三角形（含等边三角形）；进而填入即可．点评：此题考查了三角形的分类．50.一个三角形，其中两个角分别是37度和66度，它的第三个角是，按角分是三角形．【答案】77度；锐角．【解析】先根据三角形内角和定理，求出第三个角的度数，再根据三角形按角分类的方法即可判断三角形的形状．解：第三个角的度数是：180﹣37﹣66=77（度），三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，答：它的第三个角是77度，按角分类是锐角三角形．点评：此题主要考查三角形的内角和定理和三角形按角分类的方法．51.钝角三角形中有个钝角，有个锐角．【答案】1，2．【解析】根据三角形的分类：有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形，由此进行求解．解：钝角三角形中有 1个钝角，由于三角形的内角和是180度，所以剩下的两个角必定是锐角，所以有 2个锐角．点评：解决本题根据钝角三角形的含义，以及三角形的内角和进行求解．52.很多物体都有三角形结构，这是因为三角形具有．【答案】稳定性．【解析】应用三角形的稳定性的特点即可进行解答．解：由分析可知：很多物体都有三角形结构，这是因为三角形具有稳定性；点评：此题考查了三角形的稳定性在生活中的应用．53.有一个三角形，它的三个内角度数的比是3：7：10，最大的内角是，这是一个三角形．【答案】90°、直角．【解析】三个内角度数的比已知，三角形的内角和是180度，利用按比例分配的方法，即可求出最大角的度数，进而即可判断出这个三角形类别．解：180°×=90°，又因90°的角是直角，所以这个三角形是直角三角形；点评：此题主要考查三角形的内角和定理以及三角形的分类方法．54.把一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是．【答案】180°．【解析】根据三角形的内角和等于180°即可求解．解：因为三角形的内角和等于180°，所以每个小三角形的内角和也是180°．点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°．55.一个三角形中，不可能有两个钝角．．【答案】正确．【解析】根据三角形的内角为180度和钝角的特点进行判断即可．解：三角形的内角和为180度，而钝角的度数大于90度，如果一个三角形内有两个钝角，则三角形的内角和就大于180度，所以一个三角形中，不可能有两个钝角．点评：此题考查三角形的内角和，根据三角形的内角和钝角特点进行判断．56.在括号内填出合适的角的度数以及理由．一个直角三角形中，两锐角的度数可能是和．你这样填的理由是．【答案】50°、40°、直角三角形两锐角的和是90°．【解析】由三角形的内角和是180度，以及直角三角形的性质，即可解答．解：因为直角三角形两锐角的和是90°，所以一个直角三角形中，两锐角的度数可能是50°和 40°．点评：本题考查了三角形的内角和定理和直角三角形的性质，是基础题．57.一个三角形的三条边的长度分别是3厘米、3厘米、4厘米，按照边来分，这是一个三角形．【答案】等腰．【解析】一个三角形的三条边的长度分别是3厘米、3厘米、4厘米，其中3厘米=3厘米，有两。

解三角形问题中的“多解取舍”探讨

．
分析：Ａ的取值范围是解本题的关键．设角题
中含两条：）（号，则单圆到解决．隐了个件（Ａｏ】由位１，否
的三角函数线得ｓＡ＋ｃｓｉｎｏＡ＞１这与条件ｓＡ＋，ｉｎ
ｃ。＝
正：Ａ， ÷ 解ａ＝ｔ＝，ｔａｎｎ
分：Ａｔ：，Ａ詈０Ｂ析ｔ＝ａ ÷ｏ＜，＜ａ，＜ｎｎ＜
号虽写是确，产了解我可继，然法正的但生增，们以
续缩小角的范围，０＜，Ｂ＜ｑ，问题得即Ａ＜＇０＜Ｔ使ｉＴ
从而ｃｓＡ：± １。２
《学之友》数
２００８年第２１期
解三角形问题中的“ 多解取舍” 探讨
马一新
（江苏省东海高级中学，１３０２２０）
解三角形问题常会出现多解现象，由于内容独特，件隐蔽，于多解如何取舍，哪里 “ ” 学条对从舍，生往往感到无所适从，面就此问题作些探讨．下
得 ÷ ３厨：
解得ｈ＝ ± ５
．厩
，
５利用 “ＡＡＣ中，ｉＡ＞ｓＢ＝ＢｓｎｉｃＡ＞Ｂｎｖ ”
例５
ＣＳＯＣ．
在ＡＡＣ中，ｉ＝，。Ｂ＝，Ｂｓｃｓ求
分析： ± ＞故难舍一解．把ｈ＝一０，须
２利用已知条件缩小变量的范围
有时候，由已知条件可以缩小变量的范围，使问
・
可得ＡＤ＝１Ｂ，Ｄ＝２，

七年级上册+专题练习+数学角度问题(基础难度)

七年级上册数学角度问题（基础难度）一．选择题（共18小题）1．如图，点A在点O的北偏东60°的方向上，点B在点O的南偏东40°的方向上，则∠AOB度数为（）A．70°B．80°C．100°D．110°2．如图，下列说法中错误的是（）A．OA方向是北偏东20°B．OB方向是北偏西15°C．OC方向是南偏西30°D．OD方向是东南方向3．如图所示四个图形中，能用∠α、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）A．B．C．D．4．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB＝（）A．90°B．120°C．160°D．180°5．如图，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝15°，∠2＝105°，则∠AOC的度数是（）6．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝150°，则∠BOC等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°7．如图，∠AOC和∠DOB都是直角，如果∠AOB＝150°，那么∠DOC＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．如图，已知∠AOB是直角，∠AOC是锐角，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，则∠MON是（）A．45°B．45°+∠AOC C．60°﹣∠AOC D．不能计算9．如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝70°，∠BOC＝30°，则∠AOD的度数为（）A．100°B．110°C．130°D．140°10．如图，∠AOB是一直角，∠AOC＝40°，OD平分∠BOC，则∠AOD等于（）A．65°B．50°C．40°D．25°11．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝150°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°12．下列图形中表示北偏东60°的射线是（）A．B．C．D．13．如图，下列说法正确的是（）A．∠1与∠BOC表示同一个角B．∠β表示的是∠AOCC．∠1+∠β＝∠AOC D．∠β＞∠114．如图，已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部且∠COD＝60°，则∠AOD与∠COB一定满足的关系为（）A．∠AOD＝∠COB B．∠AOD+∠COB＝180°C．∠AOD＝∠COB D．∠AOD+∠COB＝120°15．如图，点O在直线AB上，若∠AOD＝159.5°，∠BOC＝51°30′，则∠COD的度数为（）A．30°B．31°C．30°30′D．31°30′16．如图，∠AOC＝∠BOD＝80°，如果∠AOD＝140°，那么∠BOC等于（）A．20°B．30°C．50°D．40°17．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝80°，∠BOC＝25°，则∠AOD的度数为（）A．150°B．145°C．140°D．135°18．有下列说法：①射线是直线的一半；②线段AB是点A与点B的距离；③角的大小与这个角的两边所画的长短有关；④两个锐角的和一定是钝角．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题（共5小题）19．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOE，OF平分∠AOD，若∠BOE＝28°，则∠EOF的度数为．20．如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC＝度．21．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD＝110°，则∠COB＝度．22．如图，点A、O、B在一条直线上，且∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，则∠BOD＝度．23．如图，A，O，B是同一直线上的三点，OC，OD，OE是从O点引出的三条射线，且∠1：∠2：∠3：∠4＝1：2：3：4，则∠5＝度．三．解答题（共17小题）24．如图，点O在直线AC上，OD平分∠AOB，∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝70°，求∠EOC．25．如图，已知∠AOB＝120°，OE平分∠AOB，射线OC在∠AOE内部，∠BOC＝90°，（1）求∠EOC的度数．（2）作射线OF，使射线OC是∠EOF三等分线，则∠AOF的度数为．26．（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有个不同的角；（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有个不同的角；（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有个不同的角；（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有个不同的角．27．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．28．如图所示，直线AB、CD、EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，求∠DOG的度数．29．如图，已知∠AOC＝60°，∠BOD＝90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．30．如图，两直线AB，CD相交于点O，已知OE平分∠BOD，且∠AOC：∠AOD＝3：7，（1）求∠DOE的度数；（2）若OF⊥OE，求∠COF的度数．31．已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1．若∠AOC＝30°．求∠DOE的度数；（2）在图1中，若∠AOC＝a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．32．如图，已知∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，求∠1+∠2和∠3．33．已知：∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．（1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；（2）如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC＝α时，求∠DOE的度数；（3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，直接写出∠DOE的度数．34．（1）平面内将一副三角板按如图1所示摆放，∠EBC＝°；（2）平面内将一副三角板按如图2所示摆放，若∠EBC＝165°，那么∠α＝°；（3）平面内将一副三角板按如图3所示摆放，∠EBC＝115°，求∠α的度数．35．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD．36．已知∠AOB是一个定角，记为α，在∠AOB的内部作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE．（1）如图①，当α＝120°，∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；（2）如图①，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转时，∠DOE的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，猜想∠DOE与α的关系，并证明；（3）当射线OC在∠AOB外绕点O旋转到图②位置时，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）．37．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，（1）若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数；（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．38．（1）如图所示，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．（2）如果（1）中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．（3）如果（1）中∠BOC＝β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数．（4）从（1）（2）（3）的结果你能看出什么规律？（5）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿（1）～（4），设计一道以线段为背景的计算题，并写出其中的规律来？39．如图，已知OA⊥OD，∠FOD＝2∠COD，OB平分∠AOC，OE平分∠COF．（1）若∠COD＝30°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOE＝85°，求∠COD的度数．（提示：设∠COD＝x°）40．如图，已知∠AOB是直角，∠BOC＝60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）求∠EOF的度数；（2）若将条件“∠AOB是直角，∠BOC＝60°”改为：∠AOB＝x°，∠EOF＝y°，其它条件不变．①则请用x的代数式来表示y；②如果∠AOB+∠EOF＝156°．则∠EOF是多少度？七年级上册数学角度问题（基础难度）参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．如图，点A在点O的北偏东60°的方向上，点B在点O的南偏东40°的方向上，则∠AOB度数为（）A．70°B．80°C．100°D．110°【分析】根据方向角的定义以及角的和差，可得∠AOB的度数．【解答】解：∵点A在点O的北偏东60°的方向上，点B在点O的南偏东40°的方向上，∴∠AOB＝180°﹣60°﹣40°＝80°，故选：B．【点评】本题考查了方向角的定义，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边．2．如图，下列说法中错误的是（）A．OA方向是北偏东20°B．OB方向是北偏西15°C．OC方向是南偏西30°D．OD方向是东南方向【分析】直接利用方向角的确定方法分别分析得出答案．【解答】解：A、OA方向是北偏东70°，符合题意；B、OB方向是北偏西15°，不符合题意；C、OC方向是南偏西30°，不符合题意；D、OD方向是东南方向，不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了方向角，正确把握方向角的概念是解题关键．3．如图所示四个图形中，能用∠α、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）A．B．C．D．【分析】根据角的表示方法进行逐一分析，即角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．【解答】解：A、因为顶点O处有四个角，所以这四个角均不能用∠O表示，故本选项错误；B、因为顶点O处只有一个角，所以这个角能用∠O、∠α及∠AOB表示，故本选项正确；C、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用∠O表示，故本选项错误；D、因为∠O与∠α表示的不是同一个角，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是角的表示方法，熟知角的三种表示方法是解答此题的关键．4．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB＝（）A．90°B．120°C．160°D．180°【分析】因为本题中∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．【解答】解：设∠AOD＝a，∠AOC＝90°+a，∠BOD＝90°﹣a，所以∠AOC+∠BOD＝90°+a+90°﹣a＝180°．故选：D．【点评】本题考查了角度的计算问题，在本题中要注意∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．5．如图，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝15°，∠2＝105°，则∠AOC的度数是（）A．75°B．90°C．105°D．125°【分析】由图示可得，∠2与∠BOC互补，结合已知可求∠BOC，又因为∠AOC＝∠COB+∠1，即可解答．【解答】解：∵∠2＝105°，∴∠BOC＝180°﹣∠2＝75°，∴∠AOC＝∠1+∠BOC＝15°+75°＝90°．故选：B．【点评】本题考查了角的计算，解决本题的关键是利用补角求出∠BOC．6．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝150°，则∠BOC等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°【分析】从如图可以看出，∠BOC的度数正好是两直角相加减去∠AOD的度数，从而问题可解．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝150°∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝90°+90°﹣150°＝30°．故选：A．【点评】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．7．如图，∠AOC和∠DOB都是直角，如果∠AOB＝150°，那么∠DOC＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据图象∠AOB等于两个直角的和减去∠COD计算．【解答】解：∠DOC＝90°+90°﹣∠AOB＝180°﹣150°＝30°．故选A．【点评】本题注意，∠COD是两个直角重叠的部分．8．如图，已知∠AOB是直角，∠AOC是锐角，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，则∠MON是（）A．45°B．45°+∠AOC C．60°﹣∠AOC D．不能计算【分析】结合图形，根据角的和差，以及角平分线的定义，找到∠MON与∠AOB的关系，即可求出∠MON的度数．【解答】解：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，∴∠MOC＝∠BOC，∠NOC＝∠AOC，∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝（∠BOC﹣∠AOC），＝（∠BOA+∠AOC﹣∠AOC），＝∠BOA，＝45°．故选：A．【点评】本题考查了角的计算，属于基础题，此类问题，注意结合图形，运用角的和差和角平分线的定义求解．9．如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝70°，∠BOC＝30°，则∠AOD的度数为（）A．100°B．110°C．130°D．140°【分析】根据图形和题目中的条件，可以求得∠AOB的度数和∠COD的度数，从而可以求得∠AOD的度数．【解答】解：∵∠AOC＝70°，∠BOC＝30°，∴∠AOB＝40°；同理可得，∠COD＝40°．∴∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝40°+30°+40°＝110°，故选：B．【点评】本题考查角的计算，解答本题的关键是明确角之间的关系，利用数形结合的思想解答．10．如图，∠AOB是一直角，∠AOC＝40°，OD平分∠BOC，则∠AOD等于（）A．65°B．50°C．40°D．25°【分析】由∠AOB是一直角，∠AOC＝40°，可知∠COB＝50°，又知OD平分∠BOC，故可知∠AOD的度数．【解答】解：∵∠AOB是一直角，∠AOC＝40°，∴∠COB＝50°，∵OD平分∠BOC，∴∠COD＝25°，∵∠AOD＝∠AOC+∠COD，∴∠AOD＝65°．故选：A．【点评】本题考查角与角之间的运算，注意结合图形，发现角与角之间的关系，进而求解．11．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝150°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°【分析】由∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝150°，可求出∠BOC的度数，再根据角与角之间的关系求解．【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝150°，∴∠BOC＝∠AOC+∠BOD﹣∠AOD＝180°﹣150°＝30°，故选：A．【点评】此题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和∠BOC相比，多加了∠BOC一次．12．下列图形中表示北偏东60°的射线是（）A．B．C．D．【分析】根据方向角的定义解答即可．【解答】解：北偏东60°就是从北向东偏60°，即从上往右偏60°，故选：A．【点评】本题考查了方向角的定义，解答时注意方向和角度．13．如图，下列说法正确的是（）A．∠1与∠BOC表示同一个角B．∠β表示的是∠AOCC．∠1+∠β＝∠AOC D．∠β＞∠1【分析】根据角的概念和表示方法可知，当角的顶点处只有一个角时这个角可以用顶点来表示，由此可得结论．【解答】解：A、∠1与∠AOB表示的是同一个角，故A说法错误；B、∠β表示的是∠BOC，故B说法错误；C、∠1+∠β＝∠AOC，故C说法正确；D、∠AOC＞∠1，故D说法错误．故选：C．【点评】此题考查了角的表示方法，根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来是解题的关键．14．如图，已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部且∠COD＝60°，则∠AOD与∠COB一定满足的关系为（）A．∠AOD＝∠COB B．∠AOD+∠COB＝180°C．∠AOD＝∠COB D．∠AOD+∠COB＝120°【分析】根据角的和差，可得∠AOD+∠COB＝∠AOC+∠COD+∠COD+∠DOB＝∠AOB+∠COD，再代入计算即可求解．【解答】解：∵∠AOD＝∠AOC+∠COD，∠COB＝∠COD+∠DOB，∴∠AOD+∠COB＝∠AOC+∠COD+∠COD+∠DOB，＝∠AOC+∠COD+∠DOB+∠COD＝∠AOB+∠COD∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，∴∠AOD+∠COB＝120°+60°＝180°．故选：B．【点评】本题考查了角的计算．解题的关键是利用了角的和差关系求解．15．如图，点O在直线AB上，若∠AOD＝159.5°，∠BOC＝51°30′，则∠COD的度数为（）A．30°B．31°C．30°30′D．31°30′【分析】将∠AOD转化成159°30′，将其代入∠COD＝∠AOD+∠BOC﹣∠AOB中，即可求出结论．【解答】解：∵∠AOD＝159.5°＝159°30′，∴∠COD＝∠AOD+∠BOC﹣∠AOB＝159°30′+51°30′﹣180°＝31°．故选：B．【点评】本题考查了角的计算以及度分秒的换算，牢记“将高级单位化为低级单位时乘以60，将低级单位转化为高级单位时除以60”是解题的关键．16．如图，∠AOC＝∠BOD＝80°，如果∠AOD＝140°，那么∠BOC等于（）A．20°B．30°C．50°D．40°【分析】先求出∠COD的度数，然后根据∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，即可得出答案．【解答】解：∵∠AOC＝80°，∠AOD＝140°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝60°，∵∠BOD＝80°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝80°﹣60°＝20°．故选：A．【点评】本题主要考查了角的计算能力，熟练掌握角相互间的和差关系是基础．17．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝80°，∠BOC＝25°，则∠AOD的度数为（）A．150°B．145°C．140°D．135°【分析】先求∠AOC与∠BOC的度数差即可得出∠AOB的度数，再求∠AOB与∠DOB的和即可．【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝80°，∠BOC＝25°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝80°﹣25°＝55°，∴∠AOD＝∠BOD+∠AOB＝80°+55°＝135°，故选：D．【点评】本题考查了角的运算，较为简单，解题关键是不要忘了减去两个角的重合部分．18．有下列说法：①射线是直线的一半；②线段AB是点A与点B的距离；③角的大小与这个角的两边所画的长短有关；④两个锐角的和一定是钝角．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据射线的定义和射线、直线没有长度极快判断①；根据两点间的距离的定义即可判断②，根据角的特点即可判断③，举出反例即可判断④．【解答】解：∵射线是指直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形，没有长度，直线也没有长度，∴①的说法错误；∵点A与点B的距离是指线段AB的长度，是一个数，而线段是一个图形，∴②错误；∵角的大小与这个角的两边的长短无关，∴③错误；∵当这两个锐角的度数是10°和20°时，10°+20°＝30°，30°的角是锐角，不是钝角，∴④错误；∴正确的个数是0个，故选：A．【点评】本题考查了学生对角的定义，直线、射线的定义，两点间的距离的定义的理解和运用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．二．填空题（共5小题）19．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOE，OF平分∠AOD，若∠BOE＝28°，则∠EOF的度数为90°．【分析】根据已知条件“∠DOE＝∠BOE，OF平分∠AOD，若∠BOE＝28°”和平角的定义可以求得∠AOF＝∠DOF ＝∠AOD＝62°，∠DOE＝∠BOE＝28°；然后根据图形求得∠EOF＝∠DOF+∠DOE＝62°+28°＝90°．【解答】解：∵∠DOE＝∠BOE，∠BOE＝28°，∴∠DOB＝2∠BOE＝56°；又∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠AOD＝124°；∵OF平分∠AOD，∴∠AOF＝∠DOF＝∠AOD＝62°，∴∠EOF＝∠DOF+∠DOE＝62°+28°＝90°．故答案是：90°．【点评】本题考查了角的计算．解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件“∠AOB＝180°”．20．如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC＝180 度．【分析】先利用∠AOD+∠COD＝90°，∠COD+∠BOC＝90°，可得∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC＝180°，而∠BOD＝∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD＝∠AOB，于是有∠AOB+∠COD＝180°．【解答】解：如右图所示，∵∠AOD+∠COD＝90°，∠COD+∠BOC＝90°，∠BOD＝∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD＝∠AOB，∴∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC＝180°，∴∠AOD+2∠COD+∠BOC＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°．故答案是180．【点评】本题考查了角的计算、三角板的度数，注意分清角之间的关系．21．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD＝110°，则∠COB＝70 度．【分析】∠COB是两个直角的公共部分，同时两个直角的和是180°，所以∠AOB+∠COD＝∠AOD+∠COB．【解答】解：由题意可得∠AOB+∠COD＝180°，又∠AOB+∠COD＝∠AOC+2∠COB+∠BOD＝∠AOD+∠COB，∵∠AOD＝110°，∴∠COB＝70°．故答案为：70．【点评】求解时正确地识图是求解的关键．22．如图，点A、O、B在一条直线上，且∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，则∠BOD＝155 度．【分析】根据点A、O、B在一条直线上，∠AOB为平角，求出∠COB，再利用OD平分∠AOC，求出∠COD，然后用∠COB+∠COD即可求解．【解答】解：∵点A、O、B在一条直线上，∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，∵OD平分∠AOC，∴∠COD＝×50°＝25°，∴∠BOD＝∠COB+∠COD＝130°+25°＝155°．故答案为：155．【点评】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，此题的关键是点A、O、B在一条直线上，∠AOB为平角，此题难度不大，属于基础题．23．如图，A，O，B是同一直线上的三点，OC，OD，OE是从O点引出的三条射线，且∠1：∠2：∠3：∠4＝1：2：3：4，则∠5＝60 度．【分析】利用平角和角的比例关系即可求出．【解答】解：A，O，B是同一直线上的三点，即∠AOB＝180°∠1：∠2：∠3＝1：2：3，可知∠1＝30°∠2＝60°∠3＝90°；∠1：∠2：∠3：∠4＝1：2：3：4，∠4＝120°，∠5＝180°﹣120°＝60°．故填60．【点评】此题是对角进行度的比例计算，相对比较简单，但要准确求出各角大小是本题的难点．另外此题答案不能带单位．三．解答题（共17小题）24．如图，点O在直线AC上，OD平分∠AOB，∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝70°，求∠EOC．【分析】设∠AOB＝x，根据角平分线的定义、补角的概念，结合题意列出方程，解方程即可．【解答】解：设∠AOB＝x，则∠BOC＝180°﹣x，∵OD平分∠AOB，∴∠BOD＝∠AOB＝x，∵∠BOE＝∠EOC，∴∠BOE＝∠BOC＝60°﹣x，由题意得，x+60°﹣x＝70°，解得，x＝60°，∠EOC＝（180°﹣x）＝80°．【点评】本题考查的是角的计算、角平分线的定义，正确进行角的计算、掌握角平分线的定义是解题的关键．25．如图，已知∠AOB＝120°，OE平分∠AOB，射线OC在∠AOE内部，∠BOC＝90°，（1）求∠EOC的度数．（2）作射线OF，使射线OC是∠EOF三等分线，则∠AOF的度数为30°或15°．【分析】（1）由角平分线知，结合∠BOC＝90°可得答案；（2）由射线OC是∠EOF三等分线可分∠EOC＝∠EOF和∠EOC＝∠EOF两种情况求解可得．【解答】解：（1）∵OE平分∠AOB，∠AOB＝120°，∴，∵∠BOC＝90°，∴∠EOC＝∠BOC﹣∠EOB＝30°；（2）若∠EOC＝∠EOF，则∠EOF＝3∠EOC＝90°，∵∠AOE＝∠AOB＝60°，∴∠AOF＝∠EOF﹣∠EOA＝30°；若∠EOC＝∠EOF，则∠EOF＝∠EOC＝45°，∴∠AOF＝∠AOE﹣∠EOF＝15°；综上，∠AOF的度数为30°或15°，故答案为：30°或15°．【点评】本题主要考查角的计算，学会计算角的和、差、倍、分．也考查了角平分线的定义．26．（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有 3 个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有 6 个不同的角；（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有10 个不同的角；（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有66 个不同的角；（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有个不同的角．【分析】（1）根据图形数出即可；（2）根据图形数出即可；（3）根据图形数出即可；（4）有1+2+3+…+9+10+11＝66个角；（5）求出1+2+3+…+n+（n+1）的值即可．【解答】解：（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角，故答案为：3．（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，故答案为：6．（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有10个不同的角，故答案为：10．（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+10+11＝66个不同的角，故答案为：66．（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+n+（n+1）＝个不同的角．故答案为：．【点评】本题考查了角的有关概念的应用，关键是能根据题意得出规律．27．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．【分析】（1）根据角平分线定义得到∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，然后根据对顶角相等得到∠BOD＝∠AOC ＝35°；（2）先设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据平角的定义得2x+3x＝180°，解得x＝36°，则∠EOC＝2x＝72°，然后与（1）的计算方法一样．【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，∴∠BOD＝∠AOC＝35°；（2）设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，∴∠EOC＝2x＝72°，∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°，∴∠BOD＝∠AOC＝36°．【点评】考查了角的计算：1直角＝90°；1平角＝180°．也考查了角平分线的定义和对顶角的性质．28．如图所示，直线AB、CD、EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，求∠DOG的度数．【分析】求出∠BOF，根据角平分线求出∠GOF，求出∠EOD，代入∠DOG＝180°﹣∠GOF﹣∠EOD求出即可．【解答】解：∵∠AOE＝70°，∴∠BOF＝∠AOE＝70°，又∵OG平分∠BOF，∴∠GOF＝∠BOF＝35°，又∵CD⊥EF，∴∠EOD＝90°，∴∠DOG＝180°﹣∠GOF﹣∠EOD＝180°﹣35°﹣90°＝55°．【点评】本题考查了角平分线定义，垂直，邻补角的应用，主要考查学生的计算能力．29．如图，已知∠AOC＝60°，∠BOD＝90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．【分析】设∠COD＝x，则∠AOD可表示为60°﹣x，于是∠AOB＝90°+60°﹣x＝150°﹣x，再根据∠AOB是∠DOC 的3倍得到150°﹣x＝3x，解得x＝37.5°，然后计算3x即可．【解答】解：设∠COD＝x，∵∠AOC＝60°，∠BOD＝90°，∴∠AOD＝60°﹣x，∴∠AOB＝90°+60°﹣x＝150°﹣x，∵∠AOB是∠DOC的3倍，∴150°﹣x＝3x，解得x＝37.5°，∴∠AOB＝3×37.5°＝112.5°．【点评】本题考查了角的计算：会利用角的倍、分、差进行角度计算．30．如图，两直线AB，CD相交于点O，已知OE平分∠BOD，且∠AOC：∠AOD＝3：7，（1）求∠DOE的度数；（2）若OF⊥OE，求∠COF的度数．【分析】（1）根据∠AOC：∠AOD＝3：7，可求出∠AOC的度数，再根据对顶角的性质可求出∠DOB的度数，根据角平分线的性质即可解答．（2）根据垂直的定义可求出∠DOF的度数，再根据平角的定义解答即可．【解答】解：（1）∵两直线AB，CD相交于点O，∠AOC：∠AOD＝3：7，∴∠AOC＝180°×＝54°，∴∠BOD＝54°，又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝54°÷2＝27°．（2）∵OF⊥OE，∠DOE＝27°，∴∠DOF＝63°，∠COF＝180°﹣63°＝117°．【点评】本题主要考查了角的计算，熟练掌握对顶角的性质，余角补角的定义，角平分线的性质并进行计算是解答本题的关键．31．已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1．若∠AOC＝30°．求∠DOE的度数；（2）在图1中，若∠AOC＝a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．【分析】（1）求出∠BOD，求出∠BOC，根据角平分线求出∠BOE，代入∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD求出即可．（2）求出∠BOD，求出∠BOC，根据角平分线求出∠BOE，代入∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD求出即可．（3）把∠AOC当作已知数求出∠BOC，求出∠BOD，根据角平分线求出∠BOE，代入∠DOE＝∠BO+∠BOD求出即可．【解答】解：（1）∵∠COD是直角，∠AOC＝30°，∴∠BOD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠COB＝90°+60°＝150°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝75°，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝75°﹣60°＝15°．（2）∵∠COD是直角，∠AOC＝α，∴∠BOD＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，∴∠COB＝90°+90°﹣α＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝90°﹣α，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣α﹣（90°﹣α）＝α．（3）∠AOC＝2∠DOE，理由是：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝90°﹣∠AOC，∵∠COD＝90°，∴∠BOD＝90°﹣∠BOC＝90°﹣（180°﹣∠AOC）＝∠AOC﹣90°，∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝（∠AOC﹣90°）+（90°﹣∠AOC）＝∠AOC，即∠AOC＝2∠DOE．【点评】本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，主要考查学生的计算能力，求解过程类似．32．附加题：如图，已知∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，求∠1+∠2和∠3．【分析】根据∠+∠2+∠3＝180°求解．【解答】解：∵∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，∴∠1+∠2＝65°15′+78°30′＝143°45′．∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣143°45′＝36°15′．故答案为143°45′、36°15′．【点评】本题主要考查角的比较与运算，利用了平角的概念求解．33．已知：∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．（1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；（2）如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC＝α时，求∠DOE的度数；（3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，直接写出∠DOE的度数．【分析】（1）由∠BOC的度数求出∠AOC的度数，利用角平分线定义求出∠COD与∠COE的度数，相加即可求出∠DOE的度数；（2）∠DOE度数不变，理由为：利用角平分线定义得到∠COD为∠AOC的一半，∠COE为∠COB的一半，而∠DOE ＝∠COD+∠COE，即可求出∠DOE度数为45度；（3）分两种情况考虑，同理如图3，则∠DOE为45°；如图4，则∠DOE为135°．【解答】解：（1）如图①中，∠AOC＝90°﹣∠BOC＝20°，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD＝∠AOC＝10°，∠COE＝∠BOC＝35°，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝45°；（2）如图②中，∠DOE的大小不变，理由是：∠DOE＝∠COD+∠COE＝∠AOC+∠COB＝（∠AOC+∠COB）＝∠AOB＝45°；（3）∠DOE的大小发生变化情况为，如图3，则∠DOE为45°；如图4，则∠DOE为135°，分两种情况：如图3所示，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝（∠AOC﹣∠BOC）＝45°；如图4所示，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝×270°＝135°．【点评】此题考查了角的计算，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．容易出错的地方是解（3）小题漏掉其中的一种情况．34．（1）平面内将一副三角板按如图1所示摆放，∠EBC＝150 °；（2）平面内将一副三角板按如图2所示摆放，若∠EBC＝165°，那么∠α＝15 °；（3）平面内将一副三角板按如图3所示摆放，∠EBC＝115°，求∠α的度数．【分析】（1）（2）根据角的和差关系可直接算出答案；（3）首先计算出∠DBC的度数，再用∠ABC的度数减去∠DBC的度数即可．【解答】解：（1）∠EBC＝90°+60°＝150°；（2）∠α＝∠EBC﹣∠DBE﹣∠ABC＝165°﹣90°﹣60°＝15°；（3）因为∠EBC＝115°，∠EBD＝90°，所以∠DBC＝∠EBC﹣∠EBD＝25°．因为∠ABC＝60°，所以∠α＝∠ABC﹣∠DBC＝35°．【点评】此题主要考查了角的计算以及一副三角板各角之间的关系，根据图象得出是解题关键．35．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD．【分析】根据∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，利用角的和差关系先求出∠AOB的度数，再求∠AOD．【解答】解：∵∠AOC＝75°，∠BOC＝30°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝75°﹣30°＝45°，又∵∠BOD＝75°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝45°+75°＝120°．故答案为120°．【点评】此题主要考查了角相互间的和差关系，比较简单．36．已知∠AOB是一个定角，记为α，在∠AOB的内部作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE．（1）如图①，当α＝120°，∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；（2）如图①，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转时，∠DOE的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，猜想∠DOE与α的关系，并证明；（3）当射线OC在∠AOB外绕点O旋转到图②位置时，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）．【分析】（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE＝∠COE+∠COD；（2）结合角的特点∠DOE＝∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算；（3）根据周角的定义，结合角的特点∠DOE＝∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算．【解答】解：（1）∵α＝120°，∠AOC＝40°，∴∠BOC＝80°，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE＝∠BOC＝40°，∠COD＝∠AOC＝20°，∴∠DOE＝60°；（2）∵∠BOC＝α﹣∠AOC，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE＝∠BOC＝α﹣∠AOC，∠COD＝∠AOC，∴∠DOE＝∠COE+∠COD＝α；（3）∠DOE＝（360°﹣α）＝180°﹣α．【点评】考查了角的计算，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．37．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，（1）若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数；（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．【分析】本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出∠ACB，∠DCE 的度数；根据前两个小问题的结论猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明．【解答】解：（1）∵∠ECB＝90°，∠DCE＝35°∴∠DCB＝90°﹣35°＝55°∵∠ACD＝90°∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝145°．（2）∵∠ACB＝140°，∠ACD＝90°∴∠DCB＝140°﹣90°＝50°∵∠ECB＝90°∴∠DCE＝90°﹣50°＝40°．（3）猜想得∠ACB+∠DCE＝180°（或∠ACB与∠DCE互补）理由：∵∠ECB＝90°，∠ACD＝90°∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB∴∠ACB+∠DCE＝180°．【点评】记忆三角板各角的度数，把所求的角转化为已知角的和与差．38．（1）如图所示，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．（2）如果（1）中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．（3）如果（1）中∠BOC＝β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数．（4）从（1）（2）（3）的结果你能看出什么规律？（5）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿（1）～（4），设计一道以线段为背景的计算题，并写出其中的规律来？【分析】（1）首先根据题中已知的两个角度数，求出角AOC的度数，然后根据角平分线的定义可知角平分线分成的两个角都等于其大角的一半，分别求出角MOC和角NOC，两者之差即为角MON的度数；（2）（3）的计算方法与（1）一样．（4）通过前三问求出的角MON的度数可发现其都等于角AOB度数的一半．（5）模仿线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，也在已知条件中设计两条线段的长，设计两个中点，求中点间的线段长．【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝90°+30°＝120°，又OM平分∠AOC，∴∠MOC＝∠AOC＝60°，又∵ON平分∠BOC，∴∠NOC＝∠BOC＝15°∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝45°；（2）∵∠AOB＝α，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝α+30°，又OM平分∠AOC，∴∠MOC＝∠AOC＝+15°，又∵ON平分∠BOC，∴∠NOC＝∠BOC＝15°∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝；（3）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝β，∴∠AOC＝90°+β，又OM平分∠AOC，∴∠MOC＝∠AOC＝+45°，又∵ON平分∠BOC，∴∠NOC＝∠BOC＝∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝45°；（4）从（1）（2）（3）的结果可知∠MON＝∠AOB；（5）①已知线段AB的长为20，线段BC的长为10，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，求线段MN的长；②若把线段AB的长改为a，其余条件不变，求线段MN的长；③若把线段BC的长改为b，其余条件不变，求线段MN的长；④从①②③你能发现什么规律．规律为：MN＝AB．【点评】本题考查了学会对角平分线概念的理解，会求角的度数，同时考查了学会归纳总结规律的能力，以及会根据角和线段的紧密联系设计实验的能力．39．如图，已知OA⊥OD，∠FOD＝2∠COD，OB平分∠AOC，OE平分∠COF．（1）若∠COD＝30°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOE＝85°，求∠COD的度数．（提示：设∠COD＝x°）【分析】（1）根据∠COD＝30°，OA⊥OD，可求出∠AOC，根据OB平分∠AOC和∠FOD＝2∠COD，可求出∠FOD，再根据OE平分∠COF，求出∠COE，即可求出∠BOE；（2）设∠COD＝x°，根据已知条件可得∠BOC＝，∠COE＝，然后列方程，解方程即可求出答案．【解答】解：（1）∵∠COD＝30°，OA⊥OD，∴∠AOC＝60°，∵OB平分∠AOC，∴∠BOC＝30°，∵∠FOD＝2∠COD，∴∠FOD＝60°，∵OE平分∠COF，∴∠COE＝45°，∴∠BOE＝30+45＝75°；（2）设∠COD＝x°，由已知可得：∠BOC＝，∠COE＝，∴+＝85，解之x＝40答：∠COD＝40°．【点评】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，此题涉及到方程思想，有一定拔高难度，属于中档题．40．如图，已知∠AOB是直角，∠BOC＝60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）求∠EOF的度数；（2）若将条件“∠AOB是直角，∠BOC＝60°”改为：∠AOB＝x°，∠EOF＝y°，其它条件不变．①则请用x的代数式来表示y；②如果∠AOB+∠EOF＝156°．则∠EOF是多少度？【分析】（1）根据角平分线的性质和角的和差倍分关系求∠EOF的度数；（2）①用字母代替数字理由同（1）；。

2024年高考数学几何历年真题错误常见类型分析

2024年高考数学几何历年真题错误常见类型分析高考数学几何部分一直是考生们最为重视的内容之一，也是很多考生容易出错的地方。

本文将对2024年高考数学几何部分历年真题中常见的错误类型进行分析，帮助考生们更好地理解和掌握这些知识点，提高应对数学几何题的能力。

一、平面几何题型的错误类型分析1. 图形判断错误：这种类型的错误主要表现为对图形的判断出现错误，例如判定两条直线平行或垂直时弄混方向，或者判断角平分线时出现错误。

这类错误的原因主要是考生对图形的性质理解不够深入或者观察不细致。

解决方法：要对每个图形的性质进行深入理解，多做题、多画图，注重观察，不要随意下结论。

2. 同一图形的不同表达错误：同一个几何图形可以有不同表达方式，当考生没有注意到这些不同表达方式时，容易在计算过程中出现错误。

解决方法：在解答题目时，多角度地观察题目中给出的几何图形，并且学会转化不同的图形表达方式。

3. 判定条件不满足错误：在判断两条线段相等或两个三角形全等的时候，考生需要注意每个条件的具体含义。

有时候考生可能会忽略某个判定条件，导致判断结果出错。

解决方法：仔细审题，理解和注意题目中给出的判定条件的含义，并逐个进行检查。

二、立体几何题型的错误类型分析1. 空间图形理解错误：立体几何是在空间中进行，需要考生具备一定的空间想象力。

有些考生在解答空间立体图形题目时，容易将二维图形的思维方式带入，导致错误。

解决方法：多做立体几何的题目，培养空间想象力；可以在纸上画出空间图形，有助于更好地理解和解答题目。

2. 体积、表面积计算错误：计算体积和表面积是立体几何的重要内容，但是有些考生在计算过程中容易出错，如计算公式的使用错误、边长或高度的计算不准确等。

解决方法：熟练掌握体积和表面积的计算公式，并在计算过程中注意细节，准确计算。

3. 空间角度判断错误：在解决立体几何题时，对于空间角度的判断是重要的，但有些考生可能在角度比较和转化的过程中出现错误。

第11讲转角问题(教师版)

第11讲转角问题经典例题答案解析标注【题型】几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：角的和差的计算与证明-有图A.个B.个C.个D.个如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形有（）．C根据角的和差关系可得第一个图形，根据同角的余角相等可得第二个图形，根据等角的补角相等可得第三个图形，第四个图形，不相等，因此的图形个数共有个．如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点，则．一、三角板问题例题1例题2答案解析标注【题型】几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：三角板的应用．故答案为：．知识导航转角问题是角度的综合运算，涉及到动态的变化，和动点问题一样，难点在于t 时间以后角的具体问题的表示。

经典例题如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．图将图中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图的位置，此时．（1）二、转角问题例题3答案解析图将图中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图的位置，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由．图（2）在上述直角三角板从图逆时针旋转一周的过程中，若三角板绕点按每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边所在直线恰好平分时，求此时三角板绕点的运动时间的值．（3）（1）．（2）或．（3）（1）∵，∴，∵则．（2）设则，．∴．（3）当第一次平分时，所在直线平分，此时，则转过时，，当第二次所在线段平分时，此时，则转过了，标注【题型】几何变换 > 旋转 > 旋转基础 > 题型：旋转性质应用∴．∴或可平分．如图，两个形状．大小完全相同的含有、的三角板如图放置，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．试说明：．（1）如图，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定角度，平分，平分，求．（2）如图，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为/秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为/秒，在两个三角板旋转过程中（转到与重合时，两三角板都停止转动），以下两个结论：①为定值；②为定值，请选出正确的结论，并说明理由．（3）例题4答案解析图说明见解析．（1）．（2）① 正确，证明见解析．（3）（1）∵，，∴．（2）设，∵，，，∴，，，∵平分，∴，，，，，，，∵平分，∴，，，，，，，．（3）①正确，设运动时间为秒，则，∴，，，∴，，，∴，，，②，，，可以看出随着时间在变化，不为定值，结论错误．标注【题型】几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：三角板的应用例题5已知：如图，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图，设旋转时间为秒秒．答案解析图图用含的代数式表示的度数．（1）在运动过程中，当第二次达到时，求的值．（2）在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的角平分线？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由．（3）．（1）．（2）存在；的值分别为、、秒．（3）（1）略．（2）如图，根据题意知：，，当第二次达到时，，即，解得：，第二次达到．故答案为：．（3）射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：①平分时，∵，∴，解得：；②平分时，∵，即，标注【题型】三角形 > 全等三角形 > 角平分线 > 题型：角分线性质应用∴，或，解得：，或（不符合题意，舍去）；③平分时，∵，∴，或，解得：或（不符合题意，舍去）；综上，当的值分别为、、秒时，射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线．故答案为：存在；的值分别为、、秒．答案如图，射线在的内部，图中共有个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“奇妙线”．图一个角的角平分线这个角的“奇妙线”．（填“是”或“不是”）（1）如图，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．图（2）当为何值时，射线是的“奇妙线”？1若射线同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止旋转，请求出当射线是的“奇妙线”时的值．2是（1）（2）或或．1例题6解析标注【题型】综合类问题 > 阅读与应用问题 > 阅读-几何相关或或．2（1）根据“奇妙线”的定义，一个角的角平分线是这个角的奇妙线．（2）1依题意有：第一种情况：，解得．第二种情况：，解得．第三种情况：，解得．2依题意有：第一种情况：，解得．第二种情况：，解得．第二种情况：，解得．故当射线是的奇妙线时的值的值为或或．学好几何文字语言人们交流思想离不开语言,思考问题也离不开语言.在科学性很强的几何中，对文字的要求更高．为了迅速适应比较系统的几何学习，我们应该就下面几点加强对几何文字语言的训练．第一，必须理解和熟悉几何中常用的名词和用语．《几何》第一章有许多概念，这些概念都有它们的名词．其中有少数几个名词是用文字语言来描述它们的含意，而含意的描述又往往不能达意．如直线，我们只能给出它的形象── 一根拉得很紧的线，但这不能展现直线向两方无限延伸的本质．如果不理解这个直线可向两方无限延伸的本质，就没法正确判断图1中的两条直线a ，b 是否相交，不能肯定图2中点P 是否在直线AB 上．因此今后提到直线，我们就应该知道：“这条直线不仅仅是笔直的，而且是向两方无限延伸着的”三、学霸笔记四、数学万花筒除了极少数几个描述的名词外，其余的名词都用文字语言规定它们含意——定义．这些名词的定义都是用那些描述含意的名词和学过的有定义的名词来叙述，叙述通常用“......叫做......”形式，如“直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线殷的端点”．学习定义或用语都要咬文嚼字，因为对它们的意义的理解一旦差之毫厘，就会导致失之千里．如“小于直角的角叫做锐角”是正确的，“大于直角的角叫做钝角”就错了，又如“连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离”，因而两点的距离不是连结这两点的线段．要深刻理解和掌握各个概念的本质，还需注意相近概念之间的联系和区别．比较才有鉴别，通过文字语言的比较就能透彻理解概念，正确使用概念．如“两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角”，显然这两个角都必须是锐角，因此一个钝角不会有它的余角．又如“两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角”，也显然这两个角不可能都是锐角或者都是钝角，除非这两个角都是直角，不然必定是一个锐角一个钝角．两个角互为余角或互为补角，是指两个角的数量关系，没有涉及到它们的位置关系，只有当两个角互为邻补角时才既有数量关系又有位置关系．除了学好几何名词外，我们还要学好几何中的规范用语．如图3不能说“延长直线AB”，“延长线段BA”等等只能说“延长线段AB”，或“反向延长线段BA”．几何名词是几何语言结构中的单位，规范的几何语言是人们长期积累的精练的几何语言．周密的思考，严谨的推理和正确交流数学思想方法都必须明白准确的名词用语．第二必须透彻理解并熟悉掌握公理和定理的题设和结论．公理和定理都是命题，命题的文字语言有三种形式：第一种形式是：“如果......，那么......”，或“若.....，则.....”，如“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．”这时很容易确定“如果”、“若”后面就是题设，“那么”、“则”后面就是结论，第二种形式就不那么明显了，但是叙述比较完整，如“两条直线相交，只有一个交点”，很容易必写成第一种形式：“如果两条直线相交，那么只有一个交点．”这样，命题的题设和结论也清楚了．第三种形式因为叙相当简单，所以首先要了解命题的意思，完整命题的叙述，然后改写成第一种形式，如“对顶角相等”，是说“两个角成对顶角，它们就相等”，从而可改写成“如果∠A和∠B是对顶角，那么∠A=∠B．”它的题设和结论也就明显了．善于分析命题的题设和结论，是我们学好、用好公理和定理，以及提高审题和解题的必要的能力．第三，必须灵活运用等价语言．在几何图形中，对同一个事实经常有几种不同的叙述方法，这些说法是等价语言．如图4，“线段AB的中点M”还有如下各种等价的说法．（1）M是线段AB的中点；（2）A、M、B是同一条直线上的三点，且AM=MB；（3）M是线段AB上的点，且AB=2AM（或AB=2MB）；（4）点M在线段AB上，且或；（5）点B在线段AM的延长线上，且AM=MB；......然而有时不同的说法不是等价的．例如公理“经过两点有一条直线，并且只有一条直线”．可以说成“过两点有且只有一条直线”．其中前一个“有”，说出这样的直线存在，后一个“只有”，说明这样的直线最多有一条．因此这个公理像生活用语那样说成”经过两点只有一条直线”，理由是这句话少了一层“这样的直线存在”的意思．但是它可以说成“两点确定一条直线”．因为“确定”也是“有目只有”的意思．所以我们要善于识别不同的说法是否等价．等价语言运用自如，常常有利于开拓思路，有利于说理，并使叙述简捷．答案解析标注【题型】几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：三角板的应用A.B.C.D.用一副三角板不可以拼出的角是（）．C已知一副三角板各角的度数是度，度，度，度，可以拼出的度数就是用度，度，度，度相加减，，，，显然得不到．如图，点为直线上一点，过点作射线，将一直角三角形的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．图图将图中的三角板绕点逆时针旋转至图，使一边在的内部，且恰好平分，问：直线是否平分？请说明理由．（1）五、巩固加油站巩固1巩固2答案解析若，将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为（直接写出结果）（2）在的条件下，将图中的三角板绕点顺时针旋转至图，使在的内部，请探究：与之间的数量关系，并说明理由．图（3）直线平分，理由见解析．（1）或（2），理由见解析．（3）（1）设的反向延长线为，∵平分，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴平分，即直线平分．（2）∵，∴，∴，即旋转时平分，标注【题型】几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：角的和差的计算与证明-有图由题意得，或，∴或．（3）∵，，∴，，∴．即．将一副直角三角板如图摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒．图备用图如图，当秒时，射线平分？此时．图（1）如图，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由．（2）巩固3答案解析图若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时同时停止，（自行画图分析）（3）当秒时，射线平分？1请直接写出在旋转过程中，与的数量关系．21:2:（1）．（2）（3）1．2（1）∵，平分，∴，∴秒，∵，，∴；故答案为：，．（2）∵，∴，∵，∴．（3）1∵，，∴，∵平分，∴，标注【题型】三角形 > 全等三角形 > 角平分线 > 题型：角分线性质应用∴，∴秒，故答案为：．2∵，，，，∵，，∴．∴．已知为直线上的一点，是直角，平分，如图，若，则；若，则；与的数量关系为．图（1）当射线的位置如图所示时，（）中与的数量关系是否依然成立？如成立请写出关系式并说明理由；如不成立请说明原因．图（2）（3）巩固4答案解析在图中，若，在的内部是否存在一条射线，使得与的和等于与的差的一半？若存在，请求出的度数，如不存在，请说明理由．图1:2:3:（1）与的数量关系仍然成立，理由见解析．（2）存在，．（3）（1）∵是直角，，∴．又∵平分，∴，∴．当，∴，∴，∴，所以有．（2）与的数量关系仍然成立．理由如下：设，如图，∵是直角，∴，又∵平分，∴，∴，标注【题型】三角形 > 全等三角形 > 角平分线 > 题型：角分线性质应用即．（3）存在．理由如下：如图，∵，∴，，而与的和等于与的差的一半，∴，∴．【探索新知】如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．图图备用图【解决问题】一个角的平分线这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”）（1）如图，若，且射线是的“巧分线”，则．用含的代数式表示（2）【深入研究】如图，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒．当为何值时，射线是的“巧分线”．（3）巩固5答案解析标注【题型】几何图形初步 > 角 > 角度的运算 > 题型：转角问题若射线同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止，当射线是的“巧分线”时，求的值．（4）是（1）备选答案1:备选答案2:（2）当为或或时，射线是的“巧分线”．（3）当为或或时，射线是的“巧分线”．（4）（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”．故答案为：是．（2），或或．故答案为：或或．（3）依题意有：①，解得；②，解得；③，解得．故当为或或时，射线是的“巧分线”．（4）依题意有：①，解得；②，解得；②，解得．故当为或或时，射线是的“巧分线”．。

《图形认识初步》角的易错题集精讲

第4章《图形认识初步》角的易错题集精讲一．选择题（共5小题）1．下列时刻，时针与分针的夹角为直角的是（）A．3时30分B．9时30分C．8时55分D．6时分2．在下列说法中，正确的是（）①两条射线组成的图形叫做角；②角的大小与边的长短无关；③角的两边可以一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线．A．①②B．②④C．②③D．③④3．如图中共有（）个角．A．5B．6C．7D．84．已知α=80°，β的两边与α的两边分别垂直，则β等于（）A．80°B．10°C．100°D．80°或100°5．下列各式中，正确的角度互化是（）A．63.5°=63°50′B．23°12′36″=25.48°C．18°18′18″=3.33°D．22.25°=22°15′二．填空题（共10小题）6．长度12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC：CB=1：2，则线段AC的长度为_________．7．已知线段AB=10cm，直线AB上有一点C，且BC=6cm，AC的长为_________．8．如图，已知线段AB=9厘米，C是直线AB上的一点，且BC=3厘米，则线段AC的长是_________厘米．9．已知线段AC和BC在同一直线上，若AC=20，BC=18，线段AC的中点为M，线段BC 的中点为N，则线段MN_________．10．点A、B、C在同一条直线上，线段AB=6cm，线段BC=4cm，则线段AC=_________．11．已知点B在直线AC上，AC=18cm，AB=8cm，则BC=_________．12．已知有共公顶点的三条射线OA，OB，OC，若∠AOB=120°，∠BOC=30°，则∠AOC= _________．13．已知平面上有公共顶点的三条射线OA，OB，OC，若∠AOB=100°，∠BOC=50°，则∠AOC=_________．14．已知∠AOB=30°，∠BOC=24°，∠AOD=15°，则锐角∠COD的度数_________．15．（1）如图，图中互补的角有_________对．（2）如果∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，则图中互补的角有_________对．三．解答题（共15小题）16．（1999•杭州）已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．17．一个角的补角是123°24′16″，则这个角的余角是多少．18．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）指出图中∠AOD与∠BOE的补角；（2）试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系．19．如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB 的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．20．一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角．21．已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数．22．如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．（1）若∠DOB与∠DOA的比是2：11，求∠BOC的度数．（2）若叠合所成的∠BOC=n°（0＜n＜90），则∠AOD的补角的度数与∠BOC的度数之比是多少？23．（1）已知∠BOC=120°，∠AOB=70°，求∠AOC的大小；（2）已知∠AOB=80°，过O作射线OC（不同于OA、OB），满足∠AOC=∠BOC，求∠AOC的大小．（注：本题中所说的角都是指小于平角的角）24．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）写出∠AOC与∠BOD的大小关系：_________，判断的依据是_________；（2）若∠COF=35°，求∠BOD的度数．25．把一副三角尺如图所示拼在一起，试确定图中∠A、∠B、∠AEB、∠ACD的度数，并用“＜”将它们连起来．26．如图所示，设相邻两个角∠AOB，∠BOC的平分线分别为OE，OF，且∠EOF是直角，你能说明OA，OC为什么成一条直线吗？试试看吧!27．如图，∠AOB=110°，∠COD=70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，求∠EOF的大小．28．如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，求∠AOB的度数．29．在飞机飞行时，飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的，如图，用AN（南北线）与飞行线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角，从A到B的飞行方向角为35°，从A到C的飞行方向角为60°，从A到D的飞行方向角为145°，试求AB与AC之间夹角为多少度？AD与AC之间夹角为多少度？并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线．30．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50度．（1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是_________；（2）OD是OB的反向延长线，OD的方向是_________；（3）∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是_________；（4）在（1）、（2）、（3）的条件下，∠COE=_________．第4章《图形认识初步》角的易错题集精讲参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．下列时刻，时针与分针的夹角为直角的是（）A．3时30分B．9时30分C．8时55分D．6时分考点：钟面角．专题：计算题．分析：画出图形，利用钟表表盘的特征解答．分别计算出四个选项中时针和分针的夹角，选出90°的角即可．解答：解：A、3时30分时，时针与分针间有2.5个大格，其夹角为30°×2.5=75°，故3时30分时时针与分针的夹角不为直角，错误；B、9时30分时，时针与分针间有3.5个大格，其夹角为30°×3.5=105°，故9时30分时时针与分针的夹角不为直角，错误；C、8时55分时，时针与分针间有2+个大格，其夹角为30°×2=82.5°，故8时55分时时针与分针的夹角不为直角，错误；D、6时分时，时针与分针的夹角为（）×30°﹣=90°，故6时分时时针与分针的夹角为直角，正确；故选D．点评：本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．2．在下列说法中，正确的是（）①两条射线组成的图形叫做角；②角的大小与边的长短无关；③角的两边可以一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线．A．①②B．②④C．②③D．③④考点：角的概念．分析：根据角的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案．解答：解：①、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故错误；②、角的大小与边的长短无关，故正确；③、角的两边是两条射线，射线不能度量，所以不能说长或短，故错误；④、角的两边是两条射线，故正确．②④正确，故选B．点评：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，注意不要忽略“公共端点”．还应注意角的大小与边的长短无关，与度数的大小一致．3．如图中共有（）个角．A．5B．6C．7D．8考点：角的概念．分析：根据角的定义即可选择．解答：解：图中的角有：∠DAC，∠BAC，∠DAB，∠B，∠D，∠ACB，∠ACD，∠BCD共有8个，故选D．点评：本题主要考查了角的定义以及表示法，是需要熟记的内容．4．已知α=80°，β的两边与α的两边分别垂直，则β等于（）A．80°B．10°C．100°D．80°或100°考点：角的概念．专题：分类讨论．分析：若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．解答：解：∵β的两边与α的两边分别垂直，∴α+β=180°，故β=100°，在上述情况下，若反向延长∠β的一边，那么∠β的补角的两边也与∠α的两边互相垂直，故此时∠β=180°﹣100°=80°；综上可知：∠β=80°或100°，故选D．点评：本题主要考查角的概念的知识点，要注意从不同的角度来分析∠β的存在情况，以免漏解．5．下列各式中，正确的角度互化是（）A．63.5°=63°50′B．23°12′36″=25.48°C．18°18′18″=3.33°D．22.25°=22°15′考点：度分秒的换算．专题：计算题．分析：两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度．度、分、秒的换算是60进位制．解答：解：A、63.5°=63°+0.5°×60=63°30′，错误；B、23°12′36″=23°+12′÷60+36″÷3600=23.21°，错误；C、18°18′18″=18°+18′÷60+18″÷3600=18.315°，错误；D、22.25°=22°+0.25°×60=22°15′，正确．故选D．点评：此类题是进行度、分、秒的加法、减法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．二．填空题（共10小题）6．长度12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC：CB=1：2，则线段AC的长度为8cm．考点：比较线段的长短．专题：计算题．分析：先由中点的定义求出AM，BM的长，再根据MC：CB=1：2的关系，求MC的长，最后利用AC=AM+MC得其长度．解答：解：∵线段AB的中点为M，∴AM=BM=6cm设MC=x，则CB=2x，∴x+2x=6，解得x=2即MC=2cm．∴AC=AM+MC=6+2=8cm．点评：利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．7．已知线段AB=10cm，直线AB上有一点C，且BC=6cm，AC的长为4cm或16cm．考点：比较线段的长短．专题：分类讨论．分析：由已知条件不能确定点C在直线AB上的位置，故要分情况讨论：当C在线段AB上时，AC=AB﹣BC；当C要线段AB的延长线上时，AC=AB+BC．然后代入数值计算即可得到答案，注意不要漏掉单位．解答：解：本题有两种情况：（1）当点C在线段AB上时，如图，AC=AB﹣BC，又∵AB=10cm，BC=6cm∴AC=10﹣6=4cm；（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，AC=AB+BC，又∵AB=10cm，BC=6cm，∴AC=10+6=16cm．故答案填4cm或16cm．点评：本题渗透了分情况讨论的思想，体现了思维的严密性，解决类似的问题要防止漏解，并注意不要漏掉单位．8．如图，已知线段AB=9厘米，C是直线AB上的一点，且BC=3厘米，则线段AC的长是12或6厘米．考点：比较线段的长短．专题：分类讨论．分析：本题没有给出C点位置故应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能．解答：解：当点C在AB中间时有，AC=AB﹣BC=9﹣3=6cm；当点在AB的延长线上时，有AC=AB+BC=9+3=12cm．故答案为12或6．点评：在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．9．已知线段AC和BC在同一直线上，若AC=20，BC=18，线段AC的中点为M，线段BC 的中点为N，则线段MN19或1．考点：比较线段的长短．专题：分类讨论．分析：要求学生分情况讨论A，B，C三点的位置关系，考查学生对图形的理解与运用．要考虑点B在线段AC上时和点B在线段AC的延长线上时．解答：解：①当点B在线段AC上时，根据线段的中点的概念，知：MN=AM﹣AN=AC﹣AB=10﹣9=1；②当点B在线段AC的延长线上时，根据线段的中点的概念，知：MN=AM+AN=AC+AB=10+9=19．故答案为19或1．点评：此类题要分情况讨论点的不同位置，还要结合中点的概念进行计算．10．点A、B、C在同一条直线上，线段AB=6cm，线段BC=4cm，则线段AC=10cm或2cm．考点：比较线段的长短．专题：计算题；分类讨论．分析：本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据题意画出的图形进行解答．解答：解：本题有两种情形：（1）当点C在线段AB上时，如图，AC=AB﹣BC，又∵AB=6cm，BC=4cm，∴AC=6﹣4=2cm；（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，AC=AB+BC，又∵AB=6cm，BC=4cm，∴AC=6+4=10cm．故线段AC=10cm或2cm．点评：在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．11．已知点B在直线AC上，AC=18cm，AB=8cm，则BC=10cm或26cm．考点：比较线段的长短．专题：分类讨论．分析：要求学生分情况讨论A，B，C三点的位置关系，考查学生对图形的理解与运用．本题可分为B在AC内和B在AC外．解答：解：第一种情况：B在AC内，则BC=AC﹣AB=10，第二种情况：B在AC外，则BC=AC+AB=26．故答案为10或26．点评：在未画图类问题中，正确画图很重要．本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性．在今后解决类似的问题时，要防止漏解．12．已知有共公顶点的三条射线OA，OB，OC，若∠AOB=120°，∠BOC=30°，则∠AOC= 90°或150°．考点：角的计算．专题：计算题．分析：本题是角的计算的多解问题，题目中只告诉有共公顶点的三条射线OA，OB，OC，而没有告诉它们的顺序关系，所以求解时求解时要注意分情况讨论．解答：解：当OC在∠AOB内部，因为∠AOB=120°，∠BOC=30°，所以∠AOC为90°；当OC在∠AOB外部，因为∠AOB=120°，∠BOC=30°，所以∠BOC为150°；所以∠AOC为150°或90°．点评：本题是角的多解问题，经常有出现漏解的情况，所以解决此类的问题是准确地画出不同情况的图形．13．已知平面上有公共顶点的三条射线OA，OB，OC，若∠AOB=100°，∠BOC=50°，则∠AOC=150°或50°．考点：角的计算．专题：分类讨论．分析：本题是角的计算中的多解题，出现多解的原因在于三条射线OA，OB，OC的位置不能确定，求解时应分情况讨论．解答：解：当射线OC在∠AOB内部时，因为∠AOB=100°，∠BOC=50°，所以∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=100°﹣50°=50°当射线OC在∠AOB外部时，因为∠AOB=100°，∠BOC=50°，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=100°+50°=150°所以∠AOC等于50°或150°．故填50°或150°．点评：本题是多解问题，易错点是漏解，因为题目中没有交代其中的位置关系，所以求解时要讨论，在线段的计算中有时也出现类似的情况．14．已知∠AOB=30°，∠BOC=24°，∠AOD=15°，则锐角∠COD的度数69°、39°、21°、9°．考点：角的计算．专题：计算题；分类讨论．分析：由于角的大小不同，即角的位置可能不同，故可能有不同的答案．解答：解：由题意，∠AOB=30°，∠BOC=24°，∠AOD=15°，根据角的不同和位置的不同，有以下几种情况：（1）如图（1）：∠COD=∠AOB+∠BOC+∠AOD=69°．（2）如图（2）：∠COD=∠AOB﹣∠AOD+∠BOC=39°；（3）如图（3）：∠COD=∠AOB﹣∠BOC+∠AOD=21°；（4）如图（4）：∠COD=∠AOB﹣∠BOC﹣∠AOD=9°．故答案为69°、39°、21°、9°．点评：此题主要考查了学生的开放性思维，对图象多解问题的考虑及学生的动手操作能力．15．（1）如图，图中互补的角有2对．（2）如果∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，则图中互补的角有6对．考点：余角和补角．分析：若两个角的和等于180°，则这两个角互补．根据已知条件和互补的定义确定各自的对数．解答：解：（1）∵点A，O，B在同一直线上，∴图中互补的角有2对，∠AOC与∠COB，BOD与∠AOD．（2）∵∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，∴图中互补的角有6对，∠AOC与∠COB，∠AOC与∠AOD，∠AOD与∠COD，∠BOC与∠COD，∠BOD与∠AOD，∠BOD与∠COB．点评：此题考查补角，在找互补的两角时，可先确定较小（或较大）角的度数，从最小（或最大）角的补角开始找，能做到不重合、不遗漏．三．解答题（共15小题）16．（1999•杭州）已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．考点：余角和补角．专题：计算题．分析：利用题中“一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°”作为相等关系列方程求解即可．解答：解：设这个角是x，则（180°﹣x）﹣3（90°﹣x）=10°，解得x=50°．故答案为50°．点评：主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180度．解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果．17．一个角的补角是123°24′16″，则这个角的余角是多少．考点：余角和补角．专题：计算题．分析：首先根据这个角的补角求出这个角大小，再求它的余角．解答：解：若一个角的补角是123°24′16″，则这个角为180°﹣123°24′16″=56°35′46″，则它的余角为90°﹣56°35′46″=33°24′16″，故这个角的余角为33°24′16″．点评：本题考查补角、余角的定义：如果两个角的和为180°，则这两个角互为补角，如果两个角的和为90°，则这两个角互为余角．18．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）指出图中∠AOD与∠BOE的补角；（2）试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系．考点：余角和补角；角平分线的定义．分析：解此类题目关键在于：结合图形，根据余角、补角的定义，有时还需考虑角平分线的性质，分析并找到角与角之间的关系，再进行计算得出答案．解答：解：（1）与∠AOD互补的角∠BOD、∠COD；与∠BOE互补的角∠AOE、∠COE．（2）∠COD+∠COE=∠AOB=90度．（提示：因为OD平分∠BOC，所以∠COD=∠BOC）．又OE平分∠AOC，所以∠COE=∠AOC，所以∠COD+∠COE=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC），所以∠COD+∠COE=∠AOB=90°．点评：此题结合图形考查余角、补角的定义；涉及了角平分线的性质，及角的运算．在图形中，找补角、余角关系时，除了借助图形外，还需考虑等量关系即有没有相等的角．19．如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB 的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．考点：余角和补角；角平分线的定义．专题：计算题．分析：解此类题目关键在于：结合图形，根据余角、补角的定义，有时还需考虑角平分线的性质，分析并找到角与角之间的关系，再进行计算得出答案．解答：解：设∠AOB=x°，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC=180﹣x°．由题意，得．∴180﹣x﹣x=80，∴﹣2x=﹣100，解得x=50故∠AOB=50°，∠AOC=130°．点评：此题结合图形考查余角、补角的定义；涉及了角平分线的性质，及角的运算．在图形中，找补角、余角关系时，除了借助图形外，还需考虑等量关系即有没有相等的角．20．一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角．考点：余角和补角．专题：计算题．分析：首先根据余角与补角的定义，设这个角为x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），再根据题中给出的等量关系列方程即可求解．解答：解：设这个角为x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），根据题意可，得90°﹣x=（180°﹣x）﹣20°，解得x=75°．故答案为75°．点评：此题综合考查余角与补角，属于基础题中较难的题，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解．21．已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数．考点：余角和补角．专题：计算题．分析：利用题中的关系“一个角的补角等于这个角的余角的4倍”作为相等关系列方程求解即可．解答：解：设这个角为x，则它的补角为（180°﹣x）余角为（90°﹣x），由题意得：180°﹣x=4（90°﹣x）解得x=60°．答：这个角的度数为60°．点评：主要考查了利用余角和补角的定义和一元一次方程的应用．解此题的关键是能准确的从题中找出各个量之间的数量关系，找出等量关系列方程，从而计算出结果．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180度．22．如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．（1）若∠DOB与∠DOA的比是2：11，求∠BOC的度数．（2）若叠合所成的∠BOC=n°（0＜n＜90），则∠AOD的补角的度数与∠BOC的度数之比是多少？考点：余角和补角．专题：计算题．分析：根据条件可知∠AOB=∠COD=90°，并且∠AOD=∠AOB+∠COD﹣∠BOC=180°﹣∠BOC，根据这个关系就可以求解．解答：解：（1）设∠DOB=2x°，则∠DOA=11x°，∵∠AOB=∠COD∴∠AOC=∠DOB=2x°，∠BOC=7x．又∵∠AOD=∠AOB+∠COD﹣∠BOC=180°﹣∠BOC则得方程：11x=180﹣7x解得：x=10°∴∠BOC=70°．（2）∵∠AOD=∠AOB+∠COD﹣∠BOC=180°﹣∠BOC∴∠AOD与∠BOC互补，则∠AOD的补角等于∠BOC．故∠AOD的补角的度数与∠BOC的度数之比是1：1．点评：正确认识∠AOD=∠AOB+∠COD﹣∠BOC=180°﹣∠BOC这一个关系是解题的关键，这是一个常用的关系，需熟记．23．（1）已知∠BOC=120°，∠AOB=70°，求∠AOC的大小；（2）已知∠AOB=80°，过O作射线OC（不同于OA、OB），满足∠AOC=∠BOC，求∠AOC的大小．（注：本题中所说的角都是指小于平角的角）考点：角的计算．专题：分类讨论．分析：（1）是角的多解问题，求解时因为位置不同，可分情况讨论．（2）直线OA、OB将平面分成四个部分，分别考虑射线OC落在这四个部分的情况，解答：解：（1）当射线OA在∠COB内部时，因为∠AOB=70°，∠BOC=120°，所以∠AOC=∠BOC﹣∠AOB=120°﹣70°=50°当射线OA在∠COB外部时，因为∠AOB=70°，∠BOC=120°，所以∠AOC=∠BOC+∠AOB=120°+70°=190°，而求解的只是小于平角的角，所以∠AOC=∠=360°﹣190°=170°所以∠AOC等于50°或170°．（2）根据题意画出图形得：∵∠AOB=80°，∠AOC=∠BOC，∴设∠BOC=5x，则∠AOC=3x，根据题意列出方程得：5x+3x=80°，解得x=10°∴∠AOC=30°，∠BOC=50°；∵∠AOB=80°，∠AOC=∠BOC，∴设∠BOC=5x，则∠AOC=3x，根据题意列出方程得：5x+3x=280°，解得x=35°∴∠AOC=105°，∠BOC=175°．点评：本题的多解情况可依据不同情况求解，在计算中我们所求的角一般都是小于平角的角．24．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）写出∠AOC与∠BOD的大小关系：相等，判断的依据是等角的补角相等；（2）若∠COF=35°，求∠BOD的度数．考点：角的计算；角平分线的定义；余角和补角．专题：计算题．分析：（1）能够发现要找的两个角都和∠BOC互补，根据等角的补角相等即可说明；（2）首先根据直角由已知角求得它的余角，再根据角平分线的概念求得∠AOE，再利用角的关系求得∠AOC，根据上述结论，即求得了∠BOD．解答：解：（1）相等，等角的补角相等；（2）∵∠COE是直角，∠COF=35°∴∠EOF=55°又OF平分∠AOE，∴∠AOE=110°∴∠AOC=20°∴∠BOD=∠AOC=20°．故答案为相等、等角的补角相等、20°．点评：（1）理解邻补角的概念，掌握等角的补角相等的性质；（2）正确求得一个角的余角，熟练运用角平分线表示角之间的倍分关系，再根据角之间的和差关系进行计算．25．把一副三角尺如图所示拼在一起，试确定图中∠A、∠B、∠AEB、∠ACD的度数，并用“＜”将它们连起来．考点：角的大小比较．分析：答题时首先要知道一副三角板的各角度数，然后求出∠AEB，最后比较大小．解答：解：∠A=30°，∠B=45°，∠AEB=135°，∠ACD=90°∴∠A＜∠B＜∠ACD＜∠AEB．点评：本题主要考查角的比较与运算，要知道一副三角板各角的度数，比较简单．26．如图所示，设相邻两个角∠AOB，∠BOC的平分线分别为OE，OF，且∠EOF是直角，你能说明OA，OC为什么成一条直线吗？试试看吧!考点：角平分线的定义．分析：判断OA，OC是否成一条直线，只要求∠AOC，看是否是180°．解答：解：∵OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC，且∠EOF是直角，∴∠AOE=∠BOE，∠COF=∠BOF，∠EOF=90°，∴（∠AOE+∠EOB）+（∠COF+∠BOF）=2×90°=180°，即∠AOB+∠BOC=180°，∴∠AOC=180°，∴AO、OC成一直线（即A，O，C三点共线）．点评：判断A，O，C三点共线的方法就是转化为求∠AOC的度数．27．如图，∠AOB=110°，∠COD=70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，求∠EOF的大小．考点：角平分线的定义．专题：计算题．分析：由∠AOB=110°，∠COD=70°，易得∠AOC+∠BOD=40°，由角平分线定义可得∠AOE+∠BOF=40°，那么∠EOF=∠AOB+∠AOE+BOF．解答：解：∵∠AOB=110°，∠COD=70°∴∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=40°∵OA平分∠EOC，OB平分∠DOF∴∠AOE=∠AOC，∠BOF=∠BOD∴∠AOE+∠BOF=40°∴∠EOF=∠AOB+∠AOE+BOF=150°．故答案为150°．点评：解决本题的关键利用角平分线定义得到所求角的两边的角的度数．28．如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，求∠AOB的度数．考点：角平分线的定义．专题：计算题．分析：此题可以设∠AOC=x，进一步根据角之间的关系用未知数表示其它角，再根据已知的角列方程即可进行计算．解答：解：设∠AOC=x，则∠BOC=2x．∴∠AOB=3x．又OD平分∠AOB，∴∠AOD=1.5x．∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=1.5x﹣x=20°．∴x=40°∴∠AOB=120°．故答案为120°．点评：此类题要设恰当的未知数，用同一个未知数表示相关的角，根据已知的角列方程进行计算．29．在飞机飞行时，飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的，如图，用AN（南北线）与飞行线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角，从A到B的飞行方向角为35°，从A到C的飞行方向角为60°，从A到D的飞行方向角为145°，试求AB与AC之间夹角为多少度？AD与AC之间夹角为多少度？并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线．考点：方向角．分析：阅读题目条件，明确飞机飞行角的概念，找到南北线与飞行线之间顺时针方向夹角，计算其角度解答．解答：解：由题意可知∠NAB=35°，∠NAC=60°，∠NAD=145°．故AB与AC之间夹角为∠NAC﹣∠NAB=60°﹣35°=25°，AD与AC之间夹角为∠NAD﹣∠NAC=145°﹣60°=85°，从A飞出且方向角为105°的飞行线，即∠NAE=105°．点评：此题是一道材料分析题，解答时要认真阅读，明确题目条件，特别是题目中的新概念，依据新概念解答．30．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50度．（1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是北偏东70°；（2）OD是OB的反向延长线，OD的方向是南偏东40°；（3）∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是南偏西50°；（4）在（1）、（2）、（3）的条件下，∠COE=160°．考点：方向角．分析：根据方位角的概念，即可求解．解答：解：（1）∠AOC=∠AOB=90°﹣50°+15°=55°，OC的方向是北偏东15°+55°=70°；（2）OD是OB的反向延长线，OD的方向是南偏东40°；（3）OE是∠BOD的平分线，∠BOE=90°；OE的方向是南偏西50°；（4）∠COE=90°+50°+20°=160°．点评：解答此题的关键是画图并正确画出方位角，再结合各角的互余互补关系求解．。

初三数学圆心角试题答案及解析

初三数学圆心角试题答案及解析1.如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是 cm．【答案】5【解析】作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，再根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点可求出∠MON′的值，再由勾股定理即可求出MN′的长．解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，∵M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，∴∠MOB==60°，∠BON′==30°，∴∠MON′=90°，∵AB=10cm，∴OM=ON′=5cm，∴MN′===5cm，即MP+NP的最小值是cm．故答案为：5．点评：本题考查的是最短路线问题及圆心角、弧、弦的关系，根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，求出∠MON′=90°是解答此题的关键．2.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC弧的中点，若∠BAC=30°，则∠DCA= ．【答案】30°【解析】根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90°，从而求得∠B的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，得到∠D的度数，根据等弧对等弦及等边对等角即可得到则∠DAC=∠DCA，根据内角和公式即可求得其度数．解：连接BC．∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°；∵∠BAC=30°，∴∠B=60°，∴∠D=120°；∵D是弧AC的中点，∴DA=DC，∴∠DCA=∠DAC=（180°﹣120°）÷2=30°．点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、圆内接四边形的性质、等弧对等弦以及等边对等角的知识．3.一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是．【答案】30°或150°【解析】根据题意画出图形，得出两种情况，求出两段弧的度数，即可求出答案．解：连接OA、OB，∵一条弦AB把圆分成1：5两部分，如图，∴弧AC′B的度数是×360°=60°，弧ACB的度数是360°﹣60°=300°，∴∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°，∴∠AC′B=180°﹣30°=150°，故答案为：30°或150°．点评：本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．4.如图，AB，AC，BC是⊙O的三条弦，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，且OD=OE=OF，则弧AC=弧 =弧，∠ABC= °，△ABC是三角形．【答案】弧AC=弧AB=弧BC，∠ABC=60°，等边三角形【解析】由垂径定理得BE=EC，BD=AD；若连接OB、OC、OA，则可证得△OCE≌△OBE≌△OBD，再得△ABC是等边三角形，然后运用圆周角定理可解．解：连接OB，OC，OA∵OD⊥AB，OE⊥BC，由垂径定理知，BE=EC，BD=AD，∵OB=OC，∴△OCE≌△OBE≌△OBD，∴BE=EC=BD=AD，同理，AD=AF=CF=CE，∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，弧AC=弧AB=弧BC．点评：本题利用了垂径定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理求解．5.半径为R的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆心角为．【答案】60°【解析】由于等于半径，得到等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．解：如图，AB=OA=OB，所以△ABC为等边三角形，所以∠AOB=60°．故答案为60°．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．6.如图，已知AD是⊙O的直径，AD垂直于弦BC，垂足为点E．AB=AC吗？为什么？【答案】AB=AC【解析】由AD是⊙O的直径，AD垂直于弦BC，根据垂径定理即可得，则可证得AB=AC．解：AB=AC．理由：∵AD⊥BC，AD是⊙O的直径，（已知）∴，（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）…（4分）∴AB=AC．（在同圆中，如果弧相等，那么弧所对的弦也相等）点评：此题考查了垂径定理．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且=．（1）求证：AC∥OD．（2）若∠AOD=110°，求的度数．【答案】（1）见解析（2）40°【解析】（1）如图，连接AD．由圆心角、弧、弦间的关系，圆周角定理推知同位角∠CAB=∠DOB=2∠DAB，则易证得结论；（2）由邻补角的定义、圆心角、弧、弦的关系求得∠COD=∠DOB=70°，则∠AOC=∠AOD﹣∠COD=110°﹣70°=40°．（1）证明：如图，连接AD．∵=，∴=2∴∠CAB=2∠DAB．又∵∠DOB=2∠DAB，∴∠CAB=∠DOB，∴AC∥OD；（2）解：如图，连接OC．∵∠AOD=110°，∴∠DOB=70°．又∵=，∴∠COD=∠DOB=70°，∴∠AOC=∠AOD﹣∠COD=110°﹣70°=40°，∴=40°．点评：本题考查了圆心角、弧、弦间的关系．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．8.如图，在⊙O中，与相等，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E，且OD=OE，那么△ABC是什么三角形，为什么？【答案】等边三角形【解析】根据圆心角、弧、弦的关系由=得到AB=BC，再由OD⊥BC，OE⊥AC，根据垂径定理和垂直的定义得到CE=AC，CD=BC，∠ODC=∠OEC=90°利用三角形全等的判定方法可得到Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），则CD=CE，于是有BC=AC，则AB=AC=CB，即可得到△ABC为等边三角形．解：△ABC为等边三角形．理由如下：连OC，∵=，∴AB=BC，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴CE=AC，CD=BC，∠ODC=∠OEC=90°∵在Rt△ODC和Rt△OEC中，，∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL）∴CD=CE，∴BC=AC，∴AB=AC=CB，∴△ABC为等边三角形．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么其余各组量也分别相等．也考查了垂径定理和等边三角形的判定．9.如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB=CD．求证：BE=DE．【答案】见解析【解析】先连接BC、AD，由AB=CD可知=，故可得出=，故可得出BC=AD，由全等三角形的判定定理可得出△BEC≌△DEA，根据三角形的对应边相等即可得出结论．证明：先连接BC、AD，∵AB=CD，∴=，∵=，∴BC=AD，在△BEC与△DEA中，∵，∴△BEC≌△DEA（ASA），∴BE=DE．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质，根据题意构造出全等三角形是解答此题的关键．10.已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB=CD．求证：∠OBA=∠ODC．【答案】见解析【解析】过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．先由圆心角、弧、弦的关系，得出OE=OF，再根据HL证明Rt△BOE≌Rt△DOF，进而得出∠OBA=∠ODC．证明：过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．∵AB=CD，∴OE=OF．又∵BO=DO，∴Rt△BOE≌Rt△DOF（HL），∴∠OBA=∠ODC．点评：本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，本题还可以运用全等证明．11.如图，在⊙O中，AD=BC．（1）比较与的长度，并证明你的结论；（2）求证：DE=BE．【答案】见解析【解析】（1）由AD=BC可得出=，进而可得到=；（2）由（1）的结论可得出AB=CD，根据全等三角形的判定定理可得出△ADE≌△CBE，故DE=BE，进而可求出答案．证明：（1）∵AD=BC，∴=，∴=；（2）∵=，∴AB=CD，在△ADE与△CBE中，∵∠DAB=∠BCD，AD=BC，∠ADC=∠ABC，∴△ADE≌△CBE，∴DE=BE，∵AB=CD，∴DE=BE．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质、圆周角定理，涉及面较广，难易适中．12.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（）度．A．30B．45C．50D．60【答案】A【解析】根据已知条件“过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D、，∠ABC=30°”、及直角三角形OBE的两个锐角互余求得∠BOE=60°；然后根据同弧BD所对的圆周角∠DCB是所对的圆心角∠DOB的一半，求得∠DCB的度数．解：∵OD⊥BC，∠ABC=30°，∴在直角三角形OBE中，∠BOE=60°（直角三角形的两个锐角互余）；又∵∠DCB=∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠DCB=30°；故选A．点评：本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．13.下列命题中为真命题的是（）A．有一个角是40°的两个等腰三角形相似B．三点一定可以确定一个圆C．圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等D．三角形的内心到三角形三边距离相等【答案】D【解析】A、不知道40°的角是底角还是顶角，无法判断相似；B、三点共线不能确定圆；C、要有在同圆或等圆中的条件；D、根据三角形内心的性质进行判断．解：当一个等腰三角形的顶角等于40°而另一个等腰三角形的底角是40°，则这两个三角形不相似，所以A错；只有不共线的三点才确定一个圆，所以B错；只有在同圆或等圆中，圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等，所以C错；内心就是三角形角平分线的交点，则它到三角形三边的距离相等，所以D对．故选D．点评：有两个角对应相等的三角形相似．记住三点不共线确定一个圆；只有在同圆或等圆中，圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等．14.下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C．相等的圆心角所对的弧相等D．等弧所对的圆心角相等【答案】D【解析】利用三角形的外接圆与外心、垂径定理及圆心角、弧、弦之间的关系分别判断后即可得到正确的答案．解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；B、三角形的外心大三角形三顶点的距离相等，故错误；C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；D、等弧所对的圆心角相等，故正确，故选D．点评：本题考查了三角形的外接圆与外心、垂径定理及圆心角、弧、弦之间的关系，属于基础定理，应重点掌握．15.如图，在⊙O中，=，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（）A．122°B．120°C．61°D．58°【答案】A【解析】直接根据圆心角、弧、弦的关系求解．解：∵，=，∴∠∠AOB=∠AOC=122°．故选A．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．16.下列命题正确的是（）A．垂直于弦的直径平分弦B．相等的圆心角所对的弧相等C．任何一条直径都是圆的对称轴D．过三点可以作一个圆【答案】A【解析】根据垂径定理，圆幂性质以及确定圆的条件对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、垂直于弦的直径平分弦，正确，故本选项正确；B、应为在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；C、应为任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，故本选项错误；D、应为过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故本选项错误．故选A．点评：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．17.如图，直线l交圆O于A、B两点，且将圆O分成3：1两段．若圆O半径为2cm，则△OAB的面积为（）A.1cm2B.cm2C.2cm2D.4cm2【答案】C【解析】先用“等弧对等角”得出∠AOB=90°，又有半径，故可解．解：如图，由题意知，弦AB把圆周分为3：1两段弧，则弦AB所为的圆心角∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AO=OB=2cm，∴S=×2×2=2cm2，△AOB故选C．点评：本题利用了一个周角为360°及等腰直角三角形的性质和面积公式求解．18.下列命题中：①平分弦的直径垂直于弦；②等弧所对弦相等；③一个数的绝对值不小于本身；④三角形的外心到三边的距离相等；⑤直径是圆的对称轴；⑥侧面展开图为半圆的圆锥，其轴截面是等边三角形．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．②③⑥D．②④⑥【答案】C【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点以及数学知识的定理进行解题．解：①主要考查垂径定理推论的内容，平分弦的直径垂直于弦，这条弦不能是直径；④中三角形的外心是三角各边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等；⑤直径是圆的对称轴不对，因为对称轴是直线，而直径是线段．正确的是：②③⑥，故选C．点评：本题主要考查学生对于常用的几个重要定理，三角形的外心的识记及理解．19.下列命题中，真命题的个数是（）①等弧所对弦相等②平分弦的直径，垂直于这条弦③平移后对应点所连的线段平行且相等④用正三角形和正六边形两种图形可以实现镶嵌．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】根据题意，对选项进行一一分析，选择正确答案．解：①等弧所对弦相等，正确；②平分弦（非直径）的直径，垂直于这条弦，错误；③平移后对应点所连的线段有可能在同一直线上，错误；④用正三角形和正六边形两种图形可以实现镶嵌．正六边形的每个内角是120°，正三角形的每个内角是60°．2×120°+2×60°=360°或120°+4×60°=360°，正确．故选：B．点评：本题需注意垂径定理中的弦是非直径的弦．两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．20.已知弧CD是⊙O的一条弧，点A是弧CD的中点，连接AC，CD．则（）A.CD=2ACB.CD＞2ACC.CD＜2ACD.不能确定．【答案】C【解析】首先根据题意画出图形，然后由在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，即可求得AC=AD，然后利用三角形三边关系，即可求得答案．解：如图，∵点A是弧CD的中点，即=，∴AC=AD，∵CD＜AC+AD，∴CD＜2AC．故选C．点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用是解此题的关键，注意掌握两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等定理的应用．。