华师大版—初二数学因式分解知识点及经典例题详解上课讲义

华师大版一初二数学因式分解知识点及经典例题详解

初二数学一一分解因式

、考点、热点分析

整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式

(一)常见形式：(1)平方差公式：a2 b2 (a b)(a b)

(2) 完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2

(3) 立方差公式：a3 b3 (a b)(a2 ab b2)

(4) 立方和公式：a3 b3 (a b)(a2 ab b2)

(5) 十字相乘法(十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法•)

①二次三项式：

把多项式ax2 bx c,称为字母x的二次三项式，其中ax2称为二次项，bx、为一次项，c为常数项.例如，x2 2x 3和x2 5x 6都是关于x的二次三项式. 在多项式x2 6xy 8y2中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；

如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式.

在多项式2a2b2 7ab 3中，把ab看作一个整体，即2(ab)2 7(ab) 3，就是关于ab的二次三项式.同样，多项式(x y)2 7(x y) 12，把x+ y看作一个整体，就是关于x + y的二次三项式.

②十字相乘法的依据和具体内容

它的一般规律是：(1)对于二次项系数为1的二次三项式x2 px q，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a+ b为一次项系数p,那么它就可以运用公式

2

x (a b)x ab (x a)(x b)

分解因式.这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”.

注意：公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.

(2)对于二次项系数不是1的二次三项式ax2 bx c(a，b，c都是整数且0)

来说，如果存在四个整数a i,a2,C i,C2，使a i a? a，5 c? c，且a?。！b，

那么运用

2

ax2bx c

a1a2x (a1c2 a2cjx c1c2 (^x cj(a2x c2)

它的特征是“拆两头，凑中间”•如：5x2 6xy 8y2 (x 2)(5x 4)

(6) 分组分解法：

在多项式am+ an+ bm+ bn中，这四项没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法或十字相乘法分解因式.

如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法

分别分解因式•即：

原式=(am +an )+(bm+ bn) = a(m+ n)+b(m +n)

这两项还有公因式(m+n),因此还能继续分解，所以

原式=(am +an )+(bm+ bn) = a(m+ n )+b(m+ n) = (m +n )?(a +b).

这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.

(二)因式分解一般要遵循的步骤：(1)先考虑能否提公因式；

(2) 再考虑能否运用公式或十字相乘法；

(3) 最后考虑分组分解法•对于一个还能继续分解的

多项式因式仍然用这一步骤反复进行.

口诀：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要

合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”.

1、典型例题

分解因式：

1. m>(p —q) —p+ q；

3. x4—2y4—2x3y+ xy3;

5. (x2 —2x) 2 + 2x(x —2) + 1;2. a(ab + bc+ ac) —

abc；

3

4. abc(a2+ b2 + c2) —a be +

2ab2c2 ；

6. (x —y) 2+ 12(y —x)z + 36z2；

7. x2 —4ax+ 8ab—4b2 ；

8. (ax + by)2+ (ay —bx)2 + 2(ax + by)(ay —bx)；

9. (1 —a2)(1 —b2) —(a2—1)2(b2—

1)2；

10. (x + 1)2 —9(x —

1)2；

3n 3n

11. x + y ;

3

12. (x + y) + 125;

13. 8(x + y)3+ 1;

(1) x2 2x 15 (2) x2 5xy 6y2

(3) 2x2 5x 3 (4) 3x2 8x 3

四、课后练习

、选择题

1.下列分解因式正确的是( )

-a+a3=- a (1+a2).2a- 4b+2=2 (a- 2b)

A.

精品文档

C. a 2 - 4=(a -2)

D. a 2- 2a+1= (a - 1)

2.若实数a 、b 满足a+b=5, a 2b+ab 2= - 10,则ab 的值是( A - 2 B. 2 C. - 50

)

D. 50

3.把x 3- 2x 2y+xy 2分解因式，结果正确的是(

2 2

A x (x+y )( x - y ) B. x (x - 2xy+y )

C. x (x+y ) 2

D. x (x - y )

4.把a 2- 2a - 1分解因式，正确的是( )

A. a (a -2)- 1

B. (a - 1) 2

C. (

1+血)(乩一 1 -血) D Q+14近)(3>1一血)

5.(- 8) 2006+ (- 8) 2005能被下列数整除的是( )

A 3 B. 5 C. 7

D. 9

6. 若（1 - 2x+y ）是4xy - 4x 2- y 2- m 的一个因式，贝U m 的值为（ ） A. 4 B. 1 C. - 1 D. 0

A. a=1

B. b=468

C. c = - 3

D. a+b+c=39

8. 已知多项式 2x +bx+c 分解因式为2 (x - 3) （x+1），则

b ，

c 的值为（ ） A. b=3，c=- 1 B. b=- 6，c=2 C. b = - 6，c= - 4 D. b=- 4，c= - 6

9. 如果x+3x - -3=0,则代数式x 3+3x 2 - -3x+3的值为（ ）

A. 0

B. - 3

C. 3

D.

7. 若481X 2+2X -3可因式分解成（13x+a ）（ bx+c ），其中a 、b 、c 均为整数，则下列 叙述正确的是（ 2

.填空题

10. 在实数范围内因式分解：x 3- 2x 2y+xy 2= ____________ 11. _______________________________ 分解因式：2x 2+2x 寺 ___________________________________ . 12 .分解因式：-x 3+2x 2 - x= _____________ .

13.分解因式：x （x - 1）- 3x+4= _____________ . 14 .将多项式a 3 - 6a 2b+9ab 2分解因式得 _____________ .

三.解答题 15 .已知x=y+4，求代数式2x 2 - 4xy+2y 2 - 25的值.