2020年中考最全复习资料专题29 归纳与猜想_答案
2020年北京中考物理复习题型大全035-6.2实验解答题-综合-中国科技馆-电学-29道题6页
石景山二模)（单选）所示，是中国科技馆“探索与发现”展厅的卢瑟福α粒子散射实验装置，由实验现象可以推断，原子内大部分体积是空的，大3.(2018海淀一模)（单选）小明在中国科技馆看到“1度电的意义”展品后，绘制了1度电可供他家中的一些额定电压相同的用电器分别在额定功率下、持续工作的时间图，如图3所示。
关于图中家用电器的比较，下列说法中正确的是6.(2018怀柔一模)（多选）中国科技馆有一个“磁制冷”的展台，通过展品可以做模拟“磁热效应”的实验。
实验过程及现象如下：转动手轮，使磁性材料进出磁场。
当磁性材料进入磁场被磁化时温度会升高；相反，磁性材料退出磁场被退磁时温度会降低。
则下列四个选项中，判断正确的是11.(2018昌平二模)阅读《太阳能热塔式发电》回答问题。
太阳能热塔式发电2.(2017通州二模)（单选）中国科技馆“探索与发现”展厅有一个展品名为“静电滚球”，如图2所示。
展品由一个中心电极、一些金属小球和一个接地的环形金属板三部分构成，当观众转动手柄时，金属小球会在中心电极与接地的金属板之间6.(2017丰台二模)（多选）中国科技馆的“探索与发现A厅”中有一个写着“电从哪里来”字样的展台，在展台的一侧有一台手摇发电机，在展台中心区域有一个8.(2017东城一模)图8所示为中国科技馆静电滚球装置。
当快速转动转轮时，可以使玻璃罩内位于圆盘中心处的那个大金属半球带上正电荷成为高压正极，圆盘四周成为环形的接地高压负极。
罩内台面上的这些用金属箔包裹的小球在高压电极的作用下，其电荷从新分布，靠近正极的一侧带负电荷，靠近负极的一侧带等量正电荷，小球就会在电场力的作用下向电极移动，某个与正极碰撞的小球会因此带上正电荷而与正极分开，向着负极撞去；碰上负极后，负极立即中和其正电荷，又因其带上负电荷而与负极分开，向着正极撞去,如此循环往复便形成了有趣的静电滚球。
请根据上述实验现象，提出一个可以探究的科学问题：_________。
2020-2021备战中考数学——初中数学 旋转的综合压轴题专题复习附答案解析
2020-2021备战中考数学——初中数学旋转的综合压轴题专题复习附答案解析一、旋转1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．2．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF，设CE＝a，CF＝b．（1）如图1，当a＝42时，求b的值；（2）当a＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b的值；（3）如图3，请直接写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式．【答案】（1）422）b＝8；（3）ab＝32．【解析】试题分析：（1）由正方形ABCD的边长为4，可得AC＝2，∠ACB＝45°．再CE＝a＝2∠CAE＝∠AEC，从而可得∠CAF的度数，既而可得 b=AC；（2）通过证明△ACF∽△ECA，即可得；（3）通过证明△ACF∽△ECA，即可得.试题解析：（1）∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝42，∠ACB＝45°．∵CE＝a＝42，∴∠CAE＝∠AEC＝452︒＝22.5°，∴∠CAF＝∠EAF－∠CAE＝22.5°，∴∠AFC＝∠ACD－∠CAF＝22.5°，∴∠CAF＝∠AFC，∴b=AC＝CF＝42；（2）∵∠FAE＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FAC＋∠CAE＝45°，∠CAE＋∠AEC＝45°，∴∠FAC ＝∠AEC．又∵∠ACF＝∠ECA＝135°，∴△ACF∽△ECA，∴AC CFEC CA=，∴42442=，∴CF＝8，即b＝8．（3）ab＝32．提示：由（2）知可证△ACF∽△ECA，∴∴AC CFEC CA=，∴4242a=，∴ab＝32．3．已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF⊥BD 交BC 于F，连接DF，G 为DF 中点，连接EG，CG.(1) 求证：EG=CG；(2) 将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转 45∘,如图②所示,取DF 中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3) 将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).【答案】解：（1）CG=EG（2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG．证明：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG．∴ AG=CG．在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴ MG=NG在矩形AENM中，AM=EN．在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴ AG=EG∴ EG=CG．（3）（1）中的结论仍然成立．【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG;试题解析：解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴，同理，在Rt△DEF中，，∴CG=EG；（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG；连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，如图所示：在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DC=DC，∴△DAG≌△DCG，∴AG=CG，在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，DG=FG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG，在矩形AENM中，AM=EN.，在Rt△AMG与Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴EG=CG，（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG且EG⊥CG。
两年中考模拟2020年中考数学：变式猜想问题(学生版)
第七篇专题复习篇专题39变式猜想题知识点名师点晴变式猜想问题特殊的四边形的变式题理解并掌握特殊的四边形的性质,并能解决四边形的有关变式问题三角形有关的变式题利用三角形的性质、全等、相似解决相关是变式问题图形的旋转与对称变式利用图形的旋转和有关变换解决相关的变式问题归纳1：几何图形的有关变式猜想问题基础知识归纳：几何图形的变式猜想问题主要涉及等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、矩形、菱形、正方形等几何载体．基本方法归纳：对于几何变式猜想问题主要有以下的解题思路：其一是弄清在变式过程中,存在哪些变量与不变的关系；其二是建立起不变关系与变化的量之间存在的位置关系和数量关系,其基本工具是全等三角形和相似三角形、锐角三角函数等．注意问题归纳：解决几何变式问题时,要注意特殊情况下的已知条件和结论之间的逻辑关系,从特殊到一般、类比归纳是解决此类问题的重要方法．【例1】（2019湖南省岳阳市,第23题,10分）操作体验：如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、BC上,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点D恰好与点B重合,点C落在点C'处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合）,过点P分别作直线BE、BF的垂线,垂足分别为点M和N,以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1,求证：B E=BF；（2）特例感知：如图2,若DE=5,CF=2,当点P在线段EF上运动时,求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DE=a,CF=b．①如图3,当点P在线段EF的延长线上运动时,试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系,并证明；②如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时,请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）【例2】（2019内蒙古鄂尔多斯市,第23题,11分）（1）【探究发现】如图1,∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处,∠EOF=90°,将∠EOF绕点O旋转,旋转过程中,∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C,D不重合）．则CE,CF,BC 之间满足的数量关系是．（2）【类比应用】如图2,若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD=120°的菱形ABCD”,其他条件不变,当∠EOF=60°时,上述结论是否仍然成立？若成立,请给出证明；若不成立,请猜想结论并说明理由．（3）【拓展延伸】如图3,∠BOD=120°,OD34=,OB=4,OA平分∠BOD,AB13=,且OB＞2OA,点C是OB上一点,∠CAD=60°,求OC的长．【2019年题组】一、选择题二、填空题三、解答题1．（2019吉林省,第24题,8分）性质探究如图①,在等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,则底边AB与腰AC的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+43,则它的面积为；（2）如图②,在四边形EFGH中,EF=EG=EH．①求证：∠EFG+∠EHG=∠FGH；②在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN．若∠FGH=120°,EF=10,直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）．2．（2019四川省乐山市,第25题,12分）在△ABC中,已知D是BC边的中点,G是△ABC的重心,过G点的直线分别交AB、AC于点E、F．（1）如图1,当EF∥BC时,求证：BE CFAE AF+=1；（2）如图2,当EF和BC不平行,且点E、F分别在线段AB、AC上时,（1）中的结论是否成立？如果成立,请给出证明；如果不成立,请说明理由．（3）如图3,当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时,（1）中的结论是否成立？如果成立,请给出证明；如果不成立,请说明理由．3．（2019四川省达州市,第24题,11分）箭头四角形模型规律如图1,延长CO交AB于点D,则∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头,其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律,所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．②如图3,∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F,已知∠BEC=120°,∠BAC=50°,则∠BFC= ．③如图4,BO i、CO i分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i=1,2,3,…,2017,2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC=m°,∠BAC=n°,则∠BO1000C= 度．（2）拓展应用：如图5,在四边形ABCD中,BC=CD,∠BCD=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD．求证：四边形OBCD是菱形．4．（2019山东省威海市,第25题,12分）（1）方法选择如图①,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD,AB=BC=AC．求证：B D=AD+CD．小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM=AD,连接AM…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N,使得DN=AD…请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究1】如图②,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD,BC是⊙O的直径,AB=AC．试用等式表示线段AD,BD,CD之间的数量关系,并证明你的结论．【探究2】如图③,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD．若BC是⊙O的直径,∠ABC=30°,则线段AD,BD,CD 之间的等量关系式是．（3）拓展猜想如图④,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD．若BC是⊙O的直径,BC：A C：A B=a：b：c,则线段AD,BD,CD之间的等量关系式是．5．（2019德州,第24题,12分）（1）如图1,菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上,且∠BAD=60°,请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度,如图2,求HD：GC：EB；（3）把图2中的菱形都换成矩形,如图3,且AD：A B=AH：A E=1：2,此时HD：GC：EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化,直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化,请说明理由．6．（2019山东省淄博市,第23题,9分）如图1,正方形ABDE和BCFG的边AB,BC在同一条直线上,且AB=2BC,取EF的中点M,连接MD,MG,MB．（1）试证明DM⊥MG,并求MBMG的值．（2）如图2,将图1中的正方形变为菱形,设∠EAB=2α（0＜α＜90°）,其它条件不变,问（1）中MBMG的值有变化吗？若有变化,求出该值（用含α的式子表示）；若无变化,说明理由．7．（2019青岛,第23题,10分）问题提出：如图,图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片,图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a,b的矩形,被分成a×b个边长为1的小正方形,其中a≥2,b≥2,且a,b为正整数）．把图①放置在图②中,使它恰好盖住图②中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律,我们采用一般问题特殊化的策略,先从最简单的情形入手,再逐次递进,最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法？如图③,对于2×2的方格纸,要用图①盖住其中的三个小正方形,显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法？如图④,在3×2的方格纸中,共可以找到2个位置不同的2 2×方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在3×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有2×4=8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法？如图⑤,在a×2的方格纸中,共可以找到个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在a×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a×3的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法？如图⑥,在a×3的方格纸中,共可以找到个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在a×3的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a×b的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法,写出解答过程,不需画图．）问题拓展：如图,图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体,图⑧是一个长、宽、高分别为a,b,c（a≥2,b≥2,c ≥2,且a,b,c是正整数）的长方体,被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到个图⑦这样的几何体．8．（2019河南省,第22题,10分）在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α．点P是平面内不与点A,C重合的任意一点．连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,BD,CP．（1）观察猜想如图1,当α=60°时,BDCP的值是,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2,当α=90°时,请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数,并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α=90°时,若点E,F分别是CA,CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时AD CP的值．9．（2019湖北省襄阳市,第24题,10分）（1）证明推断：如图（1）,在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB 上,DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边CD,AB上,GF⊥AE．①求证：D Q=AE；②推断：GFAE的值为；（2）类比探究：如图（2）,在矩形ABCD中,BCAB=k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系,并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下,连接CP,当k23=时,若tan∠CGP34=,GF=210,求CP的长．10．（2019甘肃省白银市,第27题,10分）阅读下面的例题及点拨,并解决问题：例题：如图①,在等边△ABC中,M是BC边上一点（不含端点B,C）,N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点,且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图②,作∠CBE=60°,BE与NC的延长线相交于点E,得等边△BEC,连接EM．易证：△ABM≌△EBM （SAS）,可得AM=EM,∠1=∠2；又AM=MN,则EM=MN,可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°,进一步可得∠1=∠2=∠5,又因为∠2+∠6=120°,所以∠5+∠6=120°,即：∠AMN=60°．问题：如图③,在正方形A1B1C1D1中,M1是B1C1边上一点（不含端点B1,C1）,N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点,且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．11．（2019贵州省安顺市,第24题,12分）（1）如图①,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E是BC的中点,若AE 是∠BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F,易证△AEB≌△FEC得到AB=FC,从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断．A B,AD,DC之间的等量关系；（2）问题探究：如图②,在四边形ABCD中,AB∥CD,AF与DC的延长线交于点F,点E是BC的中点,若AE 是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论．12．（2019辽宁省抚顺市,第25题,12分）如图,点E,F分别在正方形ABCD的边CD,BC上,且DE=CF,点P在射线BC上（点P不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG,过点E作GD的垂线QH,垂足为点H,交射线BC于点Q．（1）如图1,若点E是CD的中点,点P在线段BF上,线段BP,QC,EC的数量关系为．（2）如图2,若点E不是CD的中点,点P在线段BF上,判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立,请写出证明过程；若不成立,请说明理由．（3）正方形ABCD的边长为6,AB=3DE,QC=1,请直接写出线段BP的长．13．（2019黑龙江省鸡西市,第26题,8分）如图,在△ABC中,AB=BC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F,BH⊥AB于点B,点M是BC的中点,连接FM并延长交BH于点H．（1）如图①所示,若∠ABC=30°,求证：D F+BH3；（2）如图②所示,若∠ABC=45°,如图③所示,若∠ABC=60°（点M与点D重合）,猜想线段DF、BH与BD 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想,不需证明．【2018年题组】一、选择题二、填空题三、解答题1．（2018江苏省盐城市,第26题,12分）【发现】如图①,已知等边△ABC,将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合）,使两边分别交线段AB、AC于点E、F．（1）若AB=6,AE=4,BD=2,则CF=；（2）求证：△EBD∽△DCF．【思考】（3）若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动,保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在,连接EF,如图②所示,问：点D是否存在某一位置,使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在,求出BDBC的值；若不存在,请说明理由．【探索】（4）如图③,在等腰△ABC中,AB=AC,点O为BC边的中点,将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON=∠B）,使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合）,连接EF．设∠B=α,则△AEF与△ABC的周长之比为（用含α的表达式表示）．2．（2018江苏省苏州市,第27题,10分）问题1：如图①．在△ABC中,AB=4,D是AB上一点（不与A,B重合）,DE ∥BC,交AC于点E,连接CD．设△ABC的面积为S,△DEC的面积为S'．（1）当AD=3时,'SS=；（2）设AD=m,请你用含字母m的代数式表示'SS．问题2：如图②,在四边形ABCD中,AB=4,AD∥BC,AD=12BC,E是AB上一点（不与A,B重合）,EF∥BC,交CD于点F,连接CE．设AE=n,四边形ABCD的面积为S,△EFC的面积为S'．请你利用问题1的解法或结论,用含字母n的代数式表示'SS．3．（2018江西省,第22题,9分）在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是,CE与AD的位置关系是；（2）当点E在菱形ABCD外部时,（1）中的结论是否还成立？若成立,请予以证明；若不成立,请说明理由（选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理）；（3）如图4,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE,若AB3BE19,求四边形ADPE的面积．4．（2018河南省,第22题,10分）（1）问题发现如图1．在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M．填空：①ACBD的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2．在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M．请判断ACBD的值及∠AMB的度数,并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长．5．（2018湖北省天门市,第24题,10分）问题：（1）如图①．在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点（不与点B,C重合）,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为；探索：（2）如图②．在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论；应用：（3）如图③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9,CD=3,求AD的长．6．（2018湖北省黄石市,第24题,9分）在△ABC中,E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）．（1）如图1,若EF∥BC,求证：AEFABCS AE AFS AB AC⋅=⋅VV（2）如图2,若EF不与BC平行,（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3,若EF上一点G恰为△ABC的重心,34AEAB,求AEFABCSSVV的值．7．（2018湖南省常德市,第26题,10分）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点,点M在线段BD上,作直线AM交直线DC于E,过D作DH⊥AE于H,设直线DH交AC于N．（1）如图1,当M在线段BO上时,求证：MO=NO；（2）如图2,当M在线段OD上,连接NE,当EN∥BD时,求证：B M=AB；（3）在图3,当M在线段OD上,连接NE,当NE⊥EC时,求证：A N2=NC•AC．8．（2018辽宁省盘锦市,第25题,14分）如图1,点E是正方形ABCD边CD上任意一点,以DE为边作正方形DEFG,连接BF,点M是线段BF中点,射线EM与BC交于点H,连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°,此时点F恰好落在线段CD上,如图2,其他条件不变,（1）中的结论是否成立,请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°,此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上,如图3,其他条件不变,（1）中的结论是否成立,请说明理由．9．（2018辽宁省营口市,第25题,14分）已知：在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AC边上一点,连接BD,点E 是线段BD延长线上一点,连接AE,CE,使∠CAE=∠CBE,过点C作CF⊥CE,交BD于点F．（1）①如图1,当∠ABC=45°时,线段AE与BF之间的数量关系是．②如图2,当∠ABC=60°时,线段AE与BF之间的数量关系是．（2）如图3,当∠ABC=30°时,线段AE与BF之间具有怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图4,当∠ABC=α（0°＜α＜90°）时,直接写出线段AE与BF之间的数量关系．（用含α的式子表示）10．（2018辽宁省葫芦岛市,第25题,12分）在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点（点P不与点A,O,C重合）．过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF．（1）如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长．11．（2018青海省,第27题,11分）请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题：（1）探究1：如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD．求证：△BCD的面积为12a2．（提示：过点D作BC边上的高DE,可证△ABC≌△BDE）（2）探究2：如图2,在一般的Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD．请用含a的式子表示△BCD的面积,并说明理由．（3）探究3：如图3,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD．试探究用含a的式子表示△BCD的面积,要有探究过程．12．（2018黑龙江,第26题,8分）如图,在Rt△BCD中,∠CBD=90°,BC=BD,点A在CB的延长线上,且BA=BC,点E在直线BD上移动,过点E作射线EF⊥EA,交CD所在直线于点F．（1）当点E在线段BD上移动时,如图（1）所示,求证：A E=EF；（2）当点E在直线BD上移动时,如图（2）、图（3）所示,线段AE与EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想,不需证明．13．（2018鄂尔多斯,第24题,12分）（1）【操作发现】如图1,将△ABC绕点A顺时针旋转60°,得到△ADE,连接BD,则∠ABD=度．（2）【类比探究】如图2,在等边三角形ABC内任取一点P,连接P A,PB,PC,求证：以P A,PB,PC的长为三边必能组成三角形．（3）【解决问题】如图3,在边长为7的等边三角形ABC内有一点P,∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面积．（4）【拓展应用】如图4是A,B,C三个村子位置的平面图,经测量AC=4,BC=5,∠ACB=30°,P为△ABC内的一个动点,连接P A,PB,PC．求P A+PB+PC的最小值．14．（2018吉林省长春市,第22题,9分）在正方形ABCD中,E是边CD上一点（点E不与点C、D重合）,连结BE．【感知】如图①,过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）【探究】如图②,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G．（1）求证：B E=FG．（2）连结CM,若CM=1,则FG的长为．【应用】如图③,取BE的中点M,连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G,连结EG、MG．若CM=3,则四边形GMCE的面积为．15．（2018四川省乐山市,第25题,12分）已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别在BC、AC边上,连结BE、AD交于点P,设AC=kBD,CD=kAE,k为常数,试探究∠APE的度数：（1）如图1,若k=1,则∠APE的度数为；=,试问（1）中的结论是否成立？若成立,请说明理由；若不成立,求出∠APE的度数．（2）如图2,若k3=,且D、E分别在CB、CA的延长线上,（2）中的结论是否成立,请说明理由．（3）如图3,若k316．（2018四川省自贡市,第25题,12分）如图,已知∠AOB=60°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个120°角的顶点与点C重合,它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1）,请猜想OE+OD与OC的数量关系,并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时,到达图2的位置,（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时,上述结论是否成立？请在图3中画出图形,若成立,请给于证明；若不成立,线段OD 、OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,不需证明．17．（2018四川省达州市,第24题,11分）阅读下列材料：已知：如图1,等边△A 1A 2A 3内接于⊙O ,点P 是·12A A 上的任意一点,连接P A 1,P A 2,P A 3,可证：P A 1+P A 2=P A 3,从而得到：1212312PA PA PA PA PA +=++是定值．（1）以下是小红的一种证明方法,请在方框内将证明过程补充完整；证明：如图1,作∠P A 1M =60°,A 1M 交A 2P 的延长线于点M ．∵△A 1A 2A 3是等边三角形,∴∠A 3A 1A 2=60°,∴∠A 3A 1P =∠A 2A 1M又A 3A 1=A 2A 1,∠A 1A 3P =∠A 1A 2P ,∴△A 1A 3P ≌△A 1A 2M∴P A 3=MA 2=P A 2+PM =P A 2+P A 1,∴1212312PA PA PA PA PA +=++,是定值．（2）延伸：如图2,把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”,其余条件不变,请问：121234PA PAPA PA PA PA++++还是定值吗？为什么？（3）拓展：如图3,把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”,其余条件不变,则1212345PA PAPA PA PA PA PA+=++++（只写出结果）．18．（2018山东省济南市,第26题,12分）在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB,点D为射线BC上任意一点,在射线CM上截取CE=BD,连接AD、DE、AE．（1）如图1,当点D落在线段BC的延长线上时,直接写出∠ADE的度数；（2）如图2,当点D落在线段BC（不含边界）上时,AC与DE交于点F,请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立,请给出证明；如果不成立,请说明理由；（3）在（2）的条件下,若AB=6,求CF的最大值．19．（2018山东省青岛市,第23题,10分）问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒,按照如图1方式搭建一个长方体框架,探究所用木棒条数的规律．问题探究：我们先从简单的问题开始探究,从中找出解决问题的方法．探究一用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n的矩形框架（m、n是正整数）,需要木棒的条数．如图①,当m=1,n=1时,横放木棒为1×（1+1）条,纵放木棒为（1+1）×1条,共需4条；如图②,当m=2,n=1时,横放木棒为2×（1+1）条,纵放木棒为（2+1）×1条,共需7条；如图③,当m=2,n=2时,横放木棒为2×（2+1）条,纵放木棒为（2+1）×2条,共需12条；如图④,当m=3,n=1时,横放木棒为3×（1+1）条,纵放木棒为（3+1）×1条,共需10条；如图⑤,当m=3,n=2时,横放木棒为3×（2+1）条,纵放木棒为（3+1）×2条,共需17条．问题（一）：当m=4,n=2时,共需木棒条．问题（二）：当矩形框架横长是m,纵长是n时,横放的木棒为条,纵放的木棒为条．探究二用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n,高是s的长方体框架（m、n、s是正整数）,需要木棒的条数．如图⑥,当m=3,n=2,s=1时,横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）=34条,竖放木棒为（3+1）×（2+1）×1=12条,共需46条；如图⑦,当m=3,n=2,s=2时,横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（2+1）=51条,竖放木棒为（3+1）×（2+1）×2=24条,共需75条；如图⑧,当m=3,n=2,s=3时,横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（3+1）=68条,竖放木棒为（3+1）×（2+1）×3=36条,共需104条．问题（三）：当长方体框架的横长是m,纵长是n,高是s时,横放与纵放木棒条数之和为条,竖放木棒条数为条．实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架,总共使用了170条木棒,则这个长方体框架的横长是．拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10,高是5的正三棱柱框架,需要木棒条．一、选择题二、填空题三、解答题1．（2019渝中区校级一模）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,点F为BE中点,连结DF,CF．（1）如图1,点D在AC上,请你判断此时线段DF,CF的关系,并证明你的判断；（2）如图2,在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45时,若AD=DE=2,AB=6,求此时线段CF的长．2．（2019合肥二模）如图,点C为线段AB上一点,分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形,顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧,点D在另一侧）．（1）如图1,若点C是AB的中点,则∠CED= °；（2）如图2．若点C不是AB的中点．①求证：△DEF为等边三角形；,请求出DE的长．②连接CD,若∠ADC=90°,AD33．（2019南关区一模）在△ABC中,CA=CB,0°＜∠C≤90°．过点A作射线AP∥BC,点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合）,且BM=AN,连结BN并延长交AP于点D,连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E,连结ED．[猜想]如图①,当∠C=45°时,可证△BCN≌△ACM,从而得出∠CBN=∠CAM,进而得出∠BDE的大小为度．[探究]如图②,若∠C=α．（1）求证：△BCN≌△ACM．（2）∠BDE的大小为度（用含a的代数式表示）．[应用]如图③,当∠C=90°时,连结BE．若BC=3,∠BAM=15°,则△BDE的面积为．4．（2019武昌区模拟）如图,在△CDE中,A为DE边上的点,B为射线EC上的点,∠EAB+∠DCE=180°,AD=2AE,CD=nAB．（1）当点B在边EC上时,①若∠C=90°,求证：△EAB∽△ECD；②若tan∠C92,n=2,求EBCB的值；（2）当点B在EC的延长线上时,若∠E=60°,n=1,直接写出CDDE的值．5．（2019商丘二模）如图,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,点P为射线BD,CE的交点．（1）问题提出：如图1,若AD=AE,AB=AC．①∠ABD与∠ACE的数量关系为；②∠BPC的度数为．（2）猜想论证：如图2,若∠ADE=∠ABC=30°,则（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）拓展延伸：在（1）的条件中,若AB=2,AD=1,若把△ADE绕点A旋转,当∠EAC=90°时,直接写出PB 的长．6．（2019邓州市二模）阅读材料如图①,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且点D在AB边上,AB、EF的中点均为O,连接BF、CD、CO,显然,点C、F、O在同一条直线上,可以证明△BOF≌△COD,所以BF=CD．解决问题：（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转到图②的位置,猜想此时线段BF与CD的数量关系,并证明你的结论；（2）如图③,若△ABC与△DEF都是等边三角形,AB、EF的中点均为O,上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立,请说明理由；如果不成立,请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④,若△ABC与△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中点均为O,且顶角∠ACB=∠EDF=α,BF与CD之间的数量关系如何（用含α的式子表示出来）？请直接写出结果．7．（2019海淀区校级三模）如图1．在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为∠ACB平分线CD上一动点（不与点C重合）,点E关于直线BC的对称点为F,连接AE并延长交CB延长线于点H,连接FB并延长交直线AH于点G．（1）求证：A E=BF．（2）用等式表示线段FG,EG与CE的数量关系,并证明．（3）连接GC,用等式表示线段GE,GC与GF的数量关系是．8．（2019成都一模,第22题,10分）如图1．在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC、BE,点P为DC的中点．（1）观察猜想：图1中,线段AP与BE的数量关系是,位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,小航猜想（1）中的结论仍然成立,请你证明小航的猜想；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出线段AP的取值范围．。
2020-2021中考数学——直角三角形的边角关系的综合压轴题专题复习及答案解析
2020-2021中考数学——直角三角形的边角关系的综合压轴题专题复习及答案解析一、直角三角形的边角关系1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】6.4米【解析】解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°．∴DC=BC•cos30°=36392==米，∵CF=1米，∴DC=9+1=10米，∴GE=10米，∵∠AEG=45°，∴AG=EG=10米，在直角三角形BGF中，BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米，∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，答：树高约为6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高2．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=12∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想：BFPE=，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE的值．（用含α的式子表示）【答案】（1）证明见解析（2）12BFPE=（3）1tan2BFPEα=【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．（2）BF1PE2=．证明如下：如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．∴NB=NP．∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE．∵∠BPE=12∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900．又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF="MF" ，即BF=12 BM．∴BF=12PE，即BF1PE2=．（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．由（2）同理可得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ．∴BM BNPE PN=． 在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴BM =tan PE α，即2BF=tan PEα． ∴BF 1=tan PE 2α． （1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出BF 1PE 2=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BNtan =PNα即可求得BF 1=tan PE 2α．3．如图，在⊙O 的内接三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E.设P 是上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G. (1)求证：△PAC ∽△PDF ； (2)若AB ＝5，，求PD 的长；(3)在点P 运动过程中，设＝x ，tan ∠AFD ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式．(不要求写出x 的取值范围)【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.∵AB⊥CD，∴.如图，连接BP，∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由（1）△PAC∽△PDF得，即.∴PD的长为.（3）如图，连接BP，BD，AD，∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.∵，∴.∵△AGP∽△DGB，∴.∵△AGD∽△PGB，∴.∴，即.∵，∴.∴与之间的函数关系式为.考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.4．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．(1)求证：PA是☉O的切线；(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.【解析】试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.易证，所以,解得，则，在中，.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D 时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？【答案】（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.【解析】试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm∴t=s=3s．（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1∴BM=cm.∴t=s.当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，∵AD=AH+DH=x+x=x=4，∴x=3．当≤t≤4时，S MNGN=1cm2．当4＜t≤6时，S MNGH=（t﹣3）2cm2∴S关于t的函数关系式为：.（3）分两种情况：①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；②当DC=PC时，DC=PC=12cm∴NC=6cm∴EN=16cm﹣1cm﹣6cm=（15﹣6）cm∴t=（15﹣6）s故当t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．综上所述，当t=9s或t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.6．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，动点D从点A出发，在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动，连结CD，作点A关于直线CD的对称点E，设点D运动时间为t（s）．（1）若△BDE是以BE为底的等腰三角形，求t的值；（2）若△BDE为直角三角形，求t的值；（3）当S△BCE≤92时，所有满足条件的t的取值范围（所有数据请保留准确值，参考数据：tan15°=2【答案】（1；（2秒或3秒；（3）6﹣【解析】【分析】（1）如图1，先由勾股定理求得AB的长，根据点A、E关于直线CD的对称，得CD垂直平分AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以AD=DE=BD，由，可得t 的值；（2）分两种情况：①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，根据t的值；②当∠EDB=90°时，如图3，根据△AGC≌△EGD，得AC=DE，由AC∥ED，得四边形CAED 是平行四边形，所以AD=CE=3，即t=3；（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，①当△BCE在BC的下方时，②当△BCE在BC的上方时，分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论．【详解】解：（1）如图1，连接AE，由题意得：AD=t，∵∠CAB=90°，∠CBA=30°，∴BC=2AC=6，∴∵点A、E关于直线CD的对称，∴CD垂直平分AE，∴AD=DE，∵△BDE是以BE为底的等腰三角形，∴DE=BD，∴AD=BD，∴；（2）△BDE为直角三角形时，分两种情况：①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，∵CD垂直平分AE，∴AD=DE=t，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2t，∴AB=3t=33，∴t=3；②当∠EDB=90°时，如图3，连接CE，∵CD垂直平分AE，∴CE=CA=3，∵∠CAD=∠EDB=90°，∴AC∥ED，∴∠CAG=∠GED，∵AG=EG，∠CGA=∠EGD，∴△AGC≌△EGD，∴AC=DE，∵AC∥ED，∴四边形CAED是平行四边形，∴AD=CE=3，即t=3；综上所述，△BDE为直角三角形时，t的值为3秒或3秒；（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，①当△BCE在BC的下方时，过B作BH⊥CE，交CE的延长线于H，如图4，当AC=BH=3时，此时S△BCE=12AE•BH=12×3×3=92，易得△ACG≌△HBG，∴CG=BG，∴∠ABC=∠BCG=30°，∴∠ACE=60°﹣30°=30°，∵AC=CE，AD=DE，DC=DC，∴△ACD≌△ECD，∴∠ACD=∠DCE=15°，tan∠ACD=tan15°=t3=23，∴t=6﹣3由图形可知：0＜t＜6﹣3时，△BCE的BH越来越小，则面积越来越小，②当△BCE在BC的上方时，如图3，CE=ED=3，且CE⊥ED，此时S△BCE=12CE•DE=12×3×3=92，此时t=3，综上所述，当S△BCE≤92时，t的取值范围是6﹣33≤t≤3．【点睛】本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．7．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：y＝13x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．（1）求边EF的长；（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．①当点F1移动到点B时，求t的值；②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积．【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；【解析】【分析】（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-43x+40，可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，t=1010÷10=10；②F点移动到F'的距离是10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，43MHEM'=，t=4，S=12×(12+454)×11=10238；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，PKF K'=13，PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PKKG'＝31539tt--+＝43，t=7，S=15×（15-7）=120.【详解】（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），∴30040k bb+=⎧⎨=⎩，∴4340kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y＝﹣43x+40，直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30，15），∴EF＝15；（2）①易求B（0，5），∴BF＝1010，∴当点F1移动到点B时，t＝101010÷＝10；②当点H运动到直线DE上时，F 点移动到F'的距离是10t ， 在Rt △F'NF 中，NF NF '=13， ∴FN ＝t ，F'N ＝3t ，∵MH'＝FN ＝t ，EM ＝NG'＝15﹣F'N ＝15﹣3t ，在Rt △DMH'中，43MH EM '=， ∴41533t t =-， ∴t ＝4， ∴EM ＝3，MH'＝4，∴S ＝1451023(12)11248⨯+⨯=； 当点G 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'10，∵PF ＝10∴PF'10t ﹣10，在Rt △F'PK 中，13PK F K ='， ∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9，在Rt △PKG'中，PK KG '＝31539t t --+＝43， ∴t ＝7，∴S ＝15×（15﹣7）＝120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．8．如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；（2）连接FC ，观察并直接写出∠FCN 的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB ＝6，BC ＝8，E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请求出tan ∠FCN 的值．若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．【答案】（1）见解析；（2）∠FCN ＝45°，理由见解析；（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43．理由见解析. 【解析】【分析】（1）根据三角形判定方法进行证明即可．（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°，∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ，∴∠BAE ＝∠DAG ，在△ADG 和△ABE 中， ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△ABE （AAS ）．（2）解：∠FCN ＝45°，理由如下：作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：则∠EHF ＝90°＝∠ABE ，∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°，∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EFH ≌△ABE （AAS ），∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ，∴CH ＝BE ＝FH ，∵∠FHC ＝90°，∴∠FCN ＝45°．（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下：作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90°，结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，∴EH ＝AD ＝BC ＝8，∴CH ＝BE ， ∴EH FH FH AB BE CH==； 在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝8463FH EH CH AB ===， ∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．9．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，AC⊥BC于点C，将△ABC沿AC翻折得到△AEC，连接DE．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若AC＝4，BC＝3，求sin∠ABD的值．【答案】（1）证明见解析（2）613【解析】【分析】（1）根据▱ABCD中，AC⊥BC，而△ABC≌△AEC，不难证明；（2）依据已知条件，在△ABD或△AOC作垂线AF或OF，求出相应边的长度，即可求出∠ABD的正弦值．【详解】（1）证明：∵将△ABC沿AC翻折得到△AEC，∴BC＝CE，AC⊥CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD＝CE，AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∵AC⊥CE，∴四边形ACED是矩形．（2）解：方法一、如图1所示，过点A作AF⊥BD于点F，∵BE＝2BC＝2×3＝6，DE＝AC＝4，∴在Rt△BDE中，2222BD BE DE64213=+=+=∵S△BDE＝12×DE•AD＝12AF•BD，∴AF613213=，∵Rt△ABC中，AB2234+5，∴Rt△ABF中，sin ∠ABF ＝sin ∠ABD ＝61361313655AF AB ==．方法二、如图2所示，过点O 作OF ⊥AB 于点F ，同理可得，OB ＝1132BD =， ∵S △AOB ＝11OF AB OA BC 22⋅=⋅， ∴OF ＝23655⨯=， ∵在Rt △BOF 中，sin ∠FBO ＝0613513F OB ==， ∴sin ∠ABD ＝613．【点睛】本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度，关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出sin ∠ABD ．10．如图①,在菱形ABCD 中,60B ︒∠= ，4AB =.点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿边AD 向终点D 运动，过点P 作PQ AC ⊥交边AB 于点Q ，过点P 向上作//PN AC ，且32PN PQ =，以PN 、PQ 为边作矩形PQMN .设点P 的运动时间为t （秒），矩形PQMN 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S .（1）用含t 的代数式表示线段PQ 的长.（2）当点M 落在边BC 上时，求t 的值.（3）当0t 1<<时，求S 与t 之间的函数关系式，（4）如图②,若点O 是AC 的中点，作直线OM .当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为12：时，直接写出t 的值【答案】（1）23PQ t =；（2）45；（3）2193403163t t -+-；（4） 23t = 或87t = ． 【解析】【分析】（1）由菱形性质得∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD 是等边三角形，证出△APQ 是等腰三角形，得出PF=QF ，3，即可得出结果；（2）当点M 落在边BC 上时，由题意得：△PDN 是等边三角形，得出PD=PN ，由已知得3，得出PD=3t ，由题意得出方程，解方程即可； （3）当0＜t≤45时，3t ，PN=32PQ=3t ，S=矩形PQMN 的面积=PQ×PN ，即可得出结果；当45＜t ＜1时，△PDN 是等边三角形，得出PE=PD=AD-PA=4-2t ，∠FEN=∠PED=60°，得出NE=PN-PE=5t-4，33（5t-4），S=矩形PQMN 的面积-2△EFN 的面积，即可得出结果；（4）分两种情况：当0＜t≤45时，△ACD 是等边三角形，AC=AD=4，得出OA=2，OG 是△MNH 的中位线，得出OG=4t-2，NH=2OG=8t-4，由面积关系得出方程，解方程即可； 当45＜t≤2时，由平行线得出△OEF ∽△MEQ ，得出EF OF EQ MQ =233t t EF t -=+，解得EF=243232t t t -，得出2332234t t t t -+，由三角形面积关系得出方程，解方程即可．【详解】（1）∵在菱形ABCD 中，∠B=60°，∴∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD是等边三角形，∴∠CAD=60°，∵PQ⊥AC，∴△APQ是等腰三角形，∴PF=QF，PF=PA•sin60°=2t×32=3t，∴PQ=23t；（2）当点M落在边BC上时，如图2所示：由题意得：△PDN是等边三角形，∴PD=PN，∵PN=3PQ=3×23t=3t，∴PD=3t，∵PA+PD=AD，即2t+3t=4，解得：t=45．（3）当0＜t≤45时，如图1所示：3，PN=32PQ=323t=3t，S=矩形PQMN的面积33t2；当45＜t＜1时，如图3所示：∵△PDN是等边三角形，∴PE=PD=AD-PA=4-2t，∠FEN=∠PED=60°，∴NE=PN-PE=3t-（4-2t）=5t-4，∴FN=3NE=3（5t-4），∴S=矩形PQMN的面积-2△EFN的面积=63t2-2×12×3（5t-4）2=-19t2+403t-163，即S=-19t2+403t-163；（4）分两种情况：当0＜t≤45时，如图4所示：∵△ACD是等边三角形，∴AC=AD=4，∵O是AC的中点，∴OA=2，OG是△MNH的中位线，∴OG=3t-（2-t）=4t-2，NH=2OG=8t-4，∴△MNH的面积=12MN×NH=12×23t×（8t-4）=13×63t2，解得：t=23；当45＜t≤2时，如图5所示：∵AC∥QM，∴△OEF ∽△MEQ ， ∴EF OF EQ MQ =，即233t t EF t-=+， 解得：EF=243232t t t --， ∴EQ=2332234t t t t --+， ∴△MEQ 的面积=12×3t×（23323t t t -+）=13×63t 2， 解得：t=87； 综上所述，当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为1：2时，t 的值为23或87． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握菱形和矩形的性质，综合运用知识，进行分类讨论是解题的关键．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣14x 2+bx +c 与直线y ＝12x ﹣3分别交x 轴、y 轴上的B 、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点D ，连接CD 交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）求∠DCB 的正切值；（3）如果点F 在y 轴上，且∠FBC ＝∠DBA +∠DCB ，求点F 的坐标．【答案】（1）21y 234x x =-+-，D （4，1）；（2）13；（3）点F 坐标为（0，1）或（0，﹣18）．【解析】【分析】（1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3，求出点B 、C 的坐标，将点B 、C坐标代入抛物线y＝﹣14x2+bx+c，即可求解；（2）求出则点E（3，0），EH＝EB•sin∠OBC＝5，CE＝32，则CH＝5，即可求解；（3）分点F在y轴负半轴和在y轴正半轴两种情况，分别求解即可．【详解】（1）y＝12x﹣3，令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝﹣3，则点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c＝﹣3，将点B坐标代入抛物线y＝﹣14x2+bx﹣3得：0＝﹣14×36+6b﹣3，解得：b＝2，故抛物线的表达式为：y＝﹣14x2+2x﹣3，令y＝0，则x＝6或2，即点A（2，0），则点D（4，1）；（2）过点E作EH⊥BC交于点H，C、D的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1），直线CD的表达式为：y＝x﹣3，则点E（3，0），tan∠OBC＝3162OCOB==，则sin∠OBC5，则EH＝EB•sin∠OBC5CE＝2CH5则tan∠DCB＝13 EHCH=；（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），则BC＝5∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，tan∠DBE＝164-＝12，故：∠DBE＝∠OBC，则∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，①当点F在y轴负半轴时，过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G，则∠GFC＝∠OBC＝α，设：GF＝2m，则CG＝GFtanα＝m，∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，即：35+m＝2m，解得：m＝35，CF＝22GF CG＝5m＝15，故点F（0，﹣18）；②当点F在y轴正半轴时，同理可得：点F（0，1）；故：点F坐标为（0，1）或（0，﹣18）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3），确定∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，是本题的突破口．12．近几年，我国国家海洋局高度重视海上巡逻．如图，上午9时，巡逻船位于A处，观测到某港口城市P位于巡逻船的北偏西67.5°，巡逻船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时巡逻船到达B处，这时观测到城市P位于巡逻船的南偏西36.9°方向，求此时巡逻船所在B处与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125）【答案】100海里【解析】【分析】过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设PC=x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答．【详解】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里．在Rt△APC中，∵tan∠A=，∴AC=，在Rt△PCB中，∵tan∠B=，∴BC=，∵AC+BC=AB=21×5，∴，解得x=60，∵，∴（海里）．∴巡逻船所在B处与城市P的距离为100海里．【点睛】本题考查了方向角问题，注意结合实际问题，利用解直角三角形的相关知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用.。
2020年中考数学复习(通用)专题：几何压轴题型含答案
几何压轴题型类型一动点探究型在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．(1)如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________，CE与AD的位置关系是________；(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图②，图③中的一种情况予以证明或说理)；(3)如图④，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝23，BE＝219，求四边形ADPE的面积．【分析】 (1)要求BP与CE的数量关系，连接AC，由菱形和等边三角形的性质根据SAS可证明△ABP≌△ACE，从而证得BP＝CE，且∠ACE＝30°，延长CE交AD于点F，可得∠AFC＝90°，所以CE⊥AD；(2)无论选择图②还是图③，结论不变，思路和方法与(1)一致；(3)要求四边形ADPE的面积，观察发现不是特殊四边形，想到割补法，分成钝角△ADP和正△APE，分别求三角形的面积，相加即可．【自主解答】解：(1)BP＝CE；CE⊥AD；(2)选图②，仍然成立，证明如下：如解图①，连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H.在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BA＝BC，例1题解图①∴△ABC为等边三角形，∴BA＝CA.∵△APE为等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAP＝∠CAE.在△BAP和△CAE中，例1题解图②∴△BAP≌△CAE(SAS)，∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°.∵AC和BD为菱形的对角线，∴∠CA D＝60°，∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD.选图③，仍然成立，证明如下：如解图②，连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H，同理得△BAP≌△CAE(SAS)，BP＝CE，CE⊥AD.(3)如解图③，连接AC交BD于点O，连接CE交AD于点H，由(2)可知，CE⊥AD，CE＝BP.在菱形ABCD中，AD∥BC，∴EC⊥BC.∵BC＝AB＝23，BE＝219，∴在Rt△BCE中，CE＝（219）2－（23）2＝8，例1题解图③∴BP＝CE ＝8.∵AC 与BD 是菱形的对角线， ∴∠ABD＝12∠ABC＝30°，AC⊥BD，∴BD＝2BO ＝2AB·cos 30°＝6， AO ＝12AB ＝3，∴DP＝BP －BD ＝8－6＝2， ∴OP＝OD ＋DP ＝5.在Rt△AOP 中，AP ＝AO 2＋OP 2＝27， ∴S 四边形ADPE ＝S △ADP ＋S △APE ＝12DP·AO＋34·AP 2 ＝12×2×3＋34×(27)2 ＝8 3.【难点突破】 本题的难点：一是如何找到全等的三角形，根据含60°内角菱形的特点，连接AC 是解决问题的关键；二是点P 是动点，当它运动到菱形的外部时，在其运动过程中由“手拉手”模型找全等三角形；三是求不规则四边形的面积，要想到运用割补法，将四边形分解成两个三角形求解．点拔几何压轴题中的“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质．1．已知，△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M在边AC上，点N在边BC上(点M、点N不与所在线段端点重合)，BN＝AM，连接AN，BM.射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE＝DE.(1)如图，当∠ACB＝90°时：①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数；(2)当∠ACB＝α，其他条件不变时，∠BDE的度数是____________________；(用含α的代数式表示)(3)若△ABC是等边三角形，AB＝33，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12.点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G.(1)如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．①若点G为DE中点，求FG的长；第2题图②若DG＝GF，求BC的长；(2)已知BC＝9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．类型二新定义型我们定义：如图①，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知(1)在图②，图③中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图②，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD ＝________BC ； ②如图③，当∠BAC＝90°，BC ＝8时，则AD 长为________． 猜想论证(2)在图①中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用(3)如图④，在四边形ABCD 中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC ＝12，CD ＝23，DA ＝6.在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．【分析】 (1)①证明△ADB′是含有30°角的直角三角形，则可得AD ＝12AB′＝12BC ；②先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可；(2)结论：AD ＝12BC.如解图①中，延长AD 到点M ，使得AD ＝DM ，连接B′M ，C′M，先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M ，即可解决问题； (3)存在．如解图②中，延长AD 交BC 的延长线于点M ，作BE⊥AD 于点E ，作线段BC 的垂直平分线交BE 于点P ，交BC 于点F ，连接PA ，PD ，PC ，作△PCD 的中线PN ，连接DF 交PC 于点O.先证明PA ＝PD ，PB ＝PC ，再证明∠APD＋∠BPC ＝180°即可． 【自主解答】 解：(1)①12；【解法提示】 ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ＝AB ＝AB′＝AC′. ∵DB′＝DC′， ∴AD⊥B′C′.∵α＋β＝180°，∴∠BAC＋∠B′AC′＝180°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠B′AC′＝120°， ∴∠B′＝∠C′＝30°， ∴AD＝12AB′＝12BC.②4；【解法提示】 ∵α＋β＝180°， ∴∠BAC＋∠B′AC′＝180°. ∵∠BAC＝90°，∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°.∵AB＝AB′，AC ＝AC′， ∴△BAC≌△B′AC′(SAS)， ∴BC＝B′C′. ∵B′D＝DC′， ∴AD＝12B′C′＝12BC ＝4.(2)结论：AD ＝12BC.证明：如解图①中，延长AD 到点M ，使得AD ＝DM ，连接B′M，C′M.例2题解图①∵B′D＝DC′，AD ＝DM ，∴四边形AC′MB′是平行四边形， ∴AC′＝B′M＝AC. ∵α＋β＝180°，∴∠BAC＋∠B′AC′＝180°. ∵∠B′AC′＋∠AB′M＝180°， ∴∠BAC＝∠MB′A. ∵AB＝AB′，∴△BAC≌△AB′M(SAS)， ∴BC＝AM ，∴AD＝12BC.(3)存在．证明：如解图②中，延长AD 交BC 的延长线于点M ，作BE⊥AD 于点E ，作线段BC 的垂直平分线交BE 于点P ，交BC 于点F ，连接PA ，PD ，PC ，作△PCD 的中线PN ，连接DF 交PC 于点O.例2题解图②∵∠ADC＝150°， ∴∠MDC＝30°， 在Rt△DCM 中，∵CD＝23，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°， ∴CM＝2，DM ＝4，∠M＝60°. 在Rt△BEM 中，∵∠BEM＝90°，BM ＝14，∠MBE＝30°， ∴EM＝12BM ＝7，∴DE＝EM －DM ＝3. ∵AD＝6，∴AE＝DE. ∵BE⊥AD， ∴PA＝PD. ∵PF 垂直平分BC ，∴PB＝PC.在Rt△CDF中，∵CD＝23，CF＝6，∴tan∠CDF＝3，∴∠CDF＝60°＝∠CPF.易证△FCP≌△CFD，∴CD＝PF.∵CD∥PF，∴四边形CDPF是平行四边形．∵∠DCF＝90°.∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠ADC－∠CDP＝60°，∴△ADP是等边三角形．∵∠BPF＝∠CPF＝60°，∴∠BPC＝120°，∴∠APD＋∠BPC＝180°，∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”．在Rt△PDN中，∵∠PDN＝90°，PD＝AD＝6，DN＝3，∴PN＝DN2＋PD2＝（3）2＋62＝39.【难点突破】第(3)问根据新定义判断点P的存在性是本题难点，但运用“直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半”的性质以及三角形全等添加合适辅助线即可求解．点拔解决这类问题，首先要理解新定义的含义及实质；其次要注意，在证明线段、角度相等或某个特殊图形时，主要应用全等，在计算线段的长或图形的周长、面积时，常注意运用相似、勾股定理及图形面积公式等．1．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图①，若PA ＝PB ，则点P 为△ABC 的准外心．求解：(1)如图②，CD 为等边△ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且PD ＝12AB ，求∠APB 的度数；(2)已知△ABC 为直角三角形，斜边BC ＝5，AB ＝3，准外心P 在AC 边上，求PA 的长．2．如图①，在△ABC中，过顶点A作直线与对边BC相交于点D，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若其中有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“顶似线”．(1)等腰直角三角形的“顶似线”的条数为______；(2)如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：BD是△ABC的“顶似线”；(3)如图③，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝6，求△ABC的“顶似线”的长．3．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为这条边上的“奇特三角形”，这条边称为“奇特边”．(1)如图①，已知△ABC是“奇特三角形”，AC＞BC，且∠C＝90°.①△ABC的“奇特边”是________；②设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求a∶b∶c；(2)如图②，AM是△ABC的中线，若△ABC是BC边上的“奇特三角形”，找出BC2与AB2＋AC2之间的关系；(3)如图③，在四边形ABCD中，∠B＝90°(AB＜BC)，BC＝27，对角线AC把它分成了两个“奇特三角形”，且△ACD是以AC为腰的等腰三角形，求等腰△ACD 的底边长．4．如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝__________；(2)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E(异于点D)，使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．(3)如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．类型三操作探究型【操作发现】如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．(1)请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；(2)在(1)所画图形中，∠AB′B＝__________．【问题解决】如图②，在等边三角形ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC ＝120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．(一种方法即可)【灵活运用】如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD ＝5，AD＝kAB(k为常数)，求BD的长(用含k的式子表示)．【分析】【操作发现】(1)先找到点B，C的对应点B′，C′，再连接构成三角形即可；(2)求∠AB′B的度数可先判断△AB′B是等腰直角三角形，再求角度；【问题解决】根据两种不同的想法，选择其中一个进行证明；【灵活运用】需将△ABD绕点A旋转得到△ACG，再证明∠CDG＝90°即可．【自主解答】解：【操作发现】(1)如解图①所示，△AB′C′即为所求；(2)45°.【解法提示】连接BB′.∵△AB′C′是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到的，∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，∴∠AB′B＝45°.【问题解决】如解图②，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°－90°－120°＝150°，∴PP′＝AP ，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°， ∴PP′＝32PC ，即AP ＝32PC.∵∠APC＝90°，∴AP 2＋PC 2＝AC 2，即(32PC)2＋PC 2＝72，∴PC＝27，∴AP＝21，∴S △APC ＝12AP·PC＝73；【灵活运用】如解图③，连接AC.∵AE⊥BC，BE ＝EC ，∴AB＝AC ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转使得AB 与AC 重合，点D 的对应点为G ，连接DG.则BD ＝CG.例3题解图③∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG.∵AB＝AC ，AD ＝AG ，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG.∴DG＝kBC＝4k.∵∠BAE＋∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG＋∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝DG2＋CD2＝16k2＋25.∴BD＝CG＝16k2＋25.【难点突破】在【灵活运用】一问中，要确定BD与k的数量关系，关键在于旋转△ABD，使得AB与AC重合，从而证明∠CDG＝90°，构造直角三角形是解决本题的难点，也是解决问题的突破口．点拔对于操作探究问题，首先掌握图形变换的性质，如图形的折叠：折痕为对称轴，有折痕就有角平分线，有折痕就有垂直平分等；图形的平移：有平移就有平行；图形的旋转：旋转前后图形全等，对应边相等，对应角相等；对应点与旋转中心的连线所成的角为旋转角，有旋转就有等腰三角形；其次注意运用全等证明线段相等，利用勾股定理或相似求线段的长．1．在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB.(1)若四边形ABCD为正方形．①如图①，请直接写出AE与DF的数量关系______________；②将△EBF绕点B逆时针旋转到图②所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF 的数量关系，并说明理由．(2)若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其他条件都不变．①如图③，猜想AE与DF的数量关系，并说明理由；②将△EBF绕点B逆时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图④中画出草图，并直接写出AE′和DF′的数量关系．2．(1)操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC 的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN.小明发现了：线段GM与GN的数量关系是______________；位置关系是______________．(2)类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．(3)深入研究：如图③，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其他条件不变，试判断△GMN的形状，并给予证明．3．如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点(不与点A重合)，DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE.(1)如图①，当点D与点M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)如图②，当点D不与点M重合时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由．(3)如图③，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM.①求∠CAM的度数；②当FH＝3，DM＝4时，求DH的长．参考答案类型一1．解：(1)①∵CA＝CB，BN＝AM，∴CB－BN＝CA－AM，∴CN＝CM，∵∠ACB＝∠ACB，BC＝CA，∴△BCM≌△ACN.②解：∵△BCM≌△ACN，∴∠MBC＝∠NAC.∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA.∵AG∥BC，∴∠GAC＝∠ACB＝90°，∠ADB＝∠DBC，∴∠ADB＝∠NAC，∴∠ADB＋∠EDA＝∠NAC＋∠EAD，∵∠ADB＋∠EDA＝180°－90°＝90°；∴∠BDE＝90°.(2)α或180°－α；(3)43或3 2.2．解：(1)①在正方形ACDE中，DG＝GE＝6，在Rt△AEG中，AG＝AE2＋EG2＝6 5.∵EG∥AC，∴△ACF∽△GEF，∴FGAF＝EGAC＝12，∴FG＝13AG＝2 5.第2题解图①②如解图①，在正方形ACDE中，AE＝ED，∠AEF＝∠DEF＝45°.∵EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠1＝∠2，设∠1＝∠2＝x.∵AE∥BC，∴∠B＝∠1＝x.∵GF＝GD，∴∠3＝∠2＝x，在△DBF中，∠3＋∠FDB＋∠B＝180°，∴x＋(x＋90°)＋x＝180°，解得x＝30°，∴∠B＝30°，∴在Rt△ABC中，BC＝ACtan 30°＝12 3.(2)在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝122＋92＝15，如解图②，当点D在线段BC上时，此时只有GF＝GD.第2题解图②∵DG∥AC，∴△BDG∽△BCA，∴BDDG＝BCAC＝34，∴设BD＝3x，则DG＝4x，BG＝5x，AE＝CD＝9－3x，∴GF＝GD＝4x，则AF＝15－9x.∵AE∥CB，∴△AEF∽△BCF，∴AEBC＝AFBF，∴9－3x9＝15－9x9x，整理得x2－6x＋5＝0，解得x＝1或5(舍去)，∴腰长GD为4.如解图③，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点在AE上方时，此时只有GF＝DG，设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，第2题解图③∴FG＝DG ＝12＋4x.∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF， ∴AE BC ＝AF BF ， ∴3x 9＝9x ＋129x ＋27， 解得x ＝2或－2(舍去)， ∴腰长DG 为20.如解图④，当点D 在线段BC 的延长线上，且直线AB ，EC 的交点在BD 下方时，此时只有DF ＝DG ，过点D 作DH⊥FG 于点H.第2题解图④设AE ＝3x ，则EG ＝4x ，AG ＝5x ，DG ＝4x ＋12， ∴FH＝GH ＝DG·cos∠DGB＝(4x ＋12)×45＝16x ＋485，∴GF＝2GH ＝32x ＋965，∴AF＝GF －AG ＝7x ＋965.∵AC∥DG，∴△ACF∽△GEF， ∴AC EG ＝AF FG ，∴124x ＝7x ＋96532x ＋965， 解得x ＝12147或－12147(舍去)，∴腰长GD 为84＋48147，如解图⑤，当点D 在线段CB 的延长线上时，此时只有DF ＝DG ，过点D 作DH⊥AG 于点H.设AE ＝3x ，则EG ＝4x ，AG ＝5x ，DG ＝4x －12， ∴FH＝GH ＝DG·cos∠DGB＝16x －485，第2题解图⑤∴FG＝2FH ＝32x －965，∴AF＝AG －FG ＝96－7x5.∵AC∥EG，∴△ACF∽△GEF， ∴AC EG ＝AF FG ，∴124x ＝96－7x 532x －965， 解得x ＝12147或－12147(舍去)，∴腰长DG 为－84＋48147.综上所述，等腰三角形△DFG 的腰长为4或20或84＋48147或－84＋48147.类型二1．解：(1)①如解图①，若PB ＝PC ，连接PB ，则∠PCB＝∠PBC. ∵CD 为等边三角形的高，∴AD＝BD ，∠PCB＝30°， ∴∠PBD＝∠PBC＝30°，∴PD＝33DB ＝36AB ， 与已知PD ＝12AB 矛盾，∴PB≠PC；②若PA ＝PC ，连接PA ，同理可得PA≠PC； ③若PA ＝PB ，由PD ＝12AB ，得PD ＝AD ，∴∠APD＝45°，故∠APB＝90°. (2)∵BC＝5，AB ＝3，∠BAC＝90°， ∴AC＝BC 2－AB 2＝52－32＝4.①若PB ＝PC ，设PA ＝x ，则PC ＝PB ＝4－x ， ∴x 2＋32＝(4－x)2，∴x＝78，即PA ＝78；②若PA ＝PC ，则PA ＝2；③若PA ＝PB ，由解图②知，在Rt△PAB 中，不可能存在． 综上所述，PA 的长为2或78.2．(1)解：1.(2)证明： ∵AB＝AC ，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°. ∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠A＝∠CBD. 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC， ∴BD 是△ABC 的“顶似线”．(3)解：①如解图①，当△ADC∽△BAC 时，AD 为△ABC 的“顶似线”， 则AD AB ＝AC BC ，即AD 4＝36，∴AD＝2； ②如解图②，当△ADC∽△ACB 时，CD 为△ABC 的“顶似线”，则CD CB ＝AC AB ，即CD 6＝34，∴CD＝92； ③过顶点B 的“顶似线”不存在．综上所述，△ABC 的“顶似线”的长为2或92.3．解：(1)①AC；②如解图①，过点B 作AC 边上的中线BE ，则BE ＝AC ＝b ，CE ＝AE ＝12b.在Rt△ABC 中，a 2＋b 2＝c 2， 在Rt△BCE 中，a 2＋(12b)2＝b 2.解得a ＝32b ，c ＝72b.∴a∶b∶c＝3∶2∶7.(2)如解图②，过点A 作AF⊥BC 于点F ，则∠AFB＝∠AFC＝90°. 设AM ＝BC ＝a ，AF ＝h ，MF ＝x ，则BM ＝CM ＝12a.在Rt△ABF 中，AB 2＝BF 2＋AF 2＝(a2＋x)2＋h 2，在Rt△ACF 中，AC 2＝CF 2＋AF 2＝(a2－x)2＋h 2，∴AB 2＋AC 2＝a22＋2x 2＋2h 2.在Rt△AMF 中，AM 2＝MF 2＋AF 2，即a 2＝x 2＋h 2.∴AB 2＋AC 2＝5a 22＝52BC 2.(3)∵∠B＝90°，BC ＞AB ，∴BC 为△ABC 的“奇特边”． ∵BC＝27，∴由(1)②知AB ＝32BC ＝21，AC ＝72BC ＝7.设等腰△ACD 的底边长为y ，由(2)中结论知：①当腰为“奇特边”时，有72＋y 2＝52×72，解得y ＝726(负值已舍去)．②当底边为“奇特边”时，有72＋72＝52×y 2，解得y ＝1455(负值已舍去)．∴等腰△ACD 的底边长为726或145 5.4．解：(1)∵∠C＞90°，∠A＝60°， ∴β＝60°，α＝15°，∴∠B＝15°.(2)若存在一点E ，使得△ABE 也是“准互余三角形”， 则2∠EBA＋∠EAB＝90°.如解图①，作射线BF ，使得∠FBE＝∠ABE ，延长AE 交BF 于点F ，则∠BFE＝90°.即BE 为∠FBA 的角平分线，过点E 作EG⊥AB 于点G ， 则EG ＝EF ，可得△BEF≌△BEG. 又∵△BEG∽△BAC，∴△BEF∽△BAC， ∴BF BC ＝EF AC ，∴BF 5＝EF4①. 又∵△BEF∽△AEC，∴EF CE ＝BF AC ，∴EF 5－BE ＝BF 4②，由①②可得，BE ＝1.8.(3)如解图②，将△BCD 沿BC 翻折得△BCE，则CE ＝CD ＝12，∠ABD＝2∠BC D ＝∠DCE，∠DCE＋∠DBE＝180°，即∠ABD＋∠DBE＝180°，∴点A ，B ，E 共线，易知2∠ACB＋∠BAC＝90°不成立，存在2∠BAC＋∠ACB＝90°，易证得△ECB∽△EAC，∴EC AE ＝BE EC ，即127＋BE ＝BE 12，解得BE ＝9(负值已舍去)，∴AE＝16，在Rt△AEC 中，利用勾股定理得，AC ＝AE 2＋CE 2＝20.类型三1．解：(1)①DF＝2AE ； ②DF＝2AE ；理由：∵∠EBF＝∠ABD＝45°，∴∠ABE ＝∠FBD.∵BE BF ＝AB BD ，∴△ABE∽△DBF，∴AE DF ＝AB BD ＝22，∴DF＝2AE.(2)①如解图①，过点F 作FG⊥AD 于点G ，则四边形AEFG 是矩形，∴GF＝AE. ∵tan∠FDG＝BAAD ＝GFDG ，AD ＝BC ＝mAB ，∴DG＝mGF ，在Rt△DGF 中，由勾股定理得DF ＝GF 2＋DG 2＝1＋m 2GF ，∴DF＝1＋m 2AE.②画出草图如解图②，DF′＝1＋m2AE′.2．解：(1)GM＝GN；GM⊥GN.【解法提示】如解图①，连接BE，CD相交于点H.∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°∴∠CAD＝∠BAE，∴△ACD≌△AEB(SAS)，∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，∴∠BDC＋∠DBH＝∠BDC＋∠ABD＋∠ABE＝∠BDC＋∠ABD＋∠ADC＝∠ADB＋∠ABD＝90°，∴∠BHD＝90°，∴CD⊥BE.∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG 12 CD.同理：NG 12BE，∴MG＝NG，MG⊥NG.(2)小明发现的上述结论成立．理由：如解图②，连接CD ，BE 相交于点H. ∵∠DAB＝∠CAE＝90°，∴∠DAC＝∠BAE.∵DA＝BA ，CA ＝EA ，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴∠FBH＝∠ADF，DC ＝BE.∵M 是BD 的中点，G 是BC 的中点，∴MG＝12DC ， 同理NG ＝12BE ，∴MG＝NG. 设CD 交AB 于点F ，则∠FHB＝180°－(∠FBH＋∠BFH)＝180°－(∠ADF＋∠AFD)＝90°，∴CD⊥BE，∴MG⊥NG；(3)△GMN 为等腰直角三角形．证明：如解图③，连接EB ，DC ，延长线相交于点H ，同(1)的方法得，MG ＝NG ，同(1)的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB＝∠ACD，∴∠CEH ＋∠ECH ＝∠AEH －∠AEC ＋180°－∠ACD －∠ACE ＝∠ACD －45°＋180°－∠ACD－45°＝90°，∴∠DHE＝90°，同(1)的方法得，MG⊥NG.3．(1)证明： ∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠ABM.∵CE∥AM，∴∠ECD＝∠ADB.∵AM 是△A BC 的中线，且点D 与点M 重合，∴BD＝DC ，∴△ABD≌△EDC(ASA)，∴AB＝ED.∵AB∥ED，∴四边形ABDE 是平行四边形．(2)解：结论成立．理由如下：第3题解图①如解图①，过点M作MG∥DE交CE于点G.∵CE∥AM，∴四边形DMGE是平行四边形，∴ED＝GM，且ED∥GM.∵AB∥DE，∴AB∥GM，∴∠ABM＝∠GMC.∵AM∥CE，∴∠AMB＝∠GCM.∵AM为△ABC的中线，∴BM＝MC.∴△ABM≌△GMC(ASA)，∴AB＝GM，∴AB＝DE.∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形．(3)解：①如解图②，取线段HC的中点I，连接MI，第3题解图②∵BM＝MC，∴MI 是△BHC 的中位线，∴MI∥BH，MI ＝12BH. ∵BH⊥AC，且BH ＝AM.∴MI＝12AM ，MI⊥AC， ∴∠CAM＝30°.②设DH ＝x ，则AH ＝3x ，AD ＝2x ， ∴AM＝4＋2x ，∴BH＝4＋2x.∵四边形ABDE 是平行四边形，∴DF∥AB， ∴HF HA ＝HD HB ，∴33x ＝x 4＋2x ， 解得x ＝1＋5或x ＝1－5(舍去)， ∴DH＝1＋ 5.。
精品资料——数学-(河南卷)【试题猜想】2020年中考考前最后一卷(全解全析).docx
2020年中考考前最后一卷【河南卷】数学•全解全析12345678910C BD D A B C A C B1.【答案】c【解析】•:一把=一旧：.一把的相反数为豆,故选c.V2 2 V2 22.【答案】B【解析】1.8万元=18000元=1.8x104,故选B.3.【答案】D【解析】..•从三个方向看得到的图是：故选。
主视图左视图俯视图...这个立体图形是:【解析】A、原式不能合并，不符合题意；B、原式^m2+6m+9,不符合题意；C、原式=工3>6,不符合题意;D、原式=〃，符合题意，故选D.5.【答案】A【解析】在这10名队员的年龄数据里，15岁出现了4次，次数最多，因而众数是15； 10名队员的年龄数据里，第5和第6个数据分别为14, 15,其平均数也变= 14.5,因而中位数是14.5.故选A.26.【答案】B【解析】由题意得：△=(-2/+4四)，解得*2—1.故答案为B.7.【答案】C【解析】•..抛物线y=4(x+3)2+12, 顶点为:(-3, 12),故选C8.【答案】A【解析】根据题意，在A, B, C,。
四个点中任选三个点，有：△ABC、AABD、K ACD, ABCD,共 4 个三角形；其中是等腰三角形的有：△ACQ、△BCQ,共2个；能够组成等腰三角形的概率为：P = - = -；故选A.4 29.【答案】C【解析】由题意得：新建1个地上停车位需要x万元，新建1个地下停车位需y万元，•..新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元，.I x+ y= 0.6 ,又•.,新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元，.I 3x + 2y = 1.3 ,...可列方程组为：<x + y = 0.6c c "，故选C. 3x + 2y = 1.310.【答案】B【解析】当F点在AB上运动时，△AQP面积逐渐增大，当F点到达3点时，△AOP面积最大为3.-AB-BC = 3,即ABBC = 12.当尸点在BC ±运动时，△AOP面积逐渐减小，当尸点到达C点2 2时，面积为0,此时结合图象可知尸点运动路径长为I, ：. AB + BCE.则BC = 1 — AB,代入ABBC = 12,得仙2_7仙 + 12 = 0，解得AB-4 或3,因为即A3<3C,所以AB = 3,BC = 4 .故选B.【解析】1 -（-有）-Jo.572 ^2~2 r=-”，故答案为：―拒. 12. 【答案】15.【解析】•/ ZACB=90°, ZA=60°, A ZABC=30°, '：AB// CF, .I ZBCD=ZABC=30°,'：ZEFD=9Q°, ZE=45°, :. /EDC=/E+/EFD= 135。
2020年中考数学第一轮复习暨2019年全国中考试题分类汇编 专题28 解直角三角形(含解析)(003)
解直角三角形一.选择题1. （2019•广东省广州市•3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，∴tan∠BAC＝，解得，AC＝75，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2. （2019•广西北部湾经济区•3分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】C【解析】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，∵tan65°=，∴OF=xtan65°，∴BD=3+x，∵tan35°=，∴OF=（3+x）tan35°，∴2.1x=0.7（3+x），∴x=1.5，∴OF=1.5×2.1=3.15，∴OE=3.15+1.5=4.65，故选：C．过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．二.填空题1. （2019•江苏宿迁•3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC ＜．【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值．【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°∴∠ABC1＝30°∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为：＜BC＜2．【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考察直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点． 2. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在△ABC 中，BC ＝26+，∠C ＝45°，AB ＝2AC ，则AC 的长为________.【答案】2【解析】过A 作AD ⊥BC 于D 点，设AC =x 2，则AB =x 2，因为∠C =45°，所以AD =AC =x ，则由勾股定理得BD =x AD AB 322=-，因为AB =26+，所以AB =263+=+x x ,则x =2.则AC =2.3. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是__________.【答案】131-=x y 【解析】因为一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，则A （21，0），B （0,-1），则AB =25.过A 作AD ⊥BC 于点D ，因为∠ABC =45°，所以由勾股定理得AD =410，设BC =x ，则AC =OC -OA =2112--x ，根据等面积可得：AC ×OB =BC ×AD ，即2112--x =410x ，解得x =10.则AC =3，即C （3，0），所以直线BC 的函数表达式是131-=x y .3. （2019•浙江湖州•4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB 和CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD ＝α．若AO ＝85cm ，BO ＝DO ＝65cm ．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A 离地面的高度h 约为 120 cm ．（参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6．）【分析】过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ，利用等腰三角形的三线合一得到OE 为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB 中，利用锐角三角函数定义求出h 即可．【解答】解：过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ， ∵BO ＝DO ， ∴OE 平分∠BOD ，∴∠BOE ＝∠BOD ＝×74°＝37°， ∴∠F AB ＝∠BOE ＝37°，在Rt △ABF 中，AB ＝85+65＝150cm ， ∴h ＝AF ＝AB •cos ∠F AB ＝150×0.8＝120cm ， 故答案为：120【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．4.5.6.7.8.9.10.三.解答题1. （2019•江苏宿迁•10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）【分析】（1）作EM⊥CD于点M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案；（2）作E′H⊥CD于点H，先根据E′C＝求得E′C的长度，再根据EE′＝CE﹣CE′可得答案【解答】解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H＝80×0.8＝64，则E′C＝＝≈71，1，∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．2. （2019•江西•8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B-A-O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm.（结果精确到0.1）（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE。
【优选】2020届数学中考复习讲解课件：专题复习(二) 规律与猜想
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14．(2019·玉林)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝4，一发光电 子开始置于 AB 边的点 P 处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰 撞，将发光电子沿着 PR 方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的 反射角和入射角都等于 45°.若发光电子与矩形的边碰撞次数经过 2 019 次 后，则它与 AB 边的碰撞次数是 673 ．
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按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第 6 个等式： 121＝61＋616 (2)写出你猜想的第 n 个等式：
； 2n2－1＝n1＋n（2n1－1）
(用含
n
的等
式表示)，并证明． 证明：∵n1＋n（2n1－1）＝n（22nn－－11）＋n（2n1－1）＝n2（n2－n1－＋11）＝
2n2－1，
22
(2019·鄂州)如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2，A3，…，
An 在
x
轴上，点
B1，B2，B3，…，Bn 在直线
y＝
3 3x
上．若
A1(1，0)，且
△ A1B1A2，△ A2B2A3，…，△ AnBnAn＋1 都是等边三角形，从左到右的小三
角形(阴影部分)的面积分别记为 S1，S2，S3，…，Sn，则 Sn 可表示为( D ) A．22n 3
A．(
22，－
2 2)
B．(1，0)
C．(－
22，－
2 2)
D．(0，－1)
26
17．(2019·广元)如图，过点
A0(0，1)作
y
轴的垂线交直线
l：y＝
3 3x
于
点 A1，过点 A1 作直线 l 的垂线，交 y 轴于点 A2，过点 A2 作 y 轴的垂线交
经典2020届初三数学中考复习 数与式 专题复习练习题含答案及部分解析
2020届初三数学中考复习 数与式 专题复习练习题一、选择题(每小题3分，共45分)1．－23的相反数是( ) A ．－32 B ．－23 C ．23 D ．322．实数sin 45°，16，－17，sin 30°，0.101 001 000 1…，32中，无理数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．13．下面各数中，最小的数是( )A ．－3B ．| |－2C ．(－3)2D ．0.000 14．下列实数中，在2和3之间的是( )A ．πB ．π－2C ．325D ．3285．下列运算正确的是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－94B ．(3a 2)3＝9a 6C ．5－3÷5－5＝125D ．8－50＝－3 2 6．某桑蚕丝的直径约为0.000 016 m ，将0.000 016用科学记数法表示是( )A ．1.6×10－4B ．1.6×10－5C ．1.6×10－7D ．16×10－47．下列计算正确的是( )A ．3x 2y ＋5xy ＝8x 3y 2B ．(x ＋y)2＝x 2＋y 2C ．(－2x)2÷x ＝4xD ．y x －y ＋x y －x＝1 8．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论：①a＜b ；②|b|＝|d|；③a＋c ＝a ；④ad＞0中．正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．已知a ＋b ＝4，c －d ＝3，则(b ＋c)－(d －a)的值为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－710．去年2月份，某房地产商将房价提高40%，在中央“房子是用来住的，不是用来炒的”指示下达后，立即降价30%.设降价后的房价为x ，则去年2月份之前的房价为( )A ．(1＋40%)×30%xB ．(1＋40%)(1－30%)xC ．x （1＋40%）×30%D ．x （1＋40%）（1－30%）11．下列式子的变形是因式分解的是( )A ．x 2－2x －3＝x (x －2)－3B ．x 2－2x －3＝(x －1)2－4C ．(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3D ．x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)12．13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头毛驴驮着7个口袋，每个口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为( )A ．42B ．49C ．76D ．7713．若(x －2)2＋|y ＋3|＝0，则 (x ＋y )2 019的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．无法确定14．如果a 2＋2a －1＝0，那么代数式⎝ ⎛⎭⎪⎫a －4a ·a 2a －2的值是( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．315．在数学活动课上，同学们利用如图所示的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是( )A ．4，2，1B ．2，1，4C ．1，4，2D ．2，4，1二、填空题(每小题3分，共30分)16．计算：a(a ＋1)＝ ． 17．在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿m 3，数194亿用科学记数法表示是 ．18．计算：(2－1)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019－1＝ ． 19．化简：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x －1·1x ＝ ． 20．若m 2－2m －1＝0，则代数式2m 2－4m ＋3的值为 ．21．把多项式3m 2－6mn ＋3n 2分解因式的结果是 ．22．如图，矩形ABCD 的面积为 (用含x 的代数式表示)．23．已知()a ＋62＋b 2－2b －3＝0，则2b 2－4b －a 的值为 ．24．观察下列等式：32－12＝8，52－12＝24，72－12＝48，92－12＝80，…，由以上规律可以得出第n 个等式为 ．25．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第n 次的运算结果＝ (用含字母x 和n 的代数式表示)．三、解答题(共25分)26．(每小题4分，共8分)(1)计算：|2|＋(π－3)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－2cos 45°.(2)计算：327＋|5－2|－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＋(tan 60°－1)0.27．(1)(4分)先化简，再求值：(2x ＋y)2＋(x －y)(x ＋y)－ 5x(x －y)，其中x ＝2＋1，y ＝2－1.(2)(5分)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x x ＋1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1，其中x 的值是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2（x ＋1）－3＞0，－3x ＋2≥－4的整数解．28．(8分)观察下列等式：12×231＝132×21，13×341＝143×31，23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，…以上每个等式中两边的数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×＝×25；②×396＝693× ；(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a，b)，并证明．答案及解析：一、1. C2. B3. A4. C5. D6. B7. C8 B9. C10. D11. D12. C13. C14. C 解析:原式＝a 2－4a ·a 2a －2＝a(a ＋2)＝a 2＋2 a ．∵a 2＋2a －1＝0，∴原式＝1.故选C ．15. D 解析: 若最初输入的数是4，∵x ＝4是偶数，则对应的值是42＝2，而x ＝2是偶数，则对应的值是22＝1，而x ＝1是奇数，则对应的值是3×1＋1＝4，∴以4，2，1为一个循环节进入循环；类似用上述方法可得，当最初输入的数是2时，其将以2，1，4为一个循环节进入循环；当最初输入的数是1时，其将以1，4，2为一个循环节进入循环．故选D ．二、16. a 2＋a17. 1.94×101018. 202019. 1x －120. 521. 3(m －n)222. (x ＋3)(x ＋2)(或x 2＋5x ＋6)23. 1224. ()2n ＋12－12＝4n ()n ＋125. 2n x(2n －1)x ＋126. (1) 解：原式＝2＋1＋2－2×22＝2＋1＋2－ 2＝3.(2) 解：原式＝3＋5－2－9＋1＝5－7.27. (1) 解：原式＝4x 2＋4xy ＋y 2＋x 2－y 2－5x 2＋5xy ＝9xy.当x ＝2＋1，y ＝2－1时， 原式＝9(2＋1)(2－1)＝9×(2－1)＝9×1＝9.(2) 解：原式＝x(x ＋1)－x x ＋1 ÷ x 2－1＋1x 2－1＝x 2x ＋1 · (x ＋1) (x －1)x 2＝x －1.解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2(x ＋1)－3＞0，－3x ＋2≥－4， 得12＜x≤2， 不等式组的整数解为1，2.当x ＝1时，原式没有意义；当x ＝2时，原式＝1.28. (1)①52× 275 ＝ 572 ×25；② 63 ×396＝693× 36 ；解：∵左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，∴左边的两位数是10a ＋b ，三位数是100b ＋10(a ＋b)＋a ，右边的两位数是10b ＋a ，三位数是100a ＋10(a ＋b)＋b ，∴一般规律的式子为(10a ＋b)×[100b＋10(a ＋b)＋a]＝[100a ＋10(a ＋b)＋b]×(10b＋a)．(2) 证明：左边＝(10a ＋b)×[100b＋10(a ＋b)＋a]＝(10a ＋b)·(110b＋11a)＝11(10a ＋b)(10b ＋a)，右边＝[100a ＋10(a ＋b)＋b]×(10b＋a)＝(110a ＋11b)(10b ＋a)＝11(10a ＋b)·(10b＋a)，左边＝右边，∴“数字对称等式”一般规律的式子为(10a ＋b)×[100b＋10(a ＋b)＋a]＝[100a ＋10(a ＋b)＋b ]×(10b ＋a)．。
8.1.1 2020中考数学复习：《归纳与猜想》2019年全国中考题型大全(含答案)
8.1.1 归纳与猜想2019一、选择题1. (2019 湖北省鄂州市) （3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n 在直线y＝x上，若A 1（1，0），且△A 1B1A2、△A2B 2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S 2、S 3…S n．则S n可表示为（）A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣32. (2019 湖北省十堰市) （3分）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（）A．50 B．60 C．62 D．713. (2019 湖南省娄底市) （3分）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120︒的¶AB多次复制并首尾连接而成．现有一点P 从(A A为坐标原点）出发，以每秒23π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为()１２A ．2-B ．1-C ．0D ．14. (2019 湖南省张家界市) （3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形OA 2019B 2019C 2019，那么点A 2019的坐标是（ ）A ．（，﹣） B ．（1，0）C ．（﹣，﹣） D ．（0，﹣1）5. (2019 内蒙古赤峰市) （3分）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（ ）３A ．22019 B ． C ． D ．二、填空题6. (2019 甘肃省白银九市) （4分）已知一列数a ，b ，a +b ，a +2b ，2a +3b ，3a +5b ，……，按照这个规律写下去，第9个数是 ．7. (2019 甘肃省) （3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，则n ＝ ．8. (2019 贵州省安顺市) （4分）如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4行的数是12，则位于第45行、第7列的数是 ．9. (2019 贵州省黔南州) （3分）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）．４10. (2019 黑龙江省鸡西市) （3分）如图，四边形11OAA B 是边长为1的正方形，以对角线1OA 为边作第二个正方形122OA A B ，连接2AA ，得到△12AA A ；再以对角线2OA 为边作第三个正方形233OA A B ，连接13A A ，得到△123A A A ；再以对角线3OA 为边作第四个正方形，连接24A A ，得到△234A A A ⋯⋯记△12AA A 、△123A A A 、△234A A A 的面积分别为1S 、2S 、3S ，如此下去，则2019S = ．11. (2019 黑龙江省齐齐哈尔市) （3分）如图，直线l ：y ＝x +1分别交x 轴、y 轴于点A 和点A 1，过点A 1作A 1B 1⊥l ，交x 轴于点B 1，过点B 1作B 1A 2⊥x 轴，交直线l 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥l ，交x 轴于点B 2，过点B 2作B 2A 3⊥x 轴，交直线l 于点A 3，依此规律…，若图中阴影△A 1OB 1的面积为S 1，阴影△A 2B 1B 2的面积为S 2，阴影△A 3B 2B 3的面积为S 3…，则S n ＝ ．12. (2019 黑龙江省绥化市) （3分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA 1→A 1A 2→A 2A 3→A 3A 4→A 4A 5…”的路线运动，设第n秒运动到点P n（n为正整数），则点P2019的坐标是．13. (2019 湖北省黄石市) （3分）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是．14. (2019 湖北省仙桃潜江天门江汉油田) （3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝x+上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点C6的坐标是．15. (2019 湖北省咸宁市) （3分）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣５8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．16. (2019 湖南省怀化市) （4分）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是．17. (2019 江苏省扬州市) （3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4、…；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝．６７18. (2019 辽宁省本溪市) （3分）如图，点B 1在直线l ：y ＝x 上，点B 1的横坐标为2，过B 1作B 1A 1⊥1，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；按照这个规律进行下去，点∁n 的横坐标为 （结果用含正整数n 的代数式表示）19. (2019 山东省德州市) （4分）如图，点1A 、3A 、5A ⋯在反比例函数(0)k y x x=>的图象上，点2A 、4A 、6A ⋯⋯在反比例函数(0)ky x x=->的图象上，1212323460OA A A A A A A A α∠=∠=∠=⋯=∠=︒，且12OA =，则(n A n为正整数）的纵坐标为 ．（用含n 的式子表示）８20. (2019 山东省潍坊市) （3分）如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点O ，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l 0，l 1，l 2，l 3，…都与x 轴垂直，相邻两直线的间距为l ，其中l 0与y 轴重合若半径为2的圆与l 1在第一象限内交于点P 1，半径为3的圆与l 2在第一象限内交于点P 2，…，半径为n +1的圆与l n 在第一象限内交于点P n ，则点P n 的坐标为 ．（n 为正整数）21. (2019 四川省攀枝花市) （4分）正方形1112A B C A ，2223A B C A ，3334A B C A ，⋯按如图所示的方式放置，点1A ，2A ，3A ，⋯和点1B ，2B ，3B ，⋯分别在直线(0)y kx b k =+>和x 轴上．已知点1(0,1)A ，点1(1,0)B ，则5C 的坐标是 ．三、解答题22. (2019 内蒙古赤峰市) （14分）问题如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC 交于点P，研究DP和DB的数量关系．探究发现（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；数学思考（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程；拓展引申（3）如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM＝BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大．若AC＝BC＝4，请你直接写出BQ的最大值．９23. (2019 安徽省) （8分）观察以下等式：第1个等式：211=+，111第2个等式：311=+，226第3个等式：211=+，5315第4个等式：211=+，7428第5个等式：211=+，9545⋯⋯按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．１０参考答案一、选择题1. 分析直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，可得∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A 1B1＝1，B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝，B 2B3＝2，…，B n B n+1＝2n，再由面积公式即可求解；解答解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，∵A1（1，0），∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1，易得∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°，∴B1B2＝，B2B3＝2，…，B n B n+1＝2n，∴S 1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，S n＝×2n﹣1×2n＝；故选：D．点评本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长是解题的关键．2. 分析根据题目中的数据可以发现，分子变化是1，（1，2），（1，2，3），…，分母变化是1，（2，1），（3，2，1），…，从而可以求得第n 个数为时n 的值，本题得意解决．解答解：，，，，，，，，，，…，可写为：，（，），（，，），（，，，），…， ∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为，∴第n 个数为，则n ＝1+2+3+4+…+10+5＝60， 故选：B ．点评本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．3. 分析先计算点P 走一个¶AB 的时间，得到点P 纵坐标的规律：以1，0，1-，0四个数为一个周期依次循环，再用201945043÷=⋯，得出在第2019秒时点P 的纵坐标为是1-．解答解：点运动一个¶AB 用时为1202221803ππ⨯÷=秒．如图，作CD AB ⊥于D ，与¶AB 交于点E ． 在Rt ACD ∆中，90ADC ∠=︒Q ，1602ACD ACB ∠=∠=︒，30CAD ∴∠=︒，112122CD AC ∴==⨯=， 211DE CE CD ∴=-=-=，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为1-；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；⋯，∴点P的纵坐标以1，0，1-，0四个数为一个周期依次循环，Q，201945043÷=⋯∴第2019秒时点P的纵坐标为是1-．故选：B．点评本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1，0，1-，0四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．4.分析探究规律，利用规律解决问题即可．解答解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252 (3)∴点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．点评本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．5.分析根据将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，余下面积为原来面积的一半即可解答．解答解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，第一次：余下面积，第二次：余下面积，第三次：余下面积，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为，故选：C．点评本题考查图形的变化，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．二、填空题6. 分析由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．解答解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．点评本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．7.分析根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1＝3个，第3幅图中有2×3﹣1＝5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．解答解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1＝3个．第3幅图中有2×3﹣1＝5个．第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n﹣1）个．当图中有2019个菱形时，2n﹣1＝2019，n＝1010，故答案为：1010．点评本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．8.分析观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019解答解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019，故答案为2019点评本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．9.分析根据图形可以看出4个图形一循环，然后再2019÷4＝504…3，从而确定是第3个图形．解答解：2019÷4＝504…3，故第2019个图案中的指针指向与第3个图案相同，故答案为：3点评主要考查了图形的变化类，学生通过特例分析从而归纳总结出规律是解决问题的关键．10.分析首先求出S、2S、3S，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．1解答解：Q四边形OAA B是正方形，111111OA AA A B ∴===，1111122S ∴=⨯⨯=，190OAA ∠=︒Q ，2221112AO ∴=+=， 2232OA A A ∴==，212112S ∴=⨯⨯=，同理可求：312222S =⨯⨯=，44S =⋯，22n n S -∴=， 201720192S ∴=，故答案为：20172．点评本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到n a 的规律是解题的关键．11. 分析由直线l ：y ＝x +1可求出与x 轴交点A 的坐标，与y 轴交点A 1的坐标，进而得到OA ，OA 1的长，也可求出Rt △OAA 1的各个内角的度数，是一个特殊的直角三角形，以下所作的三角形都是含有30°角的直角三角形，然后这个求出S 1、S 2、S 3、S 4、……根据规律得出Sn ． 解答解：直线l ：y ＝x +1，当x ＝0时，y ＝1；当y ＝0时，x ＝﹣∴A（﹣，0）A 1（0，1）∴∠OAA1＝30°又∵A1B1⊥l，∴∠OA1B1＝30°，在Rt△OA1B1中，OB1＝•OA1＝，∴S1＝；同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，∴S2＝＝＝；依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……因此：S n＝故答案为：．点评考查一次函数的图象和性质、解直角三角形、三角形的面积、以及找规律归纳总结结论的能力，由于数据较繁琐、计算量交点，容易出现错误；因此在方法正确的前提下，认真正确的计算则显得尤为重要．12.分析通过观察可知，纵坐标每6个进行循环，先求出前面6个点的坐标，从中得出规律，再按规律写出结果便可．解答解：由题意知，A1（，）A2（1，0）A3（，）A4（2，0）A5（，﹣）A6（3，0）A7（，）…由上可知，每个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：，0，，0，﹣这样循环，∴A2019（，），故答案为：（，）．点评本题是一个规律题，根据题意求出点的坐标，从中找出规律来，这是解题的关键所在．13.分析根据题目中的数据和各行的数字个数的特点，可以求得第20行第19个数是多少，本题得以解决．解答解：由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20＝210个数，∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）＝628，∴第20行第19个数是：628﹣3＝625，故答案为：625．点评本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字的变化特点，知道第n个数可以表示为1+3（n﹣1）．14.分析根据菱形的边长求得A1、A2、A3…的坐标然后分别表示出C1、C2、C3…的坐标找出规律进而求得C6的坐标．解答解：∵OA1＝1，∴OC1＝1，∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，∴C1的纵坐标为：sin60°•OC1＝，横坐标为cos60°•OC1＝，∴C1（，），∵四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，∴A1C2＝2，A2C3＝4，A3C4＝8，…，∴C 2的纵坐标为：sin60°•A1C2＝，代入y＝x+求得横坐标为2，∴C 2（，2，），C 3的纵坐标为：sin60°•A2C3＝4，代入y＝x+求得横坐标为11，∴C 3（11，4），∴C4（23，8），C 5（47，16），∴C6（97，32）；故答案为（97，32）．点评本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列C点的坐标，找出规律是解题的关键．15.分析根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．解答解：∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1、（﹣2）n、（﹣2）n+1，则（﹣2）n﹣1•（﹣2）n•（﹣2）n+1＝412，即（﹣2）3n＝（22）12，∴（﹣2）3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384，故答案为：﹣384．点评本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．16.分析由题意“分数墙”的总面积＝2×+3×+4×+…+n×＝n﹣1．解答解：由题意“分数墙”的总面积＝2×+3×+4×+…+n×＝n﹣1，故答案为n﹣1．点评本题考查规律型问题，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．17.分析∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，可得，因为AB＝5，BC＝4，则有4D1E1+5D1F1＝20；同理有如下规律4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2019E2019+5D2019F2019＝20；解答解：∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，∴，即，∵AB＝5，BC＝4，∴4D1E1+5D1F1＝20，同理4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2019E2019+5D2019F2019＝20，∴4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝20×2019＝40380；故答案为40380．点评本题考查平行线的性质，探索规律；能够根据平行线的性质和等量代换得到4D1E1+5D1F1＝20是解题的关键．18.分析根据点B1的横坐标为2，在直线l：y＝x上，可求出点B1的坐标，由作图可知图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，然后依次利用相似三角形的性质计算出C1、C2、C3、C4……的横坐标，根据规律得出答案．解答解：过点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1D⊥x轴，C1D1⊥x轴，C2D2⊥x轴，C3D3⊥x轴，C4D4⊥x轴，……垂足分别为D、D1、D2、D3、D4……∵点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，∴点B1的纵坐标为1，即：OD＝2，B1D＝1，图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，∴点C1的横坐标为：2++（）0，点C2的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1＝+（）0×+（）1点C3的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1+（）1×+（）2＝+（）0×+（）1×++（）2点C4的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3……点∁n的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3×+（）4×……+（）n﹣1＝+[（）0+（）1×+（）2+（）3+（）4……]+（）n﹣1＝故答案为：点评考查一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质、在计算探索的过程中发现规律，得出一般性的结论．19.答案（-1）n+1（）解析解：过A1作A1D1⊥x轴于D1，∵OA1=2，∠OA1A2=∠α=60°，∴△OA1E是等边三角形，∴A1（1，），∴k=，∴y=和y=-，过A2作A2D2⊥x轴于D2，∵∠A2EF=∠A1A2A3=60°，∴△A2EF是等边三角形，设A2（x，-），则A2D2=，Rt△EA2D2中，∠EA2D2=30°，∴ED2=，∵OD2=2+=x，解得：x1=1-（舍），x2=1+，∴EF====2（-1）=2-2，A2D2===，即A2的纵坐标为-；过A3作A3D3⊥x轴于D3，同理得：△A3FG是等边三角形，设A3（x，），则A3D3=，Rt△FA3D3中，∠FA3D3=30°，∴FD3=，∵OD 3=2+2-2+=x，解得：x1=（舍），x2=+；∴GF===2（-）=2-2，A3D3===（-），即A3的纵坐标为（-）；…∴A n（n为正整数）的纵坐标为：（-1）n+1（）；故答案为：（-1）n+1（）；先证明△OA1E是等边三角形，求出A1的坐标，作高线A1D1，再证明△A2EF是等边三角形，作高线A2D2，设A2（x，-），根据OD2=2+=x，解方程可得等边三角形的边长和A2的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点A1、A3、A5…在x轴的上方，纵坐标为正数，点A2、A4、A6……在x轴的下方，纵坐标为负数，可以利用（-1）n+1来解决这个问题．本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质和判定，直角三角形30度角的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，并与方程相结合解决问题．20.分析连OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，在Rt△OA1P1中，OA 1＝1，OP 1＝2，由勾股定理得出A 1P 1＝＝，同理：A 2P 2＝，A 3P 3＝，……，得出P 1的坐标为（ 1，），P 2的坐标为（ 2，），P 3的坐标为（3，），……，得出规律，即可得出结果．解答解：连接OP 1，OP 2，OP 3，l 1、l 2、l 3与x 轴分别交于A 1、A 2、A 3，如图所示： 在Rt △OA 1P 1中，OA 1＝1，OP 1＝2， ∴A 1P 1＝＝＝，同理：A 2P 2＝＝，A 3P 3＝＝，……，∴P 1的坐标为（ 1，），P 2的坐标为（ 2，），P 3的坐标为（3，），……，…按照此规律可得点P n 的坐标是（n ，），即（n ，）故答案为：（n ，）．点评本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理；由题意得出规律是解题的关键．21. 分析由题意可知1A 纵坐标为1，2A 的纵坐标为2，3A 的纵坐标为4，4A 的纵坐标为8，⋯，即可得到1C ，2C ，3C ，4C ，5C 的纵坐标，根据图象得出1(2,1)C ，2(5,2)C ，3(11,4)C ，即可得到1C ，2C ，3C ，4C ，5C ⋯在一条直线上，直线的解析式为1133y x =+，把5C 的纵坐标代入即可求得横坐标．解答解：由题意可知1A 纵坐标为1，2A 的纵坐标为2，3A 的纵坐标为4，4A 的纵坐标为8，⋯，1A Q 和1C ，2A 和2C ，3A 和3C ，4A 和4C 的纵坐标相同， 1C ∴，2C ，3C ，4C ，5C 的纵坐标分别为1，2，4，8，16，⋯∴根据图象得出1(2,1)C ，2(5,2)C ，3(11,4)C ，∴直线12C C 的解析式为1133y x =+，5A Q 的纵坐标为16， 5C ∴的纵坐标为16，把16y =代入1133y x =+，解得47x =，5C ∴的坐标是(47,16)，故答案为(47,16)．点评此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、等腰直角三角形和正方形的性质．此题难度适中，属于规律型题目，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题 22. 分析探究发现（1）由等腰直角三角形的性质可得∠CAB＝∠CBA＝45°，由平行线的性质可得∠CBA＝∠DCB＝45°，即可证DB＝DP；数学思考（2）通过证明△CDP≌△GDB，可得DP＝DB拓展引申（3）过点M作MH⊥MN交AC于点H，通过证明△AMH≌△BNQ，可得AH＝BQ，通过证明△ACM∽△BMQ，可得，可得BQ＝，由二次函数的性质可求BQ的最大值．解答证明：探究发现（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC∴∠CAB＝∠CBA＝45°∵CD∥AB∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD∴∠DCB＝∠DBC＝45°∴DB＝DC即DB＝DP数学思考（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°∴∠DCG＝∠DGC＝45°∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，∵∠BDP＝∠CDG＝90°∴∠CDP＝∠BDG，且DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，∴△CDP≌△GDB（ASA）∴BD＝DP拓展引申（3）如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，∵MH⊥MN，∴∠AMH+∠NMB＝90°∵CD∥AB，∠CDB＝90°∴∠DBM＝90°∴∠NMB+∠MNB＝90°∴∠HMA＝∠MNB，且AM＝BN，∠CAB＝∠CBN＝45°∴△AMH≌△BNQ（ASA）∴AH＝BQ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝4，AC﹣AH＝BC﹣BQ∴CH＝CQ∴∠CHQ＝∠CQH＝45°＝∠CAB∴HQ∥AB∴∠HQM ＝∠QMB ∵∠ACB ＝∠HMQ ＝90°∴点H ，点M ，点Q ，点C 四点共圆， ∴∠HCM ＝∠HQM∴∠HCM ＝∠QMB ，且∠A ＝∠CBA ＝45° ∴△ACM ∽△BMQ ∴∴∴BQ ＝∴AM ＝2时，BQ 有最大值为2．点评本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求出BQ 与AM 的关系是本题的关键．23. 分析（1）根据已知等式即可得； （2）根据已知等式得出规律21121(21)n n n n =+--，再利用分式的混合运算法则验证即可．解答解：（1）第6个等式为：21111666=+， 故答案为：21111666=+； （2）21121(21)n n n n =+--３１班级 _______________________ 姓名_____________ 考场号__________ 考号_________--------------------------------------------密--------------------封-------------------线---------------------------------------- 证明：Q 右边112112(21)(21)21n nn n n n n -+=+===---左边． ∴等式成立，故答案为：21121(21)n n n n =+--． 点评本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出21121(21)n n n n =+--的规律，并熟练加以运用．。
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专题29 归纳与猜想
例1 6 提示：5的对面是2，4的对面是3，1的对面是6．
例2 121n 提示：1S＝1，2S＝21，3S＝22141，4S＝32181，进而推出nS＝121n．
例3 （1）OE
（2）射线OA上数字的排列规律：6n－5（n为自然数，下同）；射线OB上数字的排列规律：
6n－4；射线OC上数字的排列规律：6n－3；射线OD上数字的排列规律：6n－2；射线OE上
数字的排列规律：6n－1；射线OF上数字的排列规律：6n．
（3）在6条射线的数字规律中，只有6n－3＝2007有整数解，解围n＝335，故“2007”在射线
OC上．
例4 （1）可分组为（11），（21，12），（31，22，13），（41，32，23，14），（51，42，33，24，
1
5）…，可知各组数的个数依次为1，2，3，…．当F（m）＝20012
时，m＝（1＋2＋…＋2001）
＋2＝2003003，这2003003个数的积为20030011．
例5 （1）第3次操作后所得到的9个数为：2，611，27，617，5，3，4，37，3．
它们的和为2＋
611＋27＋617＋5＋3＋4＋37＋3＝2
55
．
（2）由条件知
0S＝5，则1kS＝k
S
＋120kSSk＝153kSkk＝kSkk13－15k．
（3）因
3S＝255．故4S＝346S－45＝40；5S＝457S－55＝55，6
S
＝568S－65＝2145．
【能力训练】
1．1010100
2．142 提示：若有n个黑色六边形，则白色六边形个数为4n＋2．故＝35时，4n＋2＝4×35＝142
个．
3．
19
17
4．B
5．76 黑色梯形的规律明显：每个梯形的高都为2，上底分别对OA上的1，5，9，…，下底分别对
应OA上的3，7，11，…．而上、下底的长度恰好和它在OA上对应的数值是一样的．以上底
为例，1＝1，5＝1＋4×1，9＝1＋4×2，…，故第10个梯形的上底对应OA上的数为1＋4×9
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＝37，下底的长正好为39，于是10S＝223937＝76．
6．A
7．D 提示：2013÷4＝503……1，故在第504个正方形右下角．
8．（1）第1列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在的行数的平方．第10行起，左起第
13列，应该是第13列的第10个数，即
2
113
＋10＝144＋10＝154．
（2）数127满足关系式127＝211＋6＝2112＋6，即127在左起第12列，上起第6行的位置．
9．观察已经写出的数，发现每三个连续数中恰好有一个偶数，在前100项中，第100项是奇数，前
99项中有
3
99
＝33个偶数．
10．设至少要画k条直线．k条直线最多将圆分成1＋1＋2＋3＋4＋…＋k块，当k＝9时，1＋1＋2
＋3＋…＋9＝46，当k＝10时，1＋1＋2＋3＋…＋10＝56，故至少要画10条直线，可以将圆纸
片分成不小于50块．
11．若对前三个先进行计算：
第1个数：
21－（1＋21）＝21－2
1
＝0；
第2个数：31－（1＋21）[1＋312][1＋412]＝
31－21＝－6
1
；
第3个数：41－（1＋21）[1＋312][1＋412][1＋512][1＋612]＝
41－21＝－4
1
；
……
按此规律，第n个数：11n－（1＋21）[1＋312][1＋412]…[1＋nn2112]＝
11n
－21．
由此可知n越大，第n个数越小，那么在第10个数，第11个数，第12个数，第13个数中，
最大的数是第10个数．
12．一个依次排列的n个数组成一个数串：
1a，2
a
，3a，…，na．依题设操作方法可得新增的数
为：2a－1a，3a－2a，4a－3a，…，na－1na．∴新增数之和为（2a－1a）＋（3a－2a）
＋（4a－3a）＋…＋（na－1na）＝na－1a（*）．原数串为3个数：3，9，8．第一次操作根
据（*）可知，新增4项之和为6＋（－1）＝5＝8－3；第二次操作后所得数串为：3，3，6，3，
9，－10，－1，9，8．根据（*）可知，新增4项之和为3＋3＋（－10）＋9＝5＝8－3．按这个
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规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：（3＋9＋8）＋100×（8－3）＝520．