2020届云南省昆明市高三下学期1月月考数学(理)试题(解析版)

昆明市2020届高三“三诊一模”摸底诊断测试理科数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|1A x N x =∈≤，集合{}|13B x Z x =∈-≤≤，则图中阴影部分表示的集合为( )A. []1,3B. (]1,3C. {}1,2,3-D. {}1,0,2,3-【答案】C 【解析】 【分析】求出集合的等价条件，结合Venn 图转化为定义的集合关系进行求解即可．【详解】解：{}{}2|1=01A x N x =∈≤，，{1,0,1,2,3}B =- 阴影部分对应的集合为B C A ， 则{1,2,3}B C A =-， 故选：C ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn 图表示集合关系是解决本题的关键． 2.在复平面内，复数1z i =+的共轭复数对应的向量为'OZ 为( )A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】先求出共轭复数，然后写出其对应的点，从而可得答案． 【详解】解：复数1z i =+的共轭复数为1z i =-， 对应的点为(1,1)-，复数1z i =+的共轭复数对应的向量为'OZ 为图C ， 故选：C ．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题． 3.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则()cos πα-=( )A.45 B.35C. 45-D.35【答案】A 【解析】 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系和诱导公式，求得()cos πα-的值．【详解】解：因,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以234cos 155α⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()4cos cos 5παα∴-=-=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于基础题．4.根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如下饼图：则下列说法错误的是( )A. 2018年的水质情况好于2017年的水质情况B. 2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加C. 2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质D. 2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过60% 【答案】C 【解析】 【分析】根据饼图逐一判断．【详解】A ．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显超过2017年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比，故正确； B ．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比达到60.4%，而2017年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比为46.4%，故正确； C . 2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是III 类水质，故错误； D . 2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比达到60.4%，超过60%，故正确. 故选：C ．【点睛】本题考查饼图的识别及认识，是基础题．5.以双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 为圆心，12OF 为半径的圆(O 为坐标原点)与C 的渐近线相切，则C 的渐近线方程为( ) 30x y ±= B. 30x y ±= 50x y ±= D. 50x ±=【答案】B 【解析】写出双曲线的渐近线方程以及圆的圆心坐标和半径，利用直线和圆相切列方程求出ba即可． 【详解】由已知双曲型的渐近线为by x a =±，选取其中一条研究即可，即为0bx ay +=， 另外以双曲线C 的右焦点F 为圆心，12OF 为半径的圆圆心为(,0)c ，半径为12c ，由题可知2212c a b =+，即222b a b =+，解得3b a =， 则C 的渐近线方程为3y x =±，即30x y ±=， 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，以及直线和圆的位置关系，重点在建立,,a b c 的等量关系，是基础题．6.如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为()f n (9n ≤且*n N ∈)，已知()11f =，()21f =，且通过该规则可得()()()1221f n f n f n =-+-+，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为( )A. 7B. 16C. 19D. 21【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系计算即可．【详解】解：由已知()()()322111214f f f =++=++=，()()()432214217f f f =++=++=， ()()()5423178116f f f =++=++=，【点睛】本题考查递推关系的应用，是基础题．7.设()'f x 是函数()f x 的导函数，()'y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是( )A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图像得到原函数单调性，再逐一对照选项即可．【详解】解：根据导函数图像，()y f x =的增区间为(3,1),(0,1)--，减区间为(1,0),(1,3)-， 观察选项可得D 符合， 故选：D ．【点睛】本题考查原函数和导函数图像之间的关系，注意导函数图像重点关注函数值的正负，原函数图像重点关注函数的单调性，是基础题．8.ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若120B =︒，21sin 7C =，2c =，则ABC ∆的面积等于( ) A.32B. 23C.343【答案】A【分析】先通过已知求出sin ,cos ,cos B B C ，进而根据sin sin()A B C =+求出sin A ，再利用正弦定理求出b ，则利用面积公式可求出ABC ∆的面积． 【详解】解：120B =︒，1sin 2B B ∴==-，又sin 7C =，C 为锐角，cos C ∴=sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+1272714⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭， 由正弦定理得sin sin b cB C=，sins in 27c b B C ∴=⋅==11sin 222ABCSbc A ∴===故选：A ．【点睛】本题考查正弦定理解三角形，以及求三角形的面积，关键是对公式的灵活应用，缺什么，求什么即可，是基础题．9.已知函数()xxf x e e -=+，则( )A. (()f f e f <<B. ()(f e f f<<C. ()(f f e f <<D. (()f f f e <<【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性的规律确定原函数的单调性，利用单调性即可比较函数值的大小．【详解】解：由已知()()xx f x ee f x --=+=，故()f x 为偶函数，另外令x t e =，则()1f x t t=+，x t e =，又1y t t=+，在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，而x t e =在R 上单调递增，且01e =， 根据复合函数单调性的判断规则，()x x f x e e -=+在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，因为520e >>>，所以()()()25ff f e <<，即()()()25f f f e -<<，故选：D ．【点睛】本题考查复合函数的单调性，根据内层外层函数同增异减可得原函数单调性，本题难点在于外层函数非单调函数，是中档题10.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是( )A. 2B. 4C. 26D. 6【答案】B 【解析】 【分析】先求出截面圆的半径，然后根据球的半径，小圆半径，球心距三者之间的关系列方程求解即可．【详解】解：设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即23 根据截面圆的周长可得42r ππ=，得2r ，故由题意知(22223R r =+，即(2222316R=+=，所以4R =，故选：B ．【点睛】本题考查球被面所截的问题，考查学生计算能力以及空间想象能力，是基础题．11.已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是( ) A. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】先通过x 的范围，求出4x πω-的范围，再利用值域，可得52244πωπππ≤-≤，进而可求ω的取值范围． 【详解】解：因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤， 解得332ω≤≤，故选：B ．【点睛】本题考查三角函数的性质，关键是要求出整体24ωππ-的范围，再根据单调性和最值的关系分析，是中档题．12.已知P 是函数()2f x x =图象上的一点，过点P 作圆22430x y y +-+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA PB ⋅的最小值为( )A. 328-B. 3C. 0D.32【答案】A 【解析】 【分析】先利用条件将PA PB ⋅表示为222||3PM PM -+，求出2||PM 的范围，利用函数23y t t=+-的单调性求出最小值．【详解】解：如图设点M 为圆22430x y y +-+=的圆心，坐标为(02)，，圆的半径为1， 1sin APM PMAM PM∴∠==， 222cos 12sin 1APB APM PM∴∠=-∠=-，222222(||1)||c 1)(3os APB PM PA PB P PM P A MB P P M∴⋅=⋅⋅-∠=⋅+-=-，设2||PM t =，则23y PA PB t t=⋅=+-， 设2(,)P x x ，则22222242377(2)3|4()244|x x x x x PM =+-=-+=-+≥，故74t ≥， 23y t t =+-在7[,)4+∞上单调递增，min 83734287y -=∴=+-，故选：A ．【点睛】本题考查圆锥曲线的最值问题，关键是要将目标式用一个变量表示，构造函数求最值，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。