2019-2020年高三10月月考数学理试卷缺答案
湖北省金太阳百校联考高三上学期数学10月月考试卷及答案
高三上学期数学10月月考试卷一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.如图所示的复古时钟显示的时刻为10:10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（）A. B. C. D.3.若函数的定义域为，且，，，，则的解析式可能为（）A. B. C. D.4.将函数（）的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则（）A. 5B.C. 4D.5.已知命题：，，，则为（）A.，， B. ，，C.，， D. ，，6.函数在上的部分图象大致为（）A. B. C. D.7.已知，，，则（）A. B. C. D.8.已知点为角终边上一点，，且，则（）A. 2B. 2±C. 1D. ±1二、多选题9.关于充分必要条件，下列判断正确的有（）A. “ ”是“ ”的充分不必要条件B. “ ”是“ ，，成等比数列”的充分不必要条件C. “ 的图象经过点”是“ 是幂函数”的必要不充分条件D. “直线与平行”是“直线与的倾斜角相等”的充要条件10.血压（bloodpressure，BP）是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力，血压的最大值､最小值分别称为收缩压和舒张压.未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压或舒张压，则说明这位成人有高血压，设从未使用抗高血压药的李华今年40岁，从某天早晨6点开始计算（即早晨6点时，），他的血压（）与经过的时间（）满足关系式，则（）A. 函数的最小正周期为6B. 当天早晨7点时李华的血压为C. 当天李华有高血压D. 当天李华的收缩压与舒张压之差为11.已知函数的定义域为，，，当时，，则（）A. B. 的图象关于直线对称C.当时， D. 函数有4个零点12.若存在，则称为二元函数在点处对的偏导数，记为；若存在，则称为一元函数在点处对的偏导数，记为，已知二元函数（，），则（）A. B.C. 的最小值为D. 的最小值为三、填空题13.函数的图象在点处的切线方程为 .14.设集合，或，若，则的取值范围是 .15.设函数关于的方程有四个实根，，，，则的最小值为 .16.已知函数，则的最小值为，图象的一条对称轴方程可以是 .四、解答题17.已知.（1）.求的值；（2）.求值.18.如图，在三棱锥中，平面，，与的长度之和为6米，，现要给三棱锥的侧面刷油漆，每平方米需要0.5升油漆，油漆价格为60元/升.（1）.设米，三棱锥的侧面共需要油漆升，试写出关于的函数表达式；（2）.刷油漆需要请油漆工来完成，工费按照每平方米10元计算，若油漆工工费及油漆费用的总预算为400元，试问最后油漆工工费及油漆费用是否有可能会超预算？说明你的理由.19.已知函数的部分图象如图所示.（1）.求的解析式；（2）.把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，证明：在上有最大值的充要条件是.20.已知函数.（1）.讨论在上的单调性；（2）.若曲线的一条切线的斜率为，证明：这条切线与曲线只有一个公共点.21.已知函数（且）经过定点，函数（且）的图象经过点.（1）.求函数的定义域与值域；（2）.若函数在上有两个零点，求的取值范围.22.已知函数.（1）.若，求的取值范围；（2）.若，证明：.答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】，，.故答案为：D.【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，由此得出集合M，再由并集的定义结合不等式的性质即可得出答案。
2020届天津市南开中学高三10月月考数学试题(解析版)
2020届天津市南开中学高三10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}124x A x -=≥，{}2230B x x x =--<，则()R AB ð等于（ ）A.{}3x x ≥B.{}3x x >C.{}13x x -<< D.{}31x x x ≥≤-或【答案】A【解析】解出集合A 、B ，再利用交集和补集的定义求出集合()R A B ð.【详解】解不等式124x -≥，即12x -≥，得3x ≥，{}3A x x ∴=≥. 解不等式2230x x --<，解得13x -<<，{}13B x x ∴=-<<， 则{}13R B x x x =≤-≥或ð，因此，(){}3R A B x x ⋂=≥ð，故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集与补集的混合运算，同时也考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，解题的关键就是解出问题中所涉及的集合，考查运算求解能力，属于基础题. 2．“成立”是“成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x ＜3，由x （x-3）＜0得0＜x ＜3，所以“|x -1|＜2成立”是“x （x-3）＜0成立”的必要不充分条件 【考点】1．解不等式；2．充分条件与必要条件3．已知()sin f x x x =-+，命题:0,2p x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（ ） A ．p 是假命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭B ．p 是假命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭C ．p 是真命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭D ．p 是真命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】试题分析：'()1cos f x x =-+，当(0,)2x π∈，'()0f x <，因此()f x 是减函数，所以(0,)2x π∈，()(0)0f x f <=，命题p 是真命题，p ⌝是：000,,()02x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭，故选D ．【考点】命题的真假，命题的否定． 4．已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << 【答案】D【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，e e z 121==-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，若对于任意x R ∈， ()()2222f log a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1 B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】B【解析】因为()f x 是偶函数，所以不等式()()22log 22f a f x x ≤-+可化为()()22log 22f a f x x ≤-+，又()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以22log 22a x x ≤-+，而()222211x x x -+=-+的最小值为1，所以2log 1a ≤，21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤． 6．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为函数在区间上单调递减，所以函数在区间上恒成立，即在恒成立，而在递减，在递增，且，即；故选C.7．设函数()144x f x ex -=+-，()1ln g x x x=-，若()()120f x g x ==，则（ ）A.()()120g x f x <<B.()()120g x f x <<C.()()210f x g x <<D.()()210f x g x <<【答案】B【解析】分析函数()y f x =和()y g x =的单调性，利用零点存在定理求出函数零点的取值范围，再由函数的单调性来得出()2f x 与()1g x 的正负. 【详解】()144x f x e x -=+-Q ，()140x f x e -'∴=+>，则函数()y f x =为增函数， ()00f <Q ，()10f >，且()10f x =，由零点存在定理知101x <<.()1ln g x x x =-Q ，则()221110x g x x x x+'=+=>，所以，函数()y g x =为增函数， 且()10g <，()12ln 202g =->，又()20g x =，由零点存在定理可知212x <<.()()210f x f ∴>>，()()110g x g <<，因此，()()120g x f x <<，故选：B.【点睛】本题考查函数值符号的判断，同时也考查了函数单调性与零点存在定理的应用，解题的关键就是利用函数的单调性与零点存在定理求出零点的取值范围，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.8．设实数,,a b c 分别满足322,a a +=2log 1b b =，5log 1,c c =则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a b c >> B.b a c >> C.c b a >> D.a c b >>【答案】C【解析】令3()22f x x x =+-，则3()22f x x x =+-在R 上单调递增，且(0)(1)2110f f ⋅=-⨯=-<，即(0,1)a ∈，在同一坐标系中作出251,log ,log y y x y x x===的图象，由图象，得1b c <<，即c b a >>；故选C.点睛：在涉及超越方程的求解问题，往往将其分离成两个基本函数图象的公共点问题，如本题中判定5log 1c c =的根的取值范围，就转化为1y x=和5log y x =的图象交点问题. 9．已知函数()21,2114,15x x f x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，若关于x 的方程()0f x ax -=有两个解，则实数a 的取值范围是（ ） A.650,2252⎛⎤⎡⎫⋃-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，B.650,2252⎛⎫⎡⎤⋃-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， C.{}56,,0,2225⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞⋃- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D.56,,225⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】A【解析】关于x 的方程()0f x ax -=有两个解，等价于()y f x =和y ax =有两个交点，如图所示：作出函数()21,2114,15x x f x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩的图象，()2,5A -，()1,2B ，65,5C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，625OC k =，由图可得60,25k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，直线与曲线有两个交点，由图可得过原点的直线与21y x =+有两个交点的临界位置为两者相切时，联立两者方程21y kxy x =⎧⎨=+⎩得：210x kx -+=，由240k =-=解得2k =±，切点坐标为()1,2-和()1,2且52OA k =-，要使直线与抛物线有两个交点，直线的斜率应满足5,22k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，综上可得650,,2252k ⎛⎤⎡⎫∈⋃-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选A.二、填空题10．设复数z 满足)3i z i ⋅=，则z =__________．【答案】1+【解析】分析：根据条件先将z 的表达式求出，再结合复数的四则运算即可.详解：3)13i i z ===+点睛：考查复数的计算，属于基础题.11．6⎛⎝展开式的常数项为 ．（用数字作答）【答案】-160【解析】试题分析：由6662166(1)(2)rrr r r r rr T C C ---+⎛==- ⎝，令620r -=得3r =，所以6⎛ ⎝展开式的常数项为33636(1)(2)160C --=-.【考点】二项式定理.12．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1).【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e . 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 13．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是 ．【答案】【解析】试题分析：由图知，当时，,由得即所以不等式解集为【考点】利用函数性质解不等式14．已知函数32,(),x x m f x x x m ⎧≤=⎨>⎩，，若存在实数a ，使函数g(x)=f(x)-a 有两个零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】()(),01,-∞⋃+∞【解析】由题意得直线y a =和函数()y f x =的图象有两个交点，故函数()y f x =在定义域内不能是单调函数．在同一坐标系内画出函数3y x =和2y x =的图象，结合图象可得所求的结果． 【详解】∵()()g x f x a =-有两个零点， ∴()f x a =有两个零点，即()y f x =与y a =的图象有两个交点， 由32x x =可得，0x =或1x =．①当1m >时,函数()f x 的图象如图所示，此时存在a 满足题意，故1m >满足题意．②当1m =时,由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意． ③当01m <<时,函数()f x 单调递增，故不符合题意．④0m =时,()f x 单调递增，故不符合题意． ⑤当0m <时,函数()y f x =的图象如图所示,此时存在a 使得()y f x =与y a =有两个交点．综上可得0m <或1m >．所以实数m 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞． 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，运用图象进行求解．对于含有参数的问题，要注意分类讨论的方法在解题中的应用，同时还要注意数形结合在解题中的应用．15．函数()()4ln (1)f x kx x x x =+->，若()0f x >的解集为(),s t ，且(),s t 中只有一个整数，则实数k 的取值范围为___________。
2023-2024学年山东省滨州市新高考大联考高三上学期10月月考数学试题及答案
试卷类型：A山东新高考联合质量测评10月联考试题高三数学考试用时120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}2280N x x x =+-≥，则M N ⋂=（）A ．{}2,2-B ．{}2-C ．{}2D ．22．合题“a ∃∈R ，()2f x x ax =-是偶函数”的否定是（ ）A ．a ∀∈R ，()2f x x ax =-不是偶函数B ．a ∀∈R ，()2f x x ax =-是奇函数C ．a ∃∈R ，()2f x x ax =-不是偶函数D ．a ∃∈R ，()2f x x ax =-是奇函数3．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，是过去官员或私人签署文件时代表身份的信物。
图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则该几何体的体积是（ ）A ．32B ．643C ．1283D ．644．已知cos 6πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ）A B C ．D ．5．已知实数,a b 满足()()lg 3lg lg 2a b a b +=+，则2a b +的最小值是（ ）A ．9B ．3C ．2D ．66．已知()2x xe af x e+=满足()()0f x f x -+=，且()f x 在()(),b f b 处的切线方程为2y x =，则2a b +=（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．-27．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点P 在1AB C 内运动，且满足PB =2，则点P 的轨迹长度为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD 8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且()()()112n n n n S S n a ++-=+，若存在n N +∈，使得214n n S ka +≤成立，则k 的最小值是（ ）A ．1B ．425C ．152D ．8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三10月月考地理试卷(有答案)
哈尔滨市第六中学2019届10月阶段性总结高三地理试题一、单项选择题（本大题共有40小题，1--20每小题2分，21--40每小题1分,共计60分）木糖醇是可以从白桦树、橡树、玉米芯、甘蔗渣等植物中提取出来的一种天然植物甜味剂。
据此回答1-2题。
1．木糖醇生产厂应当接近( )A.消费市场B.原料产地C.廉价劳动力地区D.研发基地2.材料所述木糖醇工业原料中的糖料作物，在我国分布广泛的省区是( )A.四川、吉林B.宁夏、新疆C.江苏、河北D.广东、台湾地坑院也叫地窖,在我国已有约四千年历史了。
地坑院就是在平整的地面上挖一个正方形或长方形的深坑,深约6-7米,然后在坑的四壁挖若干孔洞,其中一孔洞内有一条斜坡通道拐个弧形直角通向地面,是人们出行的门洞。
结合下图,回答3-5题。
3.地坑院反映的当地环境是( )A.土层深厚B.冬暖夏凉C.降水稀少D.木材短缺4.下图中地坑院出入通道周围的砖墙主要作用是( )A.挡风B.防水C.阻沙D.遮阳5.该地可能位于( )A.河南B.黑龙江C.新疆D.福建一棵10米高的树长成可能需要50年，而这样高的竹子却只需约50天，不到5年便可以利用；因此，竹子产业被称作“黄金绿色产业”。
中国的成片竹林面积、年产竹材、年产竹笋数量分别为世界总量的1/3、1/3、1/2，位居全球之首，完成下列6-7小题。
6. 要发挥竹子的经济效益，应着眼于（）A.发挥优势，扩大竹子的种植面积B.加大科技投入，进行深加工C.扩大竹笋食品的出口D.加强管理，提高竹子产量7. 竹子产业被称作“黄金绿色产业”，是因为（）A.常年绿色，多用作园林绿化B.能帮助农民快速脱贫致富C.适应性强，在我国东部季风区都可推广种植D.分布广，能产生巨大的经济效益和环境效益下图为我国某月降水地区分布图（阴影部分）。
据此完成8-9问题。
8．图示的月份，华北地区哪个职能部门工作压力最大（）A．电力部门B．水力部门 C．交通部门 D．通讯部门9．此时长江中下游的天气状况与下面诗句描述相对应的是（）A．一年三季东风雨，独有夏季东风晴 B．忽如一夜春风来，千树万树梨花开C．黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙 D．三月东风吹雪消，湖南山色翠如浇快捷支付是一种全新的支付理念，具有方便、快速的特点，是未来消费的发展趋势，其特点体现在“快”。
黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2024-2025学年度高三上学期10月数学学科(I)试卷 答案
15．【详解】（1）因为，当时，，当时，，所以．显然当时，依然成立，∴数列的通项公式为．（2）由（1）知，则，，所以，所以．16．【详解】（1），则；（2）令，得，所以函数的单调增区间为；（3）由，得，所以，所以函数的值域为．17．【详解】（1，2n S n n =+1n =11112a S ==+=2n ≥()2111n S n n -=-+-()221(1)12n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦1n =1212a =⨯={}n a 2n a n =122n n n n b a n -==⋅212222n n T n =⨯+⨯++⋅ 231212222n n T n +=⨯+⨯++⋅ ()1221112222222212212n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=---L ()1122n n T n +=-+()π23cos 26sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭2ππ2T ==πππ2π22π262k x k -+≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈()y f x =πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭π2ππ2,636x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭π1sin 21,62x ⎛⎫⎡⎫+∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭()y f x =[)6,3-22sin 12B B -=()1cos 1B B --=，故，可得，因为，，所以，可得.（2）若选①：由平分得：，即，即，在中，由余弦定理得，即，两式联立可得，所以的周长为；若选②：为线段的中点，故，，因为，，故，整理可得，在中，由余弦定理得，所以，两式联立可得，所以，从而的周长为.18．【详解】（1）由已知当，，，，又，，，所以数列为等差数列，公差为，，cos 2B B +=π2sin 26B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 16B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,πB ∈ππ7π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ππ62B +=π3B =BD ABC ∠ABC ABD BCD S S S =+△△△1π1π1πsin 3sin 3sin 232626ac a c =⨯+⨯)ac a c =+ABC V 222π2cos 3b ac ac =+-2212a c ac +-=a c +=ABC V a b c ++=+=D AC ()12BD BA BC =+ ()()222211244BD BA BC BA BA BC BC =+=+⋅+ π3B =3BD =221πs 2943co c c a a ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭2236a c ac ++=ABC V 222π2cos 3b ac ac =+-2212a c ac +-=12ac =a c +=ABC V a b c ++=+=2n ≥N n *∈n a =0n a ≠0≠1n n n a S S -=-1n n S S -=-=1=11==n =所以当，时，，又，所以，，设等比数列的公比为，因为，，所以，，所以，所以（2）由（1），所以，所以数列的前项和，所以.（3）由（1）知，当时，，则当时，，即对任意的，都有，所以19．【详解】（1）（i ）由，令，则，所以F (x )在(0,+∞)上单调递增，2n ≥N n *∈121n a n n n =+=+-=-11211a ==⨯-21n a n =-N n *∈{}n b q 110a b +=2233443a b a b a b ==++-111b a =-=-323357q q q -=-+=1q =-()1n n b =-()()()()1111212142121n nn n c n n n n --⎛⎫==+ ⎪-⋅+-+⎝⎭()()111142121n n n c n n +⎛⎫--=- ⎪ ⎪-+⎝⎭{}n c n ()()11111111111114343545742121n n n T n n +⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11484n nT n -=-++222111(21)441n a n n n ==--+2n ≥22111114441n a n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭22212111111111111151111412231444n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++-=+-<+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 1n =211514a =<*n ∈N 22221121111514n a a a a =≤+++< 222121111n a a a ⎡⎤+++=⎢⎣⎦ ()e e sh 2x xx --=()()()e e sh ,02x xF x x x x x --=-=->()e e 102x xF x -'+=->所以，所以当时，成立；（ii ）令，则，令，则，因此φ(x )在(0,+∞)上单调递增；所以，故，即，所以在(0,+∞)上单调递增，即，所以当时，成立；（2）由时，成立，令，且， 则，即 ，由题意，令且，可得，因为，所以，由①当时，，()()()()sh 0=sh 000F x x x F =->-=0x >()sh x x >()()21cos 1,02H x x x x =-+>()sin H x x x -'=+()sin x x x ϕ=-()1cos 0x x ϕ'=-≥()()sin 00x x x ϕϕ=-≥=sin x x >()sin 0H x x x '=-+>()H x ()()21cos 1002H x x x H =-+>=0x >21cos 12x x >-0x >21cos 12x x >-1,1x n n =≥*N n ∈211cos 12n n>-222112211cos 111124412121n n n n n n ⎛⎫>-=->-=-- ⎪--+⎝⎭()()()sh 22sh ch x x x =⋅1,1x n n =≥*N n ∈211sh 2sh ch n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()e e ch 12x xx -+=>2111sh 2sh ch 2sh n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0x >()sh x x >所以令且，可得，所以，由前面解答过程得，对任意成立，令且，可得 ，所以，又且，所以，所以 所以可得 ，即可得.1,1x n n =≥*N n ∈11sh n n⎛⎫> ⎪⎝⎭21112sh 2sh ch 2sh n n n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅>> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0,sin x x x >>1,1x n n =≥*N n ∈11sin n n>21112111sh 2sh ch 2sh 2sin 2cos tan n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅>>>=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1n ≥*N n ∈101n<≤2sh 1112cos 2112121tan n n n n n ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭>>-- ⎪ ⎪⎢⎥-+⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪⎝⎭()()22sh sh sh 2sh 11111132111111tan13352121tan tan tan 23n n n n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++++>--+-++-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 242222121n n n n n =-+=-++()()()*22sh sh sh 2sh 1432N 111tan121tan tan tan 23n n n n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++>-∈+。
重庆市2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题含答案
重庆高2024届高三上10月质量监测数学试题（答案在最后）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.1.定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x b a a A b B ⊗==-∈∈，若{1,4},{1,2}A B ==-，则A B ⊗中的元素个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】计算可求得{}0,3,3A B ⊗=-，可得结论.【详解】因为{1,4},{1,2}A B ==-，当1,1a b ==-时，20x b a =-=，当1,2a b ==时，23x b a =-=，当4,1a b ==-时，23x b a =-=-，当4,2a b ==时，20x b a =-=，所以{}0,3,3A B ⊗=-，故A B ⊗中的元素个数为3.故选：C.2.直线10ax y +-=被圆22(1)(4)4x y -+-=所截得的弦长为a =（）A.43-B.34-C.3D.2【答案】A 【解析】【分析】先求出圆心到直线10ax y +-=的距离，结合点到直线的距离公式，即可得出a 的值.【详解】圆22(1)(4)4x y -+-=的圆心为(1,4)，半径为2r =，1=，根据点到直线距离公式，知圆心(1,4)到直线10ax y +-=的距离1d ==，化简可得22(3)1a a +=+，解得43a =-.故选：A.3.已知:p x a ≥，:||6q x a +<，且p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围为（）A.(−∞,−3]B.(−∞,−3)C.[3,+∞)D.(3,+∞)【答案】A 【解析】【分析】由题意可得6a a ≤--，求解即可.【详解】由||6x a +<，解得66a x a --<<-，由p 是q 的必要不充分条件，所以6a a ≤--，解得3a ≤-，所以a 的取值范围为(,3]-∞-.故选：A.4.下列说法中，正确的是（）A.设一组样本数据12,,,n x x x 的方差为0.1，则数据1210,10,,10n x x x 的方差为1B.已知数据2，3，5，7，8，9，10，11，则该组数据的上四分位数为9C.一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数【答案】C 【解析】【分析】依据方差的性质计算可判断选项A ；求得四分位数可判断选项B ；依据中位数定义和平均数定义去判断选项C ；由频率直方图的意义可判断D.【详解】对于A ，设一组样本数据12,,,n x x x 的方差为0.1，则数据1210,10,,10n x x x 的方差为2100.110⨯=，故A 错误；对于B ，因为80.756⨯=，所以该组数据的上四分位数为9109.52+=，故B 错误；对于C ，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等，故C 正确；对于D ，频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，故D 错误.故选：C.5.已知3a log 6=，5log 10b =，7log 14c =，则（）A.b a c << B.c b a<< C.a b c<< D.a c b<<【答案】B 【解析】【分析】根据对数的运算和对数函数的性质即可求解.【详解】因为3321log 61log 21,log 3a ==+=+5521log 101log 21log 5b ==+=+,7721log 141log 21log 7c ==+=+且222log 7>log 5log 3>0>；所以a b c >>.故选：B.6.已知2F 是椭圆()222210+=>>x y a b a b的右焦点，点P 在椭圆上，()220OP OF PF +⋅= ，且22OP OF b +=，则椭圆的离心率为（）A.3B.5C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】设2PF 的中点为Q ，根据向量的线性运算法则及数量积的定义可得2OQ PF ⊥，从而得到12PF PF ⊥，根据22OP OF b +=得到1||2PF b =，再根据椭圆的定义得到2||PF ，在直角三角形中利用勾股定理得到23b a =，最后根据离心率公式计算可得；【详解】解：设2PF 的中点为Q ，则22OP OF OQ += 由22()0OP OF PF +⋅= ，即220OQ PF ⋅=所以2OQ PF ⊥，连接1PF 可得1//OQ PF ，所以12PF PF ⊥，因为22OP OF b += ，即22OQ b =，即1||2PF b=所以21||2||22PF a PF a b =-=-，在12R t PF F 中，2221212||||||PF PF F F +=，即()()2222224c b a b -+=，又222c a b =-，所以222222b a b ab a b +=+--，所以232b ab =，即23b a =解得22222513c a b b e a a a -===-，故选：A7.设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝212x⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则在区间(－2，6)上关于x 的方程f(x)－log 8(x＋2)＝0的解的个数为A.4 B.3C.2D.1【答案】B 【解析】【分析】把原方程转化为()y f x =与8log (2)y x =+的图象的交点个数问题，由(2)(2)f x f x +=-，可知()f x 的图象关于2x =对称，再在同一坐标系下，画出两函数的图象，结合图象，即可求解．【详解】由题意，原方程等价于()y f x =与8log (2)y x =+的图象的交点个数问题，由(2)(2)f x f x +=-，可知()f x 的图象关于2x =对称，作出()f x 在(0,2)上的图象，再根据()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，结合对称性，可得作出()f x 在()2,6-上的图象，如图所示．再在同一坐标系下，画出8log (2)y x =+的图象，同时注意其图象过点(6,1)，由图可知，两图象在区间()2,6-内有三个交点，从而原方程有三个根，故选B．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记对数函数的性质，合理应用函数的奇偶性，在同一坐标系内作出两函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档试题．8.已知函数() )2023f x x =-+，,a b 满足 (2)(4)4046(,f a f b a b +-=为正实数)，则242b a a ab b ++的最小值为（）A.1B.2C.4D.658【答案】B 【解析】【分析】由已知构造函数()()2023g x f x =-，探讨函数()g x 的单调性、奇偶性，进而求得24a b +=，再利用基本不等式求解即得.【详解】令()()2023)g x f x x =-=-||x x >≥，得()g x 定义域为R ，()()))ln10g x g x x x -+=+==，即函数()g x 是奇函数，而())g x x -=-，当0x ≥时，函数u x =+是增函数，又ln y u =是增函数，于是函数()g x 在[0,)+∞上单调递减，由奇函数的性质知，函数()g x 在(,0]-∞上单调递减，因此函数()g x 在R 上单调递减，由(2)(4)4046f a f b +-=，得(2)2023(4)20230f a f b -+--=，即(2)(4)0g a g b +-=，所以(2)(4)(4)g a g b g b =--=-，则24a b =-，即24a b +=，又0,0a b >>，所以244422(2)4b b b a ab b a b a a a a a b b +=+=+≥++，当且仅当164,99a b ==时取等号，所以242b a a ab b ++的最小值为2.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.9.已知1,0a b c >><，则（）A.c a <cbB.()ac ->()bc -C.a cb a +⎛⎫< ⎪⎝⎭b cb a +⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()log b a c ->()log a b c -【答案】CD 【解析】【分析】对于A,B ，取特殊值判断即可；对于C,利用指数函数的单调性判断即可；对于D,利用对数函数的单调性判断即可.【详解】对于A,不妨取4,2,c 1a b ===-，则c 1c 1,42a b =-=-,此时c ca b>,故A 错误;对于B,不妨取4,2,c 1a b ===-,则42()11,()11a b c c -==-==，此时()()a b c c -=-,故B 错误;对于C,因为1a b >>,所以01b a <<,所以指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，因为0c <,所以a c b c +>+,所以a cb cb b a a ++⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确;对于D,因为1a b >>,所以对数函数log b y x =和log a y x =在()0,∞+上单调递增，因为0c <,所以1a c b c ->->,所以()()log log 0b b ac b c ->->又()()log log 0b a b c b c ->->,所以()()log log b a a c b c ->-,故D 正确.故选：CD.10.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.现安排小明、小红、小兵3名志愿者到甲、乙、丙、丁四个场馆进行服务.每名志愿者只能选择一个场馆，且允许多人选择同一个场馆，下列说法中正确的有（）A.所有可能的方法有43种B.若场馆甲必须有志愿者去，则不同的安排方法有37种C.若志愿者小明必须去场馆甲，则不同的安排方法有16种D.若三名志愿者所选场馆各不相同，则不同的安排方法有24种【答案】BCD 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理判断AC 选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B 选项的正确性，利用排列数计算判断D 选项的正确性.【详解】对于A ，所有可能的方法有34种，故A 错误.对于B ，分三种情况：第一种：若有1名志愿者去场馆甲，则去场馆甲的志愿者情况为13C ，另外两名同学的安排方法有339⨯=种，此种情况共有13C 927⨯=种，第二种：若有两名志愿者去场馆甲，则志愿者选派情况有23C ，另外一名志愿者的排法有3种，此种情况共有23C 39⨯=种，第三种情况，若三名志愿者都去场馆甲，此种情况唯一，则共有279137++=种安排方法，B 正确.对于C ，若小明必去甲场馆，则小红，小兵两名志愿者各有4种安排，共有4416⨯=种安排，C 正确.对于D ，若三名志愿者所选场馆各不同，则共有34A 24=种安排，D 正确.故选：BCD.11.已知双曲线22:1(01)91x y C k k k +=<<--，则（）A.双曲线C 的焦点在x 轴上B.双曲线C 的焦距等于C.双曲线CD.双曲线C的离心率的取值范围为1,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的简单几何性质，对各选项逐一分析即可得答案.【详解】解：对A ：因为01k <<，所以90k ->，10k -<，所以双曲线22:1(01)91x y C k k k-=<<--表示焦点在x 轴上的双曲线，故选项A 正确；对B ：由A 知229,1a k b k =-=-，所以222102c a b k =+=-，所以c =所以双曲线C的焦距等于)21c k <<=，故选项B 错误；对C ：设焦点在x 轴上的双曲线C 的方程为()222210,0x ya b a b-=>>，焦点坐标为(),0c ±，则渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，所以焦点到渐近线的距离d b ==，所以双曲线22:1(01)91x y C k k k -=<<--C 正确；对D ：双曲线C的离心率e ===，因为01k <<，所以8101299k <-<-，所以13,e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝=⎭，故选项D 正确.故选：ACD.12.信息熵常被用来作为一个系统的信息含量的量化指标，从而可以进一步用来作为系统方程优化的目标或者参数选择的判据.在决策树的生成过程中，就使用了熵来作为样本最优属性划分的判据.信息论之父克劳德·香农给出的信息熵的三个性质：①单调性，发生概率越高的事件，其携带的信息量越低；②非负性，信息熵可以看作为一种广度量，非负性是一种合理的必然；③累加性，即多随机事件同时发生存在的总不确定性的量度是可以表示为各事件不确定性的量度的和.克劳德⋅香农从数学上严格证明了满足上述三个条件的随机变量不确定性度量函数具有唯一形式21()log1nii i H X CP P ==-=∑，令1=C ，设随机变量X 所有取值为1，2，3，⋯，n ，且()()01,2,3,,i P X i P i n ==>= ，11nii P ==∑，则下列说法正确的有（）A.1n =时，()0H X =B.n =2时，若1P ∈10,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()H X 的值随着1P的增大而增大C.若1P =2P =112n -，1k P +=2kP (2,N k k ≥∈)，则()2122n H X -=-D.若2n m =，随机变量Y 的所有可能取值为12m ，，，，且()()()()2112P Y j P X j P X m j j m ===+=+-= ，，，，，则()()H X H Y ≤【答案】ABC 【解析】【分析】A 直接利用公式求解；B 先求出()2log H X n =,再判断单调性即可求解；CD 分别求出()H X 和()H Y ,结合对数函数单调性放缩即可求解.【详解】对于A ：若1n =,则11,1i P ==,因此()()21log 10,A H x =-⨯=正确;对于B ：当2n =时,()()()112112110,,log 1l 12P H x PP P og P ⎛⎫∈=---- ⎪⎝⎭，令()()()221log 1log 1,0,2f t t t t t t ⎛⎫=----∈ ⎪⎝⎭，则()()2221log log 1log 10f t t t t ⎛⎫=-+-=-> ⎪⎝⎭'，即函数()f t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,所以()H x 的值随着1P的增大而增大,B 正确;对于C ：()12111,22,N 2k k n P P P P k k +-===≥∈，则22211212,222k k k n n k P P k ----+=⨯==≥，22111111log log 222k k n k n k n k n k P P -+-+-+-+==-,，而1212111111log log 222n n n n P P ----==-，于是()2111222111221log ...222222n k k n n n n k n n n n H x P P ----=----=+=+++++∑1122112212222222n n n n n n n n n n ------=-++++++ 令231123122222n n n n nS --=+++++ ，则234112312221222n n n S n n +-=+++++ ，两式相减得2311111111111222112222222212n n n n n n n n n S +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-=-=-- ，因此222n n n S +=-,()112112122222222nn n n n n n n n n n n H x S -----+=-+=-+-=-，C 正确；对于D ,若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()()()()21,1,2,,P Y j P X j P X m j j m ===+=+-=⋯,222211()l 1og log m mi i i i i iH x P P P P ===-=∑∑122221222122121111log log log log m m m m P P P P P P P P --=++++ ()()()()122221212122211111log log log m m m m mm m m H Y P P P P P P P P P P P P -+-+=+++++++++ 12222122212221221121111log log log log m m m m m mP P P P P P P P P P P P ---=++++++++ 由于()01,2,,2i P i m >= ,即有2111i i m i P P P +->+,则222111log log i i m iP P P +->+,因此222111log log i i i i m iP P P P P +->+,所以()()H X H Y >,D 错误.故选:ABC .三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知P 为椭圆221123x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，1260F PF ∠︒＝，则12F PF 的面积为_______.【解析】【分析】结合椭圆定义与余弦定理、面积公式计算即可得.【详解】由已知得a =，b =，所以3c ===，从而1226F F c ==，在12F PF 中，2221212122cos 60F F PF PF PF PF ⋅︒＝＋－，即22121236PF PF PF PF ⋅＝＋－①，由椭圆的定义得12PF PF +=，即221212482PF PF PF PF ⋅＝＋＋②，由①②得124PF PF ⋅＝，所以12121sin 602F PF S PF PF ⋅⋅=︒= .14.若a ，0b >，且3ab a b =++，则ab 的最小值是____________．【答案】9【解析】【分析】利用基本不等式得3a b ab +=-≥，再解不等式可得结果.【详解】因为3a b ab +=-≥（当且仅当a b =时，等号成立），所以230--≥，所以1)0-+≥3≥，所以9ab ≥，所以ab 的最小值为9.故答案为：915.设关于x 的不等式220(0)x ax a a -+<<的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数解，则实数a 的取值范围为___________.【答案】1[1,3--【解析】【分析】令2()2f x x ax a =-+，根据不等式220(0)x ax a a -+<<解集A 中恰有两个整数解，结合二次函数性质判断整数解为0,1-，从而列出不等式，求得答案.【详解】由题意可得当a<0时，280a a ∆=->，令2()2f x x ax a =-+，则其图象对称轴为02ax =<，且(0)20f a =<，故关于x 的不等式220(0)x ax a a -+<<解集A 中恰有两个的整数解为0,1-，则(1)130f a -=+<且(2)440f a -=+≥，解得113a -≤<-，故答案为：1[1,3--.16.已知函数()12e 0ƒ210x x x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，，，若方程()2f x ⎡⎤⎣⎦−()bf x +4=0有6个相异的实数根，则实数b 的取值范围是__________.【答案】44e eb <<+【解析】【分析】根据题意,作出函数()1|2e ,021,0x x f x x x x -⎧>=⎨--+≤⎩∣的图象,进而数形结合,将问题转化为方程240t bt -+=有两个不相等的实数根12,t t ,再结合二次函数零点分布求解即可.【详解】根据题意,作出函数()1|2e ,021,0x x f x x x x -⎧>=⎨--+≤⎩∣的图象,如图:令()t f x =，因为方程()()240fx bf x -+=有6个相异的实数根,所以方程240t bt -+=有两个不等的实根，所以2160b ∆=->,解得4b <-或4b >,不妨设这两根12t t <,则1212t t =⎧⎨=⎩或12122e t t <<⎧⎨<<⎩,当1212t t =⎧⎨=⎩时，123t t b +==，且1224t t ==，所以无解；当12122e t t <<⎧⎨<<⎩时，令()24g t t bt =-+,只需()()()1020e 0g g g ⎧>⎪<⎨⎪>⎩,即21404240e e 40b b b -+>⎧⎪-+<⎨⎪-+>⎩,解得44e e b <<+,终上所述：44e eb <<+.故答案为:44e eb <<+.四、解答题：本大题共6小题，共70分.17.已知函数() 938xf x a x =-⋅+.（1）当2a =时，求不等式() 16f x ≥的解集；（2）若函数() f x 在()0,∞+有零点，求实数a .【答案】（1）[)3log 4,+∞（2）)⎡+∞⎣【解析】【分析】（1）令()30xt t =>，则()()280g t t at t =-+>，再由()16f x ≥，解不等式即可；（2）函数()f x 在0,+∞有零点等价于函数()g t 在1,+∞上有零点，即8a t t=+在1,+∞上有解，由基本不等式求出a 的取值范围.【小问1详解】因为()938xf x a x =-⋅+，令()30xt t =>，则()()280g t t at t =-+>，当2a =时，()()2280g t t t t =-+>，()16f x ≥即()16g t ≥，即2280t t --≥，由0t >，解得4t ≥，即34x ≥，解得3log 4x ≥，所以原不等式的解集为[)3log 4,∞+.【小问2详解】因为函数3x t =在R 上单调递增，所以函数()f x 在0,+∞有零点等价于函数()g t 在1,+∞上有零点，280t at -+=由大于1的解，即8a t t=+在1,+∞上有解，因为8t t +≥=8t t =，即t =时等号成立，得a ≥所以实数a 的取值范围为)∞⎡+⎣.18.已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(4,P .（1）求双曲线的方程；（2）直线l y kx =+：C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围.【答案】（1）22166x y -=（2）13k <<【解析】【分析】（1）根据题意求解双曲线方程即可；（2）联立直线和双曲线方程，通过判别式大于0，及12120,0x x x x +求解即可.【小问1详解】双曲线的中心在原点,焦点在x 轴上,设双曲线的方程为22221(0,0)x ya b a b-=>>由c e a ===,可得a b =,由双曲线过点(4,,可得2216101a b-=,解得6a b ==,则双曲线的标准方程为22166x y -=;【小问2详解】联立直线与双曲线方程22166x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，化简得()22180kx---=，则210k -≠，假设1122()A x y B x y ,,(,),则()222122122Δ)3213224001801k k x x k x x k ⎧=+-=->⎪⎪⎪+=<⎨-⎪-⎪=>⎪-⎩，解得13k <<.19.已知()x f x e ex =-+（e 为自然对数的底数）（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）设21()ln 2g x x x ax =++，若对任意1(0,2]x ∈，总存在2(0,2]x ∈．使得()()12g x f x <，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）1,ln 212⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数导数，判断出单调性，即可求出最值；（Ⅱ）问题转化为()()12max g x f x <，即()0g x <在(]0,2恒成立，分离参数可得ln 12x a x x ->+，构造函数()(]ln 1,0,22x h x x x x =+∈，利用导数求出函数的最大值即可.【详解】（Ⅰ） ()x f x e ex =-+，()xf x e e '∴=-+，令()0f x '>，解得1x <；令()0f x '<，解得1x >，()f x \在−∞,0单调递增，在()1,+∞单调递减，()()max 10f x f ∴==；（Ⅱ）对任意1(0,2]x ∈，总存在2(0,2]x ∈．使得()()12g x f x <等价于()()12max g x f x <，由（Ⅰ）()()2max 10f x f ==，则问题转化为()0g x <在(]0,2恒成立，化得21ln ln 122x xx a x x x +->=+，令()(]ln 1,0,22x h x x x x =+∈，则()21ln 12x h x x -'=+，当(]0,2x ∈时，1ln 0x ->，得()0h x '>，()h x ∴在(]0,2单调递增，()()max 12ln 212h x h ∴==+，则1ln 212a ->+，即1ln 212a <--，故a 的取值范围为1,ln 212⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将问题转化为()()12max g x f x <，即()0g x <在(]0,2恒成立.20.图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,,O M N 分别为线段11,,BC AA BB 的中点，P 为线段1AC 上的动点，11,3,4,82AO BC AB AC AA ====.（1）求三棱锥1C C MN -的体积；（2）试确定动点P 的位置，使直线MP 与平面11BB C C 所成角的正弦值最大.【答案】（1）16（2）P 为1AC 的中点【解析】【分析】（1）由题意可得BA ⊥平面11AA C C ，进而可证MN ⊥平面11AA C C ，利用等体积法可求三棱锥1C C MN -的体积；（2）以A 为原点，以1,,AB AC AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,发现为的中点时所成角的正弦值最大.【小问1详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，因为AB ⊂平面ABC ，所以1CC AB ⊥，由12AO BC =，O 是BC 的中点，则BA AC ⊥，因为1AC CC C = ，1,AC CC ⊂平面11AA C C ，所以BA ⊥平面11AA C C ，因为,M N 分别为线段11,AA BB 的中点，所以//MN AB ，所以MN ⊥平面11AA C C ，因为13,4,8AB AC AA ===，所以N 平面1CC M 的距离为3，因为四边形11AA C C 为矩形，M 为线段1AA 的中点，所以116CC M S = ，所以111163163C C MN N CC M V V --==⨯⨯=.【小问2详解】在ABC V 中，因为O 是BC 的中点，12AO BC =，所以BA AC ⊥，因为1AA ⊥平面ABC ，,AB AC ⊂平面ABC ，所以11,,AA AB AA AC ⊥⊥以A 为原点，以1,,AB AC AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,由题设可得11(0,0,0),(3,0,0),(0,4,0),(0,4,8),(0,0,4),(3,0,8),(3,0,4)A B C C M B N ，1(3,4,0),(0,0,8)BC BB =-=，设平面11BB C C 的法向量为(,,)n x y z =，则1·340·80BC n x y BB n z ⎧=-+=⎪⎨==⎪⎩ ，令4x =，得3,0y z ==，所以平面11BB C C 的法向量为(4,3,0)n =，设(,,)P a b c ，1(01)AP mAC m =≤≤，则(,,)(0,4,8)a b c m =，所以(0,4,8)P m m ，(0,4,84)MP m m =-，设直线MP 与平面11BB C C 所成的角为θ，则222||sin ||||516(84)5541n MP n MP m m m m θ===+--+，若0m =，sin 0θ=此时，点P 与A 重合；若0m ≠，令11t m=≥，则2233355545(2)1sin t t t θ=≤-+-+=，当2t =，即12m =，P 为1AC 的中点时，sin θ取得最大值35.21.树德中学为了调查中学生周末回家使用智能手机玩耍网络游戏情况，学校德育处随机选取高一年级中的100名男同学和100名女同学进行无记名问卷调查.问卷调查中设置了两个问题：①你是否为男生?②你是否使用智能手机玩耍网络游戏?调查分两个环节：第一个环节：先确定回答哪一个问题，让被调查的200名同学从装有3个白球，3个黑球(除颜色外完全相同)的袋子中随机摸取两个球，摸到同色两球的学生如实回答第一个问题，摸到异色两球的学生如实回答第二个问题；第二个环节：再填写问卷(只填“是”与“否”).回收全部问卷，经统计问卷中共有70张答案为“是”.（1）根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计该校中学生使用智能手机玩耍网络游戏的概率；（2）据核查以上的200名学生中有30名男学生使用智能手机玩耍网络游戏，按照(1)中的概率计算，依据小概率值α=0.15的独立性检验，能否认为中学生使用智能手机玩耍网络游戏与性别有关联；若有关联，请解释所得结论的实际含义.参考公式和数据如下：()()()()()22n ad bcn a b c da b c d a c b dχ-==+++ ++++，.α0.150.100.050.0250.005 xα 2.072 2.706 3.841 5.0247.879【答案】（1）1 4（2）有关联，答案见解析【解析】【分析】(1)由题可得摸到同色两球的概率，进而可得回答第一个问题的人数及选择“是”的人数，再利用古典概型概率公式即得；(2)通过计算2χ，进而即得.【小问1详解】因为摸到同色两球的概率223326C+C2C5 p==，所以回答第一个问题的人数为2 200805⨯=人，回答第二个问题的人数为20080120-=人，因为男女人数相等，是等可能的，所以回答第一个问题，选择“是”的同学人数为180402⨯=人，则回答第二个问题，选择“是”的同学人数为704030-=人，所以估计中学生在考试中有作弊现象的概率为301 1204=.【小问2详解】由(1)可知200名学生使用智能手机玩网络游戏估计有50人，则有20名女生使用智能手机玩网络游戏男女合计使用智能手机玩游戏302050不用智能手机玩游戏7080150100100200零假设为：0H 使用智能手机玩耍游戏与性别无关，()222003080207082.67 2.072501501001003χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯根据小概率值0.15α=的独立性检验，推断0H 不成立，因此认为使用智能手机玩耍网络游戏与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.15.在男生中使用智能手机玩耍游戏和不使用智能手机玩耍游戏的概率分别为0.3,0.7，在女生中使用智能手机玩耍游戏和不使用智能手机玩耍游戏的概率分别为0.2,0.8，在被调查者中男生使用智能手机玩耍游戏是女生的1.5倍，于是根据概率稳定概率的原理，我们可以认为男士使用智能手机玩耍网络游戏的概率大于女生使用智能手机玩耍网络游戏的概率.22.在平面直角坐标系中，动点M 到()10，的距离等于到直线=−1的距离.（1）求M 的轨迹方程；（2）P 为不在x 轴上的动点，过点P 作（1）中M 的轨迹的两条切线，切点为A ，B ；直线AB 与PO 垂直(O 为坐标原点)，与x 轴的交点为R ，与PO 的交点为Q ；（ⅰ）求证：R 是一个定点；（ⅱ）求PQ QR的最小值.【答案】（1）24y x=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求M 的轨迹方程；（2）（ⅰ）设点()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，由切线AP 和BP 的方程，得到直线AB 的方程为()002yy x x =+，又直线AB 与PO 垂直得02x =-，则直线AB 的方程()022yy x =-，可得所过定点.（ⅱ）联立直线AB 与直线OP 的方程得交点Q 的坐标，表示出PQ QR，结合基本不等式求最小值.【小问1详解】因为动点M 到()1,0的距离等于到直线=−1的距离，所以M 的轨迹为开口向右的抛物线，又因为焦点为()1,0，所以轨迹方程为24y x =.【小问2详解】（ⅰ）证明：设点()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，设以1,1为切点的切线方程为()11y y k x x -=-，联立抛物线方程,可得2114440ky y y kx -+-=，由()21Δ420ky =-=，得12k y =，所以切线AP ：()112yy x x =+，同理切线BP ：()222yy x x =+点P 在两条切线上，则010102022()2()y y x x y y x x =+⎧⎨=+⎩，由于()()1122,,,A x y B x y 均满足方程()002yy x x =+，故此为直线AB 的方程，由于垂直1AB OP k k ⋅=-即0021y y x ⋅=-，则02x =-，所以直线AB 的方程()022yy x =-，恒过()2,0R ；（ⅱ）解：由（ⅰ）知02x =-，则()()02,,2,0P y R -，直线()0:22AB yy x =-联立直线AB 与直线OP 的方程()00222y y x yy x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得0220048,44y Q y y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，()()()()()()2223220000222202220000224220022222200021684824444||=416||4824444y y y y y y y y y PQ y y RQ y yyy y ++⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ++++⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ++++⎝⎭⎝⎭()()()()()22222222000004222004888441644y y y y y y y y y +++++==++422000220016641164.16844y y y y y ⎛⎫++=⋅=++≥ ⎪⎝⎭因此||||PQ QR ≥0y =±时取等号.即PQ QR的最小值是.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题，求最值经常与基本不等式相联系．。
2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高三(上)10月月考数学试卷(理科)
2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M＝{x|−1<x<2}，N＝{x|x<a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A.(2, +∞)B.[2, +∞)C.(−∞, −1)D.(−∞, −1]【答案】B【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由集合M＝{x|−1<x<2}，N＝{x|x<a}，M⊆N，由集合包含关系的定义比较两个集合的端点可直接得出结论【解答】∵集合M＝{x|−1<x<2}，N＝{x|x<a}，M⊆N，∴a≥2，实数a的取值范围是[2, +∞)2. 在复平面内与复数z=5i1+2i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为（）A.1+2i B.1−2i C.−2+i D.2+i【答案】C【考点】复数的运算【解析】利用复数的运算法则、几何意义、对称性，即可得出．【解答】复数z=5i1+2i =5i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=5(i+2)5=2+i所对应的点(2, 1)关于虚轴对称的点为A(−2, 1)，∴A对应的复数为−2+i．3. 条件p:|x+1|>2，条件q:13−x>1，则￢p是￢q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】先求出当命题为真时x 的范围，再根据补集思想求出命题为假时的x 的范围，然后根据题意观察两个集合之间的关系由小范围推大范围是充分不必要条件，即可得到答案． 【解答】由题意得：条件p:|x +1|>2，即p:x >1或x <−3． 所以￢p:−3≤x ≤1．由题意得：条件q:13−x >1，即q:2<x <3． 所以￢q:x ≥3或x ≤2．所以￢p 是￢q 的充分不必要条件．4. 函数f(x)=√(log 2x)2−1的定义域为( )A.(0, 12)B.(2, +∞)C.(0, 12)∪(2, +∞)D.(0, 12]∪[2, +∞)【答案】 C【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，则(log 2x)2−1>0(x >0)， 即log 2x >1或log 2x <−1， 解得x >2或0<x <12，即函数的定义域为(0, 12)∪(2, +∞)， 故选C.5. 设f(x)＝lg(21−x +a)是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数是（ ） A.(−∞, +∞)上的减函数 B.(−∞, +∞)上的增函数 C.(−1, 1)上的减函数 D.(−1, 1)上的增函数 【答案】 D【考点】函数奇偶性的性质与判断 复合函数的单调性 【解析】由f(0)＝0，求得a 的值，可得f(x)＝lg(1+x1−x )，由此求得函数f(x)的定义域．再根据f(x)＝lg(−1−2x−1)，以及t ＝−1−2x−1在(−1, 1)上是增函数，可得结论． 【解答】由于f(x)＝lg(21−x+a)是奇函数，且在x＝0处有意义，故有f(0)＝0，即lg(2+a)＝0，解得a＝−1．故f(x)＝lg(21−x −1)＝lg(1+x1−x)．令1+x1−x>0，求得−1<x<1，故函数f(x)的定义域为(−1, 1)．再根据f(x)＝lg(1+x1−x )＝lg(−1−2x−1)，函数t＝−1−2x−1在(−1, 1)上是增函数，可得函数f(x)在(−1, 1)上是增函数，6. 函数y＝cos(sin|x|)的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换【解析】作函数y＝cos(sin|x|)的图象，从而确定答案．【解答】作函数y＝cos(sin|x|)的图象如下，7. 定义：若函数f(x)的图象经过变换T后所得的图象对应的函数与f(x)的值域相同，则称变换T是f(x)的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：①f(x)＝(x−1)2，T：将函数f(x)的图象关于y轴对称；②f(x)＝2x−1−1，T：将函数f(x)的图象关于x轴对称；③f(x)=xx+1，T：将函数f(x)的图象关于点(−1, 1)对称．④f(x)=sin(x+π3)，T：将函数f(x)的图象关于点(−1, 0)对称．其中T是f(x)的同值变换的有（）A.①②B.①③④C.①④②D.①③【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】根据同值变换的定义，先求出对应的函数解析式，求出相应的值域，结合值域关系进行判断即可． 【解答】①f(x)＝(x −1)2的值域为[0, +∞)，T ：将函数f(x)的图象关于y 轴对称得到f(x)＝(−x −1)2＝(x +1)2的值域为[0, +∞)，值域相同是同值变换．②f(x)＝2x−1−1>0−1＝−1，值域为(−1, +∞)，将函数f(x)的图象关于x 轴对称得到−y ＝2x−1−1，即y ＝−2x−1+1<1，两个函数的值域不相同，不是同值变换． ③f(x)=xx+1=x+1−1x+1=1−1x+1，函数关于(−1, 1)对称，函数值域为{y|y ≠1}，将函数f(x)的图象关于点(−1, 1)对称后函数是自身，满足值域相同，是同值变换 ④f(x)=sin(x +π3)的值域为[−1, 1]，则f(x)的图象关于点(−1, 0)对称后的值域仍然为[−1, 1]，则两个函数的值域相同，是同值变换． 故T 是f(x)的同值变换的有①③④，8. 如图所示的程序框图中，若f(x)＝x 2−x +1，g(x)＝x +4，且ℎ(x)≥m 恒成立，则m 的最大值是（ ）A.4B.3C.1D.0 【答案】 B【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：ℎ(x)={x 2−x +1x 2−x +1≥x +4x +4x 2−x +1≤x +4的值，数形结合求出ℎ(x)的最小值，可得答案． 【解答】由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：ℎ(x)={x 2−x +1x 2−x +1≥x +4x +4x 2−x +1≤x +4的值， 在同一坐标系，画出f(x)＝x 2−x +1，g(x)＝x +4的图象如下图所示：由图可知：当x ＝−1时，ℎ(x)取最小值3， 又∵ ℎ(x)≥m 恒成立， ∴ m 的最大值是3，9. 二次函数f(x)＝x 2+bx +c(b, c ∈R)，若c <0，且函数f(x)在[−1, 1]上有两个零点，求b +2c 的取值范围（ ） A.(−2, 2) B.(−2, 1) C.[−2, 1) D.(−1, 1) 【答案】 C【考点】二次函数的性质 函数零点的判定定理 二次函数的图象 【解析】由题意函数f(x)与x 轴有两个交点，则f(−1)≥0，f(1)≥0进而求解． 【解答】由题意f(x)与x 轴有2个交点，且f(x)min <0，函数f(x)在[−1, 1]上有两个零点，则{f(−1)=1−b +c ≥0f(1)=1+b +c ≥0 即{b ≤1+cb ≥−1−c ∵ c <0，∴ b +2c ≤1+c +2c ＝1+3c <1， b +2c ≥−1−c +2c ＝−1+c ，若b +2c ＝−2，则b ＝−2−2c 即{−2−2c ≤1+c −2−2c ≥−1−c 解得{c ≥−1c ≤−1 ∴ c ＝−1满足题意，10. 设函数f(x)={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2 ，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a +2b +2c 的取值范围是（ ） A.(16, 32) B.(18, 34) C.(17, 35) D.(6, 7) 【答案】 B【考点】分段函数的应用 【解析】不妨设a <b <c ，利用f(a)＝f(b)＝f(c)，结合图象可得a ，b ，c 的范围，即可1求出 【解答】互不相等的实数a ，b ，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，可得a ∈(−∞, 0)，b ∈(0, 1)，c ∈(4, 5)， 则0<2a <1，0<2b <1，16<2c <32，2a+2b+2c∈(18, 34)11. 函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0，记a＝−log23⋅f(log132)，b＝f(1)，c＝4f(0.52)，则（）A.c<b<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c 【答案】C【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】设g(x)=f(x)x ，∵对任意两个不相等的正数x1，x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0，可得g(x)在(0, +∞)上单调递增，分别化简a，b，c，即可得出结论．【解答】设g(x)=f(x)x ，∵对任意两个不相等的正数x1，x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0，∴g(x)在(0, +∞)上单调递增，∵a＝−log23⋅f(log132)＝g(log132)，b＝f(1)＝g(1)，c＝4f(0.52)＝g(0.52)，log132<0<0.52<1，∴c<a<b．故选：C．12. 函数f(x)＝−x3+a+1，x∈[1e, e]与g(x)＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A.[e, e3−3]B.[1, e2−4]C.[1, e3−3]D.[0, e3−4]【答案】D【考点】函数与方程的综合运用【解析】先求出函数g(x)关于x轴对称的函数，转化为f(x)与对称函数有交点，利用构造函数法，结合导数研究函数的最值即可．【解答】g(x)＝3lnx的图象关于x轴对称的函数解析式为−y＝3lnx，即y＝−3lnx，若f(x)与g(x)＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则等价为f(x)与y＝−3lnx在x∈[1e, e]上有交点，即−x3+a+1＝−3lnx，即a＝x3−3lnx−1，x∈[1e, e]有解即可，设ℎ(x)＝x3−3lnx−1，x∈[1e, e]，则ℎ′(x)＝3x2−3x =3(x3−1)x，当ℎ′(x)>0得1<x≤e，此时函数ℎ(x)为增函数，当ℎ′(x)<0得1e ≤x <1，此时函数ℎ(x)为减函数，即当x ＝1时，函数ℎ(x)取得极小值同时也是最小值ℎ(1)＝1−3ln1−1＝0， 当x =1e 时，ℎ(1e )＝(1e )3−3ln 1e −1＝(1e )3+2， 当x ＝e 时，ℎ(e)＝e 3−3lne −1＝e 3−4， 则ℎ(e)>ℎ(1e )，即ℎ(x)的取值范围是[0, e 3−4]， 则实数a 的取值范围是[0, e 3−4]， 故选：D ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.已知命题p:∃x ∈R ，x 2+2ax +a ≤0，则命题p 的否定是________． 【答案】∀x ∈R ，x 2+2ax +a >0 【考点】 命题的否定 【解析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，写出命题的否定． 【解答】命题p:∃x ∈R ，x 2+2ax +a ≤0，则命题p 的否定是：∀x ∈R ，x 2+2ax +a >0，若函数f(x)＝log a (x +ax −4)的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(0, 1)∪(1, 4] 【考点】函数的值域及其求法 【解析】问题转化为x +ax −4可以取所有正数，a >0且a ≠1，由分类讨论和基本不等式可得． 【解答】∵ 函数f(x)＝log a (x +ax −4)的值域为R ， ∴ x +ax −4>0，a >0且a ≠1， 当a >0时，x +ax −4≥2√a −4，故只需2√a −4≤0即可， 解不等式可得a ≤4，综上可得a 的取值范围为：0<a ≤4且a ≠1．若直线y ＝kx +b 是曲线y ＝lnx +2的切线，也是曲线y ＝ln(x +1)的切线，则b ＝________． 【答案】 1−ln2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可 【解答】设y ＝kx +b 与y ＝lnx +2和y ＝ln(x +1)的切点分别为(x 1, kx 1+b)、(x 2, kx 2+b)； 由导数的几何意义可得k =1x 1=1x2+1，得x 1＝x 2+1再由切点也在各自的曲线上，可得{kx 1+b =lnx 1+2kx 2+b =ln(x 2+1) 联立上述式子解得{k =2x 1=12x 2=−12；从而kx 1+b ＝lnx 1+2得出b ＝1−ln2．若△ABC 的内角A ，B 满足sinB sinA=2cos(A +B)，则当B 取最大值时，角C 大小为________． 【答案】2π3【考点】同角三角函数间的基本关系 基本不等式及其应用 【解析】已知等式变形后，利用同角三角函数间基本关系化简，利用基本不等式求出tanB 的最大值，进而求出B 的最大值，即可求出C 的度数． 【解答】已知等式变形得：sinB ＝2sinAcos(A +B)， ∴ sinB ＝2sinAcosAcosB −2sin 2AsinB ， ∴ tanB =2sinAcosA 1+2sin 2A=2tanA1+3tan 2A ，∵sinB sinA=2cos(A +B)=−2cosC >0，∴ C 为钝角，A 与B 为锐角，tanA >0， ∴ tanB =21tanA+3tanA ≤√33，当且仅当tanA=√33，即A =π6时取等号， ∴ (tanB)max =√33，即B 的最大值为π6，则C =2π3．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，满足cosAcosB +ab =2c b求角B的大小；（2）若a＝1，b2＝ac，求△ABC的面积．【答案】（1）根据题意，△ABC中，有cosAcosB +ab=2cb，则有cosAsinB+cosBsinAcosBsinA=2sinCsinB，变形可得sin(A+B)cosBsinB =2sinCsinB，又由sin(A+B)＝sinC≠0，则cosB=12，又由B∈(0, π)，则B=π3；（2）根据题意，△ABC中有b2＝ac，由余弦定理可得b2=a2+c2−2ac⋅cosB=a2+c2−2ac⋅cosπ3=a2+c2−ac，故ac＝a2+c2−ac，变形可得(a−c)2＝0，得a＝c＝1，故△ABC为正三角形，故SΛABC=√34．【考点】解三角形【解析】（1）根据题意，由正弦定理可得cosAsinB+cosBsinAcosBsinA =2sinCsinB，变形可得sin(A+B)cosBsinB=2sinCsinB，进而可得cosB的值，分析可得B的值；（2）根据题意，由余弦定理可得b2=a2+c2−2ac⋅cosB=a2+c2−2ac⋅cosπ3= a2+c2−ac，变形可得(a−c)2＝0，得a＝c＝1，据此分析可得答案．【解答】（1）根据题意，△ABC中，有cosAcosB +ab=2cb，则有cosAsinB+cosBsinAcosBsinA=2sinCsinB，变形可得sin(A+B)cosBsinB =2sinCsinB，又由sin(A+B)＝sinC≠0，则cosB=12，又由B∈(0, π)，则B=π3；（2）根据题意，△ABC中有b2＝ac，由余弦定理可得b2=a2+c2−2ac⋅cosB=a2+c2−2ac⋅cosπ3=a2+c2−ac，故ac＝a2+c2−ac，变形可得(a−c)2＝0，得a＝c＝1，故△ABC为正三角形，故SΛABC=√34．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，S2＝2a2−2，S3＝a4−2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=n an，求{b n}的前n项和T n．【答案】∵等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，S2＝2a2−2，S3＝a4−2，∴S3−S2＝a4−2a2，即a3＝a4−2a2，∴q2−q−2＝0，解得q＝2或q＝−1（舍去）．又a1+a2＝2a2−2，∴a2＝a1+2，∴a1q＝a1+2，代入q＝2，解得a1＝2，∴a n=2×2n−1=2n．∵b n=na n =n2n，∴{b n}的前n项和：T n=12+222+323+⋯+n2n，①1 2T n=122+223+324+⋯+n2n+1，②①-②，得：1 2T n=12+122+123+⋯+12n−n2n+1=12(1−12n)1−12=1−12n−n2n+1，∴T n＝2−n+22n．【考点】数列的求和【解析】（1）先求出a3＝a4−2a2，从而q2−q−2＝0，解得q＝2，再由a2＝a1+2，得a1＝2，从而求出数列{a n}的通项公式．（2）由b n=n an =n2，利用错位相减法能求出{b n}的前n项和．【解答】∵等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，S2＝2a2−2，S3＝a4−2，∴S3−S2＝a4−2a2，即a3＝a4−2a2，∴q2−q−2＝0，解得q＝2或q＝−1（舍去）．又a1+a2＝2a2−2，∴a2＝a1+2，∴a1q＝a1+2，代入q＝2，解得a1＝2，∴a n=2×2n−1=2n．∵b n=na n =n2n，∴{b n}的前n项和：T n=12+222+323+⋯+n2n，①1 2T n=122+223+324+⋯+n2n+1，②①-②，得：1 2T n=12+122+123+⋯+12n−n2n+1=12(1−12n )1−12=1−12n −n2n+1，∴ T n ＝2−n+22n．如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AD // BC ，AD ＝3BC ＝6，PB =6√2，点M 在线段AD 上，且MD ＝4，AD ⊥AB ，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：平面PCM ⊥平面PAD ；（2）当四棱锥P −ABCD 的体积最大时，求平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值． 【答案】由AD ＝6，DM ＝4，可得AM ＝2，得四边形ABCM 是矩形，∴ CM ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥CM ， 又，PM ，AD ⊂平面PAD ，∴ CM ⊥平面PAD ， 又CM ⊂平面PCM ，∴ 平面PCM ⊥平面PAD ． 四棱锥P −ABCD 的体积为：V =13⋅12⋅(AD +BC)⋅AB ⋅PA =43⋅AB ⋅PA ，要使四棱锥P −ABCD 的体积取最大值，只需AB ⋅PA 取得最大值． 由条件可得PA 2+AB 2＝PB 2＝72， ∴ 72≥2PA ⋅AB ，即PA ⋅AB ≤36，当且仅当PA ＝AB ＝6时，PA ⋅AB 取得最大值36．分别以AP ，AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ． 则P(6, 0, 0)，C(0, 6, 2)，D(0, 0, 6)，M(0, 0, 2)， PC →=(−6,6,2)，PD →=(−6,0,6)，PM →=(−6,0,2)， 设平面PCD 的一个法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)，由n 1→⋅PC →=0，n 1→⋅PD →=0， 可得{−6x 1+6y 1+2z 1=0−6x 1+6z 1=0 ，令y 1＝2，得n 1→=(3,2,3)， 同理可得平面PCM 的一个法向量为n 2→=(1,0,3)， 设平面PCM 与平面PCD 所成二面角为θ， 则cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=√10⋅√22=6√5555．由于平面PCM 与平面PCD 所成角为锐二面角， ∴ 平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值为6√5555．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）推导出CM ⊥AD ，PA ⊥CM ，从而CM ⊥平面PAD ，由此能证明平面PCM ⊥平面PAD ．（2）四棱锥P −ABCD 的体积为V =13⋅12⋅(AD +BC)⋅AB ⋅PA =43⋅AB ⋅PA ，要使四棱锥P −ABCD 的体积取最大值，只需AB ⋅PA 取得最大值．推导出当且仅当PA ＝AB ＝6时，PA ⋅AB 取得最大值36．分别以AP ，AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ．利用向量法能求出平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值． 【解答】由AD ＝6，DM ＝4，可得AM ＝2，得四边形ABCM 是矩形，∴ CM ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥CM ， 又，PM ，AD ⊂平面PAD ，∴ CM ⊥平面PAD ， 又CM ⊂平面PCM ，∴ 平面PCM ⊥平面PAD ． 四棱锥P −ABCD 的体积为：V =13⋅12⋅(AD +BC)⋅AB ⋅PA =43⋅AB ⋅PA ，要使四棱锥P −ABCD 的体积取最大值，只需AB ⋅PA 取得最大值． 由条件可得PA 2+AB 2＝PB 2＝72， ∴ 72≥2PA ⋅AB ，即PA ⋅AB ≤36，当且仅当PA ＝AB ＝6时，PA ⋅AB 取得最大值36．分别以AP ，AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ． 则P(6, 0, 0)，C(0, 6, 2)，D(0, 0, 6)，M(0, 0, 2)， PC →=(−6,6,2)，PD →=(−6,0,6)，PM →=(−6,0,2)， 设平面PCD 的一个法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)，由n 1→⋅PC →=0，n 1→⋅PD →=0， 可得{−6x 1+6y 1+2z 1=0−6x 1+6z 1=0 ，令y 1＝2，得n 1→=(3,2,3)， 同理可得平面PCM 的一个法向量为n 2→=(1,0,3)， 设平面PCM 与平面PCD 所成二面角为θ， 则cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=√10⋅√22=6√5555．由于平面PCM 与平面PCD 所成角为锐二面角， ∴ 平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值为6√5555．已知函数f(x)＝x2+bsinx−2，(b∈R)，F(x)＝f(x)+2，且对于任意实数x，恒有F(x−5)＝F(5−x)．（1）求函数f(x)的解析式；（2）已知函数g(x)＝f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0, 1)上单调，求实数a的取值范围；（3）函数ℎ(x)=ln(1+x2)−12f(x)−k有几个零点？【答案】由题设得：F(x)＝x2+bsinx，∵F(x−5)＝F(5−x)，∴F(−x)＝F(x)∴x2−bsinx＝x2+bsinx，∴bsinx＝0对于任意实数x都成立，∴b＝0∴f(x)＝x2−2．由g(x)＝f(x)+2(x+1)+alnx＝x2+2x+alnx，得g′(x)=2x+2+ax(x>0)g(x)在(0, 1)上恒单调，只需g′(x)≥0或g′(x)≤0在(0, 1)上恒成立．即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在(0, 1)上恒成立．∴a≥−(2x2+2x)或a≤−(2x2+2x)在(0, 1)上恒成立．设u(x)＝−(2x2+2x)，x∈(0, 1)，易知：u(x)∈(−4, 0)，∴a≥0或a≤−4．令y=ln(1+x2)−12f(x)，y′=2x1+x2−x=−x(x+1)(x−1)1+x2，令y′＝0⇒x＝0或x＝1或x＝−1，列表如下：∴当k>ln2+12时，无零点；当k<1或k=ln2+12时，有两个零点；当k＝1时，有三个零点；1利用导数研究函数的极值【解析】（1）先表示出汗水F(x)的表达式，再根据F(x−5)＝F(5−x)求出b的值，进而可确定函数f(x)的解析式．（2）将（1）中求出的函数f(x)的解析式代入函数g(x)然后求导，将问题转化为g′(x)≥0或g′(x)≤0在(0, 1)上恒成立．（3）对函数ℎ(x)进行求导，然后根据导函数的正负和原函数的单调性的关系判断函数的单调性，进而确定零点．【解答】由题设得：F(x)＝x2+bsinx，∵F(x−5)＝F(5−x)，∴F(−x)＝F(x)∴x2−bsinx＝x2+bsinx，∴bsinx＝0对于任意实数x都成立，∴b＝0∴f(x)＝x2−2．由g(x)＝f(x)+2(x+1)+alnx＝x2+2x+alnx，得g′(x)=2x+2+ax(x>0)g(x)在(0, 1)上恒单调，只需g′(x)≥0或g′(x)≤0在(0, 1)上恒成立．即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在(0, 1)上恒成立．∴a≥−(2x2+2x)或a≤−(2x2+2x)在(0, 1)上恒成立．设u(x)＝−(2x2+2x)，x∈(0, 1)，易知：u(x)∈(−4, 0)，∴a≥0或a≤−4．令y=ln(1+x2)−12f(x)，y′=2x1+x2−x=−x(x+1)(x−1)1+x2，令y′＝0⇒x＝0或x＝1或x＝−1，列表如下：∴当k>ln2+12时，无零点；当k<1或k=ln2+12时，有两个零点；当k＝1时，有三个零点；当1<k<ln2+12时，有四个零点．已知函数f(x)＝(a+2)lnx+ax−x2．（1）讨论f(x)的单调性；32定义域为(0, +∞)， f ′(x)=a+2x+a −2x =−(x+1)(2x−a−2)x，当a ≤−2时，f ′(x)<0，f(x)在(0, +∞)上单调递减， 当a >−2时，由f ′(x)>0，得0<x <a+22，f(x)在(0,a+22)上单调递增，由f ′(x)<0，得x >a+22，f(x)在(a+22,+∞)上单调递减，综上，当a ≤−2时，f(x)的单调递减区间是(0, +∞)； 当a >−2时，f(x)的单调递减区间是(a+22,+∞)，单调递增区间是(0,a+22)．易知a >0， ①当0<a ≤2时，a+22≥a ，由（1）知，f(x)在(0, a)上单调递减，此时，f(x)在(0, a)上不存在最大值． ②当a >2时，f(x)在(0,a+22)上单调递增，在(a+22,a)上单调递减， 则f(x)max =f(a+22)=(a +2)lna+22+a(a+2)2−(a+22)2=(a +2)lna+22+a 2−44，故p(a)=(a +2)ln a+22+a 2−44(a >2)，设g(x)=(x +2)lnx+22+x 2−44(x >2)，则g ′(x)=1+lnx+22+x2，∵ x >2，∴ g ′(x)>0，∴ g(x)在(2, +∞)上单调递增， ∴ g(x)>g(2)＝4ln2，即p(a)>4ln2．① ∵ 32a 2+a −4=12(3a −4)(a +2)，且a >2， ∴ 要证p(a)<32a 2+a −4，只需证ln a+22+a−24<3a−42，即证lna+22−5a−64<0，设ℎ(x)=lnx+22−5x−64(x >2)，则ℎ(x)=1x+2−54<0，则ℎ(x)在(2, +∞)上单调递减， 从而ℎ(x)<ℎ(2)＝ln2−1<0，即lna+22−5a−64<0，则p(a)<32a 2+a −4，②由①②可知，4ln2<p(a)<32a 2+a −4．【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）分类讨论，利用导数求函数的单调区间即可，注意函数的定义域为(0, +∞)；（2）从（1）中结论可知，当0<a ≤2时，f(x)在(0, a)上单调递减，不存在最大值；当a >2时，f(x)max =f(a+22)，再构造函数，结合导数，利用分析法证明即可．定义域为(0, +∞)， f ′(x)=a+2x+a −2x =−(x+1)(2x−a−2)x，当a ≤−2时，f ′(x)<0，f(x)在(0, +∞)上单调递减， 当a >−2时，由f ′(x)>0，得0<x <a+22，f(x)在(0,a+22)上单调递增，由f ′(x)<0，得x >a+22，f(x)在(a+22,+∞)上单调递减，综上，当a ≤−2时，f(x)的单调递减区间是(0, +∞)； 当a >−2时，f(x)的单调递减区间是(a+22,+∞)，单调递增区间是(0,a+22)．易知a >0， ①当0<a ≤2时，a+22≥a ，由（1）知，f(x)在(0, a)上单调递减，此时，f(x)在(0, a)上不存在最大值． ②当a >2时，f(x)在(0,a+22)上单调递增，在(a+22,a)上单调递减， 则f(x)max =f(a+22)=(a +2)lna+22+a(a+2)2−(a+22)2=(a +2)lna+22+a 2−44，故p(a)=(a +2)ln a+22+a 2−44(a >2)，设g(x)=(x +2)lnx+22+x 2−44(x >2)，则g ′(x)=1+lnx+22+x2，∵ x >2，∴ g ′(x)>0，∴ g(x)在(2, +∞)上单调递增， ∴ g(x)>g(2)＝4ln2，即p(a)>4ln2．① ∵ 32a 2+a −4=12(3a −4)(a +2)，且a >2， ∴ 要证p(a)<32a 2+a −4，只需证ln a+22+a−24<3a−42，即证lna+22−5a−64<0，设ℎ(x)=lnx+22−5x−64(x >2)，则ℎ(x)=1x+2−54<0，则ℎ(x)在(2, +∞)上单调递减， 从而ℎ(x)<ℎ(2)＝ln2−1<0，即lna+22−5a−64<0，则p(a)<32a 2+a −4，②由①②可知，4ln2<p(a)<32a 2+a −4．请在第22、23、二题中任选一题作答，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ+π4)，直线l 的参数方程为{x =t y =−1+2√2t （t 为参数），直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点． (1)求圆心的极坐标；【答案】解：(1)由圆C 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ+π4)， 化为ρ2=2√2(√22ρcosθ−√22ρsinθ)，把{x =ρcosθy =ρsinθ代入可得：圆C 的普通方程为x 2+y 2−2x +2y =0，即(x −1)2+(y +1)2=2．∴ 圆心坐标为(1, −1)， ∴ 圆心极坐标为(√2,7π4)；(2)由直线l 的参数方程{x =ty =−1+2√2t（t 为参数），把t =x 代入y =−1+2√2t 可得直线l 的普通方程：2√2x −y −1=0， ∴ 圆心到直线l 的距离d =|2√2+1−1|3=2√23， ∴ |AB|=2√r 2−d 2=2√2−89=2√103，点P 直线AB 距离的最大值为r +d =√2+2√23=5√23，S max =12×2√103×5√23=10√59． 【考点】直线的参数方程参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 点到直线的距离公式 【解析】（1）由圆C 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ+π4)，化为ρ2=2√2(√22ρcosθ−√22ρsinθ)，把{x =ρcosθy =ρsinθ代入即可得出． （2）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d ，再利用弦长公式可得|AB|=2√r 2−d 2，利用三角形的面积计算公式即可得出． 【解答】解：(1)由圆C 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ+π4)， 化为ρ2=2√2(√22ρcosθ−√22ρsinθ)，把{x =ρcosθy =ρsinθ代入可得：圆C 的普通方程为x 2+y 2−2x +2y =0，即(x −1)2+(y +1)2=2．∴ 圆心坐标为(1, −1)， ∴ 圆心极坐标为(√2,7π4)；x =t把t =x 代入y =−1+2√2t 可得直线l 的普通方程：2√2x −y −1=0， ∴ 圆心到直线l 的距离d =|2√2+1−1|3=2√23，∴ |AB|=2√r 2−d 2=2√2−89=2√103，点P 直线AB 距离的最大值为r +d =√2+2√23=5√23，S max =12×2√103×5√23=10√59． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝m −|x −1|−2|x +1|． （1）当m ＝5时，求不等式f(x)>2的解集；（2）若二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围． 【答案】当m ＝5时，f(x)={3x +6,x <−1−x +2,−1≤x ≤14−3x,x >1，由f(x)>2结合函数的单调性易得不等式解集为 (−43,0)； 由二次函数的解析式可得该函数在对称轴x ＝−1处取得最小值2， 而 f(x)={3x +1+m,x <−1−x −3+m,−1≤x ≤1−3x +m −1,x >1在x ＝−1处取得最大值m −2，所以要使二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，只需m −2≥2， 即m ≥4． 【考点】绝对值三角不等式 【解析】（1）将函数的解析式写成分段函数的形式，然后结合函数的单调性和不等式的特点即可确定不等式的解集；（2）首先求得二次函数的最小值和f(x)的最大值，据此得到关于实数m 的不等式，求解不等式即可求得最终结果． 【解答】当m ＝5时，f(x)={3x +6,x <−1−x +2,−1≤x ≤14−3x,x >1，由f(x)>2结合函数的单调性易得不等式解集为 (−43,0)； 由二次函数的解析式可得该函数在对称轴x ＝−1处取得最小值2， 而 f(x)={3x +1+m,x <−1−x −3+m,−1≤x ≤1−3x +m −1,x >1在x ＝−1处取得最大值m −2，所以要使二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，只需m −2≥2，。
北京市中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷含答案
北京35中2025届10月月考数学（答案在最后）2024.10本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}212,340,ZA x xB x x x x =-≤≤=--<∈，则A B = （）A.{}0,1B.{}11x x -≤<C.{}0,1,2 D.{}12x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】计算{}0,1,2,3B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}{}2340,Z 14,Z 0,1,2,3B x x x x x x x =--<∈=-<<∈=，{}12A x x =-≤≤，{}0,1,2A B = .故选：C.2.已知223,tan2,log 3a b c -===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.b c a >>D.c a b>>【答案】D 【解析】【分析】确定19a =，0b <，1c >，得到答案.【详解】2139a -==，tan20b =<，22log 3log 21c >==，故c a b >>.故选：D.3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是A.3()f x x = B.()lg ||f x x = C.()f x x=- D.()cos f x x=【答案】C【解析】【分析】判断四个选项中的函数的奇偶性和在()0,1上的单调性，得到答案.【详解】选项A 中，()3f x x =，是奇函数，但在()0,1上单调递增，不满足要求；选项B 中，()lg f x x =，是偶函数，不满足要求，选项C 中，()f x x =-，是奇函数，在()0,1上单调递减，满足要求；选项D 中，()cos f x x =，是偶函数，不满足要求.故选：C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.4.在621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A.20-B.15- C.15D.30【答案】C 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式可求常数项.【详解】621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()623616611rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令360r -=，则2r =，故常数项为()2236115T C =-=，故选：C.【点睛】本题考查二项展开中的指定项，注意利用通项公式帮助计算，本题为基础题.5.已知函数||||()x x f x e e -=-，则函数()f x （）A.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减C.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由偶函数的定义判断函数()f x 的奇偶性，结合指数函数的单调性判断函数()f x 的单调性.【详解】∵||||()x x f x e e -=-∴||||||||()()x x x x f x e e e e f x -----=-=-=，∴函数||||()x x f x e e -=-为偶函数，当(0,)x ∈+∞时，1()=x x xxf x e e e e -=--，∵函数x y e =在(0,+∞)上单调递增，函数1x y e=在(0,+∞)上单调递减，∴()e e x x f x -=-在(0,+∞)上单调递增，即函数||||()x x f x e e -=-在(0,+∞)上单调递增.故选：A.6.阅读下段文字：“为无理数，若a b ==ba 为有理数；若则取无理数a =，b =，此时(22ba ====为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（）A.是有理数B.C.存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数 D.对任意无理数a ，b ，都有b a 为无理数【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.【详解】这段文字中，没有证明AB 错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C 正确；这段文字中只提及存在无理数a ，b ，不涉及对任意无理数a ，b ，都成立的问题，D 错误.故选：C 7.若点5π5πsin,cos 66M ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，则tan2α=（）A.33 B.33-C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数定义得到tan α=.【详解】5π5πsin ,cos 66M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故5πcos6tan 5πsin6α==，22tan 23tan21tan 13ααα-===--故选：C.8.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】把函数()f x 拆解为两个函数，画出两个函数的图像，观察可得.【详解】当0a <时，作出ln ,ay x y x==-的图像，可以看出0a <时，函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点，反之也成立，故选C.【点睛】本题主要考查以函数零点为载体的充要条件，零点个数判断一般通过拆分函数，通过两个函数的交点个数来判断零点个数.9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v （单位：/m s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q .科学研究发现v 与3log 100Q成正比.当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当2m /s v =时，其耗氧量的单位数为（）A.1800 B.2700C.7290D.8100【答案】D 【解析】【分析】设3log 100Qv k =，利用当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900求出k 后可计算2m /s v =时鲑鱼耗氧量的单位数.【详解】设3log 100Q v k =，因为1v m /s =时，900Q =，故39001log 2100k k ==，所以12k =，故2m /s v =时，312log 2100Q =即8100Q =.故选：D.【点睛】本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.10.已知各项均为整数的数列{}n a 满足()*12121,2,3,n n n a a a a a n n --==>+≥∈N ，则下列结论中一定正确的是（）A.520a >B.10100a <C.151000a >D.202000a <【答案】C 【解析】【分析】依题意根据数列的递推公式可分别判断各选项，再利用各项均为整数即可判断只有C 选项一定正确.【详解】根据题意可知3123a a a >+=，又数列的各项均为整数，所以3a 最小可以取4，即34a ≥；同理可得4236a a a >+≥，所以4a 最小可以取7，即47a ≥；同理53411a a a >+≥，所以5a 最小可以取12，即512a ≥，即520a <可以成立，因此可得A 不一定正确；同理易得645619,20a a a a >+≥≥；756732,33a a a a >+≥≥；867853,54a a a a >+≥≥；978987,88a a a a >+≥≥；108910142,143a a a a >+≥≥，即10100a <不成立，B 错误；又1191011231,232a a a a >+≥≥；12101112375,376a a a a >+≥≥；131********,609a a a a >+≥≥；14121314985,986a a a a >+≥≥，151314151595,1596a a a a >+≥≥，即可得151000a >一定成立，即C 正确；显然若32000a =，则202000a <明显错误，即D 错误.故选：C第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数1ii+的虚部为________.【答案】－1【解析】【详解】试题分析：1ii 1i+=-+，所以其虚部为－1考点：复数的虚部12.函数()f x =的定义域为R ，请写出满足题意的一个实数a 的值______．【答案】1-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数的定义域求解即可.【详解】因为()f x =R ，所以20x a -≥在R 上恒成立，即2a x ≤，由于20x ≥在R 上恒成立，故实数a 的取值范围为(],0-∞.故答案为：1-（答案不唯一）.13.已知数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，{}n b 的通项公式为12n b n =-．记数列{}n n a b +的前n 项和为n S ，则4S =____；n S 的最小值为____．【答案】①.1-②.2-【解析】【分析】（1）由题可得1212n n n n a b c n -+==+-，根据等比数列及等差数列的求和公式可得n S ，利用数学归纳法可得3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，进而即得.【详解】由题可知1212n n n a b n -+=+-，所以()()()()()423441712112325271122S +-++-++-++-+-==--=，()()()()1212112112321221122n n n n n n n S n -+--+-++-+++-=-=---= ，令1212n n c n -=+-，则123450,1,1,1,7c c c c c ==-=-==，当4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，下面用数学归纳法证明当4n =时，1221n n ->-成立，假设n k =时，1221k k ->-成立，当1n k =+时，()()()122222121123211k k k k k k -=⋅>-=+-+->+-，即1n k =+时也成立，所以4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，所以3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，由当3n =时，n S 有最小值，最小值为3322132S =--=-.故答案为：1-；2-.14.已知函数()e ,,x x x af x x x a⎧<=⎨-≥⎩，()f x 的零点为__________，若存在实数m 使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.0②.11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用导函数判断函数单调性，利用求解极值的方法画出函数的大致图象，分析运算即可得出结果.【详解】令()e xg x x =，可得()()1e xg x x +'=，由()0g x '=可得1x =-，当(),1x ∞∈--时，()0g x '<，此时()g x 在(),1∞--上单调递减，当()1,x ∞∈-+时，()0g x '>，此时()g x 在()1,∞-+上单调递增，因此()g x 在1x =-处取得极小值，也是最小值，即()()min 11eg x g =-=-，又()00g =，且0x <时，()10eg x -≤<，当0x >时，>0，令()h x x =-，其图象为过原点的一条直线，将()(),g x h x 的大致图象画在同一直角坐标系中如下图所示：当0a <时，如下图，在[),+∞a 上()()f x h x x ==-的零点为0，当0a =时，如下图，在[)0,∞+上()()f x h x x ==-的零点为0当0a >时，如下图，在(),a ∞-上()()e xf xg x x ==的零点为0，综上可知，()f x 的零点为0；当1a ≤-时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点，当11ea -<<时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有三个交点，当1ea ≥时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点；综上可知，若使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：0；11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭15.已知函数()()e 111xf x k x =----，给出下列四个结论：①当0k =时，()f x 恰有2个零点；②存在正数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有2个零点；④对任意()0,k f x <只有一个零点.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】把函数()f x 的零点个数问题，转化为函数e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，作出图象分类讨论可得结论.【详解】令()()e 1110xf x k x =----=，得()e 111xk x -=-+，函数()f x 的零点个数，即为方程()e 111xk x -=-+的根的个数，方程()e 111xk x -=-+根的个数，即为e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，又函数()11y k x =-+是过定点(1,1)A 的直线，作出e 1xy =-的图象如图所示，当0k =直线()11y k x =-+与函数e 1xy =-有一个交点，故()()e 111xf x k x =----有一个零点，故①错误；当()11y k x =-+在第一象限与函数e 1xy =-相切时，函数()()e 111xf x k x =----有一个零点，故②正确；函数()11y k x =-+绕着A 顺时针从1y =转到1x =时，两图象只有一个交点，故0k <时，函数()()e 111xf x k x =----只有一个零点，故③错误，④正确.故答案为：②④.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点.点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-.（1）求cos2α的值；（2）求()sin βα-的值.【答案】（1）725-（2）5665.【解析】【分析】（1）利用三角函数定义可得4sin 5α=，再由二倍角公式计算可得7cos225α=-；（2）利用同角三角函数之间的基本关系以及两角差的正弦公式计算可得结果.【小问1详解】由题可知，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点；点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-，所以45sin ,cos 513αβ==-.即可得27cos212sin 25αα=-=-.【小问2详解】由于22sin cos 1αα+=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23cos 1sin 5αα=-=，同理由于2π12,π,sin 1cos 213βββ⎛⎫∈=-= ⎪⎝⎭，所以()56sin sin cos cos sin 65βαβαβα-=-=.17.某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对,,A B C 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.题目A B C做对的概率451214获得的奖金/元204080规则如下：按照,,A B C 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]（1）求甲没有获得奖金的概率；（2）求甲最终获得的奖金X 的分布列及期望；（3）如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）【答案】（1）15（2）分布列见解析，40（元）（3）不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由见解析.【解析】【分析】（1）甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，从而求得对应的概率；（2）易知X 的可能取值为0，20，60，140，再根据题目的对错情况进行分析求解概率与分布列，求出期望值；（3）可以分别求出每种顺序的期望，然后比较得知.【小问1详解】甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，设甲没有获得奖金为事件M ，则()41155P M =-=.【小问2详解】分别用,,A B C 表示做对题目,,A B C 的事件，则,,A B C 相互独立.由题意，X 的可能取值为0,20,60,140.41412(0)()1;(20)()155525P X P A P X P AB ⎛⎫===-====⨯-= ⎪⎝⎭;4134111(60)()1;(140)()52410524101P X P ABC P X P ABC ===⨯⨯-===⨯⎛⎫ ⎪⎝=⎭=⨯.所以甲最终获得的奖金X 的分布列为X02060140P 1525310110()12310206014040551010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.【小问3详解】不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由如下：由（2）知，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望为40元，若按照,,A C B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,20,100,140.141(0)1;(250)1554435P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;41411(100)1;(140)5105421011142P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为110201001403613110550⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B A C 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,60,140.1114(0)1;(400)1212125P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;143141(60)1;(140)254102541011P X P X ==⨯⨯-===⨯⎛⨯ ⎝=⎫⎪⎭.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B C A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,120,140.1111(0)1;(480)122432P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(120)1;(140)24024510141145P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C A B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,100,140.1314(0)1;(800)1414245P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1141(100)1;(140)10452104111452P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为1080100140284101311200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C B A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,120,140.1311(0)1;(880)144214P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(100)1;(140)40425101411425P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为5311108010014026.401048⨯+⨯+⨯+⨯=元，显然按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大.18.已知()2cos sin ,f x ax x x x a =++∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上为增函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2y =（2）[)1,+∞.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）将()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数转化为sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数()sin cos g x x x x =-并求导得出其单调性，求出最大值可得实数a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()2cos sin f x x x x =+，易知()2sin sin cos cos sin f x x x x x x x x'=-++=-可得()()00,02f f ='=，所以切线方程为2y =.【小问2详解】易知()sin cos f x a x x x=+'-由函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，可得′≥0在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，即sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()()ππsin cos ,sin ,,22g x x x x g x x x x ⎡⎤=-=∈-⎢⎣'⎥⎦法一：令()sin 0g x x x '==，得0x =，()(),g x g x '的变化情况如下：x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭0π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x '+0+()g x所以()g x 为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.法二：当π02x -<<时，sin 0,sin 0x x x <>；当π02x ≤<时，sin 0,sin 0x x x ≥≥.综上，当ππ22x -<<时，()()0,g x g x '≥为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.19.现有一张长为40cm ，宽为30cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为cm x ，高为y cm ，体积为()3cm V .（1）求出x 与y 的关系式；（2）求该铁皮盒体积V 的最大值.【答案】（1）21200,0304x y x x-=<≤；（2）34000cm .【解析】【分析】（1）由题意得到244030x xy +=⨯，化简得到212004x y x -=，并由实际情境得到030x <≤；（2）表达出()()3112004V x x x =-，求导得到其单调性，进而得到最大值.【小问1详解】因为材料利用率为100%，所以244030x xy +=⨯，即212004x y x -=；因为长方形铁皮ABCD 长为40cm ，宽为30cm ，故030x <≤，综上，212004x y x-=，030x <≤；【小问2详解】铁皮盒体积()()222312*********x V x x y x x x x -==⋅=-，()()21120034V x x '=-，令()0V x '=，得20,x =()(),V x V x '的变化情况如下：x ()0,2020()20,30()V x +0-()V x '()V x 在()0,20上为增函数，在()20,30上为减函数，则当20x =时，()V x 取最大值，最大值为()3311200202040040cm ⨯⨯-=.20.已知函数1e ()x f x x-=.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）当211x x >>时，判断21()()f x f x -与2122x x -的大小，并说明理由.【答案】（1）230x y +-=；（2）单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞；（3）212122()()f x x x f x -->，理由见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）利用导数求出函数()f x 的单调区间.（3）构造函数2()(),1g x f x x x=->，利用导数探讨函数单调性即可判断得解.【小问1详解】函数1e ()x f x x -=，求导得12(1)e ()xx f x x---='，则()12f '=-，而(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=.【小问2详解】函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且12(1)e ()x x f x x---='，当1x <-时，()0f x '>，当10x -<<或0x >时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞.【小问3详解】当211x x >>时，212122()()f x x x f x -->，证明如下：令2()(),1g x f x x x =->，求导得12(1)e 2()x x g x x-'--+=，令1()(1)e 2,1x h x x x -=--+>，求导得1()e 0x h x x -='>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0h x h >=，即()0g x '>，函数()g x 在(1,)+∞上为增函数，当211x x >>时，21()()g x g x >，所以212122()()f x x x f x -->.21.已知项数为()*2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,n a Nn m ∈= ；②12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12*···1m n n a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m = 则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>；（III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 的最大值.【答案】（I ）不存在，理由见解析；（II ）详见解析；（III ）33.【解析】【分析】（I ）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.（II ）利用差比较法判断出{}n b 的单调性，由此证得结论成立.（III ）利用累加法、放缩法求得关于m a 的不等式，由此求得m 的最大值.【详解】（I ）不存在.理由如下：因为*413579751b N ++++-=∈-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.（II ）因为*11,11,1n n n n a a b b n m n N m ++--=≤≤-∈-，又因为12m a a a <<< ，所以10n n a a +-<，所以1101n n n n a a b b m ++--=<-，即1n n b b +<，所以12···m b b b >>>成立.（III ）1i j m ∀≤<≤，都有1j i i j a a b b m --=-，因为*i b N ∈，12m b b b >>> ，所以*i j b b N -∈，所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--.因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-，所以11n n a a m --≥-.而()()()()()()111221111m m m m m a a a a a a a a m m m ----=-+-++-≥-+-++- ()21m =-，即()2204911m -≥-，所以()212048m -≤，故46m ≤.由于*20481N m ∈-，经验证可知33m ≤.所以m 的最大值为33.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属于难题.。
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2019-2020年高三10月月考数学理试卷缺答案
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
）
1、（）
2、已知集合，则是的（）
充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件
3、在直角坐标系中，角以轴非负半轴为始边，终边上有一点，则（
）4、函数的定义域为（）
5、在中，,,2AB a AC b BD DC ，用表示的结果为（）
6、在下列函数中，函数的一部分图像如图所示的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．7、求函数图像上一点到直线的最小距离( )
8、函数的单调递增区间为（）
Z k k k ,323
2
,3231
Z k k k ,32,3231Z
k k k ,3132,3231
9、偶函数（为自然对数的底数）在上（）
有最大值有最小值单调递增不单调
10、设向量满足，，的夹角为，则（）
大小不确定恒等于最小值为最大值为 2
11、在中，若B A b a B A b a sin sin 2222，则为（）
等腰直角三角形等腰三角形直角三角形等腰三角形或直角三角形
12、函数x x x
x
x x f cos 24sin 2222的最大值与最小值的和为（）
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13、已知，.
14、已知，则= .
15、函数21
log sin 42f x x x 的零点个数为个.
16、若对于任意恒有成立，则实数的取值范围是.
三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、(10分)已知为正实数，求证：
18、（10分）已知曲线的参数方程为：，曲线的极坐标方程为：
（1）把化成普通方程；化成直角坐标方程；
（2）、相交两点，求、两点的直角坐标.
19、（12分）向量cos ,2cos ,2cos ,sin a x x b x x ，若
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的对称轴方程；
（3）若，求的最大值和最小值.
20、（12分）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）求在区间上的最大值与最小值..
21、（12分）在中，角的对边分别为，，已知C b B c A a cos cos cos 3⑴求的值; ⑵若1cos 3
32cos ,6C B a ，求的长. 22、（14分）已知函数，
（1）若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围；
（2）设有两个极值点且，求证：
(3)设对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围.。