2019-2020年高三10月月考数学试题
2024-2025学年湖北省襄阳市高三上学期10月月考数学检测试题(含解析)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符2024-2025学年湖北省襄阳市高三上学期10月月考数学检测试题合题目要求的．1. 已知集合31A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z ，则用列举法表示A =（ ）A. {}2,0,1,2,4- B. {}2,0,2,4- C. {}0,2,4 D. {}2,4【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1x -可为1±、3±，计算即可得.【详解】由题意可得1x -可为1±、3±，即x 可为0,2,2,4-，即{}2,0,2,4A =-.故选：B.2. 设3i,ia a z +∈=R ，其中i 为虚数单位.则“1a <-”是“z >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z ，再求出z，令z >a 的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为23i 3i 3i i ia az a +-===-，所以z =令z >>1a >或1a <-，所以1a <-推得出z >，故充分性成立；由z >推不出1a <-，故必要性不成立；所以“1a <-”是“z >的充分不必要条件.故选：A3. 已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+ ，()21d a b λ=++ ，若c 与d 同向共线，则实数λ的值为（ ）A. 1B.12C. 1或12-D. 1-或12【答案】B 【解析】【分析】先根据向量平行求参数λ，再根据向量同向进行取舍.【详解】因为c与d 共线，所以()2110λλ+-=，解得1λ=-或12λ=.若1λ=-，则c a b =-+，d a b =- ，所以d c =- ，所以c 与d 方向相反，故舍去；若12λ=，则12c a b =+ ，2d a b =+ ，所以2d c = ，所以c与d 方向相同，故12λ=为所求.故选：B4. 已知3322x y x y ---<-，则下列结论中正确的是（ ）A. ()ln 10y x -+> B. ln0yx> C. ln 0y x +> D. ln 0y x ->【答案】A 【解析】【分析】构造函数()32xf x x -=-，利用()f x 的单调性可得x y <，进而可得.【详解】由3322x y x y ---<-得3322x y x y ---<-，设()32xf x x -=-，因函数3y x =与2x y -=-都是R 上的增函数，故()f x 为R 上的增函数，又因3322x y x y ---<-，故x y <，()ln 1ln10y x -+>=， 故A 正确，因y x，y x +，y x -与1的大小都不确定，故B ，C ，D 错误，故选：A5. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数12345a a a a a ”（满足12345a a a a a >><<），则这样的“五位凹数”的个数为（ ）A. 126个 B. 112个 C. 98个 D. 84个【答案】A 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得.【详解】第一步，从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个共有57C 种方法，第二步，选出的5个数中，最小的为3a ，从剩下的4个数中选出2个分给12,a a ，由题意可知，选出后1245,,,a a a a 就确定了，共有24C 种方法，故满足条件的“五位凹数”5274C C 126=个，故选：A6. 若数列{}n a 满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n 为正整数），则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论成立的是（ ）A. 78a = B. 135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=C. 754S = D. 24620202021a a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】B 【解析】【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.【详解】解析：按照规律有11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，733S =，故A 、C 错；21112123341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a S ++--------=+=+++=+++++==+ ，则202020181220183520191352019111a S a a a a a a a a a a =+=++++=++++=++++ ，故B 对；24620202234520182019a a a a a a a a a a a ++++=+++++++ 1234520182019201920211a a a a a a a S a =+++++++==- ，故D 错．故选:B ．7. 已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B = ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A13B.C.D.23【答案】B 【解析】【分析】设1AF =，结合题意可得2AF，根据椭圆定义整理可得22b c m -=，根据向量关系可得1F A ∥2F B，且2BF =2b c m+=，进而可求离心率.【详解】由题意可知：()()12,0,,0F c F c -，设1,0AF m =>，因为12π4AF F ∠=，则()2,2A c m m -+，可得2AF =由椭圆定义可知：122AF AF a+=，即2a +=，整理可得22b c m-=；又因为122F A F B = ，则1F A ∥2F B，且2112BF AF ==，则(),B c m m +，可得1BF =由椭圆定义可知：|BF 1|+|BF 2|=2a2a =，.2bcm+=；即2c c-=+3c=，所以椭圆C的离心率cea==.故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．8. 圆锥的表面积为1S，其内切球的表面积为2S，则12SS的取值范围是（）A. [)1,+∞ B. [)2,+∞C. )∞⎡+⎣ D.[)4,+∞【答案】B【解析】【分析】选择OBC∠（角θ）与内切球半径R为变量，可表示出圆锥底面半径r和母线l，由圆锥和球的表面积公式可得()122212tan1tanSSθθ=-，再由2tan(0,1)tθ=∈换元，转化为求解二次函数值域，进而得12SS的取值范围.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥内切球半径为R，如图作出圆锥的轴截面，其中设O为外接圆圆心，,D E为切点，,AB AC为圆锥母线，连接,,,OB OD OA OE.设OBCθ∠=，tanRrθ=，0tan1θ<<tanRrθ∴=.OD AB⊥，OE BC⊥，πDBE DOE∴∠+∠=，又πAOD DOE∠+∠=，2AOD DBE θ∴∠=∠=，tan 2AD R θ∴=，22tan 2tan Rl r AD BD r AD r R θθ∴+=++=+=+，则圆锥表面积()21πππS r rl r l r =+=+，圆锥内切球表面积224πS R =，所求比值为()212222π2tan 21tan 1tan tan 4π2tan 1tan R R R S S R θθθθθθ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-，令2tan 0t θ=>，则()2211()2122222g t t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，则10()2g t <≤，且当12t =时，()g t 取得最大值12，故122S S ≥，即12S S 的取值范围是[)2,+∞.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率. ()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（ ）A. 若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+B. 若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C 若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D. 若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =【答案】ABD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A 选项；由相互独立事件的概念可判断B 选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C 选项；由相互独立事件的概念，可判断D 选项.【详解】对于选项A ，若,A B 互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()P A B P A P B ⋃=+，所以选项A 正确，.对于选项B ，由相互独立事件概念知，若()()()P AB P A P B =，则事件,A B 是相互独立事件，所以选项B 正确，对于选项C ，若,A B 互斥，则,A B 不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A ：“正面朝上”，事件B ：“反面朝上”，事件A 与事件B 互斥，但()0P AB =，1()()2P A P B ==，不满足相互独立事件的定义，所以选项C 错误，对于选项D ，由相互独立事件的定义知，若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =，所以选项D 正确，故选：ABD.10. 已知函数()sin sin cos 2f x x x x =-，则（ ）A. ()f x 的图象关于点(π,0)对称B. ()f x 的值域为[1,2]-C. 若方程1()4f x =-在(0,)m 上有6个不同的实根，则实数m 的取值范围是17π10π,63⎛⎤⎥⎝⎦D. 若方程[]22()2()1(R)f x af x a a -+=∈在(0,2π)上有6个不同的实根(1,2,,6)i x i = ，则61i i ax =∑的取值范围是(0,5π)【答案】BCD 【解析】【分析】根据(2π)()f f x =-是否成立判断A ，利用分段函数判断BC ，根据正弦函数的单调性画出分段函数()f x 的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.【详解】因为()sin sin cos 2f x x x x =-，所以(2π)sin(2π)sin(2π)cos 2(2π)sin sin cos 2()f x x x x x x x f x -=----=--≠-，所以()f x 的图象不关于点(π,0)对称，故A 错误；当sin 0x ≥时，()222()sin 12sin 3sin 1f x x x x =--=-，由[]sin 0,1x ∈可得[]()1,2f x ∈-，当sin 0x <时，()222()sin 12sin sin 1f x x x x =---=-，由[)sin 1,0x ∈-可得(]()1,0f x ∈-，的综上[]()1,2f x ∈-，故B 正确：当sin 0x ≥时，由21()3sin 14f x x =-=-解得1sin 2x =，当sin 0x <时，由21()sin 14f x x =-=-解得sin x =，所以方程1()4f x =-在(0,)+∞上的前7个实根分别为π6，5π6，4π3，5π3，13π6，17π6，10π3，所以17π10π63m <≤，故C 正确；由[]22()2()1f x af x a -+=解得()1f x a =-或()1f x a =+，又因为()223sin 1,sin 0sin 1,sin 0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，所以根据正弦函数的单调性可得()f x 图象如图所示，所以()1f x a =-有4个不同的实根，()1f x a =+有2个不同的实根，所以110012a a -<-<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，设123456x x x x x x <<<<<，则1423πx x x x +=+=，563πx x +=，所以615πii x==∑，所以61i i a x =∑的取值范围是(0,5π)，故D 正确.故选：BCD.11. 在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y 、()22,B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给出下列四个命题，正确的是（ ）A 对任意三点,,ABC ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；B. 已知点()2,1P 和直线:220l x y --=，则()83d P l =,；C. 到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D. 定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()()12,,2220d P F d P F a c a =>>-，则点P 的轨迹.与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A ，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B ，设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论|2|x -，1|2|2x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C ，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选项D ，根据定义得{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A 选项，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ，由题意可得：()(){}{},,max ,max ,,A C A CBC B C A C B C A B d C A d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-同理可得：()(),,A B d C A d C B y y +≥-，则：()(){}(),,max ,,A B A B d C A d C B x x y y d A B +≥--=，则对任意的三点A ，B ，C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；故A 正确；B 选项，设点Q 是直线220x y --=上一点，且1,12Q x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，由1222x x -≥-，解得0x ≤或83x ≥，即有(),2d P Q x =-，当83x =时，取得最小值23；由1222x x -<-，解得803x <<，即有()1,22d P Q x =-，(),d P Q 的范围是2,23⎛⎫⎪⎝⎭，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23，故B 错误；C 选项，设(),M ab {}max ,x a y b =--，若y b x a -≥-，则y b =-，两边平方整理得x a =；此时所求轨迹为x a=(y b ≥或)y b ≤-若y b x a -<-，则x a =-，两边平方整理得y b =；此时所求轨迹为y b=(x a ≥或)x a ≤-，故没法说所求轨迹是正方形，故C 错误；D 选项，定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()12,,2d P F d P F a -=（220c a >>），则：{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x ≥0，y ≥0.(1)当x c yx c y ⎧+≥⎪⎨-≥⎪⎩时，有2x c x c a +--=，得：0x a y a c =⎧⎨≤≤-⎩；(2)当x c y x c y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩时，有02a =，此时无解；(3)当x c y x c y⎧+>⎪⎨-<⎪⎩时，有2,x c y a a x +-=<；则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点，故D 正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若)nax的展开式的二项式系数和为32，且2x -的系数为80，则实数a 的值为________．【答案】―2【解析】【分析】由二项式系数和先求n ，再利用通项53215C ()r r rr T a x -+=-得到2x -的指数确定r 值，由2x -的系数为80，建立关于a 的方程求解可得.【详解】因为)na x-的展开式的二项式系数和为32，所以012C C C C 232nnn n n n ++++== ，解得5n =.所以二项式展开式的通项公式为5352155C ()C ()rr rr r rr a T a x x--+=-=-，由5322r-=-，解得3r =，所以2x -的系数为3335C ()1080a a -=-=，解得2a =-.故答案为：2-.13. 已知函数()()()2f x x a x x =--在x a =处取得极小值，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求得()()()221f x x x x a x =-+--'，根据()0f a ¢=，求得a 的值，结合实数a 的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解.【详解】由函数()()()2f x x a x x =--，可得()()()221f x x x x a x =-+--'，因为x a =处函数()f x 极小值，可得()20f a a a =-='，解得0a =或1a =，若0a =时，可得()(32)f x x x '=-，当0x <时，()0f x '>；当203x <<时，()0f x '<；当23x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在2(,0),(,)3-∞+∞单调递增，在2(0,)3上单调递减，所以，当0x =时，函数()f x 取得极大值，不符合题意，（舍去）；若1a =时，可得()(1)(31)f x x x '=--，当13x <时，()0f x '>；当113x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在1(,),(1,)3-∞+∞单调递增，在(0,1)上单调递减，所以，当1x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意，综上可得，实数a 的值为1.故答案为：1.14. 数学老师在黑板上写上一个实数0x ，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数0x 乘以2-再加上3得到1x ，并将0x 擦掉后将1x 写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数0x 除以2-再减去3得到1x ，也将0x 擦掉后将1x 写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为2x ．现已知20x x >的概率为0.5，则实数0x 的取值范围是__________．【答案】()(),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数()23f x x =-+，()32xg x =--，由两次复合列出不等式求解即可.【详解】由题意构造()23f x x =-+，()32xg x =--，则有()()43f f x x =-，()()9f g x x =+，()()92g f x x =-，()()342x g g x =-．因为()()f g x x >，()()g f x x <恒成立，又20x x >的概率为0.5，所以必有43,3,42x x x x ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩或者43,3,42x x x x -≤⎧⎪⎨->⎪⎩解得()(),21,x ∈-∞-⋃+∞．故答案为：()(),21,-∞-+∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由112333BD BC CA BA BC =+=+ ，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V π3B =，所以1sin 2ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当a c ==时取等号，所以BD .16. 已知抛物线2:2(0)E y px p =>与双曲线22134x y -=的渐近线在第一象限的交点为Q ，且Q 点的横坐标为3．（1）求抛物线E 的方程；（2）过点(3,0)M -的直线l 与抛物线E 相交于,A B 两点，B 关于x 轴的对称点为B '，求证：直线AB '必过定点．【答案】（1）24y x = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点Q 的坐标，由此可求抛物线方程；（2）联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).【小问1详解】设点Q 的坐标为()03,y ，因为点Q 在第一象限，所以00y >，双曲线22134x y -=的渐近线方程为y x =，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以0y =，所以点Q的坐标为(3,，又点(3,Q 在抛物线22y px =上，所以1223p =⨯，所以2p =，故抛物线E 的标准方程为：24y x =；【小问2详解】设直线AB 的方程为3x my =-，联立243y xx my ⎧=⎨=-⎩，消x 得，24120y my -+=，方程24120y my -+=的判别式216480m ∆=->，即230m ->，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则12124,12y y m y y +==，因为点A 、B 在第一象限，所以121240,120y y m y y +=>=>，故0m >，设B 关于x 轴的对称点为()22,B x y '-， 则直线AB '的方程为212221()y y y y x x x x ---+=-，令0y =得：212221x x x y x y y -=+-⨯-122121x y x y y y +=+()()12211233y my y my y y -+-=+()21121223my y y y y y -+=+241212344m m mm m-===．直线AB '过定点(3,0)．【点睛】方法点睛：联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).17. 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,AD BC 的中点，沿EF 将四边形EFCD 折起，使二面角A EF C --的大小为60°，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF 与直线EA 的交点为O ，求OA 的长，并证明直线OD //平面EMC ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】（1）2OA =；证明见解析.（2）存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；此时二面角M EC F --的余弦值为14.【解析】【分析】（1）根据中位线性质可求得OA ，由//MN OD ，结合线面平行判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可知60DEA ∠=︒，取AE ，BF 中点O ，P ，由线面垂直的判定和勾股定理可知OD ，OA ，OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系；设()1,,0M m ()04m ≤≤，利用线面角的向量求法可求得m ；利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】,E F 分别为,AD BC 中点，////EF AB CD ∴，且2AE FB ==，又M 为AB 中点，且,AB OE AB BF ⊥⊥，易得OAM FBM ≅ ，2OA FB AE ∴===，连接,CE DF ，交于点N ，连接MN ，由题设，易知四边形CDEF 为平行四边形，N Q 为DF 中点，//,AM EF A 是OE 的中点，M ∴为OF 中点，//MN OD ∴，又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，//OD ∴平面EMC ；【小问2详解】////EF AB CD ，EF DE ⊥ ，EF AE ⊥，又DE ⊂平面CEF ，AE ⊂平面AEF ，DEA ∴∠即为二面角A EF C --的平面角，60DEA ∴=︒∠；取,AE BF 中点,O P ，连接,OD OP ，如图，60DEA ∠=︒ ，112OE DE ==，2414cos 603OD ∴=+-︒=，222OD OE DE +=，OD AE ∴⊥，//OP EF ，OP DE ⊥，OP AE ⊥，又,AE DE ⊂平面AED ，AE DE E = ，OP ∴⊥平面AED ，,OD AE ⊂ 平面AED ，,OD OP AE OP ∴⊥⊥，则以O 为坐标原点，,,OA OP OD方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则(D ，()1,0,0E -，()1,4,0F -，(0,C ，设()()1,,004M m m ≤≤，则(1,0,DE =-，()2,,0EM m =，(1,EC = ，设平面EMC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1)，则1111111·20·40EM n x my EC n x y ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，令12y =，则1x m =-，1z =1,m m ⎛∴=- ⎝，∵直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ，·sin 60cos ,·DE n DE n DE n ∴︒==111==1m =或3m =，存在点M ，当1AM =或3AM =时，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ；设平面CEF 的法向量()2222,,n x y z=，又(1,EC = ，(FC =，2222222·40·0EC n x y FC n x ⎧=++=⎪∴⎨==⎪⎩，令21z =，则2x =，20y =，()2m ∴=；当1m =时，11,2,n ⎛=- ⎝，121212·1cos ,4·n n n n n n ∴=== ；当3m =时，23,2,n ⎛=- ⎝，121212·1cos ,4·n n n n n n ∴=== ；综上所述：二面角M EC F --的余弦值为14.【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点M 的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.18. 已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 图象在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn ++++-+++->∈N .【答案】（1）0y = （2）[)1,+∞ （3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln x x xλ≥+，求出函数()212ln xg x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，f (1)=0，的则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点(1,f (1))处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e0x xx λ--≤，整理得212ln x x xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数ℎ(x )在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以φ(x )在(1,+∞)上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19. 已知整数4n …，数列{}n a 是递增的整数数列，即12,,,n a a a ∈Z 且12n a a a <<<．数列{}n b 满足11b a =，n n b a =．若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i b a --等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“左k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b +-等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“右k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b k +-=或者1i i b a k --=，则称数列{}n b 为{}n a 的“左右k 型间隔数列”．（1）写出数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）已知数列{}n a 满足()81n a n n =-，数列{}n b 是{}n a 的“左k 型间隔数列”，数列{}n c 是{}n a 的“右k 型间隔数列”，若10n =，且有1212n n b b b c c c +++=+++ ，求k 的值；（3）数列{}n a 是递增的整数数列，且10a =，27a =．若存在{}n a 的一个递增的“右4型间隔数列{}n b ”，使得对于任意的{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，求n a 的关于n 的最小值（即关于n的最小值函数()f n ）．【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9． （2）80k =（3）()()382n n f n -=+【解析】【分析】（1）由“左右k 型间隔数列”的定义，求数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）根据“左k 型间隔数列”和“右k 型间隔数列”的定义，由1212n n b b b c c c +++=+++ ，则有1291016a a k a a ++=+，代入通项计算即可；（3）由“右4型间隔数列”的定义，有144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣，则有()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ，化简即可．【小问1详解】数列{}:1,3,5,7,9n a 的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．【小问2详解】由12101210b b b c c c +++=+++ ，可得239239b b b c c c +++=+++ ，即128341088a a a k a a a k ++++=+++- ，即1291016a a k a a ++=+，即16168988109k +=⨯⨯+⨯⨯，所以80k =．【小问3详解】当{}2,3,,1i n ∈- 时，由144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣．又因为对任意{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，即当{}2,3,,1i n ∈- 时，i i b a -两两不相等．因为()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()2233117444n n b a b a b a --=++-++-+++- ()()()()223311742n n n b a b a b a --=+-+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ()382n n -=+．所以n a 的最小值函数()()382n n f n -=+．另外，当数列{a n }的通项()0,1,38,2,2i i a i i i n =⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩间隔数列{b n }的通项(),1,13,21,2i i a i i n b i i i n ==⎧⎪=⎨-+≤≤-⎪⎩或时也符合题意．【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。
2020届天津市南开中学高三10月月考数学试题(解析版)
2020届天津市南开中学高三10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}124x A x -=≥，{}2230B x x x =--<，则()R AB ð等于（ ）A.{}3x x ≥B.{}3x x >C.{}13x x -<< D.{}31x x x ≥≤-或【答案】A【解析】解出集合A 、B ，再利用交集和补集的定义求出集合()R A B ð.【详解】解不等式124x -≥，即12x -≥，得3x ≥，{}3A x x ∴=≥. 解不等式2230x x --<，解得13x -<<，{}13B x x ∴=-<<， 则{}13R B x x x =≤-≥或ð，因此，(){}3R A B x x ⋂=≥ð，故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集与补集的混合运算，同时也考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，解题的关键就是解出问题中所涉及的集合，考查运算求解能力，属于基础题. 2．“成立”是“成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x ＜3，由x （x-3）＜0得0＜x ＜3，所以“|x -1|＜2成立”是“x （x-3）＜0成立”的必要不充分条件 【考点】1．解不等式；2．充分条件与必要条件3．已知()sin f x x x =-+，命题:0,2p x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（ ） A ．p 是假命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭B ．p 是假命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭C ．p 是真命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭D ．p 是真命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】试题分析：'()1cos f x x =-+，当(0,)2x π∈，'()0f x <，因此()f x 是减函数，所以(0,)2x π∈，()(0)0f x f <=，命题p 是真命题，p ⌝是：000,,()02x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭，故选D ．【考点】命题的真假，命题的否定． 4．已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << 【答案】D【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，e e z 121==-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，若对于任意x R ∈， ()()2222f log a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1 B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】B【解析】因为()f x 是偶函数，所以不等式()()22log 22f a f x x ≤-+可化为()()22log 22f a f x x ≤-+，又()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以22log 22a x x ≤-+，而()222211x x x -+=-+的最小值为1，所以2log 1a ≤，21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤． 6．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为函数在区间上单调递减，所以函数在区间上恒成立，即在恒成立，而在递减，在递增，且，即；故选C.7．设函数()144x f x ex -=+-，()1ln g x x x=-，若()()120f x g x ==，则（ ）A.()()120g x f x <<B.()()120g x f x <<C.()()210f x g x <<D.()()210f x g x <<【答案】B【解析】分析函数()y f x =和()y g x =的单调性，利用零点存在定理求出函数零点的取值范围，再由函数的单调性来得出()2f x 与()1g x 的正负. 【详解】()144x f x e x -=+-Q ，()140x f x e -'∴=+>，则函数()y f x =为增函数， ()00f <Q ，()10f >，且()10f x =，由零点存在定理知101x <<.()1ln g x x x =-Q ，则()221110x g x x x x+'=+=>，所以，函数()y g x =为增函数， 且()10g <，()12ln 202g =->，又()20g x =，由零点存在定理可知212x <<.()()210f x f ∴>>，()()110g x g <<，因此，()()120g x f x <<，故选：B.【点睛】本题考查函数值符号的判断，同时也考查了函数单调性与零点存在定理的应用，解题的关键就是利用函数的单调性与零点存在定理求出零点的取值范围，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.8．设实数,,a b c 分别满足322,a a +=2log 1b b =，5log 1,c c =则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a b c >> B.b a c >> C.c b a >> D.a c b >>【答案】C【解析】令3()22f x x x =+-，则3()22f x x x =+-在R 上单调递增，且(0)(1)2110f f ⋅=-⨯=-<，即(0,1)a ∈，在同一坐标系中作出251,log ,log y y x y x x===的图象，由图象，得1b c <<，即c b a >>；故选C.点睛：在涉及超越方程的求解问题，往往将其分离成两个基本函数图象的公共点问题，如本题中判定5log 1c c =的根的取值范围，就转化为1y x=和5log y x =的图象交点问题. 9．已知函数()21,2114,15x x f x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，若关于x 的方程()0f x ax -=有两个解，则实数a 的取值范围是（ ） A.650,2252⎛⎤⎡⎫⋃-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，B.650,2252⎛⎫⎡⎤⋃-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， C.{}56,,0,2225⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞⋃- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D.56,,225⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】A【解析】关于x 的方程()0f x ax -=有两个解，等价于()y f x =和y ax =有两个交点，如图所示：作出函数()21,2114,15x x f x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩的图象，()2,5A -，()1,2B ，65,5C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，625OC k =，由图可得60,25k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，直线与曲线有两个交点，由图可得过原点的直线与21y x =+有两个交点的临界位置为两者相切时，联立两者方程21y kxy x =⎧⎨=+⎩得：210x kx -+=，由240k =-=解得2k =±，切点坐标为()1,2-和()1,2且52OA k =-，要使直线与抛物线有两个交点，直线的斜率应满足5,22k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，综上可得650,,2252k ⎛⎤⎡⎫∈⋃-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选A.二、填空题10．设复数z 满足)3i z i ⋅=，则z =__________．【答案】1+【解析】分析：根据条件先将z 的表达式求出，再结合复数的四则运算即可.详解：3)13i i z ===+点睛：考查复数的计算，属于基础题.11．6⎛⎝展开式的常数项为 ．（用数字作答）【答案】-160【解析】试题分析：由6662166(1)(2)rrr r r r rr T C C ---+⎛==- ⎝，令620r -=得3r =，所以6⎛ ⎝展开式的常数项为33636(1)(2)160C --=-.【考点】二项式定理.12．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1).【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e . 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 13．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是 ．【答案】【解析】试题分析：由图知，当时，,由得即所以不等式解集为【考点】利用函数性质解不等式14．已知函数32,(),x x m f x x x m ⎧≤=⎨>⎩，，若存在实数a ，使函数g(x)=f(x)-a 有两个零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】()(),01,-∞⋃+∞【解析】由题意得直线y a =和函数()y f x =的图象有两个交点，故函数()y f x =在定义域内不能是单调函数．在同一坐标系内画出函数3y x =和2y x =的图象，结合图象可得所求的结果． 【详解】∵()()g x f x a =-有两个零点， ∴()f x a =有两个零点，即()y f x =与y a =的图象有两个交点， 由32x x =可得，0x =或1x =．①当1m >时,函数()f x 的图象如图所示，此时存在a 满足题意，故1m >满足题意．②当1m =时,由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意． ③当01m <<时,函数()f x 单调递增，故不符合题意．④0m =时,()f x 单调递增，故不符合题意． ⑤当0m <时,函数()y f x =的图象如图所示,此时存在a 使得()y f x =与y a =有两个交点．综上可得0m <或1m >．所以实数m 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞． 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，运用图象进行求解．对于含有参数的问题，要注意分类讨论的方法在解题中的应用，同时还要注意数形结合在解题中的应用．15．函数()()4ln (1)f x kx x x x =+->，若()0f x >的解集为(),s t ，且(),s t 中只有一个整数，则实数k 的取值范围为___________。
2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高三(上)10月月考数学试卷(理科)
2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M＝{x|−1<x<2}，N＝{x|x<a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A.(2, +∞)B.[2, +∞)C.(−∞, −1)D.(−∞, −1]【答案】B【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由集合M＝{x|−1<x<2}，N＝{x|x<a}，M⊆N，由集合包含关系的定义比较两个集合的端点可直接得出结论【解答】∵集合M＝{x|−1<x<2}，N＝{x|x<a}，M⊆N，∴a≥2，实数a的取值范围是[2, +∞)2. 在复平面内与复数z=5i1+2i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为（）A.1+2i B.1−2i C.−2+i D.2+i【答案】C【考点】复数的运算【解析】利用复数的运算法则、几何意义、对称性，即可得出．【解答】复数z=5i1+2i =5i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=5(i+2)5=2+i所对应的点(2, 1)关于虚轴对称的点为A(−2, 1)，∴A对应的复数为−2+i．3. 条件p:|x+1|>2，条件q:13−x>1，则￢p是￢q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】先求出当命题为真时x 的范围，再根据补集思想求出命题为假时的x 的范围，然后根据题意观察两个集合之间的关系由小范围推大范围是充分不必要条件，即可得到答案． 【解答】由题意得：条件p:|x +1|>2，即p:x >1或x <−3． 所以￢p:−3≤x ≤1．由题意得：条件q:13−x >1，即q:2<x <3． 所以￢q:x ≥3或x ≤2．所以￢p 是￢q 的充分不必要条件．4. 函数f(x)=√(log 2x)2−1的定义域为( )A.(0, 12)B.(2, +∞)C.(0, 12)∪(2, +∞)D.(0, 12]∪[2, +∞)【答案】 C【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，则(log 2x)2−1>0(x >0)， 即log 2x >1或log 2x <−1， 解得x >2或0<x <12，即函数的定义域为(0, 12)∪(2, +∞)， 故选C.5. 设f(x)＝lg(21−x +a)是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数是（ ） A.(−∞, +∞)上的减函数 B.(−∞, +∞)上的增函数 C.(−1, 1)上的减函数 D.(−1, 1)上的增函数 【答案】 D【考点】函数奇偶性的性质与判断 复合函数的单调性 【解析】由f(0)＝0，求得a 的值，可得f(x)＝lg(1+x1−x )，由此求得函数f(x)的定义域．再根据f(x)＝lg(−1−2x−1)，以及t ＝−1−2x−1在(−1, 1)上是增函数，可得结论． 【解答】由于f(x)＝lg(21−x+a)是奇函数，且在x＝0处有意义，故有f(0)＝0，即lg(2+a)＝0，解得a＝−1．故f(x)＝lg(21−x −1)＝lg(1+x1−x)．令1+x1−x>0，求得−1<x<1，故函数f(x)的定义域为(−1, 1)．再根据f(x)＝lg(1+x1−x )＝lg(−1−2x−1)，函数t＝−1−2x−1在(−1, 1)上是增函数，可得函数f(x)在(−1, 1)上是增函数，6. 函数y＝cos(sin|x|)的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换【解析】作函数y＝cos(sin|x|)的图象，从而确定答案．【解答】作函数y＝cos(sin|x|)的图象如下，7. 定义：若函数f(x)的图象经过变换T后所得的图象对应的函数与f(x)的值域相同，则称变换T是f(x)的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：①f(x)＝(x−1)2，T：将函数f(x)的图象关于y轴对称；②f(x)＝2x−1−1，T：将函数f(x)的图象关于x轴对称；③f(x)=xx+1，T：将函数f(x)的图象关于点(−1, 1)对称．④f(x)=sin(x+π3)，T：将函数f(x)的图象关于点(−1, 0)对称．其中T是f(x)的同值变换的有（）A.①②B.①③④C.①④②D.①③【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】根据同值变换的定义，先求出对应的函数解析式，求出相应的值域，结合值域关系进行判断即可． 【解答】①f(x)＝(x −1)2的值域为[0, +∞)，T ：将函数f(x)的图象关于y 轴对称得到f(x)＝(−x −1)2＝(x +1)2的值域为[0, +∞)，值域相同是同值变换．②f(x)＝2x−1−1>0−1＝−1，值域为(−1, +∞)，将函数f(x)的图象关于x 轴对称得到−y ＝2x−1−1，即y ＝−2x−1+1<1，两个函数的值域不相同，不是同值变换． ③f(x)=xx+1=x+1−1x+1=1−1x+1，函数关于(−1, 1)对称，函数值域为{y|y ≠1}，将函数f(x)的图象关于点(−1, 1)对称后函数是自身，满足值域相同，是同值变换 ④f(x)=sin(x +π3)的值域为[−1, 1]，则f(x)的图象关于点(−1, 0)对称后的值域仍然为[−1, 1]，则两个函数的值域相同，是同值变换． 故T 是f(x)的同值变换的有①③④，8. 如图所示的程序框图中，若f(x)＝x 2−x +1，g(x)＝x +4，且ℎ(x)≥m 恒成立，则m 的最大值是（ ）A.4B.3C.1D.0 【答案】 B【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：ℎ(x)={x 2−x +1x 2−x +1≥x +4x +4x 2−x +1≤x +4的值，数形结合求出ℎ(x)的最小值，可得答案． 【解答】由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：ℎ(x)={x 2−x +1x 2−x +1≥x +4x +4x 2−x +1≤x +4的值， 在同一坐标系，画出f(x)＝x 2−x +1，g(x)＝x +4的图象如下图所示：由图可知：当x ＝−1时，ℎ(x)取最小值3， 又∵ ℎ(x)≥m 恒成立， ∴ m 的最大值是3，9. 二次函数f(x)＝x 2+bx +c(b, c ∈R)，若c <0，且函数f(x)在[−1, 1]上有两个零点，求b +2c 的取值范围（ ） A.(−2, 2) B.(−2, 1) C.[−2, 1) D.(−1, 1) 【答案】 C【考点】二次函数的性质 函数零点的判定定理 二次函数的图象 【解析】由题意函数f(x)与x 轴有两个交点，则f(−1)≥0，f(1)≥0进而求解． 【解答】由题意f(x)与x 轴有2个交点，且f(x)min <0，函数f(x)在[−1, 1]上有两个零点，则{f(−1)=1−b +c ≥0f(1)=1+b +c ≥0 即{b ≤1+cb ≥−1−c ∵ c <0，∴ b +2c ≤1+c +2c ＝1+3c <1， b +2c ≥−1−c +2c ＝−1+c ，若b +2c ＝−2，则b ＝−2−2c 即{−2−2c ≤1+c −2−2c ≥−1−c 解得{c ≥−1c ≤−1 ∴ c ＝−1满足题意，10. 设函数f(x)={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2 ，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a +2b +2c 的取值范围是（ ） A.(16, 32) B.(18, 34) C.(17, 35) D.(6, 7) 【答案】 B【考点】分段函数的应用 【解析】不妨设a <b <c ，利用f(a)＝f(b)＝f(c)，结合图象可得a ，b ，c 的范围，即可1求出 【解答】互不相等的实数a ，b ，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，可得a ∈(−∞, 0)，b ∈(0, 1)，c ∈(4, 5)， 则0<2a <1，0<2b <1，16<2c <32，2a+2b+2c∈(18, 34)11. 函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0，记a＝−log23⋅f(log132)，b＝f(1)，c＝4f(0.52)，则（）A.c<b<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c 【答案】C【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】设g(x)=f(x)x ，∵对任意两个不相等的正数x1，x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0，可得g(x)在(0, +∞)上单调递增，分别化简a，b，c，即可得出结论．【解答】设g(x)=f(x)x ，∵对任意两个不相等的正数x1，x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0，∴g(x)在(0, +∞)上单调递增，∵a＝−log23⋅f(log132)＝g(log132)，b＝f(1)＝g(1)，c＝4f(0.52)＝g(0.52)，log132<0<0.52<1，∴c<a<b．故选：C．12. 函数f(x)＝−x3+a+1，x∈[1e, e]与g(x)＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A.[e, e3−3]B.[1, e2−4]C.[1, e3−3]D.[0, e3−4]【答案】D【考点】函数与方程的综合运用【解析】先求出函数g(x)关于x轴对称的函数，转化为f(x)与对称函数有交点，利用构造函数法，结合导数研究函数的最值即可．【解答】g(x)＝3lnx的图象关于x轴对称的函数解析式为−y＝3lnx，即y＝−3lnx，若f(x)与g(x)＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则等价为f(x)与y＝−3lnx在x∈[1e, e]上有交点，即−x3+a+1＝−3lnx，即a＝x3−3lnx−1，x∈[1e, e]有解即可，设ℎ(x)＝x3−3lnx−1，x∈[1e, e]，则ℎ′(x)＝3x2−3x =3(x3−1)x，当ℎ′(x)>0得1<x≤e，此时函数ℎ(x)为增函数，当ℎ′(x)<0得1e ≤x <1，此时函数ℎ(x)为减函数，即当x ＝1时，函数ℎ(x)取得极小值同时也是最小值ℎ(1)＝1−3ln1−1＝0， 当x =1e 时，ℎ(1e )＝(1e )3−3ln 1e −1＝(1e )3+2， 当x ＝e 时，ℎ(e)＝e 3−3lne −1＝e 3−4， 则ℎ(e)>ℎ(1e )，即ℎ(x)的取值范围是[0, e 3−4]， 则实数a 的取值范围是[0, e 3−4]， 故选：D ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.已知命题p:∃x ∈R ，x 2+2ax +a ≤0，则命题p 的否定是________． 【答案】∀x ∈R ，x 2+2ax +a >0 【考点】 命题的否定 【解析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，写出命题的否定． 【解答】命题p:∃x ∈R ，x 2+2ax +a ≤0，则命题p 的否定是：∀x ∈R ，x 2+2ax +a >0，若函数f(x)＝log a (x +ax −4)的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(0, 1)∪(1, 4] 【考点】函数的值域及其求法 【解析】问题转化为x +ax −4可以取所有正数，a >0且a ≠1，由分类讨论和基本不等式可得． 【解答】∵ 函数f(x)＝log a (x +ax −4)的值域为R ， ∴ x +ax −4>0，a >0且a ≠1， 当a >0时，x +ax −4≥2√a −4，故只需2√a −4≤0即可， 解不等式可得a ≤4，综上可得a 的取值范围为：0<a ≤4且a ≠1．若直线y ＝kx +b 是曲线y ＝lnx +2的切线，也是曲线y ＝ln(x +1)的切线，则b ＝________． 【答案】 1−ln2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可 【解答】设y ＝kx +b 与y ＝lnx +2和y ＝ln(x +1)的切点分别为(x 1, kx 1+b)、(x 2, kx 2+b)； 由导数的几何意义可得k =1x 1=1x2+1，得x 1＝x 2+1再由切点也在各自的曲线上，可得{kx 1+b =lnx 1+2kx 2+b =ln(x 2+1) 联立上述式子解得{k =2x 1=12x 2=−12；从而kx 1+b ＝lnx 1+2得出b ＝1−ln2．若△ABC 的内角A ，B 满足sinB sinA=2cos(A +B)，则当B 取最大值时，角C 大小为________． 【答案】2π3【考点】同角三角函数间的基本关系 基本不等式及其应用 【解析】已知等式变形后，利用同角三角函数间基本关系化简，利用基本不等式求出tanB 的最大值，进而求出B 的最大值，即可求出C 的度数． 【解答】已知等式变形得：sinB ＝2sinAcos(A +B)， ∴ sinB ＝2sinAcosAcosB −2sin 2AsinB ， ∴ tanB =2sinAcosA 1+2sin 2A=2tanA1+3tan 2A ，∵sinB sinA=2cos(A +B)=−2cosC >0，∴ C 为钝角，A 与B 为锐角，tanA >0， ∴ tanB =21tanA+3tanA ≤√33，当且仅当tanA=√33，即A =π6时取等号， ∴ (tanB)max =√33，即B 的最大值为π6，则C =2π3．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，满足cosAcosB +ab =2c b求角B的大小；（2）若a＝1，b2＝ac，求△ABC的面积．【答案】（1）根据题意，△ABC中，有cosAcosB +ab=2cb，则有cosAsinB+cosBsinAcosBsinA=2sinCsinB，变形可得sin(A+B)cosBsinB =2sinCsinB，又由sin(A+B)＝sinC≠0，则cosB=12，又由B∈(0, π)，则B=π3；（2）根据题意，△ABC中有b2＝ac，由余弦定理可得b2=a2+c2−2ac⋅cosB=a2+c2−2ac⋅cosπ3=a2+c2−ac，故ac＝a2+c2−ac，变形可得(a−c)2＝0，得a＝c＝1，故△ABC为正三角形，故SΛABC=√34．【考点】解三角形【解析】（1）根据题意，由正弦定理可得cosAsinB+cosBsinAcosBsinA =2sinCsinB，变形可得sin(A+B)cosBsinB=2sinCsinB，进而可得cosB的值，分析可得B的值；（2）根据题意，由余弦定理可得b2=a2+c2−2ac⋅cosB=a2+c2−2ac⋅cosπ3= a2+c2−ac，变形可得(a−c)2＝0，得a＝c＝1，据此分析可得答案．【解答】（1）根据题意，△ABC中，有cosAcosB +ab=2cb，则有cosAsinB+cosBsinAcosBsinA=2sinCsinB，变形可得sin(A+B)cosBsinB =2sinCsinB，又由sin(A+B)＝sinC≠0，则cosB=12，又由B∈(0, π)，则B=π3；（2）根据题意，△ABC中有b2＝ac，由余弦定理可得b2=a2+c2−2ac⋅cosB=a2+c2−2ac⋅cosπ3=a2+c2−ac，故ac＝a2+c2−ac，变形可得(a−c)2＝0，得a＝c＝1，故△ABC为正三角形，故SΛABC=√34．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，S2＝2a2−2，S3＝a4−2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=n an，求{b n}的前n项和T n．【答案】∵等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，S2＝2a2−2，S3＝a4−2，∴S3−S2＝a4−2a2，即a3＝a4−2a2，∴q2−q−2＝0，解得q＝2或q＝−1（舍去）．又a1+a2＝2a2−2，∴a2＝a1+2，∴a1q＝a1+2，代入q＝2，解得a1＝2，∴a n=2×2n−1=2n．∵b n=na n =n2n，∴{b n}的前n项和：T n=12+222+323+⋯+n2n，①1 2T n=122+223+324+⋯+n2n+1，②①-②，得：1 2T n=12+122+123+⋯+12n−n2n+1=12(1−12n)1−12=1−12n−n2n+1，∴T n＝2−n+22n．【考点】数列的求和【解析】（1）先求出a3＝a4−2a2，从而q2−q−2＝0，解得q＝2，再由a2＝a1+2，得a1＝2，从而求出数列{a n}的通项公式．（2）由b n=n an =n2，利用错位相减法能求出{b n}的前n项和．【解答】∵等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，S2＝2a2−2，S3＝a4−2，∴S3−S2＝a4−2a2，即a3＝a4−2a2，∴q2−q−2＝0，解得q＝2或q＝−1（舍去）．又a1+a2＝2a2−2，∴a2＝a1+2，∴a1q＝a1+2，代入q＝2，解得a1＝2，∴a n=2×2n−1=2n．∵b n=na n =n2n，∴{b n}的前n项和：T n=12+222+323+⋯+n2n，①1 2T n=122+223+324+⋯+n2n+1，②①-②，得：1 2T n=12+122+123+⋯+12n−n2n+1=12(1−12n )1−12=1−12n −n2n+1，∴ T n ＝2−n+22n．如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AD // BC ，AD ＝3BC ＝6，PB =6√2，点M 在线段AD 上，且MD ＝4，AD ⊥AB ，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：平面PCM ⊥平面PAD ；（2）当四棱锥P −ABCD 的体积最大时，求平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值． 【答案】由AD ＝6，DM ＝4，可得AM ＝2，得四边形ABCM 是矩形，∴ CM ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥CM ， 又，PM ，AD ⊂平面PAD ，∴ CM ⊥平面PAD ， 又CM ⊂平面PCM ，∴ 平面PCM ⊥平面PAD ． 四棱锥P −ABCD 的体积为：V =13⋅12⋅(AD +BC)⋅AB ⋅PA =43⋅AB ⋅PA ，要使四棱锥P −ABCD 的体积取最大值，只需AB ⋅PA 取得最大值． 由条件可得PA 2+AB 2＝PB 2＝72， ∴ 72≥2PA ⋅AB ，即PA ⋅AB ≤36，当且仅当PA ＝AB ＝6时，PA ⋅AB 取得最大值36．分别以AP ，AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ． 则P(6, 0, 0)，C(0, 6, 2)，D(0, 0, 6)，M(0, 0, 2)， PC →=(−6,6,2)，PD →=(−6,0,6)，PM →=(−6,0,2)， 设平面PCD 的一个法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)，由n 1→⋅PC →=0，n 1→⋅PD →=0， 可得{−6x 1+6y 1+2z 1=0−6x 1+6z 1=0 ，令y 1＝2，得n 1→=(3,2,3)， 同理可得平面PCM 的一个法向量为n 2→=(1,0,3)， 设平面PCM 与平面PCD 所成二面角为θ， 则cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=√10⋅√22=6√5555．由于平面PCM 与平面PCD 所成角为锐二面角， ∴ 平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值为6√5555．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）推导出CM ⊥AD ，PA ⊥CM ，从而CM ⊥平面PAD ，由此能证明平面PCM ⊥平面PAD ．（2）四棱锥P −ABCD 的体积为V =13⋅12⋅(AD +BC)⋅AB ⋅PA =43⋅AB ⋅PA ，要使四棱锥P −ABCD 的体积取最大值，只需AB ⋅PA 取得最大值．推导出当且仅当PA ＝AB ＝6时，PA ⋅AB 取得最大值36．分别以AP ，AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ．利用向量法能求出平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值． 【解答】由AD ＝6，DM ＝4，可得AM ＝2，得四边形ABCM 是矩形，∴ CM ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥CM ， 又，PM ，AD ⊂平面PAD ，∴ CM ⊥平面PAD ， 又CM ⊂平面PCM ，∴ 平面PCM ⊥平面PAD ． 四棱锥P −ABCD 的体积为：V =13⋅12⋅(AD +BC)⋅AB ⋅PA =43⋅AB ⋅PA ，要使四棱锥P −ABCD 的体积取最大值，只需AB ⋅PA 取得最大值． 由条件可得PA 2+AB 2＝PB 2＝72， ∴ 72≥2PA ⋅AB ，即PA ⋅AB ≤36，当且仅当PA ＝AB ＝6时，PA ⋅AB 取得最大值36．分别以AP ，AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ． 则P(6, 0, 0)，C(0, 6, 2)，D(0, 0, 6)，M(0, 0, 2)， PC →=(−6,6,2)，PD →=(−6,0,6)，PM →=(−6,0,2)， 设平面PCD 的一个法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)，由n 1→⋅PC →=0，n 1→⋅PD →=0， 可得{−6x 1+6y 1+2z 1=0−6x 1+6z 1=0 ，令y 1＝2，得n 1→=(3,2,3)， 同理可得平面PCM 的一个法向量为n 2→=(1,0,3)， 设平面PCM 与平面PCD 所成二面角为θ， 则cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=√10⋅√22=6√5555．由于平面PCM 与平面PCD 所成角为锐二面角， ∴ 平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值为6√5555．已知函数f(x)＝x2+bsinx−2，(b∈R)，F(x)＝f(x)+2，且对于任意实数x，恒有F(x−5)＝F(5−x)．（1）求函数f(x)的解析式；（2）已知函数g(x)＝f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0, 1)上单调，求实数a的取值范围；（3）函数ℎ(x)=ln(1+x2)−12f(x)−k有几个零点？【答案】由题设得：F(x)＝x2+bsinx，∵F(x−5)＝F(5−x)，∴F(−x)＝F(x)∴x2−bsinx＝x2+bsinx，∴bsinx＝0对于任意实数x都成立，∴b＝0∴f(x)＝x2−2．由g(x)＝f(x)+2(x+1)+alnx＝x2+2x+alnx，得g′(x)=2x+2+ax(x>0)g(x)在(0, 1)上恒单调，只需g′(x)≥0或g′(x)≤0在(0, 1)上恒成立．即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在(0, 1)上恒成立．∴a≥−(2x2+2x)或a≤−(2x2+2x)在(0, 1)上恒成立．设u(x)＝−(2x2+2x)，x∈(0, 1)，易知：u(x)∈(−4, 0)，∴a≥0或a≤−4．令y=ln(1+x2)−12f(x)，y′=2x1+x2−x=−x(x+1)(x−1)1+x2，令y′＝0⇒x＝0或x＝1或x＝−1，列表如下：∴当k>ln2+12时，无零点；当k<1或k=ln2+12时，有两个零点；当k＝1时，有三个零点；1利用导数研究函数的极值【解析】（1）先表示出汗水F(x)的表达式，再根据F(x−5)＝F(5−x)求出b的值，进而可确定函数f(x)的解析式．（2）将（1）中求出的函数f(x)的解析式代入函数g(x)然后求导，将问题转化为g′(x)≥0或g′(x)≤0在(0, 1)上恒成立．（3）对函数ℎ(x)进行求导，然后根据导函数的正负和原函数的单调性的关系判断函数的单调性，进而确定零点．【解答】由题设得：F(x)＝x2+bsinx，∵F(x−5)＝F(5−x)，∴F(−x)＝F(x)∴x2−bsinx＝x2+bsinx，∴bsinx＝0对于任意实数x都成立，∴b＝0∴f(x)＝x2−2．由g(x)＝f(x)+2(x+1)+alnx＝x2+2x+alnx，得g′(x)=2x+2+ax(x>0)g(x)在(0, 1)上恒单调，只需g′(x)≥0或g′(x)≤0在(0, 1)上恒成立．即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在(0, 1)上恒成立．∴a≥−(2x2+2x)或a≤−(2x2+2x)在(0, 1)上恒成立．设u(x)＝−(2x2+2x)，x∈(0, 1)，易知：u(x)∈(−4, 0)，∴a≥0或a≤−4．令y=ln(1+x2)−12f(x)，y′=2x1+x2−x=−x(x+1)(x−1)1+x2，令y′＝0⇒x＝0或x＝1或x＝−1，列表如下：∴当k>ln2+12时，无零点；当k<1或k=ln2+12时，有两个零点；当k＝1时，有三个零点；当1<k<ln2+12时，有四个零点．已知函数f(x)＝(a+2)lnx+ax−x2．（1）讨论f(x)的单调性；32定义域为(0, +∞)， f ′(x)=a+2x+a −2x =−(x+1)(2x−a−2)x，当a ≤−2时，f ′(x)<0，f(x)在(0, +∞)上单调递减， 当a >−2时，由f ′(x)>0，得0<x <a+22，f(x)在(0,a+22)上单调递增，由f ′(x)<0，得x >a+22，f(x)在(a+22,+∞)上单调递减，综上，当a ≤−2时，f(x)的单调递减区间是(0, +∞)； 当a >−2时，f(x)的单调递减区间是(a+22,+∞)，单调递增区间是(0,a+22)．易知a >0， ①当0<a ≤2时，a+22≥a ，由（1）知，f(x)在(0, a)上单调递减，此时，f(x)在(0, a)上不存在最大值． ②当a >2时，f(x)在(0,a+22)上单调递增，在(a+22,a)上单调递减， 则f(x)max =f(a+22)=(a +2)lna+22+a(a+2)2−(a+22)2=(a +2)lna+22+a 2−44，故p(a)=(a +2)ln a+22+a 2−44(a >2)，设g(x)=(x +2)lnx+22+x 2−44(x >2)，则g ′(x)=1+lnx+22+x2，∵ x >2，∴ g ′(x)>0，∴ g(x)在(2, +∞)上单调递增， ∴ g(x)>g(2)＝4ln2，即p(a)>4ln2．① ∵ 32a 2+a −4=12(3a −4)(a +2)，且a >2， ∴ 要证p(a)<32a 2+a −4，只需证ln a+22+a−24<3a−42，即证lna+22−5a−64<0，设ℎ(x)=lnx+22−5x−64(x >2)，则ℎ(x)=1x+2−54<0，则ℎ(x)在(2, +∞)上单调递减， 从而ℎ(x)<ℎ(2)＝ln2−1<0，即lna+22−5a−64<0，则p(a)<32a 2+a −4，②由①②可知，4ln2<p(a)<32a 2+a −4．【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）分类讨论，利用导数求函数的单调区间即可，注意函数的定义域为(0, +∞)；（2）从（1）中结论可知，当0<a ≤2时，f(x)在(0, a)上单调递减，不存在最大值；当a >2时，f(x)max =f(a+22)，再构造函数，结合导数，利用分析法证明即可．定义域为(0, +∞)， f ′(x)=a+2x+a −2x =−(x+1)(2x−a−2)x，当a ≤−2时，f ′(x)<0，f(x)在(0, +∞)上单调递减， 当a >−2时，由f ′(x)>0，得0<x <a+22，f(x)在(0,a+22)上单调递增，由f ′(x)<0，得x >a+22，f(x)在(a+22,+∞)上单调递减，综上，当a ≤−2时，f(x)的单调递减区间是(0, +∞)； 当a >−2时，f(x)的单调递减区间是(a+22,+∞)，单调递增区间是(0,a+22)．易知a >0， ①当0<a ≤2时，a+22≥a ，由（1）知，f(x)在(0, a)上单调递减，此时，f(x)在(0, a)上不存在最大值． ②当a >2时，f(x)在(0,a+22)上单调递增，在(a+22,a)上单调递减， 则f(x)max =f(a+22)=(a +2)lna+22+a(a+2)2−(a+22)2=(a +2)lna+22+a 2−44，故p(a)=(a +2)ln a+22+a 2−44(a >2)，设g(x)=(x +2)lnx+22+x 2−44(x >2)，则g ′(x)=1+lnx+22+x2，∵ x >2，∴ g ′(x)>0，∴ g(x)在(2, +∞)上单调递增， ∴ g(x)>g(2)＝4ln2，即p(a)>4ln2．① ∵ 32a 2+a −4=12(3a −4)(a +2)，且a >2， ∴ 要证p(a)<32a 2+a −4，只需证ln a+22+a−24<3a−42，即证lna+22−5a−64<0，设ℎ(x)=lnx+22−5x−64(x >2)，则ℎ(x)=1x+2−54<0，则ℎ(x)在(2, +∞)上单调递减， 从而ℎ(x)<ℎ(2)＝ln2−1<0，即lna+22−5a−64<0，则p(a)<32a 2+a −4，②由①②可知，4ln2<p(a)<32a 2+a −4．请在第22、23、二题中任选一题作答，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ+π4)，直线l 的参数方程为{x =t y =−1+2√2t （t 为参数），直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点． (1)求圆心的极坐标；【答案】解：(1)由圆C 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ+π4)， 化为ρ2=2√2(√22ρcosθ−√22ρsinθ)，把{x =ρcosθy =ρsinθ代入可得：圆C 的普通方程为x 2+y 2−2x +2y =0，即(x −1)2+(y +1)2=2．∴ 圆心坐标为(1, −1)， ∴ 圆心极坐标为(√2,7π4)；(2)由直线l 的参数方程{x =ty =−1+2√2t（t 为参数），把t =x 代入y =−1+2√2t 可得直线l 的普通方程：2√2x −y −1=0， ∴ 圆心到直线l 的距离d =|2√2+1−1|3=2√23， ∴ |AB|=2√r 2−d 2=2√2−89=2√103，点P 直线AB 距离的最大值为r +d =√2+2√23=5√23，S max =12×2√103×5√23=10√59． 【考点】直线的参数方程参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 点到直线的距离公式 【解析】（1）由圆C 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ+π4)，化为ρ2=2√2(√22ρcosθ−√22ρsinθ)，把{x =ρcosθy =ρsinθ代入即可得出． （2）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d ，再利用弦长公式可得|AB|=2√r 2−d 2，利用三角形的面积计算公式即可得出． 【解答】解：(1)由圆C 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ+π4)， 化为ρ2=2√2(√22ρcosθ−√22ρsinθ)，把{x =ρcosθy =ρsinθ代入可得：圆C 的普通方程为x 2+y 2−2x +2y =0，即(x −1)2+(y +1)2=2．∴ 圆心坐标为(1, −1)， ∴ 圆心极坐标为(√2,7π4)；x =t把t =x 代入y =−1+2√2t 可得直线l 的普通方程：2√2x −y −1=0， ∴ 圆心到直线l 的距离d =|2√2+1−1|3=2√23，∴ |AB|=2√r 2−d 2=2√2−89=2√103，点P 直线AB 距离的最大值为r +d =√2+2√23=5√23，S max =12×2√103×5√23=10√59． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝m −|x −1|−2|x +1|． （1）当m ＝5时，求不等式f(x)>2的解集；（2）若二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围． 【答案】当m ＝5时，f(x)={3x +6,x <−1−x +2,−1≤x ≤14−3x,x >1，由f(x)>2结合函数的单调性易得不等式解集为 (−43,0)； 由二次函数的解析式可得该函数在对称轴x ＝−1处取得最小值2， 而 f(x)={3x +1+m,x <−1−x −3+m,−1≤x ≤1−3x +m −1,x >1在x ＝−1处取得最大值m −2，所以要使二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，只需m −2≥2， 即m ≥4． 【考点】绝对值三角不等式 【解析】（1）将函数的解析式写成分段函数的形式，然后结合函数的单调性和不等式的特点即可确定不等式的解集；（2）首先求得二次函数的最小值和f(x)的最大值，据此得到关于实数m 的不等式，求解不等式即可求得最终结果． 【解答】当m ＝5时，f(x)={3x +6,x <−1−x +2,−1≤x ≤14−3x,x >1，由f(x)>2结合函数的单调性易得不等式解集为 (−43,0)； 由二次函数的解析式可得该函数在对称轴x ＝−1处取得最小值2， 而 f(x)={3x +1+m,x <−1−x −3+m,−1≤x ≤1−3x +m −1,x >1在x ＝−1处取得最大值m −2，所以要使二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，只需m −2≥2，。
2020届北京市第171中学高三10月月考数学试题(解析版)
2020届北京市第171中学高三10月月考数学试题一、单选题1．如果集合={1,2,3,4}U ，={2,4}A ，则=U C A （ ） A.φ B.{1,2,3,4}C.{2,4}D.{1,3}【答案】D【解析】根据补集的定义写出运算结果 【详解】集合={1,2,3,4}U ，={2,4}A={1,3}U C A 则,故选D .【点睛】本题考查补集的运算,对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作C U A.2．已知平面向量a ,b 满足||3a =,||2b =,a 与b 的夹角为120︒,若()a mb a +⊥,则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．32D ．1【答案】A 【解析】【详解】分析：由()a mb a +⊥，可得（a +m b ）•a =0，再利用数量积的运算和定义展开即可得出．详解: ∵|a |=3，|b |=2，a 与b 的夹角为120°， ∴a b ⋅=a b cos120°=1322⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭=﹣3． ∵（a +m b ）⊥a ，∴（a +m b ）•a =2a ma b +⋅=32﹣3m=0，解得m=3． 故选：D ．点睛：本题考查了数量积的运算和定义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．3．在ABC △中，60A ︒=，4AC =，BC =ABC △的面积为（）A ．B ．4C ．D ．【答案】C【解析】首先利用余弦定理求出2AB =，利用三角形面积计算公式即可得出． 【详解】由余弦定理可得：2224(24cos 60AB AB =+-⨯⨯︒， 化为：2440AB AB -+=，解得2AB =，∴ABC △的面积1sin 422212S AC AB A =⋅⋅=⨯⨯⨯=， 故选C ． 【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4．已知0.21.5a =，0.2log 1.5b =， 1.50.2c =，则（ ） A.a b c >> B.b c a >> C.c a b >> D.a c b >>【答案】D【解析】由题意结合指数函数的性质和对数函数的性质比较a,b,c 的大小即可. 【详解】由指数函数的性质可知：0.21.51a =>，()1.50.20,1c =∈，由对数函数的性质可知0.2log 1.50b =<， 据此可得：a c b >>. 本题选择D 选项. 【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．5．标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是 （lg30.477≈）A ．3710-B ．3610-C ．3510-D ．3410-【答案】B【解析】根据题意，对36152310000取对数可得36136152523310000361352435.810000lg lg lg lg =-=⨯-⨯≈-，即可得36135.8523 1010000-≈，分析选项即可得答案． 【详解】据题意，对36152310000取对数可得36136152523310000361352435.810000lg lg lg lg =-=⨯-⨯≈-，即可得36135.8523 1010000-≈ 分析选项：B 中3610-与其最接近， 故选B. 【点睛】本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质． 6．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ）A ．12B C ．2D ．2【答案】A【解析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论。
2019-2020学年云南师大附中高三(下)月考数学试卷(理科)(含答案)
2019－2020学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（理科）（六）一、选择题.1.（5分）已知集合2{|log 1}A x x =<，集合{|||2}B x N x =∈<，则(A B = )A .{|01}x x <<B .{|02}x x <C .{|22}x x -<<D .{0，1}2.（5分）已知i 为虚数单位，则复数3(1)(1)(i i --= )A .2iB .2i -C .2D .2-3.（5分）已知平面向量a ，b 的夹角为30︒，||1a =，1()2a a b -=-，则||(b = )AB .2C .3D .44.（5分）已知实数x ，y 满足约束条件()1221x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则yx 的最大值为( )A .2B .32C .1D .235.（5分）在区间(0,3)上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点“发生的概率为( ) A .13B .12C .23D .16.（5分）已知3(21)()x x a -+展开式中各项系数之和为27，则其展开式中2x 项的系数为( )A .24B .18C .12D .47.（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin A =，a =，c a >，则角C 的大小为( )A .3πB .2πC .23πD .34π8.（5分）在下面四个三棱柱中，A ，B 为三棱柱的两个顶点，E ，F ，G 为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB 与平面EFG 不平行的是( )A .B .C .D .9.（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线2:2(0)E y px p =>有公共焦点F ，椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，且A ，B ，F 三点共线，则椭圆C 的离心率为( )A 21B .22C .3D .51-10.（5分）已知数列{}n a 满足：对*n N ∀∈，1log (2)n n a n +=+，设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，则下列说法错误的是( ) A .12a a >B .17a a >C .63T =D .76T T <11.（5分）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形。
2019-2020学年辽宁省丹东市高三(上)10月月考数学试卷(理科)(解析版)
2019-2020学年辽宁省丹东市高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{﹣1，2，3}D．{﹣1，0，1，3} 2．设复数z满足（1+i）z＝2i，则z的共轭复数＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，X表示抽到的二等品件数，则EX＝（）A．1B．0.98C．0.8D．0.14．四个人站成一排，其中甲乙相邻的站法有（）A．18种B．12种C．8种D．6种5．设D为△ABC所在平面内一点，若＝2，则＝（）A．+B．﹣C．﹣+D．+6．函数f（x）＝3x﹣3﹣x是（）A．奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数B．奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数C．偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数D．偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数7．已知α是第三象限的角，若cosα＝﹣，则tan（+）＝（）A．﹣2B．﹣C．D．28．函数f（x）＝（cos x﹣1）sin x在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．9．已设a，b都是正数，则“log a3＜log b3”是“3a＞3b＞3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件10．已知单位向量，，满足+＝，那么与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°11．若sin（x+）+cos（x﹣）＝，则sin（2x+）＝（）A．B．C．﹣D．﹣12．若函数f（x）＝恰有两个零点，则实数a的取值范围为（）A．[，1）B．（1，2]C．（0，）∪[2，+∞）D．[，1）∪[2，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在（1﹣x）4的展开式中，含x3项的系数是，各项系数和是．14．已知f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝lnx﹣3x，则f′（﹣1）＝．15．△ABC中，AB＝2，BC＝，cos A＝，则AC＝．16．已知函数f（x）＝（4﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝1对称，则a+b＝，f（x）的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设函数f（x）＝sin x﹣2cos x+3．（1）若点（α，3）是f（x）图象的一个对称中心，求tanα；（2）当x＝β时，f（x）取得最小值，求cosβ．18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表B配方的频数分布表（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin＝a sin B．（1）求A；（2）若b＝2，c＝3，∠BAC平分线AD交BC于点D，求AD的长．20．已知f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x）．（1）证明：f（4+x）＝f（x）；（2）若f（1）＝2，求式子f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）的值．21．已知函数，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设b＞1，求f（x）在区间上的最大值和最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为θ＝．（1）求C1的极坐标方程；（2）将曲线x2+y2＝13上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到曲线C3，若C2与C1的交点为A（异于坐标原点O），C2与C3的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+a2+3|+|x﹣2a|．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）＞3的解集；（2）证明：f（x）≥2，并指出等号的成立条件．2019-2020学年辽宁省丹东市高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{﹣1，2，3}D．{﹣1，0，1，3}【解答】解：∵∁U A＝{﹣1，3}，∴（∁U A）∩B＝{﹣1，3}∩{﹣1，0，l}＝{﹣1}故选：A．2．设复数z满足（1+i）z＝2i，则z的共轭复数＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：∵复数z满足（1+i）z＝2i，∴z＝＝＝i（1﹣i）＝1+i，∴z的共轭复数为＝1﹣i．故选：D．3．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，X表示抽到的二等品件数，则EX＝（）A．1B．0.98C．0.8D．0.1【解答】解：由题意知，随机变量X服从二项分布，即X～B（50，0.02），故E（X）＝50×0.02＝1．故选：A．4．四个人站成一排，其中甲乙相邻的站法有（）A．18种B．12种C．8种D．6种【解答】解：相邻问题运用捆绑法，甲乙捆绑，再与其它2人，全排，故甲、乙二人相邻的不同排法共A22•A33＝12种．故选：B．5．设D为△ABC所在平面内一点，若＝2，则＝（）A．+B．﹣C．﹣+D．+【解答】解：由于，所以，所以．故选：C．6．函数f（x）＝3x﹣3﹣x是（）A．奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数B．奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数C．偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数D．偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数【解答】解：∵f（x）＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣（3x﹣3﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）＝3x﹣3﹣x为奇函数，故可排除C，D；又f′（x）＝3x ln3﹣[（3﹣x ln3）×（﹣1）]＝ln3（3x+3﹣x）＞0，∴f（x）＝3x﹣3﹣x在（﹣∞，+∞）上是增函数，A符合题意，可排除B；故选：A．7．已知α是第三象限的角，若cosα＝﹣，则tan（+）＝（）A．﹣2B．﹣C．D．2【解答】解：α是第三象限的角，cosα＝﹣，∴sinα＝，∴tan＝＝＝﹣3，则tan（+）＝＝．故选：B．8．函数f（x）＝（cos x﹣1）sin x在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：，易知，函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除AB选项，观察CD选项，显然D选项正确．故选：D．9．已设a，b都是正数，则“log a3＜log b3”是“3a＞3b＞3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由log a3＜log b3，得，＜，得0＜b＜a＜1或0＜a＜1＜b或a＞b＞1，由3a＞3b＞3，得a＞b＞1，∴“log a3＜log b3”是“3a＞3b＞3”的必要不充分条件．故选：B．10．已知单位向量，，满足+＝，那么与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：单位向量，，满足+＝，那么＝﹣，则＝3﹣2•+，化简得2•＝3，解得•＝，所以cosθ＝＝；又θ∈[0°，180°]，所以与的夹角为30°．故选：A．11．若sin（x+）+cos（x﹣）＝，则sin（2x+）＝（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵sin（x+）+cos（x﹣），＝sin[（x）+cos（x﹣），＝2cos（x﹣）＝，∴sin（x+）＝cos（x﹣）＝，则cos（2x+）＝1﹣2＝1﹣2×＝，∵cos（2x+）＝cos[（2x+）+]，＝﹣sin（2x+）＝，故sin（2x+）＝﹣．故选：C．12．若函数f（x）＝恰有两个零点，则实数a的取值范围为（）A．[，1）B．（1，2]C．（0，）∪[2，+∞）D．[，1）∪[2，+∞）【解答】解：设h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a），若在x＜1时，h（x）＝2x﹣a与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x＝1时，h（1）＝2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）＝2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）＝2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1＝a，x2＝2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在（1﹣x）4的展开式中，含x3项的系数是﹣4，各项系数和是0．【解答】解：在（1﹣x）4的展开式中，T r+1＝＝（﹣1）r x r，当r＝3时，含x3项的系数是：（﹣1）3＝﹣4，在（1﹣x）4的展开式中，各项系数和是（1﹣1）4＝0．故答案为：﹣4，0．14．已知f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝lnx﹣3x，则f′（﹣1）＝2．【解答】解：根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝ln（﹣x）﹣3×（﹣x）＝ln（﹣x）+3x，又由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝ln（﹣x）+3x，则f′（x）＝+3，则有f′（﹣1）＝+3＝2；故答案为：2．15．△ABC中，AB＝2，BC＝，cos A＝，则AC＝3．【解答】解：在△ABC中，AB＝2，BC＝，cos A＝，设AC＝x，利用余弦定理，整理得3x2﹣8x﹣3＝0，解得x＝3或﹣（负值舍去）．故答案为：316．已知函数f（x）＝（4﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝1对称，则a+b＝﹣4，f（x）的最大值为16．【解答】解：由4﹣x2＝0可得x＝2或x＝﹣2，即（2，0），（﹣2，0）是函数的零点，∵f（x）＝（4﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝1对称，故（2，0），（﹣2，0）关于x＝1对称的点（0，0），（4，0）也是函数的零点，故0，4是x2+ax+b＝0的根，故b＝0，a＝﹣4，a+b＝﹣4，又f（x）＝（4﹣x2）（x2﹣4x），∴f′（x）＝﹣4（x﹣1）（x2﹣2x﹣4），令f′（x）＝﹣4（x﹣1）（x2﹣2x﹣4）＞0可得，当x或1﹣，f′（x）＜0，此时函数单调递减，当1或x时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，又当x→∞时，f（x）＜0，f（1+）＝f（1﹣）＝16．故答案为：﹣4，16．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设函数f（x）＝sin x﹣2cos x+3．（1）若点（α，3）是f（x）图象的一个对称中心，求tanα；（2）当x＝β时，f（x）取得最小值，求cosβ．【解答】解：（1）∵f（x）＝sin x﹣2cos x+3＝（x+φ）+3，∵（α，3）是f（x）图象的一个对称中心，∴sin（α+φ）＝0，∴f（α）＝3，可得sinα＝2cosα，∴tanα＝2，（2）由题意可得，f（β）＝3﹣，∴sinβ﹣2cosβ＝，①∵x＝β时，f（x）取得最小值，∴x＝β时，f（x）取得极小值，故f′（β）＝0，∵f′（x）＝cos x+2sin x，∴cosβ+2sinβ＝0，②①②联立可得，cosβ＝，18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表B配方的频数分布表（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．【解答】解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94．由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96．所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96．用B配方生产的产品平均一件的利润为×[4×（﹣2）+54×2+42×4]＝2.68（元）．19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin＝a sin B．（1）求A；（2）若b＝2，c＝3，∠BAC平分线AD交BC于点D，求AD的长．【解答】解：（1）∵b sin＝a sin B，∴由正弦定理可得sin B sin＝sin A sin B，∵sin B≠0，∴sin＝sin A，∵A+B+C＝180°，∴sin＝cos，∴cos＝2sin cos，∵cos≠0，∴sin＝，∴A＝60°．（2）∵b＝2，c＝3，A＝60°，∴S△ABC＝b•c•sin A＝，S△ABD＝b•AD•sin30°＝AD，S△ACD＝b•AD•sin30°＝AD，∴由AD+AD＝，可得AD＝．20．已知f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x）．（1）证明：f（4+x）＝f（x）；（2）若f（1）＝2，求式子f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）的值．【解答】解：（1）证明：根据题意，f（x）是定义域为R的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f （x），又由f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得：f（x+4）＝f（x），即可得证明；（2）由（1）的结论，f（x+4）＝f（x），又由f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0，则f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0+（﹣2）+0＝0，则有f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]×12+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2．21．已知函数，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设b＞1，求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f（x）的导函数为，………………所以f'（1）＝1﹣a．依题意，有，即，………………解得a＝1．………………（Ⅱ）由（Ⅰ）得．当0＜x＜1时，1﹣x2＞0，﹣lnx＞0，所以f'（x）＞0，故f（x）单调递增；当x＞1时，1﹣x2＜0，﹣lnx＜0，所以f'（x）＜0，故f（x）单调递减．所以f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．………………因为，所以f（x）最大值为f（1）＝﹣1．………………设，其中b＞1．………………则，故h（b）在区间（1，+∞）上单调递增．………………所以h（b）＞h（1）＝0，即，………………故f（x）最小值为．………………[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为θ＝．（1）求C1的极坐标方程；（2）将曲线x2+y2＝13上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到曲线C3，若C2与C1的交点为A（异于坐标原点O），C2与C3的交点为B，求|AB|．【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数α，可得C1的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，代入x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ；（2）由题意可得曲线C3，x2+（2y）2＝13，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，化简得C3的极坐标方程为ρ2+3ρ2sin2θ＝13．将θ＝分别代入ρ＝2cosθ与ρ2+3ρ2sin2θ＝13．得A，B两点的极径ρ1＝1，ρ2＝2，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|2﹣1|＝1．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+a2+3|+|x﹣2a|．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）＞3的解集；（2）证明：f（x）≥2，并指出等号的成立条件．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝|x+4|+|x+2|＝，∵f（x）＞3，∴或，∴或，∴不等式的解集为{x|或}；（2）f（x）＝|x+a2+3|+|x﹣2a|≥|（x+a2+3）﹣（x﹣2a）|＝|a2+2a+3|，∵a2+2a+3＝（a+1）2+2≥2，∴f（x）≥2，此时等号成立的条件是a＝﹣1，﹣4≤x≤﹣2．。
2024北京人大附中高三10月月考数学
2024北京人大附中高三10月月考数 学命题人：薛坤 陈佳杰 审题人：杨良庆 吴文庆说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合{}{}2280,A x x x B x y y =−−<==∈Z 则AB =（ ）A ．()2,4−B ．[)0,4C ．[]0,1D ．{}0,12．下列函数中，在定义域上为奇函数，且在[)0,+∞上递减的是（ ）A ．()1f x x=B ．()cos f x x =C ．()13f x x =− D ．()xxf x e e −=−3．已知0a b >>，以下四个数中最大的是（ ）A ．bB C ．2a b +D 4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点ππsin,cos 33P ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则角α的一个可能值为（ ） A ．π6−B ．π6C ．π3− D ．π35．已知函数()9lg 1f x x x =−+，则()0f x >的解集为（ ） A ．()0,10 B ．()1,10C ．()()0,110,+∞ D ．()(),110,−∞+∞6．已知定义域为R 的函数()f x 满足()2f x −是奇函数，()f x 是偶函数，则下列各数一定是()f x 零点的是（ ）A ．2019B ．2022C ．2025D ．20287．深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：00G OL L D=，其中，L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18．经过18轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg 20.3010=） A ．71B ．72C ．73D ．748．已知,a b 均为正实数．则“11a b>”是“2256a b ab +>”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为122sin ,02πx y x x ω⎛⎫⎡⎤=−≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．若该条曲线还满足()1,3ω∈，经过点33π,42M ⎛⎫⎪⎝⎭．则该条葫芦曲线与直线7π6x =交点的纵坐标为（ ）A ．12±B．2± C．2±D ．1±10．如图所示，直线y kx m =+与曲线()y f x =相切于()()()()1122,,,x f x x f x 两点，其中12x x <．若当()10,x x ∈时，()f x k '>，则函数()f x kx −的在()00,x 上的极大值点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11．函数()f x =的定义域为______12．函数()121,102,01xx f x x x ⎧⎛⎫−≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≤≤⎪⎩的值域为______． 13．已知对任意实数x ，均有()πcos sin ,6x x ωω⎛⎫−=+∈ ⎪⎝⎭R ，写出一组满足条件的(),ωϕ=______． 14．已知函数()()ln 1f x x k =+−有两个零点,()a b a b <，则()21ab ++的取值范围为______．15．已知函数()12(0)f x x ax a =++−>定义域为R ，最小值记为()M a ，给出以下四个结论： ①()M a 的最小值为1； ②()M a 的最大值为3；③()f x 在(),1−∞−上单调递减；④a 只有唯一值使得()y f x =的图象有一条垂直于x 轴的对称轴． 其中所有正确结论的是：______．三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．）16．（本小题13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2*3,n S n n n =+∈N ．（1）求{}n a 的通项公式：（2）若等比数列{}n b 满足1223,b a b a ==，求{}n b 的前n 项和n T ． 17．（本小题13分）已知函数()πsin cos cos sin 0,2f x x x ωωωϕ⎛⎫=−>< ⎪⎝⎭．（1）若()02f =−，求ϕ的值； （2）已知()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，2π13f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数()f x 唯一确定，求,ωϕ的值．①5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心； ②π132f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭； ③()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 18．（本小题14分） 已知函数()32243f x x x x a =+−+ （1）若0a =，求曲线()y f x =的斜率为4−的切线方程； （2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在[]1,2−上恰有1个零点，直接写出a 的取值集合．19．（本小题15分）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）（1）根据以上数据，可以用函数()sin 0,||2y A x b ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 20．（本小题15分） 已知函数()()2xf x exx =+，记其在点()(),a f a 处的切线方程为：()a y g x =．定义关于x 的函数()()()a a F x f x g x =−． （1）求()1g x 的解析式；（2）当0a >时，判断函数()a F x 的单调性并说明理由； （3）若a 满足当x a ≠时，总有()()0a f x g x x a−>−成立，则称实数a 为函数()f x 的一个“Q 点”，求()f x 的所有Q 点．21．（本小题15分）已知集合(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n n i X X x x x x i n Ω==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，对于任意n X ∈Ω，操作一：选择X 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续k 个1连续k 个0，得到()1n k Y k +∈Ω≥；操作二：删去X 中连续k 个1或连续k 个0，得到()411n Y k n →∈Ω≤≤−； 进行一次操作一或者操作二均称为一次“10月变换”，在第n 次()*n ∈N “10月变换”的结果上再进1次“10月变换”称为第1n +次“10月变换”．（1）若对()0,1,0X =进行两次“10月变换”，依次得到42,Y Z ∈Ω∈Ω．直接写出Y 和Z 的所有可能情况．（2）对于()1000,0,,0X =∈Ω和()1000,1,0,1,,0,1Y =⋅⋅⋅∈Ω至少要对X 进行多少次“10月变换”才能得到Y ？说明理由．（3）证明：对任意2,n X Y ∈Ω，总能对X 进行不超过1n +次“10月变换”得到Y ．。
高三数学-10月月考数学试题参考答案
2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.5013.2433ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14.（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭三、解答题15、解：（1）由题3sin 21==∆θbc S ABC ，可得θsin 6=bc ，又36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB ，所以36sin cos 60≤≤θθ，得到33tan ≥θ或2πθ=因为()πθ,0∈，所以,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6分（2）()2cos sin cos34f πθθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，化简得()21sin 2cos 4f θθθ=进一步计算得()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13分16、解：（1）过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，则有AD PB AD PO ⊥⊥,，又P PB PO =⋂，所以POB AD 平面⊥，因为POB PE 平面⊂，所以PE AD ⊥，又PD P A =，所以E 为AD 得中点依题侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，即有32π=∠PEB ，所以3π=∠PEO ，因为侧面P AD 为正三角形，所以323sin 4=⋅=πPE ，则323323sin =⋅=⋅=πPE PO ，所以38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P 7分（2）如图，在平面ABCD 内过点O 作OB 得垂线Ox ，依题可得Ox OB OP ,,两两垂直，以Ox OB OP ,,为轴轴，轴，x y z 建立空间直角坐标系可得()0,3,2A ，()0,0,0P ，()0,33,0B ，取PB 得中点为N ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N 因为AB AP =，所以PB AN ⊥，由（1)POB AD 平面⊥，AD BC //，知POB BC 平面⊥所以PB BC ⊥，可得NA BC ,所成角即为二面角A PB C --的平面角，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23,2AN ，()0,0,2=BC，则72724-=-==BC NA则21sin 7A PBC --=15分17、解：（1）当a e =时，1()e lnx e f x x -=+，0(1)e ln 2f e =+=，11()e ,(1)0x f x f x-''=-=所求切线方程为：)1(02-=-x y ，即2y =5分（2）()2≥x f 转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增,故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()∞+，0恒成立令()2ln +-=x x x h ，()011=-='xx h ，得到1=x ，可得()10，∈x 时，()0>'x h ；()∞+∈，1x 时，()0<'x h ，所以()x h 在1=x 时取最大值所以()ln 11a h ≥=，得到ea ≥15分18、解：（1）∵椭圆E 经过点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭，23e =∴222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E ：22195x y +=；4分（2）由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意，1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =设角平分线上任意一点为(),P x y ，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=∵斜率为正，∴21AF F ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，21AF F∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，∴，21AF F ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-即9680x y --=10分（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，设2:3BC l y x m =-+，∴2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩∴线段BC 中点为25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭在21AF F ∠的角平分线上，即106803m m --=得3m =∴52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，线段BC 中点()00,Mx y ，由点差法，2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩，∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，∴0065OM y k x ==，:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）①()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，∵1x >，()()2101h x x x =>+恒成立，∴函数()f x 具有性质()P b ；3分②设()()211u x x bx x =-+>，(i)当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；(ii)当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，12441122b b x x +===，，∴x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x在1,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减；4,2b x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()1,+∞上递增；当2b >时，()f x在⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.9分（2）由题意，()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'，又()h x 对任意的()1,x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的()1,x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增.10分∵12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，∴()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--1先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<∴1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<∴12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意13分2当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，∴12x x αβ≤<≤∴12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，∴12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去16分综上所述，01m <<17分。
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3、已知幂函数的图象过点，则
。
4、下面给出四个命题：
①直线与平面内两直线都垂直，则；
②棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形； ③圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的半径等于圆锥底面的半径；
④函数的零点有 1 个； ⑤函数的反函数是。
其中正确的命题序号是
。 ②⑤
5、有五位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方 法共有 ___________种。
A ．关于轴对称
B．关于轴对称
C．关于原点对称
D ．关于直线对称
18 、 四 面 体 的 一 条 棱 长 为 ， 其 余 棱 长 都 为 1 ， 体 积 为 ， 则 函 数 在 其 定 义 域 上
----------------------------------------------------------------------------------------------------------点间的距离为，
圆锥顶点到直线的距离为， 和圆锥的轴的距离为， 则
该圆锥的体积为 _________。
13、若不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是
___。
14、若满足： , 满足：，则 _______。 二、选择题（每题 5 分，满分 20 分）
⑴求该几何体的表面积； （精确到）
解：
14 2
32 1 2 2
3 102 32 ----------4 分
-----------------2 分
⑵如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用有关数据说明。
（杯壁的厚度
忽
略不计）
解： ------------------------------2 分
1 V圆锥
---------------------------------------- 1分 由 -------------------------3 分
----------------------------------------1 分 -----------------------------------4 分 20、（本题满分 12 分） 一个圆锥形的空杯子，上面放着一个半球形的冰淇淋，形成如图所示的几何体。
⑶四面体的体积。
V V 解： ABDC1
C1 ABD
1 3 S ABD CC1 ----------------2 分
。
9、已知有两个命题： ① 函数是减函数； ② 关于的不等式的解集为，如果这两个命题中有且
只有一个是真命题，则实数的取值范围是
。
10、一个盒子中装有张卡片，上面分别写着四个函数： ，，， ，现从盒子中任取张卡片， 将卡片上的函数相乘得到一个新函数，
所得函数为奇函数的概率是
_________。
11、已知正三棱锥的侧棱与底面边长相等，分别为的中点，则异面直线与所成角的大小是
3
32 10 30 -----------------------------2 分
----------------------------------------------1 分
∴不会溢出杯子 --------------------------------------------1 分
21、（本小题 16 分） 已知是底面边长为 1 的正四棱柱，高，求
15 、 原 命 题 ： “设 ， 若 ， 则 ”的 逆 命 题 、 否 命 题 、 逆 否 命 题 中 真 命 题 的 个 数 有
-----------------------------------------------------------------------------------------------------(
2019-2020 年高三 10 月月考 数学试题
（满分 100 分，时间 90 分钟） 成绩 ___________________ 一、填空题（每题 4 分，满分 56 分）
1、已知 A y y 2x, x R , B y y x 2 , x R ，则 _________。
2、函数的定义域是 ___________。
⑴直线与平面所成角的大小； 解： 连结，∵正四棱柱
∴，是在平面上的射影
就是与平面所成的角 --------------3 分 在中， --------------------------1 分
A B
D
C
A1
B1
D1 C1
∴直线与平面所成的角为 ------1 分 ⑵二面角的大小； 解： 过作，垂足为，连结 ------------------1 分
)B
A．
B．
C．
D．
16、下列结论正确的是 ------------------------------------------------------------------------------------(
)D
A ．当且时，
B ．当时，的最小值为 2
C．当时，无最大值
D ．当时，
17、若，为偶函数，则 G(x) F ( x) loga ( x x2 1) 的图像 --------( ) C
)D
A ．是增函数但无最大值
B．是增函数且有最大值
C．不是增函数且无最大值 三、解答题（本大题满分 74 分） 19、（本题满分 12 分）
D ．不是增函数但有最大值
已知集合，集合，求。
解： 由 --------------------1 分
则 --------------------------------------------2 分
∵，∴
∵ AB AD , BAC1 DAC 1, AE AE
∴， ∴ ∴是二面角的平面角 ----------------4 分
A B
D
C
A1
B1
D1 C1
在中，，， -----------------------------------------------1 分 ∴ ∴二面角的大小为 ------------1 分
6、如果函数是奇函数，则 ____________。
7、在北纬圈上有甲、乙两地，它们分别在东经与东经圈上，地球半径为，则甲、乙两地的球 面距离是 ___________。
8、在一个水平放置的底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为的实心铁
球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升，则