2019届苏教版 等差(等比)数列 单元测试
等比数列经典试题(含答案) 百度文库
一、等比数列选择题1．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（ ） A ．1或1-B ．1C ．2或2-D ．22．已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且639S S =，则42aa 的值为（ ）AB ．2C．D ．43．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（ ） A ．12B ．18C ．24D ．324．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．25．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记{}n a 的前n 项积为nT，则下列选项错误的是（ ） A ．01q << B ．61a >C ．121T >D ．131T >6．12与12的等比中项是（ ）A ．－1B ．1C．2D．2±7．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2B ．4C ．8D ．168．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列(){}111n n n a a -+-的前n 项的和为（ ）A ．()2382133n n +--B ．()23182155n n +---C ．()2382133n n ++-D ．()23182155n n +-+-9．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．正项等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=，则28a a +=（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．811．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ） A ．3盏B ．9盏C ．27盏D ．81盏12．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009B ．1010C ．1011D ．202013．设等差数列{}n a 的公差10,4≠=d a d ，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =( ) A ．3或6 B ．3 或-1 C ．6D ．314．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ） A ．31B ．32C ．63D ．6415．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为 （ ） A ．6B ．7C ．8D ．916．若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．817．正项等比数列{}n a 的公比是13，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1118．已知等比数列的公比为2，其前n 项和为n S ，则33S a =（ ） A ．2B ．4C ．74D ．15819．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a14a =，则14m n+的最小值为（ ） A ．53B ．32C ．43D ．11620．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且()21234123a a a a a a a +++=++，若11a >，则（ ）A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！23．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（ ） A ．500n S < B ．500n S ≤C ．n S 的最小值为7003D ．n S 的最大值为40024．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有()()()f x y f x f y +=，若112a =，()()*n a f n n N =∈，数列{}n a 的前n 项和n S 组成数列{}n S ，则有（ ） A ．数列{}n S 递增，且1n S < B ．数列{}n S 递减，最小值为12C ．数列{}n S 递增，最小值为12D ．数列{}n S 递减，最大值为125．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 是等比数列 B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+26．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，4n n b a =+，若数列{}n b 有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q 的值可以是（ ） A ．34-B ．23-C ．43-D ．32-27．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中正确的是（ ） A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13n S n=C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列28．数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值为（ ） A ．1023B ．341C ．1024D ．34229．在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（ ） A ．3q = B ．数列{}2n S +是等比数列 C ．5121S =D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥30．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）A ．1{}na B ．22log ()n aC ．1{}n n a a ++D ．12{}n n n a a a ++++31．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记()0,1na n nb a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是（ ）A ．nB ．nqC ．()121n n n q nq nq q q ++---D ．()21121n n n q nq nq q q ++++---32．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ）A ．数列{}1n a +是等差数列B ．数列{}1n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <33．在递增的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1a 4＝32，a 2+a 3＝12，则下列说法正确的是（ ） A ．q ＝1 B ．数列{S n +2}是等比数列C ．S 8＝510D ．数列{lga n }是公差为2的等差数列34．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）A ．若数列{}n a 的前n 项和2(n S an bn c a =++，b ，c 为常数）则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等差数列D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等比数列；35．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =C ．若111625ni i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为2512【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为12a =，且53a a =，所以21q =，解得1q =±， 所以91012a a q ==±.故选：C. 2．D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题得()4561238a a a a a a ++=++，进而得2q，故2424a q a ==. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为639S S =，所以639S S =， 所以6338S S S -=，即()4561238a a a a a a ++=++， 由于()3456123a a a q a a a ++=++，所以38q =，故2q ，所以2424a q a ==. 故选：D. 3．C 【分析】将已知条件整理为()()22121328a q q q -+=，可得()22183221q q a q +=-，进而可得()4427612249633221q a a a q q q q +=+=-，分子分母同时除以4q ，利用二次函数的性质即可求出最值. 【详解】因为{}n a 是等比数列，543264328a a a a +--=，所以432111164328a q a q a q a q +--=，()()2221232328a q q q q q ⎡⎤+-+=⎣⎦， 即()()22121328a q q q -+=，所以()22183221q q a q +=-，()()465424761111221248242496963323212121q a a a q a q a q q q a q q a q q q +=+=+=⨯==---，令210t q =>，则()222421211t t t q q -=-=--+， 所以211t q==，即1q =时2421q q -最大为1，此时242421q q -最小为24， 所以7696a a +的最小值为24， 故选：C 【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 4．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 5．D 【分析】等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，可得67(1)(1)0a a --<，因此61a >，71a <，01q <<．进而判断出结论． 【详解】 解：等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，67(1)(1)0a a ∴--<，11a >，若61a <，则一定有71a <，不符合由题意得61a >，71a <，01q ∴<<，故A 、B 正确． 6712a a +>，671a a ∴>，6121231267()1T a a a a a a =⋯=>，故C 正确，131371T a =<，故D 错误，∴满足1n T >的最大正整数n 的值为12．故选：D ． 6．D 【分析】利用等比中项定义得解. 【详解】2311()((2-==，的等比中项是 故选:D 7．C 【分析】根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ． 【详解】设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42340q q --=，解得24q =或21q =-（舍），所以2q，又等比数列{}n a 的前4项和为30，所以23111130a a q a q a q +++=，解得12a =， ∴2318a a q ==．8．D 【分析】根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入()111n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.【详解】因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，所以31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得2q，12a =，所以1222n nn a -=⨯=，()()()111111222111n n n n n n n n a a ++-+--+=⋅⋅-=∴--，(){}111n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，()23357921118[1(4)]8222222(1)1(4)155n n n n n n S -++---∴=-+--++⋅==+---， 故选：D 【点睛】关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可. 9．D 【分析】利用已知条件求得1,a q ，由此求得1a q +. 【详解】依题意222111131912730a a q a q a a q q q ⎧⋅===⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪>⎩，所以14a q +=. 故选：D 10．C 【分析】利用等比数列的性质运算求解即可. 【详解】根据题意，等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=， 则有222288216a a a a ++=，即()22816a a +=， 又由数列{}n a 为正项等比数列，故284a a +=．11．C 【分析】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，分析可得每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得x 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，则有51(1)3363113x S ⨯-==-， 解可得：243x =，所以中间一层共有灯21243()273⨯=盏. 故选：C 【点睛】思路点睛：要求中间一层的灯的数量，只需求等比数列的首项，根据等比数列的和求出数列的首项即可. 12．C 【分析】根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到210111a =，再利用11,01a q ><<求解即可.【详解】根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，所以212021220201011...1a a a a a ====，因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出210111a =以及11,01a q ><<进行判断.13．D由k a 是1a 与2k a 的等比中项及14a d =建立方程可解得k . 【详解】k a 是1a 与2k a 的等比中项212k k a a a ∴=，()()2111121a k d a a k d ⎡⎤∴+-=+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()223423k d d k d ∴+=⨯+，3k ∴=.故选:D 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基础知识，属于基础题. 14．C 【分析】根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S . 【详解】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以()()242264S S S S S -=-，即()()62153315-=-S ，解得663S =. 故选：C 15．B 【分析】设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得515(12)512a S -==-，解得1531a =，由此能求出该女子所需的天数至少为7天． 【详解】设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得515(12)512a S -==-，解得1531a =， 5(12)312012n n S -∴=-，解得2125n ． 因为6264=，72128=∴该女子所需的天数至少为7天．故选：B 16．C 【分析】根据等比数列的性质，由题中条件，求出72a =，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，由17138a a a =，得378a =，所以72a =，因此231174a a a ==.故选：C. 17．B 【分析】根据等比中项的性质求出3a ，从而求出1a ，最后根据公式求出3S ； 【详解】解：因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =. 所以31a =，211a q ∴=，因为13q =，所以19a =. 因此()3131131a q S q-==-.故选：B 18．C 【分析】利用等比数列的通项公式和前n 项和公式代入化简可得答案 【详解】解：因为等比数列的公比为2，所以31312311(12)7712244a S a a a a --===⋅， 故选：C 19．B 【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得22q q =+，解得2q，根据存在两项m a 、n a14a =14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出． 【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >， 满足：7652a a a =+，22q q ∴=+，解得2q，存在两项m a 、n a14a =，∴14a =，6m n ∴+=，m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，则14m n+的最小值为143242+=．故选：B ． 20．B 【分析】由12340a a a a +++≥可得出1q ≥-，进而得出1q >-，再由11a >得出0q <，即可根据q 的范围判断大小. 【详解】设等比数列的公比为q ， 则()()()2321234111+++1+1+0a a a a a q q qa q q +++==≥，可得1q ≥-，当1q =-时，12340a a a a +++=，()21230a a a ++≠，1q ∴>-，()21234123a a a a a a a +++=++，即()223211+++1++q q q a q q =，()231221+++11++q q q a q q ∴=>，整理得432++2+0q q q q <，显然0q <，()1,0q ∴∈-，()20,1q ∈，()213110a a a q ∴-=->，即13a a >，()()32241110a a a q q a q q ∴-=-=-<，即24a a <.故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查等比数列的性质，解题的关键是通过已知条件判断出()1,0q ∈-，从而可判断大小.二、多选题 21．无 22．无23．AC 【分析】由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式，再由表达式分析数值特征即可 【详解】由题可知，第一次着地时，1100S =；第二次着地时，221002003S =+⨯；第三次着地时，232210020020033S ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭；……第n 次着地后，21222100200200200333n n S -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则211222210020010040013333n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然500n S <，又n S 是关于n 的增函数，2n ≥，故当2n =时，n S 的最小值为40070010033+=； 综上所述，AC 正确 故选：AC 24．AC 【分析】计算()f n 的值，得出数列{}n a 的通项公式，从而可得数列{}n S 的通项公式，根据其通项公式进行判断即可 【详解】 解：因为112a =，所以1(1)2f =， 所以221(2)(1)4a f f ===， 31(3)(1)(2)8a f f f ===，……所以1()2n n a n N +=∈，所以11(1)122111212n n n S -==-<-， 所以数列{}n S 递增，当1n =时，n S 有最小值1112S a ==， 故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列{}n a 的通项公式，进而可得数列{}n S 的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档题 25．ABC 【分析】由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确．由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 正确； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：ABC. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 26．BD 【分析】先分析得到数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中，再求等比数列的公比. 【详解】 4n n b a =+ 4n n a b ∴=-数列{}n b 有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中∴数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中又数列{}n a 是公比为q 的等比数列，∴在集合{54-，24-，18，36，81}中，数列{}n a 的连续四项只能是：24-，36，54-，81或81，54-，36，24-.∴363242q ==--或243236q -==-. 故选：BD 27．ABD由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式，可得{}n S 的递推式，变形后可证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求得n S ，利用n S 求出n a ，并确定3n S 的表达式，判断D ． 【详解】因为1(2)n n n a S S n -=-≥，1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确； 公差为3，又11113S a ==，所以133(1)3n n n S =+-=，13n S n=．B 正确；2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得13(1)n a n n =-，但13a =不适合此表达式，因此C 错；由13n S n =得1311333n n n S +==⨯，∴{}3n S 是等比数列，D 正确．故选：ABD ． 【点睛】本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由1(2)n n n a S S n -=-≥，化已知等式为{}n S 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．28．AB 【分析】首先可得数列{}n a 为等比数列，从而求出公比q 、1a ，再根据等比数列求和公式计算可得； 【详解】解：因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列，因为22a =，48a =，所以2424a q a ==，所以2q =±， 当2q时11a =，所以101012102312S -==-当2q =-时11a =-，所以()()()101011234112S -⨯--==--故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题. 29．ACD 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可. 【详解】因为521127,==a a a ，所以有431127273q a q q q a ⋅=⋅⇒=⇒=，因此选项A 正确；因为131(31)132n n n S -==--，所以131+2+2(3+3)132nn n S -==-， 因为+1+111(3+3)+222=1+1+21+3(3+3)2n nn n n S S -=≠常数， 所以数列{}2n S +不是等比数列，故选项B 不正确； 因为551(31)=1212S =-，所以选项C 正确； 11130n n n a a q --=⋅=>，因为当3n ≥时，22222lg lg =lg()=lg 2lg n n n n n n a a a a a a -+-++⋅=，所以选项D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力. 30．AD 【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定． 【详解】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列， 1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}na 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ． 【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列． 31．BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项求得0d =或1,再分情况求解{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,又11a =,且2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项∴2428a a a =,即()()()211137a d a d a d +=++,化简得：(1)0d d -=,所以0d =或1,故1n a =或n a n =,所以n b q =或nn b n q =⋅,设{}n b 的前n 项和为n S ,①当n b q =时,n S nq =；②当nn b n q =⋅时,23123n n S q q q n q =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（1）,2341123n n qS q q q n q +=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（2）,（1）-（2）得：()()2311111n nn n n q q q S q q q q n qn q q++--=+++-⨯=-⨯-+⋅⋅,所以121122(1)(1)1(1)n n n n n n q q n q q nq nq q S q q q ++++-⨯+--=-=---,故选：BD 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型. 32．BCD 【分析】由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得n a ，1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，由数列的裂项相消求和可得n T ． 【详解】解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，则12nn a +=，即21n n a =-，又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------， 故A 错误，B ，C ，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 33．BC 【分析】先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值，可得到等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项． 【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得 a 2a 3＝a 1a 4＝32＞0，a 2+a 3＝12＞0， 故a 2＞0，a 3＞0． 根据根与系数的关系，可知a 2，a 3是一元二次方程x 2﹣12x +32＝0的两个根． 解得a 2＝4，a 3＝8，或a 2＝8，a 3＝4． 故必有公比q ＞0， ∴a 12a q=＞0． ∵等比数列{a n }是递增数列，∴q ＞1． ∴a 2＝4，a 3＝8满足题意． ∴q ＝2，a 12a q==2．故选项A 不正确． a n ＝a 1•q n ﹣1＝2n ． ∵S n ()21212n -==-2n +1﹣2．∴S n +2＝2n +1＝4•2n ﹣1．∴数列{S n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B 正确． S 8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C 正确． ∵lga n ＝lg 2n ＝n ．∴数列{lga n }是公差为1的等差数列．故选项D 不正确． 故选：BC 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 34．ABD 【分析】根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案. 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，若0c =，由等差数列的性质可得数列{}n a 为等差数列， 若0c ≠，则数列{}n a 从第二项起为等差数列，故A 不正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，可得1422a =-=，2218224a S S =-=--=，33216268a S S =-=--=， 则1a ，2a ，3a 成等比数列，则数列{}n a 不为等差数列，故B 不正确；对于C ，数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，即为12n a a a ++⋯+，12n n a a ++⋯+，213n n a a ++⋯+，⋯，即为22322n n n n n n n S S S S S S S n d --=---=为常数，仍为等差数列，故C 正确；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列.故D 不正确. 故选：ABD . 【点睛】本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 35．AB 【分析】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,通过裂项求和可求得111ni i i a a =+∑;由等差的性质可知12m n +=利用基本不等式可验证选项D 错误. 【详解】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002+.所以A 正确;1,a 3,a m a 成等比数列,则231=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确;因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭所以1111111116=1=455494132451ni i i n n n a a n =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45n m =不成立,故选项D 错误.故选:AB.【点睛】本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.。
等比数列经典试题(含答案)百度文库
一、等比数列选择题1．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a >B ．01q <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为7T2．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为（ ） A ．4B ．5C ．4或5D ．5或63．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ）A ．312或112B ．312 C ．15D ．64．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*na n N n∈的最小值为（ ） A ．1625B ．49C ．12D ．15．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,,22n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40 B ．81C ．121D ．2427．12与12的等比中项是（ ）A ．－1B ．1C．2D．±8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213a a =，且数列{}13n S a -也为等比数列，则n a 的表达式为（ ）A ．12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．112n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．123n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭9．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则20202021ln ln a a =（ ） A ．1:3B ．3:1C ．3:5D ．5:310．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 11．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a14a =，则14m n +的最小值为（ ） A ．53B ．32C ．43D ．11612．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列(){}111n n n a a -+-的前n 项的和为（ ）A ．()2382133n n +--B ．()23182155n n +---C ．()2382133n n ++-D ．()23182155n n +-+-13．已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，10.2b =，111233n n n a b a ++=+，11344n n n b a b +=+，则使0.01n n a b -<成立的最小正整数n 为（ ） A ．5B ．7C ．9D ．1114．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（ ） A ．14B ．1C ．12D ．1315．设等差数列{}n a 的公差10,4≠=d a d ，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =( ) A ．3或6 B ．3 或-1 C ．6D ．316．设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（ ）A ．若对任意正整数n ，都有24nn a =成立，则{}n a 为等比数列B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=⋅成立，则{}n a 为等比数列C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m nm n a a +⋅=成立，则{}n a 为等比数列D ．若对任意正整数n ，都有31211n n n n a a a a +++=⋅⋅成立，则{}n a 为等比数列17．已知等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则该数列的公比是（ ）A ．19B ．9C ．13D ．318．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 19．已知等比数列的公比为2，其前n 项和为n S ，则33S a =（ ） A ．2B ．4C ．74 D ．15820．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，102103101a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ）A ．102B ．203C ．204D ．205二、多选题21．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（ ） ABCD22．设{}n a 是无穷数列，1n n n A a a +=+，()1,2,n =，则下面给出的四个判断中，正确的有（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}n A 是等差数列B ．若{}n A 是等差数列，则{}n a 是等差数列C ．若{}n a 是等比数列，则{}n A 是等比数列D ．若{}n A 是等差数列，则{}2n a 都是等差数列23．记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-= B ．12n n aC ．21nn S =-D ．121n n S -=-24．已知集合{}*21,A x x n n N==-∈，{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25B ．26C ．27D ．2825．已知等比数列{}n a 的公比0q <，等差数列{}n b 的首项10b >，若99a b >，且1010a b >，则下列结论一定正确的是（ ）A ．9100a a <B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >26．数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值为（ ） A ．1023B ．341C ．1024D ．34227．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．8601a a << C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T28．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n S n +为等比数列B ．数列{}n a 的通项公式为121n n a -=-C ．数列{}1n a +为等比数列D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---29．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 30．数列{}n a 是首项为1的正项数列，123n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．313a = B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--31．设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n N ≥，有n x a r -<，则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（ ）A ．等差数列不可能是收敛数列B ．若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比(]1,1q ∈-C ．若数列{}n x 满足sin cos 22nx n n ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则{}n x 是收敛数列 D ．设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列32．在递增的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1a 4＝32，a 2+a 3＝12，则下列说法正确的是（ ） A ．q ＝1 B ．数列{S n +2}是等比数列C ．S 8＝510D ．数列{lga n }是公差为2的等差数列33．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则1r =-34．等比数列{}n a 中，公比为q ，其前n 项积为n T ，并且满足11a >.99100·10a a ->，99100101a a -<-，下列选项中，正确的结论有（ ） A ．01q << B ．9910110a a -< C ．100T 的值是n T 中最大的D ．使1n T >成立的最大自然数n 等于19835．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．B 【分析】根据11a >，667711,01a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾， 若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与67101a a -<-矛盾， 所以01q <<，故B 正确；因为67101a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误； 因为0n a >，01q <<，所以111n n a q a S q q=---单调递增，故C 错误； 因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误； 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<. 2．C 【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差12d =-，再由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，134,,a a a 成等比数列，2314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+，则12d =-，()()211119812244216n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+=-=--+ ⎪⎝⎭，所以当4n =或5时，n S 取得最大值. 故选：C.3．B 【分析】由等比中项的性质可求出3a ，即可求出公比，代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+，2332a a ∴=+，解得32a =或31a =-（舍去） 又112a =， 2314a q a ∴==， 解得2q，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 4．D 【分析】首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据14a ，22a ，3a 成等差数列，列出等量关系式，求得2q ，比较()*na n N n∈相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】在等比数列{}n a 中，设公比(0)q q ≠， 当11a =时，有14a ，22a ，3a 成等差数列，所以21344a a a =+，即244q q =+，解得2q，所以12n na ，所以12n n a n n-=， 12111n n a n n a n n++=≥+，当且仅当1n =时取等号， 所以当1n =或2n =时，()*n a n N n∈取得最小值1，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目. 5．A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-，即可求出参数q 的取值范围；【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．110,2n a a >=，2n S <， ∴1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得34q． 综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4⎛⎤⎥⎝⎦．故选：A ． 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 6．C 【分析】根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出5S 的结果.【详解】因为12234,12a a a a +=+=，所以23123a a q a a +==+，所以1134a a +=，所以11a =， 所以()5515113121113a q S q--===--， 故选：C. 7．D 【分析】利用等比中项定义得解. 【详解】23111()()(2222-==±，12∴与12的等比中项是2± 故选:D 8．D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，111133(3)n S a na a n a -=-=-，该式可以为0，不是等比数列，当1q ≠时，11113311n n a aS a q a q q-=-⋅+---，若是等比数列,则11301a a q -=-，可得23q =，利用213a a =，可以求得1a 的值，进而可得n a 的表达式 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q当1q =时，1n S na =，所以111133(3)n S a na a n a -=-=-， 当3n =时，上式为0，所以{}13n S a -不是等比数列. 当1q ≠时，()1111111n nn a q a aq S qq q-==-⋅+---， 所以11113311n n a aS a q a q q-=-⋅+---， 要使数列{}13n S a -为等比数列，则需11301a a q -=-，解得23q =. 213a a =，2123a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，故21111222333n n n n a a q -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记等比数列的前n 项和公式，等比数列通项公式的一般形式，由此若11113311n n a a S a q a q q -=-⋅+---是等比数列，则11301aa q-=-，即可求得q 的值，通项即可求出. 9．A 【分析】由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得20202021ln ln a a ． 【详解】{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅，得20182019202020211a a a a =， 所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，22021201820213()1a a a q ==，2202020192020()1a a a q==，即322021a q =，122020a q =， 所以1220203202121ln ln ln 123ln 3ln ln 2qa q a q q ===． 故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论． 10．D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅， 又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 11．B 【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得22q q =+，解得2q，根据存在两项m a 、n a14a =14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出． 【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >， 满足：7652a a a =+，22q q ∴=+，解得2q，存在两项m a 、n a14a =，∴14a =，6m n ∴+=，m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，则14m n+的最小值为143242+=．故选：B ． 12．D 【分析】根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入()111n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.【详解】因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，所以31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得2q，12a =，所以1222n nn a -=⨯=，()()()111111222111n n n n n n n n a a ++-+--+=⋅⋅-=∴--，(){}111n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，()23357921118[1(4)]8222222(1)1(4)155n n n n n n S -++---∴=-+--++⋅==+---， 故选：D 【点睛】关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可.13．C 【分析】令n n n c a b =-，由111233n n n a b a ++=+，11344n n n b a b +=+可知数列{}n c 是首项为1.8，公比为12的等比数列，即11.812n n c -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯，则110.0121.8n -⎛⎫< ⎪⎝⎭⨯，解不等式可得n 的最小值. 【详解】令n n n c a b =-，则11120.2 1.8c a b =-=-=111113131344444121233343n n n n n n n n n n nn c a b a b a b b a a a b ++++⎛⎫=-=+--=+-- ⎪⎝+⎭111222n n n a b c -== 所以数列{}n c 是首项为1.8，公比为12的等比数列，所以11.812n n c -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯由0.01n n a b -<，即110.0121.8n -⎛⎫< ⎪⎝⎭⨯，整理得12180n ->由72128=，82256=，所以18n -=，即9n =故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列及等比数列的通项公式，解题的关键是根据已知的数列递推关系式，利用等比数列的定义，得到数列{}n c 为等比数列，考查了学生的分析问题能力能力与运算求解能力，属于中档题. 14．D 【分析】根据241a a =，由2243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.【详解】因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =，31a =，211a q =.因为313S =， 所以1q ≠. 由()()31231111a q S a q q q-==++-得22131q q q =++，即21210q q --=， 解得13q =，或14q =-（舍去）. 故选：D 15．D 【分析】由k a 是1a 与2k a 的等比中项及14a d =建立方程可解得k . 【详解】k a 是1a 与2k a 的等比中项212k k a a a ∴=，()()2111121a k d a a k d ⎡⎤∴+-=+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()223423k d d k d ∴+=⨯+，3k ∴=.故选:D 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基础知识，属于基础题. 16．C 【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断. 【详解】对于A ，若24n n a =，则2nn a =±，+1+12n n a =±，则12n na a +=±，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A 错误；对于B ，当0n a =时，满足12n n n a a a ++=⋅，但数列{}n a 不为等比数列，故B 错误； 对于C ，由2m nm n a a +⋅=可得0n a ≠，则+1+12m n m n a a +⋅=，所以1+1222n n m n m n a a +++==，故{}n a 为公比为2的等比数列，故C 正确；对于D ，由31211n n n n a a a a +++=⋅⋅可知0n a ≠，则312n n n n a a a a +++⋅=⋅，如1，2，6，12满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅，但不是等比数列，故D 错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：证明或判断等比数列的方法，（1）定义法：对于数列{}n a ，若()10,0n n na q q a a +=≠≠，则数列{}n a 为等比数列； （2）等比中项法：对于数列{}n a ，若()2210n n n n a a a a ++=≠，则数列{}n a 为等比数列；（3）通项公式法：若n n a cq =（,c q 均是不为0的常数），则数列{}n a 为等比数列；（4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意0n a =的判断. 17．D 【分析】利用等比数列的通项公式求出1a 和2a ，利用21a a 求出公比即可 【详解】设公比为q ，等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则31327a ==，42381a ==，213a q a ∴==， 故选：D 18．D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =，所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 19．C 【分析】利用等比数列的通项公式和前n 项和公式代入化简可得答案 【详解】解：因为等比数列的公比为2，所以31312311(12)7712244a S a a a a --===⋅， 故选：C 20．C 【分析】由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由10210310a a ->，即1021031a a >，则有21021a q ⨯>，即0q >。
2019届高三数学复习--数列--数列、等差数列与等比数列
2019届⾼三数学复习--数列--数列、等差数列与等⽐数列2019届⾼三数学复习--数列--数列、等差数列与等⽐数列第10讲数列、等差数列与等⽐数列1.(1)[2014?全国卷Ⅱ]数列{an}满⾜an+1=,a8=2,则a1= .(2)[2018?全国卷Ⅰ]记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6= .[试做]命题⾓度数列的递推问题(1)解决数列的递推问题:关键⼀,利⽤an=得出an与an+1(或an-1)的递推式;关键⼆,观察递推式的形式,采⽤不同的⽅法求an.(2)若递推式形如an+1=an+f(n),an+1=f(n)?an,则可分别通过累加、累乘法求得通项公式,或⽤迭代法求得通项公式;若递推式形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数,且p≠1),则通常化为an+1-t=p(an-t)的形式,其中t=,再利⽤换元法转化为等⽐数列求解.2.(1)[2017?全国卷Ⅲ]等差数列{an}的⾸项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等⽐数列,则{an}前6项的和为( )A.-24B.-3c.3D.8(2)[2016?全国卷Ⅰ]设等⽐数列{an}满⾜a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最⼤值为 .[试做]命题⾓度等差、等⽐数列的基本计算关键⼀:基本量思想(等差数列:⾸项a1和公差d.等⽐数列:⾸项a1和公⽐q).关键⼆:等差数列的性质,若+n=p+q(,n,p,q∈N*),则an+a=ap+aq;等⽐数列的性质,若+n=p+q(,n,p,q∈N*),则ana=apaq.3.(1)[2017?全国卷Ⅱ]等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则 .(2)[2015?全国卷Ⅱ]设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn= .[试做]命题⾓度数列求和关键⼀:利⽤等差数列、等⽐数列的前n项和公式求解.关键⼆:利⽤数列求和⽅法(公式法、倒序相加法、分组求和法、并项求和法、错位相减法、裂项相消法)求解.⼩题1数列的递推关系1(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2018=( )A.22018-1B.32018-6c.-D.-(2)已知数列{an}满⾜a1=15,=2(n∈N*),则的最⼩值为 .[听课笔记]【考场点拨】由递推关系式求数列的通项公式,常⽤的⽅法有:①求出数列的前⼏项,再归纳猜想出数列的⼀个通项公式(注意验证);②将已知递推关系式整理、变形得到等差或等⽐数列的通项公式,或⽤累加法(适⽤于an+1=an+f(n)型)、累乘法(适⽤于an+1=an?f(n)型)、待定系数法(适⽤于an+1=pan+q 型)求通项公式.【⾃我检测】1.数列{an}满⾜a1=1,且对任意的,n∈N*,都有a+n=a+an+n,则+++…+等于( )A.B.c.D.2.定义各项均不为0的数列{an}:a1=1,a2=1,当n≥3时,an=an-1+.定义各项均不为0的数列{bn}:b1=1,b2=3,当n≥3时,bn=bn-1+.则=( )A.2017B.2018c.2019D.10093.在数列{an}中,a1=0,an+1=,则数列{an}的前2018项和S2018= .4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=3n-1,则数列{an}的通项公式an= .⼩题2等差、等⽐数列的基本计算2(1)已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,bn=log2(?),数列{bn}的前n项和为Tn,则满⾜Tn>1024的n的最⼩值为( )A.9B.10c.12D.15(2)已知等差数列{an}中,a3=7,a9=19,Sn为数列{an}的前n项和,则的最⼩值为 .[听课笔记]【考场点拨】等差、等⽐数列问题的求解策略:(1)抓住基本量,⾸项a1、公差d或公⽐q;(2)熟悉⼀些结构特征,如前n项和为Sn=an2+bn(a,b是常数)的形式的数列为等差数列,通项公式为an=p?qn-1(p,q≠0)的形式的数列为等⽐数列;(3)由于等⽐数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置,所以常采⽤两式相除(即⽐值的⽅式)进⾏相关计算.【⾃我检测】1.已知数列{an}是公⽐为q的等⽐数列,若a1,a3,a2成等差数列,则公⽐q的值为( )A.-B.-2c.1或-D.-1或2.等⽐数列{an}的⾸项为3,公⽐q≠1,若a4,a3,a5成等差数列,则数列{an}的前5项和S5=( )A.-31B.33c.45D.933.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取得最⼩值时,n的值为 .4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,a5=1,则使得Sn>0成⽴的n的最⼤值为 .⼩题3等差、等⽐数列的性质3(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4,a10是⽅程x2-8x+1=0的两个根,则S13=( )A.58B.54c.56D.52(2)已知数列{an}的各项都为正数,对任意的,n∈N*,a?an=a+n恒成⽴,且a3?a5+a4=72,则log2a1+log2a2+…+log2a7= .[听课笔记]【考场点拨】等差、等⽐数列性质使⽤的注意点:(1)通项性质:若+n=p+q=2k(,n,p,q,k∈N*),则对于等差数列有a+an=ap+aq=2ak,对于等⽐数列有aan=apaq=.(2)前n项和的性质:对于等差数列有S,S2-S,S3-S2,…成等差数列;对于等⽐数列,若有S,S2-S,S3-S2,…成等⽐数列,则仅在q≠-1,或q=-1且为奇数时满⾜.【⾃我检测】1.已知数列{an}为等差数列,数列{bn}为等⽐数列,且满⾜a2017+a2018=π,=4,则tan=( )A.-1B.c.1D.2.已知等⽐数列{an}中,a5=2,a6a8=8,则=( )A.2B.4c.6D.83.已知正项等⽐数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S30=130,则S40=( )A.-510B.400c.400或-510D.30或404.已知等差数列{an}的公差不为0,a1=1,且a2,a4,a8成等⽐数列,{an}的前n项和为Sn,则Sn=( )A.B.c.D.⼩题4等差、等⽐数列的综合问题4(1)已知等差数列{an}的前n项和为Tn,a3=4,T6=27,数列{bn}满⾜bn+1=b1+b2+b3+…+bn,b1=b2=1,设cn=an+bn,则数列{cn}的前11项和S11=( )A.1062B.2124c.1101D.1100(2)已知数列{an}的通项公式为an=n+t(t∈R),数列{bn}为公⽐⼩于1的等⽐数列,且满⾜b1?b4=8,b2+b3=6,设cn=+,在数列{cn}中,若c4≤cn(n∈N*),则实数t的取值范围为 .[听课笔记]【考场点拨】解决数列的综合问题的易失分点:(1)公式an=Sn-Sn-1适⽤于所有数列,但易忽略n≥2这个前提;(2)对含有字母的等⽐数列求和时要注意q=1或q≠1的情况,公式Sn=只适⽤于q≠1的情况.【⾃我检测】1.已知数列{an}的各项均为整数,a8=-2,a13=4,前12项依次成等差数列,从第11项起依次成等⽐数列,则a15=( )A.8B.16c.64D.1282.已知正项等⽐数列{an}的前n项和为Sn,且a1a6=2a3,a4与2a6的等差中项为,则S5=( )A.B.30c.31D.3.当n为正整数时,定义函数N(n)表⽰n的最⼤奇因数,如N(3)=3,N(10)=5.若S(n)=N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2n),则S(5)=( )A.342B.345c.341D.3464.已知等⽐数列{an}满⾜a2a5=2a3,且a4,,2a7成等差数列,则a1?a2?…?an的最⼤值为 .模块三数列第10讲数列、等差数列与等⽐数列典型真题研析1.(1)(2)-63[解析](1)由题易知a8==2,得a7=;a7==,得a6=-1;a6==-1,得a5=2,于是可知数列{an}具有周期性,且周期为3,所以a1=a7=.(2)⽅法⼀:令n=1,得S1=a1=2a1+1,所以a1=-1,⼜由Sn=2an+1=2(Sn-Sn-1)+1(n≥2),得Sn=2Sn-1-1(n≥2),即Sn-1=2(Sn-1-1)(n≥2),所以数列{Sn-1}是以S1-1=-2为⾸项,2为公⽐的等⽐数列,所以S6-1=(-2)×25=-64,则S6=-63.⽅法⼆:令n=1,得S1=a1=2a1+1,所以a1=-1.由Sn=2an+1①,得Sn-1=2an-1+1(n≥2)②,①-②得an=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2),所以{an}是以a1=-1为⾸项,2为公⽐的等⽐数列,于是S6==-63.2.(1)A(2)64[解析](1){an}为等差数列,且a2,a3,a6成等⽐数列,则=a2?a6,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d).将a1=1代⼊上式并化简,得d2+2d=0,∵d≠0,∴d=-2,∴S6=6a1+d=1×6+×(-2)=-24.(2)设该等⽐数列的公⽐为q,则q==,可得a1+a1=10,得a1=8,所以an=8×n-1=n-4.所以a1a2…an=-3-2-1+0+…+(n-4)=,易知当n=3或n=4时,(n2-7n)取得最⼩值-6,故a1a2…an的最⼤值为-6=64.3.(1) (2)- [解析](1)设公差为d,则a1+2d=3且4a1+6d=10,解得a1=1,d=1,所以Sk=,=2,所以(2)因为a1=-1,an+1=SnSn+1,所以S1=-1,Sn+1-Sn=SnSn+1,所以-=-1,所以数列是⾸项为-1,公差为-1的等差数列,所以=-n,所以Sn=-.考点考法探究⼩题1例1(1)A(2)[解析](1)由题意可得3Sn=2an-3n,3Sn+1=2an+1-3(n+1),两式作差可得3an+1=2an+1-2an-3,即an+1=-2an-3,即an+1+1=-2(an+1),由3S1=2a1-3=3a1,可得a1=-3,∴a1+1=-2,∴数列{an+1}是⾸项为-2,公⽐为-2的等⽐数列,据此有a2018+1=(-2)×(-2)2017=22018,∴a2018=22018-1.(2)由=2,得an+1-an=2n,∵a1=15,∴当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=15+2+4+…+2(n-1)=15+2×=n2-n+15, ∵a1=15满⾜上式,∴an=n2-n+15,∴=n+-1,易知当n依次取1,2,3时,n+-1的值递减;当n取⼤于或等于4的⾃然数时,n+-1的值递增.当n=3时,=3+5-1=7;当n=4时,=4+-1=.故的最⼩值为.【⾃我检测】1.c [解析]∵an+=a+an+n对任意的,n∈N*都成⽴,∴an+1=an+a1+n=an+1+n,即an+1-an=1+n,∴a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2),把上⾯(n-1)个式⼦相加可得,an-a1=2+3+4+…+n,∴an=1+2+3+…+n=(n≥2),当n=1时,a1=1,满⾜上式,∴an=,从⽽有==2,∴+++…+=2×=.2.D [解析]当n≥3时,由an=an-1+两边同除以an-1,可得=1+,即-=1,则数列是⾸项为1,公差为1的等差数列,所以=n-1(n≥2),所以an=a1×××…×=1×1×2×…×(n-1)(n≥2).同理可得-=1(n≥3),则数列是⾸项为3,公差为1的等差数列,所以=n+1(n≥2),可得bn=b1×××…×=1×3×4×…×(n+1)(n≥2), 所以==1009,故选D.3. [解析]∵a1=0,an+1=,∴a2==,a3===-,a4==0,∴数列{an}具有周期性,其周期为3,且a1+a2+a3=0,则S2018=S3×672+2=a1+a2=.4.3-[解析]由an+Sn=3n-1,得当n≥2时,an-1+Sn-1=3n-4,两式相减得an=an-1+,∴an-3=(an-1-3).∵当n=1时,a1+S1=3-1=2,∴a1=1,∵a1-3=-2,∴数列{an-3}是以-2为⾸项,为公⽐的等⽐数列, ∴an-3=-2?,∴an=3-.⼩题2例2 (1)A (2)3 [解析](1)因为数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n,当n=1时,a1=21+1-2=2,满⾜上式,所以an=2n,所以bn=log2(?)=log2+log2=2n+2n,所以数列{bn}的前n项和Tn=+=n(n+1)+2n+1-2,易知当n∈N*时,Tn递增.当n=9时,T9=9×10+210-2=1112>1024;当n=8时,T8=8×9+29-2=582 所以满⾜Tn>1024的n 的最⼩值为9.(2)∵a3=7,a9=19,∴公差d===2,∴an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1,∴Sn==n(n+2),∴==≥×2=3,当且仅当n=2时取等号.【⾃我检测】1.c [解析]由题意知2a3=a1+a2,∴2a1q2=a1q+a1,即2q2=q+1,∴q=1或q=-.2.B [解析]∵等⽐数列{an}的⾸项为3,∴an=3qn-1,⼜a4,a3,a5成等差数列,∴a4+a5=2a3,∴q2+q=2,∴(q+2)(q-1)=0,∴q=-2,∴an=3?(-2)n-1,∴S5==33,故选B.3.6 [解析]设数列{an}的公差为d,则a4+a6=2a1+8d=2×(-11)+8d=-6,解得d=2,所以Sn=-11n+×2=n2-12n=(n-6)2-36,所以当n=6时,Sn取得最⼩值.4.9 [解析]因为a1=9,a5=1,所以公差d==-2,所以Sn=9n+n(n-1)(-2)=10n-n2,令Sn>0,得00成⽴的n的最⼤值为9.⼩题3例3 (1)D (2)21 [解析](1)由根与系数的关系可得a4+a10=8,结合等差数列的性质可得a1+a13=a4+a10=8,则S13===52.(2)令=1,∵a?an=a+n,∴a1?an=a1+n,∴数列{an}为等⽐数列.由a3?a5+a4=72,得+a4=72,∵a4>0,∴a4=8,∴log2a1+log2a2+…+log2a7=log2(a1?a2?…?a7)=log2=log287=21.【⾃我检测】1.c[解析]由等差数列的性质可知,a2+a4033=a2017+a2018=π,由等⽐数列的性质可知,b1b39==4,所以tan=tan=1,故选c.2.A [解析]设数列{an}的公⽐为q.∵数列{an}是等⽐数列,∴a6a8==8,∴a7=2(与a5同号),∴q2==,∴=q4=()2=2.故选A.3.B [解析]∵正项等⽐数列{an}的前n项和为Sn,∴S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30也成等⽐数列,∴10×(130-S20)=(S20-10)2,解得S20=40或S20=-30(舍),故S40-S30=270,∴S40=400,故选B.4.A [解析]设等差数列{an}的公差为d(d≠0).∵a2,a4,a8成等⽐数列,∴=a2?a8,即(a1+3d)2=(a1+d)?(a1+7d),∴(1+3d)2=(1+d)?(1+7d),∴d=1,∴Sn=n+=.故选A.⼩题4例 4 (1)c (2)[-4,-2] [解析](1)设数列{an}的公差为d,则解得∴数列{an}的通项公式为an=n+1.当n≥2时,bn+1-bn=bn,∴bn+1=2bn,即数列{bn}从第⼆项起为等⽐数列,∴bn=2n-2(n≥2), ∴数列{bn}的通项公式为bn=分组求和可得数列{cn}的前11项和S11=(2+3+4+…+12)+(1+1+2+22+…+29)=77+210=1101.(2)在等⽐数列{bn}中,由b1?b4=8得b2?b3=8,⼜b2+b3=6,且公⽐q⼩于1,∴b2=4,b3=2,∴q==,因此bn=b2qn-2=4×=.由cn=+,得cn=∴cn是取an,bn中的较⼤者.由题易知c4是数列{cn}中的最⼩项,⼜bn=递减,an=n+t递增,∴当c4=a4时,c4≤cn,即a4≤cn,a4是数列{cn}中的最⼩项,则必须满⾜b4 【⾃我检测】1.B [解析]设由数列{an}的前12项构成的等差数列的公差为d,从第11项起构成的等⽐数列的公⽐为q,由a13===4,解得d=1或d=,⼜数列{an}的各项均为整数,故d=1,所以q==2,所以an=故a15=24=16,故选B.2.c [解析]设正项等⽐数列{an}的公⽐为q,q>0.∵a1a6=2a3,a4与2a6的等差中项为,∴q5=2a1q2,a1(q3+2q5)=3,得a1=16,q=,则S5==31.3.A [解析]由题设知,N(2n)=N(n),N(2n-1)=2n-1,∴S(n)=[1+3+5+…+(2n-1)]+[N(2)+N(4)+N(6)+…+N(2n)]=4n-1+[N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2n-1)]=4n-1+S(n-1)(n≥2),⼜S(1)=N(1)+N(2)=2, ∴S(n)=4n-1+4n-2+…+41+2=,∴S(5)==342.故选A.4.1024[解析]设数列{an}的公⽐为q.由已知得a3a4=a2a5=2a3?a4=2,a4+2a7=2×?a7=,∴==q3, ∴q==2-1,a1==24,∴an=24?2-(n-1)=25-n,∴a1?a2?…?an=24×23×…×25-n=24+3+…+(5-n)===,∴当n=4或5时,a1?a2?…?an取得最⼤值1024.[备选理由]例1为由递推关系求数列的通项公式问题,难度较⼤;例2考查等⽐数列前n项和中参数的计算,不同于原例2只考查等差、等⽐数列的基本量的计算;例3考查等⽐数列的计算,采⽤整体求解⽐较⽅便;例4为等差数列性质的应⽤问题;例5是⼀道等差数列与等⽐数列的综合题.例 1 [配例1使⽤]已知数列{an}满⾜a1=1,a2=,若anan-1+2anan+1=3an-1an+1(n≥2,n∈N*),则数列{an}的通项公式为an= .[答案][解析]∵anan-1+2anan+1=3an-1an+1(n≥2,n∈N*), ∴+=,即-=2,⼜∵-=2,∴数列是以2为⾸项,2为公⽐的等⽐数列,∴-=2n,∴当n≥2时,=++…++=2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1.当n=1时,=1,满⾜上式,∴=2n-1,∴an=.例 2 [配例2使⽤]已知等⽐数列{an}的前n项和Sn=32n-1+r,则r的值为( )A.B.-c.D.-[解析]B 当n=1时,a1=S1=3+r;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=32n-1-32n-3=32n-3(32-1)=8?32n-3=8?32n-2?3-1=?9n-1.∵数列{an}为等⽐数列,∴3+r=,∴r=-,故选B.例3[配例2使⽤]在等⽐数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a8+a9+a10= .[答案]128[解析]设数列{an}的公⽐为q.∵a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=(a1+a2+a3)q=2,∴q=2,∴a8+a9+a10=(a1+a2+a3)q7=27=128.例4 [配例3使⽤]在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,若2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则S13+2a7=( )A.17B.26c.30D.56[解析]c 设等差数列{an}的公差为d,由等差数列的性质可得a1+a7=2a4,a9+a11=2a10,则有6a4+6a10=24,即a1+6d=2,所以S13=13a1+d=13(a1+6d)=26,2a7=2(a1+6d)=4,所以S13+2a7=30.例5 [配例4使⽤]已知各项都是正数的等⽐数列{an}的公⽐q≠1,且a2,a3,a1成等差数列,则的值为( )A.B.c.D.或[解析]B 由题得a3×2=a2+a1,∴a1q2=a1q+a1,∴q=,∴==q2=.。
2019届苏教版(文科数学) 数学文化 单元测试(1)
1．欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数 家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里非常重要，被誉为“数 中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案）B解析）2cos2sin2ie i =+，∵22ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴cos210∈-（，），sin201∈（，），∴2ie 表示的复数在复平面中位于第二象限，故选B ．2．2018河南省南阳、信阳等六市高三第一次联考）中国传统文化中很多内容体现了数 的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“等周面函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆O ，其“等周面函数”有无数个；②函数()()22ln 1f x x x =++可以是某个圆的“等周面函数”；③正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“等周面函数”；④函数()y f x =是“等周面函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形．其中正确的命题是 （写出所有正确命题的序号）．答案）①③考向2 渗透数 文化的数列题2）2018安徽模拟）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数 著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为 （ ）A．829尺 B ．1629尺 C ．3229尺 D ．12尺 答案）B ．解析）设增量为d ，由等差数列前n 项和公式得：3030293053902S d ⨯=⨯+=，解得1629d =，故选B ． 3）2018甘肃兰州西北师大附中调研）在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （ ） A ．尺 B ．尺 C ．尺 D ．尺答案）C4）江西省赣州市2018届期中）《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数 著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两分之和，则最小的1份为（ ） A ．56 B ．103 C ．53 D ．116答案）C解析）设等差数列{}n a 的公差是0d >，首项是1a ，由题意得，()1345125451002{ 17a d a a a a a ⨯+⨯=++⨯=+，则()111510100{ 13927a d a d a d +=+⨯=+，解得153{ 556a d ==，所以最小的一份为53，故选C ． ！跟踪练习）1．2018百校联盟联考）我国古代数 著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为()1,2,,10i a i =，且1210a a a <<<，若485i a M =，则i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 答案）C2．2018湖南永州高三二模）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，．．．，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）．一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（ ）A ．1020B ．1010C ．510D ．505 答案）D解析）n 阶幻方共有2n 个数，其和为()222112...,2n n n n ++++=阶幻方共有n 行，∴每行的和为()()2221122n n n n n++=，即()()2210110101,50522nn n NN+⨯+=∴==，故选D ．3．2018福建南平高三一模）中国古代数 著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地．”则此人第4天走了（ ）A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里 答案）D解析）试题分析：由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列，设等比数列的首项为，则有，，，所以此人第天和第天共走了里，故选C ．4．2018河北廊坊八中高三模拟）《九章算术》卷第六《均输》中，提到如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间．．二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即每节的容量成等差数列．在这个问题中的中间．．两节容量分别是（ ） A ．6766升、4133升 B ．2升、3升 C ．322升、3733升 D ．6766升、3733升 答案）D点睛：对于数 文化题，我们要善于把枯涩的文字数字化，再运用数 知识去解决．5．2018四省名校高三联考）中国人在很早就开始研究数列，中国古代数 著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载．现有数列题目如下：数列{}n a 的前n 项和214n S n =，*N n ∈，等比数列 {}n b 满足112b a a =+，234b a a =+，则3b =（ ）A ．4B ．5C ．9D ．16解析）由题意可得：211221214b a aS =+==⨯=，22234421142344b a a S S =+=-=⨯-⨯=， 则：等比数列的公比21331b q b ===，故32339b b q ==⨯=． 本题选择C 选项．6．2018湖北模拟）《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣(墙，读音)厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）．问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是 ： ． 答案）26:59解析）因为前两天大小老鼠共穿5.45.0121=+++尺，所以第三天需要穿5.05.4-5=尺就可以碰面，第三天大老鼠要穿4尺，小老鼠要穿41尺，设大老鼠打了x 尺，小老鼠则打了)5.0(x -尺，所以415.04xx -=，解得178=x ，小老鼠打了3411785.0=-，三天总的来说大老鼠打了175917821=++（尺），小老鼠打了17263415.01=++，进度比：26:59． 7．2018河北衡水中 高三二调）在我国古代著名的数 专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）A ．12日B ．16日C ．8日D ． 9日 答案）D考点：实际应用问题，相遇问题，数列求和．8．2018湖北稳派教育高三上 期联考二）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数 家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列{}n a 满足：()*12121,1,3,n n n a a a a a n n N --===+≥∈，记其前n 项和为2018=n S a t ，设 (t 为常数)，则2016201520142013=S S S S +--___________ (用t 表示)．考向3 渗透数 文化的几何题5）辽宁省沈阳市2018年质监）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数 名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）面ABCD 为矩形，棱EFAB ．若此几何体中，4,2AB EF ==，ADE ∆和BCF∆都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（）A ．83B ．883+C ．6223+D ．86223++ 答案）B6）甘肃省会宁2018届月考（12月））如图所示是古希腊数 家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )A．32，1 B．23，1 C．32，32D．23，32答案）C7）2018辽宁瓦房店高三一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何?”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．平方尺B．平方尺C．平方尺D．平方尺答案）B8）2018贵州黔东南州高三一模）我国古代数名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”．意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（）A．3步B．6步C．4步D．8步答案）B9）（1）2017湖南模拟）“牟合方盖”是我国古代数 家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．b a ,B ．c a ,C ．b c ,D ．d b ,（2）2018湖南模拟）我国古代数 名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式()13V S S S S h =++下下上上） A ．2寸 B ．3寸 C ．4寸 D ．5寸 答案）（1）A ；（2）B ．名师点睛）“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数 思想方法解决数 问题的代表之一．试题从识“图”到想“图”再到构“图”，考查 生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力等．我国古代数 中含有丰富的立体几何模型和数 原理，是数 文化题的主要源头，如阳马、鳖臑、堑堵、鲁班锁、祖暅原理等．10）广西贵港市2018届12月联考）《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺．若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A． 2129B ．2329C ．1112D ．1213答案）A11）辽宁省凌源市2018届12月联考）我国古代数 名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数 用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为（ ）A 42B 82C ．163πD ．43π答案）B12）2018河南商丘高三山 期一模）我国南宋著名数 家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若2sin 3sin c A C =，()224a c b -=-，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为__________． 答案）2解析）由2sin 3sin c A C =可得：ac 3=， 由()224a c b -=-可得：2222a c b +-=∴()22222211912424a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故答案为：2 跟踪练习）1．2018河南中原名校联考）《九章算术》中，将底面是直角三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵”，如图，边长为1的小正方形 格中粗线画出的是某“堑堵”的俯视图与侧视图，则该“堑堵”的正视图面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8答案）C解析）由题意知，该“堑堵”的正视图为三棱柱的底面，为等腰直角三角形，且斜边长为4，故其面积为4．选C ．2．2018安徽皖南八校12月联考）榫卯（sun mao ）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构．图中 格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为()A ．24523452ππ++，B ．24523654ππ++，C ．24543654ππ++，D ．24543452ππ++， 答案）C方法点睛）本题利用空间几何体的三视图重点考查 生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题．三视图问题是考查 生空间想象能力最常见题型，也是高考热点．观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响．3．2018吉林长春高三二模）堑堵，我国古代数 名词，其三视图如图所示．《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何?”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少?”(注：一丈=十尺)，答案是 ( )A ．25500立方尺B ．34300立方尺C ．46500立方尺D ．48100立方尺答案）C解析）由已知，堑堵的体积为12018625465002⨯⨯⨯=．故选C ． 4．2018河北模拟）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 （ ）A ．4B ．642+C ．442+D ．2答案）B5．2018山西高三一模）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的表面积是 （ ）A ．B ．C ．D ．答案）B解析）以为边，将图形补形为长方体，长方体外接球即阳马的外接球，长方体的对角线为球的直径，即，故球的表面积为．选B ．6．2018百校联盟高三3月联考）我国古代数 名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺；问高几何？”意思是：有粟米250斛，把它自然地堆放在平地上，自然地成为一个圆锥形的粮堆，其底面周长为54尺，则圆锥形的高约为多少尺？（注：1斛 1.62≈立方尺，3π≈）若使题目中的圆锥形谷堆内接于一个球状的外罩，则该球的直径为（ ）A ．5尺B ．9尺C ．10.6尺D ．21.2尺答案）D7．2018甘肃兰州高三一诊）刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．答案）B点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．8．2018湖南衡阳高三一模）刍薨( chu hong)，中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“当薨者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．薨，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”．如图为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，若用茅草搭建它，则覆盖的面积至少为．A．B．C．D．答案）C点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．9．2018贵州遵义高三联考二）《数书九章》是中国南宋时期杰出数 家秦九韶的著作．其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a b c 、、，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写出公式，即若a b c >>，则222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，现有周长为1027+的ABC ∆满足sin :sin :sin 2:3:7A B C =，则用以上给出的公式求得ABC ∆的面积为 __________．答案）6310．2018湖北八校高三12月联考）我国南北朝时期的数 家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，一个焦点为()5,0．直线0y =与3y =在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN ，则它绕y 轴旋转一圈所得几何体的体积为_____．答案）3π考向4 渗透数 文化的统计与概率题13）2018湖南株洲高三质检一）如图所示，三国时代数 家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影)．设直角三角形有一内角为30︒，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为A ．134B ．866C ．300D ．500 （ ） 答案）A14）2018河北衡水金卷高三一模）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．316B．38C．14D．18答案）A15）2018山西孝义高三一模）我国古代数名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A．134石B．169石C．338石D．1365石答案）B考点：用样本的数据特征估计总体．16）2018江西高三二模）欧阳修的《卖油翁》中写道“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）A ．49πB ．14πC ．19πD ．116π答案）B17）2011年，国际数 协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数 节， 是中国古代数 家祖冲之的圆周率，为庆祝该节日，某校举办的数 嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个 豆、10个 豆、20个 豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的 豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部 豆归零，游戏结束．设选手甲第一关、第二关、第三关闯关成功的概率分别为321,,432，选手选择继续闯关的概率均为12，且各关之间闯关成功互不影响． （1）求选手获得5个 豆的概率；（2）求选手甲第一关闯关成功且所得 豆为零的概率． 答案）（1）38；（2）316． 解析）（1）()3135428P X ==⨯=． （2）设甲“第一关闯关成功且所得 豆为零”为事件A ，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件1A ，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件2A ，则12,A A 互斥，()()()()()121231213121111131,1,4238423221681616P A P A P A P A P A ⎛⎫⎛⎫∴=⨯⨯-==⨯⨯⨯⨯-=∴=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 名师点睛）1．弘扬中华传统文化在数 中体现为两点：一是挖掘古代典籍与数 知识的结合点；二是将数 落实在中华传统美德，贯彻“弘扬正能量”的精神风貌．2．从古代文化经典选取素材，如2017年新课标Ⅰ卷第4题以《易经》八卦中的太极图为载体，丰富了数 文化的取材途径、试题插图的创新是本题的亮点．其一，增强了数 问题的生活化，使数 的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果；其三，探索了数 试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数 问题直观化的范．跟踪练习）1．2017新疆奎屯市一中高三上 期第二次月考）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16答案）A2．2017福建省数 基地校高三模拟）《九章算术》是人类 史上应用数 的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来1 534石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约( )A ．134石B ．169石C ．268石D ．338石答案）B解析）设这批米内夹谷约为x 石，根据随机抽样事件的概率得281534254x =，得x ≈169．故选B ． 3．2018安徽芜湖高三一模）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数 家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6απ=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 （ ）A．312-B．32C．434-D．34答案）A考向5 渗透数文化的推理题18）2018北京朝阳区高三一模）庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同中只有一位同中奖，且只有一位同的预测结果是正确的，则中奖的同是( )A．甲B．乙C．丙D．丁答案）A解析）由四人的预测可得下表：中奖人预测结果甲乙丙丁甲✔✖✖✖乙✔✖✔✔丙 ✖ ✖ ✔ ✔丁 ✖ ✔ ✖ ✔1．若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意；2．若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意；3．若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意；4．若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意；故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确，选．19）（原创题）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数 家、数 教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角：（1）求第20行中从左到右的第3个数；（2）若第n 行中从左到右第13与第14个数的比为1322，求n 的值； （3）写出第12行所有数的和，写出n 阶（包括0阶）杨辉三角中的所有数的和；（4）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35，我们发现136101535++++=，事实上，一般地有这样的结论：第m 斜列中（从右上到左下）前k 个数之和，一定等于第1m +斜列中第k 个数．试用含有(),,m k m k *∈N的数 式子表示上述结论，并证明．证明：左边11112112mm m m m m m mm k m m m k C C C C C C ----+-+++-=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+1221m m mm k m k m k C C C -+-+-+-=⋅⋅⋅=+==右边．名师点睛）杨辉三角与二项式定理是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了．求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题．用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”． 跟踪练习）1．在我国南宋数 家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数 家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1，17世纪德国数 家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2．在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1，其中n 是行数，r ∈N ．请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．图1图2探究提高：《九章算术》大约成书于公元1世纪，是中国古代最著名的传世数 著作，它的出现标志着中国古代数 形成了完成的体系，本题取材《九章算术》与著名的17世纪德国数 家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”相结合考查了组合数的运算，很好的把中国古代数 名著和欧洲数 有解的结合在一起，进行和合理命题．2．2018湖南模拟）如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字。
等比数列精选高考题
高二数学《等比数列》专题练习题 注意事项：1.考察内容：等比数列 2.题目难度：中等题型3.题型方面：10道选择，4道填空，4道解答。
4.参考答案：有详细答案5.资源类型：试题/课后练习/单元测试 一、选择题1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++L ＝A ．12B ．10C ．8D ．2＋3log 52.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=⋅a a a a ，则=1020a a （ ）A.32 B.23 C. 32或23 D. －32或－233.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ）A ．16B ．24C ．48D ．1284.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中a 1=2，a 5=8，则a 3的值为（ ） A. －4 B.4 C . ±4 D. 55.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 63S S =3 ，则 69S S =A ． 2 B.73C. 83D.36.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242S S =，则公比为（ ） A.1 B.1或－1 C.21或21- D.2或－27.已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为 A ．15 B ．17 C ．19 D ．218.已知等比数列{}na 的首项为8，nS 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2=20，S 3=36，S 4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为 （ ） A 、 S 1 B 、S 2 C 、 S 3 D 、 S 49.已知数列{}n a 的前n 项和n n S aq =(0a ≠,1q ≠,q 为非零常数),则数列{}n a 为( )A.等差数列B.等比数列C.既不是等比数列也不是等差数列D.既是等差数列又是等比数列10.某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（ ）．A a(1+p)7B a(1+p)8C )]1()1[(7p p pa +-+ D )1()1[(8p p pa +-+]二、填空题11.若各项均为正数的等比数列{}n a 满足23123a a a =-，则公比q = ． 12.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则=+221b a a ______．13.等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S = _____14.等比数列{}n a 的前n 项和n S =22-+⋅a a n ，则n a =_______. 三、解答题15.设二次方程2110()n n a x a x n N *+-+=∈有两个实根α和β，且满足6263ααββ-+=． （1）试用n a 表示1n a +； （2）求证：2{}3na -是等比数列； （3）当176a=时，求数列{}n a 的通项公式．16.已知数列{}n a 满足：111,1,22,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数，且*22,n n b a n N =-∈（Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）求证数列{}n b 为等比数列并求其通项公式； （Ⅲ）求和2462n nT a a a a =+++L17.在等比数列{}n a 中，,11>a 公比0>q ，设n n a b 2log =，且.0,6531531==++b b b b b b（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S 及数列{}n a 的通项公式； （3）试比较n a 与n S 的大小.18.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知231,,S S S 成等差数列. （1）求{}n a 的公比q ； （2）若331=-a a ，求n S .答案一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.B 5.B 6.B 7.A 8.D 9.C 10.D二、填空题11.3212.25；解析：∵1, a 1, a 2, 4成等差数列，∴12145a a +=+=；∵1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，∴22144b =⨯=，又2210b q =⨯>，∴22b =；∴=+221b a a 25；13.15214.12-n三、解答题15.（1）解析：11,n nna a a αβαβ++==，而6263ααββ-+=，得1623n n na a a +-=， 即1623n n a a +-=，得11123n n aa +=+； （2）证明：由（1）11123n n a a +=+，得1212()323n n a a +-=-，所以2{}3na -是等比数列；（3）解析：当176a =时，2{}3na -是以721632-=为首项，以12为公比的等比数列，1211()322n n a --=⨯，得21()()32n na n N *=+∈．16.解析：（Ⅰ）2335,,22aa ==-474a = （Ⅱ）当2(21)12112,22(21)22n n n n n ba a a n -+-≥=-=-=+--时 222(1)1111[2(22)](21)2[2]222n n n a n n a b ---=--+--=-= ∴12122b a =-=-又 ∴1111()()222n n nb -=-⋅=-（Ⅲ）∵22n n a b =+ ∴242n n T a a a =++L=12(2)n b b b n ++++L 11[1()]1222()2 1.1212n n n n -=-+=+-- 17.解析：（1）由已知q a a b b nn n n log log 121==-++为常数.故数列{}n b 为等差数列，且公差为.log 2q d = （先求q 也可） 4分 （2）因0log ,11211>=⇒>a b a ，又263531=⇒=++b b b b ，所以.05=b由.291,404,22211513⎩⎨⎧-=⇒-==⇒=+==+=n n S d b d b b d b b n 由*511212,221,164log 1log N n a q a a b q d n n ∈=⇒==⇒⎩⎨⎧==-==-. 8分（3）因,0>na 当9≥n 时，0≤n S ，所以9≥n 时，n n S a >；又可验证2,1=n 是时，n nS a >；8,7,6,5,4,3=n 时，n n S a <. 12分18.解析：（1）由题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++ ，又0,01≠≠q a ，故.21-=q（2）由已知得.43)21(1211=⇒=--a a a从而].)21(1[38)21(1])21(1[4n n n S --=----=高二数学必修5《等比数列》练习卷知识点：1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．2、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．3、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=．4、通项公式的变形：1n m n m a a q -=；2()11n n a a q --=；311n n a q a -=；4n m n ma q a -=．5、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ⋅=⋅；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =⋅． 同步练习：1、在等比数列{}n a 中，如果66a =，99a =，那么3a 为（ ）A ．4B ．32C ．169D ．22、若公比为23的等比数列的首项为98，末项为13，则这个数列的项数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63、若a 、b 、c 成等比数列，则函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定4、已知一个等比数列的各项为正数，且从第三项起的任意一项均等于前两项之和，则此等比数列的公比为（ ） AB．(112±C．(112+D．(1125、设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，其公比为2，则123422a a a a ++的值为（ ） A ．14B ．12C ．18D ．16、如果1-，a ，b ，c ，9-成等比数列，那么（ ）A ．3b =，9ac =B ．3b =-，9ac =C ．3b =，9ac =-D ．3b =-，9ac =-7、在等比数列{}n a 中，11a =，103a =，则23456789a a a a a a a a 等于（ ） A ．81B．CD ．2438、在等比数列{}n a 中，()9100a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a +等于（ ） A ．98b a B ．9b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．109b aD ．10b a ⎛⎫⎪⎝⎭9、在等比数列{}n a 中，3a 和5a 是二次方程250x kx ++=的两个根，则246a a a 的值为（ ） A ．25B．C．-D．±10，则它的第四项是（ ） A ．1 BCD．11、随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低13，2000年价格为8100元的计算机到2015年时的价格应为（ ） A ．900元B ．2200元C ．2400元D ．3600元12、若数列{}n a 为等比数列，则下列数列中一定是等比数列的个数为（ ）1{}2n a ；21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；3{}n a ；4{}2log n a ；5{}1n n a a +⋅；6{}1n n a a ++A ．3B ．4C ．5D ．613、在等比数列{}n a 中，若39a =-，71a =-，则5a 的值为（ ） A ．3 B ．3- C ．3或3-D ．不存在14、等比数列{}n a 中，236a a +=，238a a =，则q =（ ） A ．2B ．12C ．2或12D ．12-或2-15、在等比数列{}n a 中，首项10a <，若{}n a 是递增数列，则公比q 满足（ ） A ．1q > B ．1q < C ．01q << D ．0q <16、若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且5a -，4a ，6a 成等差数列，则q 等于（ ） A ．1或2 B ．1或2- C ．1-或2- D ．1-或217、已知等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则4a 等于（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．1418、生物学中指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约有10％～20％的能量能够流动到下一个营养级（称为能量传递率），在123456H →H →H →H →H →H 这条生物链中，若使6H 获得10kJ 的能量，则需要1H 最多提供的能量是（ ）A ．410kJB ．510kJC ．610kJD ．710kJ19、已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8-D ．10-20、数列{}n a 满足()1123n n a a n -=-≥，143a =，则4a =_________．21、若{}n a 是等比数列，且0n a >，若243546225a a a a a a ++=，那么35a a +的值等于________．22、若{}n a 为等比数列，且4652a a a =-，则公比q =________．23、首项为3的等比数列的第n 项是48，第23n -项是192，则n =________． 24、在数列{}n a 中，若11a =，()1231n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a =______________．25、已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项n a =_________________．26、已知数列{}n a 为等比数列． 1若54a =，76a =，求12a ；2若4224a a -=，236a a +=，125n a =，求n ．27、已知数列{}n a 为等比数列，32a =，24203a a +=，求{}n a 的通项公式．28、若数列{}n a 满足关系12a =，132n n a a +=+，求数列的通项公式．29、有四个实数，前3个数成等比数列，它们的积为216，后3个数成等差数列，它们的和为12，求这四个数．高一数学同步测试（12）—等比数列一、选择题：1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 （ ） ①{a n 2}也是等比数列 ②{ca n }(c ≠0)也是等比数列 ③{na 1}也是等比数列 ④{ln a n }也是等比数列A ．4B ．3C ．2D ．12．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 （ ） A ．216 B ．－216 C ．217 D ．－217 3．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为 （ ） A ．1 B ．－21 C ．1或－1 D ．－1或214．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 （ ）A ．4B ．23 C ．916 D ．25．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 （ ）A ．x 2－6x ＋25=0B ．x 2＋12x ＋25=0C ．x 2＋6x －25=0D ．x 2－12x ＋25=06．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是 （ ） A ．1.1 4 a B ．1.1 5 a C ．1.1 6 a D ． (1＋1.1 5)a7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 （ ）A ．89abB ．(ab )9C ．910abD ．(ab )108．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为 （ ） A ．32 B ．313 C ．12 D ．159．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 （ ） A ．11n B ．11n C ．112-n D ．111-n10．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ⋅⋅⋅⋅=L ，那么36930a a a a ⋅⋅⋅⋅L 等于 （ ） A ．102 B ．202 C ．162 D ．15211．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为 （ ） A ．全体实数 B ．－1 C ．1 D ．312．某地每年消耗木材约20万3m ，每3m 价240元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样每年的木材消耗量减少t 25万3m ，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则t 的范围是 （ ）A ．[1，3]B ．[2，4]C ．[3，5]D ．[4，6] 二、填空题：13．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =________．14．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___．15．在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10＝ ．16．数列｛n a ｝中，31=a 且n a a n n (21=+是正整数)，则数列的通项公式=n a ． 三、解答题：17．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1(n ∈N*) (1) 求证数列{a n ＋1}是等比数列； (2) 求{a n }的通项公式．18．在等比数列｛a n ｝中，已知对n ∈N*，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，求a 12＋a 22＋…＋a n 2．19．在等比数列｛a n ｝中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n ．20．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1(x≠0)．21．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．22．某城市1990年底人口为50万，人均住房面积为16 m 2，如果该市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万 m 2，求2000年底该市人均住房的面积数．(已知1.015≈1.05，精确到0.01 m 2)参考答案一、选择题： BDCAD BACDB BC 二、填空题：13.2， 3·2n －2．14.251+．15.512 ．16.123-n ．三、解答题：17.(1)证明： 由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1) 又a n ＋1≠0 ∴111+++n n a a =2即{a n ＋1}为等比数列．(2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q n －1即a n =(a 1＋1)q n －1－1=2·2n －1－1=2n －118.解析： 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1 ①n ∈N*知a 1＝1且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1 ②由①－②得a n ＝2n －1，n ≥2又a 1＝1，∴a n ＝2n －1，n ∈N*212221)2()2(-+=n n nn a a ＝4即｛a n 2｝为公比为4的等比数列∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝)14(3141)41(21-=--nn a 19.解析一： ∵S 2n ≠2S n ，∴q ②÷①得：1＋q n ＝45即q n ＝41③③代入①得qa -11＝64④∴S 3n ＝qa -11(1－q 3n )＝64(1－341)＝63解析二： ∵｛a n ｝为等比数列 ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )∴S 3n ＝48)4860()(22222-=+-n n n n S S S S ＋60＝6320.解析：当x =1时，S n =1＋3＋5＋…＋(2n －1)=n 2当x ≠1时，∵S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －1， ① 等式两边同乘以x 得：xS n =x ＋3x 2＋5x 3＋7x 4＋…＋(2n －1)x n ． ②①－②得：(1－x )S n =1＋2x (1＋x ＋x 2＋…＋x n －2)－(2n －1)x n =1－(2n －1)x n ＋根据已知条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--q q a q q a n n 160)1(481)1(211① ②1)1(21---x x x n ， ∴S n =21)1()1()12()12(-+++--+x x x n x n n n ． 21.解析：∵a 1a n =a 2a n －1=128，又a 1＋a n =66，∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128=0的两根，解方程得x 1=2，x 2=64， ∴a 1=2，a n =64或a 1=64，a n =2，显然q ≠1． 若a 1=2，a n =64，由qqa a n --11=126得2－64q =126－126q ，∴q =2，由a n =a 1q n －1得2n －1=32， ∴n =6． 若a 1=64，a n =2，同理可求得q =21，n =6．综上所述，n 的值为6，公比q =2或21．22.解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n }：a 1=50，q =1＋1%=1．01，n =11 则a 11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n }：b 1=16×50=800，d =30，n =11∴b 11=800＋10×30=1100(万米2)因此2000年底人均住房面积为：1100÷55.125≈19．95(m 2)1.3.1等比数列一、选择题1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－92．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．813．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )A. B. C ．2 D ．34．一个数分别加上20,50,100后得到的三数成等比数列，其公比为( )A. B. C. D.5．若正项等比数列{a n}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则等于( )A. B. C. D．不确定二、填空题6．在等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝________.7．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.8．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．三、解答题9．等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．1.答案 B解析∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c 必同号．2.答案 B解析由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.3.答案 A解析∵a4a6＝a，∴a4a5a6＝a＝3，得a5＝3.∵a1a9＝a2a8＝a，∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)＝log3a＝log33＝.4.答案 A解析设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，解得x＝25，∴这三个数为45,75,125，公比q为＝.5.答案 A解析a3＋a6＝2a5，∴a1q2＋a1q5＝2a1q4，∴q3－2q2＋1＝0，∴(q－1)(q2－q －1)＝0 (q≠1)，∴q2－q－1＝0，∴q＝ (q＝<0舍去)，∴＝＝.6.答案 4解析q4＝＝16，∴q2＝4，a3＝a1q2＝4.7.答案 5解析设公比为q，则⇒⇒q2＝4，得q＝±2.由(±2)n－1＝16，得n＝5.9.解由题意可列关系式：②÷①得：q (1－q )＝＝，∴q ＝，∴a 1＝＝＝96.又∵a 6＝a 1q 5＝96×＝3，∴a 5，a 7的等比中项为3.10．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，C n ＝a n ＋b n ， 证明数列{C n }不是等比数列．证明 设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，C n ＝a n ＋b n . 要证{C n }不是等比数列，只需证C ≠C 1·C 3.8.答案解析 设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝. 较小锐角记为θ，则sin θ＝＝.高二数学必修5《等比数列的前n 项和》练习卷知识点：1、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩．2、等比数列的前n 项和的性质：1若项数为()*2n n ∈N ，则Sq S =偶奇．2n n m n m S S q S +=+⋅．3n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列．同步练习：1、数列1，a ，2a ，…，1n a -，…的前n 项和是（ ）A ．11na a--B ．111n a a+--C ．211n a a+-- D ．以上均不正确2、若数列的前n 项和为()10n n S a a =-≠，则这个数列是（ ）A ．等比数列B ．等差数列C ．等比或等差数列D ．非等差数列3、等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项之和是（ ）A ．1SB ．1n q SC ．1n Sq -D ．nq S4、已知数列{}n a 的前n 项的和是n S ，若12n n n S S a +-=，则{}n a 是（ ）A ．递增的等比数列B ．递减的等比数列C ．摆动的等比数列D ．常数列5、某工厂去年产值为a ，计划5年内每年比上一年产值增长10％，从今年起五年内这个工厂的总产值是（ ） A ．41.1a B ．51.1a C ．()5101.11a - D ．()2111.11a -6、等比数列前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A ．54B ．64C ．2663D ．26037、在等比数列中，301013S S =，1030140S S +=，则20S =（ ） A ．90B ．70C ．40D ．308、等比数列{}n a 中，29a =，5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ）A ．81B ．120C ．168D ．192 9、一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ） A ．180B ．108C ．75D ．6310、在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．711、数列1，12+，2122++，…，（2122+++…12n -+），…的前n 项和等于（ ） A ．12n n +- B ．122n n +--C ．2n n -D ．2n12、首项为a 的数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n 项和为（ ） A ．1n a -B ．naC ．n aD ．()1n a -13、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项的倒数之和为n T ，则n nS T 的值为（ ）A ．1n a aB ．1na a C ．1n n n a aD ．1nn a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭14、某林厂年初有森林木材存量S 3m ，木材以每年25％的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 3m ，为实现经过两年砍伐后的木材的存量增加50％，则x 的值是（ ） A ．32S B ．34S C ．36S D ．38S 15、已知数列{}n a 的前n 项和为()20,0n n S b a a b =⨯+≠≠．若数列{}n a 是等比数列，则a 、b 应满足的条件为（）A ．0a b -=B ．0a b -≠C ．0a b +=D ．0a b +≠16、在正项等差比数列{}n a 中，若27S =，691S =，则4S 的值为（ ） A ．28 B ．32 C ．35 D ．4917、等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132log log a a ++…310log a +=（ ） A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+18、等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ） A ．C A+B = B ．2C B =AC ．2C A +B -=BD ．()22C A +B =A B+19、一个等比数列{}n a 共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为（ ）A ．65B ．56C ．20D ．11020、已知等比数列{}n a 的公比为13q =，且135a a a +++…9960a +=，则1234a a a a ++++…100a +=（ ）A ．100B ．80C ．60D ．40 21、若等比数列{}n a 的前n 项之和3n n S a =+，则a =（ ）A ．3B ．1C ．0D ．1-22、数列12，14，18，…的前10项和等于____________________．23、在等比数列{}n a 中，1220a a +=，3440a a +=，则6S =________．24、在等比数列{}n a 中，设11a =-，前n项和为nS ，若1053132S S =，则n S =_____________．25、若数列{}n a 满足：11a =，12n na a +=，1n =，2，3…，则12a a ++…n a +=________．26、在等比数列{}n a 中，332a =，392S =，则1a =___________．27、等比数列{}n a 中，若166n a a +=，21128n a a -⋅=，126n S =，则q =________． 28、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．29、等比数列{}n a 中前n 项和为n S ，42S =，86S =，求17181920a a a a +++的值． 30、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S =，1050S =，求15S ．31、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知41S =，817S =，求{}n a 的通项公式． 高二数学必修5《等比数列》练习卷 知识点：1、如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．2、在 与 中间插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列，则 称为 与 的等比中项．若 ，则称 为 与 的等比中项．3、若等比数列 的首项是 ，公比是 ，则 ．4、通项公式的变形：① ；② ；③ ；④ ．5、若 是等比数列，且 （ 、 、 、 ），则 ；若 是等比数列，且 （ 、 、 ），则 ． 同步练习：1、在等比数列 中，如果 ， ，那么 为（ ）A ．B ．C ．D ． 2、若公比为 的等比数列的首项为 ，末项为 ，则这个数列的项数是（ ） A ． B ． C ． D ．3、若 、 、 成等比数列，则函数 的图象与 轴交点的个数为（ ） A ． B ． C ． D ．不确定4、已知一个等比数列的各项为正数，且从第三项起的任意一项均等于前两项之和，则此等比数列的公比为（）A．B．C．D．5、设，，，成等比数列，其公比为，则的值为（）A．B．C．D．6、如果，，，，成等比数列，那么（）A．， B．，C．，D．，7、在等比数列中，，，则等于（）A．B．C．D．8、在等比数列中，，，则等于（）A．B．C．D．9、在等比数列中，和是二次方程的两个根，则的值为（）A．B．C．D．10、设等比数列的前三项依次为，，，则它的第四项是（）A．B．C．D．11、随着市场的变化与生产成本的降低，每隔年计算机的价格降低，年价格为元的计算机到年时的价格应为（）A．元B．元C．元D．元12、若数列为等比数列，则下列数列中一定是等比数列的个数为（）⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹A．B．C．D．13、在等比数列中，若，，则的值为（）A．B．C．或D．不存在14、等比数列中，，，则（）A．B．C．或D．或15、在等比数列中，首项，若是递增数列，则公比满足（）A．B．C．D．16、若是等比数列，其公比是，且，，成等差数列，则等于（）A．或B．或C．或D．或17、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（）A．B．C．D．18、生物学中指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约有％～％的能量能够流动到下一个营养级（称为能量传递率），在这条生物链中，若使获得的能量，则需要最多提供的能量是（）A．B．C．D．19、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（）A．B．C．D．20、数列满足，，则_________．21、若是等比数列，且，若，那么的值等于________．22、若为等比数列，且，则公比________．23、首项为的等比数列的第项是，第项是，则________．24、在数列中，若，，则该数列的通项______________．25、已知等比数列中，，，则该数列的通项_________________．26、已知数列为等比数列．⑴若，，求；⑵若，，，求．27、已知数列为等比数列，，，求的通项公式．28、若数列满足关系，，求数列的通项公式．29、有四个实数，前个数成等比数列，它们的积为，后个数成等差数列，它们的和为，求这四个数．高二数学必修5《等差数列》练习卷知识点：1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．2、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．3、若等差数列的首项是，公差是，则．4、通项公式的变形：①；②；③；④；⑤．5、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则．同步练习：1、等差数列，，，，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．2、下列四个命题：①数列，，，是公差为的等差数列；②数列，，，是公差为的等差数列；③等差数列的通项公式一定能写成的形式（、为常数）；④数列是等差数列．其中正确命题的序号是（）A．①②B．①③C．②③④D．③④3、中，三内角、、成等差数列，则（）A．B．C． D．4、已知，，则、的等差中项是（）A．B．C．D．5、已知等差数列，，，…，的公差为，则，，，…，（为常数，且）是（）A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列C．非等差数列D．以上都不对6、在数列中，，，则的值为（）A．B．C．D．7、是等差数列，，，…的（）A．第项B．第项C．第项D．第项8、在等差数列中，已知，，则等于（）A．B．C．D．9、在等差数列，，，…中第一个负数项是（）A．第项B．第项C．第项D．第项10、在等差数列中，已知，，则等于（）A．B．C．D．11、在和（）两个数之间插入个数，使它们与、组成等差数列，则该数列的公差为（）A．B．C．D．12、设是公差为正数的等差数列，若，，则（）A．B．C．D．13、与的等差中项是（）A．B．C．D．14、若，两个等差数列，，，与，，，，的公差分别为，，则（）A．B．C．D．15、一个首项为，公差为整数的等差数列，如果前项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是（）A．B．C．D．16、在等差数列中，若，则的值等于（）A ．B ．C ．D ．17、等差数列 中， ， ，则 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．18、设数列 是递增等差数列，前三项的和为 ，前三项的积为 ，则它的首项是（ ）A ．B ．C ．D ．19、高山上的温度从山脚起，每升高 米降低 ℃，已知山顶的温度是 ℃，山脚的温度是 ℃，则山脚到山顶的高度为（ ）A ． 米B ． 米C ． 米D ． 米20、等差数列 的公差是 ， … ，则 … _________．21、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．若数列 是等和数列，且 ，公和为 ，那么 的值为________，这个数列的通项公式 ____________________．22、在 和 之间插入 个数，使它们与 、 组成等差数列，则该数列的公差为________．23、已知数列 的公差 ， ，则 ________．24、等差数列 中， ， ，且从第 项开始每项都大于 ，则此等差数列公差 的取值范围是___________．25、等差数列 ， ， ，…的第 项的值为________．26、一个等差数列 ， ，则 ___________．27、在数列 中，若 ， ，则 __________________．28、 ， ， ， ， 是等差数列中的连续五项，则 __________， _________， ___________．29、在等差数列 中，已知 ， ，求 ， ， ， ．30、在等差数列 中，若 … ， … ，求 … ．31、已知 个数成等差数列，它们的和为 ，平方和为 ，求这 个数．高二数学必修5《不等关系与不等式》练习卷知识点：1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．2、不等式的性质： 1a b b a >⇔<；2,a b b c a c >>⇒>；3a b a c b c >⇒+>+； 4,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；5,a b c d a c b d >>⇒+>+；60,0a b c d ac bd >>>>⇒>；7()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >；8)0,1a b n n >>>∈N >．同步练习：1、已知a b >，c d >，且c 、d 不为0，那么下列不等式成立的是（ ）A ．ad bc >B ．ac bc >C ．a c b d ->-D ．a c b d +>+2、下列命题中正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-C ．若0ab >，a b >，则11a b <D ．若a b >，c d <，则a b c d> 3、下列命题中正确命题的个数是（ ）1若x y z >>，则xy yz >；2a b >，c d >，0abcd ≠，则a b c d >； 3若110a b <<，则2ab b <；4若a b >，则11b b a a ->-．A ．1B ．2C ．3D ．44、如果0a <，0b >，则下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b < B ．< C ．22a b < D ．a b >5、下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是（ ） A ．()2lg 1lg 2x x +≥ B ．212x x +> C ．2111x ≤+ D ．12x x +≥ 6、若a 、b 是任意实数，且a b >，则（ ）A ．22a b >B ．1b a <C ．()lg 0a b ->D ．1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7、如果a R ∈，且20a a +<，那么a ，2a ，a -，2a -的大小关系是（ ）A ．22a a a a >>->-B ．22a a a a ->>->C ．22a a a a ->>>-D ．22a a a a >->>- 8、若231x x M =-+，22x x N =+，则（ ） A ．M >N B ．M <N C ．M ≤ND ．M ≥N9、若2x ≠或1y ≠-，2242x y x y M =+-+，5N =-，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M >NB ．M <NC ．M =ND ．M ≥N10、不等式1222a a +>，2()2221a b a b +≥--，322a b ab +>恒成立的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 11、已知0a b +>，0b <，那么a ，b ，a -，b -的大小关系是（ ） A ．a b b a >>->-B ．a b a b >->->C ．a b b a >->>-D ．a b a b >>->-12、给出下列命题：122a b ac bc >⇒>；222a b a b >⇒>；333a b a b >⇒>；422a b a b >⇒>．其中正确的命题是（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．1413、已知实数a 和b 均为非负数，下面表达正确的是（ ）A ．0a >且0b >B ．0a >或0b >C ．0a ≥或0b ≥D ．0a ≥且0b ≥14、已知a ，b ，c ，d 均为实数，且0ab >，c d a b-<-，则下列不等式中成立的是（ ）A ．bc ad <B ．bc ad >C ．a b c d >D ．a b c d < 15、若()231f x x x =-+，()221g x x x =+-，则()f x ，()g x 的大小关系是（ ） A ．()()f x g x <B ．()()f x g x =C ．()()f x g x >D ．随x 值的变化而变化16、某一天24小时内两艘船均须在某一码头停靠一次，为了卸货的方便，两艘船到达该码头的时间至少要相差两小时，设甲、乙两船到达码头的时间分别x ，y 小时，且两船互不影响，则x ，y 应满足的关系是（ ）A ．20y x x y -≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ B ．200x y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ C ．200y x x y ->⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ D ．2024024y x x y ⎧-≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩17、某商场对顾客实行优惠活动，规定一次购物付款总额：1200元以内（包括200元）不予优惠；2超过200元不超过500元，按标价9折优惠；3超过500元其中500元按2优惠，超过部分按7折优惠，某人两次购物分别付款168元和423元，若他一次购物，应付款_______________元．18、某高校录取新生对语、数、英三科的高考分数的要求是：语文不低于70分；数学应高于80分；语、数、英三科的成绩之和不少于230分．若张三被录取到该校，设该生的语、数、英的成绩分别为x ，y ，z ，则x ，y ，z 应满足的条件是____________________________．19、用“>”“<”号填空：如果0a b c >>>，那么c a ________c b． 20、某品牌酸奶的质量规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5％，蛋白质的含量p 应不少于2.3％，写成不等式组就是____________________．21、某中学对高一美术生划定录取控制分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 不低于380分，体育成绩z 不低于45分，写成不等式组就是____________________．22、若0a b <<，且12a b +=，则12，a ，2ab ，22a b +中最大的是_______________．23、a 克糖水中有b 克糖（0a b >>），若再添进m 克糖（0m >），则糖水就变甜了，试根据事实提炼一个不等式______________________．24、已知a 、b R +∈，且a b ≠，比较55a b +与3223a b a b +的大小．25、比较下列各组中两个数或代数式的大小： 12 ()()4422a b a b ++与()233a b +． 26、已知0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e e a c b d >--．新课标数学必修5第2章数列单元试题（2）说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．已知两数的等差中项为10，等比中项为8，则以两数为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2+10x +8=0B ．x 2－10x +64=0C ．x 2+20x +64=0D ．x 2－20x +64=0考查等差中项，等比中项概念及方程思想．【解析】设两数为a 、b ，则有a +b =20，ab =64．由韦达定理，∴a 、b 为x 2－20x +64=0的两根．【答案】D2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）A ．511个B ．512个C ．1023个D ．1024个考查等比数列的简单运用．【解析】a 1=1，公比q =2．经过3小时分裂9次，∴末项为a 10，则a 10=a 1·29=512．【答案】B3．等比数列{a n }，a n >0，q ≠1，且a 2、21a 3、a 1成等差数列，则5443a a a a ++等于（ ）A ．215+B ．215-C ．251-D ．215± 考查等比数列性质及方程思想．【解析】依题意：a 3=a 1+a 2，则有a 1q 2=a 1+a 1q ，∵a 1>0，∴q 2=1+q ⇒q =251±．又∵a n >0．∴q >0，∴q =215+，5443a a a a ++=q 1=215-． 【答案】B4．已知数列2、6、10、14、32……那么72是这个数列的第（ ）项（ ）A ．23B ．24C ．19D ．25考查数列方法的灵活运用．【解析】由题意，根号里面是首项为2、公差为4的等差数列，得a n =2+（n －1）4=4n －2，而72=98，令98=4n －2⇒n =25．【答案】D5．等差数列{a n }中，S 9=－36，S 13=－104，等比数列{b n }中，b 5=a 5，b 7=a 7，则b 6等于（ ）A ．42B ．－42C ．±42D ．无法确定考查等比、等差的综合运用．【解析】S 9=－36⇒a 5=－4，S 13=－104⇒a 7=－8⇒b 6=±75a a =±42．【答案】C6．数列{a n }前n 项和是S n ，如果S n =3+2a n （n ∈N *），则这个数列是（ ）A ．等比数列B ．等差数列C ．除去第一项是等比D ．除去最后一项为等差考查数列求和及通项．【解析】S n +1－S n =（3+2a n +1）－（3+2a n ）⇒a n +1=2a n （n ≥1）．【答案】A7．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30等于（ ）A ．210B ．220C ．26D ．215考查等比数列性质的运用及转化能力．【解析】由a 1·a 30=a 2a 29=…=a 15a 16已知转化为（a 1a 30）15=230⇒a 1a 30=22又a 3·a 6·…·a 30=（a 3a 30）5=（a 1q 2·a 30）5=（a 1a 30）5·210=220．【答案】B8．若S n 是{a n }前n 项和且S n =n 2，则{a n }是（ ）A ．等比但不是等差B ．等差但不是等比C ．等差也是等比D ．既非等差也非等比考查数列概念．【解析】∵S n =n 2，S n －1=（n －1）2，S n +1=（n +1）2∴a n =S n －S n －1=2n －1，a n +1=S n +1－S n =2n +1∴a n +1－a n =2，但12121-+=+n n a a n n 不是常数． 【答案】B9．a 、b 、c 成等比数列，则f （x ）=ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定考查等比数列与二次函数知识的综合运用．【解析】由已知b 2=ac ，∴Δ=b 2－4ac =－3ac ．又∵a 、b 、c 成等比，∴a 、c 同号，∴Δ<0．【答案】A10．一房地产开发商将他新建的20层商品房的房价按下列方法定价，先定一个基价a 元/m 2，再据楼层的不同上下浮动，一层价格为（a －d ）元/m 2，二层价格a 元/m 2，三层价格为（a +d ）元/m 2，第i 层（i ≥4）价格为［a +d （32）i－3］元/m 2．其中a >0，d >0，则该商品房的各层房价的平均值为（ ）A ．a 元/m 2B ．a +101［（1－（32）17）d 元/m 2 C ．a +［1－（32）17］d 元/m 2D ．a +101［1－（32）18］d 元/m 2 考查等比数列的应用．【解析】a 4+a 5+…+a 20=17a +d321)32(13217-⎥⎦⎤⎢⎣⎡- =17a +2d ·［1－（32）17］ ∴a 1+a 2+…+a 20=20a +2d ［1－（32）17］∴平均楼价为a +101d ［1－（32）17］． 【答案】B第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内各传给未知信息的另外两人．如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为_______小时．考查等比数列求和的运用，化归迁移能力．【解析】由题意，n 小时后有2n 人得知，此时得知信息总人数为1+2+22+…+2n =2n +1－1≥55．即2n +1≥56⇒n +1≥6⇒n ≥5．【答案】512．已知a n =nn n 10)1(9+（n ∈N *），则数列{a n }的最大项为_______． 考查数列及不等式的运用． 【解析】设{a n }中第n 项最大，则有⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥+⋅≥+++--111110)1(910)1(910910)1(9n n nn n n n n n n nn ，∴8≤n ≤9 即a 8、a 9最大． 【答案】a 8和a 913．一个五边形的五个内角成等差数列，且最小角为46°，则最大角为_______．考查关于多边形内角和和等差数列的运用． 【解析】由S 5=5×46°+245⨯d =540°得d =31°∴a 5=46°+4×31°=170°． 【答案】170°14．在数列{a n }中，已知a 1=1，a n =a n －1+a n －2+…+a 2+a 1．（n ∈N *，n ≥2），这个数列的通项公式是_______． 考查数列的解题技巧．【解析】由a n =a n －1+a n －2+…+a 2+a 1=S n －1（n ≥2） 又a n =S n －S n －1=a n －1－a n∴nn a a 1+=2（n ≥2），由a 2=a 1=1∴a n =2n －2（n ≥2），∴a n =⎩⎨⎧≥=-)2( 2)1( 12n n n【答案】a n =⎩⎨⎧≥=-)2( 2)1( 12n n n三、解答题（本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分10分）数列3、9、…、2187，能否成等差数列或等比数列？若能．试求出前7项和．考查等差、等比数列概念、求和公式和运用知识的能力．【解】（1）若3，9，…，2187，能成等差数列，则a 1=3，a 2=9，即d =6．则a n =3+6（n －1），令3+6（n －1）=2187，解得n =365．可知该数列可构成等差数列，S 7=7×3+267⨯×6=147．（2）若3，9，…，2187能成等比数列，则a 1=3，q =3，则a n =3·3n －1=3n ，令3n=2187，得n =7∈N ，可知该数列可构成等比数列，S 7=31)31(37--=3279．16．（本小题满分10分）已知三个实数成等比数列，在这三个数中，如果最小的数除以2，最大的数减7，所得三个数依次成等差数列，且它们的积为103，求等差数列的公差．考查等差、等比数列的基本概念、方程思想及分类讨论的思想． 【解】设成等比数列的三个数为qa ，a ，aq ，由qa ·a ·aq =103，解得a =10，即等比数列q10，10，10q ．（1）当q >1时，依题意，q5+（10q －7）=20．解得q 1=51（舍去），q 2=25．此时2，10，18成等差数列，公差d =8．（2）当0<q <1，由题设知（q10－7）+5q =20，求得成等差数列的三个数为18、10、2，公差为－8． 综上所述，d =±8．17．（本小题满分10分）已知y =f （x ）为一次函数，且f （2）、f （5）、f （4）成等比数列，f （8）=15，求S n =f （1）+f （2）+…+f （n ）的表达式． 考查用函数的观点认识数列的能力及等比数列的求和．【解】设y =f （x ）=kx +b ，则f （2）=2k +b ，f （5）=5k +b ，f （4）=4k +b ，依题意：［f （5）］2=f （2）·f （4）．即（5k +b ）2=（2k +b ）（4k +b ）化简得k （17k +4b ）=0． ∵k ≠0，∴b =－417k ①又∵f （8）=8k +b =15 ② 将①代入②得k =4，b =－17．∴S n =f （1）+f （2）+…+f （n ）=（4×1－17）+（4×2－17）+…+（4n －17）=4（1+2+…+n ）－17n =2n 2－15n ．18．（本小题满分12分）设a n 是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，且对所有自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，求数列{a n }的通项公式．考查已知前n 项和S n 求通项a n 方法及运用等差、等比数列知识解决问题的能力．【解】∵a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，∴21（a n +2）=nS 2，即S n =81（a n +2）2当n =1时，a 1=81（a 1+2）2 a 1=2．当n ≥2时，a n =S n －S n －1=81［（a n +2）2－（a n －1+2）2］即（a n +a n －1）（a n －a n －1－4）=0又∵a n +a n －1>0，∴a n =a n －1+4，即d =4． 故a n =2+（n －1）×4=4n －2．19．（本小题满分12分）是否存在互不相等的三个数，使它们同时满足三个条件①a +b +c =6，②a 、b 、c 成等差数列，③将a 、b 、c 适当排列后，能构成一个等比数列．考查等差、等比数列性质及分类讨论思想． 【解】假设存在这样的三个数 ∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c 又a +b +c =6，∴b =2．设a =2－d ，b =2，c =2+d ．①若2为等比中项，则22=（2+d ）（2－d ） ∴d =0，则a =b =c ，不符合题意．②若2+d 为等比中项，则（2+d ）2=2（2－d ），解得d =0（舍去）或d =－6．∴a =8，b =2，c =－4．③若2－d 为等比中项，则（2－d ）2=2（2+d ），解得d =0（舍去）或d =6 ∴a =－4，b =2，c =8综上所述，存在这样的三个不相等数，同时满足3个条件，它们是8，2，－4或－4，2，8．新课标数学必修5第2章数列单元试题（3）说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25，b 1=75，a 2+b 2=100，那么由a n +b n 所组成的数列的第37项值为（ ）。
等差数列经典试题(含答案)百度文库
设等差数列的公差为d.由 得， ，整理得， .
又 ，所以 ，因此 ，
所以 最大.
故选：B.
2．B
【分析】
根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果.
【详解】
因为 为等差数列 的前 项和，公差 ， ，
所以 ，
解得 .
故选：B.
3．C
【分析】
利用等差数列性质当 时 及前 项和公式得解
【详解】
一、等差数列选择题
1．在等差数列 中， ， ，则 中最大的是（）
A． B． C． D．
2．设等差数列 的前 项和为 ，公差 ，且 ，则 （）
A．2B．3C．4D．5
3．设等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （）
A．45B．50C．60D．80
4．已知 为等差数列 的前 项和， ， ，则 （）
A． B． C． D．
是等差数列， ， ，
故选：C
【点睛】
本题考查等差数列性质及前 项和公式，属于基础题
4．B
【分析】
根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列 的通项公式可求.
【详解】
因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故选：B.
5．D
【分析】
根据等差数列的性质，可判定A、B正确；当首项与公差均为0时，可判定C正确；当首项为1与公差1时，可判定D错误.
解得 ，
所以 ．
故选：B
19．B
【分析】
由等差数列的性质可得 ，则 可得答案.
【详解】
等差数列 中,
故选：B
20．C
【分析】
由等差数列前 项和公式以及等差数列的性质可求得 ，再由等差数列的公式即可求得公差.
高二数列单元测试题及答案
高二数列单元测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 已知数列{an}是等差数列，且a3=5，a5=9，则a7的值为：A. 13B. 11B. 9D. 72. 等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，求该数列的第5项b5：A. 486B. 243C. 81D. 1623. 已知数列{cn}的前n项和S(n)=n^2，求第5项c5：A. 14B. 15C. 16D. 174. 若数列{dn}满足d1=1，且对于任意的n≥2，有dn=2dn-1+1，该数列为：A. 等差数列B. 等比数列C. 非等差也非等比数列D. 几何数列5. 对于数列{en}，若e1=2，且en+1=en+n，求e5的值：A. 12B. 14C. 16D. 18二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知数列{fn}是等差数列，且f1=3，f3=9，求公差d。
__________7. 已知数列{gn}是等比数列，且g1=8，g3=64，求公比q。
__________8. 若数列{hn}的前n项和S(n)=n^2+n，求第3项h3。
__________9. 已知数列{in}满足i1=1，且对于任意的n≥2，有in=in-1+n，求i3的值。
__________10. 若数列{jn}的前n项和S(n)=n^3，求第2项j2。
__________三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知数列{kn}是等差数列，首项k1=1，公差d=2，求数列的前10项和S(10)。
12. 已知数列{ln}是等比数列，首项l1=1，公比q=4，求数列的前5项和S(5)。
13. 已知数列{mn}的前n项和S(n)=2n^2-n，求数列的第n项mn。
四、综合题（每题25分，共25分）14. 某工厂生产的产品数量按照等差数列增长，若第1年生产100件，每年增长50件。
求第5年的产量，并求前5年的总产量。
答案：一、选择题1. A2. C3. B4. A5. B二、填空题6. d=27. q=48. h3=109. i3=510. j2=9三、解答题11. S(10)=10×1+(10×9)/2×2=11012. S(5)=1+4+16+64+256=34113. mn=2n^2-n-1四、综合题14. 第5年产量为100+4×50=250件，前5年总产量为100+150+200+250+300=1000件。
等比数列经典试题(含答案) 百度文库
【点睛】
思路点睛：
（1）先利用等比数列的性质，得 ，
（2）通分化简 .
20．D
【分析】
利用已知条件列出方程组求解即可得 ，求出数列{an}的通项公式，再利用错位相减法求和即可.
【详解】
设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，
所以由题设得 ，
两式相除得1+q3=9，解得q=2，
进而可得a1=1，
9．A
【分析】
分析出 ，再结合等比中项的性质可求得 的值.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，则 ，
由等比中项的性质可得 ，因此， .
故选：A.
10．A
【分析】
根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案.
【详解】
等比数列 的前n项和为 ，当 时，
，
因为 与 同号，
所以 ，
所以 ，
当 时，
，
所以 ，
所以 ，
【详解】
因为对任意的 ，都有 ，
所以令 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，解得n=5，
故选：C
15．B
【分析】
由 ，解得 ，然后由 求解.
【详解】
在等比数列 中， ，
所以 ，即 ，
解得
所以 ，
故选：B
【点睛】
本题主要考查等比数列通项公式和前n项和公式的基本运算，属于基础题,
A．1B． C．2D．
5．已知数列 满足 ， .设 ， ，且数列 是单调递增数列，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
6．等比数列 中 ，且 ， ， 成等差数列，则 的最小值为（）
高中数学选择性必修二 专题21 数列(单元测试卷)(含答案)
专题21 《数列》单元测试卷一、单选题1．（2020·安徽师范大学附属中学高一期中）若数列{}n a 满足1n n n a a +-=，12a =，则4a =（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】A 【解析】因为1n n n a a +-=，12a =，所以2113a a =+=，3225a a =+=，4338a a =+=. 故选：A.2．（2020·巴楚县第一中学高二期中（文））数列-1，3，-5，7， -9， 11，x ，15， -17…中的x 等于（ ） A ．12 B ．-13C ．14D ．-15【答案】B 【解析】记该数列为{}n a .观察数列，可得1234562a a a a a a +=+=+==，152,13x x ∴+=∴=-.故选：B .3．（2020·合肥市第十一中学高一期中）已知数列{}n a 中，13n n a a +=，12a =，则4a 等于( ) A ．18 B ．54C ．36D ．72【答案】B 【解析】数列{}n a 中，13n n a a +=，12a =，∴数列{}n a 是等比数列，公比3q =．则342354a =⨯=． 故选：B ．4．（2020·北京五十五中高二月考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，2d =，则当n S 取最小值时，n 等于( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】A 【解析】依题意()11213n a a n d n =+-=-，由2130n -≤得136.52n ≤=，由于*n N ∈，所以6n =时，n S 取最小值. 故选：A5．（2020·新疆维吾尔自治区高三其他（理））《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度（ ） A ．5.5尺 B ．4.5尺C ．3.5尺D ．2.5尺【答案】A 【解析】设等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ， 根据题意得14713931.5a a a a d ++=+=， 9193685.5S a d =+=，解得113.5,1a d ==-， 所以918 5.5a a d =+=. 故选：A6．（2020·安徽省高三一模（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =-，则5a 的值为（ ） A ．8 B ．16C ．32D ．81【答案】B 【解析】当1n =时，11121a S a ==-，解得11a =，当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-即12n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，公比为2q的等比数列，所以45116a a q ==.故选：B.7．（2019·全国高二期中（文））设数列{}n a 的首项11a =，且满足212121n n a a +-=+，2211n n a a -=+，则数列{}n a 的前20项和为( ). A ．2032 B ．2033C ．4082D ．4086【答案】C 【解析】由212121n n a a +-=+得212112(1)n n a a +-+=+，∴数列{}211n a -+为等比数列，首项为2，又数列{}21n a -的前10项恰为数列{}n a 的前20项中的奇数项，其和为()1022110203621--=-，又2211n n a a -=+，由数列{}211n a -+为等比数列，∴数列{}n a 的前20项中的偶数项和为()10221204621-=-，则S 20＝203620464082+=． 故选：C ．8．（2019·全国高二期中（文））已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为（ ）A ．B ．C ．2D ．3【答案】D 【解析】设等比数列公比为当时，，不符合题意，当时，，得，又，由，得，，故选D.二、多选题9．（2020·江苏省如皋中学高一开学考试）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，满足1263a a S +=，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．70a = B ．130S =C ．7S 最小D ．58S S =【答案】ABD 【解析】因为{}n a 是等差数列，1263a a S +=所以()1115361d a d a a +=++，所以12120a d += 即160a d +=，即70a = 所以137130S a ==67878530a a S S a a -=++==所以正确的有ABD 故选：ABD10．（2020·河北省沧州市一中高一月考）已知数列的前n 项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）A ．数列的前n 项和为B ．数列的通项公式为C ．数列为递增数列D ．数列为递增数列【答案】AD 【解析】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；所以，即A 正确；当时所以，即B ，C 不正确；故选：AD11．（2020·河北省高一期中）在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若 1418a a +=， 2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】ABC 【解析】∵1418a a +=，2312a a +=且公比q 为整数，∴31118a a q +=，21112a q a q +=，∴12a =，2q或12q =（舍去）故A 正确， ()12122212n n n S +-==--，∴8510S =，故C 正确；∴122n n S ++=，故数列{}2n S +是等比数列，故B 正确；而lg lg 2lg 2nn a n ==，故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故D 错误．故选：ABC.12．（2020·江苏省如皋中学高一月考）已知数列{}n a 不是常数列，其前n 项和为n S ，则下列选项正确的是（ ）A ．若数列{}n a 为等差数列，0n S >恒成立，则{}n a 为递增数列B ．若数列{}n a 为等差数列，10a >，310S S =，则n S 的最大值在6n =或7时取得C ．若数列{}n a 为等比数列，则202120210S a ⋅>恒成立D ．若数列{}n a 为等比数列，则{}2na 也为等比数列.【答案】ABC 【解析】对于A ：若数列{}n a 为等差数列，0n S >恒成立，则公差0d >，故{}n a 为递增数列，故A 正确； 对于B ：若数列{}n a 为等差数列，10a >，设公差为d ，由310S S =，得113210931022a d a d ⨯⨯+=+，即16a d =-，故()7n a n d =-， 所以，当7n ≤时，0n a ≥，70a =，故n S 的最大值在6n =或7时取得，故B 正确； 对于C ：若数列{}n a 为等比数列，则()202120211202022020202120211111011a q q S a a qa qqq--⋅=⋅⋅=⋅⋅>--恒成立，故C 正确； 对于D ：若数列{}n a 为等比数列，则1122n n a a q -⋅=，所以()11112222n n n n n na a q q a a a +-+⋅--==不是常数，故{}2n a不是等比数列，故D 错误.故选：ABC. 三、填空题13．（2020·北京五十五中高二月考）等比数列{a n }的前n 项和为n S ．已知142,2a a ==-，则{a n }的通项公式n a =____， 9S =____． 【答案】12(1)n -⨯- 2【解析】9314912(1(1))112(1), 2.1(1)n n a q q a S a ---==-⇒=-⇒=-==--14．（2020·辽宁省高三二模（理））已知数列{}n a 为等差数列，125,,?a a a 成公比不为1的等比数列，且94a =，则公差d =_____. 【答案】817【解析】由数列{}n a 为等差数列，1a ，2a ，5a 成公比不为1的等比数列，可得2125a a a =，即2111(4)()a a d a d +=+，且0d ≠，化为12a d =，由94a =，可得184a d +=， 解方程可得1417a =，817d =， 故答案为：817． 15．已知等差数列{}n a 的公差3240,3,5d a a a >=-=，记{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为_____. 【答案】16- 【解析】设数列{}n a 的首项为1a ，由题意得123,(3)(3)5,a d d d +=-⎧⎨--⋅-+=⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩所以72(1)29n a n n =-+-=-；由290n -≥，解得92n ，所以450,0a a <>，所以n S 的最小值为4753116S =----=-.故答案为：16-.16．（2020·全国高三其他（理））已知{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，且59a =，则数列{}n a 的前n 项和为______． 【答案】2n 【解析】设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，则194S d =-，2187S d =-，43610S d =-，2214S S S =⋅，所以2(187)(94)(3610)d d d -=--，整理得29180d d -=．0d ≠，2d ∴=．5149a a d =+=，则11a =，21(1)2n n n S na d n -=+=． 故答案为：2n 四、解答题17．（2020·河北省高三其他（理））设等差数列{a n ﹣b n }的公差为2，等比数列{a n +b n }的公比为2，且a 1＝2，b 1＝1．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{2a n +2n }的前n 项和S n ． 【答案】（1）21(21)322n n a n -=-+⨯，（2）2525n n S n =+⨯- 【解析】（1）111a b -=，113a b +=，∴12(1)21n n a b n n -=+-=-，132n n n a b -+=⨯.联立解得：21(21)322n n a n -=-+⨯. （2）1122(21)322(21)52n n n n n a n n --+=-+⨯+=-+⨯ ∴数列{22}nn a +的前n 项和2(211)125525212nn n n n S n -+-=+⨯=+⨯--.18．（2019·全国高二期中（文））n S 为正项数列{}n a 的前n 项和．已知222n n n a a S +=+,(1)求{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和． 【答案】（1）1n a n =+；（2）2(2)nn +【解析】(1)由222n n n a a S +=+，①可知211122n n n a a S ---+=+②②－①，得()()11+10n n n n a a a a ----= 由0n a >，得11n n a a --=又211122a a a +=+，解得11a =- (舍去)或12a =.所以{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，通项公式为1n a n =+. (2)由1n a n =+可知11n n n b a a +=＝111(1)(2)12n n n n =-++++ 设数列{}n b 前n 项和为n T ， 则n 12...n T b b b =+++＝111111233412n n -+-++-++ ＝11222(2)n n n -=++. 19．（2019·全国高三二模（文））已知数列{}n a 的前n 项和为,239n n n S S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()31log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）13n n a +=；（2）,23,2n nn T n n ⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数为奇数 【解析】（1）当1n =时，11239S a =-.因为11S a =，所以11239a a =-，所以19a =. 因为239n n S a =-，所以11239n n S a ++=-.两式相减，得11233n n n a a a ++=-，即13n n a a += 又因为19a =，所以0n a >.所以数列{}n a 是以9为首项，3为公比的等比数列. 所以11933n n n a -+=⨯=.（2）由（1）可知()()()31log 11nnn n b a n =-=-+故当n 为偶数时，()()()234512n n T n n ⎡⎤=-++-++⋯+-++=⎣⎦ 当n 为奇数时，()()()()()123451112n n T n n n n -⎡⎤=-++-++⋯+--+-+=-+⎣⎦ 32n +=-所以,23,2n nn T n n 为偶数为奇数⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩ 20．（2020·黑龙江省铁人中学高一期中）已知公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，且139,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1) n a n =;(2) 1(1)222n n n n S ++=-+. 【解析】（1）设数列{}n a 公差为d139,,a a a 成等比数列2319a a a ∴=()()212118d d ∴+=⨯+0d ∴=（舍）或1d =n a n ∴=.（2）令22n ann b n n =+=+123n n S b b b b ∴=++++()()()()1232122232n n =++++++++ ()()()()12322221232121122n n n n n =+++++++++-+=+- ()11222n n n ++=-+ ()11222n n n n S ++∴=-+.21．（2020·毕节市实验高级中学高二期中（文））已知数列{}n a 的首项123a =，112n n n n a a a a +++=*(0,)n a n ≠∈N .（1）证明：数列1{1}na -是等比数列； （2）数列{}nn a 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见详解；（2）()12222n n n n n S ++=-+ 【解析】（1）()*1120,n n n n n a a a a a n N +++=≠∈， 111111222n n n na a a a ++∴==+⋅， 1111112n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭， 又123a =，11112a ∴-=， ∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12首项，12为公比的等比数列.（2）由（1）知111111222n n n a --=⋅=， 即1112n n a =+， 2n n n n n a ∴=+. 设231232222n n n T ，① 则231112122222n n n n n T +-=++++，② 由①-②得21111122222n n n n T +=+++-=111111*********n n n n n n ++⎛⎫- ⎪⎝⎭-=---， 11222n n n n T -∴=--.又()11232n n n +++++=. ∴数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()12222n n n n n S ++=-+. 22．（2017·浙江省高三其他）已知数列{}n a 中，()*1111n n n n a a n n a a N +++-=-∈+，26a =． ()1求1a ，3a ，4a ﹔()2猜想n a 的表达式并给出证明； ()3记12111n n S a a a =+++，证明：32n S <． 【答案】()111a =，315a =，428a =；()2()21n a n n =⋅-，证明见解析；()3证明见解析.【解析】()11n =时，2112111611161a a a a a a +-+-==-+-+，11a =； 2n =时，3232121a a a a +-=-+，315a =；3n =时，4343131a a a a +-=-+，428a =， 11a ∴=；315a =；428a =． ()2猜想()21n a n n =⋅-． 证明：①1n =时，()112111a =⨯⨯-=成立， 2n =时，2236a =⨯=成立； ②不妨设()2n k k =≥时成立，即()21k a k k =⋅-， 下证1n k =+时成立，即证()()11211k a k k +=+⋅+-⎡⎤⎣⎦()()121k k =++． 由题意，()()111121111211k k k k k k a k k a a k a a a k k +++++⋅--+-==-+-⋅-+， 32211221k k a k k k k k a k ++-∴++=+--， ()32211221k k a k k k k k +∴-=--+--32221k k k =+--()()()1121k k k =-++， 10k ->，()()1121k a k k +∴=++，即1n k =+时成立， ()21n a n n ∴=⋅-．()3当1n =时，312n S =<； 当2n ≥时，()()1112122n a n n n n =<--()1121n n =⨯-11121n n ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， 1111111122231n S n n ⎛⎫<+-+-++- ⎪-⎝∴⎭1131122n ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭．。
2019-2020年高中数学数列版块二等差数列等差数列的通项公式与求和完整讲义(学生版)
2019-2020年高中数学数列版块二等差数列等差数列的通项公式与求和完整讲义（学生版）典例分析【例1】等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【例2】数列的前项和，求它的通项公式．【例3】数列的前项和，，则数列的前项和_______.【例4】数列的前项和，则_______.【例5】设等差数列的前项的和为，且，，求.【例6】设等差数列的前项的和为，且，，求.【例7】有两个等差数列，，其前项和分别为，，若对有成立，求．【例8】在等差数列中，，，为前项和，⑴求使的最小的正整数；⑵求的表达式.【例9】 等差数列的前项和为，前项和为，则它的前项和为_______．【例10】 等差数列中，，，问数列的多少项之和最大，并求此最大值．【例11】 已知二次函数()()222103961100f x x n x n n =+-+-+，其中．⑴ 设函数的图象的顶点的横坐标构成数列，求证：数列为等差数列；⑵ 设函数的图象的顶点到轴的距离构成数列，求数列的前项和．【例12】 等差数列前项的和为，其中，项数为奇数的各项的和为，求其第项及公差．【例13】 设等差数列的公差为,，且，求当取得最大值时的值．【例14】 已知等差数列中，，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【例15】已知是等差数列，且，，求数列的通项公式及的前项和．【例16】在各项均不为0的等差数列中，若，则等于（）A．B．C．D．【例17】设数列满足，，，且数列是等差数列，求数列的通项公式．【例18】已知22=-+++-，f x x n x n n()2(1)57⑴设的图象的顶点的纵坐标构成数列，求证为等差数列．⑵设的图象的顶点到轴的距离构成，求的前项和．【例19】已知数列是等差数列，其前项和为，．⑴求数列的通项公式；⑵设是正整数，且，证明．【例20】在等差数列中，，，为前项和，⑴求使的最小的正整数；⑵求的表达式.【例21】有固定项的数列的前项和，现从中抽取某一项（不包括首相、末项）后，余下的项的平均值是．⑴求数列的通项；⑵求这个数列的项数，抽取的是第几项．【例22】 已知23123()n n f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，成等差数列(为正偶数)．又，，⑴求数列的通项；⑵试比较与的大小，并说明理由．【例23】 设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足则的取值范围是 ．【例24】 设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于（ ）A ．B ．C ．D ．【例25】 在等比数列中，若公比，且前项之和等于，则该数列的通项公式 ．【例26】 已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．⑴求数列的通项；⑵求数列的前项和．【例27】 已知数列满足，，且对任意，都有22121122()m n m n a a a m n +-+-+=+-⑴求，；⑵设证明：是等差数列；⑶设，求数列的前项和．【例28】设等差数列的前项和为，，则等于（）A．10 B．12 C．15 D．30【例29】已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是（）A． B． C． D．【例30】若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（）A．B．C．D．【例31】已知等差数列，等比数列，则该等差数列的公差为（）A．或 B．或 C． D．【例32】已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的最小自然数等于（）A． B． C． D．【例33】等差数列中，，，此数列的通项公式为，设是数列的前项和，则等于．【例34】设集合由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数，使．（为正整数）⑴在只有项的有限数列，中，其中，，，，，，，，，；试判断数列，是否为集合的元素；⑵设是等差数列，是其前项和，，证明数列；并写出的取值范围；⑶设数列，且对满足条件的常数，存在正整数，使．求证：．【例35】 已知数列满足：，21221,12,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，．⑴求的值；⑵设，，求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；⑶对任意的，，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列；若不存在，说明理由．2019-2020年高中数学数列的概念与简单表示”课堂实录一、教学目标：知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
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等差（等比）数列
1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35·12a a =，20a =.若10a >，则20S = A ．420
B ．340
C ．−420
D ．−340
【答案】D
2．在等比数列{}n a
中，若2a =
，3a =115
721
a a a a +=+
A ．1
2 B ．
23
C ．3
2
D ．2
【答案】A
3．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，且456718a a a a +++=，则下列命题正确的是 A ．5a 是常数 B ．5S 是常数 C ．10a 是常数
D ．10S 是常数
【答案】D
4．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和.若13135,4a a a a +==，则6S = A ．31 B ．32 C ．63
D ．64
【答案】C
5．等比数列{}n a 中，已知对任意自然数n ，12321n n a a a a +++
+=-，则
222
2
123n a a a a +++
+等于
A ．21n
- B ．
()
1312
n
- C ．
()
1413
n
-
D ．以上都不对
【答案】C 6．等差数列中，已知，且公差，则其前n 项和取最小值时n 的值为 A ．6 B ．7 C ．8
D ．9
【答案】C
7．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1632a a a =,4a 与62a 的等差中项为
3
2
，则5S =
A ．36
B ．33
C ．32
D ．31
【答案】D
8．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还a 升， b 升，c 升，1斗为10升.则下列判断正确的是
A ．,,a b c 依次成公比为2的等比数列，且507a =
B ．,,a b c 依次成公比为2的等比数列，且50
7
c =
C ．,,a b c 依次成公比为12的等比数列，且50
7a =
D ．,,a b c 依次成公比为12的等比数列，且50
7
c =
【答案】D
9．数列{}n a 为等比数列， 11a =且1351,4,7a a a +++成等差数列，则公差
d =__________．
【答案】3
10．对于数列{}n a ，定义数列{}12n n a a +-为数列{}n a 的“2倍差数列”，若{}12,n a a =的“2倍差数列”的通项公式为1
122
n n n a a ++-=，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________．
【答案】()1
12
2n n +-+
11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，
2210b S +=，5232a b a -=．
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2
{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T ．
【答案】（1）21n a n =+，1
2n n b -=；（2）()
2412213
n n
n -+
+. 12．正项数列{}n a 满足()()2
1121310n n n n n a a a a a ++-+-+=，11a =，数列{}n b 为等差数
列，321b a +=，313a b =. （1）求证：12n a ⎧
⎫
+
⎨⎬⎩⎭
是等比数列，并求{}n b 的通项公式； （2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）证明略，n b n =；（2）()111334884n n n n n T ++⎛⎫=-⋅+-
⎪⎝⎭
.
13． n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg 99=1，. （Ⅰ）求111101b b b ,,；
（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和.
【答案】（Ⅰ）1111010,1, 2.b b b ===（Ⅱ）1893. 14．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．
（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若531
32
S =
，求λ． 【答案】（I ）证明略，1
)1
(11---=n n a λλλ；（II ）1λ=-.。