专题32 电磁感应中的“单杆”模型(精讲)-2019年高考物理双基突破(二)

开始时 a ＝ ，杆

开始时 a ＝ ，杆 ab 速度 v ⇒

r

单杆模型是电磁感应中常见的物理模型，此类题目所给的物理情景一般是导体棒垂直切割磁感线，在

安培力、重力、拉力作用下的变加速直线运动或匀速直线运动，所涉及的知识有牛顿运动定律、功能关

系、能量守恒定律等。

1．此类题目的分析要抓住三点：

（1）杆的稳定状态一般是匀速运动（达到最大速度或最小速度，此时合力为零）。

（2）整个电路产生的电能等于克服安培力所做的功。

（3）电磁感应现象遵从能量守恒定律。如图甲，导体棒 ab 从磁场上方 h 处自由释放，当进入磁场后，

其速度随时间的可能变化情况有三种，如图乙，全过程其能量转化情况是重力势能转化为动能和电能，电

能再进一步转化为导体棒和电阻 R 的内能。

2．单杆模型中常见的情况及处理方法：

（1）单杆水平式

v 0≠0

v 0＝0

示

意

图

单杆 ab 以一定初速度

v 0 在光滑水平轨道上

滑动，质量为 m ，电阻

不计，两导轨间距为 L

轨道水平光滑，

单杆 ab 质量为

m ，电阻不计，两

导轨间距为 L

轨道水平光滑，

单杆 ab 质量为

m ，电阻不计，两

导轨间距为 L ， 轨道水平光滑，单杆 ab 质量为

m ，电阻不计，两导轨间距为 L ，

拉力 F 恒定

拉力 F 恒定

力

导体杆以速度 v 切割 S 闭合，ab 杆受

F

m F

m

学

磁感线产生感应电动

BLE

安培力 F ＝ ， ab 速度 v ⇒ 感

感应电动势 E ＝BLv ，经过 Δt

势 E ＝BLv ，电流 I ＝

此时 a ＝

，杆 ＝ ，安培力 F ＝BIL

＝

B

2L 2v ，做减速运动：

v

B 2L m ＋B 2L 2

C 2 2 mv 20

B ．整个过程中电阻 R 上产生的焦耳热为

观

点

Blv

R

R

E R

BLE

mr

ab 速度 v ⇒ 感

应电动势

BLv ⇒ I ⇒ 安

应电动势 E ＝

BLv ⇒ I ⇒ 安

培力 F 安＝

BIL ，由 F －F

速度为 v ＋Δv ，此时感应电动

势 E ′＝BL （v ＋Δv ），Δt 时间内

流入电容器的电荷量 Δq ＝

C ΔU ＝C （E ′－E ）＝

v ⇒ F ⇒ a ，当 v

培力 F ＝BIL ⇒

安 ＝ma 知 a ，当

Δq Δv CBL Δv 电流 I ＝ Δt ＝CBL Δt ＝

＝0 时，F ＝0，a ＝0，

杆保持静止

加速度 a ，当 E

＝E 时， 最大， 感

a ＝0 时，v 最大，

v m ＝

FR

2

CBLa 安 培 力 F

CB 2L 2a F －F

安

＝ BLI ＝

安

＝ m a ，a ＝

图

象

观

点

能 E

且 v m ＝BL

F 做的功一部分

电源输出的电能 转化为杆的动 F

，所以杆以恒定的加

速度匀加速运动

F 做的功一部分转化为动能，

量

观

点

动能全部转化为内

1

能：Q ＝2mv 0

转化为动能 W

1

＝2mv m

电

能，一部分产生

1 电热：W F ＝Q ＋2

一部分转化为电场能： W F ＝

mv 2＋E

C

1

2

mv 2m

【题 1】如图所示，间距为 L ，电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端用一阻值

为 R 的电阻连接，导轨上横跨一根质量为 m ，电阻也为 R 的金属棒，金属棒与导轨接触良好。整个装置

处于竖直向上、磁感应强度为 B 的匀强磁场中．现使金属棒以初速度v 0 沿导轨向右运动，若金属棒在整

个运动过程中通过的电荷量为 q 。下列说法正确的是

A ．金属棒在导轨上做匀减速运动

2

C ．整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为 mv 20

D ．整个过程中金属棒克服安培力做功为 【答案】（1） （2） 2gd （3）

两板间的电压为 U 0＝ E ＝ 3 3 qU 0 ab 杆向左匀速运动时： ＝mg ③

由①②③式得：v ＝ ④

qR

BL

2

【答案】D

【题 2】如图所示，足够长的平行金属导轨内有垂直纸面向里的匀强磁场，金属杆 ab 与导轨垂直且接

触良好，导轨右端与电路连接．已知导轨相距为 L ，磁场的磁感应强度为 B ，R 1、R 2 和 ab 杆的电阻值均为

r ，其余电阻不计，板间距为 d 、板长为 4d ，重力加速度为 g ，不计空气阻力．如果 ab 杆以某一速度向左匀

速运动时，沿两板中心线水平射入质量为 m 、带电荷量为＋q 的微粒恰能沿两板中心线射出，如果 ab 杆以

同样大小的速度向右匀速运动时，该微粒将射到 B 板距其左 端为 d 的 C 处。

（1）求 ab 杆匀速运动的速度大小 v ；

（2）求微粒水平射入两板时的速度大小 v 0；

（3）如果以 v 0 沿中心线射入的上述微粒能够从两板间射出，试讨论 ab 杆向左匀速运动的速度范围。

3mgd 21mgd 27mgd

qBL 8qBL 8qBL

【解析】（1）设 ab 杆匀速运动的速度为 v ，则 ab 杆产生的电动势为 E ＝BLv ①

1 BLv ②

d

3mgd

qBL

（2）ab 杆向右匀速运动时，设带电微粒射入两极板时的速度为 v 0，向下运动的加速度为 a ，经