第四章 拉普拉斯方程的格林函数法

v
2v 0, v n | 0
v
4.2 格 林 公 式
在第一格林公式中取 u v u1 u2 , 由 v 是调和
函数，可得
0
v
v n
dS
grad v grad v
dV
在两种边界条件下，都有
v v dS 0, n
所以
2
grad v dV 0.
故在 内必有 grad v 0
边界条件:
1） 第一边值问题
u 0 ()
u | f .
狄利克雷(Direchlet)问题 2)第二边值问题
u 0 ()
u f n
纽曼(Neumann)问题
4.2 格 林 公 式
4.2 格 林 公 式
高斯公式：设 是以光滑曲面为边界的有界区
域，Px, y, z， Qx, y, z ，Rx, y, z 在闭域 上连
1 r
1 r
u n
dS
4
u
4
u n
0
4.2 格 林 公 式
令 0, 则
lim 0 u uM0
于是
lim
0
4
u n
0
u
M
0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
4.2 格 林 公 式
4)平均值公式
设函数 uM 在某区域 内是调和函数, M 0 是
内任一点,
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
设 u ux, y, z 满足拉普拉斯方程
2u 2u 2u 0,
x2 y 2 z 2 描述稳恒状态下的物理过程。 通常表示成
2u 0
不存在初始条件.
拉普拉斯方程的解称为调和函数
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
这需要引入格林函数的概念.
n
4.3 格林函数
设 u, v 为 内的调和函数并且在 上
有一阶连续偏导数，利用第二格林公式
(u2v v2u)dV
(u
v n
v
u n
)dS
可得
0
(u
v n
v
u n
)dS
与
uM
0
1
4
相加得
uM
n
1 rM 0 M
1 rM 0 M
uM
n
dS
uM0
u
v
1
K
表示以
a
M0
为中心,
a 为半径且完
全落在 内的球面, 则有
u M0
1
4 a2
Ka
udS
4.3 格林函数
4.3 格林函数
调和函数的积分表达式
u
M
0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问题的解 ？
为得到狄利克雷问题的解, 必须消去 u ,
n 4
1 n rM0M
1
4rM
0
M
v
u n
dS
4.3 格林函数
r 如果能找到调和函数
式意味着
v
,
使得
v |
4
1
M0M
,
那么上
uM0
u
v
n
1
4
1 n rM0M
dS
u
n
4
1 rM 0M
x
y
Rx, y, z u v
z
则 P,Q, R C C1
将 P, Q, R 代入高斯公式，等式右端
u
v x
cபைடு நூலகம்
osn,
x
v y
c
osn,
y
v z
c
osn,
z
dS
u v dS n
u, v 交换4.2 格 林 的公 式位置, 有
P Q R
xv2yudVz
dV
v u dS
grad v grad u dV
所谓调和函数的积分表达式, 是指用调和函数及其在 区域边界 上的法向导数沿 的积分来表达调和函数 在 内任一点的值.
4.2 格 林 公 式
设 M 0 x0 , y0 , z0 是 内一固定点, 下面求调和
函数在这一点的值.
为此构造一个辅助函数
1
1
v
r x x0 2 y y0 2 z z0 2
续,在 内有一阶连续偏导数，则
P x
Q y
R z
dV
P
cos n,
x
Q cosn,
y
R
cos n,
z
dS
其中n 为 的外法向量。
高斯公式可简记为
adV
a
ndS
4.2 格 林 公 式
设 u ux, y, z,v vx, y, z 满足
u, v C1 C 2
令 Px, y, z u v Qx, y, z u v
两式相减, 得 n
u x
v x
u
2v x 2
dV
u y
v y
u
2v y 2
dV
u v u 2v dV z z z 2
u x
(uxv2vuyyvv 2uuz )dvz VdV
(uu
2vv
x 2
n
vy2v2unz)2v2dSdV
gradu grad v dV u2vdV 第二格林公式
可以证明函数
1 r
除点
M0
外处处满足拉普拉斯
方程, 它称为三维拉普拉斯方程的基本解.
4.2 格 林 公 式
为了利用格林公式，我们在
内挖去
M
的球形邻
0
域K ,
是其球面.
在区域
K
内及其边界
上， v 1 是任意可导的。
r
在第二格林公式中, 取u为调和函数, 假定它在
上有一阶连续偏导数, 而取v 1 , 在区域 K 上应 r
所以
u2vdV
u
v n
dS
grad u grad v dV
第一格林公式
4.2 格 林 公 式
1) 牛曼内问题有解的必要条件
设 u 是在以 为边界的区域 内的调和函数,
在 上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式
中取 u 为上述调和函数, 所以牛曼内问题( u
v
f
)有1,解则的有必要 条un 件dS为函0.数
用公式得
K
u2
1 r
1 r
2u
dV
u
1 r
n
1 r
u n
dS
4.2 格 林 公 式
在球面 上
1/ r
n
1/ r
r
1 r2
1
2
因此
1/ r
u
dS
1
udS 1 u 4 2 4 u
r
2
2
同理可得 因此
1 r
u n
dS
1
u n
dS
4
u n
u
n
f
满足
n
fdS 0
事实上, 这也是牛曼内问题有解的充分条件.
4.2 格 林 公 式
2) 拉普拉斯方程解的唯一性问题
设 u1, u2 是拉普拉斯方程定解问题的两个解，则
它们的差 v u1 u2 必是原问题满足零边界条件的解.
对于狄利克雷问题，v 满足
2v 0, v | 0 对于牛曼问题, v 满足
,即
v v v 0 x y z
可得 v C ，其中 C为常数.
4.2 格 林 公 式
对于狄利克雷问题, 由于 v | 0 , 故 C 0
从而 v 0 .
结论
狄利克雷问题在 C1 C2
内的解是唯一确定的, 牛曼问题的解在相差一个常数下也 是唯一确定的.
4.2 格 林 公 式
3) 调和函数的积分表达式