正比例函数、一次函数和反比例函数知识点归纳

正比例函数、一次函数和反比例函数知识点归纳

正比例函数：

解析式：y=kx（k为常数，k工0） ,k叫做函数的比例系数;（注意：x的指数为1）图像：过原点的直线；

必过点：（0,0 ）和（1，k）；

走向：k>o,图像过一三象限，k<0,图像过二四象限；

y y

K>0k<0

/ \0

O

J

x IV x

倾斜度：|k|越大，倾斜度越大，也就是越靠近y轴，|k|越小，倾斜度越小,

也就是越靠近x轴；如图：y

y=2x

/

/y=x

O y

x

增减性：k>O,y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小；

一次函数：

解析式：y=kx+b（k，b为常数，k^ 0），k叫做函数的比例系数,（注意：x的指数为1,b为直

线与y轴交点的纵坐标）；

正比例函数是一次函数的特殊情况，即b=0时的一种情况；

图像：一条直线；

必过点：（0，b）（-b/k，0）；

走向：k>o, b>0,图像过一二三象限，k>0,b<0,图像过一三四象限;

y y

k>0,b<0

O O /

x x

倾斜度：|k|越大，倾斜度越大，也就是越靠近y轴，|k|越小，倾斜度越小，也就是越靠近x轴；如图：y

y=2x /

F y=x

k>0,b>0

k0,图像过一二四象限k0,图像过二三四象限

增减性：k>O,y 随x 的增大而增大；k<0, y 随x 的增大而减小；

平移：y=kx+b,向上平移 m 个单位：y=kx+b+m;向下平移 n 个单位：y=kx+b-n;

向左平移 m 个单位：y=k （x+m ）+b;向右平移 n 个单位：y=k （x-n ）+b;

简称：上加下减，左加右减；

（注：上加下减到代数式后面，左加右减到

x 后面，直接与x

进行加减，与系数和指数都没关系）

；

反比例函数：

解析式：y=k/x （k 为常数，k z 0） 图像：双曲线（图像无限靠近坐标轴, 所在象限：k>0图像经过一三象限；

增减性：k>0,y 随x 的增大而减小；k<0,y 随x 的增大而增大;

反比例函数知识点归纳

1、基础知识

（一）反比例函数的概念

但永不相交。

）

k<0图像经过二四象限。

y

y

k>0

■

O

x

k<0

JF

O

x

i.尸蓝（2°）可以写成1°）的形式，注意自变量x的指数为-1,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数上疋0这一限制条件；

y二—

2/ ）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；

_ k

3.反比例函数'—盂的自变量“°，故函数图象与x轴、y轴无交点.

（二）反比例函数的图象

在用描点法画反比例函数尤的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）.

（三）反比例函数及其图象的性质

k

y ——

1.函数解析式：X（上¥°）

2.自变量的取值范围：-='■

3.图象：

（1）图象的形状：双曲线.

阀越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直. 鬧越小，图象的弯曲度越大.

（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线.

当;时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大 而减小；

当丘＜°时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大 而增大.

（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（-丄， 图象关于直线」 '■对称，即若（a ，b ）在

线的一支上，贝U （占，圧）和（~色，一曲）在双

的另一支上.

4. k 的几何意义

如图1,设点P （a ，b ）是双曲线 “上任意一点，作PALx 轴于A 点，PB 丄y 轴于B 点，则矩形PBOA 勺面积是引（三角形PAC 和三角形PBO 勺面积都是空）.

如图2,由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作 QC L PA 的延长线于C,则有三角形PQC 勺面积为十.

-匕）在双曲线的另一支上.

双曲 曲线

5.说明：

(1)双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个

(2)直线「一厂产与双曲线，‘的关系：

当広站c。时，两图象没有交点；当匕 3°时，两图象必有两个交点, 且这两个交点关于原点成中心对称.

(3)反比例函数与一次函数的联系.

(四)实际问题与反比例函数

1.求函数解析式的方法：

(1)待定系数法；(2)根据实际意义列函数解析式.

2.注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上.