垂直位置关系

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

【经典习题演练场】

1．设直线、、与平面，判断下列结论是否正确．

⑴若，，，则；

⑵若，，，则；

⑶若，，则；

2.如图，已知ΔABC中，∠ACB=900，C为平面外一点，AB在内，CA、CB分别与平面30,45的角，，，O、D为垂足，CO=2．求：

成00

⑴CD的长；

⑵CD和平面所成的角的大小．

3.如图所示，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD, 连接PA、PB、PC,在平面PAB、平面PBC、平面PCB、平面PDA和平面ABCD中，哪些平面互相垂直，为什么？

4.如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，使∠BDC为直角．求证：平面ADB⊥平面BDC, 平面ADC⊥平面BDC．

5.垂直于三角形两边的直线与三角形所在的平面的位置关系是（）

A. 垂直

B. 斜交

C. 平行

D. 不能确定

6.设直线l在平面外，并且l与内的两条直线都垂直，则l和的位置关系是（）

A. 垂直

B. 平行

C. 斜交

D. 上述都有可能

7.如果一条直线垂直于一个梯形的两条边，那么这条直线与这个梯形所在平面的位置关系是（）

A. 垂直

B. 相交

C. 斜交

D. 上述都有可能

8.如图所示，如果PA⊥平面ABC，BC⊥AC，试证：BC⊥面PAC，面PBC⊥面PAC

9.如图，直角三角形ABC在平面α内，D是斜边AB的中点，AC=6cm,BC=6cm,EC⊥α,EC=12cm,求EA，EB，ED的长。

10.如图所示，在0

45的二面角l αβ--的一个面β内有一个已知点A ，它到另一个面的距离为5cm ，求点A 到棱l 的距离。

【解题要点】1.在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．

2.应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”。

【思维导图】

面面垂直的性质是线线垂直的判定

参考答案

1.⑴ 答案: 正确．解：因为 ，，所以，又因为 ，所以 ． ⑵ 答案: 正确. 解：因为 ，，所以

，又因为

，所以

．

⑶ 答案: 错误. 解：因为，

，则直线与平面可能垂直、可能平行也可能相

交．

2.解： ⑴ 因为C 为平面α外一点，AB 在α内，CA 、CB 分别与平面α成0

30、0

45的角，

CO α⊥，O 为垂足，2CO =，所以AC=2CO=4

，BC =

AB =，

又0

90ACB ∠=，OD ⊥AB

，所以AC BC CD AB =

==

g ； ⑵ 由（1）知，∠CDO 为CD 和平面α所成的角，

所以sin 2

CO CDO CD ∠=

==

于是0

60CDO ∠=．

3.解： 因PD ⊥平面ABCD ，直线在平面PDC ，PDA 内，所以平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDA ⊥平面ABCD ，又ABCD 是正方形，所以∠CDA 是直角，所以CD ⊥PDA ，因此，平面PDC ⊥平面PDA.

4.解：因AD 为等腰直角三角形ABC 斜边上的高，所以AD ⊥BD ，AD ⊥DC ，又BD ，DC 交于点D 且在平面BDC 内，因此AD ⊥平面BDC ，又平面ADB ，平面ADC 经过AD ，因此平面ADB ⊥平面BDC ，平面ADC ⊥平面BDC.

5.A （提示：三角形的两边是两条相交直线，根据直线与平面垂直的判定方法可判定.）

6.D （提示：与两条相交直线都垂直才能判断出垂直，如果与两条平行直线垂直，无法判定关系.）

7.D （提示：因为当直线同时垂直于梯形的两底时，这条直线可能在平面内，也可

能与平面平行，还可能与平面相交（可能垂直也可能不垂直）；当直线同时垂直于梯形的两条邻边或两腰时，这条直线与这个平面垂直． ）

8.解: 如图,PA ABC ⊥平面，BC ABC ⊆平面，所以BC PA ⊥．又因为,BC AC AC PA A ⊥=I ，

因此BC 与平面PAC 垂直．又因为BC 在平面PAC 内，所以平面PBC 与平面PAC 垂直． 9. 解:因为EC α⊥，直角三角形ABC 在平面α内，所以EC AC ⊥、EC BC ⊥、EC DC ⊥； 又因为12,6EC cm AC cm ==，所

以)cm EA ；同理

()

cm EB =；又D 是斜边AB 的中点，所以152CD AB =

=,

于是()13cm ED ．

10. 解: 设二面角l αβ--为45︒的二面角，点A 在β内，AB α⊥，则5AB cm =， 在α内作BC l ⊥于C ，联结AC ，则AC l ⊥,AB BC ⊥，AC 即为点A 到棱l 的距离,

且45ACB ∠=︒，所以)cm AC ==．