第一节 勾股定理-学而思培优

第一节 勾股定理

二、核心纲要

1.勾股定理

如果直角三角形两直角边长分别为a 、b,斜边长为c ，那么.222C b a =+即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

注：(1)如右图所示，直角三角形中较短的直角边是勾，较长的直角边是股，斜边是弦．

(2)勾股定理只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形．

(3)为方便应用勾股定理进行计算，常将2

22c b a =+进行如下变形： ;222b c a -=①;222a c b -=②;22b c a -=③;22a c b -=④.2b a c +=⑤

(4)勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： ①已知直角三角形的两边求第三边；

②已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的边；

③证明三角形中的某些线段的平方关系；

④作长为n 的线段．

2．勾股定理的证明

勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化进行证明的，体现了数形结合 的思想．

(1)证法一：赵爽的“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”）

右图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a 、b(b>a)，斜边为c ，中间是正方形，且边长为b-a ．

∵ 以c 为边的大正方形的面积为,2c 而4个直角三角形的面积和为,2

14ab ⨯

中间的小正方形的面积为,)(2

a b - .)(2

1422a b ab c -+⨯=∴即.222c b a =+ (2)证法二：邹元治的证明

右图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，中间是正方形，且边长为c ．

∵ 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为,221422C ab c ab s +=+⨯=大正方形面积 ,)(2b a s +=且四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，

.2)(22C ab b a +=+∴

.222C b a =+∴

(3)证法三：1876年美国总统伽菲尔德(Garfield)的证明

右图是由2个以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形和一个以c 为直角边的等腰直角三角形拼成的直角梯形．

,2

1212122,)(21)()(21222c ab c ab S S s b a b a b a s DEC ADE +=+⋅=+=+=+⋅+=

∆∆梯形梯形

.21)(2122c ab b a +=+∴ .222C b a =+∴ (4)证法四：陈杰的证明

如右图所示，直角边长分别为a 、b 的四个三角形全等，斜边长为c ，图中有3个正方形边长分别为a 、b 、c ，设整个图形面积为S ．

,2

12,212222222ab C ab c S ab b a ab b a s +=⨯+=++=⨯++= .222ab c ab b a +=++∴

.222c b a =+∴

(5)证法五：火柴盒拼图

右图火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到///D C AB 的位置，连接,/

C C 可得到直角梯形//

D BCC 和等腰直角三角形./AC C 设AB=a ，BC=b ，AC=c ，利用梯形/

/D BCC 的面积即可证明勾股定理． ,2)()(2

12/////b a BD D C BC S D BCC +=⋅+=梯形 ,2221212122D C D BCC /

////ab c ab C ab s s s S AC AC ABC +=++=++=∆∆∆梯形 ⋅+=+∴2

22)(22ab c b a .222c b a =+∴

说明：上面的“火柴盒拼图法”曾以证明题的形式出现在中考卷中，其验证过程的实质就是伽菲尔德 总统证法．

勾股定理的证明方法有很多种，我们选取了其中比较容易理解的五种，仅供读者参考．

3．直角三角形斜边上的高的求法 如右图所示，⋅=⇒=c ab h ch ab

4．数学思想 本节涉及到的常用数学思想有：

(1)方程思想：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题目中的等量关系，然后利用勾股定理建立方程（组）解题；进而将几何问题代数化．

(2)分类讨论思想：有的题目没有明确指出是怎样的三角形，那么就需要对三角形的形状进行讨论，有时指明了是直角三角形，但没有指明哪条边是斜边，也需要对边的情况进行讨论．

(3)数形结合思想：勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，本身体现了数形结合的思想．

(4)转化思想：有些问题如果直接解决难以人手，如果换个方向、角度或观点来考虑，使得问题更清晰，更简单．

(5)类比思想：类比思想涉及知识的迁移，它把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也有可能有相同或类似之处． 本节重点讲解：一个定理，五个证明，五个思想．

三、全能突破

基 础 演 练

1．如图17 -1-1所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

2.A

3.B

4.C

5.D

2．一艘轮船以16海里／时的速度离开A 港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里／时的速度离开A 港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距( )．

A.25海里 B ．30海里 C ．40海里 D ．32海里

3．若直角三角形两条直角边长分别是3cm 和4cm ，则斜边上的高是( )．

cm A 5. cm B 4. cm C 3. cm D 5

12.

4．三个正方形的面积如图17 -1-2所示，则正方形A 的面积为

5．在△ABC 中，C B A C ∠∠∠=∠、、,90

所对的边分别是a 、b 、c ，若,32=+c a ,5:3:=c a 则△ABC