2014届高考数学一轮专题复习 高效测试46 空间几何体的表面积和体积 新人教A版
高考数学一轮复习-81-空间几何体的三视图-直观图-表面积与体积课件-新人教A
＝172a2.所以 S 球＝4πR2＝4π×172a2＝73πa2.
(2)这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．
根据图中数据可知圆台的上底面半径为 1，下底面半径为 2，高为 3，母线长为 2，几何体的表面积是两个半圆的面 积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何 体的表面积为 S＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12 ×(2＋4)× 3＝112π＋3 3. 答案 (1)B (2)112π＋3 3
可能是圆柱，排除选项C；又由俯视图可知，该几何体
不可能是棱柱或棱台，排除选项A，B，故选D.
(2)如图，在原图形OABC中， 应有 OD＝2O′D′＝2×2 2 ＝4 2(cm)， CD＝C′D′＝2 cm. ∴OC＝ OD2＋CD2 ＝ （4 2）2＋22＝6(cm)， ∴OA＝OC， 故四边形 OABC 是菱形． 答案 (1)D (2)C
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是
棱柱．
(×)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是
棱锥．
( ×)
(3)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．
(×)
(4)圆柱的侧面展开图是矩形．
(√)
2．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几
(2)画出坐标系 x′O′y′，作出△OAB 的 直观图 O′A′B′(如图)．D′为 O′A′的中 点．易知 D′B′＝12DB(D 为 OA 的中点)， ∴S△O′A′B′＝12× 22S△OAB＝ 42× 43a2＝ 166a2.
2014高考数学新编：第09讲 空间几何体的表面积和体积
座第九讲空间几何体的表面积和体积一．课标要求：2二．命题走向2三．要点精讲2四．典例解析4题型一：柱体的体积和表面积4题型二：柱体的表面积、体积综合问题5题型三：锥体的体积和表面积6题型四：锥体体积、表面积综合问题7题型五：棱台的体积、面积及其综合问题8题型六：圆柱的体积、表面积及其综合问题10题型七：圆锥的体积、表面积及综合问题10题型八：球的体积、表面积12题型九：球的面积、体积综合问题13题型十：球的经纬度、球面距离问题16五．思维总结17座第九讲 空间几何体的表面积和体积一．课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
二．命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。
即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。
由于本讲公式多反映在考题上，预测今年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三．要点精讲1．多面体的面积和体积公式名称侧面积(S 侧)全面积(S 全)体 积(V)棱柱棱柱直截面周长×l S 侧+2S 底S 底·h=S 直截面·h 直棱柱ch S 底·h棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底S底·h 正棱锥ch′棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台(c+c′)h′表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2πrlπrlπ(r1+r2)lS全2πr(l+r)πr(l+r)π(r1+r2)l+π(r21+r22)4πR2V πr2h(即πr2l)πr2hπh(r21+r1r2+r22)πR3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案空间几何体的表面积与体积1
第二节空间几何体的表面积与体积表面积与体积了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．知识点一空间几何体的表面积1．多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．旋转体的表(侧)面积名称侧面积表面积圆柱(底面半径r，母线长l)2πrl 2πr(l＋r)圆锥(底面半径r，母线长l)πrl πr(l＋r) 圆台(上、下底面半径r1，r2，母线长l)π(r1＋r2)l π(r1＋r2)l＋π(r21＋r22)球(半径为R)4πR2易误提醒(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．(2)对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行，要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理．[自测练习]1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A．48(3＋3)B．48(3＋23)C．24(6＋2) D．144解析：正六棱柱的侧面积S侧＝6×6×4＝144，底面面积S底＝2×6×34×42＝483，S表＝144＋483＝48(3＋3)．答案：A2．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A ．8＋4 2B ．10πC ．11πD ．12π解析：由三视图可知几何体是半径为1的球和底面半径为1，高为3的圆柱，故其表面积应为球的表面积与圆柱的表面积面积之和，即S ＝4π＋2π＋2π×3＝12π，故选D.答案：D知识点二 空间几何体的体积空间几何体的体积(h 为高，S 为下底面积，S ′为上底面积) (1)V 柱体＝Sh . (2)V 锥体＝13Sh .(3)V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．(4)V 球＝43πR 3(球半径是R )．易误提醒 (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)求与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．[自测练习]3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的体积是( )A.43 cm 3 B.83 cm 3 C ．3 cm 3D ．4 cm 3解析：由三视图可知该几何体是一个底面为正方形(边长为2)、高为2的四棱锥，如图所示．由四棱锥的体积公式知所求几何体的体积V ＝83cm 3.答案：B4.某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：依题意，题中的几何体是从一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，其中该圆锥的底面半径是1、高是2，因此题中的几何体的体积等于23－13π×12×2＝8－2π3.答案：8－2π3考点一 空间几何体的表面积|1．(2015·高考福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15解析：由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为2的直四棱柱，所以其表面积为S 表面积＝S 侧面积＋2S 下底面积＝(1＋1＋2＋2)×2＋2×12×(1＋2)×1＝11＋22，故选B.答案：B2．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为πr 2＋2πr 2＋4r 2＋2πr 2＝20π＋16，所以r ＝2.答案：B3．(2016·昆明模拟)一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的表面积与球O 的表面积的比值为________．解析：设等边三角形的边长为2a ，则S 圆锥表＝12·2πa ·2a ＋πa 2＝3πa 2.又R 2＝a 2＋(3a －R )2(R 为球O 的半径)，所以R ＝233a ，故S 球表＝4π·⎝⎛⎭⎫233a 2＝16π3a 2，故其表面积比为916. 答案：916(1)由三视图求相关几何体的表面积：,给出三视图时，依据“正视图反映几何体的长和高，侧视图反映几何体的高和宽，俯视图反映几何体的长和宽”来确定表面积公式中涉及的基本量.(2)根据几何体(常规几何体、组合体或旋转体)的特征求表面积：①求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.②对于组合体，要弄清它是由哪些简单几何体组成的，要注意“表面(和外界直接接触的面)”的定义，以确保不重复、不遗漏.考点二 空间几何体的体积|(1)(2015·高考山东卷)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3C ．22πD ．42π(2)(2015·辽宁五校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．[解析] (1)由题意，该几何体可以看作是两个底面半径为2、高为2的圆锥的组合体，其体积为2×13×π×(2)2×2＝423π.(2)由三视图知，该几何体为长方体去掉一个三棱锥，其体积V ＝2×2×3－13×⎝⎛⎭⎫12×2×1×3＝11.[答案] (1)B (2)11空间几何体体积问题的三种类型及解题策略(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．(2015·绵阳模拟)一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为( )A ．8＋π3B ．8＋2π3C ．8＋8π3D ．8＋16π3解析：依题意得，该机器零件的形状是在一个正方体的上表面放置了一个14的球体，其中正方体的棱长为2，相应的球半径是1，因此其体积等于23＋14×43π×13＝8＋π3，选A.答案：A考点三 与球有关的切、接问题|与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点．命题角度多变．归纳起来常见的命题角度有：1．四面体的外接球． 2．四棱锥的外接球． 3．三棱柱的外接球． 4．圆锥的内切球与外接球． 5．四面体的内切球． 探究一 四面体的外接球问题1．(2016·唐山模拟)正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A ．64π B ．32π C ．16π D ．8π解析：如图，作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，PM ＝6，连接AM ，AO ，则OP ＝OA ＝R (R 为外接球半径)，在Rt △OAM 中，OM ＝6－R ，OA ＝R ，又AB ＝6，且△ABC 为等边三角形，故AM ＝2362－32＝23，则R 2－(6－R )2＝(23)2，则R ＝4，所以球的表面积S ＝4πR 2＝64π.答案：A探究二 四棱锥的外接球问题2．已知四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥底面ABCD ，△P AD 为正三角形，AB ＝2AD ＝4，则球O 的表面积为( )A.323π B ．32π C ．64πD.643π 解析：依题意，AB ⊥平面P AD 且△P AD 是正三角形，过P 点作AB 的平行线，交球面于点E ，连接BE ，CE ，则可得到正三棱柱APD -BEC .因为△P AD 是正三角形，且AD ＝2，所以△P AD 的外接圆半径是23，球O 的半径R ＝22＋⎝⎛⎭⎫232＝43，球O 的表面积S ＝4πR 2＝64π3，故选D.答案：D探究三 三棱柱的外接球问题3．(2016·长春模拟)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．解析：设球半径为R ，上，下底面中心设为M ，N ，由题意，外接球心为MN 的中点，设为O ，则OA ＝R ，由4πR 2＝12π，得R ＝OA ＝3，又易得AM ＝2，由勾股定理可知，OM ＝1，所以MN ＝2，即棱柱的高h ＝2，所以该三棱柱的体积为34×(6)2×2＝3 3. 答案：3 3探究四 圆锥的内切球与外接球问题4．(2016·嘉兴模拟)若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC 及其内切圆⊙O 1和外接圆⊙O 2，且两圆同圆心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形，由题意知⊙O 1的半径为r ＝1，∴△ABC 的边长为23，圆锥的底面半径为3，高为3，∴V ＝13×π×3×3＝3π.答案：3π探究五 四面体的内切球问题5．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π. 答案：63π求解与球有关的切、接问题的关键点解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．21.补形法在空间几何体的体积、面积中的应用【典例】 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3 B ．3π C.10π3D ．6π[思维点拨] 可考虑将几何体补完整，再分析求解．[解析] 法一：由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，所以V ＝34×π×12×4＝3π.法二：由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的14，直观图如图(1)所示，我们可用大小与形状完全相同的补成一个半径为1，高为6的圆柱，如图(2)所示，则所求几何体的体积为V ＝12×π×12×6＝3π.[答案] B[方法点评] 某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形．对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．[跟踪练习] (2015·沈阳模拟)已知四面体P -ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且BC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( )A ．7πB ．8πC ．9πD ．10π解析：依题意，记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2、1、2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9,4πR 2＝9π，所以球O 的表面积为9π，选C.答案：CA 组 考点能力演练1．(2016·长春模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.323 B ．64 C.3233 D.643解析：由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，∴其体积为13×4×4×4＝643，故选D.答案：D2.如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A.16π3B.8π3 C ．43π D ．23π解析：由对称性可知外接球球心在侧视图中直角三角形的高线上，设外接球的半径为R ，则(3－R )2＋12＝R 2，R ＝233，其表面积S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎫2332＝16π3.答案：A3．(2016·唐山模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．8π＋16 B ．8π－16 C ．8π＋8 D ．16π－8解析：由三视图可知：几何体为一个半圆柱去掉一个直三棱柱．半圆柱的高为4，底面半圆的半径为2，直三棱柱的底面为斜边是4的等腰直角三角形，高为4，故几何体的体积V ＝12π×22×4－12×4×2×4＝8π－16.答案：B4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2π B ．22π C.π3 D.2π3解析：依题意得，该几何体是由两个相同的圆锥将其底面拼接在一起所形成的组合体，其中该圆锥的底面半径与高均为1，因此题中的几何体的体积等于2×13π×12×1＝2π3，选D.答案：D5．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB ＝2，则球O 的表面积为( )A.323π B ．12π C ．16π D ．32π 解析：设球心为O ，球心在平面BCD 的投影为O 1，则OO 1＝AB2＝1，因为△BCD 为等边三角形，故DO 1＝23×323＝3，因为△OO 1D 为直角三角形，所以球的半径R ＝OD ＝OO 21＋O 1D 2＝2，球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C.答案：C6.已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为________．解析：由俯视图可知，四棱锥顶点在底面的射影为O (如图)，又侧视图为直角三角形，则直角三角形的斜边为BC ＝2，斜边上的高为SO ＝1，此高即为四棱锥的高，故V ＝13×2×2×1＝43.答案：437．(2016·台州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：该简单组合体由半球加上圆锥构成，故所求表面积S ＝4π×422＋12×2π×4×5＝52π.答案：52π8．(2016·南昌一模)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，侧面BCC 1B 1的面积为2，则直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为________．解析：如图所示，设BC ，B 1C 1的中点分别为F ，E ，则知三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球的球心为线段EF 的中点O ，且BC ×EF ＝2.设外接球的半径为R ，则R 2＝BF 2＋OF 2＝⎝⎛⎭⎫BC 22＋⎝⎛⎭⎫EF 22＝BC 2＋EF 24≥14×2BC ×EF ＝1，当且仅当BC ＝EF ＝2时取等号．所以直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为4π×12＝4π.答案：4π9．已知某锥体的三视图(单位：cm)如图所示，求该锥体的体积．解：由三视图知，原几何体是一个五面体，由一个三棱柱截去一个四棱锥得到，其体积为V ＝V 三棱柱－V 四棱锥＝12×2×2×2－13×12×(2＋1)×2×2＝2.10．已知一个几何体的三视图如图所示． (1)求此几何体的表面积；(2)如果点P ，Q 在正视图中所示位置：P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 点到Q 点的最短路径的长．解：(1)由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S 圆锥侧＝12(2πa )·(2a )＝2πa 2，S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2，S 圆柱底＝πa 2， 所以S 表面＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2.(2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋(πa )2＝a1＋π2，所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a1＋π2.B 组 高考题型专练1.(2015·高考陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4解析：由所给三视图可知，该几何体是圆柱从底面圆直径处垂直切了一半，故该几何体的表面积为12×2π×1×2＋2×12×π×12＋2×2＝3π＋4，故选D.答案：D2．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析：三棱锥V O -ABC ＝V C -OAB＝13S △OAB×h ，其中h 为点C 到平面OAB 的距离，而底面三角形OAB 是直角三角形，顶点C 到底面OAB 的最大距离是球的半径，故V O -ABC ＝V C -OAB ＝13×12×R 3＝36，其中R 为球O 的半径，所以R ＝6，所以球O 的表面积为S ＝4π×36＝144π. 答案：C3．(2015·高考课标卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18 B.17 C.16D.15解析：如图，不妨设正方体的棱长为1，则截去部分为三棱锥A -A 1B 1D 1，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为15.故选D.答案：D4．(2015·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323cm 3 D.403cm 3 解析：该几何体的体积V ＝23＋13×22×2＝323(cm 3)．答案：C5．(2015·高考四川卷)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形．设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P -A 1MN 的体积是________．解析：因为M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥AC ，NP ∥CC 1， 所以平面MNP ∥平面CC 1A 1A ，所以A 1到平面MNP 的距离等于A 到平面MNP 的距离．根据题意有∠MAC ＝90°，AB ＝1， 可得A 到平面MNP 的距离为12.又MN ＝12，NP ＝1，所以VP -A 1MN ＝V A -MNP ＝13S △MNP ×12＝13×12×12×1×12＝124. 答案：124。
高考数学大一轮复习 空间几何体的表面积和体积精品试题 文(含模拟试题)
精品题库试题文数1.(河北省衡水中学2014届高三下学期二调) 把边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，连结AC，得到三棱锥C-ABD，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形（如图所示），则其侧视图的面积为( )A．B．C．1 D．[解析] 1.由三视图还原出原几何体，可知侧视图为等腰直角三角形，其两条直角边为1，所以面积为.2.（河北省石家庄市2014届高三第二次教学质量检测）点A, B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2 , 若四面体ABCD体积的最大值为 , 则该球的表面积为A. B.8 C.9 D. 12[解析] 2.由题意是一个直角三角形，其所在球的球小圆的圆心在斜边的中点上，设小圆的圆心为，若四面体的体积最大，由于底面积不变，高最大时体积最大，所以与面垂直时体积最大，最大值为，，即，所以，如图所示，设球心为，半径为，则在中，即，所以，球的表面积为.3.(河南省豫东豫北十所名校2014届高中毕业班阶段性检测(四)) 如图所示，棱长为6的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为l的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是( A) 222 (B) 258 (C) 312 (D) 324[解析] 3.正方体无论从哪个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，正方体共有6个直通小孔，有6个交汇处，表面积等于正方体的表面积减去12个表面上的小正方形面积，加上6个棱柱的侧面积减去6个小正方体的表面积，即.4.(河南省豫东豫北十所名校2014届高中毕业班阶段性检测(四)) 某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为矩形，俯视图上半部分为半，圆，则该几何体的体积为(A) (B)(C)(D)[解析] 4.由三视图可知该几何体为一个半圆柱和一个三棱柱的组合体，半圆柱的体积为，三棱柱的体积为，所以该几何体的体积为.5.(安徽省合肥市2014届高三第二次教学质量检测) 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.B.C.D.[解析] 5.如图所示，该几何体为三棱柱，其表面积为.6.（广东省汕头市2014届高三三月高考模拟）如图2, 一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的棱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A.B. 3C.D. 4[解析] 6.由三视图可知，该几何体是由两个相同的四棱锥的组合体，因为正视图、俯视图的面积都是，且一个内角为的菱形，设菱形的边长为，则，得，所以四棱锥各侧面的斜高为1，这个几何体的表面积为.7.（重庆市名校联盟2014届高三联合考试）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 8B. 10C. 12D. 14[解析] 7.由三视图可知，该几何体为棱柱，如图所示，其体积为.8.(山西省太原市2014届高三模拟考试）已知球的直径SC=4，A、B是该球球面上的两点，AB=, ∠ASC=∠BSC=30°, 则棱锥S―ABC的体积为A． B．2 C．3 D．1[解析] 8.由已知是球体的直径，为球体上两点，所以又，所以得，过点作，则，所以面，如图所示，，所以为等边三角形，所以9.（山西省太原市2014届高三模拟考试）下图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该几何体的表面积是A．8B．20+8C．16D．24+8[解析] 9.由三视图可知该几何体是一个三棱柱，且其高为，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为，又此三棱柱的高为4故其侧面积为，所以其表面积为.10.(重庆市杨家坪中学2014届高三下学期第一次月考) 如图，在透明的长方体容器内灌进一些水，将底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形的面积不改变；③棱始终与水面平行；④当时，是定值.其中所有正确的命题的序号是（）A. ①②③B. ①③C. ②④D. ①③④[解析] 10.对于命题①，由于固定，所以在倾斜的过程中，始终有，且平面平面，故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且为棱柱的一条侧棱，命题①正确，对于命题②，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等，当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故②错误，因为始终平行，所以始终平行水面，故③正确，由水的体积不变性可知，故④正确.11.（江西省重点中学协作体2014届高三第一次联考）一个四棱锥的侧棱长都相等, 底面是正方形, 其正(主) 视图如图所示，该四棱锥表面积和体积分别是（）A． B．C． D．8,8[解析] 11.由三视图可知该正四棱锥的高为2，底面积为4，所以其体积为，因为正四棱锥的高为2，底面边长为2，所以斜高为，所以其表面积为.12.(吉林省实验中学2014届高三年级第一次模拟考试) 某棱锥的三视图(单位：cm) 如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10 cm3 B．20 cm3C．30 cm3 D．40 cm3[解析] 12.如图所示由三视图还原出原几何体为四棱锥，其体积为为．13.(重庆一中2014年高三下期第一次月考) 一个半径为球内切于一个正方体，切点为，那么多面体的体积为（）A B C D[解析] 13.多面体如图所示，由可得，所以其体积为.14.(山西省忻州一中、康杰一中、临汾一中、长治一中四校2014届高三第三次联考) 某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的体积是（）A.B. C.D.[解析] 14.由三视图可知该几何体为三棱锥，由俯视图和左视图可知底面积为，高为，所以体积为.15.(江西省红色六校2014届高三第二次联考) 已知一个几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．[解析] 15.由三视图可知该几何体下面是一个边长为4的正方体，上面是一个底面半径为1，高为4的圆柱，所以表面积为.16.（天津市蓟县第二中学2014届高三第一次模拟考试）已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是A、 B、 C、 D、[解析] 16.由三视图可知该几何体为三棱锥，由俯视图可知底面积为，由正视图可知高为1，所以体积为.17.(广西省桂林中学2014届高三月考测试题) 在体积为的球的表面上有A，B，C，三点，AB=1，，A，C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．1[解析] 17.因为球的表面积为，所以，得，因为两点的球面距离为，所以得，，，又因为，所以，球心在的垂直平分线上，设球心到平面的距离为，则.18.(广西省桂林中学2014届高三月考测试题) 正三棱锥底面边长为, 侧棱与底面成角, 则正三棱锥外接球面积为（）A．B．C．D．[解析] 18.如图所示，因为，所以，又因为，所以，所以球的直径，正三棱锥外接球的表面积为.19.（河北省唐山市2014届高三第一次模拟考试）正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为A．8B．16C．32D．64[解析] 19.如图所示为球的直径，，而，所以，所以外接球的半径为4，表面积为.20.（河北省唐山市2014届高三第一次模拟考试）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．6 B．2C．3 D．3[解析] 20.由三视图可知该几何体为正三棱柱，正三角形的高为，边长为，所以其体积为.21.（辽宁省大连市高三第一次模拟考试）如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A. 4B. 8C. 16D. 20[解析] 21.由三视图可知该几何体为四棱锥，其底面积为，高为，所以其体积为.22.(湖北省武汉市2014届高三2月份调研测试) 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．设AB＝2AA1＝2a，EF＝a，B1E＝B1F．在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为A．11/16 B．3/4 C．13/16 D．7/8[解析] 22. 因为∥，则∥，所以∥平面，过的平面与平面交于，则∥，所以几何体和是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，长方体内任一点取自于几何体内的概率为P=.23.(广东省广州市2014届高三1月调研测试) 某几何体的三视图（如图3所示）均为边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是A． B．C． D．[解析] 23.由三视图可知该几何体如图所示，其表面积为.24.(重庆市五区2014届高三第一次学生学业调研抽测) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A．B．C．D．[解析] 24.由三视图可知该几何体上面为圆锥，母线长为，其表面积为，下面为一个半球，其表面积为，所以该几何体表面积为.25.(吉林省长春市2014届高中毕业班第二次调研测试) 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A． B．C． D．[解析] 25.由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是1，高是2，所以母线长为，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即.26.(山东省潍坊市2014届高三3月模拟考试) 三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA平面ABC，AB BC，又SA=AB= BC=1，则球O的表面积为(A) (B)(C) 3 (D) 12[解析] 26.因为平面，平面，所以，因为，所以可将视为长方体的一部分，球心在体对角线上，且表面积为.27.（福建省政和一中、周宁一中2014届高三第四次联考）在透明塑料制成的正方体容器中灌进体积的水，密封后可以任意摆放，那么容器内水面形状可能是：①三角形；②梯形；③长方形；④五边形．其中正确的结果是①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④[解析] 27. 如图（1）所示，该三棱锥的体积为正方体体积的，当点A向下运动时得到（2），如图（3）所示，截面为矩形时，满足题意，若变长，得到（4）满足题意，所以可以为三角形，五边形，长方形，梯形28.(广东省中山市2013-2014学年第一学期高三期末考试) 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则该棱柱的体积为（）A．B．C．D．6[解析] 28.如图所示，该几何体为正三棱柱，且正三角形的边长为6，棱柱的高为4，所以该棱柱的体积为29.（河北衡水中学2014届高三上学期第五次调研）一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）, 该几何体的体积为（）．A． B． C． D.[解析] 29.由三视图可知该几何体为三个正方体和半个正方体组成，所以体积为30.(江西省七校2014届高三上学期第一次联考) 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ( )A．9 B．12 C．11 D．[解析] 30.由三视图可知该几何体上面为一个半径为1的球，下面是一个圆柱，所以表面积31.（山东省济宁市2014届高三上学期期末考试）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A.B. 4C. 2D.[解析] 31.由三视图可知该几何体为三棱锥，且高为2，底面积为，所以该几何体的体积为32.(2014年兰州市高三第一次诊断考试) 如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( )A．B．C． D．[解析] 32.由三视图可知上面是一个半径为的球，下面是一个底面边长为2，高为的正三棱柱，所以该几何体的体积为33.（成都市2014届高中毕业班第一次诊断性检测）一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm) ，则该几何体的体积为(A) 120 cm2 (B) 100 cm2 (C) 80 cm2 (D) 60 cm2[解析] 33.如图所示该几何体为长方体截取一个角，所以其体积为34.（重庆南开中学高2014级高三1月月考)如右图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是（）[解析] 34.由D项的三视图可知该几何的体积为圆柱的，即35.(河北省衡水中学2014届高三下学期二调) 已知三角形所在平面与矩形所在平面互相垂直，，，若点都在同一球面上，则此球的表面积等于。
2014届高考数学 第一章 空间几何体复习提升训练 新人教A版必修2
2014届高考数学第一章空间几何体复习提升训练新人教A版必修2一、选择题1、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．11 C． D．2、设底部为三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（）A．B．C．D．3、(2013某某二中第4次月考)一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．4、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），则该几何体的表面积及体积分别为（）A．24πcm 2，12πcm3B．15πcm 2，12πcm3C．24πcm 2，36πcm3D．以上都不正确5、如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．4 B．8 C．16 D．206、如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B﹣APQC的体积为（）A．B．C．D．7、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．8、长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（） A．25πB．50πC．125πD．都不对9、棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．10、（2013琼海4月模拟）在正方体中，，分别是，的中点，则下列判断错误的是A．与垂直 B．与垂直C．与平行 D．与平行11、过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则球的表面积是（）A．B．C．D．12、如图,是正三棱锥且侧棱长为，两侧棱的夹角为，分别是上的动点，则三角形的周长的最小值为（）.. ..13、在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）14、如图，正三棱锥P﹣ABC的侧棱长为a，两侧棱PA、PC的夹角为30°，E、F分别是PA、PC上的动点，则△BEF的周长的最小值是（）A．B．C．D．15、用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为（）A．9与13 B．7与10 C．10与16 D．10与1516、如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的表面积为（）A．B．C．D．17、把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( )A．27 B．28 C．29 D．3018、（2013某某二模）若空间几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为A．B．C．D．819、（2013下某某期中）一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为( ) ．A．长方形B．直角三角形C．圆D．椭圆参考答案一、选择题1、A2、考点：平均值不等式；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：设底边边长为a，高为h，利用体积公式V=Sh= a2×h，得出 h=，再根据表面积公式得S=+a2，最后利用基本不等式求出它的最大值及等号成立的条件即得．解答：解：设底边边长为a，高为h，则V=Sh= a2×h，∴h=，表面积为S=3ah+a2=+a2=++a2≥3=定值，等号成立的条件，即a=，故选C．点评：本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．3、考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；图表型．分析：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可解答：解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．4、考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图及其尺寸，我们易判断这个几何体是圆锥，且底面直径为6，圆锥的母线长为5，代入圆锥的表面积和体积公式，我们易得结论．解答：解：由三视图可得该几何体为圆锥，且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5，则圆锥的底面积S底面=π•r2=9π侧面积S侧面=π•r•l=15π，故几何体的表面积S=9π+15π=24πcm2，又由圆锥的高h==4，故V=•S底面•h=12πcm3．故选A．点评：本题考查的知识点是由三视图求面积和体积，根据三视图判断几何体的底面半径和母线长是解答本题的关键．5、考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．由三视图可知，几何体是三棱锥，底面三角形一边长为6，对应的高为2，几何体高为4，按照锥体体积公式求解即可．解答：解：由三视图可知，几何体一三棱锥，底面三角形一边长为6，对应的高为2，几何体高为4底面积S=×6×2=6，所以V=Sh=×6×4=8故选B点评：本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，几何体的体积计算，考查计算能力，空间想象能力．6、考点：组合几何体的面积、体积问题．专题：计算题．分析：把问题给理想化，认为三棱柱是正三棱柱，设底面边长a和侧棱长h均为1，P、Q分别为侧棱AA′，CC′上的中点求出底面面积高，即可求出四棱锥B﹣APQC的体积．解答：解：不妨设三棱柱是正三棱柱，设底面边长a和侧棱长h均为1则V=S ABC•h=•1•1••1=认为P、Q分别为侧棱AA′，CC′上的中点则V B﹣APQC=S APQC•=（其中表示的是三角形ABC边AC上的高）所以V B﹣APQC=V点评：本题考查几何体的体积，考查计算能力，特殊化法，在解题中有独到效果，本题还可以再特殊点，四棱锥变为三棱锥解答更好．7、考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设圆柱底面积半径为r，求出圆柱的高，然后求圆柱的全面积与侧面积的比．解答：解：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2=．故选A．点评：本题考查圆柱的侧面积、表面积，考查计算能力，是基础题．8、考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题．分析：由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．解答：解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：，所以这个球的表面积是：=50π．故选B．点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．9、考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果．解答：解：因为四个面是全等的正三角形，则．故选A点评：本题考查棱锥的面积，是基础题．10、D11、D14、考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：画出三棱锥的沿PA展开的侧面展开图，直接求得的△BEF的周长的最小值AA1．解答：解：三棱锥的侧面展开图，如图，△BEF的周长的最小值为BB1，由于题设知∠BPB1=90°，正三棱锥P﹣ABC的侧棱长为a所以BB1=a，故选A．点评：本题考查棱锥的结构特征、棱锥的侧面展开图，是基础题．15、考点：由三视图求面积、体积．专题：由于主视图第一列为3层，故俯视图中第一列至少有一个是3层的，其余可是1～3层，同时可分析第2列和第三列，进而得到答案．解答：解：由主视图第1，2，3列高分别为3，2，1则该几何体体积的最大值为：3+3+3+2+2+2+1=16体积的最小为：3+1+1+2+1+1+1=10故选：C点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据主视图的层数，分析俯视图中每一列的最高层数是解答的关键．16、C17、B18、C19、C。
(新课标)高考数学大一轮复习 课时跟踪检测(四十一)空间几何体的表面积与体积 文(含解析)-人教版高
课时跟踪检测(四十一) 空间几何体的表面积与体积一、选择题1．(2015·某某一检)如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于( )A ．100π B.100π3C ．25π D.25π32．(2014·某某高考)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3B ．4πC ．2π D.4π33．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为6时，其高的值为( )A ．33B. 3 C ．2 6D ．2 34．(2015·某某模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )A.3＋6B.3＋ 5C.2＋6D.2＋ 55．(2015·某某二调)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左(侧)视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是( )A ．16πB ．14πC ．12πD ．8π6．(2014·某某高考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )A. 233B. 476C. 6 D ．7二、填空题7．(2014·某某高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.8．(2015·某某四校联考)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到四面体A BCD ，则四面体A BCD 的外接球的体积为________．9．(2014·某某高考)一个六棱锥的体积为2 3 ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．10．(2015·某某一模)一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的体积与球O 的体积的比值为________．三、解答题11．(2015·某某六校联考)如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，求该多面体的体积．12．(2015·某某一模)已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于两底面面积之和，求棱台的体积．答 案1．选A 易知该几何体为球，其半径为5， 则表面积为S ＝4πR 2＝100π.2．选D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半， 所以半径r ＝1212＋12＋22＝1，所以V 球＝4π3×13＝4π3.故选D.3．选D 设正六棱柱的高为h ， 则可得(6)2＋h 24＝32，解得h ＝2 3.4．选C 由三视图还原为空间几何体，如图所示， 则有OA ＝OB ＝1，AB ＝ 2. 又PB ⊥平面ABCD ， ∴PB ⊥BD ，PB ⊥AB ，∴PD ＝22＋1＝5，PA ＝2＋12＝3， 从而有PA 2＋DA 2＝PD 2，∴PA ⊥DA ，∴该几何体的侧面积S ＝2×12×2×1＋2×12×2×3＝2＋ 6.5．选D 由三视图可知，该几何体为一个球切去四分之一个球后剩余的部分，由于球的半径为2，所以这个几何体的体积V ＝34×43π×23＝8π.6.选A 如图，由三视图可知，该几何体是由棱长为2的正方体从右后和左下分别截去一个小三棱锥得到的，其体积为V ＝8－2×13×1×12×1×1＝233.7．解析：该几何体是一个组合体，上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱．因为V 圆锥＝13π×22×2＝8π3，V 圆柱＝π×12×4＝4π， 所以该几何体体积V ＝8π3＋4π＝20π3.答案：20π38．解析：设AC 与BD 相交于O ，折起来后仍然有OA ＝OB ＝OC ＝OD ， ∴外接球的半径r ＝32＋422＝52，从而体积V ＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝125π6.答案：125π69．解析：由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h ，则13×6×34×22×h＝23，解得h ＝1，底面正六边形的中心到其边的距离为3，故侧面等腰三角形底边上的高为32＋1＝2，故该六棱锥的侧面积为12×12×2＝12.答案：1210．解析：设等边三角形的边长为2a ，则V圆锥＝13·πa 2·3a ＝33πa 3；又R 2＝a 2＋(3a －R )2，所以R ＝233a ，故 V 球＝4π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫233a 3＝323π27a 3，则其体积比为932. 答案：93211．解：如图所示，分别过A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，∵三棱锥高为12，直三棱柱柱高为1，AG ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，取AD 中点M ，则MG ＝22， ∴S △AGD ＝12×1×22＝24，∴V ＝24×1＋2×13×24×12＝23. 12．解：如图所示，在三棱台ABC A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中点，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)． 由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253， 所以DD ′＝133 3 cm ，又因为O ′D ′＝36×20＝1033(cm)， OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－OD －O ′D ′2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13332－⎝⎛⎭⎪⎫53－10332＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×⎝⎛⎭⎪⎫3253＋34×20×30＝1 900(cm3)．故棱台的体积为1 900 cm3.。
高考数学一轮总复习 第45讲 空间几何体的表面积和体积课件 理 新人教A版
【分析】 把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面 上两点间的最短距上的铁丝展开，在平面 上得到矩形 ABCD(如图)，
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由题意知 BC＝3π cm，AB＝4π cm，点 A 与点 C 分别是 铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度即为铁丝的最短长度．
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4.已知三棱锥 P－ABC 的各顶点都在一个半径为 R
的球面上，球心 O 在 AB 上，OP⊥底面 ABC，AC＝ 3R，
则三棱锥的体积与球的体积之比是
3 8π
.
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【解析】三棱锥的体积为31R·23R2＝ 63R3，球的体积是43πR3， 所以三棱锥的体积与球的体积之比是 8π3.
(2)对于“多面体 平面图形”这类题型，注意折叠 (或展开)前后条件的转化和折叠(或展开)前后各面内的条件 不变．
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素材 (sùcái )3
有一根长为 3π cm，底面半径为 1 cm 的圆柱形铁管， 用一段铁丝在铁管上缠绕 2 圈，并使铁丝的两个端点落在 圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？
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3.(2011·山东潍坊)如图是 一个空间几何体的三视图， 这个几何体的体积是( )
A．2π C．6π
B．3π D．9π
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【解析】由三视图可知，该几何体是一个由底面半径为 2 高为 3 的圆柱中间挖去一个底面半径为 1 的等高圆柱后余下 的部分，所以，其体积为 π×(22－12)×3＝9π. 故选 D.
AC＝ AB2＋BC2＝5π cm， 故铁丝的最短长度为 5π cm.
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四 有关(yǒuguān)组合体问题 【例 4】有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 5，圆
《创新设计 高考总复习》2014届高考数学一轮复习：第八篇 第2讲 空间几何体的表面积与体积
第2讲 空间几何体的表面积与体积A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )．A ．2＋ 3B ．1＋ 3C ．2＋2 3D ．4＋ 3解析 依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.答案 D2．(2011·湖南)设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )．A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π＋18. 答案 B3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm 2)为 ( )．A ．48B ．64C ．80D ．120解析 据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8)，直观图如图，PE 为侧面△P AB 的边AB 上的高，且PE ＝5.∴此几何体的侧面积是S ＝4S △P AB ＝4×12×8×5＝80(cm 2)． 答案 C4．(2012·新课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )．A.26B.36C.23D.22解析 在直角三角形ASC 中，AC ＝1，∠SAC ＝90°，SC ＝2，∴SA ＝4－1＝3；同理SB ＝ 3.过A 点作SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因△SAC ≌△SBC ，故BD ⊥SC ，故SC ⊥平面ABD ，且平面ABD 为等腰三角形，因∠ASC ＝30°，故AD ＝12SA ＝32，则△ABD 的面积为12×1× AD 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝24，则三棱锥的体积为13×24×2＝26. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知S 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O 的表面积等于________．解析 将三棱锥S －ABC 补形成以SA 、AB 、BC 为棱的长方体，其对角线SC 为球O 的直径，所以2R ＝SC ＝2，R ＝1，∴表面积为4πR 2＝4π. 答案 4π6．(2012·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m 3.解析 由三视图可知，该几何体是组合体，上面是长、宽、高分别是6,3,1的长方体，下面是两个半径均为32的球，其体积为6×3×1＋2×43×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝18＋9π(m 3)． 答案 18＋9π 三、解答题(共25分)7．(12分)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)：(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．解 (1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体．由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)， 体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10 (cm 3)．8．(13分)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，如图所示，求CP ＋P A 1的最小值． 解 P A 1在平面A 1BC 1内，PC 在平面BCC 1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．铺平平面A 1BC 1、平面BCC 1，如图所示．计算A 1B ＝AB 1＝40，BC 1＝2，又A 1C 1＝6，故△A 1BC 1是∠A 1C 1B ＝90°的直角三角形．CP ＋P A 1≥A 1C .在△AC 1C 中，由余弦定理，得 A 1C ＝62＋(2)2－2·6·2·cos 135°＝50＝52， 故(CP ＋P A 1)min ＝5 2.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·哈尔滨模拟)某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫95－π2cm 2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫94－π2cm 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94＋π2cm 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋π2cm 2 解析 该几何体的上下为长方体，中间为圆柱． S表面积＝S下长方体＋S上长方体＋S圆柱侧－2S圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×12×1－2×π⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝94＋π2.答案 C2．(2013·福州模拟)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )．A.312 B.34 C.612D.64解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·江西盟校二联)已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为________．解析 借助常见的正方体模型解决．由三视图知，该几何体由正方体沿面AB 1D 1与面CB 1D 1截去两个角所得，其表面由两个等边三角形、四个直角三角形和一个正方形组成．计算得其表面积为12＋4 3. 答案 12＋4 34．(2012·长春二模)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为6，则以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为顶点，以平面AB 1D 1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为________．解析 设O 为正方体外接球的球心，则O 也是正方体的中心，O 到平面AB 1D 1的距离是体对角线长的16，即为 3.又球的半径是正方体对角线长的一半，即为33，由勾股定理可知，截面圆的半径为(33)2－(3)2＝26，圆锥底面面积为S 1＝π·(26)2＝24π，圆锥的母线即为球的半径33，圆锥的侧面积为S 2＝π×26×33＝182π.因此圆锥的全面积为S ＝S 2＋S 1＝182π＋24π＝(182＋24)π. 答案 (182＋24)π三、解答题(共25分)5．(12分)(2013·杭州模拟)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．解 由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V ＝V 圆台－V 圆锥＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－13π×22×2＝1483π.6．(13分)如图(a)，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图(b)所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．(1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2， 故AC ⊥BC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2， ∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D －ABC 的体积为423.。
江苏省2014届一轮复习数学试题选编19：空间几何体的表面积与体积(教师版)
江苏省2014届一轮复习数学试题选编19：空间几何体的表面积与体积（教师版）填空题错误！未指定书签。
．（2013江苏高考数学）如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.【答案】解析:本题主要考察棱柱的体积计算及相似比等有关基础知识. 设三棱柱高为h ,底面ABC ∆面积为S ,∴三棱柱ABC C B A -111的体积为Sh V =2∵F 是1AA 的中点 ∴2:1:1=h h ∵F E ，分别是AC AB ，的中点∴4:1:1=s s∴2412141313131111121121=∙∙====--h h S S Sh h SV V V V C B A ABC ADEF 棱柱三棱锥错误！未指定书签。
．（2012年江苏理）如图,在长方体1111ABCD ABC D -中,3cm AB AD ==,12cm AA =,则四棱锥11A BB D D -的体积为____cm 3.【答案】∵长方体底面ABCD 是正方形,∴△ABD 中BD cm,BD cm(它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高).∴四棱锥11A BB D D -的体积为123⨯. 错误！未指定书签。
．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上,且底面ABCD 是边长为1的正方形,ABCD PA ⊥,2=PA ,则该球的体积为A BC ADE FBC______.【答案】34π错误！未指定书签。
．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知一个正六棱锥的高为10cm,底面边长为6cm,则这个正六棱锥的体积为________cm 3.【答案】错误！未指定书签。
(安徽专用)2014届高考数学 第七章 第二节 空间几何体的表面积与体积课件 文 新人教A版
(2012· 北京高考 ) 某三棱锥的三视图如图 7 － 2 － 3 所
示，该三棱锥的表面积是( )
A．28＋6 5 C．56＋12 5
B．30＋6 5 D．60＋12 5
【思路点拨】
根据三视图得到几何体的形状，画出
几何体的直观图，标准相应已知量，求出待求量，计算各个
三角形的面积．
【尝试解答】 由几何体的三视图可知，
1．(人教 A 版教材习题改编)已知圆锥的表面积为 a m2， 且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是 ( ) 3π a 2 3πa a 2 3a A. B. C. D. 2 3π 3π 3π
【解析】 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，由题意 知 2πr＝πl，∴l＝2r， a 2 2 2 则圆锥的表面积 S 表＝πr ＋2πr ＝a，∴r ＝ ，∴2r 3π 2 3πa ＝ . 3π
【答案】
30
1 ． (2012· 广东高考 ) 某几何体的三视图如图 7 － 2 － 9 所
示，它的体积为(
)
A．12π
B．45π
C．57π
D．81π
【解析】 由三视图知该几何体是由圆柱、 圆锥两几何体组合而成，直观图如图所示． 圆锥的底面半径为3，高为4，圆柱的底面 半径为3，高为5， 1 1 ∴V＝V圆锥＋V圆柱＝ Sh1＋Sh2＝ ×π×32 3 3 ×4＋π×32×5＝57π.
避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接
计算得到高的数值．
空间几何体的三视图与体积、表面积、空间线面位置关 系结合命题是高考的热点，题型齐全，重点考查识图、用 图、空间想象能力与运算能力，预计2014年仍将延续这一命
题方向，不能由三视图准确画出空间几何体的直观图是求解
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1
高效测试46：空间几何体的表面积和体积
一、选择题
1．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．48 B．32＋817
C．48＋817 D．80
解析：由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱，所以该直四
棱柱的表面积为S＝2×12×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×1＋16×4＝48＋817.
答案：C
2．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )
A．8－2π3 B．8－π3
C．8－2π D.2π3
解析：显然圆锥的底面半径为1，高为2，组合体体积为四棱柱体积减去圆锥体积，即
V
＝22×2－13×π×12×2＝8－23π，选A.
答案：A
3．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，
则棱锥SABC的体积为( )
2
A.33 B.233
C.433 D.533
解析：由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，
如图所示，设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥SABD和CABD，在△
SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝x，又因为SC为直径，所以∠SBC＝∠SAC
＝90°，
所以∠DBC＝∠DAC＝45°，所以在△BDC中，BD＝4－x，所以x＝4－x，解得x＝2，所以
AD
＝BD＝2，所以△ABD为正三角形，所以V＝13S△ABD×4＝433.
答案：C
4．如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，
等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )
A．43 B．4
C．23 D．2
解析：由题意知该几何体为如图所示的四棱锥，底面为菱形，且AC＝23，BD＝2，高
QP＝3，其体积V
＝13×(12×23×2)×3＝23.
答案：C
5．棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )
3
A.13a3 B.14a3
C.16a3 D.112a3
解析：正八面体可以看做两个正四棱锥拼接而成，其中正四棱锥的棱长为22a，高为12a.
则V＝2·13·(22a)2·12a＝16a3.
答案：C
6．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体
EFGH的表面积为T
，则TS等于( )
A.19 B.49
C.14 D.13
解析：设正四面体ABCD的棱长为a，如图所示，则EF＝23MN＝13BD＝13a，所以TS＝19.
答案：A
二、填空题
7．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________m3.
解析：由三视图可知，此几何体的上面是圆锥，其半径为1，高是3，此几何体的下面
是长方体，其长，宽，高分别是3,2,1，因此该几何体的体积V＝13π×12×3＋3×2×1＝6
＋π(m3)．
答案：6＋π
4
8．如图，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该
圆柱的侧面积之差是__________．
解析：由球的半径为4，可知球的表面积为64π.设内接圆柱的底面半径为r，高为2h，
则h2＋r2＝16.圆柱的侧面积为2πr·2h＝4πrh≤4πr2＋h22＝32π，当且仅当r＝h＝22时
取等号，即内接圆柱的侧面积最大，最大值为32π，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积
之差为32π.
答案：32π
9．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆
锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比
值为______________．
解析：设球心为O1，半径为r1，圆锥底面圆圆心为O2，半径为r2，则有316×4πr21＝πr22，
即r2＝32r1，
所以O1O2＝r21－r22＝r12，
设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为h1、h2，则h1h2＝r1－r12r1＋r12＝13.
答案：13
三、解答题
10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等
腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形，
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体侧面积S.
5
解析：由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中
心的四棱锥V－ABCD，如图所示．
(1)V＝13×(8×6)×4＝64
(2)该四棱锥有两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，
且BC边上的高为h1＝ 42＋822＝42，
另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，
AB边上的高为h
2
＝ 42＋622＝5
因此S＝2(12×6×42＋12×8×5)＝40＋242.
11．如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.
(1)求证：CE⊥平面PAD；
(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝2，∠CDA＝45°，求四棱锥PABCD的体积．
解析：证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，
所以PA⊥CE.
因为AB⊥AD，CE∥AB，
所以CE⊥AD.
又PA∩AD＝A，
所以CE⊥平面PAD.
(2)由(1)可知CE⊥AD.
在Rt△ECD中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.
又因为AB＝CE＝1，AB∥CE，
所以四边形ABCE为矩形．
6
所以S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋S△ECD
＝AB·AE＋12CE·DE
＝1×2＋12×1×1＝52.
又PA⊥平面ABCD，PA＝1，
所以V四棱锥PABCD＝13S四边形ABCD·PA
＝13×52×1＝56.
12．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示，墩的上半部分是正四棱
PEFGH
(底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心)，下半部分是长方体
ABCD—EFGH
.图(2)、图(3)分别是该标识墩的正视图和俯视图．
(1)请画出该安全标识墩的侧视图；
(2)求该安全标识墩的体积；
(3)证明：直线BD⊥平面PEG.
解析：(1)侧视图同正视图，如图所示．
(2)该安全标识墩的体积为
V＝VPEFGH＋V
ABCD—EFGH
＝13×402×60＋402×20
＝32000＋32000
＝64000(cm3)．
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(3)证明：如图，连接EG，HF及BD，EG与HF相交于点O，连接PO.
由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，∴PO⊥HF.
又∵EG⊥HF，PO∩EG＝O，
∴HF⊥平面PEG.
又∵BD∥HF，
∴BD⊥平面PEG.