2015高考(北师大版)数学(理)复习配套试题：任意角和弧度制及任意角的三角函数

第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 【考纲下载】 1. 了解任意角的概念；了解弧度制的概念. 2. 能进行弧度与角度的互化. 3. 理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角． (3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z. 2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (2)角α的弧度数

如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. (3)角度与弧度的换算 ①1°＝π180 rad；②1 rad＝180π°. (4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝12lr＝12|α|·r2. 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α

＝x，tan α＝yx(x≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．

(3)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 1．终边相同的角相等吗？它们的大小有什么关系？ 提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍，相等的角终边一定相同． 2．锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角是锐角吗？ 提示：锐角是大于0°且小于90°的角，第一象限角不一定是锐角，如390°，－300°都是第一象限角．小于90°的角不一定是锐角，如0°，－30°都不是锐角． 3．有人说：三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值，三角函数线的方向表示三角函数值的符号．你认为此说法正确吗？ 提示：正确．

1．如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是( )

A．(cos θ，sin θ) B．(－cos θ，sin θ) C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ) 解析：选A 由三角函数的定义可知，点P的坐标是(cos θ，sin θ)． 2．已知角α的终边过点P(－1,2)，则sin α＝( )

A.55 B.255 C．－55 D．－255 解析：选B |OP|＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255. 3．若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ的终边一定落在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D 由sin θ＜0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tan θ＜0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．

4．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是________(填序号)．

①2kπ＋45°(k∈Z)；②k·360°＋9π4(k∈Z)；③k·360°－315°(k∈Z)；④kπ＋5π4(k∈Z)． 解析：∵9π4＝94×180°＝360°＋45°＝720°－315°，∴与9π4终边相同的角可表示为k·360°－315°(k∈Z)． 答案：③ 5．(教材习题改编)弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．

解析：l＝3π，θ＝135°＝3π4，所以r＝lθ＝3π3π4，＝4，S＝12lr＝12×3π×4＝6π.

答案：4 6π

考点一 角的集合表示及象限角的判定 [例1] (1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合； (2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角； (3)已知角α为第三象限角，试确定2α的终边所在的象限． [自主解答] (1)∵在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，∴终边在直线y＝ 3x上

的角的集合为α|α＝π3＋kπ，k∈Z. (2)∵θ＝6π7＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝2π7＋2kπ3(k∈Z)．依题意0≤2π7＋2kπ3＜2π⇒－37≤k＜187，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21. (3)由α是第三象限角，得π＋2kπ＜α＜3π2＋2kπ(k∈Z)，∴2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)． ∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴． 【互动探究】

在本例(3)的条件下，判断α2为第几象限角？ 解：∵π＋2kπ＜α＜3π2＋2kπ(k∈Z)，∴π2＋kπ＜α2＜3π4＋kπ(k∈Z)． 当k＝2n(n∈Z)时，π2＋2nπ＜α2＜3π4＋2nπ， 当k＝2n＋1(n∈Z)时，3π2＋2nπ＜α2＜7π4＋2nπ， ∴α2为第二或第四象限角． 【方法规律】 象限角和终边相同角的判断及表示方法 (1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α＜2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断． (2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．

1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( ) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 解析：选A 当k为偶数时，α在第一象限；当k为奇数时，α在第三象限．

2．设集合M＝·18045,2kxxkZ，N＝·18045,4kxxkZ，那么( ) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅

解析：选B 法一：由于M＝·18045,2kxxkZ＝{…，－45°，45°，135°，

225°，…}，N＝·18045,4kxxkZ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N. 法二：由于M中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；而N中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N. 考点二 弧度制的应用 [例2] 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

[自主解答] (1)∵α＝60°＝π3，R＝10 cm，∴l＝Rα＝10×π3＝10π3 cm.

(2)∵扇形的周长为20 cm，∴2R＋l＝20，即2R＋Rα＝20，∴S＝12R2α＝12R(20－2R)＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25，∴当R＝5时，扇形的面积最大，此时α＝20－105＝2，即α＝2弧度时，这个扇形的面积最大． 【互动探究】 在本例(1)的条件下，求扇形的弧所在的弧形的面积．

解：设弧形的面积为S，则S＝S扇－S△＝12R2α－12R2sinπ3＝12×102×π3－12×102×32＝

50π3－32＝50π3－253cm2.

【方法规律】 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．

1．设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 解析：设扇形所在圆的半径为r cm，则扇形的弧长l＝8－2r.

由题意得S＝12(8－2r)×r＝4，整理得r2－4r＋4＝0，解得r＝2，

即l＝4，故|α|＝lr＝2. 答案：2 2．已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，求弧长l.

解：设扇形的半径为R cm，如图．由sin 60°＝6R，得R＝43 cm.故l＝|α|·R＝2π3×43＝83π3 cm.

高频考点 考点三 三角函数的定义

1．三角函数的定义是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小，属中低档题． 2．高考对三角函数定义的考查主要有以下几个命题角度： (1)利用三角函数的定义求三角函数值； (2)三角函数值的符号和角的位置的判断； (3)与向量等问题形成交汇问题． [例3] (1)(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，

y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________. (2)(2012·山东高考) 如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为___________．

(3)(2014·景德镇模拟)已知点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．

[自主解答] (1)r＝x2＋y2＝16＋y2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝yr＝y16＋y2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.

(2)

如图，连接AP，分别过P，A作PC，AB垂直x轴于C，B点，过A作AD⊥PC于D点．由题意知BP的长为2.∵圆的半径为1，∴∠BAP＝2，故∠DAP＝2－π2.

∴DP＝AP·sin2－π2＝－cos 2，∴PC＝1－cos 2，DA＝APcos2－π2＝sin 2，∴OC＝2－sin 2.故OP＝(2－sin 2,1－cos 2)． (3)因为点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ＜0,2cos θ＜0，即

 sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ为第二象限角．

[答案] (1)－8 (2)(2－sin 2,1－cos 2) (3)二

三角函数定义问题的常见类型及解题策略 (1)利用定义求三角函数值．在利用三角函数的定义求角α的三角函数值时，若角α终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论．任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关． (2)三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况． (3)与向量等问题形成的交汇问题．抓住问题的实质，寻找相应的角度，然后通过解三角形求得解．