2022-2023学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷1. 直线x+y−√3=0的倾斜角等于( )A. 45∘B. 90∘C. 120∘D. 135∘2. 抛物线x2=4y的准线方程为( )A. x=1B. x=−1C. y=1D. y=−13. 在空间直角坐标系O−xyz中，点A(1,3,0)，B(0,3,−1)，则( )A. 直线AB//坐标平面xOyB. 直线AB⊥坐标平面xOyC. 直线AB//坐标平面xOzD. 直线AB⊥坐标平面xOz4. 在(2x+1)4的展开式中，x2的系数为( )A. 6B. 12C. 24D. 365. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，AA1=1，则二面角D1−BC−D的余弦值为( )A. √55B. 2√55C. √1010D. 3√10106. 若直线3x+4y+m=0与圆(x+1)2+y2=1相离，则实数m的取值范围是( )A. (−∞,−8)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪(8,+∞)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−∞,−8)∪(8,+∞)7. 2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有( )A. A33种B. 2A33种C. A55−A33种D. A53种8. 设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件9. 如图是一个椭圆形拱桥，当水面在l处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆．此时拱顶离水面2m，水面宽6m，那么当水位上升1m时，水面宽度为( )A. 3√3mB. 3√32m C. 4√2m D. 4√23m10. 设点A(1,0)，N(−2,3)，直线l：x+ay+2a−1=0，AM⊥l于点M，则|MN|的最大值为( )A. √34B. 6C. 4D. 3√2+111. 设A(−3,2)，B(1,−4)，则过线段AB的中点，且与AB垂直的直线方程为______.12. 在(x+1√x)6的展开式中，常数项等于______.13. 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，点A在抛物线C上，点B(3,0)，且|AF|=|BF|，则|AB|=______.14. 记双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值______.15. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E为棱DD1的中点，F是正方形CDD1C1内部(含边界)的一个动点，且B1F//平面A1BE.给出下列四个结论：①动点F的轨迹是一段圆弧；②存在符合条件的点F，使得B1F⊥A1B；③三棱锥B1−D1EF的体积的最大值为23；④设直线B1F与平面CDD1C1所成角为θ，则tanθ的取值范围是[2,2√2].其中所有正确结论的序号是______.16. 从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动．(Ⅰ)共有多少种不同的选择方法？(Ⅰ)若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？17. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，PA=AB=2.(Ⅰ)求证：BC⊥PE；(Ⅰ)求平面PAB与平面PBD夹角的余弦值．18. 在平面直角坐标系中，A(−1,0)，B(1,0)，曲线C是由满足直线PA与PB的斜率之积等于定值λ(λ∈R)的点P组成的集合．(Ⅰ)若曲线C是一个圆(或圆的一部分)，求λ的值；(Ⅰ)若曲线C是一个双曲线(或双曲线的一部分)，且该双曲线的离心率e≥√2，求λ的取值范围．19. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(√3,0)，其长轴长是短轴长的2倍．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅰ)记斜率为1且过点F的直线为l，判断椭圆C上是否存在关于直线l对称的两点A，B？若存在，求直线AB的方程；若不存在，说明理由．20. 如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB//CD，AD=CD=1，AA1= AB=2，E为线段AA1的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：AD⊥BE；条件②：BC=√2.(Ⅰ)求直线CE与B1D1所成角的余弦值；(Ⅰ)求点C1到平面BCE的距离；(Ⅰ)已知点M在线段CC1上，直线EM与平面BCC1B1所成角的正弦值为2√23，求线段CM的长．21. 已知椭圆C：x2t+1+y26−t=1的焦点在x轴上，且离心率为12.(Ⅰ)求实数t的值；(Ⅰ)若过点P(m,n)可作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1，l2均与椭圆C相切．证明：动点P 组成的集合是一个圆．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由直线x +y −√3=0，可得直线的斜率为k =−1，设其倾斜角为α，(0∘≤α<180∘)，则tanα=−1，∴α=135∘，即直线x +y −√3=0的倾斜角的大小为135∘.故选：D.由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得直线的倾斜角．本题考查直线倾斜角的求法，考查倾斜角与斜率的关系，是基础题．2.【答案】D【解析】解：因为抛物线的标准方程为：x 2=4y ，焦点在y 轴上；所以：2p =4，即p =2，所以：p 2=1，∴准线方程y =−1，故选：D.先根据抛物线的标准方程得到焦点在y 轴上以及2p =4，再直接代入即可求出其准线方程． 本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置． 3.【答案】C【解析】解：由A(1,3,0)，B(0,3,−1)，知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,−1)，因为平面xOz 的一个法向量为n ⃗ =(0,1,0)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，又AB ⊄平面xOz ，所以直线AB//坐标平面xOz.故选：C.平面xOz 的一个法向量为n ⃗ =(0,1,0)，易得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，再由线面平行的判定定理，得解．本题考查空间中线面的位置关系，熟练掌握利用空间向量判断线面平行或垂直的方法是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：(2x+1)4的展开式通项为T r+1=C4r(2x)4−r1r=C4r×24−r x4−r，令4−r=2，解得r=2，故x2的系数为C42×22=24.故选：C.在二项展开式的通项中，令x的指数为2，求出参数值，然后代入通项，即可求解．本题主要考查二项式定理，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，BC⊥平面CC1D1D，CD1⊂平面CC1D1D，所以BC⊥CD1，又CD⊥BC，所以∠DCD1为二面角D1−BC−D的平面角，因为DD1=AA1=1，CD=AB=3，所以CD1=√10，所以cos∠DCD1=CDCD1=3√10=3√1010，即二面角D1−BC−D的余弦值为3√1010.故选：D.根据条件，可知二面角D1−BC−D的平面角为∠DCD1，然后求出cos∠DCD1即可．本题主要考查二面角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：圆(x+1)2+y2=1的圆心为(−1,0)，半径为1，因为直线3x+4y+m=0与圆(x+1)2+y2=1相离，所以|−3+m|√32+42>1，即得m<−2或m>8，故选：B.根据题意可得圆心到直线的距离大于半径，由此建立关于m的不等式，解出即可．本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：先安排两位老师有A22=2种排法，三位获奖学生有A33种排法，共有站法2A33，故选：B.先将两位老师安排，再将学生全排列，即可解出．本题考查了统计与概率，学生的数学运算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：因为“a =1”时，“直线l 1：ax +2y =0与l 2：x +(a +1)y +4=0”化为l 1：x +2y =0与l 2：x +2y +4=0，显然两条直线平行；如果“直线l 1：ax +2y =0与l 2：x +(a +1)y +4=0平行”必有a(a +1)=2，解得a =1或a =−2，所以“a =1”是“直线l 1：ax +2y =0与l 2：x +(a +1)y +4=0平行”的充分不必要条件． 故选：A.利用a =1判断两条直线是否平行；通过两条直线平行是否推出a =1，即可得到答案．本题考查充要条件的判断，能够正确判断两个命题之间的条件与结论的推出关系是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：如图所示，建立平面直角坐标系，由题意可知，椭圆的长半轴长a =3，短半轴长b =2，所以椭圆方程为：x 29+y 24=1，令y =1得，x =±3√32，故水面的宽度为：3√3，故选：A.根据题意建立平面直角坐标系，得出椭圆的方程，即可解出．本题考查了椭圆的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：直线l ：x +ay +2a −1=0，则x −1+a(y +2)=0，则{x −1=0y +2=0，解得x =1，y =−2，即直线l 恒过点P(1,−2)， 设M(x,y)，∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y +2)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y)，∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1)(x −1)+y(y +2)=0，即(x −1)2+(y +1)2=1故点M 的轨迹为(x −1)2+(y +1)2=1，该轨迹是以(1,−1)为圆心，半径为1的圆，∴|MN|max =√(1+2)2+(−1−3)2+1=6.故选：B.先求出直线l 过定点(1,−2)，再根据条件求出点M 的轨迹方程，再结合轨迹方程求出|MN|的最大值．本题考查的知识要点：定点的直线系，圆的方程，向量的数量积，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．11.【答案】2x −3y −1=0【解析】解：A(−3,2)，B(1,−4)，则k AB =2+4−3−1=−32，则与AB 垂直的直线方程的斜率k =23，线段AB 的中点坐标为(−1,−1)，故过线段AB 的中点，且与AB 垂直的直线方程为y +1=23(x +1)，即2x −3y −1=0. 故答案为：2x −3y −1=0.求出中点坐标公式，直线与直线垂直，点斜式方程即可求出．本题考查了中点坐标和直线与直线的垂直，属于基础题．12.【答案】15【解析】解：(x √x )6展开式的通项为T r+1=C 6r ⋅x 6−r ⋅x −r 2=C 6r ⋅x 6−3r 2，6−3r2=0，得r =4， 故展开式的常数项为第5项：C 64=15. 故答案为：15.利用二项展开式的通项公式求出第r +1项，令x 的指数为0得常数项．本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．13.【答案】2√2【解析】解：F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点(1,0)，点A 在C 上，点B(3,0)，|AF|=|BF|=2， 由抛物线的定义可知A(1,2)(A 不妨在第一象限)，所以|AB|=√(3−1)2+(−2)2=2√2. 故答案为：2√2.利用已知条件，结合抛物线的定义，求解A的坐标，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题．14.【答案】2(e∈(1,√5]内的任意一个值都满足题意)【解析】解：双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，e=ca，双曲线的渐近线方程为y=±bax，直线y=2x与C无公共点，可得ba ≤2，即b2a2≤4，即c2−a2a2≤4，可得1<e≤√5，满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值可以为：2.故答案为：2(e∈(1,√5]内的任意一个值都满足题意).求出双曲线渐近线方程，利用直线y=2x与C无公共点，推出a，b的不等式，即可得到离心率的范围．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．15.【答案】②③④【解析】解：对于①，分别取CC1和D1C1的中点N，M，连接MN，MB1，NB1，由正方体的性质知MN//A1B，NB1//EA1，NB1⊄平面A1BE，A1B、EA1⊂平面A1BE，∴MN，NB1//平面A1BE，又MN，NB1⊂平面MNB1，MN∩NB1=N，∴平面A1BE//平面MNB1，当F在MN上运动时，有B1F//平面A1BE，∴动点F的轨迹是线段MN，故①错误；对于②，当F为线段MN中点时，∵MB1=NB1，∴B1F⊥MN，又MN//A1B，∴B1F⊥A1B，故②正确；对于③，三棱锥B1−D1EF的体积V=13S△D1EF⋅B1C1=23S△D1EF，又(S△D1EF )max=12×2×1=1，∴三棱锥的体积最大值为23，故③正确；对于④，连接B1F，C1F，则B1F与平面CDD1C1所成角θ=∠B1FC1，则tanθ=2C1F，∵√22≤C1F≤1，∴tanθ的范围是[2,2√2]，故④正确．故答案为：②③④．对于①，利用线线平行能证明平面A1BE//平面MNB1，由此能求出点F的轨迹；对于②，利用线线垂直的判定与性质直接求解；对于③，利用三棱锥体积公式直接求解；对于④，利用线面角的定义结合三角形性质直接求解．本题考查线面平行、线线垂直的判定与性质、三棱锥体积公式、线面角定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知选取的方法共有C73=35种选法，(Ⅰ)由题意选取的人为1女2男，2女1男，共有C31C42+C32C41=18+12=30种选法．【解析】利用排列，组合的简单计数原理对各个问题逐个求解即可．本题考查了排列，组合的简单计数原理的应用，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)证明：因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，又底面ABCD为正方形，所以AB⊥BC，又PA∩BA=A，且PA，BA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，因为PE⊂平面PAB，所以BC⊥PE.(Ⅰ)以A点为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)， 则PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)， 设平面PBD 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x −2z =02y −2z =0，令z =1，可得n ⃗ =(1,1,1)，易知AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)是平面PAB 的一个法向量， 所以cos <n ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√3×2=√33，所以平面PAB 与平面PBD 夹角的余弦值为√33.【解析】(Ⅰ)根据线面垂直的性质定理，可得PA ⊥BC ，再根据底面是正方形可证明线面垂直，由线面垂直的性质，即可得BC ⊥PE ；(Ⅰ)建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面PAB 与平面PBD 的法向量，由向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值．本题主要考查直线与平面垂直的证明，平面与平面所成角的求法，考查转化思想、逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)设点P 的坐标为(x,y)，A(−1,0)，B(1,0)，∴k PA ⋅k PB =y x+1⋅yx−1=λ，则λx 2−y 2=λ，其中(x ≠±1)，当曲线C 是一个圆(或圆的一部分)时，则λ=−1，此时圆的方程为x 2+y 2=1，(x ≠±1)； (2)曲线C 是一个双曲线(或双曲线的一部分)，由(Ⅰ)可得x 2−y 2λ=1， ∴焦点在x 轴上，此时a 2=1，b 2=λ， 则c =√a 2+b 2=√1+λ，则e =c a=√1+λ≥√2，解得λ≥1，故λ的取值范围为[1,+∞).【解析】(Ⅰ)根据斜率公式即可求出点的轨迹方程，根据轨迹方程，即可求出λ=−1，此时圆的方程为x 2+y 2=1，(x ≠±1)；(Ⅰ)由轨迹方程可得焦点在x 轴上，此时a 2=1，b 2=λ，根据离心率公式即可求出． 本题考查了点的轨迹方程，双曲线的性质和圆的性质，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得c =√3=√a 2−b 2，a =2b ，解得a 2=4，b 2=1，所以椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1；(Ⅰ)由题意可得直线l 的方程为y =x −√3，假设存在A ，B 满足条件，则可得直线l 为线段AB 的中垂线，所以直线AB 的斜率为−1， 设直线AB 的方程为y =−x +t ，设A(x 1,y 1,B(x 2,y 2),则AB 的中点D(x 1+x 22,y 1+y 22)，由题意可得D 在直线l 上，联立{y =−x +t x 2+4y 2=4，整理可得：5x 2−8tx +4t 2−4=0， 可得Δ=64t 2−4×5×(4t 2−4)>0，即t 2<5，即−√5<t <√5， x 1+x 2=8t5，y 1+y 2=−(x 1+x 2)+2t =−8t5+2t =2t5， 所以D(4t 5,t5)，将D 的坐标代入直线l 上，可得：t 5=4t5−√3，可得t =5√33>√5，不符合Δ>0，所以椭圆上不存在关于直线l 的对称A ，B 两点．【解析】(Ⅰ)由离心率可得a ，b 的关系，再由长轴长是短轴长的2倍，可得a ，b 的关系，两式联立求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；(Ⅰ)由题意可得直线l 的方程，假设存在满足题中的条件，可得直线l 为线段AB 的中垂线，设直线AB 的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和，进而求出AB 的中点D 的坐标，可得D 点在直线l 上，可得参数的值，不符合Δ>0的条件．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，点关于直线的对称的性质的应用，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)选择条件①：AD ⊥BE ，由AA 1⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ，知AA 1⊥AD ，因为AD ⊥BE ，AA 1∩BE =E ，AA 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，所以AD ⊥平面ABB 1A 1， 所以AD ⊥AB ，故以A 为坐标原点，AD ，AB ，AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(1,1,0)，E(0,0,1)，B 1(0,2,2)，D 1(1,0,2)， 所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,0)， 设直线CE 与B 1D 1所成角为θ，则cosθ=|cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=−1+2√3×√5=√1515，所以直线CE 与B 1D 1所成角的余弦值为√1515.选择条件②：BC =√2，过点C 作CF//DA ，交AB 于点F ，因为AB//CD ，所以四边形ADCF 为平行四边形，所以CF =AD =1，AF =CD =1， 所以BF =AB −AF =1，因为BC =√2，所以BF 2+CF 2=BC 2，即CF ⊥AB ，所以AD ⊥AB ，故以A 为坐标原点，AD ，AB ，AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(1,1,0)，E(0,0,1)，B 1(0,2,2)，D 1(1,0,2)， 所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,0)， 设直线CE 与B 1D 1所成角为θ，则cosθ=|cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√3×√5=√1515，所以直线CE 与B 1D 1所成角的余弦值为√1515.(Ⅰ)C 1(1,1,2)，B(0,2,0)，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)，设平面BCE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x −y +z =0x −y =0，令x =1，则y =1，z =2，所以n ⃗ =(1,1,2)， 所以点C 1到平面BCE 的距离d =|CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n⃗ |=√6=2√63.(Ⅰ)设CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λCC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，则M(1,1,2λ)，EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2λ−1)，设平面BCC 1B 1的法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b,c)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{a −b =02c =0，令a =1，则b =1，c =0，所以m ⃗⃗⃗ =(1,1,0)， 因为直线EM 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为2√23， 所以|cos <EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=2√23，即|EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m⃗⃗⃗ |=2√23， 所以√2+(2λ−1)×√2=2√23，化简得16λ2−16λ+3=0，解得λ=14或34，所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 或CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故线段CM 的长为12或32.【解析】(Ⅰ)选择条件①：由AA 1⊥AD ，AD ⊥BE ，可证AD ⊥平面ABB 1A 1，从而有AD ⊥AB ，故以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设直线CE 与B 1D 1所成角为θ，由cosθ=|cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|，得解；选择条件②：过点C 作CF//DA ，交AB 于点F ，可证四边形ADCF 为平行四边形，再结合勾股定理证明CF ⊥AB ，从而知AD ⊥AB ，故以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设直线CE 与B 1D 1所成角为θ，由cosθ=|cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|，得解； (Ⅰ)求得平面BCE 的法向量n ⃗ ，由d =|CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n⃗ |，即可得解； (Ⅰ)设CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λCC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，求得平面BCC 1B 1的法向量m⃗⃗⃗ ，由|cos <EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=2√23，可得关于λ的方程，解之即可．本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用空间向量求异面直线夹角、线面角以及点到面的距离的方法是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由已知得t +1>6−t >0，解得52<t <6，且a 2=t +1，b 2=6−t ，故c =√a 2−b 2=√2t −5， 故e =ca =√2t−5√t+1=12，解得t =3；(Ⅰ)证明：由(Ⅰ)知椭圆方程为x 24+y 23=1，当一条切线的斜率存在且不为0时，设其方程为y =kx +d ，(k ≠0)，代入椭圆的标准方程化简后得：(3+4k 2)x 2+8kdx +4d 2−12=0，因为是切线，故Δ=(8kd)2−4(3+4k 2)(4d 2−12)=0，化简得4k 2−d 2+3=0①， 设该切线过点P(m,n)，故n =km +d ，得d =n −km ，代入①式化简得4k 2−n 2+2kmn −k 2m 2+3=0②，再将−1代入上式整理得4−k2n2−2kmn−m2+3k2=0③，k②+③得7(1+k2)=(1+k2)(m2+n2)，故m2+n2=7④，当k=0或不存在时，两切线只能是x=±2，且y=±√3，它们的交点为(±2,±√3)，显然满足方程④，故动点P组成的集合是以原点为圆心，半径为√7的圆．【解析】(Ⅰ)利用离心率的计算公式直接求解；(Ⅰ)根据写出l1，l2的点斜式方程y=kx+d，与椭圆的方程联立，利用Δ=0得到，k，d的关系式是另一①，再将(m,n)代入切线方程，整理后代入①式，找到m，n的一个关系式②，再利用−1k条切线的斜率，替换②式中的t，得到另一个m，n的关系式③，最后结合②③两式不难得到结论，最后验证斜率不存在的情况．本题考查椭圆的标准方程和离心率的求法，同时考查了直线与椭圆的位置关系问题的解题思路，属于难题．。