2019天津市高二上学期数学期末考试试题

高二数学第一学期期末联考

一、选择题（每小题 5 分，共 8 小题，共 40 分）

z

1．复数

A ．0

12i 1i

i ，则 z

（ ）

B ．

C ．1

D ．

2．已知等差数列

a

n

的公差为 2，前

项和为 ，且

，则 a 8

的值为（ ）

A ．16

B ．15

C ．14

3．下列叙述中正确的是（ ）

D ．13

A ．若

a ,

b ,

c R

，则“

x R , ax

2

bx c 0

”的充分条件是“ b 2 4a c 0 ”

B ．若

a ,

b ,

c R

，则“ ab 2

cb

2

”的充要条件是“ a c ”

C ．命题“

x R , x

”的否定是“

x R , x

2

”

D ．

a

n

是等比数列，则 0

q 1是

a

n

为单调递减数列的充分条件

x 2 y 2

4．已知直线 2 2 x y 4 2 0 经过椭圆

1( a b 0) a 2 b 2

的左焦点

F 1

，且与椭

圆在第二象限的交点为 M ，与 y 轴的交点为 N ， F 是椭圆的右焦点,且 2

则椭圆的方程为（ ）

MN

M F 2

，

x 2

y 2

A ．

1

40 4

x 2 B ．

y 5

2

1

x 2

C ． y 10

2

1

x 2 y 2 D ．

1

9 5

5．如图所示，在长方体 ABCD －A B C D 中，AD ＝AA ＝2，AB ＝4，点 E 是棱 AB 的中

1 1 1 1 1

点，则点 E 到平面 ACD 的距离为（ ）

1 A ．

1 C ． 3

6．已知 ，

，则

是

2 B ．

3

D ． 2

的（

）

A ．充分不必要条件 C ．充要条件

B ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

7．已知函数

是定义在 R 上的偶函数，当

x 0

时，

xf '(x ) f ( x ) ，若

，则不

2

等式x f(x)0的解集为（）

A．或B．或C．或D．或

8．过双曲线x2y2

1

a2b2

的左焦点作圆x2y2a2的切线，切点为，延长交

抛物线y24cx于点，若F E

11

2

F P

1

，则双曲线的离心率是（）

A．1 5

1

B．

1 3

1

C．

35

2

D．

5

2

二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）

x2y2

9．已知方程1

5k42k

表示椭圆，则的取值范围为__________.

10．设公比为的正项等比数列的前项和为，且，若

，则__________.

11．在正四面体P ABC中，棱长为2，且E是棱

uur uuur

中点，则P E BC的值为__________.

12．已知，，且11b

1，则4a 2b

a b a

的最小值等于__________.

13．设抛物线y22px（p 0）的焦点为F，准线为l.过焦点的直线分别交抛物线于A,B

两点，分别过A,B作l的垂线，垂足为C,D.若AF 3BF

为3，则的值为___________.

，且三角形C DF的面积

14．已知函数f(x)e

x

x

3

3k ln x k(1x)，若x 3是函数唯一的极值点，则实数的

取值范围为__________.

三、解答题（共6小题，共80分）

15．（13分）数列的前项和为，已知a 1，(2n 1)a1

n 1(2n 3)S

n

.其中n N*

S

（Ⅰ）证明：数列是等比数列；

2n 1

（Ⅱ）求数列

S

的前

n

项和. p

n

16．（13分）已知函数f(x)ln(x a)x2x在x 0处取得极值.（Ⅰ）求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）若关于的方程f(x)5

2

x b在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取

值范围.

17．（13分）在如图所示的多面体中，E A 平面ABC，DB 平面ABC，AC B C，且AC BC BD 2A E 2，M是AB的中点.

（Ⅰ）求证：CM E M；

（Ⅱ）求平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值；

（Ⅲ）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与

平面EMC所成的角是60.若存在，指出点N的位置；

若不存在，请说明理由.

18．（13分）已知数列

a

满足

n

a

1

1，a

n 1

1

1

4a

n

，其中n N*

（Ⅰ）设b

n

2

2a 1

n

，求证：数列

b是等差数列，并求出

n

a的通项公式；

n

（Ⅱ）设c

n 4a

n

n 1

，数列cc

n n

2

的前n项和为T，是否存在正整数m，使得T

n n

1

c c

m m 1

对于n N*恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.

19．（14分）已知椭圆C：x2y2

1(a b 0)

a2b2

的离心率e

1

2

，左顶点为A

4,0

，

过点A作斜率为k k 0的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.O点为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k k 0都

有OP E Q，若

m