北京市2016届高三数学文一轮复习导数 解三角形,数列,圆锥曲线专题突破训练
2016北京市高考压轴卷数学(理)附答案解析
2016北京市高考压轴卷理科数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N = （ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]-2.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．33.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F∠=（ ） A ．14 B ．13C 2D 24.若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）A ．2B 2C ．1D 2 5.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤6.若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰（ ）A.1-B.13- C.13D.1 7.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<8.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nmy x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 210第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）9.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .10.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 11.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.12.已知曲线C ：24x y =--直线l ：x=6。
北京市部分区2016届高三上学期期中期末考试数学文分类汇编：三角函数
北京市部分区2016届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编 三角函数一、选择题1、（朝阳区2016届高三上学期期中）已知1tan 3θ=，那么πtan ()4θ+等于 A ．2 B ．2- C ．12D ． 12-2、（朝阳区2016届高三上学期期中）要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数sin 2y x =的图象A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位3、（大兴区2016届高三上学期期末）如图，已知某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++（其中0A >,0ω>，ππ2ϕ<<），那么12时温度的近似值（精确到1C ︒）是（A ）25C o （B ）26C o （C ）27C o （D ）28C o 4、（东城区2016届高三上学期期中）已知角α的边经过点P （－1,0），则cos α的值为 A 、0 B 、－1 C 、－22 D 、225、（东城区2016届高三上学期期中）已知函数的最小正周期为π，为了得到函数和图象，只要将y ＝f （x ）的图象A 、向左平移8π个单位长度 B 、向右平移8π个单位长度 C 、向左平移4π个单位长度 D 、向右平移4π个单位长度6、（东城区2016届高三上学期期中）已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中P ，Q 分别是这段图象的最高点和最低点，M ，N 是图象与x 轴的交点，且∠PMQ ＝90°，则A 的值为A 、1B 、2C 、3D 、27、（丰台区2016届高三上学期期末）函数()=sin2cos 2f x x x -的一个单调递增区间是（A ）3[,]44ππ-（B ）3[,]44ππ- （C ）3[,]88ππ- （D ）3[,]88ππ- 8、（海淀区2016届高三上学期期中）已知函数，下列结论中错误．．的是 A ．B ．的最小正周期为 C ．的图象关于直线对称D ．的值域为[,]参考答案1、A2、B3、C4、B5、A6、C7、D8、D 二、填空题1、（昌平区2016届高三上学期期末）在ABC ∆中，3a =，2c =，1cos 3B =，则b = ；sinC = .2、（朝阳区2016届高三上学期期末）在ABC ∆中，若1BC =，2AC =，1cos 4C =，则AB = ,sin A = .3、（朝阳区2016届高三上学期期中）已知函数()2sin f x x ω=(0>ω)的最小正周期为π，则=ω ，在(0,)π内满足0)(0=x f 的0x ＝ ．4、（朝阳区2016届高三上学期期中）若函数()sin cos f x a x x =+在区间ππ(,)64上单调递增，则实数a的取值范围是 .5、（大兴区2016届高三上学期期末）在ABC∆中，2a=，7b=，60B=o，则ABC∆的面积等于6、（东城区2016届高三上学期期末）在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c，且42c=,45B=o,面积2S=，则a=_________；b=_________.7、（东城区2016届高三上学期期中）在△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，8、（海淀区2016届高三上学期期末）已知ABC∆，若存在111A B C∆，满足111cos cos cos1sin sin sinA B CA B C===,则称111A B C∆是ABC∆的一个“友好”三角形.(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的条件的序号）①90,60,30A B C===o o o；②75,60,45A B C===o o o；③75,75,30A B C===o o o.(ii) 若ABC∆存在“友好”三角形，且70A=o，则另外两个角的度数分别为___.9、（海淀区2016届高三上学期期中）若角α的终边过点（1，-2），则cos()2πα+=_____.10、（石景山区2016届高三上学期期末）在△ABC中，角,,A B C的对边分别为,,a b c.15a=，10b=，60A=o，则sin B=____________11、（顺义区2016届高三上学期期末）在ABCV中，若16,4,cos3BC AB B===，那么_________.AC=12、（西城区2016届高三上学期期末）在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若πsin cos()2A B=-，3a=，2c=，则cos C=____；∆ABC的面积为____.参考答案1、3；4292、2153、2,2π4、[1,)+∞5336、1 , 57、138、②；4565o o ，9 1011、6 12、79 ;三、解答题1、（昌平区2016届高三上学期期末）已知函数22()2sin cos cos sin .f x x x x x -=+（I ）求()f x 的最小正周期； （II ）求()f x 的单调递增区间.2、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知函数2()cos cos f x x x x a =++的图象过点(,1)6π. （Ⅰ）求实数a 的值及函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在[0,]2π上的最小值.3、（朝阳区2016届高三上学期期中）已知函数2()cos2cos 222x x x f x =+. （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 的单调递减区间.4、（大兴区2016届高三上学期期末）已知函数2()cos cos f x x x x =+．（Ⅰ）求π()6f 的值；（Ⅱ）当π[,0]2x ∈-时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的值．5、（东城区2016届高三上学期期末）已知函数()sin()(0,02)f x x ωϕωϕ=+><<π在一个周期内的部分对应值如下表：（Ⅱ）求函数()()2sin g x f x x =+的最大值和最小值.6、（东城区2016届高三上学期期中）设函数（I ）求f （x ）的单调递增区间； （II ）求f （x ）在区间上的最大值和最小值。
2016年高考北京卷文数试题解析(正式版)(解析版)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作绝密★启用前本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）（1）已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则AB =（A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或 （C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，(2,3)A B =，故选C.考点： 集合交集 （2）复数12i=2i+- （A ）i （B ）1+i （C ）i - （D ）1i - 【答案】A考点：复数运算（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）8（B）9（C）27（D）36【答案】B考点：程序框图（4）下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是（A）11yx=-（B）cosy x=（C）ln(1)y x=+（D）2xy-=【答案】D 【解析】试题分析：由12()2x xy-==在R上单调递减可知D符合题意，故选D.考点：函数单调性（5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）22 【答案】C 【解析】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知|103|22d --+==，故选C. 考点：直线与圆的位置关系（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（A ）15 （B ）25 （C ）825 （D ）925【答案】B 【解析】试题分析：从5名学生中随机选出2人有10种选法，甲被选中的情况有4种，故所求概率为42105P ==，故选B.考点： 古典概型（7）已知A （2，5），B （4，1）.若点P （x ，y ）在线段AB 上，则2x −y 的最大值为（A ）−1 （B ）3 （C ）7 （D ）8 【答案】C考点： 函数最值（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次） 63a7560637270a −1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（A ）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B ）5号学生进入30秒跳绳决赛 （C ）8号学生进入30秒跳绳决赛 （D ）9号学生进入30秒跳绳决赛 【答案】B 【解析】试题分析：将确定的30秒跳绳成绩按从大到小的顺序排列，分别是3，6，7，10，1、5并列，4，其中，3，6，7号进入立定跳远的决赛，此时可确定3，6，7号进入30秒跳绳比赛决赛的名单，现还需3个编号为1~8的同学进入决赛，而1、5并列，2与8的成绩仅相隔1，故只能1，5进入30秒跳绳的决赛，故选B. 考点：统计第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2016年高考题解三角形、不等式
2016年高考题----解三角形、不等式1.若,10,1<<>>c b a 则（ ）c c b a A <. c c ba ab B <. c b c a C a b log log .< c c D b a log log .<2.ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a =+)cos cos (cosC 2。
（1）求C;（2）若ABC c ∆=,7的面积为，233求ABC ∆的周长。
3.ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,,若_______,1,135cos ,54cos ====b a C A 则 4.定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意m k 2≤，k a a a ,,,21⋅⋅⋅中0的个数不少于1的个数。
若m=4,则不同的“规范01数列”共有（ ）A.18个B.16个C.14个D.12个5.,0220201,⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-y x y x y x y x 满足约束条件若则z=x+y 的最大值为_______6.已知,,R y x ∈且0>>y x ，则（ ）011.>-yx A 0sin sin .>-y x B 0)21(21.<-y x C ）（ 0ln ln .>+y x D 7.ABC ∆中，.2222ac b c a +=+（1）求B ∠的大小。
（2）求C A cos cos 2+的最大值。
4,54cos 6.8π===∆C B AC ABC ，中，在. （1）求AB 的长；（2）求)6cos(π-A 的值。
9.设集合{}R x y y A x ∈==,2,{}=<-=B A x x B 则,012（ ） A.（-1,1） B.（0,1） C.（-1，+∞） D.（0，+∞）10.若⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+093-22,x y x y x y x 满足，则22y x +的最大值是（ ）A.4B.9C.10D.1211.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,。
【4份】2016届高三数学(文)二轮复习限时速解训练：专题四 数列
【4份】2016届高三数学（文）二轮复习限时速解训练：专题四 数列目录限时速解训练十二 ................................................................................................................... 1 限时速解训练十三 ................................................................................................................... 4 限时速解训练十四 ................................................................................................................... 8 限时速解训练十五 .. (10)限时速解训练十二(建议用时45分钟)1．(2015·高考北京卷)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与{a n }的第n 项相等？ 解：(1)∵a 4－a 3＝2，∴d ＝2，∴a 1＋a 1＋d ＝10，∴a 1＝4 ∴a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2. (2)由(1)得a 3＝2×3＋2＝8，∴b 2＝8 a 7＝2×7＋2＝16，b 3＝16 ∴公比q ＝b 3b 2＝2∴b 6＝b 3·q 3＝16×23＝128 ∴128＝2n ＋2，∴n ＝63 即b 6与a 63相等．2．(2016·郑州市模拟)已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，且a 3，a 4＋52，a 11成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知d >0， 因为a 3，a 4＋52，a 11成等比数列，所以⎝⎛⎭⎫a 4＋522＝a 3a 11， 所以⎝⎛⎭⎫72＋3d 2＝(1＋2d )(1＋10d )，即44d 2－36d －45＝0，所以d ＝32⎝⎛⎭⎫d ＝－1522舍去， 所以a n ＝3n －12.(2)b n ＝1a n a n ＋1＝4(3n －1)(3n ＋2)＝43⎝⎛⎭⎫13n －1－13n ＋2， 所以T n ＝43⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12－15＋⎝⎛⎭⎫15－18＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －1－13n ＋2＝2n3n ＋2.3．(2016届石家庄市高中模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *，λ≠－1)，且a 1、2a 2、a 3＋3为等差数列{b n }的前三项． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和．解：(1)法一：∵a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)， ∴a n ＝λS n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝λa n ，即a n ＋1＝(λ＋1)a n (a ≥2)，λ＋1≠0， 又a 1＝1，a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，∴数列{a n }是以1为首项，公比为λ＋1的等比数列， ∴a 3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1， ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.法二：∵a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，a 3＝λS 2＋1＝λ(1＋λ＋1)＋1＝λ2＋2λ＋1， ∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1， ∴a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)， ∴a n ＝S n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝a n (n ≥2)，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)， 又a 1＝1，a 2＝2，∴数列{a n }是以1为首项，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)由(1)知，a n b n ＝(3n －2)×2n －1，设T n 为数列{a n b n }的前n 项和，∴T n ＝1×1＋4×21＋7×22＋…＋(3n －2)×2n －1，①∴2T n ＝1×21＋4×22＋7×23＋…＋(3n －5)×2n －1＋(3n －2)×2n .②①－②得，－T n ＝1×1＋3×21＋3×22＋…＋3×2n －1－(3n －2)×2n＝1＋3×2×(1－2n －1)1－2－(3n －2)×2n ，整理得：T n ＝(3n －5)×2n ＋5.4．(2015·高考湖南卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .(1)证明：由条件，对任意n ∈N *，有 a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n ∈N *，n ≥2，有 a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3.两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1. 故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n . (2)解：由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3. 于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 1＝2，公比为3的等比数列．因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1.于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1)＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝3(3n －1)2，从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n －1)2－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)．综上所述，S n＝⎩⎨⎧32(5×3n －32－1)，n 是奇数，32(3n2－1)，n 是偶数.限时速解训练十三(建议用时30分钟)1(2015·高考重庆卷)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6详细分析：选B.根据等差数列的性质求解．∵{a n }为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2，即a 6＝2×2－4＝0.2．(2015·高考浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A ．a 1d >0，dS 4>0 B ．a 1d <0，dS 4<0 C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0详细分析：选B.利用a 3，a 4，a 8成等比数列建立等式，整体确定a 1d 的正负；写出dS 4的表达式，分析其符号．∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0.3．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8详细分析：选D.(1)∵a 4－2a 27＋3a 8＝0，∴2a 27＝a 4＋3a 8， ∴2a 27＝a 5＋a 7＋2a 8＝a 5＋a 7＋a 7＋a 9，即2a 27＝4a 7，∴a 7＝2，∴b 7＝2，又∵b 2b 8b 11＝b 6b 8b 7＝b 27b 7＝(b 7)3＝8，故选D.4．在等差数列{a n }中a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5·a 6的最大值等于( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．36详细分析：选C.∵a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，得a 5＋a 6＝305＝6，又a n >0，∴a 5·a 6≤⎝⎛⎭⎫a 5＋a 622＝⎝⎛⎭⎫622＝9.5．已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在经过点(8,4)的定直线l 上，则数列{a n }的前15项和S 15＝( ) A ．12B ．32C ．60D ．120详细分析：选 C.∵点(n ，a n )在定直线上，∴数列{a n }是等差数列，且a 8＝4，∴S 15＝(a 1＋a 15)×152＝2a 8×152＝15a 8＝60.6．已知数列{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( ) A ．－110 B ．－90 C ．90D ．110详细分析：选D.a 7是a 3与a 9的等比中项， 公差为－2， 所以a 27＝a 3·a 9. 所以a 27＝(a 7＋8)(a 7－4)， 所以a 7＝8，所以a 1＝20，所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.故选D.7．(2015·高考福建卷)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9详细分析：选D.先判定a ，b 的符号，再列方程组求解．不妨设a >b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴a >0，b >0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝(－2)2，a －2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9. 8．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( ) A ．a 100＝－1，S 100＝5 B ．a 100＝－3，S 100＝5 C ．a 100＝－3，S 100＝2D ．a 100＝－1，S 100＝2详细分析：选A.依题意a n ＋2＝a n ＋1－a n ＝－a n －1，即a n ＋3＝－a n ，a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，故数列{a n }是以6为周期的数列a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0.注意到100＝6×16＋4，因此有a 100＝a 4＝－a 1＝－1，S 100＝16(a 1＋a 2＋…＋a 6)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝a 2＋a 3＝a 2＋(a 2－a 1)＝2×3－1＝5，故选A.9．(2016·太原市高三模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n (2n －1)·cos n π2＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则S 60＝( ) A ．－30 B ．－60 C ．90D ．120详细分析：选D.由题意可得，当n ＝4k －3(k ∈N *)时，a n ＝a 4k －3＝1；当n ＝4k －2(k ∈N *)时，a n ＝a 4k －2＝6－8k ；当n ＝4k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 4k －1＝1；当n ＝4k (k ∈N *)时，a n ＝a 4k ＝8k .∴a 4k －3＋a 4k －2＋a 4k －1＋a 4k ＝8，∴S 60＝8×15＝120.10．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝34，a 2·a n －1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7详细分析：选B.设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2a n －1＝a 1a n ＝64，又a 1＋a n ＝34，解得a 1＝2，a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2.当a 1＝2，a n ＝32时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q 1－q ＝62，解得q ＝2.又a n ＝a 1q n －1，所以2×2n －1＝2n ＝32，解得n ＝5.同理，当a 1＝32，a n ＝2时，由S n ＝62，解得q ＝12.由a n ＝a 1q n －1＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝2，得⎝⎛⎭⎫12n －1＝116＝⎝⎛⎭⎫124，即n －1＝4，n ＝5.综上，项数n 等于5，故选B.11．已知一个数列{a n }的各项是1或2，首项为1，且在第k 个1和第(k ＋1)个1之间有(2k －1)个2，即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，则前2 012项中1的个数为( ) A ．44 B ．45 C ．46D ．47详细分析：选B.依题意得，第k 个1和它后面(2k －1)个2的个数之和为2k ，按这个要求分组，每组数字的个数组成一个以2为首项、2为公差的等差数列，该数列的前n 项和等于n (2＋2n )2＝n (n ＋1)．注意到2 012＝44×45＋32，因此在题中的数列中，前2 012项中共有45个1，选B.12．已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝π2.若函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x2，记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( ) A ．0 B ．－9 C ．9D ．1详细分析：选C.由数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *可知该数列是等差数列，根据题意可知只要该数列中a 5＝π2，数列{y n }的前9项和就能计算得到一个定值，又因为f (x )＝sin2x ＋1＋cos x ，则可令数列{a n }的公差为0，则数列{y n }的前9项和为S 9＝(sin 2a 1＋sin 2a 2＋…＋sin 2a 9)＋(cos a 1＋cos a 2＋…＋cos a 9)＋9＝9sin 2a 5＋9cos a 5＋9＝9sin ⎝⎛⎭⎫2×π2＋9cos π2＋9＝9.13．数列{a n }是首项a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则a 2 015＝__________. 详细分析：设公比为q ，则a 5＝a 1q 4，a 3＝a 1q 2. 又4a 1，a 5，－2a 3成等差数列， ∴2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2， ∴得q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1或q 2＝－2(舍去)， ∴q ＝±1，∴a 2 015＝4·(±1)2 015－1＝4.答案：414．若数列{a n }满足1a n ＋1＝2a n ＋1a n 且a 1＝3，则a n ＝________.详细分析：由1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1a n ＝2，∴数列{1a n }是首项为13，公差为2的等差数列．∴1a n ＝13＋(n －1)×2＝2n －53， ∴a n ＝36n －5.答案：36n －515．(2015·高考广东卷)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 详细分析：根据等差数列的性质求解．因为等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，所以5a 5＝25，即a 5＝5.所以a 2＋a 8＝2a 5＝10. 答案：1016．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a na n.若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为__________．详细分析：a n ＝a ＋(n －1)×1＝n ＋a －1，所以b n ＝1＋a n a n ＝n ＋a n ＋a －1，因为对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，即n ＋a n ＋a －1≥8＋a8＋a －1(n ∈N *)恒成立，即n －8(a ＋7)(n ＋a －1)≤0(n ∈N *)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7<0，1－a <9， 解得－8<a <－7.答案：(－8，－7)限时速解训练十四(建议用时45分钟)1．已知等比数列{a n }中，a 1＝a ，a 2＝b ，a 3＝c ，a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且cos B ＝34.(1)求数列{a n }的公比q ；(2)设集合A ＝{x ∈N |x 2<2|x |}，且a 1∈A ，求数列{a n }的通项公式．解：(1)依题意知b 2＝ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12×⎝⎛⎭⎫a c ＋c a －12＝34，而ca＝q 2，代入上式得q 2＝2或q 2＝12，∵在三角形ABC 中，a ，b ，c >0， ∴q ＝2或q ＝22. (2)∵x 2<2|x |，∴x 4－4x 2<0，即x 2(x 2－4)<0， ∴－2<x <2且x ≠0， 又x ∈N ，∴A ＝{1}， ∴a 1＝1，∴a n ＝(2)n－1或a n ＝⎝⎛⎭⎫22n －1.2．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. (1)解：由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项a n ＝2n . (2)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n， 则b n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋2)2.T n ＝116⎣⎡⎦⎤1－132＋122－142＋132－152＋…＋1(n －1)2－1(n ＋1)2＋1n 2－1(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564. 3．已知数列{a n }是各项为正数的等比数列，数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2＋5n ，且满足a 4＝b 14，a 6＝b 126，令c n ＝log 2a n (n ∈N *)． (1)求数列{b n }及{c n }的通项公式；(2)设P n ＝cb 1＋cb 2＋…＋cb n ，Q n ＝cc 1＋cc 2＋…＋cc n ，试比较P n 与Q n 的大小，并说明理由．解：(1)b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)＝⎩⎪⎨⎪⎧6(n ＝1)2n ＋4(n ≥2)＝2n ＋4(n ∈N *)． 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 4＝b 14＝32，a 6＝b 126＝256， 得q 2＝a 6a 4＝8，即q ＝22(负值舍去)．所以a n ＝a 4·q n －4＝32·(2)3n－12＝(2)3n －2，所以c n ＝log 2a n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)由(1)知，cb n ＝3(2n ＋4)－2＝6n ＋10，所以{c bn }是以16为首项，6为公差的等差数列． 同理，cc n ＝3(3n －2)－2＝9n －8，{cc n }是以1为首项，9为公差的等差数列． 所以P n ＝cb 1＋cb 2＋…＋cb n ＝n (16＋6n ＋10)2＝3n 2＋13n ，Q n ＝cc 1＋cc 2＋…＋cc n ＝n (1＋9n －8)2＝92n 2－72n .所以P n －Q n ＝－32n (n －11)．故当1≤n ≤10时，P n >Q n ；当n ＝11时，P n ＝Q n ；当n ≥12时，P n <Q n . 4．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12.(1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2；(3)设b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )，n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值．(1)解：令x ＝y ＝1，∴f (2)＝f (1)2＝14令x ＝n ，y ＝1，∴f (n ＋1)＝f (n )f (1) ∴f (n ＋1)f (n )＝12∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，∴f (n )＝⎝⎛⎭⎫12n.(2)证明：设T n 为{a n }的前n 项和，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·⎝⎛⎭⎫12n ， ∴T n ＝12＋2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫12n . 12T n ＝⎝⎛⎭⎫122＋2×⎝⎛⎭⎫123＋3×⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫12n ＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1， 两式相减得12T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1， ∴T n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1－n ×⎝⎛⎭⎫12n <2. (3)解：∵f (n )＝⎝⎛⎭⎫12n，∴b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )＝(9－n )⎝⎛⎭⎫12n ＋1⎝⎛⎭⎫12n＝9－n2，∴当n ≤8时，b n >0；当n ＝9时，b n ＝0；当n >9时， b n <0.∴当n ＝8或9时，S n 取得最大值．限时速解训练十五(建议用时30分钟)1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4<0，a 5>|a 4|，则使S n >0成立的最小正整数n 为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9详细分析：选C.∵a 4<0，a 5>|a 4|， ∴a 4＋a 5>0，∴S 8＝8(a 4＋a 5)2＝8(a 1＋a 8)2>0.∴最小正整数为8.2．(2015·高考北京卷)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0 B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0 C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3 D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0详细分析：选C.利用所给条件结合等差数列的相关知识直接判断．设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2＞0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3＜0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0＜a 1＜a 2，可知a 1＞0，d ＞0，a 2＞0，a 3＞0，∴a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2＞0，∴a 2＞a 1a 3，故选项C 正确；若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错．3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝4，a 2＋a 4＝2，则log 2⎝⎛⎭⎫S 2 016a 2 016＋1＝( )A ．2 015B ．2 016C ．22 015D ．22 016详细分析：选B.设公比为q ，则q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝12，所以S 2 016a 2 016＝a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12 2 0161－12a 1×⎝⎛⎭⎫12 2 015＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12 2 016⎝⎛⎭⎫12 2 015＝22 016－1，所以log 2⎝⎛⎭⎫S 2 016a 2 016＋1＝2 016.4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫910n (n ∈N *)，则数列{a n }的最大项是( ) A ．第6项或第7项 B ．第7项或第8项 C ．第8项或第9项D ．第7项详细分析：选B.因为a n ＋1－a n ＝(n ＋3)⎝⎛⎭⎫910n ＋1－(n ＋2)⎝⎛⎭⎫910n ＝⎝⎛⎭⎫910n ·7－n 10，当n <7时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝7时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >7时，a n ＋1－a n <0，即a n＋1<a n .故a 1<a 2<…<a 7＝a 8>a 9>a 10>…，所以此数列的最大项是第7项或第8项．故选B.5．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84详细分析：选B.利用等比数列的通项公式求解． ∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，∴3＋3q 2＋3q 4＝21. ∴1＋q 2＋q 4＝7.解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)． ∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.故选B.6．记数列{2n }的前n 项和为a n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝n －8，则b n S n 的最小值为( ) A ．－3 B ．－4 C ．3D ．4详细分析：选B.a n ＝(2＋2n )n2＝n (n ＋1)∴S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.∴b n S n ＝(n －8)n n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－10≥29－10＝－4当且仅当n ＋1＝9n ＋1，∴n ＝2.7．对于一切实数x ，令[x ]为不大于x 的最大整数，则函数f (x )＝[x ]称为高斯函数或取整函数．若a n ＝f ⎝⎛⎭⎫n 3，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 30＝( ) A ．155 B ．150 C ．145D ．30详细分析：选C.当n ＝3k ，n ＝3k ＋1，n ＝3k ＋2(k ∈N )时，均有a n ＝f ⎝⎛⎭⎫n 3＝⎣⎡⎦⎤n 3＝k ，所以S 3n ＝0＋0＋1＋1＋13个＋2＋2＋23个＋…＋(n －1)＋(n －1)＋(n －1)3个＋n ＝3×1＋n －12×(n －1)＋n ＝32n 2－12n .所以S 30＝32×102－12×10＝145.8．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin (n ＋1)π2，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 015＝( ) A ．1 006 B ．1 007 C ．1 008D ．1 009详细分析：选C.由a n ＋1－a n ＝sin(n ＋1)π2⇒a n ＋1＝a n ＋sin (n ＋1)π2，所以a 2＝a 1＋sin π＝1＋0＝1，a 3＝a 2＋sin 3π2＝1＋(－1)＝0，a 4＝a 3＋sin 2π＝0＋0＝0，a 5＝a 4＋sin 5π2＝0＋1＝1，∴a 5＝a 1，如此继续可得a n ＋4＝a n (n ∈N *)，数列{a n }是一个以4为周期的周期数列，而2 015＝4×503＋3，因此S 2 015＝503×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＋a 2＋a 3＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＋0＝1 008.9．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，令a n ＝f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N ＋，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，则S 120＝( ) A ．0 B ．10 C ．11D ．12详细分析：选B.设f (x )＝x α，则2＝4α，所以α＝12.从而f (x )＝x ，故a n ＝n ＋1＋n ，1a n＝1n ＋1＋n ＝n ＋1－n ，所以S n ＝∑i ＝1n 1a i＝－[(1－2)＋(2－3)＋…＋(n －n ＋1)]＝n ＋1－1.故S 120＝120＋1－1＝10.10．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 014的值是( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．2详细分析：选A.因为a 1a 2＝2×7＝14，所以a 3＝4， 因为a 2a 3＝4×7＝28，所以a 4＝8， 因为a 3a 4＝4×8＝32，所以a 5＝2， 因为a 4a 5＝2×8＝16，所以a 6＝6，依次计算，得a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2， 所以从第3项起，数列{a n }成周期数列，周期为6， 2 014＝2＋335×6＋2， 所以a 2 014＝8，故选A.11．已知各项都为正的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.32 B.53 C.256D.43详细分析：选A.由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理有q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m ＋n －2＝16a 21，即有m ＋n －2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎫4m n ＋n m ＋5≥16⎝⎛⎭⎫24m n ·n m ＋5＝32，当且仅当4m n ＝n m ，m ＋n ＝6， 即n ＝2m ＝4时取得最小值32.12．设函数f 1(x )＝x ，f 2(x )＝log 2 016x ，a i ＝i2 016(i ＝1,2，…，2 016)，记I k ＝|f k (a 2)－f k (a 1)|＋|f k (a 3)－f k (a 2)|＋…＋|f k (a 2 016)－f k (a 2 015)|，k ＝1,2，则( ) A ．I 1<I 2 B ．I 1＝I 2 C ．I 1>I 2D ．I 1与I 2的大小关系无法确定详细分析：选A.依题意知，f 1(a i ＋1)－f 1(a i )＝a i ＋1－a i ＝i ＋12 016－i 2 016＝12 016，因此I 1＝|f 1(a 2)－f 1(a 1)|＋|f 1(a 3)－f (a 2)|＋…＋|f 1(a 2 016)－f 1(a 2 015)|＝2 0152 016.因为f 2(a i ＋1)－f 2(a i )＝log 2 016a i ＋1－log 2 016a i ＝log 2 016i ＋12 016－log 2 016i2 016>0，所以I 2＝|f 2(a 2)－f 2(a 1)|＋|f 2(a 3)－f 2(a 2)|＋…＋|f 2(a 2 016)－f 2(a 2015)|＝⎝⎛⎭⎫log 2 01622 016－log 2 01612 016＋⎝⎛⎭⎫log 2 01632 016－log 2 01622 016＋…＋ ⎝⎛⎭⎫log 2 0162 0162 016－log 2 0162 0152 016 ＝log 2 0162 0162 016－log 2 01612 016＝1，因此I 1<I 2，选A. 13．(2015·高考江苏卷)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N * )，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项的和为________．详细分析：先利用累加法求a n ，再利用裂项法求⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和．由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)． 以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式，∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1. ∴S 10＝2×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111 ＝2×⎝⎛⎭⎫1－111＝2011. 答案：201114．已知函数f (x )＝x ＋sin x ，项数为19的等差数列{a n }满足a n ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 18)＋f (a 19)＝0，则当k ＝__________时，f (a k )＝0.详细分析：因为函数f (x )＝x ＋sin x 是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{a n }有19项，a n ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 18)＋f (a 19)＝0，则必有f (a 10)＝0，所以k ＝10. 答案：1015．(2015·高考陕西卷)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．详细分析：利用中位数、等差数列的性质列方程求解． 设数列首项为a 1，则a 1＋2 0152＝1 010，故a 1＝5.答案：516．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__________．详细分析：由已知⎩⎨⎧S10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，那么nS n ＝n 2a 1＋n 2(n －1)2d ＝n 33－10n 23，由于函数f (x )＝x 33－10x 23(x >0)在x ＝203处取得极小值也是最小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49.答案：－49。
高考数学一轮复习专题02 圆锥曲线弦长问题(解析版)
解析几何专题二：圆锥曲线弦长问题一、知识储备弦长公式||AB =12||AB x ==-= （最常用公式，使用频率最高）= 二、例题讲解1．（2022·辽宁高三开学考试）已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，若右焦点为F（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是C 上的两点，直线MN 与曲线222x y b +=相切且M ，N ，F 三点共线，求线段MN 的长． 【答案】（1）2213x y +=；（2【分析】（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.（2）由（1）知曲线为221(0)x y x +=>，讨论直线MN 的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，则a =2221b a c =-=， ∴椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意：当直线MN 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y 又M ，N ，F 三点共线，可设直线:(MN y k x =，即0kx y -=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立22(13y x x y ⎧=±⎪⎨+=⎪⎩，得2430x -+=，则12x x +=1234x x ⋅=，∴||MN ==2．（2022·全国高三专题练习）过双曲线142x y -=的右焦点F 作斜率为2的直线l ，交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线的离心率和渐近线； （2）求AB 的长. 【答案】（1）e =，渐近线方程为y =；（2）207.【分析】（1）由双曲线方程得出,a b ，再求出c ，可得离心率，渐近线方程；（2）写出直线方程，代入双曲线方程，设()11,A xy ，()22,B x y，由韦达定理得1212,x x x x +，然后由弦长公式计算弦长． 【详解】解：（1）因为双曲线方程为22142x y -=， 所以2a =，b =则c =所以62cea，渐近线方程为2y x =±. （2）双曲线右焦点为0)，则直线l 的方程为2(y x = 代入双曲线22142x y -=中，化简可得27520x -+=设()11,A x y ，()22,B x y 所以12x x +=12527x x ⋅=，所以2120|||7AB x x -==. 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的离心率和渐近线方程，考查直线与双曲线相交弦长．解题方法是直线方程与双曲线方程联立并消元后应用韦达定理求出1212,x x x x +，然后由弦长公式12d x =-求出弦长．3．（2022·全国高三模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知()2,0F ，()2,3M -，动点P 满足12OF MP PF ⋅=． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0D 作直线AB 交C 于A ，B 两点，若AFD 的面积是BFD △的面积的2倍，求AB ． 【答案】（1）28y x =；（2【分析】（1）设(),P x y ，求得,,MP OF PF 的坐标，结合12OF MP PF ⋅=，化简、整理，即可求得抛物线的方程； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设120,0y y ><，由2AFD BFD S S =△△，求得122y y =-，设直线AB 的方程为1x my =+，联立方程组，结合根与系数的关系，求得128y y m +=，128y y =-，进而求得12,,y y m ，利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）设(),P x y ，因为()2,0F ，()2,3M -，则()2,3MP x y =+-，()2,0OF =，()2,PF x y =--． 由12OF MP PF ⋅=，可得2x +=28y x =，即动点P 的轨迹C 的方程为28y x =． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 由题意知112AFD S FD y =⋅△，212BFD S FD y =⋅△， 易知120y y <，不妨设120,0y y ><，因为2AFD BFD S S =△△，所以122y y =，所以122y y =-． ① 设直线AB 的方程为1x my =+，联立281y xx my ⎧=⎨=+⎩消去x ，得2880y my --=，则264320m ∆=+>，可得128y y m +=，128y y =- ② 由①②联立，解得1214,2,4y y m ==-=，所以124(2)AB y =-=--=． 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．三、实战练习1．（2022·江门市培英高级中学高三模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点P ⎭，离心率为12． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若1A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N 与1A 不重合），l 不与x 轴垂直，若11A M A N MN k k k +=-，求MN ．【答案】（1）22143x y +=；（2）247 【分析】（1）由题意可得关于,,a b c 的方程组，求解,a b 的值，即可求得椭圆C 的标准方程；（2）根据题意设()()1122,,,M x y N x y ，直线l ：()1,0x my m =+≠，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合11A M A N MN k k k +=-，求出m 的值，再根据弦长公式即可求得MN . 【详解】（1）由题意可得：22222123314c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：224,3a b ==，∴ 椭圆C 的标准方程为：22143x y +=； （2）()()211,0,2,0F A -，由题意可设：直线l ：()1,0x my m =+≠，()()1122,,,M x y N x y ，联立：221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：()2234690m y my ++-=， 则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 1112121,,22A M A N MN y y k k k x x m===++， 11121222A M A N y yx k x k ∴+=+++ ()()()()1221122222y x y x x x +++=++()()()()1221213333y my y my my my +++=++()()2122112122339y y y m y y y my m y ++=+++222229623343496393434mm m m m m m m m --⨯+⨯++=--⨯+⨯+++ m =-，又11A M A N MN k k k +=-， 1m m∴-=-， 解得：21,1m m ==±， 故1212226699,347347m y y y y m m --+==±==-++，247MN =.2．（2022·广东执信中学高三月考）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN =充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k=+，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得=1k =±，即可得解. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ， 必要性：若M ，N，F 三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以121234x x x x +⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN === 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x =或y x =-+所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN = 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.3．（2022·全国高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线24y x =有公共的焦点F ，1A ，2A 分别为椭圆C 长轴的左、右端点，P 为C 上一动点，且12PAA ∆的最大面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 经过点F ，且与C 交于A ，B 两点，若10||3AB =，求直线l 的方程． 【答案】（1）22143x y +=；（20=． 【分析】（1）利用已知条件可以直接得出焦点F 的坐标，当三角形面积最大时P 为短轴端点，从而解出a ，b 的值即可； （2）利用（1）中求出的点F 的坐标，设出直线方程，然后与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求出直线的方程． 【详解】（1）抛物线24y x =的焦点F 坐标为()1,0∴椭圆C 中的半焦距为1．由椭圆的几何性质可知，当12PA A ∆面积最大时，P 为椭圆短轴端点，不妨令()0,P b ，则221a b ab ⎧-=⎪⎨=⎪⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）直线l 经过椭圆C 的右焦点，且10||3AB =∴直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =-， 与椭圆C 的方程联立可得()22223484120k xk x k +-+-=，0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+12||AB x ∴-=()2212110343k k +==+解得k =∴直线l 0=0．【点睛】本题考查椭圆的标准方程、抛物线的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，要求较高的运算求解能力，属于中档题.本题的关键点有：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间的桥梁是解决解析几何问题的重要方法； （2）计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的关键能力.4．（2022·陕西（文））已知点B 是圆22:(1)16C x y -+=上的任意一点，点(1,0)F -，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P .（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）直线:2l y x m =+与E 交于点M ，N ，且MN =m 的值. 【答案】（1）22143x y +=，（2）1m =±.（1）由条件可得42PC PF PC PB BC FC +=+==>=，然后由椭圆的定义可求出答案；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，然后联立直线与椭圆的方程消元，韦达定理得出1212,x x x x +，然后利用MN =出m 的值即可. 【详解】（1）由条件可得42PC PF PC PB BC FC +=+==>=所以动点P 的轨迹E 是以,F C 为焦点的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b+=>>所以24,22a c ==，所以2,1,a c b ===所以方程为22143x y += （2）设()()1122,,,M x y N x y联立221432x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得221916+4120x mx m +-= 所以由()22256764120m m ∆=-->得(m ∈2121216412,1919m m x x x x -+=-=因为MN =所以可解得1m =±5．（2022·全国高三专题练习）已知点(A 和B ，动点C到A ，B 两点的距离之差的绝对值为2，记点C 的（1）求轨迹E 的方程；（2）设E 与直线2y x =-交于两点M ，N ，求线段MN 的长度. 【答案】（1）2212y x -=；（2）【分析】（1）设(,)C x y ，由于||||2CA CB -=，||AB =，利用双曲线的定义求解即可； （2）直线和双曲线方程联立消y ，利用韦达定理以及弦长公式求解即可. 【详解】 （1）设(,)C x y ， 则||||2CA CB -=，所以点C 的轨迹E 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，且22a =，2||c AB == 则1a =，2222b c a =-=， 所以轨迹E 的方程为2212y x -=；（2）由22122y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩， 得2460x x +-=， 因为0∆>，所以直线与双曲线有两个交点， 设()11,M x y ，()22,N x y ， 则124x x +=-，126x x =-，故MN =所以线段MN 的长度为6．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ． 【答案】（1）22136x y -=；（2【分析】（1)求出,a b ，即可得出双曲线方程；（2）可先求出直线方程为3)y x =-，联立椭圆方程，再利用弦长公式即可求出. 【详解】（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b ，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-.联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-⎪⎩得256270x x +-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以AB ==【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线相交弦长的求法，属于基础题.7．（2022·重庆高三模拟预测）已知直线l ：4y kx =+与抛物线C ：2y ax =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点A 的另一条直线1l 与抛物线C 交于另一点M ，与y 轴交于点N ，且满足||||AN AM =，求BM 的最小值．【答案】（1）214y x =；（2）【分析】（1）先联立直线与抛物线，得到判别式和韦达定理，再根据垂直关系，利用0OA OB ⋅=，求得参数即可；（2）设直线BM 的方程，并与抛物线联立，得到判别式和韦达定理，根据已知关系，判断中点位置，利用坐标关系求得参数m ，最后利用弦长公式计算BM ，利用二次函数判断最小值即可. 【详解】解：（1）依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，由24y ax y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y ，得240ax kx --=，2121604k a x x a ⎧∆=+>⎪∴⎨=-⎪⎩， OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=，即2212120x x ax ax +⋅=，即22212120x x a x x +=，所以22440a a a ⎛⎫⎛⎫-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14a =，∴抛物线C 的标准方程为214y x =； （2）由题意知，直线BM 的斜率存在，故可设直线BM 的方程为y tx m =+，()33,M x y ，由214y xy tx m ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得2440x tx m --=，223231616044t m x x m x x t ⎧∆=+>⎪∴=-⎨⎪+=⎩，由（1）知，1216x x =-，故1123321644x x x x x x m m-===-， 由题意知,,A M N 三点共线，且|AN |＝|AM |，即A 为线段MN 的中点，设()0,N n ， 则3102x x +=，即13142x x m ==，即8m =，22323161680324t x x x x t⎧∆=+⨯>⎪∴=-⎨⎪+=⎩，23BM x ∴=-=)20t ==≥， 故20t =时，BM最小为=【点睛】 思路点睛：直线与抛物线中的弦长问题，我们常让直线与抛物线方程联立，再利用韦达定理及弦长公式，建立关系式．其中弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点()()1122,,,A x y B xy ，所以12AB x =-或12AB y =-，解决相关问题.8．（2022·全国高三模拟预测）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(),2P t -在C 上，且2PF OF =(O 为坐标原点).（1）求C 的方程；（2）若A ，B 是C 上的两个动点，且A ，B 两点的横坐标之和为8，求当AB 取最大值时，直线AB 的方程. 【答案】（1）24yx =；（2）220x ±-=. 【分析】（1）根据题意，列出方程组22242pp t pt⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，求得p 的值，即可求得C 的标准方程； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当12x x =时，得到AB 的方程4x =；当12x x ≠时，得到2AB k n =，得到()42nx y n =-+，联立方程组，结合根与系数的关系，得到1212,y y y y +，根据弦长公式和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，点(),2P t -在()2:20C y px p =>上，且2PF OF =，可得22242pp t pt ⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，解得21p t =⎧⎨=⎩，所以C 的标准方程为24y x =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，且128x x +=，设AB 中点为(),D m n ，则122x x m +=，122y y n +=， 当12x x =时，:4AB l x =，8AB =； 当12x x ≠时，()212122212121442AB y y y y k x x y y y y n--====--+， 则()2:4AB l y n x n-=-，即()42n x y n =-+，与C 联立方程消去x ，整理得2222160y ny n -+-=， 由22(2)4(216)0n n ∆=--->，解得216n <，且122y y n +=，212216y y n =-，所以2212416102n n AB y ++-=-==， 当26n =时取“=”，所以AB 的最大值为10，此时AB 的方程为220x -=. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．9．（2022·浙江高三模拟预测）已知直线:4l y kx =+与抛物线2:C y ax =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点A 的另一条直线1l 与抛物线C 交于另一点M ，与y 轴交于点N ，且满足AN AM =，求BM 的最小值. 【答案】（1）24x y=；（2）最小值为【分析】（1）联立直线l 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，由已知条件可得出0OA OB ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出a 的值，即可得出抛物线C 的标准方程；（2）设直线BM 的方程为y tx m =+，点()33,M x y ，将直线BM 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，由已知条件可得1312x x =，代入韦达定理求出m 的值，再利用弦长公式可求得BM 的最小值.【详解】（1）依题意设()11,A x y 、()22,B x y ，由24y ax y kx ⎧=⎨=+⎩消去y ，得240ax kx --=，所以，212160,4.k a x x a ⎧+>⎪⎨=-⎪⎩OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=，即22212120x x a x x +=，4160a∴-+=，解得14a =，所以，抛物线C 的标准方程为24x y =；（2）由题意知，若直线BM 的斜率不存在，则该直线与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意.所以，直线BM 的斜率存在，故可设直线BM 的方程为y tx m =+，点()33,M x y ， 由24x y y tx m ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2440x tx m --=，223231616044t m x x t x x m⎧+>⎪∴+=⎨⎪=-⎩， 由（1）知1216x x =-，1123231644x x x x x x m m-∴===-①. 由题意知A 、M 、N 三点共线，且A 为线段MN 的中点，设()0,N n ，则3102x x +=，即1312x x =②，由①②得8m =，22323161680432t x x t x x ⎧+⨯>⎪∴+=⎨⎪=-⎩，23BM x ∴=-=)20t ==≥，当且仅当0t =时，等号成立，故BM 的最小值为【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．10．（2022·全国高三专题练习）如图所示，A ，B 是焦点为F 的抛物线24y x =上的两动点，线段AB 的中点M 在定直线34x =上.（1）求FA FB +的值； （2）求AB 的最大值. 【答案】（1）72；（2）【分析】（1）由抛物线定义有12FA FB x x p +=++，结合已知条件即可求FA FB +；（2）由直线与抛物线位置关系，联立方程得到一元二次方程，结合根与系数关系、弦长公式即可求AB 的最大值. 【详解】（1）由题意知：2p =，抛物线对称轴方程1x =-.设()11,A x y ，()22,B x y ，12324x x +=，则1272FA FB x x p +=++=； （2）点A 和B 在抛物线24y x =上，有2114y x =，2224y x =，两式相减得：()()()1212124y y y y x x -+=-，令3(,)4M m ，∴12122y y x x m -=-，即2AB k m=， ∴设直线AB 的方程为234y m x m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即23224m m x y =-+，代入抛物线方程得222230y my m -+-=，∴22248121240m m m ∆=-+=->，得203m ≤<，122y y m +=，21223y y m =-∴12AB y =-=∴当20m=时，max AB = 【点睛】思路点睛：求抛物线焦半径相关线段长度时注意抛物线定义的应用，即抛物线焦点到抛物线上点的距离等于该点到抛物线准线的距离；直线与抛物线相交，求弦长时一般要联立方程应用根与系数关系以及弦长公式.11．（2022·全国高三专题练习）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值； （3）求AB 的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析；（3）4.【分析】（1）由椭圆的方程可得右焦点的坐标，由题意可得抛物线的焦点坐标，进而可得抛物线的方程；（2）可设M 的坐标，设过点(1,)M t -的直线方程为(1)y k x t =++，与抛物线方程24y x =联立，消去x 得：24440ky y k t -++=，利用判别式等于零可得结论；（3）设A ，B 的坐标，由（2）可得参数t ，k 的关系，代入过M 的切线方程与抛物线的方程中，可得A ，B 用参数1k ，2k 表示的坐标，代入弦长公式中求||AB的表达式，由参数的范围求出||AB 的最小值．【详解】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0) ∴抛物线的焦点为(1,0)F ，2p ∴=，所以抛物线的标准方程：24y x =． （2）抛物线C 的准线方程为1x =-． 设(1,)M t -，设过点(1,)M t -的直线方程为(1)y k x t =++，与抛物线方程24y x =联立，消去x 得：24440ky y k t -++=． 其判别式△1616()k k t =-+，令△0=，得：210k kt +-=． 由韦达定理知12k k t +=-，121k k =-， 故121k k =-（定值）．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由210k kt +-=，得21k t k-=，故2222214244444440k ky y k t ky y k ky y k y k k k -⎛⎫-++=-++⨯=-+=-= ⎪⎝⎭，所以2y k=，代入抛物线方程得21x k =，所以211(A k ，12)k ，221(B k ，22)k ，||AB=因为121k k =-，12k k t +=-，所以12|||AB k k -244t =+，当且仅当0t =时取等号． 当且仅时取等号． 故||AB 的最小值为4．【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x -；（2）利用12l y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.12．（2022·广西河池·高三期末（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为2的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．（Ⅰ）若直线l 与抛物线C 的准线相交于点P ，且PF =l 的方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点，且90AFB ∠=︒，求ABF 的周长．【答案】（Ⅰ）2y x =；（Ⅱ）15+【分析】（Ⅰ）设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立直线与抛物线，由判别式大于0可得12m <，由PF =0m =或4m =（舍去），从而可得结果；（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ，并代入抛物线2:4C y x =，根据韦达定理和0FA FB ⋅=可解得12b =-，根据弦长公式可得||AB =||||AF BF +，进一步可得ABF 的周长. 【详解】（Ⅰ）由抛物线2:4C y x =可知(1,0)F ，准线为1x =-， 设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立方程242y x y x m⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x m x m +-+=，又由()22441616320m m m ∆=--=->，可得12m <，由点F 的坐标为()1,0，有PF ==， 解得0m =或4m =（舍去）， 故直线l 的方程为2y x =．（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ， 点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程242y x y x b⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x b x b +-+=，可得121x x b +=-，21214x x b =，()()()()222121212122242212y y x b x b x x b x x b b b b b b =++=+++=+-+=又由()22441616320b b b ∆=--=->，可得12b <． 又由()111,FA x y =-，()221,FB x y =-，可得()()()1212121212111FA FB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++ ()22111123044b b b b b =--++=+=，得0b =（舍去）或12b =-．由12b =-，可得1213x x +=，1236x x =，所以AB ===()()121211215AF BF x x x x +=+++=++=，故ABF 的周长为15+ 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的定义，韦达定理和弦长公式，考查了运算求解能力，属于中档题.。
2016年高考数学圆锥曲线
（A） （B） （C） （D） 答案D
解析：显然当直线 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线 的斜率存在时，设斜率为 .设 ，则 ，相减得 .由于 ，所以 ，即 .圆心为 ，由 得 ，所以 ，即点M必在直线 上.将 代入 得 .因为点M在圆 上，所以 .又 （由于斜率不存在，故 ，所以不取等号），所以 .选D.
[解析](1)由题意知e＝ ＝ ，∴e2＝ ＝ ＝ ，即a2＝ b2，又b＝ ＝ ，∴a2＝4，b2＝3，故椭圆的方程为 ＋ ＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
△＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0,3＋4k2－m2>0.x1＋x2＝－ ，x1·x2＝ .
[解析] (1)∵e＝ ，∴a2＝3c2＝3a2－3b2，∴2a2＝3b2将x＝－c代入椭圆方程得：y2＝ ，y＝± ，由题意： ＝ ，∴2a＝ b2，解得：a2＝3b2＝2∴椭圆C的方程为： ＋ ＝1(2)联立方程组： 消去y整理得：(3k2＋2)x2＋6ktx＋3t2－6＝0①∴Δ＝36k2t2－4(3k2＋2)·(3t2－6)＝24(3k2＋2－t2)>0，∴3k2＋2>t2②设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1＋x2＝ ，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝ ＋2t＝ 设MN的中点为G(x0，y0)，则x0＝ ＝ ，y0＝ ＝ ∴线段MN的垂直平分线方程为：y－ ＝－ 将P 代入得： ＋ ＝ 化简得：3k2＋2＝4t代入②式得：4t>t2，∴0<t<4|MN|＝ · ＝ · ＝ · ＝ · 设O到直线MN的距离为d，则d＝ ∴S△NOM＝ ·|MN|·d＝ · · · ＝ · ＝ · ≤ (当且仅当t＝2，k＝± 时取“＝”号)
2016年北京高考数学试题(文)(解析版)
绝密★启用前本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）（1）已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则A B =（A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或 （C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或 【答案】C考点： 集合交集 （2）复数12i=2i+- （A ）i （B ）1+i （C ）i - （D ）1i - 【答案】A 【解析】 试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 考点：复数运算（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）8 （B ）9 （C ）27 （D ）36 【答案】B考点： 程序框图（4）下列函数中，在区间(1,1)- 上为减函数的是 （A ）11y x=- （B ）cos y x = （C ）ln(1)y x =+ （D ）2x y -= 【答案】D 【解析】试题分析：由12()2xx y -==在R 上单调递减可知D 符合题意，故选D. 考点：函数单调性（5）圆（x +1）2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为（A ）1 （B ）2 （C （D ）【答案】C 【解析】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d == C.考点：直线与圆的位置关系（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（A）15（B）25（C）825（D）925【答案】B 【解析】试题分析：所求概率为142525CPC==，故选B.考点：古典概型（7）已知A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x−y的最大值为（A）−1 （B）3 （C）7 （D）8【答案】C考点：函数最值（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（A）2号学生进入30秒跳绳决赛（B）5号学生进入30秒跳绳决赛（C）8号学生进入30秒跳绳决赛（D）9号学生进入30秒跳绳决赛【答案】B【解析】试题分析：将确定成绩的30秒跳绳成绩的按从大到小的顺寻排，分别是3，6，7，10，（1，5并列），4，其中，3，6，7号进了立定跳远的决赛，10号没进立定跳远的决赛，故9号需进30秒跳绳比赛的前8名，此时确定的30秒跳绳比赛决赛的名单为3，6，7，10，9，还需3个编号为1-8的同学进决赛，而（1，5）与4的成绩仅相隔1，故只能1，5，4进30秒跳绳的决赛，故选B. 考点：统计第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）已知向量=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________. 【答案】30.考点： 向量数量积与夹角公式,数形结合 （10）函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为_________. 【答案】2 【解析】试题分析：1()11121f x x =+≤+=-，即最大值为2. 考点：函数最值,数形结合（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.【答案】3.2【解析】试题分析：四棱柱高为1，底面为等腰梯形，面积为13(12)122⨯+⨯=，因此体积为3.2考点：三视图(12) 已知双曲线22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为2x +y =0，一个焦点为,0），则a =_______；b =_____________. 【答案】1,2a b ==考点：双曲线的基本概念 (13)在△ABC 中，23A π∠= ，，则bc =_________.【答案】1 【解析】试题分析：由正弦定理知sin sin A aC c==2sin1sin 2C π==，则6C π=，所以2366B ππππ=--=，所以b c =，即1bc =．考点：解三角形(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有______种； ②这三天售出的商品最少有_______种. 【答案】①16；②29 【解析】试题分析：①由于前二天都售出的商品有3种，因此第一天售出的有19-3=16种商品第二天未售出；答案为 16．②同①第三售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出，三天总商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数为29．分别用,,A B C 表示第一、二、三天售出的商品，如图最少时的情形．故答案为29．CBA139142考点： 统计分析三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设c n = a n + b n ，求数列{c n }的前n 项和.【答案】（Ⅰ）21n a n =-（1n =，2，3，⋅⋅⋅）；（Ⅱ）2312-+n n（II ）由（I ）知，21n a n =-，13n n b -=．因此1213n n n n c a b n -=+=-+．从而数列{}n c 的前n 项和()11321133n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()12113213nn n +--=+- 2312n n -=+． 考点：等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查运算能力. （16）（本小题13分）已知函数f （x ）=2sin ωx cos ωx + cos 2ωx （ω>0）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f （x ）的单调递增区间.【答案】（Ⅰ）1ω=（Ⅱ）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．由222242k x k πππππ-≤+≤+，得388k x k ππππ-≤≤+． 所以()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． 考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性. （17）（本小题13分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（I ）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？（II ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费. 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%．依题意，w 至少定为3．（II ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 10.5=（元）．考点：频率分布直方图求频率，频率分布直方图求平均数的估计值. （18）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥ （I ）求证：DC PAC ⊥平面； （II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（III ）存在.理由见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用线面垂直判定定理证明；（Ⅱ）利用面面垂直判定定理证明；（III ）取PB 中点F ，连结F E ，则F//E PA ，根据线面平行定理则//PA 平面C F E . 试题解析：（I ）因为C P ⊥平面CD AB ， 所以C DC P ⊥． 又因为DC C ⊥A ， 所以DC ⊥平面C PA ．考点：空间垂直判定与性质；空间想象能力，推理论证能力 （19）（本小题14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=过点A （2,0），B （0,1）两点.（I ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；=e .（II ）设()00,x y P （00x <，00y <），则220044x y +=．又()2,0A ，()0,1B ，所以， 直线PA 的方程为()0022y y x x =--． 令0x =，得0022y y x M =--，从而002112y y x M BM =-=+-． 直线PB 的方程为0011y y x x -=+． 令0y =，得001x x y N =--，从而00221x x y N AN =-=+-． 所以四边形ABNM 的面积12S =AN ⋅BM 00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+00000000224422x y x y x y x y --+=--+2=．从而四边形ABNM 的面积为定值．考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力. （20）（本小题13分）设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.【答案】（Ⅰ）y bx c =+;（Ⅱ）320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭;（III ）见解析.()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点。
高三数学一轮复习-导数
题型一 导数的概念1、已知函数f (x )＝2ln 3x ＋8x ，求0Δlim →x f (1－2Δx )－f (1)Δx 的值.题型二 求导函数2、（1）y ＝ln(x ＋1＋x 2)； (2)y ＝(x 2－2x ＋3)e 2x；(3)y ＝3x1－x.变式训练2： 如下图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝ ；0Δlim→x f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝题型三 利用导数求切线的斜率3、已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ， 直线l ：y ＝kx ，且l 与C 切于点P (x 0，y 0) (x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.4、若函数y ＝x 3－3x ＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程. 题型四 求函数f (x )的单调区间5、已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)(a ∈R )，求函数f (x )的单调区间.变式训练5：已知函数f (x )＝x 2＋ln x －ax 在(0,1)上是增函数，求a 的取值范围.题型五 求函数的极值6、已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由.题型六 求函数的最值7、求函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2在区间[0,2]上的最大值和最小值.变式训练7：f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝ .题型七 利用导数证明不等式 8、已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在区间[1，e]上的值域；(2)求证：x ＞1时，f (x )＜23x 3.题型八 导数与函数零点问题9、 设函数f (x )＝13x 3－mx 2＋(m 2－4)x ，x ∈R .(1)当m ＝3时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)已知函数f (x )有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β.若对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立，求实数m 的取值范围.变式训练9：已知f (x )＝ax 2(a ∈R )，g (x )＝2ln x . (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值范围. 定积分 1、(1)⎰21(x －1)5d x ； (2) ⎰2π0(x ＋sin x )d x .2、求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 所围成的平面图形的面积. 巩固训练1． 三次函数f (x )＝mx 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m <0B ．m <1C ．m ≤0D ．m ≤12． 由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )A.329B ．2－ln3C ．4＋ln3D ．4－ln33． 定义方程'()()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数3()1g x x =-()2h x x =，()ln(1)x x ϕ=+的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为【 】 A ．αβγ>> B ．βαγ>> C ．γαβ>> D ．βγα>> 4． 求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎰(x 2－x )d x B ．S ＝⎰(x －x 2)d x C ．S ＝⎰(y 2－y )d yD ．S ＝⎰(y －y )d y5． 已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且函数y ＝ln(x ＋2)－x 当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于( )A ．－1 B ．0 C ．1 D ．26． 设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．－ln22 B ．－ln2 C ．ln2 D.ln227． 下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导数f ′(x )的图象，则f (－1)的值为( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或538． 设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )9． 若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是．．单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1，32) C ．[1,2)D ．[32，2)10． 已知曲线方程f (x )＝sin 2x ＋2ax (a ∈R )，若对任意实数m ，直线l ：x ＋y ＋m ＝0都不是曲线y ＝f (x )的切线，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,0)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．a ∈R 且a ≠0，a ≠－111． 若关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(－∞，－20] C ．(－∞，0] D ．[－12,7]12． 定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，已知函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．若两正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，则b ＋2a ＋2的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，12B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫12，3 D ．(－∞，－3)13．若函数21()ln(2)2f x x b x =++在[1,)+∞上是增函数，则b 的取值范围为【 】A ．(,3]-∞-B ．[3,)-+∞C ．(,3]-∞D ．[3,)+∞ 14. 已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（）15．曲线y ＝xe x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________． 16．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.17．已知21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数21,x x 都有1212()()f x f x x x --2>恒成立，则a 的取值范围是18．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，定义：设f ″(x )是函数y ＝f (x )的导数y ＝f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求 (1)函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x 对称中心为________．(2)若函数g (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，则g ⎝⎛⎭⎫12011＋g ⎝⎛⎭⎫22011＋g ⎝⎛⎭⎫32011＋g ⎝⎛⎭⎫42011＋…＋g ⎝⎛⎭⎫20102011＝________.19．函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋3bx ＋b ，其图象在x ＝2处的切线方程为3x ＋y －11＝0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围；20．已知函数f (x )＝x 4－4x 3＋ax 2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减.(1)求a 的值；(2)记g (x )＝bx 2－1，若方程f (x )＝g (x )的解集恰有3个元素，求b 的取值范围.21．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直，(1)求实数a 、b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围．22．已知函数()ln ()1a f x x a R x =+∈+ （1）当92a =时如果函数()()g x f x k =-仅有一个零点，求实数k 的取值范围 （2）当2a =时，试比较()f x 与1的大小（3）求证*1111ln(1)()35721n n N n +>+++⋅⋅⋅+∈+ 23．已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >⋅在0>x 上恒成立.(I)求证：函数),0()()(+∞=在xx f x g 上是增函数； (II)当)()()(:,0,0212121x x f x f x f x x +<+>>证明时；24. 已知函数x axxx f ln 1)(+-=（其中a 0>，7.2≈e ）. （Ⅰ）若函数)(x f 在),1[+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1=a 时，求函数)(x f 在]2,21[上的最大值和最小值；（Ⅲ）当1=a 时，求证：对于任意大于1的正整数n ，都有nn 13121ln +++> 在区间[m ，n ]上存在零点，求实数a 的取值范围．。
北京市部分区2016届高三上学期期中期末数学理试题分类汇编：圆锥曲线
北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知点)0,22(Q 及抛物线24x y =上一动点(,)P x y ，则y PQ +的最小值是A ．12B ．1C ． 2D ． 3 2、（大兴区2016届高三上学期期末）双曲线222x y -=的一条渐近线的方程是（A ）y =（B ） 2y x =（C ）y x =- （D ） 2y x =-3、（东城区2016届高三上学期期末）过抛物线220)y pxp =>（的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，如果3BF =，BF AF >，23BFO π∠=，那么AF 的值为()A 1 ()B 32()C 3 （D ） 6 4、（丰台区2016届高三上学期期末）若F （c ,0）为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，椭圆C 与直线1x ya b +=交于A ,B 两点，线段AB 的中点在直线x c =上，则椭圆的离心率为（A （B ）12（C 2 （D5、（海淀区2016届高三上学期期末）抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为A. 1(0,)2- B.(0,1)- C.(0,2)- D.(0,4)- 6、（石景山区2016届高三上学期期末）若曲线)0(22>=p px y 上只有一个点到其焦点的距离为1，则p 的值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1参考答案1、C2、C3、A4、B5、B6、C二、填空题1、（昌平区2016届高三上学期期末）双曲线22:1916x y C -=的渐近线方程为__________________；某抛物线的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则此抛物线的标准方程为____________.2、（海淀区2016届高三上学期期末）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线过点(1,2),则___,b =其离心率为__.3、（西城区2016届高三上学期期末）双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.参考答案 1、24;203y x y x =±=2、 3、12y x =±三、解答题1、（昌平区2016届高三上学期期末） 已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>,点1)2在椭圆C 上．直线l 过点(1,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点O 为坐标原点，延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求出此时直线l 的方程，若不能，说明理由．2、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）求证：OA OB ⊥； （Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.3、（大兴区2016届高三上学期期末）已知椭圆:G 22221(0)x y a b a b +=>>上的点M 到两焦点的距离之和等于（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）经过椭圆G 右焦点F 的直线m (不经过点M )与椭圆交于,A B 两点，与直线l ：4x =相交于C 点，记直线,,MA MB MC 的斜率分别为123,,k k k .求证：123k k k +为定值.4、（东城区2016届高三上学期期末）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g 的取值范围．5、（丰台区2016届高三上学期期末）已知定点(1,0)M 和直线1x =-上的动点(1,)N t -，线段MN 的垂直平分线交直线y t = 于点R ，设点R 的轨迹为曲线E . （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）直线(0)y kx b k =+≠交x 轴于点C ，交曲线E 于不同的两点,A B ，点B 关于x 轴的对称点为点P .点C 关于y 轴的对称点为Q ，求证：A ，P ，Q 三点共线.6、（海淀区2016届高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b+=>>，其左顶点A 在圆22:16O x y +=上. （Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O的另一个交点为Q . 是否存在点P ，使得||3||PQ AP =? 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.yxO B A7、（石景山区2016届高三上学期期末）已知椭圆:C 22221x y a b+=(0)a b >>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，M 为直线3x =-上任意一点，过F 作MF 的垂线交椭圆C于点P ，Q .证明：OM 经过线段PQ 的中点N ．(其中O 为坐标原点)8、（西城区2016届高三上学期期末）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，点A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.参考答案1、解：（I）由题意得22222311,4.c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,1a b ==.所以椭圆C 的方程为22 1.4x y += …………………………..5分 （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 法一：（1）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x = 满足题意；（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:l y kx m =+，显然0,0k m ≠≠.11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx m =+代入22 1.4x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，2221228(8)4(41)(44)0,.41kmkm k m x x k -=-+->+=+V 故1224241M x x kmx k +==-+， 241M M m y kx m k =+=+．于是直线OM 的斜率14M OM M y k x k ==-，即14OMk k ⋅=-． 由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠，过点(1,1)，得1m k =-，因此24(1)41M k k x k -=+．OM 的方程为14y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． 由221,41,4y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2221641P k x k =+，即P x =． 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =．于是24(1)241k k k -=⨯+．由0k ≠，得35,.88k m ==满足0.>V 所以直线l 的方程为3588y x =+时，四边形OAPB 为平行四边形． 综上所述：直线l 的方程为3588y x =+或1x = . ………………………….13分 法二：（1）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x = 满足题意；（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:l y kx m =+，显然0,0k m ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx m =+代入22 1.4x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，2221228(8)4(41)(44)0,.41kmkm k m x x k -=-+->+=+V故1224241M x x kmx k +==-+， 241M M my kx m k =+=+.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2,2.P M P M x x y y =⎧⎨=⎩．则2222()()82114441km m k k -++=+. 由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠，过点(1,1)，得1m k =-.则2222(164)(1))1(41k k k +-+=， 则2(41)(83)0k k +-= . 则35,.88k m == 满足0.>V 所以直线l 的方程为3588y x =+时，四边形OAPB 为平行四边形． 综上所述：直线l 的方程为3588y x =+或1x = . …………………………..13分 2、解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以22283c a b =-=．所以3c e a ==．所以椭圆C的离心率为3． …………………………3分 （Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-=u u u r u u u r．所以OA OB ⊥．同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥．若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631kmx x k +=-+，21223431m x x k -=+． 所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r 221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+22244431m k k --=+ 2224(1)44031k k k +--==+．所以OA OB ⊥．综上所述，总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高， 当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=.当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，AB ======．所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++ 24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++（当且仅当k =时，等号成立）．所以AB ≤．此时, max (S )OAB ∆=.综上所述，当且仅当3k =±时，OAB ∆面积的最大值为3．…………………14分 3、（Ⅰ）由椭圆定义知：242=a ，所以22=a ……1分所以，椭圆222:18x y G b+=，将点)2 ,2(M 的坐标代入得42=b 。
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1、若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝______；前n项和Sn＝______． 2、已知数列}{na满足*134(1),nnaannN，且,91a 其前n项之和为nS，则满足不等式1|6|40nSn成立的n的最小值是
A.7 B.6 C.5 D.4 3、已知数列{}na的前n项和为nS，11a，12nnSa，则nS（ ）
A．12n B．1)23(n C．1)32(n D．121n 4、已知{}na为等差数列，nS为其前n项和.若36a，15SS，则公差d________；nS的最小值为 . 5、已知数列{}na的前n项和为nS，0()*Nnan，1nnnaaS，则31aa . 6、已知等差数列ba,,1,等比数列5,2,3ba,则该等差数列的公差为 （ ） A．3或3 B．3或1 C．3 D．3 7、设nS为等比数列na的前n项和,3420aa,则31Sa （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5 8、等差数列{}na中, 2343,9,aaa 则16aa的值为 （ ） A．14 B．18 C．21 D．27 9、在等差数列na中,7916aa,41a,则12a的值是 （ ） A．15 B．30 C．31 D．64 10、已知{}na为等差数列,nS为其前n项和.若19418,7aaa+==,则10S= （ ）
A．55 B．81 C．90 D．100 1、已知等差数列na满足1210aa，432aa． （Ⅰ）求na的通项公式； （Ⅱ）设等比数列nb满足23ba，37ba，问：6b与数列na的第几项相等？
2、已知na是等差数列，满足13a，412a，数列nb满足14b，420b， 且nnba为等比数列. （Ⅰ）求数列na和nb的通项公式； （Ⅱ）求数列nb的前n项和. 3、给定数列a1，a2，…，an，对i＝1，2，…，n－1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n－i项ai＋1，ai＋2，…，an的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi. (1)设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值； (2)设a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0.证明：d1，d2，…，dn－1是等比数列； (3)设d1，d2，…，dn－1是公差大于0的等差数列，且d1>0，证明：a1，a2，…，an－1是等差数列．
4、在等比数列na中，252,16aa. （I）求等比数列na的通项公式； （II）若等差数列nb中，1582,baba，求等差数列nb的前n项的和nS，并求nS的最大值.
5、设数列na的前n项和为nS，且14a，1nnaS，nN. （Ⅰ）写出2a，3a，4a的值； （Ⅱ）求数列na的通项公式； （Ⅲ）已知等差数列nb中，有22ba， 33ba，求数列nnab的前n项和nT．
6、已知等比数列na的前4项和45S，且12234,,2aaa成等差数列． （Ⅰ）求na的通项公式； （Ⅱ）设nb是首项为2，公差为1a的等差数列，其前n项和为nT，求满足10nT的最大正整数n．
7、已知数列na中，点),(1nnaa在直线2xy上，且首项1a是方程01432xx的整数解. （Ⅰ）求数列}{na的通项公式； （Ⅱ）数列}{na的前n项和为nS，等比数列}{nb中，11ab，22ab，数列}{nb的前n项和为nT，当nnST时，请直接写出n的值.
8、已知等差数列{}na和等比数列{}nb中，111ab，22ab，432ab． （Ⅰ）求数列{}na和{}nb的通项公式； （Ⅱ）如果mnab*(N)n，写出m，n的关系式()mfn，并求(1)(2)()fffn． 9、已知等差数列{}na的前n项和为nS，等比数列{}nb满足111ab，332Sb，551Sb． （Ⅰ）求数列{}na，{}nb的通项公式； （Ⅱ）如果数列{}nb为递增数列，求数列{}nnab的前n项和nT．
10、已知数列{}na的前n项和为nS, 12(*)nnaanN，且2a是2S与1的等差中项. （Ⅰ）求{}na的通项公式；
（Ⅱ）若数列1{}na的前n项和为nT,且对*nN,nT恒成立,求实数的最小值.
11、已知数列{}na是首项为2，公比为2的等比数列，又数列}{nb满足nnab2log2，nS是数列}{nb的前n项和.
（Ⅰ）求nS；
（Ⅱ）若对任意的*nN，都有nknkSSaa成立，求正整数k的值.
12、设数列na错误！未找到引用源。的前n项和为nS，点(,),*nSnnNn错误！未找到引用源。均在函数yx错误！未找到引用源。的图象上． （Ⅰ）求数列na错误！未找到引用源。的通项公式； （Ⅱ）若nb错误！未找到引用源。为等比数列，且11231,8bbbb，求数列nna+b错误！未找到引用源。的前n项和错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。．
13、设数列{}na的前n项和为nS，且11a，*11()nnaSnN． （Ⅰ）求数列{}na的通项公式； （Ⅱ）若数列{}nb为等差数列，且11ba，公差为21aa. 当3n≥时，比较1nb与121nbbb的大小． 14、已知数列}{na的前n项和为nS,11a,满足下列条件 ①0naNn,*;②点),(nnnSaP在函数22xxxf)(的图象上; (I)求数列}{na的通项na及前n项和nS; (II)求证:10121||||nnnnPPPP.
15、已知{}na为等比数列，其前n项和为nS，且2nnSa*()nN. （Ⅰ）求a的值及数列{}na的通项公式； （Ⅱ）若nnbna，求数列{}nb的前n项和nT.
1、在C中，3a，6b，23，则 ． 2、在ABC中，1a，2b，1cos4C，则c ；sinA . 3、在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则sin B＝( ) A.15 B.59 C.53 D．1 4、在ABC中，60,2,3,AACBC，则B等于 A. 120 B. 90 C. 60 D. 45 5、函数ππ()2sin()cos()66fxxx图象的一条对称轴方程是 A．π6x B. π3x C. 5π12x D. 2π3x
6、在△ABC中，已知2,3ab， 那么sinsin()AAC 7、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1a，45B，2ABCS△，则 b等于 ( ) A．42 B．5 C．41 D．25 8、将函数cosyx的图象向右平移6个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是 (A) 1cos()26yx (B) 1cos()23yx (C) cos(2)6yx (D) cos(2)3yx 9、在锐角△ABC中，AB=25，AC=2，△ABC的面积是4，则sinA= ，BC= ． 10、在ABC中，若3,3,3acA，则b（ ） （A）4 （B）6 （C）23 （D）6 1、圆心为1,1且过原点的圆的方程是（ ） A．22111xy B．22111xy C．22112xy D．22112xy 2、已知圆22:341Cxy和两点,0Am，,00Bmm，若圆C上存在点P，使得90APB，则m的最大值为（ ）
（A）7 （B）6 （C）5 （D）4 3、圆22:(2)(2)8Cxy与y轴相交于,AB两点，则 弦AB所对的圆心角的大小为 4、已知圆的方程为222610xyxy，那么圆心坐标为 （A）(1,3) （B）(1,3) （C）(1,3) （D）(1,3)
5、抛物线24Cyx：的准线l的方程是____；以C的焦点为圆心，且与直线l相切的圆的方程是____. 7、已知两点(,0)Am，(,0)Bm（0m），如果在直线34250xy上存在点P，使得90APB，则m的取值范围是_____． 8、对于22:20Axyxe，以点11(,)22为中点的弦所在的直线方程是_____．
9、圆22:4230Cxyxy的圆心坐标及半径分别是（ ） （A）(2,1),2 （B）(2,1),2 （C）(2,1),2 （D）(2,1),2 10、已知圆的方程为08622yxyx,设该圆过点)5,3(的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为 （ ）
A．610 B．620 C．630 D．640
11、已知点(1,0),(cos,sin)AB, 且||3AB, 则直线AB的方程为 （ ）
A．33yx或33yx B．3333yx或3333yx C．1yx或1yx D．22yx或22yx 12、已知圆的方程为2220xyx，则圆心坐标为 （ ） A．0,1 B．0,1 C．1,0 D．1,0