二体问题

面积积分与开普勒第二定律的关系
开普勒第二定律
椭圆向径在相等时间内扫过的面积相同
h r 2u 1 t A rr 2
旋转矩阵
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轨道积分
r 3 r , 与h 叉乘 r
r h 3 r h r 3 r r r r
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过近拱点时间的积分—抛物线轨道
e 1
dt p3 df
1 cos f 2
tan
f 1 3 f tan 2 3 (t ) 2 3 2 p
巴克方程（Berker）或抛物 线情况的开普勒方程
过近拱点时间的积分—双曲线轨道
e 1
tan f 1 e H tanh 2 1 e 2

为积分常矢量
h r e r r
轨道积分
ex e ey ez
h) h r hh 0 (r
轨道坐标系
h） （r h （r h re h ) e h r




a b c a c b a b c
r r r r r h 3 r r r 2 d r = 3 [r r (rr ) r ] r dt r
二体问题
太阳系中，太阳和大行星的扁率都很小，接近 于球体，而且它们之间的距离比各自的尺寸大 得多，因此，太阳和大行星之间相互吸引可近 似为质点之间的吸引； 太阳系中的小天体（小行星和流星），形状不 规则，但是它们相对于太阳和大行星的距离来 说都很小，也可当作质点处理； 彗星弥散度很大，但是大部分质量高度集中在 慧核； 与太阳相比，行星质量小得多，最大的木星质 量也只有太阳质量的1/1000。
对于双曲线轨道，卫星的轨道方程为
r
活力积分或能量积分
点乘 r r 3 r 0 r
r d 1 r r 0 r r 3 r r dt 2 r
1 r E r 2 r
hx h hy hz
面积积分的物理含义
① h表示单位质量的动量矩 ② 二体问题的动量矩是守恒的 ③ h垂直于轨道运动平面，因此 轨道面是惯性系固定。h代表 轨道面的法向。可以用轨道 倾角 和升交点赤经Ω表示 ④ h为面积速度的两倍， ⑤ Θ
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2 1 v2 r a vr

p
e sin f

p
1 e cos f
其中三个近点角之间的关系：
M E e sin E tan f 1 e 2 sin E cos E e
r cos f a(cos E e)
r sin f a 1 e 2 sin E


e h 0
位于轨道平面内；积分常数中只有两个独立的积分常数e和
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轨道积分
定义f为在轨道面内从 到 之间的夹角
h） ) h h =h 2 （r r h（ r r
a
a
c ae
N

（r re ) r r ure cos f r
E e sin E

a3
(t )
（2）运行周期
T 2 a3


2 n
运行周期只与长半轴a有关
过近拱点时间的积分—椭圆轨道
E e sin E

a3
（3）圆轨道是椭圆轨道的一个特例
(t )
Tc 2
rc 3


2 n
运行周期只与圆轨道的半径有关
开普勒行星运动第三定律：人造 地球卫星在椭圆轨道上绕地球运 行，其运行周期取决于轨道的半 长轴（与半长轴的二分之三次方 成正比）
f0
f
df
2
拱线为AP，其中 P为近拱点
天体在轨道上的 位置f与其飞行时 间t之间的关系
过近拱点时间的积分—椭圆轨道
b a 1 e 2 r a 1 e 2 1 e cos f f E 1 e tan 2 1 e 2
r a 1 e cos E tan
p a 1 e 2
e 1双曲线轨道
h 2 a 1 e 2
④ 轨道积分的运动方程
r
a 1 e 2 1 e cos f
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轨道积分的物理含义
轨道长半轴特性
• 椭圆轨道： 0 • 抛物线轨道： → ∞ 0 • 双曲线轨道：
a 1 e 2 1 e cos f p a 1 e 2 h 2 p a 1 e 2
二体问题
定义
假设只有两个天体（不考虑其他天体的干扰）， 在万有引力作用下如何运动的问题.
z P
Q rP
·
·
O x
y
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二体问题的运动方程
• 建立任一空间坐标系Oxyz，P和Q分别是两个天 体 • rP 是天体P的位置矢量 • rQ 是天体Q的位置矢量 •
r rQ rP 是天体Q相对于
O x z P
Q rP
·
·
y
天体P的位置矢量 • mP和 mQ 分别为P和Q的质量
天体P受天体Q的引力：
mp m Q r FP G r3
天体Q受天体P的引力：
mp m Q r FQ G r3
根据牛顿第二定律：
⇒
z
QP P
O x
d (mv ) d 2r F m 2 dt dt
二体问题的运动方程
G mp m Q r r=0 r3
这是严格的二体问题的运动方程。在二体问题 中，一个天体的质量要远大于另一个天体，假 设 ≫ ，则天体Q不会影响天体P的运动。 以天体P为坐标系原点，二体问题运动方程可以 表示为
Gm r 3P r r
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3/21/2013Fra bibliotek二体问题
因此，除运动天体很接近某一大行星的情 况外，它受太阳的引力总是比受大行星的 引力大得多。 基于上述情况，关于大行星、小行星、彗 星和流星的运动，可近似地只考虑它们各 自和太阳之间的相互吸引，而且把它们当 作质点处理，也就是二体问题。 所谓二体问题就是研究两质点在万有引力 相互作用下的运动问题。
h 2 r 1 e cos f
r
h2 / h2 / 1 e cos f 1 e cos(u )
轨道积分的物理含义
h2 / r 1 e cos f
① 轨道积分以极坐标形式给出圆锥曲线方程 ② e为圆锥曲线的偏心率 e 0,圆轨道 ③ p为圆锥曲线的半通径 0 e 1, 椭圆轨道 e 1, 抛物线轨道 a为圆锥曲线的长半轴
椭圆轨道的三个近点角
三个近点角
真近点角f 偏近点角E 平近点角M E和M E和f
M n t n

a3
三个近点角的关系
M E e sin E
tan f 1 e2 sin E cos E e
开普勒 方程
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过近拱点时间的积分—椭圆轨道
轨道根数的意义
椭圆轨道根数
Z
Satellite
Satellite
b
E
ae a
r
Earth
f
Perigee
u
f
Earth
Perigee


i
Y
X
Ascending Node
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椭圆轨道的几何关系
椭圆轨道的基本关系式
b a 1 e2 r a 1 e 2 1 e cos f p a 1 e 2 r a 1 e cos E h p rv cos vt
面积积分 轨道积分 活力积分
牛顿
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面积积分
d r r r r r r r r dt


h r r
r 3 r 0 r
r r 3 r r r r 0 r
1 2 v E 2 r
或
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活力积分或能量积分
① E为单位质量的总能量是常数 h v 1 2e cos f e 2 ② 可以推导出 p ③ 由
E 2a
2 1 v2 r a
1 2 v E 2 r
a

2E
④ 轨道特性与能量E的关系
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卫星轨道基础
刘万科、楼益栋 空间定位与导航工程研究所
5. 二体问题
5.1 二体问题运动方程及其解 5.2 轨道根数与位置矢量和速度矢量之间的关系 5.3 两个时刻的位置矢量和速度矢量的关系 5.4 球坐标表示的运动状态参数
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二体问题
球形对称物体之间的吸引，如同质点之间 的吸引，它们的质量集中在球心； 一般形状的物体，若它们相互之间的距离 比它们自身的尺度大得多，也可以近似当 成质点之间的吸引。
解题思路：
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过近拱点时间的积分
h f r2
r
p 1 e cos f