圆的对称性
圆的对称性第一课时
——毕达哥拉斯[古希腊数学家]
23.1.2圆的对称性
(第一课时)
学习目标
1.理解圆是旋转对称图形,并能运 用其特有的性质推出在同一个圆中, 圆心角、弧、弦之间的关系。
2.能运用这些关系解决问题，培 养学生善于从实验中获取知识的科 学的方法。
旋转对称图形:把一个图形绕着一 个定点旋转一定角度后，能与原图形 重合，这个图形叫做旋转对称图形， 这个定点叫做旋转对称中心，旋转的 角度叫做旋转角。（ 0度< 旋转角<360度） 中心对称图形：把一个图形绕某一 点旋转180°,如果旋转后的图形能够 和原来的图形互相重合.那么这个图形 叫作中心对称图形。
课堂小结
1.圆是旋转对称图形、中心对称图形， 它的对称中心是圆心； 2.圆心角、弧、弦之间的关系。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧、两条弦，有一组量相等，那么 它们所对应的其余两组量也分别相等．
（注意: 运用此性质的前提是:在同圆或等圆中.）
在同圆或等圆中，如果圆心 角相等，那么它所对的弧相等， 所对的弦相等。
∠AOB=∠A'OB'
｛
⌒ ⌒ AB = A'B'
O
B' B'
AB=A'B'
A' A'
A
B
在同圆或等圆中，如果弧相 等，那么所对的圆心角相等， 所对的弦相等。
⌒ ⌒ AB = A'B'
｛
∠AOB=∠A'OB'
O
B' B'
AB=A'B'
A' A'
A
圆的对称性
条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量
都分别相等。 符号语言： ∵⊙O 和⊙O′是等圆 AB=A′B′ ∴∠AOB=∠A′O′B′ AB= A′B′
O′ A′ B
O
A B′
1、如图，AB、ED是⊙O的直径，C是⊙O上的一点， 且AD=CE. BE与CE的大小有什么关系？为什么？
解：BE=CE. 理由如下
3、如图，AB是⊙O的直径，OD∥AC. CD与BD的大小有什么关系？为什么？ 解：CD=BD. 理由如下
连接OC
∵OD∥AC
●
∴ ∠1=∠2
∵OA=OC ∴ ∠1=∠4 ∴ ∠2=∠3 ∴CD=BD
∠3=∠4
4 ●1
3
●●
2
4、如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦， OE⊥AB，OF⊥CD,重足分别为E，F. ⑴如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的 大小有什么关系？为什么？ ⑵如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么
第二节 圆的对称性
1、点与圆的位置关系： 点在圆外 d＞r 点在圆上 d=r
点在圆内
2、什么叫轴对称图形?
d＜r
把一个图形沿着某条直线对折,直线两旁的部分 能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
3、我们是用什么方法研究轴对称图形的? 折叠
1、圆是轴对称图形吗?
2、它的对称轴是什么?
3、你能找到多少条对称轴?
O B
∵⊙O 和⊙O′是等圆
∠AOB=∠A′O′B′
A
′
想一想
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等， 那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗? 2、在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们
所对的圆心角相等吗？它们所对的弧相等吗？
初中数学_3.1 圆的对称性教学设计学情分析教材分析课后反思
3.1.3《圆的对称性》教学设计一、学情分析中学生心理学研究指出，初中阶段是智力和思想发展的关键年龄段，学生逻辑思维能力逐步发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随之迅速发展，由于学生在七（下）“圆的初步认识”一节中，已经学习了圆、弧、弦、等圆、等弧、扇形等概念，了解了点与圆的位置关系。
在八（上）学习了轴对称与轴对称图形，在八（下）学习了旋转中心对称与中心对称图形。
有了学习的基础，本节课通过教师引导、组织学生观察、思考、经历1°的弧概念的发生过程，理解这一定义的合理性。
并结合图形让学生理解“圆心角的度数与它所对弧的度数相等”、教师通过例4和例5引导学生独立思考、小组合作交流找出解决问题的思路，让学生说出每步推理和计算的依据，体会解题过程中辅助线的作用以及转化的思。
通过教师组织学生自主合作、主动探究的课堂教学活动，从而激发学生的创新意识和创新思维。
二、教材分析本节《圆的对称性》共安排3课时，在七（下）“圆的初步认识”一节中，已经学习了圆、弧、弦、等圆、等弧、扇形等概念，了解了点与圆的位置关系。
在八（上）学习了轴对称与轴对称图形，在八（下）学习了旋转中心对称与中心对称图形。
在此基础上，第3课时学习圆心角与弧的度量以及圆心角与它所对弧的度数之间的关系。
本课时的内容为弧的度量，利用学生已知道角的度量单位和圆心角与其所对弧的关系度量弧的大小，这是本课时的主要内容。
如果把圆周看作是圆心角是周角所对的弧，便可把1°的弧规定为一个圆周的1／360的弧，作为弧的度量单位。
因为n°的角是周角的n／360，所以n°的圆心角所对的弧是n°的弧。
建立了圆心角与所对弧的度数之间的联系后，对研究与圆有关的直线的平行、垂直，所成的角的度数提供了很大的方便。
例4和例5都是综合运用本节所学的圆的有关定理以及解直角三角形的知识解决有关圆心角、弧的度数及弦长的计算，使学生感受不同数学知识之间的实质性联系。
圆的对称性教案
教学过程一、课堂导入前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴。
圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴二、复习预习圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)．3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．如下图，以A、B为端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径注意：1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D 为端点的弧有两条：优弧ACD(记作 ACD)，劣弧ABD(记作 AD)．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．2．直径是弦，但弦不一定是直径．三、知识讲解考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧;如图，∵CD是圆O的直径，CD⊥AB于E,∴= ，=C垂径定理的推论1：平分弦（此弦非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的弧如图，∵CD是圆O的直径，EA=EB,∴= ，=，⊥垂径定理的推论2：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧如图，∵CD是圆O 的直径，∴= ，=，⊥C垂径定理的推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
四、例题精析例1 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（）【规范解答】解：连接OC，∵CD⊥AB，CD=8，∴PC=CD=×8=4，在Rt△OCP中，∵PC=4，OP=3，∴OC===5．故选C．【总结与反思】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键考点二例2 如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）【规范解答】解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵OD⊥AB，∴AD=AB=×8=4cm，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5cm．故选C．【总结与反思】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键考点三如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于M，且M是半径OB的中点，CD=8cm，求直径AB的长．【规范解答】解：连接OC，∵直径AB⊥CD，∴CM=DM=cm，∵M是OB的中点，∴OM=由勾股定理得：OC2=OM2+CM2∴，∴OC=cm（3分）∴直径AB的长=cm．【总结与反思】解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解考点四如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于C，交弦AB于D，（1）求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=8cm，CD=2cm，求（1）中所作圆的半径．【规范解答】解：（1）M就是所求的圆的圆心；（2）设圆的半径是r．在直角△ADM中，AM=r，AD=4，DM=r﹣2．根据勾股定理即可得到：r2=42+（r﹣2）2解得：r=5．即圆的半径为5cm【反思与总结】圆中半径、弦长、弦心距之间计算可以转化为直角三角形之间的计算课程小结。
初三培优专题18 圆的对称性
AC
DB
（第 6 题图）
O
B
A
EC
DF
（第 7 题图）
A
E CP F D
B （第 8 题图）
7．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦．若 AB=10cm，CD=8cm，那么 A，B 两点到直线 CD 的距离之和
为（ ）
A．12cm
B．10cm
C．8cm
D．6cm
8．如图，半径为 2 的⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 垂直相交于点 P，连结 OP．若 OP=1，求 AB2+CD2 的
AP
BE
C
O
F
D 图3
⑵ 如图 2，若弦 BC 经过半径 OA 的中点 E，F 是 C»D 的中点，G 是 F»B 的中点，⊙O 的半径为 1，求弦
FG 的长； ⑶ 如图 3，在⑵中若弦 BC 经过半径 OA 的中点 E，P 为劣弧上一动点，连结 PA，PB，PD，PF，求证：
PA PF
的定值．
PB PD
【例 4】如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC，D 为 B¼AC 的中点，DE⊥AB 于 E．求证：BD2-AD2=AB g
AC． （天津市竞赛试题）
解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明． D A E C
B
圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形
⑴如图 1，PA+PB= 3 PH；
⑵如图 2，PA+PB=PH；
⑶ 进 一 步 ， 如 图 3 ， 若 ∠ APB=α ， PH 平 分 ∠ APB ， 则 PA+PB=2PHcos 为 定
3.2圆的对称性(北师大版)
A
M└
●
∴AM=BM,
⌒ =BC, ⌒ AC ⌒ ⌒ AD=BD.
D
• 杨老师提示: • 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三 种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
在下列图形中，找出能利用垂径定理的图形
D
B E
D
A
O
O
O
A
E C
A
B
C
A
E C
A
B
O E C B
C
D
E
O
A
E D
B
B
M
●
O
D
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒ AB(用 两个字母).
C
⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AMB (用三个字母).
弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
A B
A
B
同心圆:圆心相同、半径不相等的两个圆叫 做同心圆。 r
1
r2 O
O
r
O
r
等圆、等弧:能够重合的两个圆叫做等圆. 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
A B O
M└
●
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
垂径定理及逆定理
① CD是直径 ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ , ⌒ ⌒ ⌒ ⑤ AD=BD. ④AC=BC,
条件 结论 命 题
C
A
M└
●
B O
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
D ①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
已知：⊙O中弦AB∥CD. C A
圆圆的对称性课件ppt
在几何中，圆的中心对称性可以用于证明和计算与圆 相关的几何性质和定理。
在三角函数中，圆的中心对称性可以用于研究三角函 数的图像和性质，以及进行相关的计算和证明。
05
圆形对称性与其他几何形状的关系
圆形对称性与其他几何形状的关系
圆形与正方形的关系
圆圆的对称性课件ppt
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 圆圆的对称性 • 圆的轴对称性 • 圆中心对称性 • 圆形对称性与其他几何形状的关系 • 教学反思与总结
01
引言
课程背景
对称性是数学和物理中的基本概念，涉及众多领域如几何、 代数、分析和物理学等。
对称性在数学教育中也扮演着重要角色，可以帮助学生理解 抽象概念并培养解决难题的能力。
VS
价值
通过对称性的学习，可以帮助学生更好地 理解其他学科中的一些概念和原理，提高 跨学科学习的能力。此外，对称性在生活 中也有广泛的应用，如建筑设计、图案设 计等，学习对称性的相关知识可以为学生 的未来职业和生活提供一定的帮助。
THANKS
谢谢您的观看
圆在生活中的应用非常广泛，比如建筑设计、机械制造、艺术图案等领域都会涉 及到圆及其对称性。
04
圆中心对称性
中心对称性的定义
中心对称性是指对于一个点集，如果将其中每个点的位置相 对于某一点进行变换，那么该点集的形状和大小保持不变， 且变换前后的点集关于该点成中心对称。
在二维平面内，如果将一个图形相对于圆心进行旋转180度， 则旋转后的图形与原图形关于圆心成中心对称。
圆的中心对称性的性质
圆的中心对称性具有旋转不变 性和反射对称性。
圆的特点及生活中的应用
圆的特点及生活中的应用
圆是几何学中的一种基本形状，它具有以下几个主要特点：
1. 对称性：圆具有完美的旋转对称性，任意一个点到圆心的距离都相等。
这种对称性使圆具有很多特殊的性质和应用。
2. 曲率均匀：圆的曲率在每一点上都是相等的，这也是圆形独有的特点。
3. 定义简单：圆可以通过一个点（圆心）和一个距离（半径）来唯一确定。
生活中，圆的应用非常广泛。
以下是一些常见的圆的应用：
1. 轮胎：轮胎是由圆环组成的，圆形的轮胎能够更好地分布压力并提供更好的操控性能。
2. 瓶盖：瓶盖通常使用圆形设计，这样可以更好地密封瓶口，并且方便旋开和关闭。
3. 圆桌和椅子：圆桌和椅子的设计使得人们可以更方便地进行交流和沟通。
4. 钟表：钟表通常是圆形的，这样可以更好地显示时间，并且在指针旋转时保持稳定。
5. 路标和交通标志：许多路标和交通标志的形状是圆形的，这样可以帮助司机更容易地辨认和理解。
6. 水井和池塘：水井和池塘通常是圆形的，这样可以最大程度地利用空间，并且有利于水的流动和分布。
7. 摩天轮和旋转木马：摩天轮和旋转木马是圆形设计，这样可以使乘客在旋转过程中保持平衡和舒适。
8. 球体和圆球：球体和圆球是由无数个平面上的圆组成的，这些形状因为其对称性和曲率的均匀性而被广泛应用于体育运动、儿童玩具等领域。
总之，圆作为一种基本的几何形状，在生活中有各种各样的应用。
无论是工程设计、建筑设计还是日常用品的设计，都会考虑到圆的特性和优势，以提供更好的使用体验和功能。
3.2 圆的对称性(2)
导入新课
情境引入
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块， 你会分吗？
讲授新课
一 圆的对称性
探究归纳 问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是 什么？你能找到多少条对称轴？ 问题2 你是怎么得出结论的？ 用折叠的方法
圆的对称性：
●O
圆是轴对称图形，其对称轴
是任意一条过圆心的直线.
探究归纳 问题3 将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形 重合吗？由此你得到什么结论呢？
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明：∵A⌒B=C⌒D，
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
O·
又∠ACB=60°，
B
C
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵 活转化是解题的关键.
( ( ( (
( (
针对训练 填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么__A_B__=_C_D__，_∠__A_O_B__=_∠__C__O．D
归纳 由圆的旋转不变性，我们发现：D 在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么，AB CD ，弦AB=弦CD
C B
·
O
A
在等圆中探究 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现
的等量关系是否依然成立？为什么？
A
B
C
D
O·
O ·′
归纳 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我 们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，A⌒B=C⌒D，弦 AB=弦CD.
180° A
圆的对称性： 圆是中心对称图形，对称中 心为圆心.
专题18 圆的对称性——初中数学培优
专题18 圆的对称性阅读与思考圆是一个对称图形．首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性．由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用．熟悉以下基本图形和以上基本结论．我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印．例题与求解【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，ACBAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题）解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系．由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决．【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB ，D C ，EF ．如果AB +D C =EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（）A ．AB +CD =EF B ．AB +CD >EFC ．AB +CD <EFD ．AB +CD 与EF 的大小关系不能确定（江苏省竞赛试题）解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考．ABCD【例3】⑴ 如图1，已知多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成， ⊙O 过A ，D ，E 三点，求⊙O 的半径．⑵ 如图2，若多边形ABDEC 是由等腰△ABC 和矩形BDEC 组成，AB =AC =BD =2，⊙O 过A ，D ，E 三点，问⊙O 的半径是否改变？（《时代学习报》数学文化节试题）解题思路：对于⑴，给出不同解法；对于⑵，⊙的半径不改变，解法类似⑴．等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个从形式到结果依然完美的图形．三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习．【例4】如图，已知圆内接△ABC 中，AB >AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ．求证：BD 2-AD 2=AB AC ．（天津市竞赛试题） 解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明．圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧．A BCDE图1图2【例5】在△ABC 中，M 是AB 上一点，且AM 2+BM 2+CM 2=2AM +2BM +2CM －3．若P 是线段AC 上的一个动点，⊙O 是过P ，M ，C 三点的圆，过P 作PD ∥AB 交⊙O 于点D ．⑴ 求证：M 是AB 的中点；⑵ 求PD 的长． （江苏省竞赛试题）解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM ，BM ，CM 的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，促成圆周角与弧、弦之间的转化．【例6】已知AD 是⊙O 的直径，AB ，AC 是弦，且AB =AC ．⑴ 如图1，求证：直径AD 平分∠BAC ；⑵ 如图2，若弦BC 经过半径OA 的中点E ，F 是CD 的中点，G 是FB 的中点，⊙O 的半径为1，求弦FG 的长；⑶ 如图3，在⑵中若弦BC 经过半径OA 的中点E ，P 为劣弧上一动点，连结P A ，PB ，PD ，PF ，求证：PA PFPB PD++的定值．（武汉市调考试题）解题思路：对于⑶，先证明∠BP A =∠DPF =300，∠BPD =600，这是解题的基础，由此可导出下列解题突破口的不同思路：①由∠BP A ==∠DPF =300，构建直角三角形；②构造P A +PF ，PB +PD 相关线段；③取BD 的中点M ，连结PM ，联想常规命题；等等．本例实质是借用了下列问题：⑴如图1，P A +PB； ⑵如图2，P A +PB =PH ；⑶进一步，如图3，若∠APB =α，PH 平分∠APB ，则P A +PB =2PHc o s2α为定值．图1A 600300300PHB PABH600 图2 PABH 图3C图1图2 图3能力训练A 级1．圆的半径为5cm ，其内接梯形的两底分别为6cm 和8cm ，则梯形的面积为_______cm 2．2．如图，残破的轮片上，弓形的弦AB 长是40cm ，高CD 是5cm ，原轮片的直径是________cm ．第3题图第2题图A3．如图，已知CD 为半圆的直径，AB ⊥CD 于B ．设∠AOB =α，则BA BD ta n 2=_________． （黑龙江省中考试题）4．如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，AC BC =1，若BC =1，若以C 为圆心，CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP =___________. （江苏省宿迁市中考试题）5．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA —AB —BO 的路径运动一周.设OP 长为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t之间的关系是（ ）（太原市中考试题）6．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，AB =10cm ，CD =6cm ，那么AC 的长为（ ）A ．0.5c mB ．1c mC ．1.5c mD ．2c m7．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦．若AB =10cm ，CD =8cm ，那么A ，B 两点到直线CD 的距离之和为（ ）A ．12cmB ．10cmC ．8cmD ．6cmtttOAE CD FBABC DF EP （第6题图）（第4题图）（第7题图）（第8题图）8．如图，半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P，连结OP．若OP=1，求AB2+CD2的值．（黑龙江省竞赛试题）9．如图，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM于N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E．⑴如果CD⊥AB，求证：EN=NM；⑵如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE2=EF•ED；⑶如果弦CD，AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（重庆市中考试题）10．如图，⊙O的内接四边形ABMC中，AB>AC，M是BC的中点，MH⊥AB于点H．求证：BH=1 2（AB-AC）．（河南省竞赛试题）11．⑴如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G．求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的13．⑵如图2，若∠DOE保持0120角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的13．AB CDOEFM（第9题图）AHB MC（第10题图）图2图1ADA12．如图，正方形ABCD 的顶点A ，D 和正方形JKLM 的顶点K ，L 在一个以5为半径的⊙O 上，点J ，M 在线段BC 上．若正方形ABCD 的边长为6，求正方形JKLM 的边长．（上海市竞赛试题）B 级1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过A ，B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ．若AB =10，AE =3，BF =5，则EC =__________．2．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点A ′上，若BC =5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为________． （宁波市中考试题）3．如图，已知⊙O 的半径为R ，C ，D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为960，BD 的度数为360．动点P 在AB 上，则CP +PD 的最小值为__________．（陕西省竞赛试题）O A E CD FBABCDE A ′ABCDPO （第1题图）（第2题图）（第3题图）A D CB NOJ M K L（第12题图）4．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（ ） AB．2C ．54D5．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆圆周上一点，M 是AC 的中点，MN ⊥AB 于N ，则有（）A ．MN =12AC B ．MN=2AC C ．MN =35AC D ．MN（武汉市选拔赛试题）第4题图第5题图A O6．已知，AB 为⊙O 的直径，D 为AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，且DE =3．求AC 的长度．7．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的⊙O ；对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB =BD ，且PC =0.6，求四边形ABCD 的周长．（全国初中数学联赛试题）AD O BE GFN ACBDO P（第7题图）（第6题图）C8．如图，已知点A ，B ，C ，D 顺次在⊙O 上，AB BD =，BM ⊥AC 于M ．求证：AM =DC +CM ．（江苏省竞赛试题）9．如图，在直角坐体系中，点B ，C 在x 轴的负半轴上，点A 在y 轴的负半轴上，以AC 为直径的圆与AB 的延长线交于点D ，CD AO =，如果AB =10，AO >BO ，且AO ，BO 是x 的二次方程0482=++kx x 的两个根．⑴ 求点D 的坐标；⑵ 若点P 在直径AC 上，且AP =14AC ，判断点(－2，10)是否在过D ，P 两点的直线上，并说明理由． （河南省中考试题）10．⑴如图1，已知P A ，PB 为⊙O 的弦，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥P A 于点E ，求证：AE =PE +PB ． ⑵如图2，已知P A ，PB 为⊙O 的弦，C 是优弧AB 的中点，直线CD ⊥P A 于点E ，问：AE ，PE 与PB 之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论．x（第9题图）ABC D O M （第8题图）A图1CPBDEO A图2C PB D EO11．如图，已知弦CD 垂直于⊙O 的直径AB 于L ，弦AE 平分半径OC 于H ．求证：弦DE 平分弦BC 于M ． (全俄奥林匹克竞赛试题)12．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，且AD =DC +CB ，过D 作AC 的垂线交△ABC 的外接圆于M ，过M 作AB 的垂线MN ，交圆于N ．求证：MN 为△ABC 外接圆的直径．专题18 圆的对称性 例1 15°或75° 提示：分AB 、AC 在圆心O 同侧、异侧两种情况讨论．例2 B例3 (1)解法一：如图，将正方形BDEC 上的等边△ABC 向下平移，使其底边与DE 重合，得等边△ODE ．∵A 、B 、C 的对应点是O 、D 、E ，∴OD ＝AB ，OE ＝AC ，AO ＝BD ．∵等边△ABC 和正方形BDEC 的边长都是2，∴AB ＝BD ＝AC ＝2，∴OD ＝OA ＝OE ＝2．∵A 、D 、E 三点确定一圆，O 到A 、D 、E 三点的距离相等．∴O 点为圆心，OA 为半径，∴该圆的半径为2．解法二：如图，将△ABC 平移到△ODE 位置，并作AF ⊥BC ，垂足为F ，延长交DE 于H ．∵△ABC 为等边三角形，∴AF 垂直平分BC ，∵四边形BDEC 为正方形，∴AH 垂直平分正方形边DE ．又∵DE 是圆的弦，∴AH 必过圆心，记圆心为O 点，并设⊙O 的半径为r ．在Rt △ABF 中，∵∠BAF ＝30°，∴AF ＝AB ·cos 30°＝OH ＝AF ＋FH －OA2－r ．在Rt △ODH 中，OH 2＋DH 2＝OD 2，∴2r -)2＋12＝r 2，解得r ＝2． (2)⊙O 的半径不变，因为AB ＝AC ＝BD ＝2，此题求法和(1)一样，⊙O 的半径为2．例4 提示：BD 2－AD 2＝(BE 2＋ED 2)－(AE 2＋ED 2)＝(BE ＋AE )(BE －AE )＝AB (BE －AE )，只需要证明AC ＝BE －AE 即可．在BA 上截取BF ＝AC ．连DF 可证明△DBF ≌△DCA ，则DF ＝AD ，AE ＝EF ． 例5 (1)由条件，得(AM －1)2＋(BM －1)2＋(CM －1)2＝0，∴AM ＝BM ＝CM ＝1．因此，M 是AB 中点，且∠ACB ＝90°． (2)由(1)知，∠A ＝∠PCM ，又PD ∥AB ，∴∠A ＝∠CPD ，∠PCM ＝∠CPD ，因此，,CD PM CPM DCP ==，于是有DP ＝CM ＝1．例6 (1)连结BD 、CD ，∵AD 是直径，所以∠ABD ＝∠ACD ＝90°，又∵AB ＝AC ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠DAC ，∴AD 平分∠BAC ．(2)连结OB 、OC ，则OA ⊥BC ，又AE ＝OE ，得ABAC O LE BDMH（第11题图）AC M N ODB（第12题图）＝BO ＝OA ＝OC ，△AOB ，△AOC 都为等边三角形，连结OG ，则∠GOF ＝90°，FG (3)取BD 的中点M ，过M 作MS ⊥P A 于S ，MT ⊥PF 于T ，连AM ，FM ．∠BPM ＝∠DPM ＝30°，∠APM ＝∠FPM ＝60°，则MS ＝MT ，MA ＝MF ，Rt △ASM ≌Rt △FTM ，Rt △PMS ≌Rt △PMF ．∴PS ＝12PM ．∴P A＋PF ＝2PS ＝2PT ＝PM ．同理可证：PB ＋PD ．∴PA PF PB PD +==+为定值．A 级 1．49或7 2.85 3．1 4 5．C 6．D 7．D 8．过O 点作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，连结OD ，OA ，则AE ＝BE ，CF ＝DF ，∵OE 2＝AO 2－AE 2＝(4214AB -)，OF 2＝OD 2－FD 2＝414-CD 2，∴OE 2＋OF 2＝(4214AB -)＋(4214CD -)＝PF 2＋OF 2＝OP 2＝12，即4214AB -＋4214CD -＝1，故AB 2＋CD 2＝28．得x 1＝－3(舍去)，x 2＝75，∴正方形JKLM 的边长为145..26－3 提示:作OM ⊥CD 于M ，则EC ＝12(EF －CD). 2.103 3.3R 提示:设D'是D 点关于直径AB 对称的点，连结CD'交AB 于P ，则P 点使CP ＋PD 最小，∠COD'＝120°，CP ＋PD ＝CP ＋PD'＝CD'＝3R. 4.D 提示：如图：，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12＝r 2(2－a)2＋(12)2＝r 2 ，解得a ＝1316，r ＝51716 5.A 提示:连结OM ，则OM ⊥AC.6.解法一:连结OD 交AC 于点F ，∵D 为⌒AC 的中点，∴AC ⊥OD ，AF ＝CF.又DE ⊥AB ，∴∠DEO ＝∠AFO.∴△ODE ≌△OAF.∴AF ＝DE.∵DE ＝3∴AC ＝6.解法二:延长DE 交⊙O 于点G ，易证⌒AC ＝2⌒AD ＝⌒AD ＋⌒AG ＝⌒DG ，则DG ＝AC ＝2DE ＝6.7.连结BO 并延长交AD 于H ，因AB ＝BD ，故BH ⊥AD ，又∠ADC ＝90°，则BH ∥CD ，从而△OPB ∽△CPD ，得CD BO ＝CP PO ，即CD 1.5＝0.61.5－0.6，解得CD ＝1.于是AD ＝AC 2－CD 2＝22，又OH ＝12CD ＝12，则AB ＝AH 2＋BH 2＝2＋4＝6，BC ＝AC 2－AB 2＝9－6＝ 3.∴四边形ABCD 的周长为1＋22＋3＋ 6.8.提示:延长DC 至N ，使CN ＝CM ，连结BN ，则∠BCN ＝∠BAD ＝∠BDA ＝∠BCA ，可证得△BCN ≌△BCM ，Rt △BAM ≌Rt △BDN.9.⑴AO ＝8，BO ＝6，AB ＝BC ＝10，AD ＝CO ＝16，DB ＝AD －AB ＝6，过D 作DE ⊥BC 于E ，由Rt △DEB ∽Rt △AOB ，得DE ＝245，BE ＝185，EO ＝6＋185＝485.∴D(－485，245).⑵A(0，－8)，C(－16，0)，P(－4，－6)，经过D ，P 两点的直线为y ＝－2714x －967，点(2，－10)不在直线DP 上.10.⑴在AE 上截取AF ＝BP ，连结AC ，BC ，FC ，PC ，可证明△CAF ≌△CBP ，CF ＝CP.又CD ⊥PA ，则PE ＝FE ，故AE ＝PB ＋PE.⑵AE ＝PE －PB ，在PE 上截取PF ＝PB ，连结AC ，BC ，FC ，PC ，可证明△CPF ≌△CPB ，CF ＝CB ＝CA.又CD ⊥AP ，则FE ＝AE ，故AE ＝PE －PB.11.连结BD ，∠CBA ＝∠DBA ，CB ＝BD ，由∠AOC ＝∠CBD ，∠A ＝∠BDE ，得△AOH ∽△DBM ，∴OH OA＝BMBD＝12，即BM＝12BC.12.延长AC至点E，使CE＝BC，连结MA，MB，ME，BE.∵AD＝DC＋BC＝DC＋CE＝DE，又MD ⊥AE，∴MA＝ME，∠MAE＝∠MEA.∵∠MAE＝∠MBC，，又由CE＝BC得∠CEB＝∠CBE，∴∠MEB＝∠MBE，得MA＝ME＝MB，即M为优弧⌒AB的中点，而MN⊥AB，∴MN是⊙O的直径.。
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3.1.1 圆的对称性
教学目标:
经历探索圆的对称性及相关性质的过程．理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理．
教学重点:
垂径定理及其应用．
教学难点:
垂径定理及其应用．
教学方法:
指导探索与自主探索相结合。
教学过程:
一、举例：
【例1】判断正误：
（1）直径是圆的对称轴．
（2）平分弦的直径垂直于弦．
【例2】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．
【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．
【例4】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．
【例5】如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？
说明理由．
如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论
是否改变？为什么？
如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？
如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等
吗？
二、课内练习：
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 .
图中相等的劣弧有 .
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于
D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．
6． “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修
建的，横跨南渡江的琼州大桥（如图3-2-16）已
于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五
个红色的圆拱，如图（1）．最高的圆拱的跨度为
110米，拱高为22米，如图（2）那么这个圆拱所在圆的直径为 米．
三、课后练习：
1、已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D
两点，求证：AC＝BD
2、已知AB、CD为⊙O的弦,且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，
求：圆心O到弦AB的距离
3、已知：⊙O弦AB∥CD 求证：BDAC
4、已知：⊙O半径为6cm，弦AB与直径CD垂直，且将CD分成1∶3两部
分,求：弦AB的长．
5、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，CE⊥CD交AB于E DF⊥CD交AB于F
求证：AE＝BF
6、已知：△ABC内接于⊙O，边AB过圆心O，OE是BC的垂直平分线，交
⊙O于E、D两点，求证，BC21AE
7、已知：AB为⊙O的直径，CD是弦，BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，连结OE，OF求证：⑴OE＝OF ⑵
CE＝DF
8、在⊙O中，弦AB∥EF，连结OE、OF交AB于C、D求证：AC＝DB
9、已知如图等腰三角形ABC中，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求ABC的长
10、已知：⊙O与⊙O＇相交于P、Q，过P点作直线交⊙O于A，交⊙O＇于B使OO＇与AB平行求证：
AB＝2OO＇
11、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F求证：EC＝DF