高一数学预科班讲义

高一数学预科第1讲：集合及其运算

一、集合的含义与表示：

1.集合的表示方法：① ② ③ 2．关于集合的元素的特征：

（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两

种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应

重复出现同一元素。 （3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的

数轴顺序书写。 3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A

（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写） 4．常用数集的记法：

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N

（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {

} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，

210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}

整数与分数=Q

（5）实数集：全体实数的集合记作R {}

数数轴上所有点所对应的=R

5．两个集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等。 6. 有限集合、无限集合、空集的定义 例题1.下列各组对象不能组成集合的是( )

A.大于6的所有整数

B.高中数学的所有难题

C.被3除余2的所有整数

D.函数y=x

1

图象上所有的点

练习：下列条件能形成集合的是( )

A.充分小的负数全体

B.爱好足球的人

C.中国的富翁

D.某公司的全体员工 例题2、填空：或用符号∉∈

（1） -3 N ； （2）3.14 Q ； （3）3

1

Q ； （4）0 Φ ；

（5）3 Q ； （6）2

1

- R ； （7）1 N +； （8）π R 。

练习：下列结论中，不正确的是( )

A.若a ∈N ，则-a ∉N

B.若a ∈Z ，则a 2∈Z

C.若a ∈Q ，则｜a ｜∈Q

D.若a ∈R ，则R a ∈3

例题3：用列举法表示下列集合：

① {|x x 是15的正约数} ②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈ ③{(,)|2,24}x y x y x y +=-= ④ {|(1),}n

x x n N =-∈ ⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈

例题4：用描述法表示下列集合：

① {1,4,7,10,13}； ②{2,4,6,8,10}----- ③1,1,1,1

课堂练习：

1.下列说法正确的是 ( )

A.{}1,2,{}2,1是两个集合

B.{}(0,2)中有两个元素

C.6|

x Q N x ⎧

⎫

∈∈⎨⎬⎩⎭

是有限集 D.{}

2|20x Q x x ∈++=且是空集 2.将集合{}|33x x x N -≤≤∈且用列举法表示正确的是( )

A.{}3,2,1,0,1,2,3---

B.{}2,1,0,1,2--

C.{}0,1,2,3

D.{}1,2,3

3.给出下列4个关系式：{}3,0.3,0,00R Q N +

∈∉∈∈其中正确的个数是( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个 4.下列元素与集合的关系中正确的是( ) A.N ∈2

1

B.2{x R|x ≥3}

C.|-3|N*

D.-3.2Q

5.给出下列四个命题：

(1)很小的实数可以构成集合； (2)集合{y|y=x 2-1}与集合{(x,y)|y=x 2-1}是同一个集合； (3)1,

23,4

6

,21-,0.5这些数字组成的集合有5个元素；

(4)集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y R}是指第二象限或第四象限内的点的集合. 以上命题中,正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

6.下列集合中表示同一集合的是( )

A.M={(3,2)},N={(2,3)}

B.M={3,2},N={(2,3)}

C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}

D.M={1,2},N={2,1} 7.已知x N,则方程2

20x x +-=的解集为( ) A.{x|x=-2}

B. {x|x=1或x=-2}

C. {x|x=1}

D.

1

8.已知集合M={m N|8-m N},则集合M 中元素个数是( ) A.6 B.7

C.8

D.9

9.方程组2

5x y x y +=⎧⎨-=⎩

的解集用列举法表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

10.已知集合Ａ＝{}

20,1,x x -则x 在实数范围内不能取哪些值＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 11.用符号“”或“”填空：0_______N,

5______N, 16______N.

12.用列举法表示A={y|y=x 2+1,-2≤x ≤2,x Z}为_______________. 13.用描述法表示集合“方程x 2-2x+3=0的解集”为_____________. 14.集合{x|x>3}与集合{t|t>3}是否表示同一集合？________

15.已知集合P={x|2

二、集合间的基本关系

1：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？ （1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；

（2）设A 为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合； （3）设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形

（4）

{2,4,6},{6,4,2}E F ==. 一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.记作：()A B B A ⊆⊇或 读作：A 包含于B(或B 包含A).如果两个集合所含的元素

完全相同，那么我们称这两个集合相等.

2.真子集：如果集合A B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ）

3. 空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定空集是任何集合的子集

4.含有n 个元素的集合A 的子集个数为n

2，真子集的个数为n

2

1，非空真子集的个数为n 22

课堂练习：

1.用适当的符号填空：

（1）a {a,b,c} (2)0 {x|x 2=0} (3) {x ∈R|x 2+1=0} (4){0,1} N (5) {0} {x|x 2=x} (6) {2,1} {x|x 2-3x+2=0} 2.写出集合A={1,2,3,4}的所有子集

3.判断下列两个集合的关系

（1）A={1,2,4} B={x|x 是8的约数} （2）A={x|x=3k,k ∈N} ，B={x|x=6z,z ∈N}

（3）A={x|x 是4和10的公倍数，x ∈N +}，B={x|x=20m, m ∈N +}

4. 已知集合A=｛2，8，a ｝, B=｛2，a 2-3a+4｝,又A B ，求出a 之值

5. 已知集合A=｛x|-3≤x ≤4｝B=｛x|2m-1≤x ≤m+1｝,当B A 时，求出m 之取值范围

三、集合的基本运算

1并集：

已知集合A={1,2,3}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6}

一般地，由所有属于集合A 或属于集合A 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A ∪B （读作：A 并B ），即A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}

用Venn 图表示：

说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。 讨论：A ∪B 与集合A 、B 有什么特殊的关系？

A ∪A ＝ , A ∪Ф＝ , A ∪

B B ∪A A ∪B ＝A ⇒ , A ∪B ＝B ⇒ .

例1.设A={4,5,6,8}，B={3,5,7,8}，求A ∪B

例2：设集合A={x|-1

2. 交集：

已知集合A={2,4,6,8,10}，集合B={3,5,8,12}，集合C={8}，集合A 、B 、C 之间有什么关系？

一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B （读作“A 交B ”）即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}

用Venn 图表示：（阴影部分即为A 与B 的交集）

常见的五种交集的情况：

讨论：A ∩B 与A 、B 、B ∩A 的关系？

A ∩A ＝ A ∩＝ A ∩

B B ∩A

A ∩

B ＝A ⇒ A ∩B ＝B ⇒

例1：设A={3,5,6,8}，B={4,5,7,8}，求A ∪B ，A ∩B

例2.已知A={x|x 是等腰三角形}，B={x|x 是直角三角形}，求A ∪B ，A ∩B

A B

A(B)

A

B

B

A B A