正弦函数和余弦函数的定义教案

1.4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式

1.4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义

（必修4 第一章三角函数）

《正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式》教案一、教学目标

1：知识与技能

观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质，并灵活应用性质解题。培养分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的能力。

2:过程与方法

理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念。通过初中知识的回顾，探索新知，会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性及诱导公式。通过借助单位圆讨论正弦函数、余弦函数的过程，感悟数形结合思想方法是学习数学的重要思想方法之一。

3:情感态度与价值观

由锐角的正,余弦函数推广到任意鱼的正,余弦函数的过程中,体会特殊与一般的关系,形成一种辩证统一的思想;

通过单位圆的学习,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题,解决问题的能力。

一

二、学情分析

初中运算以具体数字为主，运算量小；高中以字母为主，更加抽象(也更接近数学的本质)，并且引入对字母的分类讨论，对学生的发散思维能力提出了很高要求,教师讲的太多，会导致学生产生依赖心理，时间一长，会形成恶性循环；教师讲的太多，往往拔苗助长，适得其反；让学生积极动脑思考，过程虽然慢一些，但可以培养学生捕捉问题的敏捷性，对以后的数学学习非常有利，可谓“磨刀不误砍柴工”。教师要从各方面引导学习数学要深入下去，不能浅尝辄止，半途而废，要适时鼓励学生，给学生以学好数学的勇气和信心。鼓励学生不要怕出错，大胆尝试，大胆地写，给学生敢写、敢做树立自信心。

在初中学生已经学习过三步作图法（列表，描点、连线）——“描点作图”法，在第一册学生已经掌握了函数的有关对应的知识和概念,同时已经具备了一定的自学能力,这在我们今天学校用“五点法”作图提供了基础，让学生动手作出函数y＝sinx和y=cosx的图象，学生不会感到困难。积极地鼓励学生自主的去完成作业。遇到有疑问的问题积极的解决。同时要求学生课下通过对图像的研究对三角函数的性质有个初步的认识，为下一节课的学习奠定基础。

三、教材分析

1、教学重、难点

（1）正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号；会利用单位圆求三角函数值

（2）了解周期性及一般函数周期性的定义，会求简单函数的周期性；

（3）掌握诱导公式，包括推导、记忆、应用（求值、化简等）；（4）利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法

2 、核心素养

《三角函数》可看作是《函数》一章内容的延伸和拓展，在教学中要注意让学生体会三角函数与一般函数之间的关系，即个性与共性之间的关系．同时，在本章的教学中，要特别注意数学思想方法的渗透，如突出“数形结合”的思想方法．由于三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，所以教学中既要“以形助数”，突出几何直观帮助学生理解抽象概念，又要“以数助形”，通过代数性质反映图像的变化规律．再如，由锐角的三角函数值到任意角的三角函数值，三角函数图像上一点的作法到一个周期内的图像上的画法乃至整个定义域上的图像画法等都遵循了有特殊到一般的思维方式。学好余弦函数的图像与性质的最有效的方法是与正弦函数的图像与性质进行类比。三角函数是一种基本初等函数，它是描述周期现象的数学模型，在数学与其他领域中具有重要的作用，三角函数既是解决生产实际问题的工具，又是进一步学习的基础。三角函数是个特殊的函数体系，在从纵轴上的有限与在横轴上的无限体现了数学的自然美、奇异美。

四、教学过程

4.1任意角的正弦函数,余弦函数的定义（一课时）

一、尝试回忆

1、弧度的角；

2、角度制与弧度制的互化；

3、弧长公式及扇形面积公式；

4、用弧度制表示第一象限内的角的集合和x轴上的角的集合。特别注意:角度与弧度不要混用。如kΠ+90∘,k ∈Z ,应写成

,k ∈Z

k.180∘+90∘, k ∈Z或kΠ+Π

2

5、初中所学的锐角的正,余弦函数是如何定义的?

由锐角三角函数推广到任意角的三角函数,由直角中的边之比定义,推广到直角坐标系中的坐标定义。

二、预习导航

1、何为单位圆；

在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长为半径的圆,称为单位圆。

单位长:可以是1厘米,1m,1公里,光年等。单位圆可根据需要移到其它地方。

2、任意角的正,余弦函数定义

给定一个锐角α，使角α的顶点与原点重合，始边与

X轴非负半轴重合，始边与单位圆交于点P(u,v)，则点P

的纵坐标y是角α的正弦函数值，横坐标u是角α的余弦

函数值。即sinα=v，cosα=u

1）在不同象限上，正、余弦函数得符号大小。

通过单位圆所得出正余弦函数的函数表达式，记住正弦函数在第

一、二象限为正，三、四象限为负。余弦函数在第一、四象限为正，

二、三象限为负。角度确定了，所以象限也就确定了，从而三角函数

也就可以得出。

通过上面的知识点来测试一下学生的预习情况。再通过四个简单的题目来测试学生的预习情况：

【例1】cosπ

3

的值为（）

A.1/(2 )

B.√3/2

C.−1/2

D.√2/2

【例2】若sinα<0,cosα>0,则α为（）

A.第一象限角

B.第二象限角

C. 第三象限角

D.第四象限角

【例3】P(3,m)(m≠0) 为角α终边上一点，且cosα=3/5 ，则sinα+cosα的值为（）

A.7/5

B.−1/5

C. 7/5 或−1/5

D. 1/5

【例4】若角α为第四象限角，且cosα

2<0,则α

2

为第（）象限角。

三、新课探究

在初中，我们借助直角三角形学习了锐角α的正弦函数、余弦函

数，sinα=ℎ

r ,cosα=s

r

,只是每给定一个0°~90°的角。那我们在直角坐标

系中，利用单位圆进行进一步研究正、余弦函数。

1：单位圆定义：

在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆；2：正、余弦函数定义：

一般地，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角