辅助数列构造法初探_周万林
高考数学构造法求数列通项的八种技巧(二)(解析版)
构造法求数列通项的八种技巧(二)【必备知识点】◆构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.模型一：a n +1=nn +1⋅a n 左右同乘n +1 (n +1)a n +1=n ⋅a n ,构造b n =n ⋅a n ,则b n +1=b n ,b n 为常数数列.模型二：a n +1=n +1n ⋅a n 左右同除n +1 a n +1n +1=a n n ,构造b n =a n n,则b n +1=b n ,b n 为常数数列.模型三：a n +1=n +2n ⋅a n 左右同除n +2 n +1 a n +1(n +1)(n +2)=a n n (n +1),构造b n =a n n (n +1),则b n +1=b n,b n 为常数数列.模型四：na n +1=2(n +1)a n 左右同除n n +1a n +1n +1=2a n n ,构造b n =an n,则b n +1=2b n ,b n 为等比数列.模型五：a n +1=n +2n ⋅S n ⇒S n +1-S n =n +2n ⋅S n ⇒S n +1=2n +2n ⋅S n 左右同除n +1 S n +1n +1=2S n n,构造b n =S nn ,则b n +1=2b n ,b n 为等比数列.模型六：a n +1=n +1n ⋅a n +n +1左右同除n +1 a n +1n +1=a n n +1,构造b n =a n n,则b n +1=b n +1,b n 为等差数列.模型七：a n +1=2a n +2n +1左右同除2n +1a n +12n +1=a n 2n +1,构造b n =a n 2n,则b n +1=b n +1,b n 为等差数列.模型八：a n -a n +1=a n a n +1左右同除a n a n +11a n +1-1a n =1,构造b n =1an ,则b n +1-b n =1,b n 为等差数列.看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将n +1和a n +1,n 和a n 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.【经典例题1】已知数列a n 满足a 1=23,a n +1=nn +1⋅a n,求a n . 【解析】因为a n +1=nn +1a n,所以(n +1)a n +1=na n .令b n =na n ,则b n =b n +1,即b n 是常数数列,所以b n=b 1,即na n =1×a n =23,a n =23n.【经典例题2】已知数列a n 中,a n +1=nn +2a n且a 1=2,求数列a n 的通项公式.【解析】因为a n +1=nn +2a n,所以(n +2)a n +1=na n ,(n +1)(n +2)a n +1=n (n +1)a n .令b n =n (n +1)a n ,则b n +1=b n ,即b n 是常数数列,所以b n =b 1.因此n (n +1)a n =1×2×2,a n =4n (n +1).【经典例题3】已知数列a n 中,na n +1=2(n +1)a n +n (n +1)且a 1=1,求数列a n 的通项公式.【解析】na n +1=2(n +1)a n +n (n +1),等式两侧同除n (n +1),形成a n +1n +1=2a n n +1,令b n =an n,则b n +1=2b n +1,这又回到了构造一的形式,所以b n +1+1=2(b n +1),b n +1 是以2为首项,2为公比的等差数列,即b n +1=2×2n -1=2n , b n =2n -1,所以a nn=2n -1,a n =n (2n -1).【经典例题4】已知a 1=1,且na n +1=(n +2)a n +n ,求数列a n 的通项公式.【解析】等式两侧同除n (n +1)(n +2),得a n +1(n +1)(n +2)=a n n (n +1)+1(n +1)(n +2),即a n +1(n +1)(n +2)-a n n (n +1)=1(n +1)(n +2),a n +1(n +1)(n +2)-a n n (n +1)=1(n +1)-1(n +2),另b n =a n n (n +1)，所以b n +1-b n =1(n +1)-1(n +2),接下来就是叠加法发挥作用的时候了b 2-b 1=12-13b 3-b 2=13-14b 4-b 3=14-15⋯⋯b n -b n -1=1n -1(n +1)叠加得b n -b 1=12-1(n +1),b 1=a 12=12,所以b n =1-1(n +1)=n n +1，即a n n (n +1)=nn +1，a n =n 2.【练习1】已知数列a n 满足a 1=1,a n -a n +1=3a n a n +1,则a 10=()A.28B.128C.-28D.-128【答案】B【解析】数列a n 满足a 1=1,a n -a n +1=3a n a n +1,则:1a n +1-1a n=3(常数)则：数列1a n 是以1a 1=1为首项,3为公差的等差数列。
专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三)(精编版)
专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三)【必备知识点】◆构造六:取对数构造法型如1k n n a ca +=,1n k n a ca -=或者1(),n n kb b b ac a -++=为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c 为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.【经典例题1】数列{}n a 中, 12a =,21n n a a +=,求数列{}n a 的通项公式.【经典例题2】数列{}n a 中,11a =,212n n a a +=,求数列{}n a 的通项公式.【经典例题3】已知12a =,点()1,n n a a +在函数()22f x x x =+的图像上,其中*n N ∈,求数列{}n a 的通项公式.【经典例题4】在数列{}n a 中, 11a =,当2≥n 时,有2142n n n a a a +=++,求数列{}n a 的通项公式.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于11n n n a Aa Ba +-=+的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +--=--,利用{}1n n a a +-成等比数列,以及叠加法求出n a .还有一小部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +-=+++,利用{}1+n n a a +成等比数列求出n a .【经典例题1】已知数列{}n a 满足()*12211,3,32n n n a a a a a n ++===-∈N ,求数列{}n a 的通项公式.【经典例题2】已知数列{}n a 中,11a =,22a =,212133n n n a a a ++=+,求数列{}n a 的通项公式.【经典例题3】数列{}n a 中,11a =,253a =,215233n n n a a a ++=-,求数列{}n a 的通项公式。
高考数学必杀技系列之数列4：数列求通项（构造法）
高考数学必杀技系列之数列4：数列求通项（构造法）
数列
专题四：数列求通项（构造法）
一、必备秘籍
类型1：用“待定系数法”构造等比数列
形如（p，q为常数，pq不等于0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。
（2）形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。
二、例题讲解
感悟升华（核心秘籍:注意判断已知条件是否符合
标准形式）
类型1：用“待定系数法”
构造等比数列1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型1的标准形式；
2、直接记忆，解题时直接在草稿纸上构造好；
3、构造等比数列
类型2：用“同除法”构造1、注意判断题目给的已
等差数列(1)知条件是否符合类型2(1)
的标准形式；
2、两边同除；
3、构造数列为等差数列
类型2：用“同除法”构造
等差数列(2)1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2(2)的标准形式；
2、两边同除；
3、构造出新的等差数列
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高三总复习---数列构造法题型方法整理总结归纳
构造法，所有本身不是等差或等比数列的数列，通过一定构造之后，变成新的等差或等比数列的方法。
题型有四种常见的：①对于b ka a n n +=+1类型的，构造成)(1x a k x a n n +=++形式，然后再展开求x ，得到一个以x a +1为首项，k 为公比的新的等比数列；②对于m bn ka a n n ++=+1类型的，构造成)()1(1y xn a k y n x a n n ++=++++形式，再展开求y x ,,然后得到一个以y x a ++1为首项，k 为公比的新的等比数列；③对于n n n k ka a +=+1类型的，左右两边同除以1+n k ，构造成kk a k a n n n n 111+=++形式，得到一个以11k a 为首项，k 1为首项的新的等差数列；④对于n nn b ka a +=+1类型的，先左右两边同除以1+n b 以后，构造成b b a b k b a n n n n 111+⋅=++形式后，再二次构造成)(11x b a b k x b a n n n n +⋅=+++，解出x ，得到一个以xb a +11为首项，bk为公比的新的等比数列。
这里还有一些注意事项：①这里m b k ,,等都是常数，但是注意k 不能为1，k 为1的时候就会变为等差数列或者累加法；②待定系数并求出之后，为了避免出错，尽量把以什么为首项，什么为公差或公比写出来；③为了能快速分辨出题型和方法，大家尽量把类型和构造的方法都记住。
④构造法不止于以上四种，除此之外，还有一些不常见的构造法，碰到的话要大胆猜测，仔细验证。
另外还有一个技巧大家要牢记，就是很多构造的方法其实隐藏在问题里面,因此，问题即提示。
1、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式。
2、已知数列{}n a 中，32,111+==-n n a a a ，则此数列的一个通项公式是_________。
浅谈构造辅助元素在数学中的应用
浅谈构造辅助元素在数学中的应用【摘要】构造辅助元素是构造思想中一个很重要的分支，用此方法解题，巧妙新颖，简捷独到，有利于培养创新能力和数学素质.构造辅助元素可整理为构造方程、构造函数、构造几何图形等十一类，在数学领域中有广泛的应用.【关键词】构造辅助元素 数学 应用构造思想是一种很重要的数学思想，它是以问题的已知元素或条件为“元件”，数学中的某些关系为“支架”，在思维中构作一种新的“构造物”，从而使问题变得简单易解的解题思想.其关键是根据题设条件和结论的特征适当地构作一种新的“构造物”，而这“构造物”的表现形式是多种多样的：有的是沟通问题条件和结论的“辅助元素”；有的是问题的“结论”所叙述的数学对象；有的是从否定问题的结论出发，而出现的“矛盾”；有的是符合问题的条件，但不符合其结论的“反例”.其中，以沟通题目条件和结论为目的的构造辅助元素的应用最为广泛，且其构造独特、方式比较多，在许多数学问题的解题过程中显示着令人瞩目的特殊作用.所谓构造辅助元素就是适当增加辅助条件，以此为中介，架起一座连接问题的条件和结论的桥梁，从而使问题得到解决.数学中列方程解应用题、几何中添置辅助线等实际上应用了此方法.构造辅助元素的过程模式是：通过构造辅助元素求解问题的方式常见的有构造方程、构造函数、构造几何变换等.下面我们将结合一些数学题目分别给予讨论.一、 构造方程方程是解决数学问题的重要工具.在解题时，我们可通过对题意的分析，构造出方程，应用其理论达到解决问题的目的，方程可以是一元的，也可以是多元的，还可以是方程组.例1 已知)0,0(222≠≠--=b a c a b .求证：ac b 42≥. 分析：本题乍看起来无从下手，由题中待证式ac b 42≥的外形结构联想到042≥-=∆ac b ，再构造一元二次方程)0,0(02≠≠=++b a c bx ax ，证题途径便初显端倪.证明：构造一元二次方程)0,0(02≠≠=++b a c bx ax ， ① 将题设)0,0(222≠≠--=b a c a b ，代入①，得 )0,0(0)222(2≠≠=+--+b a c x c a ax ， ② 因为0)22)(2(=--x c ax ，故22是方程②的一个根，从而方程①有实根，故042≥-ac b 即ac b 42≥.以方程作为联想出发点进行构造，常见的有下面几种方式：（1） 方程的根与系数的关系（韦达定理）；（2） 一元二次方程的判别式ac b 42-=∆；（3） 方程组的解的结构关系，特别是适当地选择自由未知量作为基本量，把其他未知量用基本量表示.二、构造函数如果借助函数的有关性质有利于分析原始问题时，则可根据题意构造出相应的函数，从而转化问题、解决问题.构造函数是构造辅助元素中比较抽象的构造性思维，应用时除了要对问题条件的特点分析之外，还要求熟悉典型的函数及其特点.例2 已知x ，∈y ]4,4[ππ-，R a ∈，且⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+.0c o s s i n 4,02s i n 33a y y y a x x 求)2cos(y x +的值.（1994年全国高中联赛试题）.分析：已知的两个等式中既含有代数式3x 和3y ，又含有三角函数式x sin 和y y cos sin ，因此要想将x 与y 解出很困难.仔细分析发现，通过a 可以将x 、y 联系在一起，由题设消去a ，得)2sin()2(sin 33y y x x -+-=+，此式的两边具有相同的表现形式，所以，可构造函数t t t f sin )(3+=.解：设函数t t t f sin )(3+=,易知)(t f 在]4,4[ππ-上是严格递增函数，又由题设消去a 得到)2sin()2(sin 33y y x x -+-=+,即)2()(y f x f -=.由单调函数性质知：y x 2-=，这样02=+y x ，所以1)2cos(=+y x .三、构造几何图形当题设中的数量关系有比较明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相联结时，则可以根据已知条件构造出符合要求的特殊或一般图形，从而直观、快速地解决问题.例3 已知a 、b 、c 、m 、n 、p 均为正数，且满足k p c n b m a =+=+=+.求证：.2k cm bp an <++（第21届全苏数学竞赛试题）.分析：根据“k p c n b m a =+=+=+”的信息特征，构造出以k 为边长的正三角形，并借助面积公式和图形的性质布列出不等式，使问题获得巧妙解决.证明：构造边长为k 的正三角形ABC ，在边AB 、BC 、AC 上分别截取一点D 、E 、F ，使a AD =，m BD =，c BE =，p EC =，b CF =，n AF =，则 ,k p c n b m a =+=+=+连结DE 、EF 、DF ，设===∆∆∆CEF BD E AD F S S S S S ,,21,,3S S S ABC =∆则60sin 2160sin 2160sin 21321bp cm an S S S ++=++)(43bp cm an ++=， .4360sin 212k k k S =⋅⋅= 易得 S S S S <++321，即 .43)(432k cm bp an <++ .2k cm bp an <++∴构造几何图形包括平面几何图形、立体几何图形及通过建立坐标系而得到的解析几何图形，我们常应用的数形结合思想中代数问题通过构图转化为几何问题的方式也可视为构造几何图形内容.四、构造几何变换如果几何问题的已知条件和结论比较分散，此时可通过反射、旋转、平移、相似等几何变换，将其中某些部分移到新的位置，使原来联系不密切的图形聚集在一起产生联系，从而使问题解决.例4 ABC ∆为等腰直角三角形，90=∠A ， AC AB = ， D 为斜边BC 上任一点，求证：2222AD DC BD =+.分析：这是平方和的问题，我们发现AD 、BD 、CD彼此关系不明显.我们可使AD 、BD 、CD 归于某一个三角形中.证明：将ABD ∆绕着点A 逆时针旋转 90，则点B 落在点C ，点D 落在点E .连结AE 、CE 、DE .易知 BD CE =，AD AE =，B ACE ∠=∠，则 ADE ∆为直角三角形，∴222DE AE AD =+，即 222DE AD =，又 90=∠+∠=∠+∠ACD B ACD ACE ， ∴2222222BD DC CE DC DE AD +=+==.五、构造方差如果一组数据的个数是n ，那么它们的方差-+++=)[(1222212n x x x nS 0]2≥x n ，其中 )(121n x x x nx +++= ，这是大家都知道的，除了用它来计算方差外，在解决一些问题时，若有目的、有意识地灵活应用它，则可收到事半功倍之效. 例5 求三个实数x ，y ，z ，使得它们满足方程组⎩⎨⎧=++-++=++82315294,1332222z y x z y x z y x （1992年国际“友谊杯”数学邀请赛试题）. 解：由①得z y x -=++16)33(2， ③①+②，得1044)33()2(222+--=++z z y x ，x 2 、33+y 的方差为0])23(2)33(4[212222≥-++=y x S ，将③、④代入⑤整理得0)221(32≥--z ，由此可得4=z ，代入①、②解得3=x ，1=y . 六、构造向量向量的内积在数学中有广泛的应用.根据题目所给的条件和结论，构造向量，并利用向量内积去证明，方法简单易行.例6 已知1=-b a ，22)1()1(+++=b a y ，求y 的取值范围.解：构造向量)1,1(++=b a ，)1,1(-=.||||cos ||||≤=⋅θ ，∴222||||n ≥,∴22)1()1(+++=b a y 212)11(2=--+≥b a ,即 21≥y . 七、构造数列由已知条件分析，若其某些特征与数列的通项、求和、中项等公式相似时，可构造相应的数列求解.另外，在研究某些数列问题时，如果仅仅对原数列周旋，问题会孤立无援，但适当地构造一个新数列，通过新旧数列之间的关系，问题就会得解.例7 设)2311()411)(11(-+++=n u n ，313+=n v n ，),,3,2,1( =n ，试比较n u 与n v 的大小.（1998年全国高考试题）.分析：由已知数列构造新的数列，在高考试卷里经常出现，这里将两数列相除，构造两个新数列，利用比较原理进行证明.解：因为21=u ，314=v ，所以11v u >，显然0>n u ，0>n v ，构造新的数列1-=k kk u u a ，1-=k k k v v b ，),,3,2( =k ， 注意到123131>--==-k k u u a k k k ，1231331>-+==-k k v v b k k k ，),,3,2( =k ， 且0)23(5923132313)()(3333>--=-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-k k k k k k b a k k ，所以k k b a >，),,3,2( =k ， 得到 n n b b b a a a 3232>，)2(≥n ，即 1231212312-->n n n n v v v v v v u u u u u u ，)2(≥n ， 所以化简得11v v u u n n >，)2(≥n ，即 n n n v v v u u >>11，)2(≥n ， 综上所述，n n v u >，),,3,2,1( =n .八、构造错排模式错排问题：n 个数，分别为1，2， ,3，n ，排成一个长度为n 的排列.若每一个数的位置都与数的本身不相等，则称这个排列是一个错排.例如，n =3，则错排有231，312.设)(n f 是n 个数的错排个数，则0)1(=f ，1)2(=f ，)2()1()1()1()(-⋅-+-⋅-=n f n n f n n f )2(>n .例8 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后，每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？（1993年全国高考实验卷）.解：将四张贺年卡分别编号为1，2，3，4.四人视为位置，这样，问题就可看成 1～4的错排，所以 )2(3)3(3)2()14()3()14()4(f f f f f +=⋅-+⋅-=，∴202)1(2)2(2)3(=+=+=f f f ，∴91323)4(=⨯+⨯=f .∴四张贺年卡不同的分配方式有9种.九、构造行列式行列式是重要的数学工具，元素是字母的行列式实际上是一个多项式.对称多项式或轮换多项式往往可以应用相应的行列式来表示，因此可以构造行列式.例9 已知0=++c b a ，求证：abc c b a 3333=++. 证明：构造行列式0111)(=++=ac b a cb c b a a c b b a c c ba ，而又因为abc c b a ac b b a c cba 3333-++=，故abc cb a 3333=++. 十、构造概率概率是数学的重要概念，构造概率就是应用数学概率原理来解题的策略.例10 求证：50300020050100492001100502000100C C C C C C C =+++ . 证明：分析左端的一般项k k C C -50200100，可构造如下的概率事件:有甲、乙两个袋，甲袋中有100个红球，乙袋中有200个白球，现从甲、乙两袋中共取出50个球，其取法的种数为020050100492001100502000100C C C C C C +++ ，而这个事件就相当于将这两种球混放在一个袋子里，从300个球中任取50个球，取法的种数为50300C ，所以原式成立.十一、构造辅助表若研究的问题涉及两个集合的元素间对应关系，可编制有两个表头的表格，每个表头对应一个集合，使表头的格与集合的元素相对应，表中的任一格都表示取自这两个集合的两元素组成的元素对，格中填写与此元素对有关的数据或关系，然后再利用制成的表格进行分析、研究.表格本身具有逻辑结构，往往能使问题的逻辑关系直观而简明地显现出来，提供程序性操作的机会.例11 21个女孩和21个男孩参加一次数学竞赛（1） 每个参赛者至多解出了6道题；（2） 对于每一个女孩和每一个男孩，至少有一道题被这一对孩子都解出.证明：有一道题至少有3个女孩和至少3个男孩都解出.（第42届IMO 试题）.证明：作一张2121⨯关联表，每行代表一个男孩)211(≤≤i b i ，每列代表一个女孩)211(≤≤i g i ，格子),(j i （表示第i 行、第j 列的格子）中填入i b 与j g 共同解出的一道题的序号（由（2）知必有这种题目，若不止一道，可任意选定一道），由（1）知，每行填入的21个序号至多有6种不同，故出现3次（或更多）的序号的总次数不少于115221=⨯-，将这些格子染上红色，全表共有至少2111⨯个格子被染上红色，同理，将每列中出现3次（或更多）的序号所在的格子染上蓝色，全表共有至少2111⨯个蓝格子，由于2121212221112111⨯>⨯=⨯+⨯，故必有一个格子同时被染上红色和蓝色，这个格子所填序号的题目就满足了要求.通过对以上这些方面的探讨，给人深刻的思想启示：（1）构造辅助元素在解决数学问题中起到化简、转化和桥梁的作用；（2）用构造辅助元素解决问题，可以使数学各分支知识互相渗透，有利于提高分析和解决问题的能力；（3）数学各分支知识为构造辅助元素提供了广阔而丰富的背景.要想运用好构造辅助元素这种方法，应全面深入分析问题的特点、条件间的关系以及条件与结论之间的关系，挖掘问题的寓意，明确问题所涉及的知识领域；同时必须广开思路，广泛联想有关知识，采用发散思维、逆向思维等创造性思维方法，寻求欲构造的辅助元素.若教师在教学中能适当地对其加以介绍，并加强解题训练，对学生创造思维能力的培养，数学素质的全面提高定会有意想不到的功效.【参考文献】[1]侯敏义.数学思维与数学方法论[M].长春：东北师范大学出版社，1995.[2]梁法驯.数学解题方法[M].武汉：华中理工大学出版社，1995.3.[3]刘浏，袁拥军.例谈运用构造法求取值范围[J].数学教学研究，2003（10）.[4]吴礼斌，吴秋月.例谈构造法解题[J].中学数学教学，2003（6）.[5]曹勇兵.例说构造法解题[J].中学数学研究，2002（8）.[6]李记林.例说循特征构造正三角形解题[J].中学数学研究，2002（6）.[7]蔡旺庆.构造特殊“元”，优化解题过程[J].数学教学研究，2001（10）.Talk about the application of constructing auxiliary elements in mathematics simplyChen Xiong[Abstract] Constructing auxiliary elements is a very important branch in the structural thinking. Solving problems with this me thod is very skillful,novel and forthright.It’s good for training the ability of innovation and mathematics. Constructing auxiliary elements may reorganize for the structure equation, the structure function, the structure geometric figure and so on 11 kinds, has the widespread application in mathematics domain.[Key Words] construct auxiliary element mathematics application。
构造法求数列通项公式典型例题解析
构造法求数列通项公式典型例题解析构造法是一种求解数列通项公式的技巧，它可以在给定数列中发现出某些共同的特征，从而构建出数列的通项公式。
这种技巧的本质是人们通过观察数列的特点，并尝试推测通项的类型、公式和系数，从而找到数列的通项公式。
二、构造法的应用1.比数列的通项公式对于等比数列来说，它的通项公式的结构为：a_n = a_1 q^(n-1)其中a_1是数列的第一项，q是数列的公比。
为了求出等比数列的通项公式，我们可以使用构造法，观察该数列给出的前几项，如： a_1 , a_2, a_3, a_4我们发现，从第二项a_2开始，每一项都是由上一项乘以某个常数，也就是公比q得到的，所以q可以用以下的公式表示：q = a_2/a_1接下来，我们就可以用上面的通项公式求出数列的任意项值了。
2.差数列的通项公式对于等差数列来说，它的通项公式的结构为：a_n = a_1 + (n-1)d其中a_1是数列的第一项，d是数列的公差。
为了求出等差数列的通项公式，我们也可以使用构造法，观察该数列给出的前几项，如： a_1 , a_2, a_3, a_4我们发现，从第二项a_2开始，每一项都是由上一项加上某个常数，也就是公差d得到的，所以d可以用以下的公式表示：d = a_2 - a_1接下来，我们就可以用上面的通项公式求出数列的任意项值了。
三、构造法的优点1.以让我们省去求解数列通项公式的一系列步骤，使用构造法求解数列通项公式的过程简单易懂，用时也短。
2.造法可以使我们更加清晰地观察数列的特征，从而更快地找到数列的通项公式。
3.造法可以使我们在求解特定的数列时，能够更加得心应手地把握数列的变化规律。
四、典型例题解析1. 例题一已知一个等差数列：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ...(1)该数列的通项公式解：由题意可知，该数列是等差数列，我们可以用构造法求解。
我们可以观察数列的前几项，a_1 = 2, a_2 = 5，根据d = a_2 - a_1原理，我们可以求出公差d = 3.因此，该数列的通项公式为：a_n = 2 + (n-1)3，即a_n = 2 + 3n - 32. 例题二已知一个等比数列：2, 6, 18, 54, ...(1)该数列的通项公式解：由题意可知，该数列是等比数列，我们可以用构造法求解。
浅谈中学数学中的构造法解题
理论创新2014-02一、问题的提出G ·波利亚有一句名言“掌握数学就意味着善于解题”。
解决数学问题时，常规的思考方法是由已知到未知的定向思考，但有些问题按照这样的思维方式来解决问题却比较困难，甚至无从着手。
在这种情况下，就要求我们改变思维方向，换一个角度去思考，找到一条绕过障碍的新途径。
构造法就是这样的手段之一。
G ·波利亚在他的《怎样解题》中给出了“怎样解题”表，其中第二步是拟定计划，“找出已知数与未知数之间的联系。
如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。
”运用辅助性数学模式，这也正是我们用构造法解决问题的思路。
构造法的特点：构造新的数学对象过程直观，有很大灵活性。
构造法作为一种数学方法，它不同于一般的逻辑方法，需要一步步地导求必要条件，直至推断出结论。
它属于非常规思维，其本质特征是“构造”。
构造法解决问题的活动是一种创造性的思维活动，关键是借助对问题特征的敏锐观察展开丰富的联想，通过观察、联想，构造出满足条件的数学对象，或构造出一种新的问题形式，使问题的结论得以肯定或否定，或使问题转化。
二、中学数学中常见的构造解题用构造法解题时，因被构造的对象是多种多样的，可按它的内容分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、数学模型、算法等类别。
本文着重介绍以下几种：（一）构造辅助数与式例1.证明N=910·1112·1314…9999991000000<0.003.分析：构造M=1011.1213.1415 (999998999999).显然M ·N=91000000，又因为N <M （因为910<1011；1112<1213；…），所以N 2<M ·N=91000000，从而得N <31000=0.003.不等式证明题通常需要构造一个不等式，从它出发进行推理进而获得解决。
（二）构造辅助函数求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想、组合出一种新的函数关系，使问题在新的观点下实行转换。
数列构造法用法
数列构造法用法
以下是 7 条关于数列构造法用法的内容：
1. 嘿，你知道吗？数列构造法简直就像是一把神奇的钥匙！比如在解决那种递增又有规律的数列问题时，咱就可以用它呀！就像爬楼梯，一步一步找到规律，神不神奇？
2. 哇塞，数列构造法可厉害了！举个例子，当遇到一堆数字看似杂乱无章，其实暗藏玄机的数列时，它就能大显身手！这不就跟在迷宫里找到正确道路一样刺激嘛！
3. 哎呀呀，数列构造法的用法可多了去了！想想看，一堆数字排排站，通过构造法就能发现它们背后的秘密。
就好像给它们每人贴上一个专属标签，是不是很有意思呀！例如那种等差类型的数列。
4. 嘿！数列构造法真的超有用的好吧！像解决有些表面复杂得让人头疼的数列问题，它一下就能搞定！这就好比在黑暗中突然亮起一盏明灯，照亮前路呀！
5. 哇哦，数列构造法的魅力不容小觑呀！当面对一些奇奇怪怪的数列模式时，用它就能轻松破解。
这感觉就像是掌握了一种神秘的魔法力量，厉害吧！就像某个特定规律的周期数列。
6. 哎呀，数列构造法真不是吹的！比如碰到要找数列通项的难题，它能迅速出手相助。
这不就跟有个厉害的伙伴在关键时刻帮你一样嘛！
7. 哼，不要小看数列构造法呀！它在数学世界里可是大功臣呢！在解决一些超级复杂的数列问题时，它就是那个能冲锋陷阵的勇士！不相信？试试就知道啦！
我的观点结论就是：数列构造法是解决数列问题的强大武器，绝对值得我们好好去掌握和运用！。
(完整版)用构造法求数列的通项公式汇总
用构造法求数列的通项公式上海外国语大学嘉定外国语实验学校 徐红洁在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。
但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。
而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。
对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。
下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列。
例如：}{n a 数列中，若),(411,211N n a a a nn ∈+==+求a n n n nn b b a b ==+1,1则设+4, 即n n b b -+1＝４， n b {∴｝是等差数列。
可以通过等差数列的通项公式求出n b ,然再求后数列{ a n }的通项。
练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足),(,311,2111N n a a a nn ∈+==+求a n 2)数列{ a n }中，,22,111+==+n nn a a a a 求a n 通项公式。
3)数列{ a n }中,),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且求a n . 二．构造形如2n n a b =的数列。
例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52211∈-==+ 解：设4,4,112-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则),71(,429429429)4()1(25254}{2211N n n n a na n nb a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列练习：已知正数数列{ a n }中，),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-, 求数列{ a n }的通项公式。
高考数学程序方法策略篇 专题3 解题策略 第8讲 构造法在解题中的应用
第8讲 构造法在解题中的应用[方法精要] 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连结条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，称为构造法．解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手．在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径．构造法就是这样的手段之一．构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维．其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性．数学证明中的构造法一般可分为两类，一类为直接性构造法，一类为间接性构造法．题型一 构造向量解决不等式的问题例1 若直线x a ＋y b ＝1通过点M(cos α，sin α)，则下列正确的有________．①a2＋b2≤1; ②a2＋b2≥1；③1a2＋1b2≤1; ④1a2＋1b2≥1.破题切入点 根据点在直线上可以得到cos αa ＋sin αb ＝1，联想向量的数量积的坐标运算法则，可以构造向量．答案 ④解析 设向量m ＝(cos α，sin α)，n ＝(1a ，1b )，由题意知cos αa ＋sin αb ＝1，由m·n≤|m||n|可得1＝c os αa ＋sin αb ≤ 1a2＋1b2.所以1a2＋1b2≥1.题型二 构造不等式解决证明问题例2 已知a ，b ，c>0，证明：a2b ＋c ＋b2c ＋a ＋c2a ＋b≥a ＋b ＋c 2. 破题切入点 直接用一个式子或两个式子都不好直接构造轮换不等式．观察其结构特点，必须想办法去掉不等式左端各项的分母，为此可以做变换：在不等式两端都加上a ＋b ＋c2，即我们证明不等式a2b ＋c ＋b2c ＋a ＋c2a ＋b＋a ＋b ＋c 2≥a ＋b ＋c ，这时把a ＋b ＋c 2拆成a ＋b 4＋b ＋c 4＋c ＋a 4，就可以构造轮换不等式了．证明 证明a2b ＋c ＋b2c ＋a ＋c2a ＋b≥a ＋b ＋c 2，即证a2b ＋c ＋b2c ＋a ＋c2a ＋b＋a ＋b ＋c 2≥a ＋b ＋c ， 即证a2b ＋c ＋b ＋c 4＋b2c ＋a ＋c ＋a 4＋c2a ＋b＋a ＋b 4≥a ＋b ＋c. 又因为a2b ＋c ＋b ＋c 4≥a ，b2c ＋a ＋c ＋a 4≥b ，c2a ＋b＋a ＋b 4≥c ， 所以所证三式相加，不等式成立．题型三 构造函数最值、比较大小的问题例3 已知f(x)＝3－4x ＋2xln 2，数列{an}满足－12<an<0,21＋an ＋1＝f(an)(n ∈N*)．(1)求f(x)在[－12，0]上的最大值和最小值；(2)判断an 与an ＋1(n ∈N*)的大小，并说明理由．破题切入点 (1)直接按照导数研究函数的方法解决．(2)根据给出的条件21＋an ＋1－21＋an ＝f(an)－21＋an ，可以构造函数g(x)＝f(x)－2x ＋1，通过研究这个函数解决问题．解 (1)f′(x)＝(1－4x)ln 4，当－12<x<0时，0<1－4x<12，∴f′(x)>0，∴f(x)＝3－4x ＋2xln 2在[－12，0]上是增函数，∴f(x)max ＝f(0)＝2；f(x)min ＝f(－12)＝52－ln 2.(2)由21＋an ＋1－21＋an ＝f(an)－21＋an ，记g(x)＝f(x)－2x ＋1得g′(x)＝f′(x)－2x ＋1ln 2＝(1－2x －4x)ln 4，当－12<x<0时，22<2x<1，12<4x<1.故1－2x －4x<1－22－12<0，所以g′(x)<0，得g(x)在(－12，0)上是减函数，所以g(x)>g(0)＝f(0)－2＝0，∴f(an)－21＋an>0，即21＋an ＋1－21＋an>0，得an ＋1>an.题型四 构造数列解决数列求和的问题例4 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足a1＝12，an ＝－2Sn·Sn －1(n≥2)．(1)求出通项公式an.(2)求证：S21＋S22＋…＋S2n ≤12－14n .破题切入点 (1)首先根据已知条件求出Sn 的通项公式，进而求出通项an.(2)利用放缩法和拆项法证明．(1)解 因为an ＝－2Sn·Sn －1(n≥2)，所以Sn －Sn －1＝－2Sn·Sn －1，两边同除Sn·Sn －1，得1Sn －1Sn －1＝2(n≥2)， 所以数列{1Sn }是以1S1＝1a1＝2为首项，以d ＝2为公差的等差数列．所以1Sn ＝1S1＋(n －1)·d ＝2＋2(n －1)＝2n ，所以Sn ＝12n .又因为an ＝－2Sn·Sn －1(n≥2)，所以当n≥2时，an ＝－2Sn·Sn －1＝－2·12n ·12(n －1)＝12n －2n2，所以an ＝⎩⎨⎧12(n ＝1)，12n －2n2(n≥2).(2)证明 因为S2n ＝14n2<14n (n －1)＝14(1n －1－1n )，S21＝14， 所以当n≥2时， S21＋S22＋…＋S2n ＝14＋14×2×2＋…＋14n·n<14＋14(1－12)＋…＋14(1n －1－1n ) ＝12－14n ，当n ＝1时，S21＝14＝12－14×1.综上S21＋S22＋…＋S2n ≤12－14n .总结提高 用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从上面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套．但可以尝试从中总结规律，在运用构造法时，一要明确构造的目的，即以什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造．1．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →的值为________．答案 0解析 如图，选取不共面的向量AB →，AC →，AD →为基底，则原式＝AB →·(AD →－AC →)＋AC →·(AB →－AD →)＋AD →·(AC →－AB →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＋AC →·AB →－AC →·AD →＋AD →·AC →－AD →·AB →＝0.2．已知数列{an}中，a1＝1，an ＝2an －1＋1，则数列{an}的通项公式为________． 答案 an ＝2n －1解析 因为an ＝2an －1＋1，所以an ＋1＝2(an －1＋1)，所以数列{an ＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以an ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以an ＝2n －1. 3．函数f(x)＝x2－4x ＋13＋x2－10x ＋26的值域是________．答案 [5，＋∞)解析 f(x)＝(x －2)2＋(0－3)2＋(x －5)2＋[0－(－1)]2其几何意义是平面内动点P(x,0)到两定点M(2,3)和N(5，－1)的距离之和(如图)，为求其值域只要求其最值即可，易知当M ，N ，P 三点共线(即P 在线段MN 上)时，f(x)取得最小值，f(x)min ＝MN ＝(2－5)2＋(3＋1)2＝5，无最大值，故得函数的值域为[5，＋∞)．4.如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积为________．答案 6π解析 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD|＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.5．已知a ＝ln 12 013－12 013，b ＝ln 12 014－12 014，c ＝ln 12 015－12 015，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 a>b>c解析 令f(x)＝ln x －x ，则f′(x)＝1x －1＝1－x x .当0<x<1时，f′(x)>0，即函数f(x)在(0,1)上是增函数．∵1>12 013>12 014>12 015>0，∴a>b>c.6．若a>b>c>0，则log2(a ＋1)a ，log2(b ＋1)b ，log2(c ＋1)c的大小关系是________． 答案 log2(a ＋1)a <log2(b ＋1)b <log2(c ＋1)c解析 构造函数f(x)＝log2(x ＋1)，问题就是函数f(x)图象上的三个点(a ，f(a))，(b ，f(b))，(c ，f(c))与原点连线的斜率在比较大小，观察图象即得．7．若x2＋y2＝3，a2＋b2＝4(x ，y ，a ，b ∈R)，则ax ＋by 的取值范围是________． 答案 [－23，23]解析 构造向量m ＝(x ，y)，n ＝(a ，b)，θ为m 与n 的夹角，则ax ＋by ＝m·n ＝|m||n|cos θ＝3×4cos θ＝23cos θ.∵－1≤cos θ≤1，∴－23≤23cos θ≤2 3.∴ax ＋by 的最小值为－23，最大值为2 3.8．在平面直角坐标系中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M.若过点P(a2c ，0)，所作圆M 的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．答案 22解析 过点(a2c ，0)作圆的两切线互相垂直，如图，这说明四边形OAPB 是一个正方形，即圆心O 到点P(a2c ，0)的距离等于圆的半径的2倍，即a2c ＝2a ，故e ＝c a ＝22.9．设a>b>c 且a ＋b ＋c ＝1，a2＋b2＋c2＝1，求a ＋b 的范围．解 由a ＋b ＋c ＝1得a ＋b ＝1－c ，①将①的两边平方并将a2＋b2＋c2＝1代入得ab ＝c2－c ，②由①②可知，a ，b 是方程x2＋(c －1)x ＋(c2－c)＝0的两个不等的实根，于是Δ＝(c －1)2－4(c2－c)＝－3c2＋2c ＋1>0，解得－13<c<1，又由a ＋b ＝1－c>2c ，得c<13，∴－13<c<13，即－13<1－(a ＋b)<13，∴23<a ＋b<43.10．求证：|a ＋b|1＋|a ＋b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.(提示：|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时取等号) 证明 设f(x)＝x 1＋x(x≥0)，由|a ＋b|≤|a|＋|b|， 又f(x)在[0，＋∞)上是一个单调递增函数，所以有f(|a ＋b|)≤f(|a|＋|b|)，所以|a ＋b|1＋|a ＋b|≤|a|＋|b|1＋|a|＋|b|＝|a|1＋|a|＋|b|＋|b|1＋|a|＋|b| ≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|. 即原式得证．11．求值cos 5°＋cos 77°＋cos 149°＋cos 221°＋cos 293°.解 以单位长1为边长作正五边形A1A2A3A4A5，且A1A2→与x 轴正方向夹角为5°.由正五边形内角108°，得x 轴正方向逆时针转到A2A3→，A3A4→，A4A5→，A5A1→的角分别为77°，149°，221°，293°.∵A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋A4A5→＋A5A1→＝0，又因为和向量的投影等于各个向量投影的和，∴A1A2→，A2A3→，A3A4→，A4A5→，A5A1→在x 轴上投影的和为0，即|A1A2→|cos 5°＋|A2A3→|cos 77°＋|A3A4→|cos 149°＋|A4A5→|cos 221°＋|A5A1→|cos 293°＝0， ∴cos 5°＋cos 77°＋cos 149°＋cos 221°＋cos 293°＝0.12.设各项均为正数的数列{an}的前n 项和为Sn ，满足a2n ＋1＝4Sn ＋4n ＋1，n ∈N*，且a2，a5，a14恰好是等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记数列{bn}的前n 项和为Tn ，若对任意的n ∈N*，(Tn ＋32)k≥3n －6恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)当n≥2时，由题设知4Sn －1＝a2n －4(n －1)－1，∴4an ＝4Sn －4Sn －1＝a2n ＋1－a2n －4，∴a2n ＋1＝a2n ＋4an ＋4＝(an ＋2)2，∵an>0，∴an ＋1＝an ＋2.∴当n≥2时，{an}是公差d ＝2的等差数列．∵a2，a5，a14构成等比数列，∴a25＝a2·a14，(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3，由条件可知，4a1＝a22－5＝4，∴a1＝1，∵a2－a1＝3－1＝2，∴{an}是首项a1＝1，公差d ＝2的等差数列．∴等差数列{an}的通项公式为an ＝2n －1.∵等比数列{bn}的公比q ＝a5a2＝2×5－13＝3，∴等比数列{bn}的通项公式为bn ＝3n.(2)Tn ＝b1(1－qn )1－q ＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32， ∴(3n ＋1－32＋32)k≥3n －6对任意的n ∈N*恒成立， ∴k≥2n －43n 对任意的n ∈N*恒成立，令cn ＝2n －43n ，cn －cn －1＝2n －43n －2n －63n －1＝－2(2n －7)3n ， 当n≤3时，cn>cn －1；当n≥4时，cn<cn －1.∴(cn)max ＝c3＝227，∴k≥227.。
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辅助数列构造法初探(湖南新化一中)
周万林朱明辉
解题时通过联想将题设和结论联系起来恰当地构造一个能帮助解题的辅助数列并利用这
冷数
列的有关特性达到解题的目的这种方法称为辅助数列法
1
了味
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一试求其通项公式
解构造新数列b~了1+
8
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这种方法就是在认真审题的基础上直接根据题
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,;‘*:n(。n一3)必为偶数因此鲁。(。。-
3)一4必为整数故S;必能被52整险(证毕)
由例落进一步启发我们还可以证明下面的
〔定理〕若公差为d的等差数列{a
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是
整数且其前”项的和不等于零则a,’
+。
++af,
必能被al+aZ扫二+人整除木定理刊用迭加法和整数的有关件质容易证明
这里留给有兴超的谈者不再拼述用斜率公
式解等差数列问
题
(江西省吉安市三中)李明
德
等差数别巾捅顶公式a二a+油一1)泞=刀d十
〔a』一显然点(”a)是直线封二d鉴千a一d)
卜的卢即(1a:)(乏aZ)(5o,:…(,,a)是诊直线上一系列点其中d是该直线的刹率因此公故亏b}是以3为首项以1为公差的等差数列差d可用斜率公式来求才.。一Q儿一行(,”‘N”尹川)运用这公式可简捷地解决等差数如中
的某些
问题
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二变更条件构造法 +,Z x 这种方法就是从研究题目的条件与结论的关系入手对条件施以适当的变换再由变换后的式子米构造车雨工{}:数歹 、 1 丫为严格单调 递减数grl!第一习数 项为最大且最大为粼一, 〔例23G+1=设数歹{l号a卜满足。=e 当”)2时有< 1 即(1+劣))1 + 些少i朴 1+月洲 戈,+%) ‘气求其通项 秘“ 数 泌写 嗡一 图 ‘ 设。二了该厄咔了百又厄 +“+ 了” (”+)( 呀刀、 由此,、造熬 列 “ 一‘ (今 ) 丝岑之<·<(岑)(1,‘5年高考试 贝i」得等比数歹llb:。1b+,~eb一 幻劣[例 4 〕 求证:题)b二 el o=”e“I 证构造数 列 b二 a 一 (幻 + ) 夕 三变夏结论构造法 林种方法就是根据解题的需要先把题目的结论进行适当的等价变换再构 造辅助数劫 〔例3」巳知火)一且男斗。呀万且” ), 求证(“+川>l+n义(见高中代数课本第二册 Pp3 “叶,一“-一‘卜卜 二 书’ “ (”+l) 兮 ”了 了十 )( 拐+2) 一 2打+ 3 2 将、不等式化作石澎攀 <, 了石千i一了石不乏户 2 显然当。二时+” 劣 十x、 故只须证当n= b斗一功卜是递减数歹第一项b二了了b(b=了,一2(。一?为最大环 1+ 行x 了+义 、 故有。< 兴共 时最大____””+岭__ ~。_ }司埋叫址叭夕一1--议佩小寺式份 址 山此构造数列a= 十nx (1+x) 2:) +(”斗)久十 n绪 a去一 a= — ~ 犷 一 ~二 ,八下卉 沟造辅助数列解题其理维具有创造性方法具有独特件对提高学井解题技能培养命生创造性思 维能力很有好处值得审视 爷工