数列构造法
等比数列三种构造法
等比数列三种构造法
等比数列是由一个首项和公比决定的数列。
为构造等比数列，我们可以采用以下三种方法：
1. 递推法：首项已知的等比数列可以通过首项和公比计算后续项。
具体而言，每一项都是前一项乘以公比的结果，即an = a1×r^(n-1)。
2. 公式法：对于给定的首项、公比和项数，可以使用等比数列的通项公式计算该数列中任意一项的值。
通项公式为an = a1×r^(n-1)。
3. 倍数法：通过将等比数列中每一项除以前一项得到的倍数序列，可以简化计算。
具体而言，如果第n项是前一项的r倍数，那么第n+1项就是前一项的r²倍数，以此类推。
通过计算倍数序列的第n项，我们可以得到等比数列的第n 项。
构造法求数列通项公式典型例题解析
构造法求数列通项公式典型例题解析构造法是一种求解数列通项公式的有效方法，也是数学中最具有挑战性的问题之一。
在广泛的数学研究和应用中，构造法往往可以解决复杂的问题，为我们提供求解给定数列的通项公式的有效方法。
本文将从构造法的基本定义和思想出发，通过一系列典型例题，详细解析构造法求解数列通项公式的基本原理和方法，以期更深入地理解构造法求数列通项公式的实际应用。
首先，构造法是什么？构造法是一种求解数列通项公式的策略，它以建立数列通项公式为目标，通过构造一个符合一定规律的数列来解决问题。
根据构造法的思想，我们可以确定以下步骤：首先，确定数列的个数和元素的值；其次，当确定了数列的个数和元素的值后，还需要确定数列的规律；最后，根据上述步骤，数列的规律和期望求解结果，最终确定数列通项公式。
构造法求解数列通项公式的典型例题，将从比较简单的例题开始介绍：例题1：已知数列{an}的通项公式为：an=3n-2，求数列{an}的前5项。
解：数列{an}的前5项为a1=3×1-2=1，a2=3×2-2=4，a3=3×3-2=7，a4=3×4-2=10，a5=3×5-2=13。
例题2：已知数列{bn}的前4项为：b1=2，b2=10，b3=26，b4=50，求数列{bn}的通项公式。
解：根据数列{bn}的前4项值，构造出以下数列：2，8，16，24，…，由此可得出bn=2n×4，即数列{bn}的通项公式为bn=2n×4。
例题3：已知数列{cn}的前3项为：c1=3，c2=12，c3=27，求数列{cn}的通项公式。
解：根据数列{cn}的前3项值，构造出以下数列：9，9，18，27，…，故数列{cn}的通项公式为cn=3n2-2n，即cn=3n2-2n。
以上就是构造法求解数列通项公式的三个典型例题及其解析，可以看出，构造法是一种有效的求解数列通项公式的方法。
高考数学构造法求数列通项的八种技巧(二)(解析版)
构造法求数列通项的八种技巧(二)【必备知识点】◆构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.模型一：a n +1=nn +1⋅a n 左右同乘n +1 (n +1)a n +1=n ⋅a n ,构造b n =n ⋅a n ,则b n +1=b n ,b n 为常数数列.模型二：a n +1=n +1n ⋅a n 左右同除n +1 a n +1n +1=a n n ,构造b n =a n n,则b n +1=b n ,b n 为常数数列.模型三：a n +1=n +2n ⋅a n 左右同除n +2 n +1 a n +1(n +1)(n +2)=a n n (n +1),构造b n =a n n (n +1),则b n +1=b n,b n 为常数数列.模型四：na n +1=2(n +1)a n 左右同除n n +1a n +1n +1=2a n n ,构造b n =an n,则b n +1=2b n ,b n 为等比数列.模型五：a n +1=n +2n ⋅S n ⇒S n +1-S n =n +2n ⋅S n ⇒S n +1=2n +2n ⋅S n 左右同除n +1 S n +1n +1=2S n n,构造b n =S nn ,则b n +1=2b n ,b n 为等比数列.模型六：a n +1=n +1n ⋅a n +n +1左右同除n +1 a n +1n +1=a n n +1,构造b n =a n n,则b n +1=b n +1,b n 为等差数列.模型七：a n +1=2a n +2n +1左右同除2n +1a n +12n +1=a n 2n +1,构造b n =a n 2n,则b n +1=b n +1,b n 为等差数列.模型八：a n -a n +1=a n a n +1左右同除a n a n +11a n +1-1a n =1,构造b n =1an ,则b n +1-b n =1,b n 为等差数列.看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将n +1和a n +1,n 和a n 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.【经典例题1】已知数列a n 满足a 1=23,a n +1=nn +1⋅a n,求a n . 【解析】因为a n +1=nn +1a n,所以(n +1)a n +1=na n .令b n =na n ,则b n =b n +1,即b n 是常数数列,所以b n=b 1,即na n =1×a n =23,a n =23n.【经典例题2】已知数列a n 中,a n +1=nn +2a n且a 1=2,求数列a n 的通项公式.【解析】因为a n +1=nn +2a n,所以(n +2)a n +1=na n ,(n +1)(n +2)a n +1=n (n +1)a n .令b n =n (n +1)a n ,则b n +1=b n ,即b n 是常数数列,所以b n =b 1.因此n (n +1)a n =1×2×2,a n =4n (n +1).【经典例题3】已知数列a n 中,na n +1=2(n +1)a n +n (n +1)且a 1=1,求数列a n 的通项公式.【解析】na n +1=2(n +1)a n +n (n +1),等式两侧同除n (n +1),形成a n +1n +1=2a n n +1,令b n =an n,则b n +1=2b n +1,这又回到了构造一的形式,所以b n +1+1=2(b n +1),b n +1 是以2为首项,2为公比的等差数列,即b n +1=2×2n -1=2n , b n =2n -1,所以a nn=2n -1,a n =n (2n -1).【经典例题4】已知a 1=1,且na n +1=(n +2)a n +n ,求数列a n 的通项公式.【解析】等式两侧同除n (n +1)(n +2),得a n +1(n +1)(n +2)=a n n (n +1)+1(n +1)(n +2),即a n +1(n +1)(n +2)-a n n (n +1)=1(n +1)(n +2),a n +1(n +1)(n +2)-a n n (n +1)=1(n +1)-1(n +2),另b n =a n n (n +1)，所以b n +1-b n =1(n +1)-1(n +2),接下来就是叠加法发挥作用的时候了b 2-b 1=12-13b 3-b 2=13-14b 4-b 3=14-15⋯⋯b n -b n -1=1n -1(n +1)叠加得b n -b 1=12-1(n +1),b 1=a 12=12,所以b n =1-1(n +1)=n n +1，即a n n (n +1)=nn +1，a n =n 2.【练习1】已知数列a n 满足a 1=1,a n -a n +1=3a n a n +1,则a 10=()A.28B.128C.-28D.-128【答案】B【解析】数列a n 满足a 1=1,a n -a n +1=3a n a n +1,则:1a n +1-1a n=3(常数)则：数列1a n 是以1a 1=1为首项,3为公差的等差数列。
高中数学数列构造法讲解
高中数学数列构造法讲解
高中数学数列构造法是一种常用的数学分析方法，它可以帮助我们通过对数列的结构、变化规律及其特点等进行分析推导，理解数列的内在本质，从而解决问题。
首先，我们需要明确数列的定义，即数列是一组有序的数，每个数都是一定规律地从前一个数变化而来。
其次，构造数列时，我们要确定数列的元素，确定数列的有序规律，并通过对数列的初始值、变化规律等参数的推导，推断其他数列的变化特点。
接下来，我们要研究的是如何构造数列。
首先，要明确数列的变化规律，即每一项的变化规律。
比如，等差数列的变化规律是每一项减去前一项的结果为一定的常数，等比数列的变化规律是每一项乘以前一项的结果为一定的常数。
其次，我们要确定数列的初始值，即每一项变化的起始值。
若数列的变化规律已经确定，则可以从初始值出发，根据变化规律一步步推导出其他数列的变化特点。
接着，我们要根据数列的变化规律，推导出数列的参数，即每一项变化的参数，如等差数列的公差，等比数列的公比等。
最后，我们要求出数列的总和，确定数列的范围，计算出数列的各项之和，从而解决实际问题。
总之，通过高中数学数列构造法，我们可以通过分析数列的结构、变化规律及其特点等，从而解决实际问题，深入理解数列的内在本质。
数列构造法开题报告
数列构造法开题报告数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数字组成的。
在数学中，数列构造法是一种通过特定的规则和方法来生成数列的方法。
本文将探讨数列构造法的应用和意义。
一、数列构造法的基本概念数列构造法是指通过一定的规则和方法，按照一定的顺序生成一系列数字。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
数列构造法可以通过递推公式、迭代公式、递归关系等方式来定义。
二、数列构造法的应用数列构造法在数学中有着广泛的应用。
首先，数列构造法可以用于解决一些实际问题。
例如，通过构造数列，可以描述一些物理过程中的变化规律，如自由落体运动中物体的位置随时间变化的规律。
其次，数列构造法可以用于解决一些数学问题。
例如，通过构造数列，可以证明一些数学定理，如数学归纳法的证明过程中常常使用数列构造法。
此外，数列构造法还可以用于解决一些算法问题，如排序算法中的冒泡排序、快速排序等。
三、数列构造法的意义数列构造法的意义在于它可以帮助我们理解和掌握数学中的一些概念和定理。
通过构造数列，我们可以发现其中的规律和特点，从而更好地理解和应用数学知识。
此外，数列构造法还可以培养我们的逻辑思维能力和创造力。
在构造数列的过程中，我们需要分析问题、寻找规律、进行推理，这些过程可以锻炼我们的思维能力。
同时，数列构造法还可以激发我们的创造力，通过构造不同的数列，我们可以发现其中的奇妙之处，从而开拓我们的思维空间。
四、数列构造法的实例下面以斐波那契数列为例，介绍数列构造法的具体过程。
斐波那契数列是一个无限数列，其定义如下：第一项和第二项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
按照这个规则，我们可以构造出如下的斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...通过观察斐波那契数列，我们可以发现其中的规律：每一项都等于前两项之和。
这个规律可以用递推公式来表示：an = an-1 + an-2。
利用这个递推公式，我们可以计算出斐波那契数列中的任意一项。
求数列通项公式的三种常用方法
在数列问题中，求数列的通项公式问题比较常见，但有些求数列的通项公式的问题较为复杂，利用等差、等比数列公式很难直接求得结果，需要采用一些方法，如累加法、累乘法和构造法，才能使问题得解.下面我们来探讨一下累加法、累乘法和构造法在解题中的应用.一、累加法有些数列的递推式可以转化为a n +1=a n +f (n )或a n +1-a n =f ()n 的形式，我们就可以采用累加法来求解，将n =1，2，3，…，n 时f (n )的式子表示出来，然后将左边与左边的式子相加，右边与右边的式子相加，通过正负抵消求出a n ，便可得到数列的通项公式.累加法也称为逐差相加法，这种方法是比较简单、比较基础的，操作起来也比较容易.例1.设数列{}a n 满足a 1=1，且a n +1=a n +n +1(n ∈N *)，则数列{}a n 的通项公式为_____.分析：题目中给出的递推式形如a n +1=a n +f (n )，可运用累加法来求解，逐一列出各项，并将其累加，便可求出数列的通项公式.解：由题意知a 2=a 1+2，a 3=a 2+3，a 4=a 3+4，…，a n =a n -1+n (n ≥2)，将以上各式进行相加可得a n =a 1+2+3+…+n ，又a 1=1，所以a n =1+2+3+…+n =n 2+n 2(n ≥2)，当n =1时也满足上式，所以数列{}a n 的通项公式为a n =n 2+n 2(n ∈N *).在运用累加法求和时，很多同学们经常忽略了n =1的情况，因此在求出了a n 之后，必须要检验a 1是否满足所求的通项公式.二、累乘法当遇到形如a n +1a n=f ()n 或a n +1=f ()n a n 的递推式，我们可以采用累乘法来求解.首先列出n =1，2，3，…，n 时f (n )的表达式，然后将每项的左边与左边，右边与右边相乘，通过约分就可以求出a n .需要注意的是，在使用这种方法求数列的通项公式时，不要把a n 与f ()n 、f ()n -1、f ()n +1的对应项弄混.例2.设数列{}a n 满足a 1=1，且a n =n -1n a n -1(n ≥2)，则数列{}a n 的通项公式为_____.分析：题目中给出的递推公式为a n =n -1n an -1，即a n a n -1=n -1，形如a n +1a n =f ()n ，运用累乘法求解比较简便.解：∵a n =n -1n a n -1(n ≥2)，∴a n -1=n -2n -1a n -2，a n -2=n -3n -2a n -3，…，a 2=2a 1.将上述n -1个式子相乘后可得a n =a 1⋅12⋅23⋅34⋅…⋅n -1n =a1n =1n，当n =1时，a 1=1，满足上式，∴a n =1n(n ∈N *).三、构造法对于一些形如a n +1=pa n +q (p ≠0、1,q ≠0)的递推式，我们一般采用构造法来求数列的通项公式.可首先设a n +c =k (a n -1+c )，然后利用待定系数法求出相关k ,c 的值，这样便构造出等比数列{}a n +c ，运用等比数列的通项公式求得{}a n +c 的通项公式，进而得到{}a n 的通项公式.例3.已知数列{}a n 满足a 1=1，且a n +1=3a n +2，则数列{}a n 的通项公式为_____.分析：题目中给出的递推式形如a n +1=pa n +q ，结合已知条件可构造出新的等比数列，然后利用等比数列的通项公式来求解.解：∵a n +1=3a n +2，∴a n +1+1=3a n +2+1，即a n +1+1=3a n +3=3(a n +1)，∴a n +1+1a n +1=3，∴数列{}a n +1为q =3的等比数列，又a 1+1=2，∴a n +1+1=2∙3n -1，∴a n =2∙3n -1-1(n ∈N *).以上三种方法都是求数列通项公式的常用方法，同学们要扎实掌握.求数列的通项公式问题并没有同学们想象中的那么难，只要同学们能够熟练掌握常用的解题方法和技巧，学会举一反三，就能在掌握精髓的基础之上破解此类问题.（作者单位：安徽省宣城中学）方法集锦47Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
构造法求数列通项
构造法求数列通项
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”。
若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式。
运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f（n+1）=Af（n）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义知f（n）是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出f（n）的通项公式，再根据f（n）与an，从而求出an的通项公式。
构造法求数列通项公式典型例题解析
构造法求数列通项公式典型例题解析构造法是一种求解数列通项公式的技巧，它可以在给定数列中发现出某些共同的特征，从而构建出数列的通项公式。
这种技巧的本质是人们通过观察数列的特点，并尝试推测通项的类型、公式和系数，从而找到数列的通项公式。
二、构造法的应用1.比数列的通项公式对于等比数列来说，它的通项公式的结构为：a_n = a_1 q^(n-1)其中a_1是数列的第一项，q是数列的公比。
为了求出等比数列的通项公式，我们可以使用构造法，观察该数列给出的前几项，如： a_1 , a_2, a_3, a_4我们发现，从第二项a_2开始，每一项都是由上一项乘以某个常数，也就是公比q得到的，所以q可以用以下的公式表示：q = a_2/a_1接下来，我们就可以用上面的通项公式求出数列的任意项值了。
2.差数列的通项公式对于等差数列来说，它的通项公式的结构为：a_n = a_1 + (n-1)d其中a_1是数列的第一项，d是数列的公差。
为了求出等差数列的通项公式，我们也可以使用构造法，观察该数列给出的前几项，如： a_1 , a_2, a_3, a_4我们发现，从第二项a_2开始，每一项都是由上一项加上某个常数，也就是公差d得到的，所以d可以用以下的公式表示：d = a_2 - a_1接下来，我们就可以用上面的通项公式求出数列的任意项值了。
三、构造法的优点1.以让我们省去求解数列通项公式的一系列步骤，使用构造法求解数列通项公式的过程简单易懂，用时也短。
2.造法可以使我们更加清晰地观察数列的特征，从而更快地找到数列的通项公式。
3.造法可以使我们在求解特定的数列时，能够更加得心应手地把握数列的变化规律。
四、典型例题解析1. 例题一已知一个等差数列：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ...(1)该数列的通项公式解：由题意可知，该数列是等差数列，我们可以用构造法求解。
我们可以观察数列的前几项，a_1 = 2, a_2 = 5，根据d = a_2 - a_1原理，我们可以求出公差d = 3.因此，该数列的通项公式为：a_n = 2 + (n-1)3，即a_n = 2 + 3n - 32. 例题二已知一个等比数列：2, 6, 18, 54, ...(1)该数列的通项公式解：由题意可知，该数列是等比数列，我们可以用构造法求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列构造法 Prepared on 22 November 2020
一、构造等差数列法
例1. 在数列{a n}中，，求通项公式a n。
解：对原递推式两边同除以可得：
①
令②
则①即为，则数列{b n}为首项是，公差是
的等差数列，因而，代入②式中得。
故所求的通项公式是
二、构造等比数列法
1. 定义构造法
利用等比数列的定义，通过变换，构造等比数列的方法。
例2. 设在数列{a n}中，，求{a n}的通项公式。
解：将原递推式变形为
①
②
①/②得：，
即③
设④
③式可化为，则数列{b n}是以b1＝为首项，公比为2的等比数列，于是，代入④式得：
＝，解得为所求。
2. （A、B为常数）型递推式
可构造为形如的等比数列。
例3. 已知数列，其中，求通项公式。
解：原递推式可化为：，则数列是以为首项，公比为3的等比数列，于是，故。
3. （A、B、C为常数，下同）型递推式
可构造为形如的等比数列。
例4. 已知数列，其中，且，求通项公式a n。
解：将原递推变形为，设b n＝。
①
得②
设②式可化为，比较得于是有
数列是一个以为首项，公比是－3的等比数列。
所以，即，代入①式中得：
为所求。
4. 型递推式
可构造为形如的等比数列。
例5. 在数列中，，求通项公式。
解：原递推式可化为，比较系数可得：，，上式即为是一个等比数列，首项
，公比为。
所以。
即，故为所求。