苏科版数学七年级上册 第三章代数式：定义新运算与找规律 阶段训练(解析版)-精选教学文档

定义新运算与找规律 阶段练习
1 定义运算：a ⊗b=a （1﹣b ）．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗（﹣2）=6，②a ⊗b=b ⊗a ，③若a+b=0，则（a ⊗a ）+（b ⊗b ）=2ab ，④若a ⊗b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（ ） A ． ①④ B ． ①③ C ． ②③④ D ． ①③④ 【答案】D
【解析】 根据题意得：2⊗（﹣2）=2×（1+2）=6，选项①正确；
a ⊗b=a （1﹣
b ）=a ﹣ab ，b ⊗a=b （1﹣a ）=b ﹣ab ，不一定相等，选项②错误；
（a ⊗a ）+（b ⊗b ）=a （1﹣a ）+b （1﹣b ）=a+b ﹣a 2﹣b 2=a+b ﹣（a+b ）2+2ab=2ab ，选项③正确；
若a ⊗b=a （1﹣b ）=0，则a=0或b=1，选项④正确．
2 若x 是不等于1的实数，我们把11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是1
12
-=﹣1，﹣1
的差倒数为()1
11--=12，现已知x 1=﹣13，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差
倒数，…，依此类推，则x 2019=______．
【答案】 3
4
【解析】 由已知可得， x 1=﹣13
，
x 2=
13
1413=⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， x 3=
1314
-=4，
x 4=
114-=﹣13
， 可知每三个一个循环， 2019÷3=671…2， 故x 2019=
34
． 3 符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算如下：2(1)11f =+，2(2)12
f =+，2
(4)14
f =+
，…，利用以上运算的规律写出()f n =________ (n 为正整数)；(1)(2)(3)(100)f f f f ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=________
【答案】 2
1n
+
；5151 【解析】 该题考查的是抽象思维．
由已知的一系列等式，归纳总结表示出()f n ；由得出的()f n ，分别令1n =，2，3，…，100，代入所求式子()()()()123100f f f f ⋅⋅⋯中，约分后计算，即可得到结果．
由题意总结得： ()f n 22
1n n n
+=+=
故答案为：2
1n
+
；5151． 4 定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为31n +；②当n 为偶数时，
结果为2k n （其中k 是使得2k n
为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取6n =，则：
12363105F F F −−−→−−−→−−−→① ②②
第次第次第次，若1n =，则第2次“F 运算”的结果是_______；若13n =，则第2019次“F 运算”的结果是___________ 【答案】 1；4
【解析】 本题考察的是定义新运算．
第一次运算，因为2是偶数，∴用的是第②个公式计算，即
1
2
=12， 第二次运算，因为所的的数1是奇数，∴用的是第①个公式计算，及3114⨯+=，∴1214F F →→第次第2次②
①
．
用上面计算方法可知：1234561340516141
F F F F F F →→→→→→第次
第次
第次
第次第次
第次
①②①②①②
，所以从第5次开始，是2循环
的数列，所以第2019次的得数和第5次的是一样的，结果是4．
5 从1开始得到如下的一列数： 1，2，4，8，16，22，24，28，…
其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于100的个数为（ ） A ． 21 B ． 22 C ． 23 D ． 99 【答案】A
【解析】 由题意知：1，2，4，8，16，22，24，28，… 由此可知，每4个数一组，
后面依次为36，42，44，48，56，62，64，68，76，82，84，88，96， 故小于100的个数为：21个，
6 观察下面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律： （1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示； （2）猜想并写出与第n 个图形相对应的等式． 【答案】 略
7 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2019个图形中直角三角形的个数有（ ） A ． 8048个 B ． 4024个 C ． 2019个 D ． 1066个 【答案】B
【解析】 本题主要考查了图形的变化，根据前几个图形的三角形的个数，观察出与序号的关系式解题的关键．
写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律，当n 为奇数时，三角形的个数是2
（n+1），当n 为偶数时，三角形的个数是2n ，根据此规律求解即可． 第1个图形，有4个直角三角形， 第2个图形，有4个直角三角形， 第3个图形，有8个直角三角形， 第4个图形，有8个直角三角形，
依此类推，当n 为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n 为偶数时，三角形的个数是2n 个，
所以，第2019个图形中直角三角形的个数是2×2019=4024． 故选B ．
8 观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…
按此规律第5个图中共有点的个数是____ A ． 31 B ． 46 C ． 51 D ． 66 【答案】B
【解析】 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，利用规律解决问题． 由图可知：其中第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…由此规律得出第n 个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n 个点．
第1个图中共有1+1×3=4个点， 第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点， 第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点， 第n 个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n 个点．
所以第5个图中共有点的个数是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46． 故选：B ．
9 如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n ，则电子跳蚤连续跳（3-2n ）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳3121⨯-=步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳3224⨯-=步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为_________；第2019次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为________．
【答案】 10；6
11
12109
87
6
543
21第12题图
【解析】 该题考查的是找规律．
仔细观察发现：
第一次跳3121⨯-=步到数字2；
第二次跳3224⨯-=步到达标有数字6的圆圈； 第三次跳36216⨯-=步到达标有数字10的圆圈， 第四次跳310228⨯-=步到达标有数字2的圆圈， 发现每三次一循环，
∴第2019次跳到的圆圈内所标的数字与第2次相同为6． 故答案分别为10和6．
10 由于()111
n n -⎧-=⎨⎩（为奇数），所以我们通常把()1n
-称为符号系数．
（1）观察下列单项式：13x -，2215x ，3335x -，44
63
x …按此规律，第五个单项式是________，
第n 个单项式是__________
（2）计算：()
122
n
n a b a b
+-+- （3）请你根据（2）式写出一个档n 为偶数时值为1，当n 为奇数时值为0的式子．
【答案】 （1）5599x -()2141n n
n x n --（2）n 为奇数时2n b b +，n 为偶数时2
n b b a -+（3）
1010
(1)22
n +-+- 【解析】 该题考查的是找规律．
所以第5个单项式是()555519999x x -⨯=-，第n 个多项式是()2
1141
n
n x n --． ①当n 为奇数时： ②当n 为偶数时：
（3）()1010
122
n +-+- 11 如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，
第三层每边有三个点，依此类推． （1）填写下表：
（2）写出第n 层所对应的点数；
（3）如果某一层共96个点，你知道它是第几层吗；（4）有没有一层，它的点数为100点；
（5）写出n层的六边形点阵的总点数．
【答案】（1）如表：
（2）n（3）17（4）100（5）3n2﹣3n+1。