01-03有限单元法的分析步骤

§1-3有限单元法的分析步骤
（2009-11-12）
一、简例
为使大家有个感性的认识，我们先来考查一个最简单的平面桁架(图1-1)。设杆件的截面积均为A，弹性模量为E，长度分别为 、 。桁架的铰链处受到外力 、 、 、 、 、 ，在1点和3点固定铰支。求解内力。
a)集合体b)桁架单元
图1-1铰接桁架
由结构力学知，这是一个外一次静不定问题，三个平衡方程，四个支反力，要解之尚须补充一个变形协调条件或内力平衡条件。
3．建立外载荷与节点位移的关系
分析各个节点的受力情况，可以看到，各个节点除受外载荷外，还承受环绕着它的各个单元给它的作用力，这些力和图1-1中所示节点给单元节点力大小相等，方向相反，互为反作用力。
结构处于平衡状态时，各节点亦应处于平衡状态。
同时，还注意到，各单元在同一节点处的位移应相等，即为节点的位移。所以
(2)利用几何方程，由(1-10)式导出单元的应变表达式
(1-11)
(3)利用物理方程，由(1-11)式导出用节点位移表示的单元应力表达式
(1-12)
(4)利用平衡条件(方程)或虚功方程，建立作用于单元的节点力和节点位移之间的关系式
(1-13)
以上四步中，导出单元刚度矩阵是单元分析的核心内容。
3．整体分析
上面的1-4步就是单元分析，第5步就是整体2分析。
这些方程就是结构的力――位移关系。
写成矩阵形式，有
(1-7)
或简写成
(1-8)
这就是有限单元法所要建立的基本方程组。
式中 为作用在节点上的载荷组成的列阵，称为载荷列阵； 是由基本未知量节点位移所组成的列阵；矩阵 称为结构的整体刚度矩阵，由(1-8)式可知
(1-9)
建立整个刚度矩阵是运用有限单元法解题的核心内容，一旦建立了整个刚度矩阵，就等同于列出了有限单元法的基本方程组。
按这去的方法是从因至果一步步分析即可，即
（原因） （结果）。
但研究发现，当问题不定（普遍）时，约束是不定的，这时无法由总力确定各单元的力（分力），也不能由应变计算出位移。即一种多力可能因约束不同向各个单元上传递的力不一样，一种应变对应着多种位移。
正方向行不通，由结果到原因。这时又会遇到另一个问题：由特点的位移确定整个单元的位移的问题。这就相当于插值问题，由有限个点来给定整个区域的函值这时必须用一个假设来解决，插值问题中是函数的形式，在这里是位移模式（函数）。
具体步骤如下：
1．将结构划分成典型单元的集合――离散化。
目的：将桁架划分成由相似小杆组成的组合体，便于进行标准化的分析。
根据桁架的特点，可将整体结构划分为杆件和铰链二部分。取每根杆件为一个单元(element)，其端部和铰链相联接处作为节点。相应的，铰链点本身也称为节点。为研究方便，将每个单元和节点编号。
对每个单元来讲，其内部不受力，仅在节点处承受铰链传递的作用力，在这里称之为节点力。这些节点力是因作用在铰链上的外载、约束等外部作用和相邻单元对铰链的作用所引起。如图1-1b中 分别为节点(铰链)1、2施加于单元1的节点力沿坐标X和Y方向分量。相应地，单元要发生位移，在节点处的位移分量为 。在这里，上标表示单元的号码，下标表示节点号码。
从一般意义上讲，工程桁架结构多为静不定结构(分为外静不定和内静不定)，且随着杆件的增多，静不定的次数的增加，解题难度急骤增大。
可否找到一种通用的桁架计算法，编成程序，对每一个相同类型的桁架，只要输入几何参数，物理参数，外载和约束等，就可以输出内力和约束力。
根据桁架分析的自身特点，这并没有特别的困难。这就是桁架结构的有限单元法――结构矩阵法，有限单元法的最早实践形式。
如此每个单元虽方位不同，但都几何相束、外力等)和单元给节点的作用力，在这里也称为节点力，其和单元上的节点力互为反作用力。
2．分析每个单元上节点力和节点位移之间的关系――单元特性分析。
(1)确定(或假设)单元的位移模式
因为杆件在二个节点处是铰接，只传递力，不传递力矩，且杆件上其他位置不受力。所以每个单元均是二力杆。
(2)用节点位移表示单元应变
杆内的主要应变为轴向应变。在小变形条件下，只有轴向位移差才在杆中产生内力和应变。所以有
即
令 ，
有 (1-2)
式中， 为单元①的应变列阵， 为反映单元应变和节点位移之间关系的几何矩阵。
(3)求单元应力的表达式
由虎克定律，单元应力为
令
有 (1-3)
(4)求节点力和节点位移之间的关系
(1)选取位移模式
为了能用节点位移分量来表示单元内任一点的位移、应变和应力，根据单元的几何特性及变形特点，假定位移是坐标的某种简单函数。这种函数称为位移函数或位移模式。
选定位移模式后，单元内任一点的位移均可用节点位移表示，其矩阵形式是
(1-10)
式中， 为单元内任一点的位移列阵； 是单元的节点位移列阵； 称为形函数，其元素是坐标的函数。
当断面积及材料性质均匀时，可认为杆件内产生均匀拉伸和压缩。现假定杆件的变形为均匀拉伸和压缩，则杆内各点的位移(u，v)可用二个节点位移线性插值获得。这是一个假设。
现以杆①为例有：
写成矩阵形式，有
记为 (1-1)
这里 为研究点到节点1的距离，可理解为局部坐标；
为单元位移；
为形状函数矩阵；
为节点位移列阵。
包括二方面的内容：
(1)根据节点平衡方程，建立以整体刚度矩阵为系数的整体节点位移和外载的关系式――总体平衡方程
(1-14)
(2)考虑几何边界条件，修改总体平衡方程，求解出全部未知位移分量。最后计算并整理所要求的结果。
总结
有限单元分析的最终目的是建立具有普遍意义的节点位移和节点载荷之间的关系（因果关系，这里载荷是因，位移为果。）
1．结构的离散化
是有限单元法的基础，就是用由有限个方位不同但几何性质及物理性质均相似的单元组成的集合体来代替原来的连续体和结构。每个单元仅在节点处和其它单元及外部有联系。对于不同的问题，根据其自身特点及要求，可选用不同类型的单元。对同一问题也可分别或同时选用多种单元。
2．单元分析
这是有限单元法的实质性内容，就是针对不同的物理问题，建立反映典型单元的物理特性的方程列式。包括如下几步：
(2){R}中包含未知的约束反力。这也要求进行相应处理。
处理后可由上述方程组解出全部位移分量。将各点位移分量回代(1-1)式及(1-2)式，可得出感兴趣的应变和应力。
二、有限单元法的分析过程
上面是一个用有限单法思路来分析一简单桁架的例子，其他问题的分析思路和它完全相同。通过它可对有限单元法有一个粗略的了解。为便于今后学习，现将其过程概述如下：
式(1-9)表明，结构的整体刚度矩阵是由单元的刚度矩阵叠加组成的。
右下方虚线划出的正是单元2的刚度矩阵，而两个长方形重叠部分中的元素，系同位置上两个单元刚度矩阵的元素之和。
上面得出的总体方程组并不能马上求解，因为
(1)其系数矩阵的行列式｜K｜=0，［K］为奇异矩阵，方程组无确定的解。从物理意义上来看，是因为整个结构未受约束，可能产生刚体位移。只要引入几何边界条件，对结构施加足够的约束对刚度矩阵加以修改，排除刚体位移。
切断杆件暴露出内力。轴向力为
(a)
由平衡条件，可得
(b)
将(a)式代入(b)式，整理后得
(1-4)
令
(1-5)
有 (1-6)
式中， 为单元①节点力列阵； 为单元①的单元刚度矩阵，其表示单元在节点处发生单位位移时，各节点施于单元①上的节点力。
同理可以求得作用于单元②的节点力和位移之间的关系：
于是单元②的刚度矩阵是