柯西不等式及应用

柯西不等式及应用

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- 2 - 柯西不等式及应用

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柯西不等式：设a1,a2,…a n,b1,b2…b n

均是实数，则有（a1b1+a2b2+…+a n b n）2≤（a12+a22+…a n2）（b12+b22+…b n2）等号当且仅当a i=λb i(λ为常数，i=1,2.3,…n)时取到。

注：二维柯西不等式：

（一）、柯西不等式的证明

柯西不等式有多种证明方法，你能怎么吗？

证法一：判别式法：

令f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+（a n x+b n）2=(a12+a22+…+a n2)x2+2(a1b1+a2b2+…

+a n b n)x+(b12+b22+…+b n2)

∵ f(x)≥0 ∴△≤0 即（a1b1+a2b2+…+a n b n）2≤(a12+a22+…+a n2)(b12＋b22+…+b n2) 等号仅当 a i=λb i时取到。

证法二：

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（二）、柯西不等式的应用

柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。

使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。

1．证明不等式

利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，

（1）巧拆常数：

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例1：设a、b、c为正数且各不相等。求证：cbaaccbba????????9222

分析∵a、b、c均为正∴为证结论正确只需证：9]111)[(2????????accbbacba

而)()()()(2accbbadba????????又2)111(9???

（2）重新安排某些项的次序：

例2：a、b为非负数，a+b=1，??Rxx21,求证：

212121))((xxaxbxbxax???

分析：不等号左边为两个二项式积，

，每个两项式可以使柯西

????RxxRba21,,,

不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。

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（3）改变结构：

例3、若a>b>c求证：cacbba?????411

分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了

)()(cbbaca??????ca? ∴0??ca

∴结论改为4)11)((?????cbbaca

（4）添项：

例4：??Rcba,,求证：23??????bacacbcba

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分析：左端变形111????????bacacbcb

a)111)((baaccbcba????????∴只需证此式29?即可

2．求最值

利用柯西不等式，可以方便地解决一些函

数的最大值或最小值问题。

例5 已知a、b、c∈R +且a+b+c=1，求141414?????cba的最大值。

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例6 求)cos11)(sin11(aay???的最小值)20(???a。

3、在几何上的应用

例7、三角形三边a、b、c对应的高为h a、、h b、h c、r为此三角形内切圆半径。

若h a、+h b+h c=9r，试判断此三角形的形状。

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例8、△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：

222222236)sin1sin1sin1)((RCBAcba?????

证明：由三角形中的正弦定理得

RaA2sin?，所以2224sin1aRA?，同理

，2224sin1cRC?

2224sin1bRB?

于是左边=

。2222222222236)222()444)((RcRabRaaRacRbRaRcba???????????

故原不等式获证。

以上几例以看出，柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便地解决一

些中学数学中的有关问题。

练习：

1.已知a1,a2,a3,…,a n，b1,b2,…,b n为正数，求证：

2设,,,,21??Rxxx n?求证：nnn xxxxxxxxxxx??????????21123221

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（1984年全国高中数学联赛题）

3.已知实数,,abc,d满足3abcd????，22222365abcd????试求a的最值

4.设a、b、c>0且acos2θ+bsin2θ

5.设p是ABC内的一点，,,xyz是p到三边,,abc 的距离，R是ABC外接圆的半径，

柯西不等式

一.公式基本结构

设ai、bi∈R，（i＝1，2，3……，n）（a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn）2≦

（a12+ a22+a32 +…+an2）(b12

+b22+b32+…+bn2)

当且仅当bi＝kai（i＝1，2，……，n）时，k

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为常数时等号成立

二阶形式（a1b1+a2b2）2≦（a12+ a22）(b12 +b22)

三阶形式（a1b1+a2b2+a3b3）2≦（a12+ a22+a32）(b12 +b22+b32)

二．证明

先证明较简单的情况（以三阶形式为例，用构造法证明）

构造f(x) =（a12+ a22+a32）x2+2

（a1b1+a2b2+a3b3）x+(b12

+b22+b32)

=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)2≥0

△=4（a1b1+a2b2+a3b3）2-4（a12+ a22+a32）(b12 +b22+b32)