高考数学大二轮复习第二编专题整合突破专题二函数与导数第三讲导数的简单应用适考素能特训文

专题二 函数与导数 第三讲 导数的简单应用适考素能特训 文

一、选择题

1．[2016·郑州质检]函数f(x)＝e x

cos x 的图象在点(0，f(0))处的切线方程是( )

A ．x ＋y ＋1＝0

B ．x ＋y －1＝0

C ．x －y ＋1＝0

D ．x －y －1＝0

答案 C

解析 依题意，f(0)＝e 0

cos 0＝1，因为f′(x)＝e x

cos x －e x

sin x ，所以f′(0)＝1，所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，故选C .

2．[2016·山西忻州四校联考]设函数f (x )＝x sin x ＋cos x 的图象在点(t ，f (t ))处切线的斜率为k ，则函数k ＝g (t )的部分图象为( )

答案 B

解析f ′(x )＝(x sin x ＋cos x )′＝x cos x ，则k ＝g (t )＝t ·cos t ，易知函数g (t )为奇函数，

其图象关于原点对称，排除A 、C.当0

2

时，g (t )>0，所以排除D ，故选B.

3．[2016·广西质检]若函数f(x)＝(x 2－cx ＋5)e x

在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，4上单调递增，则实数c 的

取值范围是( )

A ．(－∞，2]

B ．(－∞，4]

C ．(－∞，8]

D ．[－2,4]

答案 B

解析 f′(x)＝[x 2＋(2－c)x －c ＋5]e x

，因为函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，4上单调递增，等价

于x 2＋(2－c)x －c ＋5≥0对任意x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c≤x 2

＋2x ＋5，c≤x2＋2x ＋5x ＋1对

任意x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，∵x∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，4，∴x2＋2x ＋5x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等

号成立，∴c≤4.

4．[2016·沈阳质检]已知函数y ＝x 2

的图象在点(x 0，x20)处的切线为l ，若l 也与函数y

＝ln x ，x∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )

A ．0

2B .12

C .

2

2

答案 D

解析 由题令f(x)＝x 2

，f′(x)＝2x ，f(x 0)＝x20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x20＝2x 0x －x20，因为l 也与函数y ＝ln x(x∈(0,1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y′＝1x ，所以l 的方程为y ＝1x1

x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎪⎨

⎪⎧

2x0＝1x1，1－ln x1＝x2

0，所以1＋ln 2x 0＝

x20，x 0∈(1，＋∞)，令g(x)＝x 2

－ln 2x －1，x∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g′(x)＝2x －1x ＝2x2－1

x

，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝－ln 2 <0，g(2)

＝1－ln 2 2<0，g(3)＝2－ln 23>0，从而2

5．已知函数f(x)＝x 3

＋ax 2

－x ＋c(x ∈R )，则下列结论错误的是( )

A ．函数f (x )一定存在极大值和极小值

B ．若函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是增函数，则x 2－x 1≥

233

C ．函数f (x )的图象是中心对称图形

D ．函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))(x 0∈R )处的切线与f (x )的图象必有两个不同的公共

点

答案 D

解析 对于选项A ，f ′(x )＝3x 2

＋2ax －1，方程3x 2

＋2ax －1＝0的根的判别式Δ＝4a 2

＋12>0恒成立，故f ′(x )＝0必有两个不等实根，不妨设为x 1，x 2，且x 10，得

x x 2，令f ′(x )<0，得x 1

(x 2，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 1时，函数f (x )取得极大值，当x ＝x 2时，函数f (x )取得极小值，故A 选项的结论正确；对于选项B ，令f ′(x )＝3x 2

＋2ax －1＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2a 3，x 1x 2＝－1

3，易知x 1

＋

－4x1x2＝

4a29＋4

3

≥

233，故B 选项的结论正确；对于选项C ，易知两极值点的中点坐标为⎝ ⎛ －a

3

，

⎭

⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，

又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a23x ＋x 3

＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a23x －x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－x ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，所以函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭

⎪⎫－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3成中心对称，故C 选项的结论正确；对于D 选项，令a ＝c ＝0得f (x )＝x 3

－x ，f (x )在(0,0)处切线方程为y ＝－x ，且

⎩

⎪⎨

⎪⎧

y ＝－x y ＝x3－x 有唯一实数解，即f (x )在(0,0)处切线与f (x )图象有唯一公共点，所以D 不正确，

选D.

6．已知函数f (x )＝(a －2)x －ax 3

在区间[－1,1]上的最大值为2，则a 的取值范围是

( )

A ．[2,10]

B ．[－1,8]

C ．[－2,2]

D ．[0,9]

答案 B