1991年考研数学(四)试题

1991年数学四试题

一、填空题

(1)设sin xy z e ,=则dz =________.

(2)设曲线()3f x x ax =+与()2g x bx c =+都通过点()10,,−且在点()10,−有公共切线,则a =________,b =________,c =________.

(3)设()x f x xe =,则()()n f x 在点x =

处取极小值________.(4)n 阶行列式0000000000000000a b a b a a b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋯⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋮⋯⋯_____.

(5)设A,B 为随机事件,()()0703P A .,P A B .,=−=___P AB ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠________.二、选择题

(1)下列各式中正确的是

()(A)01lim 11x x x +→⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠(B)01lim 1x

x e x +→⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠(C)1lim 1x x e x →∞⎛⎞−=−⎜⎟⎝⎠(D)1lim 1x x e x −→∞⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠(2)

设数列的通项为1 n n x ,n n

=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数，，则当n →∞时,n x 是()(A)无穷大量(B)无穷小量

(C)有界变量(D)无界变量

(3)设A,B 为n 阶方阵,满足等式0AB =,则必有

()(A)0A =或0

B =(B)0A B +=(C)0A =或0B =(D)0

A B +=(4)设A 是m n ×矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是()

(A)若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解

(B)

若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解(C)

若Ax b =有无穷多个解.,则0Ax =仅有零解(D)

若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解(5)

设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是()(A)A 与B 不相容(B)A 与B 相容

(C)()()()P AB P A P B =(D)()()

P A B P A −=

三、求极限()1lim .

x x x →+∞四、求定积分()2

1

121I x x dx.−=++∫五、求不定积分2

2

arctan .1x I xdx x =+∫六、已知()()()()0xy xf z yg z ,xf z yg z ′′=++≠,其中()z z x,y =是x 和y 的函数.求证：()()z z x g z y f z .x y ∂∂−=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣

⎦∂∂七、假设曲线1L ：()2101y x x =−≤≤、x 和y 轴所围区域被曲线2L ：2y ax =分

为面积相等的两部分,其中a 是大于零的常数.试确定a 的值.

八、某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1p 和2p ；销售量分

别为1q 和2q ；需求函数分别为112402q .p =−和2210005q .p =−.总成本函数为

()123540C q q .=++试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润

最大？最大利润为多少？九、证明不等式()11ln 101x x x ⎛⎞+><<+∞⎜⎟+⎝⎠

.十、设n 阶矩阵A 和B 满足条件A B AB +=.

(1)证明A E −为可逆矩阵(其中E 是n 阶单位矩阵)；

(2)已知130210002B ,−⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

求矩阵A .

十一、设有三维列向量12321110111111,,,,

λααλαβλλλ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

问λ取何值时,

(1)β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一?

(2)β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一?

(3)β不能由123,,ααα线性表示?

十二、已知向量()11T

,k,α=是矩阵211121112A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵1A −的特征向量,试求常数k 的值.

十三、一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.

(1)求X 的概率分布.

(2)求11E X ⎛⎞⎜⎟+⎝⎠

.十四、在电源电压不超过200伏、在200∼240伏和超过240伏三种情形下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2,假设电源电压X 服从正态分布()222025N ,,试求：

(1)该电子元件损坏的概率α；

(2)该电子元件损坏时,电源电压在200∼240伏的概率β.附表：

x

010 020040 060 080100 120 140........()x Φ05300579065507260788084108850919

........注：表中()x Φ是标准正态分布函数.